7. variables aleatorias distribuidas en forma conjunta

Universidad Nacional Agraria La Molina

Departamento de Estadística e Informática Curso: Cálculo de Probabilidades

Profesor: Fernando Miranda Villagómez

1

Variables aleatorias distribuidas en forma conjunta

Vector Aleatorio

Un vector ( , ,..., )X X X k1 2 cuyos componentes son v. as. definidas en el mismo

espacio de probabilidad, , , (.)P , se llama vector aleatorio k-dimensional o variable

aleatoria k-dimensional.

: Rk

( ) , ,..., ( ) ( ), ( ),..., ( )X X X X X Xk k1 2 1 2

Función De Distribución Acumulativa Conjunta (F.D.A.C)

Sean las v. as. X X X k1 2, ,..., todas definidas en el espacio de probabilidad

, , (.)P . La F.D.A.C está definida por:

F x x x P X x X x x x x Rk k k k

k( , ,..., ) ,..., ; , ,...,1 2 1 1 1 2

Propiedades De La F.D.A.C (K=2)

1. F(x,y) es la F.D.A.C entonces:

F y Lim F x y y

F x Lim F x y x

F Lim F x y

X

Y

X Y

, , ;

, , ;

, ,,

0

0

1

2. Si x1 x2 , y1 y2 , entonces:

1 2 1 2 2 2 1 2 2 1 1 1, , , , , 0P x X x y Y y F x y F x y F x y F x y

Demostración

y2

y1 (x1 ,y1) (x2 ,y1)

x1 x2

(x2 ,y2) (x1 ,y2)




2

1 2 1 2 2 2 1 2 2 1

1 1

, , , ,

,

P x X x y Y y P X x Y y P X x Y y P X x Y y

P X x Y y

3. F(x,y) es contínua por la derecha en cada argumento o sea:

Lim F x h y Lim F x y h F x yh h0 0 0 0

, , ,

Ejemplo: Se tiene la siguiente función:

0 , 1

,1 , 1

si x yF x y

si x y

¿ Es la función anterior una función acumulativa conjunta ? Justifique.

Solución

Para que sea una función acumulativa conjunta debe cumplir con lo siguiente :

1. , , 0 , , 1

2. 0 3 , 0 3 3,3 0,3 3,0 0,0

1 1 1 0 1 0

, no es F.D.A.C

F y F x F

P X Y F F F F

no es

F x y

Función De Distribución Acumulada Marginal (F.D.A.M) K=2

Si F(x,y) es la F.D.A.C de (X,Y), entonces:

FX(x) es la F.D.A.M de X.

FY(y) es la F.D.A.M de Y.

Observación:

F x F x y F y F yX Y( ) ( , ) ( ) ( , ) ; esto es , el conocimiento de la F.D.A.C de X

e Y implica el conocimiento de la F.D.A.M pero la inversa, en general, no es cierto.

Función Densidad Conjunta

Caso Discreto

Variable Aleatoria Discreta Conjunta




3

Si X X X k1 2, , ... , es una v.a k-dimensional tal que es una v.a discretaiX (es

decir puede tomar un número contable de puntos) se dice que es una v.a discreta.

Si es una v.a k-dimensional discreta entonces su función densidad discreta conjunta

es:

1 1 1

1 2

,..., , si ,..., es un valor observadode, ,...,

0 , para otros valores

k k k

k

P X x X x x xf x x x

Observación

f x x xk1 2 1, , ,

Teorema

Si X Y, es una v.a bidimensional discreta entonces el conocimiento de F(x,y) es

equivalente al conocimiento de f(x,y). Este teorema se extiende a v.as k-

dimensionales.

F x y f x y y

f x y F x y lim F x h y lim F x y h lim F x h y h

i j

i j i jh

i jh

i jh

i j

, , ,

, , , , ,

0 0 0 0 0 0

Caso Continuo

La v.a k-dimensional X X k1, , es continua conjunta si y sólo si existe una

función f x xk1 0, , tal que:

1

1 1 1 1

1

, , , , , , ,

a , , se le llama función densidad de probabilidadesconjunta.

kXX

k k k k

k

F x x f u u du du x x

f x x

Propiedades de f x x k1 , ,

1 0

2 1

1 1

1 1

. , , , , ,

. , ,

f x x x x R

f x x dx dx

k k

k

k k

Observaciones




4

1. En el caso de 2 dimensiones, volúmenes dan probabilidades. Ejemplo: Sea la v.a

(X1 , X2 ) con función densidad f (x1 , x2 ) y sea A alguna región en el plano x1-x2 ,

entonces:

P X X A f x x dx dxA

1 2 2 1 21, ,

La probabilidad de que ( X1 , X2 ) caiga en la región A está dada por el volumen

bajo f(x1 , x2 ) sobre la región A.

1 1 1 1

1 1

2. Si , , / ; ;

Si , ,

k k k k

k k

S x x a x b a x b

A S P A f x x dx dx

A

Teorema

Si ( X, Y ) es un vector aleatorio bidimensional continuo, entonces el conocimiento de

F(x,y) es equivalente al conocimiento de f ( x, y ). Este teorema se puede extender a

v.as continuas k-dimensionales.

2

, ,

,,

y x

F x y f s t ds dt

F x yf x y

x y

Función Densidad Marginal ( K=2 )

Caso Discreto

Sea ( X , Y ) una v.a discreta bidimensional con función densidad conjunta f (x,y)

entonces las funciones densidad marginal serán:

( ) , , , es la f.d marginal de

( ) , , , es la f.d marginal de

Observación

,

,

,

i

j

X k k j k j

j j

Y k i k i k

i i

i j

x x j

i j

y y i

f x f x y P X x Y y X

f y f x y P X x Y y Y

F x P X x Y

F x P X x Y y

F y P X x Y y




5

Ejemplo: Con dos líneas de producción (A y B) de televisores puede ocurrir que sus

productos tengan cierto tipo de defecto leve que no impide su venta. La probabilidad de

que la línea A produzca un televisor con esa falla leve es 0.4 y para la línea B esta

probabilidad es 0.6. Para los tres siguientes defectos leves de ese tipo que se producirán

considere que: las líneas de producción trabajan independientemente y se define la

variable aleatoria X como el número de fallas de ese tipo ocasionados por la línea B y la

variable aleatoria Y como el número de fallas de ese tipo ocasionados por la línea B

considerándose sólo las dos primeras fallas que se producirán. Halle f(x,y), F(x,y) y

utilice F(x,y) para hallar f(2,1).

Solución

Determinación de f(x,y)

32 8n , P(A)=0.4 y P(B)=0.6

Resultados X Y Probabilidad

AAA 0 0 0.064

AAB 1 0 0.096

ABA 1 1 0.096

BAA 1 1 0.096

ABB 2 1 0.144

BAB 2 1 0.144

BBA 2 2 0.144

BBB 3 2 0.216

f(x,y)

X

f(y) 0 1 2 3

Y

0 0.064 0.096 0 0 0.160

1 0 0.192 0.288 0 0.480

2 0 0 0.144 0.216 0.360

f(x) 0.064 0.288 0.432 0.216

Obtención de F(x,y)

F(x,y)

0x 0 1x 1 2x 2 3x 3 x

0y 0 0 0 0 0

0 1y 0 0.064 0.160 0.160 0.160

1 2y 0 0.064 0.352 0.640 0.640

2 y 0 0.064 0.352 0.784 1

Cálculo de f(2,1) utilizando F(x,y)

hyhxFhyxFyhxFyxFyxf

yyxfyxF

jih

jih

jih

jiji

ji

,lim,lim,lim,,

,,,

000000




6

0 0 0 0 0 0

2,1 2,1 lim 2 ,1 lim 2,1 lim 2 ,1

0.640 0.352 0.160 0.160 0.288

h h hf F F h F h F h h

Distribución Multinomial

Recuerde que para la distribución Binomial se tienen n pruebas de Bernoulli y cada

prueba puede tener dos resultados posibles: Éxito y Fracaso. Para la distribución

Multinomial se tienen n pruebas independientes donde cada prueba tiene (k + 1)

resultados posibles 1 1, , ka a y se cumple que 1

1

1, , 1; y 1k

i i i

i

P a p i k p

.

Se definen las siguientes variables aleatorias:

El número de veces que se obtiene en las n pruebas 1, , 1i iX a i k . Entonces la

densidad discreta de la v.a 1 1, , kX X es:

11

1 , , 1 1 1

1 1

!, ,

! ! !k k

k

x xx

X X k k k

k k

nf x x p p p

x x x

donde 1

1

0,1, , ;k

i i

i

X n X n

1

1

k

k i

i

X n X

.

Distribución V Bivariada

Se tienen N elementos de los cuales A son de una clase I, B son de otra clase II y (N-A-

B) no son ni de la clase I ni II. El experimento aleatorio consiste en la selección al azar,

con reemplazo y sin considerar el orden de extracción de n elementos. Se definen las

v.as X= # de elementos de la clase I en la muestra y Y= # de elementos de la clase II en

la muestra, entonces la v.a bivariada (X,Y) tiene distribución V bivariada con

parámetros N,n,A y B si su función densidad conjunta es:

f x y

A x

x

B y

y

N A B n x y

n x y

N n

n

para x n y n x y n y n x

,

, ,

1 1 1

1

0 0 0

Obtención De La Función Densidad Marginal De X

0 0

1

11,

1

1pero en general se cumple que : entonces :

1

n x n x

y y

z

A x

N A B n x yB yxf x f x y

N n y n x y

n

H

H z z

z




7

f x

A

x

N

n

B

y

N A B

n x y

A

x

N

n

B N A B

y n x y

f x

A

x

N A

n x

N

n

A x

x

N A n x

n x

N n

x

n

y n x yy

n x

1

1

1 1

1 1

1

0

n

x n

, , , , ,0 1 2

Se concluye que X ~ V(N,n,A), por un procedimiento similar se determina que

Y~V(N,n,B).

Caso Continuo

Sea ( X , Y ) una v.a continua bidimensional con f. densidad conjunta f ( x , y ) ,

entonces:

, , es la f.d marginal de

, , es la f.d marginal de

Nota :

, ,

, ,

X

y

Y

x

x

y

f x f x y dy X

f y f x y dx Y

F x F x f u y du dy

F y F y f x v dx dv

Ejemplo. La calificación X de un estudiante de secundaria de cierto país en una prueba

de aptitud matemática es un número entre 0 y 100 y su calificación Y en una prueba de

aptitudes musicales también es un número entre 0 y 100. Además se conoce que en la

población de todos los estudiantes de secundaria de ese país, las calificaciones X e Y

(en centenas) se distribuyen según la siguiente función densidad conjunta:

2 3 , para 0 1 0 1

,0 , en otro caso

k x y x y yf x y

.

a. ¿Cuál es el valor de k?




8

1 1

0 0

0,1 0,1

5 22 3 1

2 5

2, 2 3

5

k x y dxdy k k

f x y x y I x I y

b. Halle , y ,f x f y F x y .

Determinación de las densidades marginales

1

0,1

0

1

0,1

0

2 2 32 3 2

5 5 2

2 22 3 1 3

5 5

f x x y dy x I x

f y x y dx y I y

Determinación de la densidad acumulada conjunta

Para 0, 0 , 0

Para 0, 0 , 0

Para 0, 0 , 0

x y F x y

x y F x y

x y F x y

2 2

0 0

Para la región A 0 1, 0 1

2 2 3, 2 3

5 5 2

y x

t s

x y

F x y s t dsdt x y xy

1

2

0 0

Para la región B 0 1, 1

2 2 3, 2 3

5 5 2

x

t s

x y

F x y s t dsdt x x

1

2

0 0

Para la región C 1 , 0 1

2 2 3, 2 3

5 5 2

y

t s

x y

F x y s t dsdt y y

1 1

0 0

Para la región D 1 , 1

2, 2 3 1

5t s

x y

F x y s t dsdt

Por ejemplo en la región C: 22 32, 0.5 2,0.5 0.5 0.5 0.35

5 2P X Y F

.

Se cumple que:

2

0,1 0,1

, 2, 2 3

5

d F x yf x y x y I x I y

dxdy

c. Calcule la probabilidad de que la calificación de un estudiante secundario en

aptitud matemática sea mayor que el doble de la calificación en aptitudes

musicales.




9

1/ 2 1

0 2

2 112 2 3 0.1833

5 60y x y

P x y x y dxdy

De otra manera

1 / 2

0 0

2 112 2 3 0.1833

2 5 60

x

x y

XP x y P Y x y dydx

Calcule la probabilidad de que la calificación de un estudiante secundario en aptitud

matemática sea mayor que el de la calificación en aptitudes musicales en más de 40

puntos.

0.6 1

0 0.4

20.4 0.4 2 3 0.1584

5y x y

P X Y P X Y x y dxdy

De otra manera

1 0.4

0.4 0

20.4 0.4 2 3 0.1584

5

x

x y

P X Y P Y X x y dydx

Ejemplo: Sea X el tiempo de vida en decenas de años de un componente electrónico 1,

e Y el tiempo de vida en decenas de años de un componente electrónico 2, de un equipo

de sonido. La densidad conjunta de X e Y es:

2 3 , para 0 1, 0 1, 0 1

,0 , en otro caso

k x y x y x yf x y

.

a. Halle el valor de k.

1 1 1

0 0 0

4 32 3 2 3 1

3 4

3, 2 3 , para 0 1, 0 1, 0 1

4

y

x

k x y dxdy k x y dydx k k

f x y x y x y x y

b. Obtenga y f x f y .

21 2

0,1

2

0,1

0

2 33 252 3

4 8 8

32 3 3

4

x

y

x xf x x y dy I x

f y x y dx y I y

La Distribución Gamma Bivariada

Nota : No es la generalización única del caso univariado.

La v.a.c bidimensional (X,Y) tiene distribución Gamma bivariada con parámetros r1 , r2

y si su función densidad conjunta es :




10

f x yr r

x y x e x y r rr r

r r y, , ; , ,

1 2

1 2

1 2

1 1

1 20 0

Determinación De La Función Densidad Marginal De X

f x f x y dyr r

xx y x e

xdy

f xx

r r

x

x

y

x xe dy

x

r r

y

xe

dy

x

y x

r rr r

r r y

r r

x

r r r r r r

y

x

r r r r r

y

x

, ( )( )

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2

1 2

1

1 1

1

1

1 2

1 1 1

1 2

1

11

1

1 2 1 2 1 2 1 2

2

2

1 1

1 121

1 2 1 20

1

1

1

Haciendo 1 ;

, 0 ~ Gamma ,

r r r r r r r rx zrx x

r

r r x

y dyz dz y zx x

x x

rx xf x e z e dz e

r r r r x

x ef x x X r

r

Determinación De La Función Densidad Marginal De Y

211 2

1 2

1 2

1 21 2

1 2

11

1

1

1 20 0

1 1

1

1 2 0

,

1

Haciendo

ry y rr r yr r

r r

x

r ryr r yr r

x y xef y f x y dx y dx

r r y

e x x dxf y y

r r y y y

x dxw dw

y y

1 2 1 2 1 2 1 2

21

1 2 1 2

11 11 1 21

1 2 1 2 1 20

1

1 2

1

, 0

r r r r r r r ry yrr

BETA

r r r ry

r re y e yf y w w dw

r r r r r r

e yf y y

r r

Distribuciones Condicionales

Caso Discreto (k = 2)

Sea ,X Y una v.a bidimensional con función densidad discreta conjunta , ,X Yf x y

entonces la función densidad discreta condicional de Y dado X = x, denotada por

Y Xf y x es definida por:




11

, , ,

, 0X Y

Y X X

X

f x y P X x Y yf y x f x

f x P X x

Entonces la función densidad condicional de X dado Y = y es:

, , ,

, 0X Y

X Y Y

Y

f x y P X x Y yf x y f y

f y P Y y

Además la FDA discreta condicional de Y dado X = x será:

Y X Y X j

j

F y x P Y y X x f y x


productos tengan cierto tipo de defecto leve que no impide su venta. Con los tres

siguientes defectos se define la variable aleatoria X como el número de fallas de ese tipo

ocasionados por la línea B y la variable aleatoria Y como el número de fallas de ese tipo

ocasionados por la línea B considerándose sólo las dos primeras fallas que se

producirán.

a. Halle la densidad del número de fallas de este tipo ocasionadas por la línea B dado

que en las dos primeras fallas la línea B no produjo fallas.

Solución

, ,0 , 0

00 0

X Y

X Y

Y

f x P X x Yf x y

f P Y

Con los datos del ejemplo que se desarrolló anteriormente:

0, 0 0.0640.4

0 0.16

1, 0 0.0960.6

0 0.16

P X Y

P Y

P X Y

P Y

2, 0 3, 0 00

0 0 0.16

P X Y P X Y

P Y P Y

0.4, si 0

0 0.6, si 1

0, para otros valores de

X Y

x

f x y x

x

0, si 0

0 0.4, si 0 1

1, para 1

X Y

x

F x y x

x

b. Ejercicio: Halle 2Y Xf y x

Caso continuo (k = 2)




12

Sea ,X Y una v.a bidimensional con función densidad continua conjunta , ,X Yf x y

entonces la función densidad condicional de Y dado X = x, denotada por Y Xf y x es

definida por:

, ,X Y

Y X

X

f x yf y x

f x

Entonces la función densidad condicional de X dado Y = y es:

, ,X Y

X Y

Y

f x yf x y

f y

Observación

,

,

, 1, 1

X

X Y

Y X X Y

X X

f x

f x yf y x dy f x y dy

f x f x

además la FDA condicional de Y dado X = x será:

y

Y X Y X

t

F y x f t x dt

y la FDA condicional de X dado Y =y será:

x

X Y X Y

s

F x y f s y ds

Ejemplo: Con los datos donde X e Y son los tiempos de vida de dos componentes y

2 3 , para 0 1, 0 1, 0 1

,0 , en otro caso

k x y x y x yf x y

a. Si se sabe que el componente 1 duró 7 años halle la densidad de Y.

Solución

,

0.7,12 2

2

0.7

32 0.7 30.7, 20040.7 3 1.4

0.7 2372 0.7 3 25 0.7

8 8

100 7 12253 , para 0.7 1200

0.7 3 1.4 711 5 711237

1, para 1

X Y

Y X

X

y

Y X

yf x yf y x y I y

f x

y yF y x t dt

y

b. Ejercicio: Obtenga 0.8X Yf x y




13

Independencia Estocástica

Sea 1 2( , ,..., )kX X X una v.a k-dimensional con función densidad conjunta f x x k1 , ,

y densidades marginales 1 2, , , kf x f x f x entonces 1, , kX X son

estocásticamente o probabilísticamente independientes si:

1 1 2

1

, ,k

k k i

i

f x x f x f x f x f x

.

Si X e Y con independientes se cumple: Y X Yf y x f y y X Y Xf x y f x .

Teorema

Si 1, , kX X son v.as independientes y se tienen las siguientes funciones

1, ,j j jY g X j k entonces las funciones 1, , kY Y son v.as independientes.


productos tengan cierto tipo de defecto leve que no impide su venta. Con los tres

siguientes defectos se define la variable aleatoria X como el número de fallas de ese tipo

ocasionados por la línea B y la variable aleatoria Y como el número de fallas de ese tipo

ocasionados por la línea B considerándose sólo las dos primeras fallas que se

producirán.

a. ¿Son independientes X e Y?

Solución

Se halló anteriormente lo siguiente:

0.4, si 0

0 0.6, si 1


X Y

x

f x y x

x

0 0 0.4 0 0.064 son dependientes.X Y Xf x y f x

También:

, 0, 0 0.064 0 0 0.064 0.16 son dependientes.X Y X Yf x y f x f y

b. Las variables 2 y también son dependientes.X Y

Ejemplo: Con los datos donde X e Y son los tiempos de vida de dos componentes.

¿Son independientes X e Y?

Solución

2

0.7,1 0,1

2000.7 3 1.4 3 son dependientes

237Y X Yf y x y I y f y y I y

También:

2 22

2 33 25, 2 3 3

4 8 8X Y

x xf x y x y f x f y y

entonces X e

Y son dependientes.




14

Esperanza Matemática o Valor Esperado

Sea 1 2( , ,..., )kX X X una v.a k-dimensional con función densidad conjunta f x x k1 , , ,

entonces si se tiene la función 1 2( , ,..., )kg X X X se tendrá que:

1

1 2 1 2 1 2

, ,

1 2 1 2 1 2 1

( , ,..., ) ( , ,..., ) ( , ,..., ), para el caso discreto

( , ,..., ) ( , ,..., ) ( , ,..., ) , en el caso continuo

k

k k k

x x

k k k k

E g X X X g x x x f x x x

E g X X X g x x x f x x x dx dx

Teorema

Se conoce que ( ) ( )E cg X cE g X . Generalizando lo anterior se tiene lo siguiente:

1 1

1 1

, , , ,m m

i i k i i k

i i

E c g X X c E g X X

.

Ejemplo: Con las líneas de producción se obtuvo:

f(x,y)

X

f(y) 0 1 2 3

Y

0 0.064 0.096 0 0 0.160

1 0 0.192 0.288 0 0.480

2 0 0 0.144 0.216 0.360

f(x) 0.064 0.288 0.432 0.216

Calcule 2 2, , , , ,E XY E X E Y E X E Y Var X y Var Y

, 0 0 0.064 1 0 0.096 0 0 0 1 1 0.192

2 1 0.288 0 0 0 2 2 0.144 3 2 0.216 2.64

E XY xy f x y

0 0.064 1 0.288 2 0.432 3 0.216 1.8

0 0.16 1 0.48 2 0.36 1.2

E X

E Y

2 2 2 2 2

2 2 2 2

0 0.064 1 0.288 2 0.432 3 0.216 3.96

0 0.16 1 0.48 2 0.36 1.92

E X

E Y

2

2

3.96 1.8 0.72

1.92 1.2 0.48

Var X

Var Y

Ejemplo: Con los tiempos de dos componentes:

Calcule 2 2, , , , ,E XY E X E Y E X E Y Var X y Var Y

1

0 0

3 132 3

4 40

y

E XY xy x y dxdy

1

0 0

3 132 3

4 32

y

E X x x y dxdy




15

1

0 0

3 32 3

4 4

y

E Y y x y dxdy

1

2 2

0 0

1

2 2

0 0

3 92 3

4 40

3 32 3

4 5

y

y

E X x x y dxdy

E Y y x y dxdy

2

2

9 13 307

40 32 5120

3 3 3

5 4 80

Var X

Var Y

La Covariancia

Si las v.as X e Y son tales que y X YE X E Y entonces la Covariancia de X e

Y se obtiene de la siguiente manera:

, X Y X YCov X Y E X Y E XY .

Teorema

Si X e Y son v.as independientes entonces se cumple que:

1 2 1 2

.

.

. , 0

X Ya E XY E X E Y

b E g X g Y E g X E g Y

c Cov X Y

Teorema

Si X e Y son v.as cualesquiera entonces se cumple que:

2 ,Var X Y Var X Var Y Cov X Y

Corolario

Si X e Y son v.as independientes entonces se cumple que:

Var X Y Var X Var Y .

Teorema

Si X e Y son v.as cualesquiera y a con b son constantes reales entonces se cumple que:

, ,Cov aX bY abCov X Y .

Ejemplo: Con las líneas de producción:

, 2.64 1.8 1.2 0.48X YCov X Y E XY


13 13 3 13

,40 32 4 640

X YCov X Y E XY




16

El Coeficiente de Correlación

Si las v.as X e Y son tales que y X YVar X Var Y entonces el coeficiente

de correlación de X e Y se obtiene de la siguiente manera:

,

,X Y

X Y X Y

E X YCov X YX Y

.

Teorema

Si X e Y son v.as cualesquiera y además * * y YX Y

X Y

X YX

entonces se

cumple que:

* *

* *

. , ,

. 2 1 ,

. 1 , 1

a Cov X Y X Y

b Var X Y X Y

c X Y

.


, 0.48

, 0.81650.72 0.48X Y

Cov X YX Y


13, 640, 0.4284

307 3

5120 80

X Y

Cov X YX Y

Teorema

Si X e Y son v.as independientes entonces se cumple que , , 0Cov X Y X Y

pero el hecho de que , , 0Cov X Y X Y , en general, no implica que X e Y sean

independientes.

Ejemplo: Este es un ejemplo de v.as dependientes pero no correlacionadas. Suponga

que 1,0,1

1

3f x I x

y sea 2Y X . Verifique que X e Y son dependientes pero no

correlacionadas.

Solución

Como 2Y X entonces X e Y son dependientes.

Cálculo de la covarianza:




17

32 3 3 31 1 11 0 1 0

3 3 3

1 1 11 0 1 0

3 3 3

E XY E XX E X

E X

22 2 21 1 1 2

1 0 13 3 3 3

E Y E X

2

, 0 0 03

X YCov X Y E XY

Se verifica que X e Y son dependientes pero no correlacionadas.

La Esperanza Condicional

Sea ,X Y una v.a bidimensional con densidad conjunta ,f x y y considérese a

,g X Y como una función de X e Y, entonces la esperanza condicional de ,g X Y

dado X = x se obtiene de la siguiente manera:

, , , en el caso discreto

, , , en el caso continuo

j Y X j

j

Y X

E g X Y X x g x y f y x

E g X Y X x g x y f y x dy


Se halló anteriormente lo siguiente:

0.4, si 0

0 0.6, si 1


X Y

x

f x y x

x

2 2 2 2

0 / 0 0 0.4 1 0.6 0.6

0 / 0 0 0.4 1 0.6 0.6

E X Y x f x y

E X Y x f x y

Ejemplo: Con los tiempos de los componentes.

1 1

0.7 0.7

200 3380.7 0.7 3 1.4

237 395Y XE Y X yf y x dy y y dy

1 1

2 2 2

0.7 0.7

200 116870.7 0.7 3 1.4

237 15800Y XE Y X y f y x dy y y dy

Curva de Regresión

A la E Y X x se le llama la curva de regresión de Y sobre X y se suele utilizar la

siguiente notación: Y X x Y X E Y X x .

Teorema




18

Sea ,X Y una v.a bidimensional entonces se cumple que:

E g Y E E g Y X en particular E Y E E Y X .

Prueba (considerando el caso continuo)

/

/

/ /

/ /

X

Y x X

E g Y x h x

E h x E E g Y x E g Y x f x dx

E h x E E g Y x g y f y x dy f x dx

/ / ,

/

Y x XE h x g y f y x f x dydx g y f x y dydx

E h x E E g Y x E g y

Teorema

Sea ,X Y una v.a bidimensional entonces se cumple que:

1 2 1 2

1 2 2 1

.

.

a E g Y g Y X x E g Y X x E g Y X x

b E g Y g X X x g X E g Y X x

Variancia Condicional

Sea ,X Y una v.a bidimensional con densidad conjunta ,f x y entonces la variancia

condicional de Y dado X = x ae obtiene de la siguiente manera:

2

22

Var Y X x E Y E Y X x X x

Var Y X x E Y X x E Y X x

Ejemplo: Con las líneas de producción.

22 20 0 0 0.6 0.6 0.24Var X Y E X Y E X Y

Ejemplo: Con los tiempos de los componentes

.

2

22 11687 3380.7 0.7 0.7 0.0075

15800 395Var Y X E Y X E Y X

Teorema

Var Y E Var Y X Var E Y X .

Prueba




19

22

22

22

2 2 22

Var Y

Var Y X E Y X E Y X

E Var Y X E E Y X E E Y X

E Var Y X E Y E E Y X

E Var Y X E Y E Y E E Y X E Y

22

/E Var Y X Var Y E E Y X E E Y X

E Var Y X Var Y Var E Y X

Var Y E Var Y X Var E Y X

La Función Generatriz de Momentos Conjunta

La función generatriz de momentos conjunta de la v.a k-dimensional 1, , kX X se

obtiene de la siguiente forma:

1

1 , , 1, , , , 0, 1, ,

k

i i

i

k

t X

X X k it t E e h t h h i k

Observaciones

1 2

2

1

, 1 2

1 , 1 , 1 20

2 , 2 , 1 20

, 1 2 1 2

1. ,

2. ,0 lim ,

0, lim ,

3.Si e son independientes entonces ,

t X t Y

X Y

X X Y X Yt

Y X Y X Yt

X Y X Y

t t E e

t t t t

t t t t

X Y t t t t

La Distribución Normal Bivariada

Función Densidad

La v.a.c ,X Y tiene distribución normal bivariada si su densidad conjunta es:

2 2

2

2

1exp 2

2 1,

2 1

X X Y Y

X X Y Y

X Y

x x y y

f x y

, para

,x y , en donde , , , y son constantesX Y X Y

tales que , ; , 0 y -1 1X Y X Y .

Prueba de que ,f x y es una densidad conjunta

, 0 siempre se cumple.f x y




20

, 1. Se debe demostrar este resultado.I f x y dxdy

Para simplificar la doble integral (I) se reemplaza en ,f x y lo siguiente:

;X YX Y

X Y

x ys dx ds t dy dt

y se obtiene lo siguiente:

2 2

2

2

1exp 2

2 1

2 1

X Y

X Y

s st t ds dt

I

. Para completar cuadrados en el

exponente se suma y resta 2 2t y se obtiene:

2 2 2

2

2

1exp 1

2 1

2 1

s t t dsdt

I

. Haciendo: 21

s tv

21ds dv . Reemplazando en (I) se obtiene lo siguiente:

2 2 2 21 1 1

2 2 2

1 1 12 2 2

v t v t

e e eI dvdt dv dt

. Queda demostrado.

La Función Generatriz de Momentos de la distribución Normal Bivariada.

Teorema

La función generatriz de momentos de la distribución normal bivariada es:

2 2 2 2

1 2 1 2 1 1 2 2

1, exp 2

2X Y X X Y Yt t t t t t t t

.

Demostración

1 2 1 2

1 2, ,t X t Y t X t Yt t E e e f x y dxdy

Haciendo: ;X YX Y

X Y

x ys dx ds t dy dt

y reemplazando arriba:

1 2

2 2

1 2 2

1 22

1exp exp 2

2 1,

2 1

X Y

X Y X Y

t t

X Y

t s t t s st t ds dt

t t e




21

La función generatriz de momentos quedará así:

1 2

2 2 2 2

1 22

2

1exp 2 2 1 2 1

2 1

2 1

X Y

X Y

t t

s st t t s t t dsdt

e

Trabajando sólo en el exponente de la doble integral: Para completar cuadrados se

suma y resta 2 2t , 2 2 2 2

1 11 , 2 1X Xt t t obteniéndose:

2 22 2 2 2 2 2 2 2

1 2 1

22

1

1 2 1 11

2 1 2 1

X Y X

X

s t t t t t t t

t t

Nuevamente se suma y resta 2 2 2 2 2 2 2 2

1 2 1 21 , 1 ,2 1X Y X Yt t t t y queda:

2 22 2

1 1 2

22 2 2 2 2

1 2 1 2

1 11

2 1 1 2

X X Y

X Y X Y

s t t t t t

t t t t

Volviendo a la 1 2,t t y haciendo: 2

1 2

2

11

1

Xs t tv ds dv

y

1 2X Yw t t t dw dt se deduce que:

2 21

22 2 2 2

1 2 1 2 1 1 2 2

1 1 1

1, exp 2

2 2

v w

X Y X X Y Y

e dvdwt t t t t t t t

2 2 2 2

1 2 1 2 1 1 2 2

1, exp 2

2X Y X X Y Yt t t t t t t t

. Queda demostrado.

Teorema

Si la v.a.c ,X Y tiene distribución normal bivariada entonces:

2 2

,, , , , , y X Y X Y X Y X YE X E Y Var X Var Y Cov X Y

Teorema

Si la v.a.c ,X Y tiene distribución normal bivariada entonces X e Y son

independientes si y sólo si X e Y no están correlacionadas.

Densidades Marginales y Condicionales

Teorema

Si la v.a.c ,X Y tiene distribución normal bivariada entonces las distribuciones

marginales de X e Y son distribuciones normales univariadas.




22

Demostración

Se conoce que ,f x f x y dy

. Haciendo YY

Y

yr dy dr

y

reemplazando en la igualdad anterior queda:

2

2

2

2

1exp 2

2 1,

2 1

X XY

X X

X Y

s sr r dr

f x f x y dy dy

Trabajando en el exponente de e. Para completar cuadrados se suma y resta 2

2 x

X

x

obteniéndose:

22

2

1 1

2 1

x x

X X

x xx

.

Haciendo 2

2

11

1

x

X

xv r dr dv

y reemplazando en la

densidad marginal:

2

2 2

1

2

Uno

1 1exp exp

2 2

2 2 2

x x

v

X X

X X

x x

e dvf x

Teorema

Si la v.a.c ,X Y tiene distribución normal bivariada entonces la distribución

condicional de X dado Y = y es normal con media XX Y

Y

y

y variancia

2 21X . También la distribución condicional de Y dado X = x es normal con media

YY X

X

x

y variancia 2 21Y .

Demostración

2 2

2

2

2

,

1exp 2

2 1

2 1

X X Y Y

X X Y Y

X

f x yf x y

f y

x x y y

f x y

Operando en el exponente:

22 22

22 2

12

2 1

X XX X Y Y

Y YX

x x y y




23

Por lo tanto:

2

2 2

2

1exp

2 1

2 1

XX Y

YX

X

x y

f x y

De manera similar se obtiene:

2

2 2

2

1exp

2 1

2 1

YY X

XY

Y

y x

f y x

Ejemplo: X es el contenido en mg de vitamina B6 y, Y es el contenido en mg de

vitamina C en porciones de 200 g de tomate de árbol. Si se sabe que (X,Y) tienen

distribución normal bivariada con / 74

XE Y X y / 10E X Y Y

a. Halle ,X Y y X

Y

.

Solución

Cálculo de ,X Y

/ 7 74 4

E XXE Y E E Y X E

/ 10 10E X E E X Y E Y E Y

Resolviendo el sistema anterior resulta: 4 y 6E X E Y

De otro lado:

2 2

/ / 7 7 284 4 4

E X E XXE XY E E XY X E XE Y X E X E X

2 2/ / 10 10 60E XY E E XY Y E YE X Y E Y Y E Y E Y E Y

2

2 2 2Como 28 60 4 1284

E XE XY E XY E Y E X E Y

Se pide:

2

2 2 2 2 2 22 2

22

2 2

60 4 6

4 128 4 6

36 1

2 22 36 36

Y

Y X

E YE XY E X E Y

E Y E YE X E X E Y E Y

E Y

E Y E Y

Cálculo de X

Y




24

1

/ 4 62

13 4 10

2

1De donde: 1 2

2

X XX Y

Y Y

X X

Y Y

X X

Y Y

E X Y Y Y

Y Y

b. Si una porción de 200 g de tomate de árbol tiene 6.02 mg de vitamina C, calcule la

probabilidad de que el contenido de vitamina B6 esté comprendido entre 3.972 y 3.995

mg. Asuma que 0.01 mgX .

Solución

2 2

2

2

/

/

/ 6.02 ~ ; 1

1/ 6.02 4 2 6.02 6 3.98

2

1/ 6.02 0.01 1 0.000075

2

/3.972 3.98 3.995 3.983.972 3.995 / 6.02

0.000075 0.000075

0.

XX Y X

Y

X Y

X Y

X Y N Y

E X Y

Var X Y

X YP X Y P

P

92 1.73 0.7794Z

Variables Aleatorias con Coordenadas Mixtas

Supongamos que X e Y son v.as de nuestro experimento. X tiene distribución discreta y

toma valores en el conjunto contable S, mientras que Y tiene distribución continua

sobrenT R .

Usualmente (X,Y) tiene densidad f en el siguiente sentido:

, , ,x A B

P X Y A B f x y dy A B S T

Ejemplo: Si 1 0,1 2 0,2 3 0,3

1 1 1,

3 6 9f x y I x I y I x I y I x I y

a. ¿Es f una densidad mixta conjunta? Considere 1,2,3S y 0,3T .

Solución

1 2 3

0 0 0

1 1 1 1 2 3, 1

3 6 9 3 6 9x S T

f x y dy dy dy dy

, entonces f es una densidad

mixta conjunta.

b. Calcule 1, 1P X Y .

Solución




25

1, 1, 0 1

3

1, , 2, 0 2

6

1, 3, 0 3

9

x y

f x y x y

x y

,f x y

y

0 1y 0 2y 0 3y

x

1 1

3

0 0

2 0 1

6

0

3 0 0 1

9

1 1

1 1 0 0

1 1 1 1 51, 1 ,

6 9 6 9 18X Y

P X Y f x y dy dy dy

c. Halle la densidad marginal de X y de Y.

Solución

1

0

2

0

3

0

Obtención de :

1 11

3 3

1 12

6 3

1 13

9 3

Xf x P X x

P X dy

P X dy

P X dy

1 1 1

0 0 0

2 2

1 1

3

2

Obtención de :

1 1 1 11, para 0 1

3 6 9 18

1 1 5, para 1 2

6 9 18

1 1, para 2 3

9 9

Yf y

dy dy dy y

dy dy y

dy y

d. ¿Son independientes X e Y?

Solución




26

1 1 1

0 1 0 0 0

1 1 1 110 1 ,

3 6 9 18X x Y

P Y f x y dy dy dy dy

1 11 1

1 0 1 1,0 13 18 3

P X P Y f X y . Por lo tanto X e Y son

dependientes

Cálculo de Probabilidades

Cuarta Lista de Ejercicios

1. Se tienen dos cajas y cada caja contiene 4 tarjetas numeradas del 1 al 4. De cada

caja se extrae en forma aleatoria una tarjeta y se definen las siguientes v.as: X = El

número de la tarjeta obtenida de la primera caja; Y = El mayor valor de las tarjetas

extraídas. Halle , , , , , , 2 y 2f x y f x f y F x y f y x F y x .

2. Diga si 1,, 2.2F x y I x y

es una función de distribución acumulativa.

Justifique su respuesta.

3. Sea

1 si , 1, 1 , 1,0 , 0,1 , 1,0 , 1,1 , 0, 1

8

2, si , 0,0

8

0 de otro modo

x y

f x y x y

.

a. Diga si X e Y son independientes.

b. Si , 2 calcule ,g X Y X Y E g X Y .

c. Si , calcule ,g X Y XY E g X Y

4. Sea

1 si , 0,0 , 0,1 , 1,0 , 1,1

, 4

0 de otro modo

x yf x y

.

a. Diga si X e Y son independientes.

b. Si 2 5 y 8Z X W Y . ¿Son independientes Z y W?




27

5. Suponga que la v.a X puede tomar únicamente los valores -1, 0, 1 y que cada uno de

estos valores tiene la misma probabilidad. Sea la v.a Y definida como 2Y X .

Verifique que X e Y son dependientes pero no están correlacionadas.

6. Sea

1 si 2

2

12 si 3,4

4

0 de otro modo

y

f y x y

.

a. Si 2, calcule , 2g x y X Y E g x y x .

b. Si , calcule , 2g x y Y E g x y x .

c. Verifique que 2 22 2 2E X Y x E X x E Y x .

d. Obtenga 2Var Y x

7. Se asignan al azar dos contratos de construcción a una o más de tres empresas (I,II y

III). Sea X el número de contratos asignados a la empresa I, e Y el número asignado

a la empresa II. Una empresa puede recibir más de un contrato. Obtenga:

, , , , , , , , 1 y 1f x y f x f y F x F y F x y f y x F y x .

8. Cuatro mujeres (A, B, C y D) están embarazadas y se van a hacer un análisis para

determinar el sexo de sus hijos. Sea la v.a X definida como el número de varones en

las tres primeras madres y la v.a Y definida como el número de niñas en las tres

últimas madres. Asumiendo que las probabilidades de que nazcan niños o niñas son

las mismas determine , , , , , , ,f x y f x f y F x y F x

, 3 y 3F y f y x F y x .

9. Tres empresas (A,B y C) se presentan a tres licitaciones programadas por la

Municipalidad de Lima. Según los antecedentes la probabilidad de que la empresa

gane una licitación es ½ para A, 1/3 para B y 1/6 para C. Si las 3 empresas se

presentan independientemente a las tres licitaciones y se define la v.a X como el

número de licitaciones asignadas a la empresa A considerándose las tres licitaciones

y la v.a Y como el número de licitaciones ganadas por A pero considerando sólo las

2 primeras licitaciones. Halle f(x,y), F(x,y) y E(X/Y=1).

10. La empresa CajaBoba S.A. tiene tres líneas (A,B y C) de producción de TV.

Estos TV pueden tener cierto tipo de defecto que no impiden su venta. El

Departamento de control de calidad de la empresa estima que la probabilidad de que

una línea de producción tenga ese defecto es 1/8 para la línea A, 3/8 para la B y ½

para la C. Si el Departamento de Control de Calidad informa que se han producido

independientemente tres de esos defectos y se define la v.a X como el número de

defectos de la línea A al considerarse los tres defectos y la v.a Y como el número de

defectos de la línea A al considerarse el primer y el tercer defecto. Determine f(x,y),

F(x,y) y E(Y/X=3).

11. Una caja contiene 8 bolas azules, 5 blancas y 4 rojas, si se seleccionan 6 bolas al

azar y 1X denota el número de bolas azules seleccionadas mientras que 2X es el




28

número de bolas blancas seleccionadas. Halle 1 2,f x x y la probabilidad de que

sean seleccionadas 3 azule, 2 blancas y 1 roja, si la selección se hace:

a. Con reemplazo y considerando el orden de extracción. Además halle la

1 2,Cov X X y finalmente obtenga 1f x .

b. Sin reemplazo.

c. Con reemplazo y sin considerar el orden de extracción.

12. En promedio, el 25% de todos los vehículos que llegan a una intersección giran a

la izquierda, el 35% gira a la derecha y el resto sigue derecho. De una sucesión de 6

vehículos

a. Calcule la probabilidad 2 vehículos giren a la izquierda, uno a la derecha

y el resto siga derecho.

b. Si 1X es el número de vehículos que giran a la izquierda y 2X el número

de vehículos que giran a la derecha. Obtenga 1 2,f x x y de esta halle

1f x .

13. Suponga que el 16% de los estudiantes de cierta escuela son de primer grado, el

14% son de segundo grado, el 38% de cuarto y el 32% de quinto. Si se

seleccionan al azar 15 estudiantes del colegio y se definen las v. as X= Número

de estudiantes de cuarto grado en la muestra y Y= Número de estudiantes de

quinto grado en la muestra. Halle E(X-Y) y Var (X-Y).

14. Se dice que 1 2 1 2, ~ Binomial Negativa Bivariada , ,X X p p k si su densidad

conjunta es:

1 21 2

1 2 1 2 1 2 1 2

1 2

1 !, 1 ; , 0; 1

! ! 1 !

kx xx x kf x x p p p p x x k

x x k

.

Halle 1f x .

15. La probabilidad de que un equipo de fútbol gane es 0.7, de que empate es 0.2 y

de que pierda 0.1. Si el equipo va a jugar una serie de partidos y se define la v.a

1X como el número de juegos que empata hasta que gane por tercera vez y la

v.a 2X cono el número de juegos que pierde hasta que gane por tercera vez.

Calcule la probabilidad de que empate 2 veces y pierda 5 veces antes de que

gane per tercera vez.

16. El número X de personas que llegan a una agencia A de cierto banco en un

intervalo de tiempo t tiene distribución Poisson con variancia 4, mientras que el

número Y de personas que llegan a una agencia B de ese banco en el intervalo

de tiempo t depende de X y tiene distribución Poisson con media ln(1+x). Si se

considera normal que en un intervalo de tiempo t llegue al menos una persona a

la agencia A pero ninguna a la agencia B. Hallar la probabilidad de que al

seleccionar 8 intervalos de tamaño t, 3 de ellos estén en situación normal.

17. Sea la v.a X~Gamma(r,) con rN. Suponga que una v.a Y es tal que Y/X=x

sigue una distribución Poisson(x), x0. Demuestre que Y sigue una

distribución binomial negativa.

18. Suponga que la v.a bidimensional (X,Y) está distribuida uniformemente en el

triángulo de vértices (0,0) (-1,3) y (1,3). Obtenga: , , /f x f y f X Y




29

/ 1.8y Var X Y . Nota: La densidad conjunta en determinada área es igual a

la inversa del área considerada.

19. Sea ,X Y una v.a.c bidimensional con densidad conjunta dada por:

0,2 2,4, 6f x y c x y I x I y .

a. Calcule el valor de c .

b. Obtenga , , , , 2.5,3f x f y F x y F

20. Si si 0 1

,0 de otro modo

kxy x yf x y

a. Determine el valor de k .

b. Halle la densidad marginal de X e Y.

c. Obtenga y 0.2f y x F y x

21. Si 0,1 0,1,f x y x y I x I y . ¿Son independientes X e Y?

22. Si 0, 0,, x yf x y e I x I y

. ¿Son independientes X e Y?

23. Si , para 0x yf x y ke x y .


b. Obtenga la densidad marginal de X y de Y.

c. ¿Son independientes X e Y?

24. Sea 0,1 0,1 0,1,f x y k y x I y x I x I y .

a. Determine el valor de k.

b. Halle y f x f y .

c. Calcule 0.5P Y X .

d. Obtenga , y ,E Y x Var Y x Cov X Y .

25. En un estudio de la contaminación atmosférica por partículas, en muestras de gases

de una chimenea, X representa las partículas contaminantes por muestra cuando no

trabaja un equipo depurador e Y representa la cantidad cuando si trabaja el equipo

depurador. La densidad conjunta de X e Y es la siguiente:

si 0 2, 0 1, 2

,0 para otros valores

k x y y xf x y

.

a. Determine el valor de k.

b. Halle la densidad marginal de X y de Y y también la distribución acumulada

conjunta de X e Y.

c. Obtenga y F x F y .

d. Calcule la probabilidad de que el equipo depurador reduzca la cantidad de

partículas contaminantes en la tercera parte o más.

e. ¿Cuál es la probabilidad de que el contenido sin el depurador sea mayor que con

el depurador en más de 1.5?




30

26. La calificación X de un estudiante de secundaria de cierto país en una prueba de

Biología es un número entre 0 y 100 y su calificación Y en una prueba de Literatura

también es un número entre 0 y 100. Además se conoce que en la población de

todos los estudiantes de secundaria de ese país, las calificaciones X e Y (en

centenas) se distribuyen según la siguiente función densidad conjunta:

, para 0 1 0 1

,0 , en otro caso

kx x y yf x y

.


b. Sea la v.a Z=X+Y. Hallar un intervalo en el que estén los valores de Z por lo

menos en el 50% de los estudiantes.

c. Obtenga Var(Y/X=0.6).

27. Suponga que la función densidad conjunta de X e Y es:

2 2, para 1

,0 , en otro caso

cx y x yf x y

.

a. Calcule el valor de c.

b. Determine y f x f y .

c. Halle el valor de P X Y y 0.5P Y X .

d. Obtenga Var (X/Y=0.4).

28. Si 1 , para 0 1 0 1

,0 , en otro caso

x y yf x y

, calcule 2 2 1

4P X Y

1 y

2P XY

.

29. Se dice que (X,Y)~Beta bivariada si su función densidad conjunta es:

11 1 1 , 0 , 0 , 1,

0 , de otro modo

con , , 0

ca ba b c

x y x y x y x yf x y a b c

a b c

a. (Esta no es la única generalización del caso univariado). Halle las densidades

marginales de X e Y.

b. Obtenga y f x y E X Y y

30. Una máquina fabrica ejes de diámetro X y otra máquina fabrica orificios circulares

de diámetro interior Y. Suponga que la función densidad de X e Y es:

0.48,0.50 0.50,0.52, 2500f x y I x I y . Un orificio se adapta satisfactoriamente a

un eje si su diámetro excede al del eje en más de 0.006 pero no en más de 0.034.

¿Cuál es la probabilidad de que un orificio y un eje elegidos al azar se adapten

bien

31. Supóngase que X1 y X2 son v. as independientes y que Xi tiene distribución

exponencial con parámetro i (i=1,2). Hallar P(X1kX2), donde k0.

32. Si 0,1 0,1 0,1, , 2f x y z x y z I x I y I z , responda lo siguiente:




31

a. Halle la densidad de cada par de variables.

b. Obtenga la densidad de cada variable.

c. Determine la relación de dependencia entre las variables.

33. Sea la v.a.c tridimensional (X,Y,Z) con densidad conjunta:

0,1 0,1 0,1, , 8f x y z xyz I x I y I z . Calcule E(3X+2Y+6Z) y E(XY).

34. Suponga que X e Y son v.as tales que E (Y/X) = 7-0.25X y E (X/Y) = 10-Y.

Hallar (X,Y).

35. Si la v.a ,X Y tiene distribución normal bivariada con parámetros

2 2 43, 1, 16, 25 y

5X Y X Y , calcule lo siguiente 3 8P Y

, 3 8 7P Y X , 1.5 1.5 y 1.5 2X XP X P X Y .

36. Si la v.a ,X Y tiene distribución normal bivariada con

4 3, 316

yE Y X x x E X Y y , obtenga los valores numéricos de

, , y XX Y

Y

.

37. Suponga que (X,Y) tiene probabilidad 1

3distribuida uniformemente sobre

2

0,1,2 y probabilidad2

3uniformemente distribuida sobre

20,2 . Calcule P(Y>X).

38. Si 41

3, 6 1 , 0,1,2,3 y 0,1

kkf k p p p k pk

.

a. ¿Es f una densidad mixta conjunta?

b. Calcule 1

2,2

P k p

.

c. Halle la densidad marginal de k y de p.

d. Son independientes k y p.

39. Si p tiene densidad 0,16 1g p p p I p . Una moneda con probabilidad de

cara igual a p se lanza 3 veces y k es el número de caras que aparecen.

a. Si k y p son independientes halle la densidad conjunta de (k,p).

b. Obtenga la densidad marginal de k.

c. Determine la densidad de p dado k para 0,1,2,3y .




32

40. Suponga que X se distribuye uniformemente sobre 1,2,3 y dado X=x, Y se

distribuye uniformemente sobre el intervalo 0, x .

a. Halle ,f x y .

b. Determine la densidad marginal de y

c. Obtenga la densidad condicional de X dado Y=y para 0,3y

7. variables aleatorias distribuidas en forma conjunta

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