El estudio de las propiedades de las derivadas y sus aplicaciones será el hilo conductor de la unidad. Los alumnos apren-derán las propiedades de la derivada, y cómo estas pueden ser usadas para la representación de funciones, el cálculo de límites o la resolución de problemas, entre los que hay que destacar los problemas de optimización.

Al inicio de esta unidad se trabajan las relaciones entre las dos primeras derivadas de una función y la propia función a estu-dio, esto es: monotonía, curvatura y puntos críticos, incluyendo extremos relativos y puntos de inflexión.

Se continúa con la profundización de las propiedades de la derivación, que nos sirve para terminar de fundamentar la regla de L´Hôpital, un resultado de gran utilidad en el cálculo de límites.

La utilidad de este conjunto de herramientas se pone de manifiesto en la parte final de la unidad, con la representación de funciones, dónde entran en juego todos los resultados previos, y la resolución de problemas de optimización, donde se evi-dencia el vínculo de estas herramientas con la resolución de problemas reales.

La metodología se ha diseñado incluyendo actividades de aprendizaje integradas que permitirán al alumnado avanzar hacia los resultados de aprendizaje de más de una competencia al mismo tiempo.

Se desarrolla la competencia matemática y competencias básicas en ciencia y tecnología a lo largo de toda la unidad. A través del estudio de las derivadas y sus propiedades, se desarrolla en el alumno la capacidad de aplicar el razonamiento lógico-matemático y sus herramientas para describir e interpretar distintas situaciones, así como un mayor conocimiento de la naturaleza de las funciones. Por otra parte se estimula la relación entre el razonamiento lógico y deductivo y la resolución de problemas reales y cotidianos.

La competencia digital se integra a lo largo de la unidad haciendo partícipes a los alumnos de las ventajas que tiene recurrir a los medios informáticos.

Especial interés tienen las actividades propuestas con herramientas tecnológicas a lo largo de los epígrafes, así como las actividades interactivas del test de autoevaluación que se encuentra al final de la unidad.

A través de la incorporación del lenguaje matemático a la expresión habitual de los alumnos, se fomenta la competencia en

comunicación lingüística. En esta unidad se presentan numerosos conceptos matemáticos que los alumnos han de utilizar correctamente a la hora de resolver actividades y problemas.

La competencia aprender a aprender se fomenta a través de la autonomía de los alumnos a la hora de resolver problemas. Es fundamental que el profesor incida en las destrezas necesarias para comunicar con eficacia los resultados de la resolución de cualquier actividad, reto o problema.

Las competencias sociales y cívicas se desarrollan en esta unidad a través de la toma de conciencia de cómo pueden apli-carse los conocimientos matemáticos para resolver problemas de optimización de recursos. Un manejo eficiente de estos es fundamental para el crecimiento y desarrollo de las sociedades así como de las ciudades, sus infraestructuras y otras organizaciones.

Temporalización

El tiempo previsto para el desarrollo de la unidad es de tres semanas, aunque deberá adaptarse a las necesidades de los alumnos.

Objetivos

Los objetivos que los alumnos tienen que alcanzar son:

❚ Aplicar la regla de L´Hôpital para resolver indeterminaciones en el cálculo de límites.

❚ Representar funciones a partir de la información obtenida de sus derivadas y sus límites.

❚ Plantear problemas de optimización relacionados con la geometría o las ciencias experimentales y sociales, resolverlos e interpretar el resultado obtenido dentro del contexto.

APLICACIONES DE LA DERIVADA7

1037. Aplicaciones de la derivada

P R O G R A M A C I Ó N D E L A U N I D A D

Contenidos Criterios de evaluación Estándares de aprendizaje evaluables Competencias clave

Monotonía y derivada de una

función

Crecimiento y decrecimiento en un

intervalo. Extremos locales

Determinación de extremos

absolutos en un intervalo cerrado

Extremos locales utilizando la

segunda derivada

Curvatura de una función

Puntos de inflexión

1. Interpretar las características de las funciones

en relación a la información que ofrecen las dos

primeras derivadas.

1.1. Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento

y los extremos locales de una función. También calcula los

extremos absolutos en intervalos cerrados.

1.2. Reconoce la curvatura de las funciones así como sus

puntos de inflexión.

1.3. Realiza investigaciones utilizando programas

informáticos específicos para seleccionar y estudiar

situaciones nuevas del estudio de funciones.

CMCT

CD

CL

CAA

CSC

Regla de L´Hôpital 2. Resolver indeterminaciones de tipo cociente

en el cálculo de límites aplicando la regla de

L´Hôpital.

2.1. Aplica la regla de L´Hôpital para resolver

indeterminaciones en el cálculo de límites.

2.2. Realiza investigaciones utilizando programas

informáticos específicos para seleccionar y estudiar

situaciones nuevas del cálculo de límites.

CMCT

CD

CL

CAA

Representación gráfica de

funciones

3. Representar la gráfica de una función en base

a su monotonía, curvatura, extremos relativos,

puntos de inflexión, asíntotas, dominio y signo.

3.1. Representa funciones gráficamente utilizando la

información que se desprende de sus derivadas y sus límites.

CMCT

CL

CAA

Optimización 4. Aplicar el cálculo de derivadas al estudio de

fenómenos naturales, sociales o tecnológicos y de

optimización.

4.1. Plantea problemas de optimización relacionados con

la geometría o con las ciencias experimentales y sociales,

los resuelve e interpreta el resultado obtenido dentro del

contexto.

4.2. Realiza investigaciones utilizando programas

informáticos específicos para seleccionar y estudiar

situaciones nuevas del cálculo de límites.

CMCT

CD

CL

CAA

CSC

Atención a la diversidad

Con el fin de atender los distintos ritmos de aprendizaje de los alumnos, se proponen algunas actividades de refuerzo y de ampliación que podrán utilizarse como alternativa o complemento a las que figuran en el libro del alumno.

104 Análisis

MAPA DE CONTENIDOS DE LA UNIDADPARA EL PROFESOR PARA EL ALUMNO

Actividades de refuerzoActividades de ampliación

Prueba de evaluación

Presentación de la unidad Repasa lo que sabes

4. Representación gráfica de funciones

EJERCICIOS Y PROBLEMAS

EVALUACIÓNActividades interactivas. Test de autoevaluación

2. Curvatura de una función• Puntos de inflexión

Vídeo. Curvatura

1. Monotonía y derivada de una función• Crecimiento y decrecimiento en un intervalo.

Extremos locales• Determinación de extremos absolutos en un

intervalo cerrado• Extremos locales utilizando la segunda

derivada

Vídeo. Monotonía

3. Regla de L´Hôpital

Vídeo. Regla de L´Hôpital

5. Optimización

Vídeo. Determinar una funciónVídeo. Optimización

EJERCICIOS RESUELTOS

1057. Aplicaciones de la derivada

106 Análisis

Repasa lo que sabes (página 169)

1. Estudia el crecimiento y decrecimiento de la función: f(x) � �x2

x

�

3

1�

Determina sus máximos y mínimos, si los tiene.

Comenzamos calculando la función derivada: f’(x) ��3x2(x2

(

�

x2 �

1)

1

�

)2

x3(2x)���

(

x

x

4

2

�

�

3

1

x

)

2

2�

Se observa que el denominador es siempre positivo, pues está elevado al cuadrado, y que no se anula, pues x2 � 1 � 0, ∀ x � �. Porlo tanto el signo vendrá determinado por el numerador x4 � 3x2 � x2(x2 � 3). Este polinomio es siempre mayor que cero y solo se anu-la en x � 0, siendo esta una raíz doble. Por lo tanto la función es siempre creciente y en x � 0 tiene tangente con pendiente 0, queserá un punto de inflexión, ya que al no cambiar de signo no puede tratarse de un mínimo o un máximo. La función carece de extre-mos relativos (ni absolutos).

2. Estudia la monotonía de la siguiente función: f(x) � 3 � �5

x4�

Su función derivada es f’(x) � , cuyo dominio son todos los números reales salvo el 0, y que será positiva siempre que x � 0 y

negativa con x � 0, sin estar definida en x � 0. Luego la función es creciente para todo x � 0 y decreciente cuando x � 0. Al ser f(x)una función continua en todo �, esta tendrá un máximo en el punto (0, 3), pese a no existir la derivada ni, consecuentemente, la rec-ta tangente a la función en ese punto.

3. Estudia la concavidad y la convexidad de esta función: f(x) � �x2

x

�

3

1�

Determina sus puntos de inflexión, si los tiene.

Necesitamos la segunda derivada f’’(x) � , esto es: f’’(x) � ��

(x

22

x

�

3 �

1)

63

x�

Para estudiar su signo bastará conocer el del numerador, ya que el denominador es siempre positivo.

El numerador 2x3 � 6x � 2x � x2 � 3 se anula en x � 0 y en x � ��3�. Esto nos permite analizar el signo y por tanto su curvatura:

La función tendrá tres puntos de inflexión en los puntos en que se anula la segunda derivada.

4. Estudia la curvatura de la siguiente función: f(x) � 3 � �5

x4�

La segunda derivada es f’’(x) ��25�

45

x6��, con el mismo dominio que la primera derivada Dom f’’(x) � � � {0}, pero siendo positiva para

todo valor de x distinto de 0, pues x6 0 ∀ x � � siendo x6 � 0, ∀ x 0. Por lo tanto la función f(x) es cóncava en cualquier intervaloque no incluya el 0, esto es (�∞, 0) � (0, �∞) y cualquier subintervalo suyo.

5. Determina la monotonía y curvatura de esta función: f(x) � (�x2 � 1)ex

Tenemos que calcular las dos primeras derivadas:

� f’(x) � �ex(x � 1)2

� f’’(x) � �ex(x2 � 4x � 3) � �ex(x � 1)(x � 3)

El dominio tanto de f(x) como de sus dos primeras derivadas es toda la recta real, y además:

� f’(x) � �ex(x � 1)2 � 0, ∀ x �1

� f’’(x) � 0 si x � (�3, �1) y f’’(x) � 0 si x � (�3, �1), con f’’(x) � 0 si x � �3, x � �1

Por lo tanto la función será monótonamente decreciente en todo punto, salvo en x � �1 donde la tangente es paralela al eje X. Encuanto a su curvatura la función será cóncava en (�3, �1) y convexa en el resto, incluyendo dos puntos de inflexión en x � �3 y x � �1, donde se anula la segunda derivada y se produce un cambio de curvatura.

(4x3 � 6x)(x2 � 1)2/ � (x4 � 3x2)2(x2 � 1)(2x)�����

(x2 � 1)4/ 3

�4�5�

5x�

��∞, ��3��Signo de f’’(x)

Curvatura de f(x)

�0, �3�� ��3�, ∞����3�, 0�

� � ��

Cóncava Cóncava Convexa Convexa

1077. Aplicaciones de la derivada

SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES DEL LIBRO DEL ALUMNO

Sugerencias didácticas. Recursos TIC

Monotonía (página 173)

En el vídeo se muestra la resolución del ejercicio resuelto de estapágina. Primero se halla la derivada de la función para estudiar susigno e indicar los intervalos de monotonía y los extremos relati-vos de f(x). Puede utilizarse para mostrar en la pizarra digital unejercicio de este tipo, indicando los pasos que deben realizarse, opara que los alumnos puedan repasar este procedimiento.

Curvatura (página 174)

En el vídeo puede verse la resolución, paso a paso, del ejercicioresuelto de esta página. Después de calcular la primera y la se-gunda derivada, se estudia el signo de esta para determinar losintervalos de concavidad y convexidad, determinando los puntosde inflexión. Puede utilizarse para mostrar en la pizarra digital unejercicio de este tipo o para que los alumnos puedan repasar elprocedimiento a realizar en estos casos.

Regla de L’Hôpital (página 177)

En el vídeo se puede ver la resolución del cuarto ejercicio resuel-to de la página. Se calcula el límite de la función hallando la ex-presión equivalente que permite aplicar la regla de L’Hôpital encada caso. Puede utilizarse para mostrar en la pizarra digital unejemplo completo de este tipo de límites o para que los alumnospuedan repasar la aplicación de esta regla.

Determinar una función (página 185)

En el vídeo se puede ver la resolución del ejercicio resuelto 2. Paradeterminar los coeficientes desconocidos de la función se indicacómo traducir la información del enunciado a la expresión alge-braica correspondiente. También se muestra la resolución del sis-tema de ecuaciones qu se obtiene. Puede utilizarse para mostraren la pizarra digital un ejercicio de este tipo o para que los alum-nos puedan repasar el procedimiento para resolverlo.

Optimización (página 187)

En el vídeo se muestra la resolución del ejercicio resuelto 6. Pararesolver el problema de optimización, se expresan algebraica-mente las relaciones entre los lados de los triángulos y se determi-na la función que permite hallar el área. Es conveniente hacer hin-capié en la importancia de expresar la solución del problemaajustada a la situación propuesta en su enunciado. Puede utilizar-se para mostrar en la pizarra digital un ejercicio de este tipo, indi-cando los pasos que deben realizarse, o para que los alumnospuedan repasar este procedimiento.

Actividades (páginas 172/184)

Clasifica los puntos que se indican en la gráfica de la

figura:

En x � c, x � d, x � e, hay puntos críticos. En x � c hay un míni-mo relativo y absoluto, pese a no existir recta tangente enese punto. En x � e hay un máximo relativo. En x � d hay unpunto de inflexión. En x � a hay un máximo absoluto.

O

Y

Xe bdca

1

Determina los extremos relativos y absolutos de

f(x) � x2 � �x� � 2 en el intervalo [�2, 1]. Representa esta

función en dicho intervalo.

Máximo absoluto en el punto (�2, 0) y mínimos absolutos en(�1/2, �9/4) y (1/2, �9/4). Máximo relativo en (0, �2) y míni-mos relativos en (�1/2, �9/4) y (1/2, �9/4).

Determina los extremos absolutos de las siguientes

funciones en los intervalos que se indican:

a) f(x) � �x2 � 1� en [0, 2]

b) f(x) � x2 � x en [0, 2]

c) f(x) � x2 � ex en [�1, 1]

d) f(x) � �x3 � 4x� en [0, 3]

a) En el punto de abscisa x � 2, la función tiene máximo absoluto, y en x � 1, mínimo absoluto.

b) En el punto de abscisa x � 2, la función tiene máximo absoluto, y en x � 1/2, mínimo absoluto.

c) En el punto de abscisa x � 1, la función tiene máximo absoluto, y en x � 0, mínimo absoluto.

d) En el punto de abscisa x � 3, la función tiene máximo absoluto, y en x � 0 y x � 2, mínimo absoluto.

Determina los intervalos de crecimiento y decreci-

miento las siguientes funciones y sus extremos relativos.

a) f(x) � �x2

x

�

3

1� d) f(x) � �

ln

x

x�

b) f(x) � x � ex2

e) f(x) � 3x � �3

x�

c) f(x) � �x

x

2

2

�

�

1

1�

a) f’(x) ��(

x

x

4

2

�

�

3

1

x

)

2

2�

Es estrictamente creciente en su dominio. No presenta extremos relativos.

b) f’(x) � ex2

(1 � 2x2)

Es estrictamente creciente en �. No tiene extremos relativos.

c) f’(x) ��(x2

�

�

4x

1)2�

En (�∞, �1) y (�1, 0) es estrictamente creciente. En (0, 1)y (1, �∞) es estrictamente decreciente. En x � 0 tiene unmáximo relativo.

d) f’(x) ��ln

ln

x2

�

x

1�

Es estrictamente decreciente en (0, 1) y (1, e). Es estricta-mente creciente en (e, �∞). En x � e, presenta un mínimolocal.

e) f’(x) � 3 � �3�

3

1

x2��

Es estrictamente creciente en ��∞, ��2

1

7�� y ��

2

1

7�, �∞�.

4

3

X

Y

O 1�1 2�2

�1

�2

2

108 Análisis

Es estrictamente decreciente en ���2

1

7�, �

2

1

7��. En x � ��

2

1

7�

presenta un máximo local y en x � �2

1

7� un mínimo local.

Determina los intervalos de concavidad y convexi-

dad de las siguientes funciones, indicando, si existen, los

puntos de inflexión.

a) f(x) � �b) f(x) � �

e

xx�

c) f(x) � x � ex2

d) f(x) � x � ex

e) f(x) ��x2 � 2

x

x � 1�

f) f(x) � �ln

x

x�

g) f(x) � x � �3

x2�

h) f(x) � �x2 �

1

1�

a) f’’(x) � �f es siempre cóncava. En x � 0 hay un punto anguloso. Noes un punto de inflexión.

b) f’’(x) ���2

e

�x

x�

f es convexa en (�∞, 2) y cóncava en (2, �∞). En x � 2 tiene un punto de inflexión.

c) f’’(x) � ex2

(4x3 � 6x)

f es convexa en (�∞, 0) y cóncava en (0, �∞). En x � 0 tiene un punto de inflexión.

d) f’’(x) � �ex

f es siempre convexa.

e) f’’(x) � �x

23�

f es convexa en (�∞, 0) y cóncava en (0, �∞). No existepunto de inflexión.

f) f’’(x) ��2 ln

x

x3

� 3�

f es convexa en (0, e3/2) y cóncava en (e3/2, �∞). En x � e3/2

tiene un punto de inflexión.

g) f’’(x) � �9x

2

�3

x��

f es siempre cóncava. En x � 0 hay un punto anguloso queno es de inflexión.

h) f’’(x) � �2

(

(

x

32

x

�

2 �

1)

13

)�

f es cóncava en (�∞, �1) � (1, �∞), y convexa en (�1, 1).No tiene puntos de inflexión.

Calcula los límites siguientes.

a) limx → 0

�ln (e

x

x � x)�

b) limx → �∞

�x

e

n

x�

c) limx → �∞ �x � ln �

x �

x

1��

6

2 si x � 02�x � 1 ln2 x si x � 0

x2 � 2 si x � 0

2�x � 1 si x � 0

5

d) limx → 1 ��ex �

1

e� � �

x �

1

1��

e) limx → �∞

�e2x �

x2

e�2x

�

a) limx → 0

�ln (e

x

x � x)�

�L‘H

�� lim

x → 0� �

2

1� � 2

b) limx → �∞

�e

xn

x�

�L‘H

�� lim

x → ∞�n

ex

!� � 0, aplicamos L’Hôpital n veces.

c) limx → �∞ �x � ln �

x �

x

1��� lim

x → ∞

�L‘H

�� lim

x → ∞�

� limx → ∞

�x

�

�

x

1� � �1

d) limx → 1 ��ex �

1

e� � �

x �

1

1��� lim

x → 1�(

x

x

�

�

1

1

�

)(e

ex

x

�

�

e

e

)�

�L‘H

��

� limx → 1

��

1

e

�

�

e

x

x

ex�� ∞

e) limx → �∞

�e2x �

x2

e�2x

�

�L‘H

�� lim

x → ∞�2(e2x

2

�

x

e�2x)�

�L‘H

�� lim

x → ∞�4(e2x �

2

e�2x)�� �∞

Encuentra dos números cuya suma sea 100 y cuyo

producto sea máximo.

x � y � 100 ⇒ x � 100 � y P � x � y ⇒ P(y) � 100y � y2

Se trata de una función de segundo grado, cuyo máximo seencuentra en y � 50.

Luego se trata de los números x � y � 50.

Se quiere construir un rectángulo con un alambre de

longitud, l. ¿Qué dimensiones ha de tener el rectángulo

para que su área sea máxima?

2h � 2b � l ⇒ h � �l �

2

2b�

A � h � b ⇒ A(b) � �lb �

2

2b2

�

Se trata de una función de segundo grado, cuyo máximo se

encuentra en: b � ��

�

l/

2

2� � �

4

l�

Luego b � h � �4

l�, es un cuadrado.

Entre todos los triángulos isósceles cuyo perímetro

es 36 cm, calcula el que tiene área máxima.

36 � 2a � b ⇒ a � 18 � �b

2�

A � b � ��4a

4

2 ��b2��⇒ A(b) � �324b2�� 18b�3�

El valor máximo de la función se alcanza en el mismo puntoque en el cuadrado de la función:

(A2(b))’ � �54b2 � 648b

(A2(b))’ � 0 si b � 0 y b � 12

(A2(12))’’ � �54 � 12 � 648 � 0

(A2(12))’’’ � �54, se trata de un máximo.

Para que tenga sentido, el triángulo debe ser equilátero, delado 12 cm.

Halla las dimensiones que debe tener una lata cilín-

drica de 333 cm3 de capacidad para que la cantidad de cha-

pa empleada en su construcción sea mínima.

10

9

8

7

�x(x

1

� 1)�

��1/x2

ln �x �

x

1�

�1/x

�e

e

x

x

�

�

1

x�

�1

1097. Aplicaciones de la derivada

333 � � r2 � h ⇒ h � �3

3

r

32�

A � 2 r2 � 2 rh → A(r) � 2 � �r2 � �3

3

r

3��

A’(r) � 2 � �2r � �3

3

r

32�� � 0 si 2 r3 � 333 ⇒ r � 3,76 cm

Comprobemos si es un mínimo:

A’’(r) � 2 � �2 � �6

6

r

63��, A’’(3,76) � 0

y entonces debe ser h � 7,51 cm, aproximadamente.

Halla un número positivo tal que sumado con su

inverso dé una suma mínima.

S(x) � x � �1

x� ⇒ S(x) � �

x2 �

x

1�

S’(x) ��2x2 �

x

(x2

2 � 1)�� �

x2

x

�2

1�

S’(x) � 0 si x � �1, como debe ser positivo, x � 1.

S’’(x) � �x

23�, S’’(1) � 2 � 0, luego si x � 1, la suma es mínima.

Cierta entidad financiera lanza al mercado un plan

de inversión cuya rentabilidad, R(x), en euros, está en fun-

ción de la cantidad, en euros, que se invierta, x. Dicha ren-

tabilidad se calcula por medio de la siguiente expresión:

R(x) � �6

�

00

1

0�x2 � �

1

2�x � 15

a) ¿Qué cantidad de dinero le conviene invertir a un cliente

en dicho plan?

b) ¿Qué rentabilidad obtendría?

a) La rentabilidad máxima se produce en:

x � � 1 500 €

b) R(1 500) � 390 €

Halla el área máxima que puede tener un triángulo

rectángulo inscrito en una semicircunferencia de radio R.

b2 � h2 � (2R)2 h � �4R2 � b�2�

A � �b

2

� h� ⇒ A(b) � �

b

2��4R2 � b�2� ��

4R2b

4

2 �b4

�El área máxima se producirá en el mismo punto en que seamáximo su cuadrado:

(A2(b))’ ��8R2b

4

� 4b3

�

(A2(b))’ � 0 si b � 0 y b � �2R2� � R�2�

(A2(b))’’ � �4R2 �

2

6b2

�� 0 si b � R�2�

Entonces (A2(b))’’ � 0, luego en b � R�2� el área presenta unmáximo.

Si b � R�2�, entonces: h � R�2�El área es R2 u2.

Entre todos los conos de generatriz 20 cm, averigua

el radio de la base y la altura del que tiene volumen máxi-

mo. (El volumen de un cono es un tercio del área de la base

por su altura.)

202 � r2 � h2 ⇒ r2 � 400 � h2

V � �1

3� r2h ⇒ V(h) � �

1

3� (400h � h3)

14

13

��

2

1�

�

�3

�

00

1

0�

12

11

V’(h) � �1

3� (400 � 3h2) ⇒ V’(h) � 0 si h � ��

�20

3�� � 11,547 u

La solución negativa no tiene sentido.

V’’���20

3��� � 0 en h � �

�20

3�� u , V toma su valor máximo.

Entonces: r � 400 ��40

3

0�� 20 �

2

3� u � 16,33 u

Averigua qué punto, P(x, 0), del semieje positivo de

abscisas hace mínima la suma de distancias a A(0, 3) y

B(1, 4).

d(x) � �x2 � (0�� 3)2� � �(x � 1�)2 � (0� � 4)2�� �x2 � 9� � �x2 � 2�x � 17�

d’(x) ��2�x

22

x

� 9����

2�x2

2

�

x �

2x�2

� 17��

d’(x) � 0 si x � �3

7�

Para averiguar si en x � �3

7� la distancia es mínima, tomamos

dos valores próximos, entre los que se encuentra este valor yobservamos el signo de la derivada:

d’(0,428) � 0 d’(0,429) � 0

Por lo que en x � �3

7� la distancia es mínima.

El perfil de un tramo de carretera correspondiente a

los últimos 2 km de una etapa de montaña de una vuelta

ciclista coincide con la gráfica de la siguiente función entre

los valores x � 0 y x � 2:

y � �1

5

00� (�x3 � 3x2 � x � 20)

La figura muestra la gráfica de esta función. Calcula en qué

punto de dicho tramo tiene la carretera mayor pendiente y

hallar el valor de esta.

m � y’(x) � �1

5

00� (�3x2 � 6x � 1)

m’(x) � �1

5

00� (�6x � 6) � 0 ⇒ x � 1

m’’(x) � �1

5

00� � (�6), m(1) � �

1

1

0

0

0� ⇒ 10 %

La pendiente máxima se produce en x � 1, porque m’’(1) � 0.

El precio de cada bloque de cierto material es pro-

porcional al cuadrado de su peso. Sabiendo que un bloque de

20 kg cuesta 3 €, responde a las siguientes cuestiones:

a) Si el bloque se rompe en dos trozos, uno de 5 kg y otro

de 15 kg, ¿cuál es ahora su precio?

b) ¿Para qué partición se produce la máxima pérdida de

valor?

17

�1 1 2 3 4 5

12345

�2�3�4�5

�3�5 X

Y

O

16

15

110 Análisis

a) Precio es proporcional al cuadrado del peso: P � k � p2

⇒ k � �4

3

00�

P � �4

3

00�(52 � 152) � 1,875 €

b) El precio para una partición cualquiera es:

P � �4

3

00�(x2 � (20 � x)2) y será mínimo si x � 10 kg.

Por tanto si se parte el bloque en dos trozos iguales, lapérdida de valor es máxima.

Ejercicios y problemas (páginas 188/192)

Monotonía y curvatura

Sea la función real de variable real definida por

f(x) � x3 � ax2 � bx � 1:

a) Determina a, b � � sabiendo que la gráfica de f(x) pasa

por el punto (2, 2) y tiene un punto de inflexión en el

punto de abscisa x � 0.

b) Calcula las ecuaciones de las rectas tangente y normal a

la gráfica de f(x) en el punto de inflexión.

a) 2 � 8 � 4a � 2b � 1

f’(x) � 3x2 � 2ax � b

f’’(x) � 6x � 2a

f’’(0) � 0 ⇒ 0 � 2a ⇒ a � 0 y b � �7/2

b) f(0) � 1

f’(0) � �7/2

La recta tangente tiene por ecuación:

y � 1 � �7/2x ⇒ y � �7/2x � 1

Y la recta normal es: y � 1 � �2

7�x ⇒ y � �

2

7�x � 1

Determina:

a) Los valores de a y b para que la función f(x) � x3 � ax2 � btenga un extremo relativo en el punto (�2, 3).

b) La ecuación de la recta tangente a y � x3 � 4x � 2 en su

punto de inflexión.

a) f’(x) � 3x2 � 2ax ⇒ 0 � 3 � (�2)2 � 4a ⇒ a � 3⇒ 3 � (�2)3 � 3 � (�2)2 � b ⇒ b � �1

b) En el punto de inflexión f’’(x) � 0 ⇒ 6x � 0 ⇒ x � 0.

El punto de inflexión es (0, 2). La pendiente de la recta tangente en (0, 2) es: f’(x) � 3x2 � 4 ⇒ f’(0) � �4. El puntode tangencia es (0, 2). La recta tangente es de la forma y � mx � n, 2 � �4 � 0 � n ⇒ n � 2 ⇒ y � �4x � 2.

De la función f: (0, �∞) → � definida por

f(x) ��ax2

x

� b� se sabe que la recta tangente a su gráfica en

el punto de abscisa x � 1 viene dada por y � �2:

a) Calcula a y b.

b) Averigua los intervalos de crecimiento y decrecimiento.

a) f’(x) ��ax2

x

�2

b�

f(1) � �2 ⇒ �2 � a � b

f’(1) � 0 ⇒ 0 � a � b

Resolviendo el sistema: a � b � �1

b) Dom f � (0, �∞)

f’(x) � ��x2

x2

� 1�

3

2

1

f’(x) � 0 si x � 1

En (0, 1) f’(x) � 0, por lo que f(x) es creciente.

En (1, �∞) f’(x) � 0, por lo que f(x) es decreciente.

En x � 1 hay un máximo relativo, f(1) � �2.

Sea f: � → � la función f(x) � (x � 1)2 e�x. Calcula, si

existen, sus extremos relativos y sus extremos absolutos.

f’(x) � (�x2 � 4x � 3) e�x

f’(x) � 0 si x � 1 y x � 3

f’’(x) � (x2 � 6x � 7) e�x

f’’(1) � 0 ⇒ en x � 1 hay un mínimo relativo, f(1) � 0.

f’’(3) � 0 ⇒ en x � 1 hay un máximo relativo, f(3) � 4e�3.

Para determinar los extremos absolutos de la función, en primer lugar f(x) 0 para todo x � �, y lim

x → �∞f(x) � �∞ y

limx → �∞

f(x) � 0.

Por tanto, la función no tiene máximo absoluto y tiene míni-mo absoluto en x � 1, f(1) � 0.

Considera f(x) la función definida para x 2 por

f(x) ��x2 �

x �

4x

2

� 3�

a) Calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento

de f(x).

b) Determina, si existen, el máximo y el mínimo absolutos

de f(x) en el intervalo [0, 2).

a) Dom f � � � {2}

f’(x) ��x2

(

�

x �

4x

2

�

)2

5�

f’(x) � 0 en Dom f,por tanto es estrictamente creciente ensu dominio.

b) Si es estrictamente creciente y no está definida en x � 2,en este intervalo no tiene máximo absoluto, y su mínimo

absoluto está en x � 0: f(0) � ��3

2�

Dada f: [0, 4] → � se sabe que f(1) � 3, la gráfica de

su derivada es la siguiente:

a) Halla la recta tangente a la gráfica de f(x) en x � 1.

b) Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento

de f(x). ¿En qué punto alcanza f(x) su máximo absoluto?

a) La recta tangente en x � a viene dada por: y � f(a) �� f’(a) (x � a), en nuestro caso a � 1, f(1) � 3 y f’(1) � 1 co-mo se observa en la gráfica. Por lo tanto la recta buscadaes: y � 3 � 1(x � 1) ⇒ y � x � 2

b) f’(x) � 0 en (0, 3) � (3, 4), por lo que es creciente en esteintervalo. El máximo absoluto esta en x � 4.

Aplicación de la regla de L’Hôpital

Calcula los siguientes límites.

a) limx → 0 ��

1

x� � �

ex �

1

1�� d) lim

x → 0(x � ln x)

7

X

Y

O 1

1

2 3 4

f’

6

5

4

1117. Aplicaciones de la derivada

b) limx → e

�1

(x

�

�

ln

e)

x

2

� e) limx → �∞

�(ln

x

x)2

�

c) limx → 1

�1

ln

�

x

x�

a) limx → 0 ��

1

x� � �

ex �

1

1���(∞ � ∞) � lim

x → 0�e

x

x

(

�

e x

1

�

�

1)

x��

� ��0

0��

�L‘H

�� lim

x → 0�ex �

ex

1

�

�

1

xex�� ��0

0���

�L‘H

�� lim

x → 0�ex � e

ex

x

� xex�� limx → 0

�2 �

1

x� � �

1

2�

b) limx → e

�1

(x

�

�

ln

e)

x

2

����0

0���L‘H

�� lim

x → e�2(

�

x

1

�

�x

e)�� lim

x → e�2x(x�e)�0

c) limx → 1

�1

ln

�

x

x� � ��

0

0��

�L‘H

�� lim

x → 1��

1/

1

x� � lim

x → 1(�x)��1

d) limx → 0

(x � ln x) �0 � (�∞)� limx → 0

�l

1

n

/x

x� �

� ��∞∞

���L‘H

�� lim

x → 0��

1

1

/

/

x

x 2�� limx → 0

(�x) � 0

e) limx → �∞

�(ln

x

x)2

� ���∞∞

���L‘H

�� lim

x → �∞�2ln x

1

� (1/x)�� lim

x → �∞ �2 �ln

x

x�� �

� ��∞∞

���L‘H

�� lim

x → �∞�2

1

/x� �0

Calcula los siguientes límites.

a) limx → �∞

�ln

ex

x� b) lim

x → 1�x2 �

ln

2x

x

� 3�

a) limx → �∞

�ln

e x

x� ���

∞∞

���L‘H

�� lim

x → �∞�1

e

/

x

x� � lim

x → �∞x ex � �∞

b) limx → 1

�x 2 �

ln

2x

x

� 3�� ��

0

0��

�L‘H

�� lim

x → 1�2x

1

�

/x

2�� �

1

4�

Resuelve los siguientes límites.

a) limx → �∞

x(e1/x � 1) b) limx → 0

�ln

ex

(

�

1 �

e�

xx

)�

a) limx → �∞

x (e 1/x � 1) � (∞ � 0) � limx → �∞

�e 1

1

/x

/

�

x

1� � ��

0

0�� �

�L‘H

�� lim

x → �∞� lim

x → �∞e 1/x � e 0 � 1

b) limx → 0

�ln

e x

(

�

1�

e�

xx

)�� ��

0

0��

�L‘H

�� lim

x → 0�1

e

/x

(1

�

�

e�

xx

)�� �

1

2�

Resuelve los siguientes límites.

a) limx → �∞

(x2)1/x b) limx → 0�

x1/ln x

a) L � limx → �∞

(x 2)1/x � (�∞)0

10

� �x

12� e 1/x

�

� �x

12�

9

8

ln L � limx → �∞

�x

1� � 2 ln x � ��

∞∞

���L‘H

�� lim

x → �∞�2

1

/x� � 0 ⇒ L � 1

b) L � limx → 0�

x1/ln x � 00

ln L � limx → 0�

�ln

1

x� � ln x � 1 ⇒ L � e

Optimización

Halla dos números tales que el doble del primero

más el triple del segundo sea 24 y que su producto sea má-

ximo.

Sean los números x e y, y su producto P � x � y.

Como 2x � 3y � 24, tenemos que: x ��24 �

2

3y�

Sustituyendo:

P ��(24 �

2

3y)y���

24y �

2

3y 2

�

P tiene su valor máximo en y � 4, por lo que x � 6.

Entre todos los rectángulos de perímetro 36 u, halla

el que tiene área máxima.

A � b � h

Como 36 � 2b � 2h ⇒ 18 � b � h ⇒ b � 18 � h

A � 18h � h2 ⇒ A’ � 18 � 2h

Si h � 9, entonces A’ � 0.

Como A’’ � 0 siempre, la función área tiene un máximo enh � 9.

Por tanto, el rectángulo de mayor área es el cuadrado de lado 9.

Entre todos los triángulos rectángulos de área 1 u2,

averigua las dimensiones del que tiene hipotenusa mínima.

h � �b�2 �� c�2�Como A � 1 � �

b

2

� c� ⇒ c � �

b

2�

h �b2 � �b

42� � �b

4

b

�24�

El radicando debe ser mínimo, por lo que debemos hallar elmínimo de la función h 2. En (0, �∞) la función es continua ytiende a �∞ en los extremos, por lo que su mínimo absolutocorresponderá a un mínimo relativo:

(h2)’ � �2b4

b

�3

8� ; si b � �2�, entonces (h2)’ � 0.

Para comprobar que es un mínimo no hace falta calcular laderivada segunda: es suficiente observar el signo de la deri-vada primera para b � 1 y para b � 1,5, y se deduce que es unmínimo.

Por tanto, el triángulo rectángulo de hipotenusa mínima conárea 1 es el triángulo isósceles cuyos catetos son iguales a�2� y cuya hipotenusa es 2.

De todos los triángulos rectángulos de hipotenusa

10 cm, halla la longitud de los catetos del que tiene perí-

metro máximo. Haz la comprobación de la solución

obtenida corresponde realmente a un perímetro máximo.

Si llamamos x e y a las longitudes de los catetos, podemos

escribir y � �100 �� x2�.

El perímetro del triángulo es:

P � 10 � x � �100 �� x2�Derivamos e igualamos a cero:

P’ � 1 � ��100

x

�� x2�� � 0 ⇒ x � �5�2�

14

13

12

11

112 Análisis

El resultado negativo carece de sentido en este problema.

Si x � 5�2�, entonces: y � �5�2�Para realizar la comprobación calculamos la derivada segunda:

P’’(x) � �(10

�

0 �

10

x

02)3/2� ⇒ P’’ (5�2�) � �

(10

�

0�

10

5

0

0)3/2�� 0

Dado que la segunda derivada es negativa x � 5�2�, y � 5�2�,

corresponde a un máximo.

Determina la mayor área que puede encerrar un

triángulo rectángulo cuyo lado mayor mida 1 metro.

A � ba/2

Por el teorema de Pitágoras: 1 � b2 � a2, a2 � 1 � b2, dondea y b son los catetos.

A � �b�1

2

� b2��

A’ � ��1

2

� b2�� � �

�1 �

b2

b2� 2�

Si A’ � 0 entonces: b � a � �2�/2 u y A � 1/4 u2

Calcula la base del triángulo isósceles de perímetro 8 u

y área máxima.

Perímetro: 2a � b � 8 ⇒ b � 8 � 2a

Para calcular la altura del triángulo:

a2 � ��b

2��2

� h2 ⇒ h � ��4a

2

2 ��b2��

A � �b�4a

4

2 ��b2��, como b � 8 � 2a, A � (8 � 2a)�2a � 4�

Derivamos: A’ � �2�2a � 4� � ��

8

2

�

a �

2a

4��

A’ � 0 si a � b � 8/3. El triángulo es equilátero de lado 8/3 u.

Se quiere construir una piscina de tal forma que la

planta esté formada por un rectángulo y por un semicírcu-

lo que tenga como diámetro uno de los lados del rectángu-

lo. De entre todas las piscinas de esta forma con una super-

ficie de 50 m2, ¿cuál es la de perímetro mínimo? ¿Hay

alguna de perímetro máximo?

Observa el dibujo:

S � x � y � � 50 ⇒ x ��400

8

�

y

y 2

�

El perímetro es: P � 2x � y � �2

y�

Se sustituye x y se obtiene:

P(y) � �10

y

0� � y �1 � �

4��

Esta función está definida para todo valor de y positivo yno nulo.

En los extremos del intervalo (0, �∞) la función crece inde-finidamente y no se anula nunca, por lo que debe tener unmínimo absoluto que corresponderá con un punto de tan-gente horizontal.

��2

y��

2

�2

x

y y/2

17

16

15

P’(y) � ��

y

12

00� � 1 � �

4� ⇒ P ’ (y) � 0 si y ��

�4�2

��0

��

Como P’’(y) � �2

y

03

0� y P ’’���4�

2

��0

���� 0, la función perímetro

tiene un mínimo en y ���4�

2

��0

�� � 7,49 m

La función no tiene máximo.

Considera un prisma recto de base rectangular, con

dos de los lados de este rectángulo de longitud doble que

los otros dos. Encuentra las dimensiones que ha de tener

este prisma para que su área total sea de 12 m2, y su volu-

men, máximo.

Supongamos un prisma, de base rectangular, cuyos ladossean x y 2x, y su altura, h.

Su volumen es: V � x � 2x � h � 2x 2h

Su área total será A � 4x 2 � 2xh � 4xh � 4x 2 � 6xh � 12

Con esto: h ��6 �

3x

2x 2

�

Por tanto:

V � 2x 2h ��2x 2(6

3

�

x

2x 2)���

12x �

3

4x 3

�

El dominio de esta función es (0, �3�).

V ’ � �12 �

3

12x 2

� ⇒ en x � 1 hay un extremo relativo.

Este extremo debe ser absoluto, puesto que en los extremosdel dominio de V la función tiende a cero, y es continua. Ade-más, forzosamente debe ser un máximo. En efecto:

V ’’ � �8x ⇒ V ’’ (1) � 0, el volumen es máximo en x � 1.

Las dimensiones del prisma son: base rectangular de 1 m � 2 my altura de 4/3 m.

Un almacén tiene forma de prisma recto de base

cuadrada y volumen 768 m3. Se sabe que la pérdida de ca-

lor por las paredes es de 100 u/m2, mientras que por el te-

cho es de 300 u/m2. La pérdida por el suelo es muy peque-

ña y se puede considerar despreciable. Calcula las

dimensiones del almacén para que la pérdida total de calor

sea mínima.

Pérdida de calor � 400xy � 300x2

Teniendo en cuenta que y � �7

x

62

8�

P(x) � �307

x

200� � 300x2

Derivando e igualando a cero, se obtiene:

P’(x) � ��307

x2

200� � 600x � 0 ⇒ x � 8

Para comprobar que se trata de un mínimo:

P’’(x) � �2 � 30

x3

7 200� � 600 ⇒ P’’(8) � 0

Por tanto la solución es x � 8 m y y � 12 m.

Tenemos que hacer dos chapas cuadradas de distin-

tos materiales. Los dos materiales tienen precios de 2 € y

3 € por centímetro cuadrado, respectivamente. Cómo he-

20

19

2x

xh

18

1137. Aplicaciones de la derivada

Por lo tanto, si queremos el área máxima con un perímetro de100 m, solo debemos construir un círculo de 15,91 m de radio.

Calcula el área máxima que puede tener un sector

circular de 8 metros de perímetro.

El perímetro del sector circular es P � 2r � r �, siendo � el án-gulo del sector, en radianes, y r, el radio.

Como P � 8 ⇒ � � �2 � �8

r�

Dado que el área es A � ��

2

r 2

� , sustituimos �, de modo queobtenemos:

A(r) � �r 2 � 4r

Esta función es polinómica de grado 2, y presenta su valor

máximo en r � ��

�

4

2� � 2.

Entonces, � � 2 radianes y A � 4 m2.

Calcula las dimensiones de tres campos cuadrados,

de modo que el perímetro de uno de ellos sea el triple del

perímetro del otro, se necesiten exactamente 1 248 m de

valla para vallar los tres campos y la suma de las áreas de

los tres campos sea la mínima posible.

Sean x, y, z las longitudes de los lados de los tres campos, res-pectivamente. De las condiciones del enunciado obtenemos:

x � 3y 1 248 � 4(x � y � z)

La función que ha de ser mínima es:

A � x 2 � y 2 � z 2

En función de y, tenemos que:

A(y) � 10y 2 � (312 � 4y) 2 � 26y 2 � 2 496y � 97 344

El mínimo absoluto de esta función se encuentra en y � 48,por lo que las dimensiones de los tres campos son, 144, 48 y120 metros, respectivamente.

Considera un depósito constituido por una semies-

fera, de radio r, a la que se ha añadido un cilindro circular

del mismo radio y de altura h. Calcular r y h de manera

que el área total de las paredes y de la tapa sea de 5 m2 y

tenga volumen máximo. La tapa es un disco, de radio r,que se coloca sobre el cilindro.

El área total es la suma de las áreas de la semiesfera y de latapa:

AT � 2 rh � 2 r 2 � r 2 � 5 ⇒ h ��5 �

2

3

r

r 2

�

V � r 2h � �2

3

r 3

�

Si se sustituye h, se tiene: V(r) � �5

2

r� � �

5

6

r 3

�

Esta función, para valores positivos de r, es positiva (el volu-

men debe ser positivo) en el intervalo �0, �

3�� ; por tanto, el

máximo absoluto en este intervalo es relativo.

V ’ (r) � �5

2� (1 � r 2)

Si V ’ (r) � 0, entonces: r � ��

1

�� m

Como V’’(r) � �5

2� (�2 r ) � 0 para cualquier valor de r positivo,

en r � ��

1

�� m la función V’(r) presenta su valor máximo, por

lo que las dimensiones del depósito propuesto deben ser:

r � ��

1

�� m y h � �

�1

�� m

25

24

23

rr ��

�

mos de elegir los lados de los cuadrados si queremos que el

coste total sea mínimo y si además nos piden que la suma de

los perímetros de los cuadrados ha de ser de un metro.

La función a minimizar es P � 2x2 � 3y2.

Además 4x � 4y � 100 ⇒ x � y � 25

P(x) � 2x2 � 3(25�x)2 ⇒ P’(x) � 4x � 150 � 6x � 0 ⇒⇒ x � 15 cm. Así, y � 10 cm.

Para comprobar que, efectivamente, es un mínimo:

B’’(x) � 10 � 0, por tanto la solución obtenida corresponde aun mínimo.

¿Cuál es el perímetro mínimo que puede tener un

sector circular de 25 m2 de área?

Supongamos un sector circular que abarca un ángulo �,dado en radianes. Su perímetro es:

Psector circular � 2r � 2 r � �2

�

� � r � (2 � �)

El área del sector circular es:

Asector circular � r 2 � �2

�

� � �

r

2

2��

Como A � 25, tenemos que � � �5

r

02�, por lo que la función perí-

metro que hay que maximizar es:

P � r � (2 � �) � r � �2 � �5

r

02��� 2r � �

5

r

0�

P’ � 2 � �5

r

02� ⇒ P’ � 0, si r � �5

Pero la longitud del radio debe ser positiva.

Como P ’’ � �1

r

03

0� ⇒ P’’(5) � 0, es decir, en r � 5 la función pe-

rímetro tiene un mínimo relativo que es también absoluto,puesto que en (0, �∞) la función es continua y tiende a �∞en los extremos. No tiene máximo absoluto. Cuanto más aumente o más disminuya el radio, mayor es el perímetro. Es

mínimo en r � 5, y su perímetro es: P � 2 � 5 � �5

5

0� � 20 m

En un jardín diseñamos dos parterres, uno circular y

el otro cuadrado. Para construirlos disponemos de una cuer-

da de 100 m. Averigua el perímetro de cada uno de ellos, si

queremos que la suma de las áreas sea máxima.

A � l 2 � r 2

P � 100 � 4l � 2 r ⇒ r ��50

� 2l�

A � l 2 ��(50 �

2l)2

��

Esta función no tiene máximo; tiene un mínimo, puestoque es polinómica de grado 2 y el coeficiente del términode segundo grado es positivo.

En l � �

1

�

00

4� � 14 m, la función área tiene un mínimo.

Si l � 0, el área, que son 795,77 m2, corresponde a un círculode radio 15,91 m.

Si l � 25 m, el área, que son 625 m2, corresponde a un cua-drado de 25 m de lado.

( � 4)l 2 � 200l � 2 500���

r

l

22

21

114 Análisis

Suponiendo un pueblo situado en el punto A(0, 4)

de un sistema de referencia cartesiano, el tramo del río

próximo al pueblo describe la curva y � x2/4, �3 � x � 3, tal

como se muestra en la figura. Considerando este tramo,

averigua qué punto del río está más lejos del pueblo y si

hay algún punto a una distancia inferior a 2.

El punto es A(0, 4) y un punto cualquiera de la curva es (x, x 2/4). La distancia entre dos puntos del plano es igual almódulo del vector que los une:

d(x) �(x � 0)2 � ��x

4

2

�� 4�2��1

x

6

4

� � x2 � 16Para encontrar el máximo de d(x), buscamos el máximo de d 2(x).Para ello, determinamos los extremos de la función d 2(x), quees polinómica y, por tanto, continua y derivable en (�3, 3), apartir de los ceros de su derivada:

(d 2 (x))’ � �1

4�x 3 �2x

(d 2(x))’ � 0 si x � 0, x � 2�2� y x ��2 �2�Para calcular el máximo absoluto de la función d 2(x) en elintervalo cerrado [�3, 3], calculamos d 2(0), d 2(2�2�),d 2(�2�2�) y el valor de la función en los extremos del inter-valo, es decir, d 2(�3) y d 2(3):

d 2(0) � 16, d 2(2�2�) � d 2(�2�2�) �12 d 2(�3) � d 2(3) �12,0625

Por tanto, en el tramo considerado, el punto del río que seencuentra a una distancia máxima del pueblo es el (0, 0). Apartir de los cálculos efectuados, los puntos a distancia míni-ma del pueblo en ese tramo del río están a �1�2� � 3,464, lue-go no hay ningún punto del río en ese tramo a una distanciainferior a 2.

De entre todos los segmentos que determinan los ejes

positivos de coordenadas y que pasan por el punto (8, 1),

averigua la ecuación de la recta que contiene al de longitud

mínima.

Observa la siguiente figura:

Si los puntos de intersección con los ejes de la recta que pasapor (8, 1) son (x, 0) y (0, y), la longitud mínima corresponde almínimo de la función:

d � �x�2 �� y�2�Para cualquier recta que pase por (8, 1) se debe cumplir que:

�x �

1

8� � �

y

x� , por lo que y � �

x �

x

8�

O

Y

X

(x, 0)(8, 1)

(0, y)

x�8

d

1

27

X

1 2 3 4 5�1�2�3�4�5

1234Y

O 6 7 8�6�7�8

A

26 Se sustituye en d:

d �x 2 ���x �

x 8��

2

Si esta función debe ser mínima, también debe serlo:

d 2 � x 2 � ��x �

x

8��

2

Los valores para los que esta función tiene sentido son(8, �∞). Como es continua y en los extremos tiende a �∞, sumínimo absoluto coincide con un mínimo relativo.

(d 2)’ � 2x ��(x

1

�

6x

8)3�

Esta función se anula en x � 0 y x � 10. El primer valor no tiene sentido.

Comprobamos que en x � 10 la función posee un mínimo:

(d 2)’’ � 2 ��3

(

2

x

(

�

4�

8)

x4

)� ⇒ (d 2)’’(10) � 0

por lo que, efectivamente, para x � 10, la longitud es mínima.

Si x � 10, la pendiente de la recta es � �1

2�, por lo que la ecua-

ción pedida es:

y � ��

2

x� � 5

Calcula el punto P de la curva y � �x3 � 3x en el que

es máxima la pendiente de la recta tangente a la curva.

y � �x 3 � 3x ⇒ y ’ � m(x) � �3x 2 � 3

Como se observa, la función pendiente es polinómica de se-gundo grado y presenta un máximo absoluto en x � 0.

La curva tiene una recta tangente de pendiente máxima en elpunto (0, 0).

Se consideran todos los rectángulos que tienen un

lado sobre el eje positivo de las X, otro sobre el eje positivo

de las Y y un vértice sobre la gráfica de la función

y � e�2x. Calcula el área del que la tenga máxima. ¿Hay al-

guno de área mínima? Razona la respuesta.

A � b � h; b � x y h � e�2x, por lo que: A � xe�2x

La función área tiene sentido en (0, �∞), y en los extremos deeste dominio, la función tiende a cero, por lo que el máximovalor que tome corresponderá a un máximo relativo.

A’(x) � e�2x (1 � 2x) ⇒ A’(x) � 0 si x � 1/2

A’’(x) � �4e�2x (1 � x) ⇒ A’’(1/2) � 0, por tanto, la funciónárea presenta su valor máximo en x � 1/2.

No hay ningún rectángulo de área mínima.

Un triángulo isósceles tiene el lado desigual de 10 m

y la altura relativa a ese lado de 6 m. Encuentra un punto

sobre la altura tal que la suma de las distancias de dicho

punto a los tres vértices sea mínima.

30

O

Y

X1

1

e�2x

x

(x, e�2x)

29

28

1157. Aplicaciones de la derivada

Supongamos el triángulo situado en un sistema de referenciacartesiano con los vértices en los puntos (�5, 0), (5, 0) y (0, 6).El punto situado en la altura relativa al lado desigual tienepor coordenadas (0, y). La suma de las distancias de este punto a los vértices es:

d(y) � 2 �2�5� �� y�2� � 6 � y

El dominio de esta función es (0, 6), y en dicho dominio escontinua y derivable. El mínimo absoluto de la función debe-rá coincidir con un mínimo relativo.

d’(y) � � 1 ⇒ d’(y) � 0 si y � � � ��5�

3

3��

La solución negativa no es válida. Comprobamos que la solu-ción positiva corresponde a un mínimo:

d’’(y) � ⇒ d’’� �� 0

Tal como se ha planteado el ejercicio, el punto debe ser

�0, �.

Considera un triángulo rectángulo en �2, de vértices

(0, 0), (x, 0) y (x, y), con x � 0 e y � 0, y con el vértice (x, y) so-

bre la elipse de ecuación x2 � 2y2 � 2, tal como se indica en

la figura. Calcula cuál ha de ser el punto (x, y) para que el

triángulo rectángulo tenga el área máxima.

Observa la figura:

A � �1

2� x �

2 �

2 x2

� � �1

2� �

2x2

2

� x4

�El valor de x oscila entre 0 y �2�. Cuando x se aproxima a estosvalores el área tiende a cero. Por lo tanto, en este intervalo elvalor máximo corresponde a un máximo relativo de la función.

Basta con averiguar el máximo relativo del radicando: �2x 2

2

� x4

�

��2x 2

2

� x4

��’� �

1

2� (4x � 4x 3)

Esta derivada se anula en x � 0, que no tiene sentido, y enx � �1. Debemos considerar el valor positivo de la abscisa,x � 1. Veamos si es un máximo:

��2x 2

2

� x4

��’’� 2(1 � 3x 2) ⇒ 2(1 � 3) � 0, cuando x � 1

Por lo que, efectivamente, se trata de un máximo relativo.

El punto buscado es �1, ��

2

2���.

Dos líneas férreas se cortan perpendicularmente. Por

cada línea férrea avanza una locomotora (de longitud des-

preciable), dirigiéndose ambas al punto de corte; sus veloci-

dades son 60 km/h y 120 km/h y han salido simultáneamen-

32

X

Y

(0, 0) (x, 0)

(x, y)

X

Y

(0, 0) (x, 0)

(x, y)

31

5��3�

5��3�

50��

�(2�5� �� y�2)�3�

5��3�

2y���2�5� �� y�2�

te de estaciones situadas, respectivamente, a 40 km y 30 km

del punto de corte. Halla la distancia a la que se encuentran

en función del tiempo que pasa desde que inician su reco-

rrido y el valor mínimo de dicha distancia.

La posición de los trenesrespecto del origen es, res-pectivamente, 40 � 60t y30 � 120t, siendo t el tiem-po, en horas. Como se ob-serva en la figura, la distan-cia entre ambos es:

d � �(4�0� �� 6�0�t)�2 �� (3�0� �� 1�2�0�t)�2�La distancia será mínima cuando lo sea la función del radi-cando, que es polinómica de segundo grado:

d � �1�8� 0�0�0�t 2� �� 1�2� 0�0�0�t �� 2� 5�0�0�Su mínimo absoluto corresponde a:

t � 1/3 hora � 20 minutos

en los que la distancia es 10�5� km.

Averigua los puntos de la hipérbola x2 � 2y2 � 1

que se encuentran a la menor distancia posible del punto

P(9/2, 0) y cuál es esa distancia.

La distancia que hay que minimizar es:

d ��x � �9

2��2

� y2Las coordenadas del punto (x, y) son �x , ��

x2

2

�1��, por tan-

to, teniendo en cuenta que es suficiente hallar el mínimo delradicando, tenemos que:

d 2(x) � �x � �9

2��

2

� �x 2

2

� 1�

Esta es una función polinómica de segundo grado con un mínimo absoluto en su vértice.

Derivamos y se obtiene la siguiente expresión:

(d 2(x))’ � 3x � 9

Dicha expresión se anula en x � 3; por tanto, los puntos de lahipérbola buscados son (3, 2) y (3, �2).

Sustituyendo en la expresión que proporciona la distancia, seobtiene, para cualquiera de los dos puntos: d � 2,5 u.

Dada la función f(x) � �x� y el punto A(2, 0):

a) Halla la función que expresa la distancia del punto A aun punto cualquiera de la gráfica de la función.

b) Halla las coordenadas del punto de la gráfica de f(x) más

próximo a A.

a) Un punto cualquiera de la gráfica de la función es P�x, �x��.La distancia entre A y cualquier punto de la gráfica, P, es:

d(x) � �(x � 2)�2 � x�� �x2 � 3x�� 4�

34

O

Y

X

2

1�3�1

4�1�5 �2�4 2 3

1

�2

5

(x, y)

33

60 km/h

(40, 0)

120 km/h

(0, 30)

y � ��2 �

2 x2

�

P ��9

2� , 0�

y � ��x

2

2

� 1�

116 Análisis

b) El punto donde esta función alcanza el valor mínimo es elmismo en que la función d2(x) alcanza su mínimo, que porser una función de segundo grado, y tener a � 1 � 0, esabsoluto.

Calculando el vértice de la parábola y � x2 � 3x �4, se observa que el extremo está en el punto de abscisa x � 3/2,derivamos y igualamos a cero y aplicamos el criterio de laderivada segunda, para establecer que se trata de un mínimo.

Halla el punto de la parábola y � 27 � x2, situado en

el primer cuadrante, tal que el triángulo determinado por la

tangente a la parábola en ese punto y los ejes de coordena-

das tenga área mínima. Obtén el punto y el valor del área.

Sea (a, 27 � a 2), a � 0, un punto de la parábola en el primercuadrante. La ecuación de la recta tangente a la curva en dicho punto es: y �27 � a 2 � �2a(x � a)

En forma general: y � 2ax � a 2 � 27 � 0

El punto de intersección de la recta con el eje X es: � , 0�El punto de intersección con el eje Y es: (0, a 2 � 27)

El área que determina dicha recta y los semiejes positivos decoordenadas es:

A(a) ��(a 2 �

4a

27)2

�

Esta función es positiva, continua y derivable, para a � 0, ytiende a infinito tanto si a tiende a cero como si a tiende a in-finito. Por tanto, su mínimo absoluto coincidirá con un míni-mo relativo.

A’(a) � �3a 4 � 5

4

4

a

a2

2 � 729�⇒ A’(a) � 0 si a � 3 � 0

Por tanto, en el punto (3, 18), la función A(a) toma su valormínimo, que es 108 u2.

Dada f(x) � �1

x� � ln x, determina qué rectas tangentes

a la gráfica de f tiene pendiente máxima.

La función que proporciona la pendiente de la recta tangentea la curva y � f(x) es:

m(x) � f’(x) � ��1

x

�2

x�, hay que buscar el máximo absoluto de

esta función dentro del dominio de f(x), es decir (0, �∞). Paraello estudiamos su monotonía, derivándola y estudiando el

signo de: m’(x) � �2 �

x3

x�

Vemos que en el dominio de la función original, m’(x) tiene elmismo signo que 2 � x y solo se anula en x � 2, por lo queese será su único extremo relativo. Viendo que m(x) tiende a�∞ cuando nos acercamos a 0, y que tiende a 0 cuando xtiende a �∞, y que se trata de una función continua, en (0, �∞), que es donde estamos trabajando, se deduce que enm(x) alcanza su máximo absoluto en x � 2, y nos da la rectatangente a f(x) de máxima pendiente:

y � f(2) � m(2)(x � 2) ⇒ y � 0,25x � 0,69, redondeando a doscifras decimales.

Desde una casa situada en el punto (7, 0) se quiere

hacer un camino recto para conectarla con una carretera

cuyo trazado viene dado por la curva de ecuación

y � �1 � 2x�� 2x2�. ¿Con qué punto de la carretera conecta

el camino más corto posible?

Se procede igual que en el ejercicio 11:

La expresión d 2 (x) � (x � 7)2 � (1 � 2x � 2x2) es una funciónpolinómica de segundo grado con un mínimo absoluto en suvértice.

37

36

a 2 � 27�

2a

35

(d 2(x))’ � 6x � 12 � 0 si x � 2

El punto buscado es (2, �1�3�).

Halla la ecuación de una recta que pase por el punto

P (3, 2) y corte a los ejes de coordenadas, determinando en

el primer cuadrante un triángulo de área mínima.

En primer lugar, la pendiente de la recta considerada debeser negativa, pues forma un triángulo con los ejes en el pri-mer cuadrante: m � 0.

Observa la figura:

A(m) ��(3m � 2

2

)

m

(2 � 3m)�� �

�

2

9� m � 6 � �

m

2�

Esta función está definida para cualquier valor de m, exceptopara el cero. En particular, si m → 0�, entonces A(m) → �∞, ysi m → �∞ , entonces A(m) → �∞.

Por tanto, su mínimo absoluto debe coincidir con uno relativo.

Derivamos, y se obtiene: A’ (m) � ��

2

9� � �

m

22�

A’(m) � 0 si m � ��

3

2� (recuerda que debe ser negativa).

A’’(m) � ��

m

43� ⇒ A’’ ��

�

3

2�� � 0

Así pues, para m � ��

3

2� , la función área es mínima.

La ecuación de la recta será: y � ��

3

2� x � 4

Un pequeño islote dista 1 km de una costa rectilínea.

Se quiere instalar en dicho islote una señal luminosa que se

ha de alimentar con un tendido eléctrico. La fuente de

energía está situada en la costa, en un punto distante 1 km

del punto de la costa más próximo al islote. El coste del

tendido submarino por unidad de longitud es 5/3 del ten-

dido en tierra. ¿A qué distancia de la fuente de energía de-

be empezar el tendido submarino para conseguir un coste

mínimo?

En el esquema, I es el islote, y F, la fuente de energía situadaen la costa. Suponemos x la longitud del tendido terrestre, e yla longitud del tendido marino. Se cumplirá que:

1

1 y

I

F

1 � x

39

Y

X

(3, 2)

O

y � mx � 2 � 3m

2 � 3m

38

� x

1177. Aplicaciones de la derivada

y � �1�2 �� (1� �� x�)2� � �x�2 �� 2�x��� 2�El coste del tendido será:

c(x) � x � �5

3��x�2 ��2�x��� 2� , 0 � x �1

La función c(x) es continua y derivable en su dominio. Parabuscar su mínimo, buscamos los ceros de c'(x):

c’(x) � � 0 ⇒ x � 1/4 o x � 7/4

La única solución válida es x � 1/4. Para comprobar si se tratade un mínimo, aplicamos el criterio de la derivada segunda:

c’’(x) ���

3(x2 �

5

2�x � 2)2��⇒ c’’(1/4) � 0

Por tanto, el coste es mínimo si el tendido terrestre es de 250 my el tendido marítimo es de 1 250 m.

Los beneficios mensuales de un artesano expresados

en euros, cuando fabrica y vende x objetos, se ajustan a

B(x) � �0,5x2 � 50x � 800, donde 20 � x � 60.

a) Calcula el beneficio que se obtiene al fabricar y vender

20 objetos y al fabricar y vender 60 objetos.

b) Halla el número de objetos que ha de fabricar y vender

para obtener un beneficio máximo. Calcula este benefi-

cio.

c) Haz un esbozo del gráfico de la función B(x).

d) El beneficio medio para x objetos es M(x) � �B(

x

x)�. Decir

cuántos objetos se deben fabricar para que este beneficio

medio sea máximo y cuál es el valor de este beneficio.

a) B(20) � 0 €; B(60) � 400 €

b) Derivamos e igualamos a 0: B’(x) � �x � 50 � 0 ⇒ x � 50El beneficio máximo se obtiene fabricando 50 piezas y elvalor de este beneficio es B(50) � 450 € que es el máximoabsoluto en el intervalo 20 � x � 60.

c)

d) Veamos el beneficio medio: M(x) � �B(

x

x)���0,5x � 50 � �

80

x

0�

Por tanto la derivada M’(x) � �0,5 � �8

x

02

0�.

Igualando a cero, se obtiene x � �40, la única solución vá-lida es x � 40 y el valor M(40) � 10. Luego deberá vender40 objetos y el beneficio medio será de 10 €.

Un invernadero está destinado al cultivo de tomates.

Se sabe que las tomateras únicamente producen tomates si

la temperatura dentro del invernadero está entre 15 °C y

40 °C. En la gráfica siguiente se muestra la producción de

tomates en kilogramos en función de la temperatura del in-

vernadero.

41

X

Y

O

100

10

50

20

150

30 40

200250300350400

50 60

450

40

3�x�2 �� 2�x��� 2� � 5(x �1)����

3�x�2 ��2�x��� 2� a) Si la temperatura está entre 19 °C y 29 °C decir qué

variación experimenta la producción al aumentar la

temperatura 1 grado. Calcula esta variación cuando

la temperatura está entre 30 °C y 39 °C.

b) Define una función a trozos que exprese la producción

en función de la temperatura.

c) Halla para que temperaturas se obtiene el 75 % de la

producción máxima.

a) �9

1

0

5

0� � 60. Entre 19° y 29° por cada grado que aumenta la

temperatura se incrementa en 60 kilogramos la produc-ción.

��9

1

0

0

0� � �90. Entre 30° y 39° por cada grado que se incre-

menta la temperatura disminuye en 90 kilogramos laproducción.

b) La función definida a trozos está formada por dos ramas,la primera es una recta de pendiente 60 que pasa por elpunto (15, 0), y � 60x � 900. La segunda rama es una rectade pendiente �90 que pasa por (40, 0), y � �90x � 3 600:

f(x) � �c) El 75 % de la producción máxima es: 0,75 � 900 � 675:

675 � 60x � 900 ⇒ x � 26,25°

675 � �90x � 3600 ⇒ x � 32,5°

Un equipo de trabajadores ha de realizar la recolec-

ción en un campo de manzanos a partir del 1 de octubre y

únicamente puede trabajar durante un día. Si la recolec-

ción se hace el 1 de octubre, se recolectarán 60 toneladas y

el precio será de 2 000 €/tonelada. Sabemos que a partir

de este día la cantidad que se puede recoger aumenta en

una tonelada cada día pero el precio disminuye 20 €/día.

a) Determina la fórmula que expresa los ingresos que se

obtienen en función del número de días que han pasa-

do desde el 1 de octubre.

b) Calcula cuántos días han de pasar para que los ingresos

por la recogida sean máximos.

c) ¿Cuál es el valor máximo de los ingresos por la cosecha?

d) Halla cuántos días han de pasar para que los ingresos

por la cosecha sean los mismos que el día 1 de octubre.

a) I(x) � (60 � x)(2 000 � 20x) � �20x2 � 800x � 120 000

b) I’(x) � �40x � 800 � 0 ⇒ x � 20 días

c) Imax � I(20) � 80 � 1600 � 128 000 €

d) I(0) � 60 � 2000 � 120 000

120 000 � �20x2 � 800x � 120 000 ⇒ x � 40 días

Un heladero ha comprobado que vende por término

medio 200 helados diarios a 0,30 € la unidad. Por cada cén-

timo de euro que aumenta el precio, vende 2 helados menos

al día. Si el coste por unidad es de 0,24 €, calcula el precio

al que debería vender los helados para obtener el mayor

beneficio posible.

43

42

60x � 900 si 15 � x � 30�90x � 3 600 si 30 � x � 40

900 kg

15 �C 30 �C 40 �C

118 Análisis

Dom f � � � { �1, 1}. Es una función racional, continua en sudominio.

En x � �1, la discontinuidad es asintótica: x � �1 es unaasíntota vertical.

En x � 1, la discontinuidad es evitable.

Tiene una asíntota oblicua: y � x � 1

Para determinar los intervalos de monotonía:

f ’(x) ��x 2

(

�

x �

2x

1

�

)2

2�

f ’ (x) 0 siempre, y además, ∃/ f ’ (�1) y ∃/ f ’(1).

Intervalos de signo constante de f ’ : (�∞, �1), (�1, 1) y(1, �∞).

La función es estrictamente creciente en todos sus interva-los de monotonía. No tiene extremos relativos.

Dibuja, indicando asíntotas, crecimiento y extremos,

la gráfica de la función f(x) ��x2 �

x �

2x

1

� 2�.

Dom f � � � {1 }

En x � 1, la función tiene una asíntota vertical, puesto quelimx → 1

f (x) � ∞.

Además, limx → �∞

f (x) � �∞, y limx → �∞

f (x) � �∞.

Es una función racional, y el grado del numerador es una uni-dad mayor que el del denominador, por lo que tiene asíntotaoblicua.

m � limx → ∞

�f (

x

x)� � 1

n � limx → ∞

(f (x) � x) � �1

De modo que, la recta y � x � 1 es una asíntota oblicua de lafunción.

f ’ (x) � �(

x

x

2

�

�

1

2

)

x2� ⇒ f ’ (x) � 0 si x � 0 o x � 2

∃/ f ’(x) en x � 1

Intervalos de signo constante de f ’ : (�∞, 0), (0, 1), (1, 2) y(2, �∞).

46

O

Y

X

�2

1

1

2

�1

�1�2

2

3

4

y � x

� 1

�3�4

�3

x �

�1

f ’ � � �

�∞ �2 000 0 �∞

f (x) � �(x � 1

x

)2

(

�

x �

1

2) � x�

f ’ � � �

�∞ �1 1 �∞

Por cada x céntimos de euro que aumente el precio de un he-lado, la venta disminuirá en 2x unidades. Es decir, un helado

cuesta �0,3��10

x

0��€, y el heladero vende (200 � 2x) helados.

Por tanto, el ingreso que obtendrá al final del día es:

�0,3 � �10

x

0�� � (200 � 2x)

Además, el coste de los 200 � 2x helados es:

0,24 � (200 � 2x)

El beneficio, B(x), del heladero al final de la jornada será la diferencia entre el ingreso y el coste:

B(x) � ��0,3 � �10

x

0��� 0,24� � (200 � 2x) � � �

5

x

0

2

� � 1,88x � 12

Esta función es polinómica de segundo grado, y el coeficien-te del término de grado dos es negativo, por lo que su extre-mo relativo es un máximo absoluto. Hay que calcular paraqué valor de x es máxima la función beneficio; para ello,hallamos el vértice de la parábola o, lo que igual, el cero desu derivada:

B’(x) � ��2

x

5� � 1,88

B’(x) � 0 ⇒ x � 1,88 � 25 � 47

El aumento del precio del helado, x, que produce el máximobeneficio es 47 céntimos, o lo que es lo mismo, 0,47 €.

Es decir, si el heladero aumenta el precio de cada helado en0,47 €, obtendrá un beneficio diario máximo de:

B(47) � ��4

5

7

0

2

� � 1,88 � 47 � 12 � 56,18 €

Representación gráfica de funciones

Calcula los intervalos de crecimiento y de decreci-

miento, los máximos y los mínimos de la función f(x) � x2 �ex/1 000. A continuación realiza un esquema sencillo de la

gráfica.

f ’ (x) � e�1 0

x

00� ��1 0

x

0

2

0� � 2x�

f ’ (x) � 0 si x � 0 o x � �2 000

f ’ (x) está definida para todo valor real.

Intervalos de signo constante de f ’ : (�∞, �2 000), (�2 000, 0)y (0, �∞).

Como se deduce de la tabla, f presenta un máximo relativoen x � �2 000, y un mínimo relativo en x � 0.

limx → �∞

f (x) � 0 y limx → �∞

f (x) � �∞

y � 0 es una asíntota horizontal por la izquierda.

Calcula los intervalos de monotonía, los máximos y

los mínimos y las posibles asíntotas de la función:

f(x) ��(x �

x

12

)

�

(x �

1

2)x�

Realiza un esquema aproximado de la gráfica de la función.

45

X

Y

�2 000

f(x) � x2 ex/1000

O

44

f ’ � � � �

�∞ 0 1 2 �∞

1197. Aplicaciones de la derivada

En x � 0, la función tiene un máximo relativo.

En x � 2, la función tiene un mínimo relativo.

Con estos datos, por tanto, se puede realizar la siguiente re-presentación:

Dibuja la gráfica de la función f(x) � �(x �

x2

1)2�, indi-

cando asíntotas, extremos relativos e intervalos de

crecimiento y de decrecimiento.

Asíntota vertical: x � 1

Asíntota horizontal: y � 1

Mínimo en (0, 0).

Decreciente en ( �∞, 0) � (1, �∞). Creciente en (0, 1).

Dada la función f(x) � �x

x

(x2 �

�

4

1)�, estudia su dominio

de definición, intervalos de crecimiento y decrecimiento,

extremos relativos y asíntotas. A partir de estos

datos, representa la gráfica de f(x).

Dom f � � � { �2, 2}

Es creciente en:

(�∞, �2) � (�2, 4 � 2�3�) � (4 � 2�3�, �∞)

Es decreciente en (4 � 2�3�, 2) � (2, 4 � 2�3�).

Tomando 4 � 2 �3� � 0,5359 y 4 � 2�3� � 7,4641, los extremosrelativos son: m(7,4641; 0,933) y M(0,5359; 0,067).

Asíntotas verticales: x � �2 y x � 2

Asíntota horizontal: y � 1

Y

2

�2

XO 2 4 6�2�4

4

y � 1

x �

�2

x �

2

x(x � 1)x2 � 4

f(x) �

48

XO

Y

�2�4 2 4 6

2

4

6

x �

1

y � 1

(x � 1)2

x2

f(x) �

47

O

Y

X1

1

2�1�2

2

y � x

� 1

x �

1

Representa la gráfica de f(x) � �2

x2

x

�2 �

2

1

x� partir de la

misma, indica cómo sería la gráfica de la función g(x) �� �f(x) � 3. Haz un esquema. ¿En qué puntos presenta má-

ximos la función g(x)?

Las representaciones gráficas de f(x) y g(x) serían:

g(x) presenta un máximo en el punto ��1

2�, �

7

2��.

Representa la función f(x) � �x

x

2

2

�

�

3

4�, indicando domi-

nio de definición, simetrías, cortes con los ejes, asíntotas,

intervalos de crecimiento y decrecimiento, máximos y mí-

nimos.

Dom f � � � { �2, 2}

f es una función par, es decir, simétrica respecto del eje de or-denadas.

Corta al eje de ordenadas en el punto �0, ��3

4��, que correspon-

de al máximo relativo de la función.

Asíntota horizontal: y � 1; asíntotas verticales: x � �2 y x � 2.

f crece en (�∞, �2) � (�2, 0), y decrece en (0, 2) � (2, �∞).

Dibuja un esquema de la función f(x) � �x

x

2

�

�

1

x�, indi-

cando sus asíntotas y sus extremos relativos.

Asíntota vertical: x � �1; asíntota oblicua: y � x �2

Máximo: (�2,4142; �5,8284); mínimo: (0,4142; �0,1716)

Representa gráficamente y ��x�x

1

2 � 4�� .

Dom f � � � [�2, 2]

Asíntotas verticales: x � �2 y x � 2

Asíntota horizontal: y � 0

La función es estrictamente decreciente en su dominio.

52

Y

XO�10 10 20

10

�10

f(x) �x2 � xx � 1 y �

x �2

x �

�1

51

Y

5

�5

X5�5 10�10 Oy � 1

x �

�2

x �

2

x2 � 3x2 � 4

f(x) �

50

O

Y

2 4

2

4

�2�4 X�6

x2 � 2x2x2 � 1

g(x) � �f(x) � 3

f(x) �

49

f (x) � �x 2 �

x �

2x

1

� 2�

� � ��

�∞ �2 0 1�1

→→ → →

→

m��2, ��1

9�� M(0, �1)

Punto de

inflexión

f ��∞1/2

f (x) � �2x 2

x

�

�

x

1

� 1�

� � � �

�∞ 0�1/2�1 �∞

→→→f �

120 Análisis

Se considera f(x) � x4 � ax3 � bx2 � cx � 7:

a) Halla c si su tangente en x � 0 es horizontal.

b) Para el valor de c hallado en el apartado anterior, calcula

a y b sabiendo que esta función tiene un extremo relati-

vo en x � �2 y que corta al eje X en x � 1.

c) Para los valores obtenidos en los apartados anteriores,

calcula los intervalos para los que la función crece y

decrece, sus extremos relativos y realizar una represen-

tación gráfica aproximada.

a) Se deberá cumplir que: f’(0) � 0

f’(x) � 4x3 � 3ax2 � 2bx � c � 0 ⇒ c � 0

b) Se deberá cumplir que: f’(�2) � 0

f’(�2) � 4 � (�2)3 � 3a(�2)2 � 2b(�2) � c � 0

⇒ �32 � 12a � 4b � 0

Además: f(1) � 0 ⇒ 1 � a �b � 7 � 0

Resolviendo el sistema:

�c) La función es f(x) � x4 � 8x2 � 7.

Su derivada es f’(x) � 4x3 � 16x.

Para hallar los extremos relativos: f’(x) � 0 ⇒ 4x3 � 16x � 0⇒ x � 0, x � 2 y x � �2.

La derivada es positiva de (�2, 0) � (2, �∞) y, por tanto, lafunción crece. La derivada es negativa en (�∞, �2) � (0, 2)y, por tanto, la función decrece.

Tenemos un máximo relativo en (0, 7) y dos mínimos rela-tivos en (�2, �9) y (2, �9).

Su representación gráfica es:

Representa gráficamente estas funciones.

a) f(x) � �2x2

x

�

�

x

1

� 1� f) f(x) � x � �x2 � 1�

b) f(x) � �2

x

x

3

2

�

�

x

x

2

� g) f(x) � �x3 � x�

c) f(x) � �ln

x

x� h) f(x) � �

3x2� � x

54

X

Y

O

4

1�1

2

2�2

6

�4�6

810

�8�10

12

3a � b � 8 ⇒ a � 0, b � �8a � b � �8

53

Y

XO�2�4 2 4

2

�2

�6

x �

2

x �

�2

1f(x) �

x √x2 � 4

d) f(x) � �x

x

�

e1/

4

x

� i) f(x) � �e

x

x

�

e) f(x) � �x

x

�

�

3

2� j) f(x) � �

�x

x

�

2 �

2

x��

a) f (x) � �2x 2

x

�

�

x

1

� 1�

Dom f � � � �� �1

2� , 1

Asíntotas verticales: x � ��1

2� y x � 1

Asíntota horizontal: y � 0

b) f (x) � �2

x

x

3 �2 �

x

x

2

� ; Dom f � � � �� �1

2� , 0

Asíntota vertical: x � ��1

2�

Asíntota oblicua: y � �2

x� � �

1

4�

O

Y

X2

1

1

�1

�2

�3

�2�3

2

x �

�1�

2

3

�4

O

Y

X2

1

1

�1

�1

�2

�3

�2

x �

�1�

2

3 4

x �

1

f (x) � �2

x

x

3

2

�

�

x

x

2

�

y � �2

x� � �

14

�

� �

�1 �1/�3� 0 1 �∞

→→

→

M ����1

3�� , 0,62�

f �

� �

�∞ �3 2 �∞

→ →f �1217. Aplicaciones de la derivada

� �

�∞ �1 1 �∞

→→

f �

� � �

�∞ 0 4/3�4 �∞

→→→

→f �Punto deinflexión

m��4

3�; 0,53�

� �

0 e2

e1 �∞

→→→f �Punto

deinflexión

m(e, e)

c) f (x) � �ln

x

x�

Dom f � (0, 1) � (1, �∞)

Asíntota vertical: x � 1

d) f (x) � �x

xe

�

1/x

4� ; Dom f � � � {�4, 0}

Asíntota vertical: x � �4Asíntota horizontal: y � 1

e) f (x) � �x

x �

� 2

3� ; Dom f � (�∞ , �3] � (2, �∞)

O X

Y

�2

�4

4�6�8 �4

2 y � 1

6

8

4

�6x �

�4

O X2

Y

�2

�4

4

2

x �

1

6

6

m

punto de inflexión4

�2

�6

e e2

Asíntota vertical por la derecha: x � 2

Asíntota horizontal: y � 1

f) f (x) � x � �x2� �� 1� ; Dom f � (�∞ , �1] � [1, �∞)

Asíntota horizontal por la derecha: y � 0

Asíntota oblicua por la izquierda: y � 2x

g) f (x) � �x�3 �� x� ; Dom f � [�1, 0] � [1, �∞)

3

O

Y

X2

1

1

�1

�2

2

3�1

O

Y

X2

1

1

�1

�2

�3

�2

y �

2x

3

�4

�1

O X2

Y

�2

�4

4�6�8 �4

2y � 1

6

8

4

x �

2

�3�2

f (x) � �x

xe

�

1/x

4�

f (x) � �x

x �

� 2

3�

f (x) � x � �x�2 �� 1�

f (x) � �x3� �� x�

���1

3��

122 Análisis

� �

�∞ 10 �∞

→→→f �m(1, e)

� � �

�∞ 0 1 �∞

→→

→

M��2

8

7� , �

2

4

7��

8/27

f �m (0, 0)

Punto deretroceso

f (x) � �3

x�2� � x

�2

8

7�

h) f (x) � �3

x2� � x ; Dom f � �

i) f (x) � �e

x

x

� ; Dom f � � � {0}

Asíntota vertical: x � 0

Asíntota horizontal por la izquierda: y � 0

j) f (x)���

x

x

�

2 �

2

x��; Dom f � (�∞,�1) � (0, 2) � (2,�∞)

Asíntota vertical: x � 2

Asíntotas horizontales: y � �1 por la izquierda, e y � 1por la derecha

Y

5

�5

X5

�5

10O

x �

2

y � 1

y � �1

√x2 � xx � 2

f(x) �

Y

5

�5

X5�5 10�10 O

f(x) �ex

x

O X

Y

�2

2�2 4

2

1

Representa f (x) � �4 �

x

x2�, dando máximos, mínimos,

puntos de inflexión, concavidad y convexidad.

Asíntota horizontal: y � 0

Asíntotas verticales: x � 2 y x � �2

Función impar, simétrica respecto del origen de coordenadas.

No tiene extremos relativos. Tiene un punto de inflexión en(0, 0).

La función es cóncava en (�∞, �2) � (0, 2), y convexa en(�2, 0) � (2, �∞).

Ejercicios de aplicación

A partir de la representación gráfica de cada una de

las siguientes funciones, representa la función derivada

f’(x).

a) b)

a)

b)

Dada en cada caso la gráfica de la función f ’(x), re-

presenta la función f (x).

a) b)

X

Y

O

2

2 3

1

4 5

345

1

f’

X

Y

O

2

2 3

1

4 5

345

1

f’

57

O

Y

X1 2

f

1

3

O

Y

X21 3 4 5

f‘

X

Y

O

2

2 3

1

4 5

345

1

f

X

Y

O

2

2 3

1

4 5

345

1

f

56

O X

Y

�4

2�4

x �

2

4

x �

�2

�2

�2

2

55

� � �

�∞ 20�1 �∞

→→→f �

f (x) � �x

x

�

�

1

4�

1237. Aplicaciones de la derivada

En ambos casos, las gráficas pueden estar situadas más arribao más abajo. Con la información que nos dan, no podemosconocer la posición de cada una.

a)

b)

Considera f (x) una función definida en �2 � x � 2.

Si la gráfica de f’(x) es el de la figura, donde f’(�1) � 0,

f’(0) � �1, f’(1) � 1, y que f (0) � 2, dibuja la gráfica de f(x),

indicando en qué puntos hay extremos relativos.

A partir de la figura, f ’(x) se puede expresar como:

f’(x) � �En primer lugar, dado que f ’(x) existe en (�2, 2), f ’(x) es conti-nua en (�2, 2).

En x � �1, f (x) tiene un máximo relativo: observamos que lafunción derivada pasa de positiva a negativa, es decir, la fun-ción f (x) pasa de creciente a decreciente en x � �1.

En x � 1/2 ocurre lo contrario, por lo que f (x) tiene un míni-mo relativo en x � 1/2.

En x � 0 la función f' (x) es negativa y vale �1: f (x) es decre-ciente y la recta tangente en este punto tiene pendiente �1.Que la gráfica de f' (x) presente un pico en x � 0, indica queno existirá su derivada, f'' (x), en este punto, por lo que siendof (x) continua, en x � 0 hay un punto de inflexión.

En x � 1, la función f' (x) es positiva y vale 1: f (x) es creciente yla recta tangente en este punto tiene pendiente 1.

Con todo esto, y teniendo en cuenta que f (0) � 2, tenemos:

3

3

XO

Y

�3

f(x)4

2

1

�1 21 4�2�4

�2

�3

�4

5

f’(x)

�x � 1 si �2 � x � 02x � 1 si 0 � x � 2

O1

1

Y

2

3

2 3 4 5�1

�2

X�3 6�5�7 �2�4�6

58

O

Y

X21 3 4 5

f

O

Y

X1 2 3

f

Halla las constantes reales a y b para que la siguiente

función:

f(x) � �sea una función continua para todo valor real x.

En x � 0, f(x) es continua, pues el denominador solo se anulaen x � 0. En x � 0 la función está bien definida y es continua.Por tanto, tenemos que estudiar el caso x � 0:

f(0) � b

�En el primer límite lateral hemos aplicado la regla de l’Hôpital.En el segundo límite, primero resolveremos la indetermi-nación convirtiendo el producto en un cociente y aplicandola regla otra vez.

limx → 0�

(x ln x) � limx → 0� ��

l

1

n

/x

x��� lim

x → 0� ���1

1

/

/

x

x2��� limx → 0�

(�x) � 0

Por lo que: limx → 0�

f(x) � limx → 0�

(x ln x � a) � a

Para que exista el límite en x � 0 debe ser a � 1, y para que lafunción sea continua su valor en x � 0 debe coincidir con di-cho límite, por tanto:

a � b � 1

En los seis primeros meses, desde que abrieron, una

librería ha ido anotando el número de compradores de ca-

da mes. Este número N(x) se puede ajustar por la función

N(x) � siendo x el número del mes desde

que se abrió.

a) ¿Cuántos compradores visitaron la librería el segundo

mes? ¿En qué mes, contado a partir de la apertura,

tuvieron 900 compradores?

b) Suponemos que esta fórmula sirve para predecir el nú-

mero de compradores en el futuro. ¿Podemos asegurar

que este número siempre irá en aumento? Razona la

respuesta.

a) N(2) ��1 000 �

2

2 � 600�� 700

900 ��1 000x

x

� 600�⇒ x � 6. El sexto mes.

b) La derivada es N’(x) � que siempre es positiva, por

tanto el número de compradores siempre va en aumento,según la función.

Pero además la función está acotada por una asíntota,y � 1000, lo que indica que el número de compradores nodebe superar 1 000. Aquí nos encontramos con una limita-ción de modelizar un valor natural con una función conti-nua, pues aunque la función crece indefinidamente sin su-perar la asíntota, esto no es posible con el número decompradores.

600�

x2

1 000x � 600��

x

60

limx → 0� ��e

x

x

�

ex

1��� lim

x → 0� ��(1 �

ex

x)ex��� 1

limx → 0�

(x ln x � a) � (0 � (�∞) � a)

�ex

x

�

ex

1� si x � 0

b si x � 0

x ln x � a si x � 0

59

124 Análisis

El siguiente dibujo corresponde a la gráfica de la

función f(x):

Realiza la representación gráfica de la función �f(x) en

[�3, 3].

Actividades tipo test

Escoge y razona la respuesta correcta en cada caso.

Dada la función f(x) � x2 e�x

a) Crece en (0, 2) y decrece en (�∞, 0) � (2, �∞).

b) Crece en (0, e) y decrece en (�∞, 0) � (e, �∞).

c) f(x) es estrictamente creciente en todo su dominio.

La respuesta correcta es la a). Veámoslo:

La derivada de la función es f’(x) � e�x (2x � x2), igualamos acero: e�x (2x � x2) � 0 ⇒ x � 0 y x � 2.

El intervalo de crecimiento es (0, 2) y los de decrecimiento(�∞, 0) � (2, �∞).

Halla b y c en la siguiente función para que sea conti-

nua y derivable para todo valor x.

f(x) � �a) b � �2, c � �2 c) b � 2, c � �2

b) b � �2, c � 2

La respuesta correcta es la b). Veámoslo:

En primer lugar, f debe ser continua en �. Como las dos fun-ciones que constituyen sus ramas son continuas en su domi-nio, hemos de imponer que la función sea continua en x � 0.

f (0) � c ; limx → 0�

f (x) � c

limx → 0�

f (x) � limx → 0�

�ln (1

x

� 2x)�� ��

0

0��

�L‘H

�� lim

x → 0�� 2

2�

�1�

1

2x�

x2 � bx � c si x � 0

�ln (1

x

� 2x)� si x � 0

63

62

X

Y

O

100

1�1 2�2

�100

3�3

�f

�200

�300

�400

X

Y

O

100

1�1 2�2

200

�100

3�3

300

400

f

61 En consecuencia, para que sea continua en x � 0, debe serf(0) � lim

x → 0f (x), por lo que c � 2.

f debe ser derivable. Como las dos funciones que constituyensus ramas son derivables en (�∞, 0) y (0, �∞) respectivamen-te, hemos de imponer que la función sea derivable en x � 0.

Para la rama definida en (�∞, 0), la función derivada es f’ (x) � 2x � b. Por consiguiente: f ’�(0) � b

Para la rama definida en (0, �∞) la función derivada es:

f ’(x) �

Por tanto:

f ’�(0) � limx → 0�

� ��0

0�� �

�L‘H

�� lim

x → 0��

� limx → 0�

��ln

3x

(2

1

�

�

x

2x)�� ��

0

0���L‘H

�� lim

x → 0�� �2

Dado que f es continua en x � 0, para que sea derivable, lasderivadas laterales deben coincidir: b � �2

La función buscada será:

f(x) � �La concentración en sangre de un fármaco después

de su toma (en mg/mL) viene dado por:

C(t) � 0,29483t � 0,04253t2 � 0,00035t3

donde t es el tiempo transcurrido en minutos. El período de

tiempo durante el cual el fármaco actúa y el instante en el

que la concentración del fármaco es máxima son:

a) El fármaco actúa de 0 a 128,09 min y la concentración es

máxima al cabo de 64,04 min, aproximadamente, de su

toma.

b) El fármaco actúa de 0 a 128,09 min y la concentración es

máxima al cabo de 84,34 min, aproximadamente, de su

toma.

c) El fármaco actúa de 0 a 2 h y 8,09 min y la concentración

es máxima al cabo de 64,04 min, aproximadamente, de

su toma.

La respuesta correcta es la b). Veámoslo:

El fármaco actúa en el intervalo de tiempo en que C(t ) � 0para t � 0.

Como C(t) es una función polinómica buscamos los valoresde t tal que C(t) � 0.

0,29483 t � 0,04253 t2 � 0,00035 t3 � 0

t (0,29483 � 0,04253 t � 0,00035 t2) � 0 ⇒ �Estudiamos el signo de C(t) en los dos intervalos positivosque hemos obtenido:

En (0; 128,09), C(t) � 0

En (128,09; �∞), C(t) � 0

Esto quiere decir que el periodo durante el cual el fármacoactúa es de 0 a 128,09 minutos

Para encontrar el instante en que la concentración del fárma-co es máxima, buscamos los extremos relativos de C(t).

C’(t) � 0,29483 � 0,08506 t � 0,00105 t2

t � 0t � 128,09t � �6,58

64

x 2 � 2x � 2 si x � 0

�ln (1

x

� 2x)� si x � 0

�2�

�1

6x

�

�

2

1

x�

2 � 2ln (1 � 2x ) � 2���

2x 2 � (1 � 2x) � 2x

2x � (1 � 2x) � ln (1 � 2x)���

(1 � 2x) � x 2

2x � (1 � 2x) � ln (1 � 2x)���

(1 � 2x) � x 2

1257. Aplicaciones de la derivada

f ’’ � �

�∞ 3 �∞

C’(t) � 0 ⇒ t �� , la primera solución no tiene sentido.

C’’(t) � 0,085 06 � 0,001 05 t

Para t � 84,34; C’’(t) � 0, luego en t � 84,34 hay un máximorelativo.

Como C(t) es un polinomio de tercer grado, es una funcióncontinua; en los extremos del intervalo en que el fármaco ac-túar C(0) � 0, C(128,09) � 0 por lo que el máximo relativoque tiene C(t) en t � 84,34 es un máximo absoluto.

La concentración del fármaco es máxima al cabo de 84,34 mi-nutos, aproximadamente, de su toma.

El beneficio obtenido por la producción y venta

de x kilos de un artículo viene dado por la función

B(x) � �0,01x2 � 3,6x � 180. Para que la empresa obtenga

máximo beneficio hay que producir y vender:

a) 300 kg b) 360 kg c) 180 kg

La respuesta correcta es la c). Veámoslo:

Por un lado se puede ver que:

B’(x) � �0,02x � 3,6 ⇒ B’(x) � 0 si x � 180 kg

De otra manera, también podemos evaluar las opciones:

� B(300) � 0 � B(360) � �180 � B(180) � 144

Un barco, B, y dos ciudades costeras, A y C, forman

un triángulo rectángulo en C. Las distancias B a A y C son

13 km y 5 km, respectivamente. Un hombre situado en Adesea llegar hasta B. Si nada a 3 km/h y camina a 5 km/h.

¿A qué distancia de A debe abandonar la costa para nadar

hasta B si quiere llegar lo antes posible?

a) 8,5 km b) 5,25 km c) 8,25 km

La respuesta correcta es la c). Veámoslo:

A y C están separados por �169 �� 25� � 12 km.

Si d es la distancia que recorre en cada minuto, tenemos qued � 5t, es decir, t � d/5.

Hasta C quedan (12 � d) km y aplicando Pitágoras tenemosque h2 � (12 � d)2 � 25 de lo que se deduce:

h � �d2 � 24�d � 16�9� y entonces t ���d2 � 2

3

4�d � 16�9��

Hemos de encontrar el mínimo de la función:

f(d) � �d

5� ��

�d2 � 2

3

4�d � 16�9��

66

65

�3,32984,34

Derivamos y se obtiene: f’(d) � �1

5� ��

3�d2 �

d �

24�1

d

2

� 16�9��

f’(d) � 0 si 3�d2 � 24�d � 16�9� � 5d � 60 � 0, resolviendo laecuación irracional se obtiene d � 8,25 km.

Halla la tangente a f(x) � �1

e

�x

x� en su punto de in-

flexión. Estudia la concavidad y convexidad.

a) Ec. recta tangente en su pto. de inflexión: y � xe�3 � 5e�3.

La función es cóncava a la izquierda de x � �3 y convexa

a la derecha de x � �3.

b) Ec. recta tangente en su pto. de inflexión: y � xe�3 � 5e�3.

La función es cóncava a la izquierda de x � 3 y convexa a

la derecha de x � 3.

c) Ec. recta tangente en su pto. de inflexión: y � xe3 � 5e3.

La función es convexa a la izquierda de x � �3 y cóncava

a la derecha de x � �3.

La respuesta correcta es la b). Veámoslo:

La función está definida para todos los números reales.

f ’ (x) � �x

e

�x

2� f ’’ (x) � �

3 �

e x

x�

Luego en x � 3 hay un posible punto de inflexión.

Intervalos de signo constante de la derivada segunda:

Luego �3, � �e

23�� es un punto de inflexión.

La función es cóncava a la izquierda de x � 3, y convexa a laderecha.

La pendiente de la tangente en el punto de inflexión es:

m � f ’ (3) � �e

13�

La ecuación buscada es:

y � �e

23�� �

e

13� (x � 3) ⇒ y � x e�3 � 5e�3

67

Evaluación (página 193)

1. Calcula los siguientes límites.

a) limx → �∞

�ln (e

e2x

x

� 1)� c) lim

x → 0�

xx

b) limx → 0

�2�2x

x

� 1� d) lim

x → 1�

(ln x)�1/(x � 1)

a) limx → �∞

�ln (e

e2x

x

� 1)����

∞∞

���L‘H

�� lim

x → �∞�2e2x/e

e2

x

x � 1�� lim

x → �∞�e2

2

x �

ex

1�� lim

x → �∞�e

2

x

� � �2

1

ex� � ∞ � 0 � ∞

b) limx → �∞

�ln (e

e2x

x

� 1)����

∞∞

���L‘H

�� lim

x → �∞�2e2x/e

e2

x

x � 1�� lim

x → �∞�e2

2

x �

ex

1�� lim

x → �∞ ��e

2

x

� � �2

1

ex��� �∞ � 0 � �∞

c) L � limx → 0�

xx ⇒ L � limx → 0�

x ln x � limx → 0�

�l

1

n

/x

x�

�L‘H

�� lim

x → 0�

�1

1

/

/

x

x2� � lim

x → 0�

(�x) � 0, luego ln L � 0 ⇒ L � 1

d) L � limx → 1�

(ln x)�1/(x � 1)2

� (0�∞) ⇒ ln L � 1 limx → 1�

�(x

�

�

ln

1

x

)2����0

0��

�L‘H

�� lim

x → 1�

�2(

�

x

1

�

/x

1)����

�

0

1��� �∞ ⇒ L � e�∞ � 0

126 Análisis

�

�∞ 1�3 �

2

�5�� �

3 �

2

�5��

0 �∞

→→→f �

2. Se quiere fabricar una lata de conservas en forma de cilindro circular con ambas tapas de área total 150 cm2. Calcula el radio y la

altura del cilindro para que el volumen sea máximo.

Sea r el radio de la base y h la altura del cilindro, los relacionamos a través del área total:

AT � 2AB � AL � 2 r2 � 2 rh � 2 r(r � h) � 150 ⇒ h � �7

5

r� � r

Lo que nos permite crear una función volumen que solo dependa del radio:

V(r) � AB � h � r2h � r2��7

5

r� � r�� 75r � r3 y su derivada es: V’(r) � 75 � 3 r2

Buscamos los extremos locales 75r � 3 r2 � 0 ⇒ r � �5�

��, descartando el resultado negativo.

Nos aseguramos de que se trata de un máximo con la segunda derivada V’’(r) � �6 r que es negativa para valores positivos del ra-

dio. La altura será h ��10

� �� cm.

3. Sea la función f(x) � �1 � x2�.

De todos los rectángulos con un lado contenido en el eje de abscisas y siendo dos vértices opuestos los puntos P(�1, 0) y

Q(x, f(x)), calcula las longitudes de los lados del rectángulo de área máxima.

La base del rectángulo será 1 � x, y su altura f(x).

Luego el área del rectángulo, en función de x, será

A(x) � (1 � x) �1 � x2�. Buscamos sus puntos críticos.

A’(x) ��1

��

1

x

�

�

x

22�x2

�� 0, obteniendo: x1 � �1 y x2 � 1/2

Podemos descartar el valor �1 que hace P � Q y no habría rectángulo. Comprobamosque x � 1/2 es un máximo, observando que la derivada es positiva a su izquierda(A’(0) � 1) y negativa a su derecha A’(3/4) � ��7�/2 y continua en el entorno.

Por lo tanto, los lados medirán 3/2 y �3�/2 u.

4. Se divide un hilo de 100 m en dos trozos, de longitudes x e y. Con el trozo de longitud x se forma un cuadrado y con el de longi-

tud y se forma un rectángulo, cuyo lado mayor es el doble del menor. Averigua x e y para que la suma de las áreas del cuadrado

y del rectángulo sean mínimas.

Como condición tenemos x � y � 100, el lado del cuadrado medirá x/4 y su área por lo tanto A � x2/16. Por su parte el perímetro delrectángulo es y, midiendo sus lados y/6 e y/3, lo que nos da un área de A � y2/18. Para expresar el área conjunta en función de unasola variable usamos la condición y � 100 � x, resultando: AT(x) � A � A � x2/16 � (100 � x2)/18

Derivamos e igualamos a cero para buscar los extremos locales AT’(x) � �17x

7

�

2

800�� 0 de donde se obtiene: x � �

8

1

0

7

0� � 47,06 m, con-

secuentemente: y � �9

1

0

7

0� � 52,94 m

Para ver que se trata de un mínimo, simplemente comprobamos que la segunda derivada es siempre positiva AT’’(x) � �1

7

7

2�, o también

podemos advertir que la función es una parábola con coeficiente principal positivo.

5. Representa esta función: f(x) ��x2 �

e

xx

� 1�

� f(x) es siempre positiva, ya que lo es la función exponencial y el polinomio del numerador no tiene raíces reales.

� El denominador no se anula nunca y por tanto es continua en todo punto.

� Tiene una asíntota horizontal en y � 0 por la derecha y diverge a �∞ por la izquierda.

limx → �∞

�x2 �

e

xx

� 1�

�L‘H

�� lim

x → �∞�2x

e

�x

1�

�L‘H

�� lim

x → �∞�e

2x� � 0 lim

x → �∞�x2 �

e

xx

� 1����

�

0

∞��� �∞

Su derivada f’(x) ��x(1

e

�x

x)� se anula en x � 0 y x � 1, siendo positiva entre ambos valores y negativa en el exterior, luego la función

decrece en (�∞, 0) � (1, �∞), crece en (0, 1). Tiene por tanto un mínimo en el punto (0, 1) y un máximo en el punto (1, 3/e).

Su segunda derivada f’’(x) ��x2 �

e

3x

x � 1� se anula en dos puntos:

x1 ��3 �

2

�5��� 0,382 y x1 ��

3 �

2

�5��� 2,618, generando dos puntos de inflexión.

•

• OP

Q

2

2

X

Y

f (x) = √ 1 – x²

• • ••

O 0,5

0,5(0; 1)

(0,38; 1,04)(2,62; 0,76)

(1; 1,1)

X

Y

x² + x – 1ex

f (x) =