Métodos Numéricos

Aproximación de Funciones

APROXIMACION DE FUNCIONES

• En este capítulo se estudiará la aproximación de funciones disponibles en forma discreta (puntos tabulados), con funciones analíticas sencillas, o bien de aproximación de funciones cuya complicada naturaleza exija su reemplazo por funciones más simples, específicamente por polinomios.

• Una vez que se ha determinado un polinomio Pn(x) de manera que aproxime satisfactoriamente una función dada f(x) sobre un intervalo de interés, puede esperarse que al diferenciar Pn(x) o integrarla, también aproxime la derivada o integral correspondiente a f(x).

Aproximación polinómica

xi x0 x1 ... xn

f(xi) F0 f1 ... fn

Se realiza cuando la función puede ser conocida en forma explícita o mediante un conjunto de valores tabulados para cada uno de los argumentos por donde pasa la función (valores funcionales).

Normalmente se acepta aproximar a la función tabulada en puntos coincidentes mediante un polinomio de grado “n” (condición de aproximación):f(xi) Pn(xi) ; para todo xi en [xo,xn]Donde: Pn(x) = anxn + an-1xn-1+...+a1x+ao, con an0

Aproximación polinómica

Aproximación polinómica

Donde: E(x) = f(x) – Pn(x) ; Para todo x en [x0,xn]Observaciones:1) Los polinomios son funciones fáciles de derivar, integrar, evaluar y de programar en un computador. Véase :

2) Los polinomios presentan propiedades analíticas importantes que facilitan el cálculo de las raíces del polinomio, así mismo nos permite identificar el tipo de raíz (Real ó complejo).

Cálculos Analíticos

• Interpolación : f(x)Pn(x), x en [xo, xn]

• Extrapolación : f(x)Pn(x), x<x0 o x>xn

• Diferenciación : f’(x) P’n(x)

• Integración :

b

a

b

an dxxPdxxf )()(

Cálculo de Polinomio Interpolante

nnn

n

n

n

n

nn

nn

nn

ini

nn

nnn

n

y

y

y

y

a

a

a

a

xxx

xxx

xxx

xxx

eVandermondde

LinealesEcuacionesdeSistema

niparaxPxf

axaxaxaxaxP

2

1

0

2

1

0

1

2

1

22

1

1

11

0

1

00

1

2

2

1

10

1

1

1

1

0

Este procedimiento en la practica no es muy usual debido a que la matriz de Vandermonde es mal condicionada.

Propiedades de Aproximación1) Siempre que se acepte aproximar la función f(x)

mediante un polinomio de grado n: Pn(x) que pase por (n+1) puntos coincidentes, se puede construir un polinomio que es único (propiedad de existencia y unicidad).

2) El error de aproximación viene dado por:

3) Cota superior de error (M):

],[;,lg

))...()(()!1(

)()()(

00

10

)1(

nn

n

n

nn

xxxxxúnaPara

xxxxxxn

fxPxfE

],[)(:

)())(()!1(

)()()(

0

)1(

10

n

n

nnn

xxxparaxfmáxMDonde

xxxxxxn

MxPxfxE

INTERPOLACIÓN NUMÉRICA

• Consiste en estimar el valor de la función f(x) para cualquier argumento x, conociendo la función de manera explícita o mediante un conjunto de valores tabulados (xi, f(xi)).

Herramientas de Interpolación• A continuación definiremos algunas herramientas

que nos permitirán más adelante construir un polinomio de interpolación:– Diferencias Finitas– Diferencias Divididas

Diferencia Finita hacia adelante o progresiva

• Diferencia finita de primer orden:

• Diferencia finita de segundo orden:

• Diferencia Finita de orden n:

kkk fff 1

kkk fff 1

2

k

n

k

n

k

n fff 1

1

1

Tabla de diferencias finitas hacia adelante (h=constante)

Diferencia finita hacia atrás o regresiva:

Diferencia Finita Central:

1

11

k

n

k

n

k

n fff

2/1

1

2/1

1

k

n

k

n

k

n fff

Diferencias Divididas

Se define para puntos o argumentos

desigualmente espaciados:

• Diferencia dividida de Primer orden:

• Diferencia dividida de segundo orden:

• Diferencia dividida de orden “n”:

ii

iiii

xx

xfxfxxf

1

11

)()(],[

ii

iiiiiii

xx

xxfxxfxxxf

2

12121

],[],[],,[

ini

niiniininiii

xx

xxfxxfxxxxf

],...,[],...,[],,...,,[ 11

11

Polinomio de interpolación de Newton basado en diferencias Divididas

• Sea la función f(x) tabulada para (n+1) puntos, siempre es posible construir un polinomio de grado “n” (o menor) que pase por dichos puntos y se le puede dar la forma:

• Se trata ahora de determinar los coeficientes ak.Si x=x0, Pn(x0)=a0f(x0)Si x=x1, Pn(x1)=f(x0)+a1(x1-x0)f(x1)a1=(f(x1)-f(x0))/(x1-x0)=f[x0,x1]

• Es estudiante puede demostrar que en general se cumple:

))...()((....))(()()()( 110102010 nnn xxxxxxaxxxxaxxaaxPxf

kk xxxfa ,...,, 10

Por lo tanto:

Error de Interpolación

Se suele aproximar el error considerando x=xn+1,

es decir, se requiere un punto adicional.

n

i

i

j

ji

n

k

kkn

nnn

xxxxfxfxxxxxxfxfxP

xxxxxxxxxfxxxxxxxfxxxxfxfxP

0

1

0

00

1

1000

11010102100100

)(]...[)())...(](...[)()(

))...()(](...[))(]([)]([)()(

n

i

inn

n

i

ni

n

n

n

n

xxxxxxfxe

xxxxn

fxxxxxx

n

fxe

0

10

0

0

)1(

10

)1(

)(]...[)(

],[)()!1(

)())...()((

)!1(

)()(

Ejemplo.- Obtener el polinomio interpolante

x 0 1 2 4 5

y 2 3 10 66 127

Estime y(2.5)

Tabla de diferencias divididas

x y y[ , ] y[ , , ] y[ , , ,] y[ , , , ,]

0

1

2

4

5

2

3

10

66

127

1

7

28

61

3

7

11

1

10

ºº

º

º

º

De la tabla anterior, obtenemos los coeficientes del polinomio interpolante:

321043210

2103210

102100100

,,,,

,,,

,,,

xxxxxxxxxxxxxy

xxxxxxxxxxy

xxxxxxxyxxxxyyxP

2

421002101

104012

3

xxP

xxxxxxx

xxxxP

625.175.2

25.25.25.2 3

y

Py

Polinomio de interpolación basado en Diferencias Finitas Progresivas

• Se debe hallar una relación entre las diferencias finitas y divididas; se deja como ejercicio la demostración que:

• Reemplazando en el polinomio basado en diferencias divididas se tiene:

k

k

khk

fxxxxf

!],....,,[ 0

210

))...((!

...))((!2

)(!1

)( 100

102

2

01

00

nn

n

n xxxxhn

fxxxx

h

fxx

h

ffxP

Polinomio de interpolación basado en Diferencias Finitas Progresivas

• Teniendo en cuenta que los intervalos se tomarán igualmente espaciados (h=cte) para x, y haciendo el cambio de variable, se demuestra que:

• Esta última forma se conoce como polinomio de interpolación de Newton Progresivo con cambio de escala.

• Queda para el estudiante como ejercicio la deducción de la fórmula de error para el polinomio anterior.

i

sfsPf

n

nsssf

ssfsfsP

i

sfsP

fn

nsssf

ssfsfsP

h

xxs

n

i

i

n

n

n

n

i

i

n

n

n

0

0

00

2

000

0

00

2

00

0

)(!

)1)...(1(...

!2

)1()()(

!

)1)...(1(...

!2

)1()(

Ejemploa) Aproximar la siguiente data usando un

polinomio basado en diferencias finitas:

X 2 3 4

Y 0 -1 0

b) Estime Y(2.5):

c) Calcule el error cometido, si esta data se

obtuvo de la función Y=sen(pi*X/2)

Solución

Tabla de diferencias finitas:X Y ΔY Δ2Y

2

3

4

0

-1

0

-1

12

sssP

ssssP

Yss

YsYsP

2

2!2

110

!2

1

2

0

2

00

0429.0

7071.02

5.25.2

75.05.025.05.0

5.01

25.2

1

2

5.2

2

0

Error

seny

sP

s

X

h

XXs

X

Polinomio de interpolación basado en Diferencias Finitas Regresivas

Polinomio de interpolación basado en Diferencias Finitas Centrales

Polinomio de Stirling

Queda para el estudiante demostrar que el polinomio anterior puede

representarse en la forma siguiente:

h

xxsquecuentaenTeniendo

fn

nssssf

sssf

ssfsfsP

n

n

n

nnnnn

:

!

)1(...)2)(1(...

!3

)2)(1(

!2

)1()( 32

...

2!5

)2)(1(

!4

)1(

2!3

)1(

!22!1)(

2/1

5

2/1

522222

0

4222

2/1

3

2/1

322

0

22

2/12/102

ffsssf

ss

ffssf

sffsfsP m

h

xxs

i

is

i

isfsP

n

ns

n

nsssssfsP

in

i

i

n

nn

n

02

0

1

12

2/102

2

0

12

2/1

4

0

3

2/1

2

02/102

2

1

12

1)(

2

1

12

1...

4

1

3

1

21)(

Polinomios de interpolación de Lagrange

Para intervalos iguales o no.

para algún:

))...()(()!1(

)()()(

)(

)()(...)()()()()()()(

10

)1(

0

0

1100

n

n

nn

n

ijj ji

j

i

n

i

nniin

xxxxxxn

fxPxfE

xx

xxxL

xfxLxfxLxfxLxfxLxP

],[;, 00 nn xxxxx

Ejemplo

X Y

0 -2

2 2

5 6

Obtener el Polinomio de Lagrange de la siguiente data:

215

34

15

2

62505

202

5202

502

5020

52

2

2

2

1202

101

2101

200

2010

212

xxxP

xxxxxx

xfxxxx

xxxxxf

xxxx

xxxxxf

xxxx

xxxxxP

AJUSTE POR MINIMOS CUADRADOS

Dado un conjunto de pares ordenados (xi, yi), se

busca una función de aproximación g, tal que:

g(xi) se aproxime a yi para i=1, 2, ..., n

• De un modo general, una función aproximante dependerá de varias constantes , es decir:

• Para i=1, 2, ...., n, definimos las desviaciones como:

• La función aproximada deberá ser escogida de forma que tales desviaciones sean pequeñas en valor absoluto.

• Esta función puede ser elegida como una combinación lineal de otras:

• Por ejemplo, la aproximación mediante una recta será:

),...,,,()( 21 kcccxFxg

kiii cccxFyd ,...,,, 21

kkk ccccxF .....),...,,( 111

2121 ),,( cxcccxF

• El método de los mínimos cuadrados consiste en obtener una función de aproximación, que busca:

• Se busca entonces, minimizar la suma de los cuadrados de las desviaciones:

n

i

idMinimizar1

2

n

i

ikkii

n

i

ik xcxcydcce1

2

11

1

2

1 ...),...,(

por lo tanto:

Aproximación de una recta por mínimo

cuadrados:

n

i

n

i

i

n

i

i

n

i

n

i

ii

n

i

ii

ycxc

yxxcxc

cxcxg

1 11

21

1 11

2

2

1

21

1

)(

kjc

e

e

j

,...,1,0

0

Forma Matricial del ajuste o regresión por mínimos cuadrados

Sistema sobre-determinado para ajuste de una

recta

Escribiendo la ecuación c1x + c2 = y para todos

los puntos conocidos (xi , yi), i =1,..,n obtenemos

un sistema sobre-determinado:

nn y

y

y

c

c

x

x

x

2

1

2

12

1

1

1

1

Forma Matricial del ajuste o regresión por mínimos cuadrados

O:

Donde:

ycA

nn y

y

y

y

x

x

x

A2

1

2

1

1

1

1

Ecuación normal para el ajuste

El cuadrado de la norma 2 de r = y – Ac es:

La minimización de requiere que:

La minimización de requiere que:

A esta ecuación se le denomina ECUACION NORMAL.

Factor de regresión:

n

y

y

dataladey

ajustedefuncionladey

yy

yy

R

n

i

i

m

i

i

n

i

mi

n

i

mi

1

1

2

1

2

2

ˆ

ˆ

Factor de regresión:

• El factor de regresión mide la eficiencia del ajuste,

• Cuando R2 =1 la función de ajuste coincide con la data.

• Cuando R2 es cercano a 1 el ajuste se considera aceptable.

• Cuando R2 es cercano a 0 el ajuste se considera pésimo o deficiente

10 2 R

Reducción a problemas de mínimos cuadrados

• Las funciones:

• Se puede linealizar:

bx

b

aey

axy

xbay

xbay

)log()log(

)log()log()log(

EjemploAjustar los siguientes datos a una recta:

X 0.1 0.4 0.5 0.7 0.7 0.9

Y 0.61 0.92 0.99 1.52 1.47 2.03

Se ajustará a la recta: y=c1 x + c2

se plantea el siguiente sistema M*C=Y

03.2

47.1

52.1

99.0

92.0

61.0

19.0

17.0

17.0

15.0

14.0

11.0

2

1

c

c

Planteando la ecuación normal: MT*M*C=MT*Y

03.2

47.1

52.1

99.0

92.0

61.0

111111

9.07.07.05.04.01.0

19.0

17.0

17.0

15.0

14.0

11.0

111111

9.07.07.05.04.01.0

2

1

c

c

93.0

2862.07646.1

2862.0

7646.1

54.7

844.4

63.3

3.321.2

2

2

1

2

1

R

xy

c

c

c

c

EjemploAjustar los siguientes datos a la función y=axb

x 1 1.2 1.6 2

y 1 1.3 1.4 1.7

Ln(y)=Ln(a)+b*Ln(x)

Y=A+BX

A=0.0514

B=b=0.6874

a=1.0525

y=1.0525x0.6874

Interpolación segmentaria o SplinesUn Spline o trazador es una función que

consiste en trozos de polinomios unidos con

ciertas condiciones de continuidad.

Dados los nodos xo<x1<…<xn, un spline de grado

k con esos nodos es una función S tal que:

•En cada sub-intervalo [ti-1,ti] S es un polinomio

de grado k

•La (k-1)-iésima derivada de S es continua en

[xo, xn]

Spline Lineal

1,,2,1,0,,,)( 1 nixxxparabxmxs iiiii

Las condiciones, y producen 2necuaciones para encontrar 2n incógnitas. Aplicando esto, conseguimos:

iii yxs )( 11 )( iii yxs

1

1

1

1

1

1

1 ,),()(

iii

ii

ii

i

ii

i

i

ii

i

ii xxxxxxx

yyy

xx

xxy

xx

xxyxs

cuyo resultados son líneas rectas que ensamblan puntos vecinos.Claramente se observa que, es la formula de interpolación deLagrange para un conjunto de datos que consiste de los siguientes puntos:

y

)(xsi

),( ii yx ),( 11 ii yx

Ejemplo Encontrar los Splines lineales para el siguiente conjunto de datos:

Splines Lineales:

i 0 1 2 3 4

x 0 5 7 8 10

y 0 2 -1 -2 20

]5,0[,5

2

05

02

50

50)(0

xx

xxxs

]7,5[,5.95.157

51

75

72)(1

xx

xxxs

]8,7[,678

72

87

81)(2

xx

xxxs

]10,8[,9011810

820

108

102)(3

xx

xxxs