Estándares: pensamientos nu méricoy variacional

Selecciona la opción correcta.

1 . -:s fa:tcres en el producto 2 x 3 x 13 : 78 son:

mcm . :l mcd de varios números:- : :r ,:ión de problemas.

2. El total de libros que hay en 12 repisas que con-tienen 15 libros cada uná es:

a. 'lB0 b. 120 c. 150 d. 170

3. El conjunto de todos los divisores exactos de 24 es:

a. '1, 3, 6,12,24 c. 1,2,3,4,6,8,12

b. 1,2,3,4,6,8,12,24 d. 2,4,6,8,12,24

4. Determina la división que es exacta.setencras

a.2,3y78b.3,13y78

a. B+36.96+12

c. 2,3y 13

d.2,13y78

c. 236 +

d. 181 +

El ¡valuaciones:/ De Cese-:='

El e Muttimedia

1 Galería

8 Actividades

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-dñ...Para comprender cómofunciona [a seguridaden informática.{ntiguamente se creía que los núr rr:'ro tenían una ap icac ón csl.'- '' -- -

r.eales. Sin embarqo, er' ,'

-l¿rr. L,l le :

ITansrr- it -

leel ,-....

78¿0d, (

L. MÚttíPtos @¡ Enraceweb

Una de las grandes preocupaciones de los matemáticos ha sido el estudio de las pro-piedades que existen en los números naturales. Hoy en día el conocimiento de las

propiedades de los naturales contribuye a la solución de problemas cotidianos y se aplica

en la programación de computadores, entre otros usos.

l.L Múttiptos de un número $il, Actividad

Los múltiplos de un número a son todos aquellos números que resultan de mul-tiplicar a por todos los números naturales, incluyendo el cero.

El conjunto de los múltiplos de un número o se simboliza Mo.

Por ejemplo, para hallar los múltiplos de 4 se realizan las multiplicaciones4 x 0, 4 x r, 4 x 2, 4 x 3, 4 x 4, 4 x 5, 4 x 6,...

Este conjunto se nota Maf se puede determinar así:

PorextensiónMs: {0,4, B, 12, 16,20,24, ....1

Por compren sión Ma : {xl x es un múltiplo de 4}.

L.2 Propiedades de tos múttiptosLos múltiplos de un número cumplen las siguientes propiedades:

¡¡ Todo número es múltiplo de sí mismo.

¡t Cero es múltiplo de todo número.

tt El conjunto de múltiplos de un número es infinito.

El folleto de un almacén de ropa tiene más de7 pá-

91¡a' )- menos de 22 páginas.

-{demás, el número de páginas del folleto es multiplode 3 .v multiplo de 5. ¿Curíntas páginas tiene el fo-lleto?

Prinrero, se hallan los múltiplos de cada número.

Los múltiplos de 3 mayores que 7 y menores que 22 son

9, 12, 15 y 18.

Los múltiplos de 5 mayores que 7 y menores que 22 son

r0,15 y 20.

[.treso. se busca el número que cumpla las dos condi-ciones.

En este caso el número que cumple las dos condicioneses 15.

l)or t:rnto, el folleto tiene 15 páginas.

r.}

--a.

t

: ;on esta regla-+:l cm, 56 cm,

l.ucso. las longitudes que se p;=i-:- ::--ison 7 cm, L+ cm, 28 cm, 35 crc-. -l ;¡::.63 cm,...

fp Responde las preguntas. Justifica tus respuestas.

l. ¿Todo múltiplo de un número par es par?

2. ¿Todo múltiplo de un número impar es impar?

3. ¿Cuál es el múltiplo más pequeño que tiene unnúmero natural?

4. ¿El conjunto de múltiplos de un número se puede

ordenar?

5. ¿Los múltiplos de un número É se obtienen al

multiplicar É por los números naturales?

QEscribe los primeros múltiplos de 6 en la tira verdey los de 8 en la tira azul. Luego, responde.

I

I

-l

lr6.

7.

¿Qué característica tienen los números que se

ubican donde se cruzan las tiras?

¿Cuál es el número más pequeño distinto de 0que se ubica donde se cruzan las tiras?

Q UAU los diez primeros elementos de los siguientesconjuntos.

8. M2

9. M3

@EscribeV, si la expresión es verdadera o F, si es falsa.

Justifica tu elección en cada caso.

14. 0 es mírltiplo de 100. ( )

15. 500 es múltiplo de 500. ( )

16, 20 es múltiplo de I . J¡ i.

17, 15 no es múltiplo de .: i ;. -

@O,." forma de definir el multiplo ,1. u: :un;rr, =,

El múltiplo de un número es el qu; . - - : - .- . -.número exacto de veces. De acuerdo :i:. :,:. -::lción comoleta las sisuientes exoresion-: :: : :.::inUmerO eXaCtO Oe veCes. lje aCUerdO :i:. :,:: -:ll -

ción completa las siguientes expresion.: ::::. :::que sean verdaderas.

18. 48 es múltiplo de 16, porque lo con¡:;:-veces.

19.240 es múltiplo de 20, porque io ;onriene- _ veces.

lo. Ms

ll. M6

12. M8

13. Mtr',

@tO. Determina de qué número son múltiplos losnúmeros del conjunto 1l4,.

M,, : 1.... 36, 45, 54, 63, 72, 81, ...1.

@Responde las preguntas y justifica tus respuestas.

21. ¿En dónde hay más múltiplos de 2, entre ll y 2lo entre l0 y 20?

22. ¿En dónde hay menos múltiplos de 3, entre 3 y15 o entre 9 y 19?

@HAU el número o los números que cumplan concada grupo de condiciones.

23. Par menor que 20. Múltiplo de 2 y múltiplo de 5.

24.Impar mayor que l5 y menor que 30. Múltiplode 3 y múltiplo de 6.

25. Par mayor que 18 y menor que 36. Múltiplo de 4

y múltiplo de 16.

26. Múltiplo de 2, 5 y l0 menor que 50.

27.E|milúplo más pequeño de 3, 5 r' 10 ditirenrede 0.

fl Res,t.l'e.

En un torneo cle fútbol se rrsis:r-,-: :--::.'.' : los

equipos de la siguie ntc l, 'nr r

:Ja) i' r Pof-nrre 40 y

- ,-, -- . : :-.,--:¿le de sexto.

- ,- - - , --: ,:io a cada paciente se le entrega, . - -- = ,- -: ;onriene un múltiplo de 3. Gabriela: -::.::.:. i9 en la fila. Determina el número- -: : :::-ne la ficha de Gabriela.'-'

-='-ro automático utiliza billetes cuya deno-

-...,¡ión es $10.000, $20.000 y $50.000.. - -:ntos billetes ,v de qué denominación enrre-:=il a una persona que hace un reriro de $600.000'.. que ader.nás recibe la menor cantidad de billetes?

Matemáticamente

¿Sabes alguna manera para

I determinar los divisores de ¡t,^l

i un numero/ ;\**.. "*,.**l

2. DivisoresEn el estudio de la teoría de números es importante conocer el concepto de diviso¡ suspropiedades y algunos criterios de divisibilidad. Los cuales se utilizan frecuentementeen la descomposición de factores primos.

2.1 Divisores de un número

Los divisores de un número d son todos aquellos números que dividen exacta-mente dicho número. El conjunto de divisores de un número a se simboliza Do.

Por ejemplo, el conjunto de los divisores de B se puede determinar por extensión comoDs : {1, 2, 4,8I y por comprensión como Ds : lxlx es múltiplo de Bi.

2.2 Propiedades de los divisores de un númeroLos divisores de un núme¡o cumplen las siguientes propiedades: \:: Todo número es divisor de sí mismo. \

:: Uno es divisor de todo número.

:: El conjunto de diyisores de un número es finito.

6+t:6,residuo0¡.+J-2,residuo0- - i : 1, residuo I

1. Determinar todos los divisores de 6.

Primero, se realiza la división de 6 entre los númerosnaturales menores o iguales que 6.

6 + 2:3, residuo 0

6 - 4: l, residuo 2

6 + 6: 1, residuo 0

se eligen los números de los que se obtienen divi--\acta, en este caso: 1, 2,3,6.

rr. se obtiene que el conjunto de los divisores.._ 11 \ 1 /1- il, z. J, ol.

). R=:- -.'=r la siguiente situación.

- -- -' :.: =: Je campamento a una laguna; ellosq-*r:::: : -: . '.. - :: -::os con el mismo número de personassin c--: i - ::. - -:-rr(). ;Cuántas personas pueden estaren ca;: i-'-. ,

Primero. j: l-' . r: .--::¡ los números 1, 2, 3, 4, 5, 6,7,8,9,1rJ.-: -: = -: -6.

Luego, se elige:: -:-i ---:: : ,-L\-as divisiones resultaronexactas. En esre c-- -- I :. 4, 8, 16l

Finalmente. se con;- , - :, -: , : '.'-nes del campamentopueden hacer qrupos :- - -. - : 16.

3. Probar que se cumplen las propiedades de los divi-sores, con el conjunto de divisores de 9.

' 9 es divisor de 9 porque la división es exacra. Se cumplela propiedad que indica que todo número es divisor desí mismo.

' I es divisor de 9 porque la división es exacra. Se cumplela propiedad que indica que I es divisor de todo número.

' Los dir.isores de 9 son el conjunto de D9 : ll, 3,91,formado únicamente por tres elementos. Se cumple lapropiedad que dice que el conjunto de divisores de unnúmero es finito.

4. El conjunto de divisores propios de un número es

aquel que incluye a los divisores del número sin elnúmero. Por ejemplo, los divisores propios de 8 son1. l. +. Un número perfecto es aquel que es igual ala suma de todos sus divisores propios. Por ejemplo,6 es perfectoraque6 : 1 * 2 + 3.

Determina¡ si 36 es un número perfecto.

Se suman los dilisores propios de 36 y se observa si elresultado es igual a 36.

l+2-3+4+6+9+12+18:55Entonces, como el resultado no es igual que el número se

determina que 36 no es un número perfecto.

2.3 Criterios de divisibitidad EDt Actividades trlt ,,ffi|ffi'.

Los criterios de divisibilidad son reglas que permiten determinar si un número es

divisible entre otro, sin necesidad de ejecutar la división.

En la siguiente tabla se presentan los criterios de divisibilidad de uso más frecuente:

Divisibilidadentre'

Dos

' Ties

Cuatro

Cinco

Seis

-* Nueve

Diez

Criterio

Si Ia última cifra es par.

Si la suma de sus cifras es múltiplo de tres.

Si sus dos últimas cifras son ceros o forman un múltiplo de cuatro.

Si la última ciFra es cero o cinco.

Si es divisible entre dos y entre tres.

Si la suma de sus cifras es múltiplo de nueve.

Si la última cifra termina en 0.

El matemático francés Blai-

se Pascal en el siglo XVll

propuso las reglas para

determinar la divisibilidad

entre cualquier número.

Recuerdo que.,'

0 es un nÚmero Par'

1. Determinar si 480 es divisible entre 2, 3, 4, 5 y 6.

. 480 es divisible enrre 2 porque es cifra par.

. 480 es divisible entre 3 porque 4 + 8 + 0 -- I2y 12

es múlriplo de 3.

. 480 es divisible ente 4 porque sus dos últimas cifras

forman el número B0 y 80 es múltiplo de 4.

. 480 es divisible entre 5 porque termina en cero.

. 480 es divisible entre 6 porque es divisible entre 2 yentre 3.

2. Determinar todas las cifras que hacen que la expre-

sión"793x es divisible entre 3" sea verdadera.

Se quiere que 793x sea divisible entre 3, entonces, lasuma de todas las cifras debe ser múltiplo de 3. En este

::so se remplaza Ia.r por números de cero a nueve para

:eterminar cuáles sumas h,rcen que el número sea un:lúlriplo de 3.

-ir.r': 0, 7.930 no es divisible entre -1. -.-a que:

7+9+3+0:19y19noesn'-u : I,7.93I no es divisible entre -1. '.'-:

::r,lo de

-7

i

2,7 .932 es divisible entre 3, ya que:

+ 9 + 3 -t 2 : 2l y 2l es múltiplo :. -i

3,7.933 no es divisible entre 3, ya qu-:

- + 9 + 3 * 3:22y22no esmúltiplo de 3.

: 4,7 .934 no es divisible entre 3, ya que:

- -9+3+4:23y23 noesmúlripiode 3.

7

Six:

Si x : 5,7.935 es divisible entre 3, ya que:

7 + 9 + 3 + 5 : 24y 24es múltiplo de 3.

Si x : 6,7 .936 no es divisible entre 3, ya que:

7 + 9 + 3 + 6 : 25 y 25no es múltiplo de 3.

: 7,7 .937 no es divisible entre 3, ya que :

7 + 9 + 3 -l7 :26y26 no es múltiplo de 3.

8,7.938 es divisible enrre 3, \¡a que:

+ 9 + 3 + 8 : 27 y 2- es núlriplo de,i.

7+9+-l-9:-¡Luego, las cifras que hacen que la expresión sea verdadera

son2,5y8.

3. Los números de las camisetas de cinco jugadores son

de dos dígitos. Además, dos de los cinco númerosson divisibles entre 9 r'entre 2 perc no entre 10 nientre 4. Y los otros rres son divisibles entre l0 y entre

3. ;Cuáles son los números de las cinco camisetas?

Primero. s- i-ls;an los números de dos cifras que sean

:, ,.-:-.. -::::9 r'2: 18, 36,54,72y90.

Lu=so. . -¡,s números anteriores se les quita los divisibles-'-:'. - - '. enrre 4. Los números que quedan son 18 r'i-,Finalmente, se buscan los números de dos cifras que se .:;: -.r¡,es entre 10 y entre 3:30,60 y 90.

Po: ::nto, los números de las camisetas de lo. -i-- ':sor , S. 30,54,60 y 90.

a

flResponde las preguntas. Luego, justifica la respuesta.

31. ¿6 es divisor de 3?

32. Si A es divisor de B y -B es a su vez divisor de Centonces, ¿es posible que,4 sea divisor de G

33. Si A es divisor de .8, ¿es posible que B sea divisordeA?

51.2.300

52.4.598

53.12.567

Q Determina por extensión los siguientes conjuntos.

34. De: {xlx es divisor de 9}

35. Dn: {xlx es divisor de 30i

36. Dc : {xlx es divisor de 421

@ D.t.r-irra el valor de a encada caso.

37.D,:11,2,4,81

38. D, : II,7\

39. D,: 11,2,5,7, \0,14,35,70}

@ Escribe un número que cumpla con cada grupo de

condiciones.

54.Impar, divisor de 45, mayor que 10 y menor que

20.

55.Par, divisor de 56, mayor queT y menor que 17.

@f.. h siguiente información.

@Escribe V si la afirmación es verdadera y E si es falsa.

Justifica la respuesta.

40. EI conjunto de divisores de un número es infinito.()

41. Algunas veces un número es divisor de sí mismo.()

42.Todo número puede dividirse entre 1. ( )

43. Algunos números pueden dividirse entre l. ( )

ll. l0l

@ S.rb."y".l número o los números que no hacen parte ]

del conjunto.

44. D)o : {1,2,3, 4, 5. 10.

45.D. : il. l. 3. +. r. (.. -

46. D -. l. -. <.'. -

Q +-. Complera ia sisrien¡= Ébl¿

Números It:,29-- . '/'136

|,-_,*--__-,*__-.-1-*. - --

Dirisibili.l"d entre

-3+56

2.59_8 .

15.876

7

x

Q D.t.r-ina si los números dados en cada caso son

divisibles entre 6, 9 y f 0 al mismo tiempo.

48.368

49.480

50. r.230

Dos números son amigos cuando la suma de los di-visores propios de cada número, da como resultado

el otro número. Por ejemplo, los números 220 y 284cumplen esa propiedad ya que:

Dzzo : Ir, 2, 4, 5, 10, I r, 20, 22, 44, 55, ll0!t + 2 + 4 + 5 + 10 + ll + 20 + 22 + 44 + 55

+ 110 :284

Dzsq : II , 2, 4, 7I , I42\

I+2+4+71+142:210Lueqo, los números ll0 r'18+ son amigos.

Derern-un¿ sl :¿ca par de números son amigos.

56.' .'-S= i i.l1[r

5-. --.1i6 r-18,416

Q R.rrr.l',e.

58. En una clase hay 35 estudiantes. ¿De cuántas

fb¡mas se pueden agrupar, para realízar un trabajode matemáticas, de tal manera que cada grupotenga la misma cantidad de estudiantes?

59. Con 80 cuadrados, ¿cuántos rectángulos de formasdistintas y sin que sobren cuadrados se puedenformar?

60. Una fábrica produce cierta cantidad diaria de

galletas que empacan en cajas de tal forma que Iacantidad de galletas de cada caja es divisible entre10 y I I v no es mayor que 130 galletas. Si utilizan1.300 cajas, ¿cuántas galletas se producen en undía?

3. Núrneros primüsy númer0s cürnpLf est*g EI} Actividad Bi,,,TJIlliü,,

3.1 Números primos

Un número natural es primo si y sólo si tiene exactamente dos divrsores diferentesque son 1 y él mlsmo.

En símbolos se escribe: a es primo si y sólo si D,, : {1, a}. Los prime ros números primosson2,3,5,7,lly 13.

3.2 Criba de Eratóstenes E i flT?lH:f:

Para hallar los números primos, Eratóstenes, famoso matemático del siglo III a. C., ideó

un método conocido como la criba de Eratóstenes, tabla que permite hallar los números

primos hasta determinado número. Para hallar los números primos que hay entre uno ycien, se construye esta tabla teniendo en cuenta los siguientes pasos:

Primero, se escriben los números naturales de uno hasta cien y luego, se tacha el número1. A partir del número 2, se tachan los múltiplos de 2 sin el 2. Así:

Luego, se tachan los nrrilriplos cle 3. 5 r' 7 (sin 3, 5 y 7) y sus respecrivos múltiplos.

1 6 8+ 9 t0I t2 i+ 1i r6 l- 1B L9 20

2 22 l-r l+ lr :6 l- 18 :q 30

) 32 33 i+ -1: -1r-. - - j: ,r') +0

4 42

5 52 53 t 54 :: (,-- :- tS i 60

6 62 63 64tGi (ri 68 69,707 72 73 74 -9 80

8 82 83 84 8i Stí S- i 88 89 90

9 92 93 94 95 t)6 -- 98 99 100

Así, los números que quedan sin tachar son -,,.:..:ros que hav entre 1 y 100. En con-clusión, los números primos menores que ir ' ,:,1: 1,3, t. -. 11. 13, 17,19,23,29,L1 ).- l1 lZ l-7 <l <O t,1 t,- -7 I 7? -.r .: aO O"

Jt--'. af:a-l,4,JJ,J/\ur\u \ t, J. J/,/

I 2 J 4 5 6 7 B 9 10

11 t2 13 r4 r5 r6 t7 18 r9 20

2t 22 23 24 25 26 27 28 29 30

3r 32 17 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

5r 52 53 54 55 56 57 5B 59 60

6t 62 rJJ 64 65 66 67 68 69 70

71 7) 73 /4 75 76 77 78 79 80

81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

3.3 Números compuestos

Un número natural es compuesto si tiene más de dos divisores distintos'

Por ejemplo, el número 4 es compuesto porque los divisores de 4 son 1,2 y 4.

En la criba de Eratóstenes, roda la serie de números sombreados (sin contar el 1) son

números compuestos.

Ni el uno ni el cero se consideran primos porque el 1 tiene un único divisor que es él

mismo, y el cero tiene infinitos divisores.

Determinar cuáles participantes fueron los finalistas del reality teniendo en cuenta

que quedaron aquellos que tienen en su escarapela números primos.

6M"t.o J--

Para determinar quiénes fueron los finalistas se debe determinar cuáles escarapelas tienen

números primos. Para ello se mira el conjunto de divisores de cada número utilizando

los criterios de divisibilidad.

' El conjunto de divisores de27 es D27 : II,3,9,27l.Luego,27 es un número com-

puesto ya que tiene más de dos divisores diferentes.

' El conjunto de divisores de 13 es Dr3 : {1, 13}.Luego, 13 es un número primo r-a

que tiene solo dos divisores diferentes.

' EI conjunto de divisores de 57 es D57 : {1, 3, 19, 57i. Luego, 57 es un número com-

puesto ya que tiene más de dos divisores diferentes.

' El conjunto de divisores de 29 es D,o : II,29I. Luego,29 es un número primo va

que tiene solo dos divisores diferentes.

Entonces los finalistas del reality fueron Diana y Andrés.

2. Determinar si la afirmación es verdadera o si es falsa.

a. Todos los números primos son impares.

E::¡ afirmación es falsa va que 2 es un número primo y es par.

b. El producto de un número primo con otro primo distinto no es número primo.

:,:= -.-::ración es verdadera. porque el producto de dos números primos tiene con:--'.-i::.¡ :,rr lo menos a l, a uno de los números. al otro número v al producto de i¡,:--:::=:.,:. :. Jecir, tendría por lo menos cuatro divisores distintos. Por ello, sería';1'-it:=tcf -a::r::isto, no un número primo.

f)Responde.

61. ¿Cuántos divisores tiene el cero?

62. ¿El cero es un número primo?

63. ¿Todos los números impares mayores que 9 son

primos?

64. ¿Cuáles son los números primos que hay entre 50

y 100?

65. ¿En dónde hay más números primos: entre 30 y40 o entre 60 y70?

@Escribe un número que cumpla cada condición.

66. Primo y par.

67. Compuesto y par.

68. Primo e impar.

69. Compuesto e impar.

Q Co-pl"ta cada expresión con las palabras 'todos","algunos" o "ningún" y con los ajustes necesarios

para que sea verdadera.

70. números pares son primos.

71.

-

números impares son primos.

72.

-

números pares son compuestos.

73. -- números impares son compuestos.

Q D.te.-ina por extensión cada conjunto.

74. A : {x/x es un número primo menor que 50}

75, A : {x/x es primo mavor que 20 y menor que 80}

76. A : {x/x es dir-isor de 18 r' es primo}

77, A : {xlx es divisor de :t-r :,' -s .-¡l:lFu-sto

78. A : lxl x es divisor de l+ .. -s :--:r: *;s::

@rc. h siguiente información.

Los números primos gemelos son aqu<--,: :_ : :-:r-:--.diferencia 2. Por ejemplo, 3 y 5 son pr:::,: :.:--:- -:.yaque5-3:2.Determinar en cuál de

números existen primos

79. Entre I0 y 20.

80. Entre 50 y 80.

los siguientes i;l¡=:-.''' :,jgemelos.

81. Entre ltt' -,-'.

82. Entre l0 r -00.

fl lnterpreto .13 Argr*"nto . Q Ejercito. @ R"tono. Q Soluciono problemas

de

@Responde y justifica tu respuesta.

83. ¿Es posible encontrar un número primo que sea

igual a tres veces el menor número primo aumen-

tado en 13? De ser posible determínalo.

Q f"" h siguiente información. Luego, resuelve.

El matemático Christian Goldbach formuló la si-

guiente conjetura: todo número natural Par, mayor

que 2, se puede escribir como la suma de dos números

primos.

Escribe los siguientes números como la suma de dos

números primos.

86. 86

87.102

Todos los

númerosprimos

terminanen 1.

Joaquín

fl R.r,r.l'..

91, L:s ned:das de los lados de un triángulo son tres

:-..::.-:--: ::-¡::os co¡:securir-os. Si el perímetro del

:.-.::-*-.. ¡s -i. ;cuánto miden sus lados?

=^ .as s¡guientes páginas aprendeiás a qué se [e de-

.-'r'rina facto¡ización de un número y dos métodosp¿'¿ hacerta.

84.34

85.56

88.64

89. 98

OqO. Observa lo que dice cada niño. Luego, deter-

mina el valor de verdad de las afirmaciones de

cada uno y explica el porqué.

ft.d. "ú-.;| .o-pu.r,o IL es divisiblettI entre 2.

Ana

t-^*,,-]l\I n_umeros

,-

I Pnmos son 1

I rmpares. 1

Vanesa

Algunosnumeros

Pflmosson pares.

4. Facto rización de un núrneroFactorizar un número significa expresar dicho número como un producto de nú-meros primos.

La factorización de un número también se conoce con el nombre de descompo-sición en factores primos.

Todo número compuesto se puede factorizar utilizando dos métodos: realizando un

diagrama de árbol o efectuando divisiones sucesivas entre sus divisores primos.

1. Factorizar el número 24 atilizando un diagrama de árbol.

24 5e escribe el núnrero d¿do

i\2 x I 2 Se buscan dos núnreros cu),a multiplic¿crón sea 24.

/ / \2 x 2 x 6 5ebusc¿ndosnú¡reroscryanrultiplicaciónsea12

/ / /\2 x 2 x 2 x 3 SebLrsc¡ndosnúmeroscLryamultrplicacrónse¿6.

La descomposición de 24 en factores primos es:

24:2x2x2x3.Támbién se puede expresar esta multiplicación utilizando potenciación, ya que hay un

factor que es un número primo y se repite, entonces.

24: ); \ 3.

2. Descomponer en factores primos el número 36 utiljzando divisiones sucesivas.

Para factorizar 36, se divide entre la serie de núme ros primos Q,3,5.7,...) tantas veces

como se pueda hasta obtener como cocienre la unidad. Para determinar entre cuáles

números se puede dividir. se uriliz¿n los crirerios de divisibiiidad.

36

18

9

3

1

f . . .::' :-'):, : , :: I l

3 I es airlsrble entre i

3 I es dll'srble entre 3

Ladescomposición de 36 en factores primos es: 36 : 2 x 2 x 3 X 3 : I x 32.

3. Encontrar el número según las condiciones: es un diüsor de 48, no es múltiplo de

4, no es primo, no es un divisor de 50.

Si es un divisor de 48, enronces, puede ser 1, 2, 3,4,6,8, 12, 16. 24 o 48.

Como no es un múltiplo de 4. entonces, pueden ser 1,2, 3 o 6.

Como no es primo pueden ser I o 6. t

Y finalmente, como no es un factor de 50, entonces, es el número 6.

Recuerdaque...

Dos números a Y

son Primos relativos

mcd (4, b) : 1..

5. Máximo cornÚn divisor ED Actividad ED AT[IH;;,

, El máximo común divisor de dos o más números es el mayor de los divisores

i comunes de dichos números. Si a, b y c son números naturales, el máximo común

, divisor de a, b, c se simboliza mcd (a, b, c).

Existen dos métodos para hallar el máximo común divisor de dos o más números: uti-lizando los conjuntos de divisores o descomponiendo los números en factores primos.

Para hallar el máximo común divisor, con los conjuntos de divisores, se realizan los

siguientes pasos:

!: Primero, se hallan todos los divisores de cada número.

!! Luego, se buscan los divisores comunes de los conjuntos de divisores.

3! Finalmente, se busca el mayor de los divisores comunes. Este es el máximo común

divisor.

Para hallar el máximo común diviso¡ descomponiendo en factores primos, se realizan

los siguientes pasos:

3! Primero, se descompone cada número en factores primos.

3! Luego, se escogen los factores comunes, elevados al menor exPonente.

:: Finalmente, se realiza la multiplicación de esos factores comunes. El producto es el

máximo común divisor de los números.

1. Determinar el máximo común divisor de 18 y 24,

diüsores.

Primero, se hallan todos los divisores de cada número.

a partir de los conjuntos de

Dr, : {1, 2,3, 6,9, 18]¡ D,= : {1, 2,3, 4,6, B, 1.2,24}

Luego, se buscan los divisores comunes: 7, 2, 3 y 6.

Finalmente, se tiene que el máximo común divisor es el mayor de los divisores comunes,

es decir, mcd (18, 24) : 6.

2. Daniel quiere dividir una cartulina de 40 cm de largo y 30 cm de ancho en cua-

drados con la mayor área posible, sin que sobre cartulina. ¿Cuánto debe medir el

lado de cada cuadrado?

Para encontrar la medida del lado de cada cuadrado se halla el máximo común divisorde 40 y 30, así:

Primero, se descompone en factores primos cada número.

L::=So. se determinan los factores comunes elevados al me nor

=:.::.-nfe: 2 y 5.

Fin:].;.1¡s, se realiza la multiplicación de los ticto¡es co-

m:::- : -: lo cual se obtiene que el mcd (40, 30 : 10.

Por tar::. .- -ado de cada cuadrado debe medir 10 cm. De esta forma se puede dividirla c¿¡nrl::- -:: :uadrados con la mayor área posible sin que sobre cartulina.

40

20

10

5

I

2 3012z slt2 5155 ll

G

5.1 Método abreviado para hallar ED Aaividad

et máximo común divisorPara hallar el mcd de dos o más números se pueden descomponer los números, de ma-nera simultánea, únicamente en factores primos comunes. El máximo común divisorserá el producto de sus factores comunes.

1. Hallar el mcd de 72 y 180 usando el método abre-viado.

Primero, se descomponen los números de manera simul-tánea, en factores primos comunes únicamente.

3. Determinar el máximo común diüsor de 16, 18 y 24.

Se realiza la descomposición simultánea únicamente en

factores primos comunes.

t6 18 24

891272 180

Luego, se calcula el producto de los factores comunes:

2x2x3X3:36Firralnrente, se riene que el mcd (72, I80) : 36.

2. El piso de un salón tiene forma rectangular de 16

metros de largo por 12 metros de ancho.

Si se quisiera cubrir con baldosas cuadradas delmayor tamaño posible, ¿cuántas baldosas se necesi-tarían?

Prirnero, se halla el mcd de 16 y 12, así:

En este caso el mcd (16, 18,24) : 2, porque es el únicofactor primo que divide simultáneamente a los tres nú-meros.

4. En una foristería se tienen 120 rosas blancas, 360rosas rojas y 280 rosas amarillas y se quiere formarramos con la mayor cantidad de rosas de un mismocolor.

a. ¿Cuál es el mayor número de rosas que debe ir encada ramo, de tal forma que no sobre ninguna rosa?

Primero, se descomponen simultáneamente 120,360 y280, en factores primos comunes únicamente.

2

2

30-09011) 3i 1\ i

lxlxi

180 + 40 :7 360 + 40:9::ro. se pueden formar 3 ramos de rosas blancas, 7. Je rosas a¡:arillas r- 9 ramos de rosas rojas.

36

18

6

2

90

45

r5

5

2

2

3

3

r20 280 360

60 140 180

t61rl8614j

Segrrndo. se calcula el producro c= --con io cual se obtiene que el mci - --

Lucgo, se calcula el área del salón -.las baldosas r4¿.

A,:I6X12:192 A,:=.-=-

Fin.ilruente, se divide el área del piso e:::-.;ada baldosa.

192 + 12

Por tanto, para cubrir el piso del salón se n-;-i-:baldosas de 4 metros de lado.

f)Responde.

139. ¿Qué es el máximo común divisor de dos nú-meros?

140. ¿De qué formas se puede hallar el máximocomún divisor de dos números?

@Determina cuáles de las siguientes proposicionesson verdaderas y cuáles son falsas. Justifica tus res-

Puestas.

l(l.El máximo común divisor de dos númerospuede ser mayor que los números.

142. Si¿ es divisible entre b, entonces, mcd (a, b) : b.

l$.El máximo común divisor de dos númerospuede ser igual a 1

144.5ía es múltiplo de á entonces, mcd (a, b) : b.

Q Cd.ol" el máximo común divisor de los siguientes

números de tres maneras distintas: utilizando los

conjuntos de divisores, descomponiendo cada nú-mero en factores primos y aplicando el métodoabreviado.

149.16,20 y 28

l5O. 45, 54 y 81'

r5r.45, 50 y 55

152.75,90 y 105

145.5 y 30

146. L4 y 17

147.72y 108

I48.270 y 900

159. Es divisible entre 18

160. Es múltiplo de 9

@Escribe t¡e-. - .:::,':. ::¡néricos para comprobarcada propiedar

161. Si mcd ,.:. :' '

f62. Si mcd {,¡. :'mcd (,¿ - ¿t. -

@ Det.r-i.ra el valor de r que hace que la igualdad sea

verdadera.

153. mcd (x,35,95) : 5

154. mcd (27, x,28) : 1

155, mcd (80,675, x) : 5

156. ::C t116, 300, 720) : x

@E---.r.- r¡.s números tales que su máximo común di-

1i-. :, .:-'158. i'-a-,

163. Si mcd(b, c) : 1, entonces,

mcd (a, b ' c) : mcd (a, b) X mcd (a' c)'

fl r.. y responde.

164.Un terreno con forma rectangular tiene 96 me-

tros de largo y 56 metros de ancho. Si se quiere

dividir el terreno en superficies cuadradas que

tengan la mayor área posible, ¿cuáles son las

dimensiones de cada superficie cuadrada?

165. Un carpintero desea cons-

truir unos estantes con tablas

de 25, 30 y 35 metros de

largo. Si los estantes deben

tener la mayor longitudposible y no debe sobrarningún trozo de madera,

¿cuántos estantes puedeconstruir el carpintero?

166. En una actividad de integración participan 96niñas y I l2 niños. Hay que formar grupos con

igual cantidad de inregrantes, de tal forma que

cada grupo tenga la misma cantidad de niños yla misma cantidad de niñas. ¿Cuál es la mayor

cantidad de grupos que se puede formar y cómoestarán confbrmados?

167. \'erónica dispone de 240 granos de cafe, 208

semillas de tagua y 272 canutillos para elaborar

collares artesanales. Ella quiere elaborar cada

collar con un único material, pero todos los co-

llares deben tener la misma canridad de piezas.

¿Cuántos collares puede elaborar Verónica de

cada material, urilizando la mayor cantidadde piezas posible en cada collar, sin que le sobre

ninguna pieza?

Q r-.. y resuelve.

En una fábrica se ;onticcionan banderas para el día

de la Independe n.i¡. Para esto, se utilizan tres rollos

de tela de 30. -S r'-l metros de largo cada uno.Cada rollo de ¡e.a debe cortarse en partes iguales de

tal forma qui :rLr sobre tela y que el largo de la tela

empleada pa:; -iaborar cada bandera sea el mayor

posible.

168. ¿Cuál ., .l largo de la tela que se utiliza para

elabo:¿: ::da bandera?

169. ¿Cuán::.s Sanderas se pueden confeccionar?

6. Mínimo común múttipto EDt Actvdad ED Tf,XfffJ;'

-r mínimo común múltiplo de dos o más números es el menor de los múltiploscomunes diferente de cero.

:, a, o y c son números naturales, el mínimo común múltiplo de a, b y c se simbo-liza mcm (a, b, c).

De manera similar al máximo común divisor, el mínimo común múltiplo se puedecalcular de dos formas: utilizando los conjuntos de múltiplos de los números y descom-poniendo en factores primos los números.

Para hallar el mínimo común múltiplo, con los conjuntos de múltiplos, se realiza elsiguiente procedimiento:

:: Primero, se escribe el conjunto de múltiplos de cada número.

:: Luego, se buscan los múltiplos comunes de los conjuntos de los múltiplos.

:: Finalmente, se busca el menor de los múltiplos comunes diferente de cero.

Para hallar el mínimo común múltiplo, por descomposición en facrores primos, se rea-lizan los siguientes pasos:

!! Primero, se descomponen los números en sus factores primos.ii Luego, se escogen los factores comunes y no comunes, elevados al mayor exponente.!: Finalmente, se realiza la multiplicación de esos factores comunes. Ese es el mcm de

los números.

1. Determinar el mínimo común múltiplo de 4 y 6 usando los conjuntos de múltiplosde los números.

Primero, se escribe el conjunto de múltiplos de cada número.

Mq : 10, 4, B, 12, 16, 20, 24, 28, 32,...1

Mr,: {0, 6, 12, 18,24,30,36, 42, 48,.,.1

Luego, se buscan los múltiplos comunes de los conjuntos de los múltiplos:0, 12,24,36, 49,...

Finalmente, se tiene que el menor de los múltiplos comunes, diferente de cero, es elmínimo común múltiplo, es deci¡. mcm (4, 6) : 12.

2. Hallar el mínimo común multiplo de i5factores primos.

Primero, se descomponen los núme¡osen factores primos.

Luego, se eligen los factores comunes vno comunes, elevados al mayor expo-nente:2x32x52.

Finalmente, se realiza la multiplicación

150 descomponiendo cada número en

-r,; : J2 X jie esos factores con lo cual se obtiene el mínimo común múltiplo.

mcm (45, 150) : 2 x 32 X Jz : 459

r*F,a,ii.Fffir,rr:1ft

- lt-t-t1i

5

I

150

lJ

5

5

Si a es un número natur¿l

¿a qué es igual mcm (c, 1)?

:2X3X5z

fT,

6.1 Método abreviado para hattare[ mínimo común múttipto

Para hallar el mínimo común múltiplo de dos o más números, se pueden descomponer,simultáneamente los números en factores primos. En este caso, el mínimo común múl-tiplo es el producto de todos los factores que resultan en la descomposición. Es necesario

tener en cuenta que para realizar la descomposición se debe analizar la divisibilidad de

los números según los criterios de divisibilidad.

l. Hallar el mínimo común múltiplo de 56 y 84 usando el método abreviado.

Primero, se descomponen simultáneamente los números en

factores primos.

Luego, se calcula el producto de los factores que resultan en

la descomposición.

2x2x2x3X7:168Finalnrente, se tiene que el mcm (56,84) : 168.

2. Determinar si la igualdad mcm (36, 48, 60) : 360 es verdadera o falsa.

Primero, se descomponen simultáneamenre los nú-meros en factores primos.

Luego, se calcula el producto de todos los factores

primos que resultan en la descomposición.

2x2x2x2x3x3x5:720Finalnrente, se tiene que el mcm (36,48,60) : lZO.Por tanto, mcm (36, 48,60) : 360 es falsa.

3. Como parte de un programa de salud, tres profesio-nales visitan a una comunidad indígena de la siguientemanera: el médico asiste cada 12 días, el odontólogocada2D días y la enfermera cada 6 días. Si los tres profe-sionales se encontraron hoy, ¿cuántos días deben pasarcomo mínimo para que se luelvan a encontrar los tres?

Para resolver el problema se debe hallar el mínimo común múlriplo de 6, 1,2 y 20. Paraesto, se realizan los siguientes pasos:

Primero, se descomponen los números en factores primos.

I treso, se multiplican los factores primos que resultan en la descomposición, para

-:,i¡ular el n.rínimo común múltiplo.

mcn (.. 12,20) : 2 X 2 x 3 x j - ¡.r-r

ED Actividad

56 84

28 42

t4 2t72t77l1

36 48 60

18 24 30

91215961593153r5115111

2

2

2

J

7

2

2

2

2

3

3

5

61220361033t115lt1

2

2

3

5

flResponde.

170. ¿Cuál es la diferencia entre el método abreviadopara hallar el máximo común divisor y el mé-todo abreviado para hallar el mínimo comúnmúltiplo?

l7l, ¿Cuál es el mínimo común múltiplo de dosnúmeros a y b, si a es mukiplo de b?

Í.tLee y responde.

El teorema fundamental de la aritmética et und pro-posición que afrma que todo número natural se puede

expresar de una únicaforma como producto de números

primos.

I72. A partir del teorema fundamental de la aritmé-tica, ¿cómo se puede argumentar que el mínimocomún múltiplo de dos números es único? Jus-tifica tu respuesta con un ejemplo.

Q C"l.,tl" el mínimo común múltiplo de los siguientesnúmeros utilizando los conjuntos de múltiplos,descomponiendo en factores primos cada número yaplicando el método abreviado.

173.24 y 38

174.27 y 16

175. t8 y 45

176.72 y t0

O f Af . Completa la siguiente tabla y resuelve.

L77.12,15 y 18

178.6,30 y 42

179.10,20 y 30

180.9, 14y2l

mcd aXb mcmXmcdayb6y1420y3218y2l4v 22

9 r'15

I

1l,r-.--.,--,.-..,.-f

-----,, Iiii¿

182. Escribe una regla general que relacione el pro-ducto de dos números ay b con el producto de

mcm (a, b) por mcd (a, b).

Q Determina el valor r que hace que la igualdad sea

.'erdadera.

183. mcm (36, x,90) : 180

S+, mcm (45,54,x):540

f) Inr",pr"to . ,fr, -',r,.' ':,..t. . @Prcpongo. Q E¡ercito. Q Razono. fl soluciono probteras

@ Escribe tres ejemplos numéricos para comprobarcada expresión.

185. Si mcd (a, b) : l, entonces, mcm (a, b) : ab.

186. mcm (a, b) : (a x b) + mcd (a, b).

187. Si á es múltiplo de a, enronces, mcm (a, b) : 6.

Q t.. y resuelve.

188. Ties vendedores se turnan para vender su mer-cancía en un centro comercial. El primero lohace cada 6 meses; un segundo, cadaZ meses, yun tercero, cada 4 meses. Si hoy se encuentranlos tres vendedores, ¿en cuántos meses se vol-verán a encontrar?

189. Se diseñó una piscina de manera que se llenemediante tres tuberías diferentes. La primeratubería viene 34 litros de agua cada minuto;la segunda, 18 litros de agua cada minuto, y latercera, 12 litros de agua cada minuto. Si conuna sola tubería se puede llenar la piscina en unnúmero exacto de minutos, determina la menorcapacidad que puede tener la piscina en litros.

190. Según los registros de unobservatorio astronómicose sabe que un cometa se

acefcaa un planeta cada96 ..r.,años, y otro, cada 176 aflirs. 'r p l

Supón que ambos comeras \1'.

se aproximaron al planeta

n l?.,';*:1?;,1,::x'x tülos que se volvieron a aproximar ambos comeras.

19l. Victoria descubrió un hecho curioso en el libroque está leyendo: cada 15 páginas aparece lapalabra "silencio", cada 8 páginas aparece Ia pa-labra "inocente" y cada6 páginas está la palabra"libertad". Si en la página 46 aparecen las trespalabras y el libro úene 456 páginas en roral, ¿enqué página volverán a esrar las tres palabras?

192. En una sranja hay un gallo,un canario 1'un azulejo.S;ron que el gallo canta cada- minuros, que el canario 1o

race cada 14 minutos l elazulejo, cada 22 minuroi. Si

en este momento cantaran almismo tiempo las tres aves,

;en cuántos minuros volverán a coincidir los trescantos?

¡O¡ Nivelalto . '; Nivelmedio . t Nivel bajo

Múttiptos de un número

O Escribe los 10 primeros múltiplos de cada número.

193. Mt: 1

r94. M,,: 1

200. +í x

20I. I- x *,)

3.140

7.920

195. M12: {- - -- - -}196. Mn: i-.---.--=- --i<D' r

Lee y resuelve.

"La suma de dos mtibip/os de un ntirnero es ratnbién múl-tiplo de ese ntimero. Ademrít si al menos uno de /os factoresen una muhiplicación es múltiplo de un ¡túmet'o, el pro-ductT tambi¿n lo es".

Marca con / las sumas y los productos que son múlti-plos de 7, sin resolver las operaciones.

re7. 4e + t5 Llref,. 56 + 35 nree.2ox7o f l 202. ltl x 56

Escribe cinco sumas y cinco multiplicaciones sinsolver, cuyo resultado sea múltiplo de 3.

203. Sumas 204. \fultiplicaciones

Divisores de un númeroo Escribe todos los divisores de cada número.

205.

206.

20-,

208.

O Res,rel'r-e.

209. Subrar-¿

5, 9 r' li'450

t.176

60

j+,'5

D

))

55.080

65.9r0

ATflIli:ff ED',ffiffi'. D,,i::.210. Encierra los números que son divisibles entre 6 r-

entre 9, sin hacer las divisiones.

7 .200 2.100 1.089 56.672 982.13+

. 2tl. Escribe D en las casillas que cumplen el cri-terio de divisibilidad.

Divisibilidad entre

345691024

96

104

115

z2z

405

625

702

900

930

t; Rerponde.

212. S\ el número 3a2 es divisible entre 3, ¿cuáles son

los posibles valores de ¿?

213. Si el número 5a3b es múltiplo de 3 y de 5, ¿cuálesson los posibles valores de a y cuáles son los po-sibles valores de á?

214. Si el número 2a7 b es divisible entre 2, 3 y 5, ¿cuá|es el valor de ay cuál es el valor de b?

-.

215. Cambia el orden de las cifras de cada número de la

tabla para obtener otro con las condiciones pedidas.

Nrlmero Condición Nú,mero nuevo

Divisible enrre 5/.utuy no divisible entre 10.

3.200 Divisible enrre 2y no divisible entre 10.

4.902 Divisible entre 3

e impar.

9.005 Divisible entre 4.

5.05g Divisible enrre 5

y entre 9.

8.226 ?*:ifl'enrre 6

v drvrsrble entre -{.

'3re.:-W:ff - ;,ffi it¡:ffi{W. t

Números primos y númeroscompuestos

'¡ Escribe V, si la proposición es verdadera o $ si es

falsa.

216. Todo número compuesto tiene por lo menos untactor primo mayor que 1. ( )

:f-. [a suma de dos números primos es un númeroprimo. ( )

:f t. El producto de un número primo y uno compuestoes un número compuesto. ( )

!19. Todos los números compuestos son pares. ( )

o \{"r." con una X los números primos.

,ro. 17 n 223.93 n 226.727

"r. r25 n 224. rcs n 227. 681

"2. r53 n 22i. 507 l) 22B. B6i

! Compl.ta los diagramas de cada descomposición enfactores primos.

tto 525

X

X

230.

Q rrry resuelve.

Los antiguos griegos probaron que si 2" - 1 <. ti:j::o.enronces, 2" - 1 x ()n - l) es un número rcri--ro.r-eri6ca esta proposición para los siguientes valores de z.

231. n=3232. n:2233. u: j/fi.4:-

nnT

--'[]

IXTEj

TXN

Máximo común divisor

' 235. Une con una línea cada pareja de números consu máúmo común divisor.

Números

a'Gn4F*l1",'52

F;;la;;t

o C"l.,rl" el máximo común divisor de los siguientesnúmeros aplicando el método abreüado.

236. 72,108 y600 237. r75, r.225 y 6.125

Mínimo común múttipto

o; Resuelve.

238. Halla la menor canddad de dinero que se puederepartir entre 5, 6,7 o 13 personas, sin que sobre

dinero.

239. CaIcuIa la menor longitud que se puede medirexactamente con una regla de 30 cm, una de 50cm y una de 80 cm.

240. Encontra¡ dos posibles valores de x si:

mcm 1.{. +8 : 96.

t, -tplio el método abreriado para calcular el mcm delos skuientes nrirneros.

2+1. l=. ¡.r-r'.- l¡1 242. 36,60,84y96

mcd

tfEtr[l[l

)

PROBLEMAS PARA REPASAR 1' I

Un balón de fútbol reglamentario debe tener unamasa entre los 410 y los 450 gramos y el perÍmetrode su circunferencia máxima debe estar entre los

68 y los 70 centímetros. En una fábrica de balonesde fútbol un supervisor revisa la masa de un balóncada vez que se fabrican l2 balones y revisa el perí-

metro de su circunferencia máxima cada vez que se

fabrican lB balones.

Si en una semana se fabricaron 720 balones, ¿a

cuántos balones les revisó la masa y el perímetrode la circunferencia máxima a la vez?

12 18

6939t3l1

2

2

3

3

Ef} ',':rifica y redacta [a respuesta.

-:.-..---:-.-_,- -

_.---I;

: . '. ::ihca que el mínimo común múltiplo de 12 y 18 es 36. Para esto se pr-re .1-: ..;ribir los conjuntos de-' - : -'1os de cada número y se escoge el menor múltiplo común, difbre:r:- :- --:!r.

M1. - {0, 12, 24, 36,48,...}

M,r : {0, 18, 36, 54,. . .}

-- - --:- :r::tlero tr,¡¡l cle balones fabricados entre el nr¡::-. - -: .e puede verificar mediante la

- ,_,-,j., .. :::11:1n¿1 el super-''r.,r: les re.':s . -- -::-.'el perin-retro de la circunferencia

,:ff;

lÑl Comprendeelproblema.

¿Cuál es la pregunta del problema?

¿A cuántos balones, en la semana, les revisó el supervisor la masa y el perímetro de la circunferenciamáxima alavez?

¿Curíles son los datos del problema?

El supervisor revisa la masa de un balón cadavez que se fabrican 12 balones y revisa el perímetro de la

circunferencia máxima cadavez que se han fabricado 18 balones. Además, en la semana se fabricaron

720 balones.

[l!!f) Etabora un ptan y ttévato a cabo.

Para encontrar cada cuántos balones el supervisor revisa en forma simultánea la masa de un balón y el

perímetro de su circunferencia máxima, se debe calcular el mcm (12, 18), así:

Prinrero. se descomponen simultáneamente 12y de l8 en factores primos.

Luego, se multiplican los Lrctores que resultan en la descomposición, con lo cual se

obtiene que mcm (12, 18) = fr x T : 36.

Finalnrente, se tiene que el supen'isor revisa, en forma simultánea, la masa y el

perímetro de la circunferencia mirima de un balón cada vez que se fabrican 36balones.

Para determinar la cantidad de balones a los cuales se les ha revisado alavez la masa v el perímerro en lasemana, se divide el número total de balones fabricados entre el mínimo común múlriplo de 12y 18. Portanto, se tiene que 760 + 36 : 20.

{.

Lee cada situación. Luego, responde.

243, Ncardo observó que cuando ordena sus CD agru-pándolos de a2 o de a3,siempre sobra uno; pero si

los agrupa de 5 en 5, no le sobra ninguno. ¿CuántosCD tiene fucardo si son más de 80 y menos de 90?

244, Se tienen dos recipientes: uno con24litros de agua

y otro con 16 litros. Si se reparte el agua de ambos

recipientes equitativamente en varias jarras de igualcapacidad, y no sobra nada de agua, ¿qué capacidad

tendrán como máximo las jarras?

245. Cierto país realiza elec-ciones presidenciales cada

6 años y de alcaldes , cada 4años. Si en el año 2010 se

r ealizar on elecciones presi-denciales y de alcaldes, ¿enqué año volverán a coincidir ambas elecciones?

246. Se quiere dividir un terreno rectangular de 1.200 mde largo por 800 m de ancho en secrores cuadrados

con iguales dimensiones cada uno, y Io más grancies

posible. ¿Cuánto debe medir el lado de cada sector?

247. En un frigorífico se almacenan 18 kg de carnede res,24 ks de carne de cerdo y 12kgde carne de

pollo. Toda la ca¡ne se reparte en recipientes de igualtamaño, de ral fbrn-ra que en cada recipiente haya lamayor cantidad posible de cada ripo carne. ¿Cuántoskilogramos de carne contiene cada recipiente?

248. María, Miguel y N{aunc:o -irf.nan en una pista

circular de ciclismo. Nlan¿ ,.::;-: -< s-gundos en daruna vuelta, Miguel tarda i,,r i-:-.:ri-,) '.' \laLrricio48 segundos. En cierro enr:J:-r-. :-.: r'.:r i-'.:ljuntos del mismo punto. ;A los ;..:volvieron a encontrar los tres en -- :

249. Tres relojes digitales se programa:- :.-= :-i- sus

alarmas se activen en un determin":;- :--:rpo. Elprimer reloj suena cada 12 minuro¡: -- .egundo,cada 18 minutos y el tercero, cada r¡-.j.--: nora. Si

cie¡ro día, suenan los tres a las l1 a. n:.. i: qué horavoh'e¡án a sonar al mismo tiempo?

Responde las preguntas 250 y 251 de acuerdo con lasiguiente i nformación.

El naipe español tiene 40 carras y el naipe inglés tiene52 cartas. Se quiere formar el mayor número posible de"grupos de cartas", donde todos tengan igual cantidadde cartas, con igual cantidad de naipes ingleses e igualcantidad de naipes españoles, sin que sobren cartas de

ninguno de los dos tipos.

25O, ¿Cuántos grupos de cartas se formarán?

251, ¿Cuántas cartas de cada tipo habrá en cada grupo?

Responde las preguntas 252 y 253 de acuerdo con lasiguiente información.

Un parque de diversiones quiere consrruir balsas con 3troncos de palmera, los cuales tienen 15, 9 y 6 metrosde longitud. Cada balsa debe tener la mayor longitudposible y no debe sobrar ninguna parte de los troncos.

252. ¿Cúl será la longitud de cada balsa?

253. ¿Cúntas balsas se construirán?

Lee y resuelve. Luego, completa.

254. Yíctor prepara sor-presas para los invi-tados a la fiesta de

cumpleaños de su

hermana. Para esto,

cuenta con 160 ju-guetes, 240 choco-lates y 320 galletas.

Además, quiere que las sorpresas alcancen para lamayor cantidad posible de personas, de tal formaque cada una tenga la misma cantidad de juguetes,Je chocolates v de galletas.

Víctor podrá preparar sorfrr-i

total. Cada sorpresa tendrá ...

chocolates y . -'

Y esto que aprendí, ipara qué me sirve?

...Para comprender cómofunciona la seguridaden informática.Antiguamente se creía que los números primos no

tenían una aplicación específica en conrextos reales.

Sin embargo, en Ia actualidad son parre fundamenral

de la criptografía y por eso se aplican para transmiririnformación digital de manera segura.

La criptografia es ia ciencia o el arte de esconder infor-mación escribiendo en un lenguaje secreto o en clave

que puede ser representado por letras o por números.

Existen muchas técnicas para encriptar información,dentro de las cuales se encuentra la criptografía RSA.

de estas clar.es se identifica con un número compuesto ylas otras dos, con números primos.

Por ejemplo, si se supone que una de las claves es ll9,que es un número compuesro, para encontrar las otras

dos claves se deben hallar los dos números primos que al

multiplicarse den como resultado 119. Un computadorefectúa este procedimiento realizando todas las posibles

combinaciones de números primos que al multiplicarseden este número. Como en este caso ei número es de tansolo tres dígitos, las combinaciones que se deben probarson muy pocas para encontrar que los números son 17

y7.

l. ¿Por qué el producto de dos números primos es su

mínimo común múltiplo? Explica tu respuesta.

2. Supón que los siguientes números son claves en lacriptografía RSA. Luego, halla las otras dos claves.

a. 77

b. 85

3. El número de combinaciones que debe hacer un com-putador para descifrar la clave correcta de una tarjetade crédito viene dada por la expres ión 2,, - 1 , donde?t representa el número de bits que tiene la clave cono-cida. Así, si una clave contiene 5 bits (sería una clave

muy pequeña), el número de posibles combinacionesque debe realizar es:

25 - l:31Eso indica que el computador debe realizar 3l combi-naciones para encontrar la clave verdadera.

Halla el número de combinaciones que debe hacer lacomputadora si una clave riene:

a. 6 bits c. 7 bits

b. 9 bits d.24 bits

c. 111

d. 671

número conr'*i j:-- .--.; : -::: :.:-.: :nás de 200 dígitosy para hallar ,.r. c,::=-. ::, :-='.:, .: j¡ben encontrar los

dos números prir:-c'..--, - ::- ---:,-- .s ieual al númerocompuesto. Inclust. ;::------:- :.. ,.rntputadora de alta

tecnología, la tarea ,je :l;:--:-::: -:- nlrmero de tantas

cifras, en dos números p:-:::,. :-:::¡ rardar millonesde años.

Un ejemplo en el que se uriliz; -::- :.:(-r de criptografíaes en las tarjetas de crédito. Una i;:'::: J,; .redito trae en

la parte delantera un número de 1(. i-:-::,.. Este númerose considera la clave pública y en eli; s: ::Sistrrr el país,

el banco, la oñcina y la identificación de ;,:i¡ cliente. Laclave privada está registrada en la banda n:.:qnética o en

un chip, y la tercera clave solo la maneja el 5¿nco. Una

t\ !a

Trabaja con Microsoft Mathematics itr¡

Para acceder a Microsoft Mathematics,ingresa y descarga el programa en:

wwwmicrosoft.com/downloads

O Har clic en el menú inicio y abre MicrosoftMathematics.

@ Selecciona el botón factor que aparece en elpanel Estándar de la calculadora y escribe el nú-mero 9216.Ha2 clic en ) para cerrar paréntesisy presiona la tecla Enter. Aparecerá la descom-posición de 9.216 en factores primos.

giliDo rshdbro.r¡od.ñr.lhdd ielElEl@ ,".. **, ".. ---;at

tD-h*-rPa- _ -rd.do¡{c.*, K ¡..,.¡""o.noo

HFuhb

-Elm a.*;l.l

factor(9216)

l"'iilÍ' szro

O Util¡za Microsoft Mathematics para descom-poner 15.872y 67.828 en factores primos.

@ Uazclic en el botón m.c.d, que se encuentra enel panel Estándar de la calculadora y digita losnúmeros 45, 50 y 200, separados por comas.Cierra paréntesis y teclea Enter para que apa-rezca el máximo común denominador de lostres números.

g' ki 'Jffi"x*'- R

(D@@(])OG)@CD(DCD@C¡@Cf (DC:)

Objetivo: aplicar el programa Microsoft Mathematics para calcular el máximo común divisor y el mínimocomún múltiplo de varios números naturales.

Descripción: descomponer un número en factores primos. Luego, calcular el máximo común divisor y el mí-nimo común múltiplo de tres números naturales.

@ Calcula el mcd de los siguientes números apli-cando el método abreviado. Luego, compruebatus respuestas con Microsoft Mathematics.

a. 15y70

b. 32y64

c. By 112

d. 24y 400

e. 55,45 y 105

f. 343,245y49

@ Haz clic en el botón m.c.m, que se encuentraen el panel Estándar de la calculadora y digitalos números 25, 30, 60 separados por comas.Luego, cierra paréntesis y presiona la teclaEnter. Aparecerá el mínimo común múltiplo delos tres números.

I I Éi t O I stnnu¡.-f,rc6d¡ú.ñd6

ffi ".. '...-. "". 6oOodh.ú,.P.s, _ Ér.ct.do

X c.tu, R /.n,.o""ono"o*p" Jfliffi- hñnbnú

CDCD(DCl)(D@@OO(A(DCD@c)

(D Halla el mcm de los siguientes números apli-cando el método abreviado. Luego, compruebatus respuestas con Microsoft Mathematics.

a.45y50 c.6y24b. 20y 16 d. 14y 15

e, 3,17 y 51

f. 7,21 y 49

@ Puedes cambiar los números en el ícono de lalibreta que aparece en la hoja de cálculo.Tam-bién puedes borrar los anteriores resultadoshaciendo clic en la imagen de la caneca.