CÁLCULO DE CONDUCTORES EN LÍNEAS ELÉCTRICAS AÉREAS CONSIDERACIONES EN RELACIÓN CON LAS ECUACIONES DE LA PARÁBOLA

La ecuación de la parábola referida a un eje de abcisas tangente en el vértice y a un eje de ordenadas perpendicular en dicho vértice es:

cxy2

2

=

siendo c la constante de la curva, igual a la componente horizontal de la tensión, T, dividida por el peso por metro lineal de conductor, p

pTc =

En un vano situado en una de las ramas de la curva, si designamos por (x1 y1 ) y ( x2 y2) las coordenadas de los puntos extremos del vano, se habrá de verificar que

cxy

cxy

2;

2

22

2

21

1 ==

Restando ambas ecuaciones

caX

cxxxx

cxxhyy .

2)).((

21212

21

22

12 =−+

=−

==−

habiendo designado por X la abcisa del punto medio del vano, referida a los ejes anteriormente indicados. De aquí deducimos que

achX .

=

En la figura que se acompaña se ha representado un vano en el cual se supone que la curva formada por el conductor es una parábola. En el apartado 4.2 del libro Cálculo de Líneas Eléctricas Aéreas de Alta Tensión.- 5ª Ed. hacemos referencia a tres propiedades de la parábola, que quedan justificadas en el Apéndice, y que transcribimos a continuación 1ª.- Si por dos puntos de la curva, tales como los A y B trazamos tangentes a la misma, dichas tangentes se cortan en un punto N que está contenido en una recta vertical que pasa por el punto medio de la recta AB. 2ª.- La recta vertical citada corta a la curva en un punto Q , verificándose que los segmentos RQ y QN son iguales. 3ª.- La tangente a la curva en el punto Q es paralela a la recta AB. Ello significa que la flecha, definida como la distancia vertical máxima entre la recta AB y un punto de la curva, se produce en el punto medio del vano, lo que no ocurre si la curva es una catenaria. Por consiguiente, la longitud del segmento RN es igual al doble de la flecha. La tangente a la curva en el punto B forma un ángulo con la horizontal que denominaremos ϑ Se verifica que

c

aahc

c

aX

a

fh

tg 22

2

22

+=

+=

+=ϑ

En la ecuación anterior hemos igualado los valores calculados para tg ϑ por dos procedimientos. Por una parte considerando que el ángulo forma parte del triángulo delimitado por la tangente a la curva, la recta vertical que pasa por el punto medio del vano, y la recta horizontal que pasa por el punto B. Por otra, considerando que la inclinación de la recta tangente en el punto B es el valor que toma la derivada de la función en dicho punto. La derivada de la función es

cxy =´

Despejando f en la ecuación tenemos que

Tpa

caf

88

22

==

Es decir que, de acuerdo con las ecuaciones de la parábola, para un determinado valor de a y de c la flecha es constante, e independiente del desnivel. Para un valor de a, a medida que el desnivel aumenta, el vano se sitúa más a la derecha de la rama de la parábola. El valor del segmento RS va variando, puesto que de acuerdo con las propiedades de la parábola es igual a h/2. Pero la flecha se mantiene constante- Claro que esto en la realidad no ocurre así, puesto que la forma de la curva es una catenaria y no una parábola, y los errores son tanto mayores cuanto mayores son las longitudes y, sobre todo, los desniveles. Es esto, sin duda, lo que indujo en su momento a introducir en la Norma UNE 21.101 el concepto de vano equivalente. Sin embargo, hoy disponemos de una herramienta como es la informática. Gracias a ella hemos podido desarrollar un programa de cálculo utilizando las ecuaciones de la catenaria, que sirve de patrón para medir los errores que se pueden producir al calcular por otros procedimientos. Así pues hemos podido comprobar que el Método de Truxá, del que se habla en un prestigioso y famoso libro francés (Carpentier), produce resultados que prácticamente coinciden con los obtenidos utilizando las ecuaciones de la catenaria, no obstante ser en su aplicación un procedimiento muy similar al tradicional. Hemos podido observar como están apareciendo programas de cálculo que utilizan el método tradicional (ecuaciones de la parábola), en cuyos resultados no influye el desnivel de los vanos, desaprovechando las posibilidades que ofrece la informática. Por ello nuestro deseo y empeño es que cuando se confeccione un programa, se utilice el citado Método de Truxá, que une la simplicidad con la exactitud, entendiendo que si a veces no se emplea, es por simple desconocimiento. Málaga, Septiembre de 2.005 JULIAN MORENO CLEMENTE Dr. Ingeniero Industrial