Introduccin al Clculo Infinitesimal. I.T.I. de SISTEMAS.

Funciones reales de una variable real.-

6.- Concavidad y discusin general de extremos relativos .-

Concavidad y puntos de inflexin.

Sea f(x) derivable sucesivamente en un intervalo.

Lo primero, precisar que entendemos por concavidad hacia arriba o hacia abajo. Para ello estudiaremos la posicin relativa curva/tangente en sus puntos.

Si la curva esta por encima de la recta tangente: Cncava hacia arriba.

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Si la curva esta por debajo de la recta tangente: Cncava hacia abajo.

Criterio:

Sea f (x) es derivable n veces en un punto de su dominio.

Si f `` (a) < 0 entonces ser Cncava hacia abajo. Si f `` (a) > 0 ser Cncava hacia arriba. (Esto se puede extender para derivadas de orden par)

Si f `` (a) = 0 condicin necesaria de Punto de Inflexin, que son los puntos donde se cambia la concavidad de la curva. Observa que en dichos puntos, la recta tangente atraviesa la curva.

En general:

f `` (a) = 0 es condicin necesaria de Punto de Inflexin; a ser efectivamente un punto de inflexin si, a partir de esta, la primera derivada no nula es de orden impar.

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Discusin general de maximos /minimos de una funcin.

Si se cumple que f `(a) = 0 ( condicin necesaria de extremo):

Si f ``(a) > 0 ---> El punto de abscisa a es un MNIMO, y esto es extensible si se anulan las siguientes derivadas, en el caso de que la primera no nula sea orden par

Si f ``(a) < 0 ---> El punto de abscisa a es un MXIMO, y esto es extensible si se anulan las siguientes derivadas, en el caso de que la primera no nula sea orden par

Ejemplo1: Estudiar los puntos maximos/minimos/ inflexin de las funciones: f1 = x4 ; f2 = x5.

f1 = x4 ---> f1 ` = 4 x3 ; f1 `` = 12 x2 ; f1 ``` = 24 x , f 1```` = 24; luego el punto de abscisa x = 0 es mnimo y en la funcin f2 ser punto de inflexin.

Ejemplo 2.

Estudiar los puntos maximos/minimos/ inflexin de la funcin y = + x 1 + x2 1 .

La funcin es continua en todo R.

y ` = 1 2 x x2

( ) + x2 1 2 tambien es derivable en todo R. y `` = 2

+ x3 3 x2 3 x 1( ) + x2 1 3

.

De y `= 0 --> x1 = -1 + 2 ; x2 = -1- 2 .

De y `` = 0 ---> x3 = 1; x4 = -2 + 3 ; x5 = -2 - 3 .

- ---------- x5 ---------- x2 ------- x4 ----- 0 ----- x1 --------- x3 --------- +

entre x4 y x1 esta 0 y f `` (0) cncava hacia abajo, luego de ah podemos deducir, alternando la concavidad, los restantes intervalos y como consecuencia los puntos de inflexin ademas de la mximos y mnimos. Veamos el grfico.

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Ejemplo 3.

Estudiar crecimiento, extremos, concavidad y puntos de inflexin de = ( )f x + x2 2 x 3

> restart:with(plots): f:=x-> (x^2+2)/(x-3);

:= f x + x2 2 x 3

Esta funcin es continua para todo R salvo en x =3 que presenta una discontinuidad:> limit(f(x),x=3,left);

limit(f(x),x=3,right);

> D(f)(x);deri1:=factor(%); crece:=solve({D(f)(x)>0}); decrece:=solve({D(f)(x) c1:=plot(f(x),x=-10..3-sqrt(11),y=-20..20,color=red,thickness=3)

: c2:=plot(f(x),x=3+sqrt(11)..10,color=red,thickness=3):

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d1:=plot(f(x),x=-3-sqrt(11)..3,color=blue,thickness=3): d2:=plot(f(x),x=3..3+sqrt(11),color=blue,thickness=3): display({c1,c2,d1,d2});

Mximo =( , 3 11 ( )f 3 11 mnimo =( , + 3 11 ( )f + 3 11> D(D(f)(x));deri2:=factor(%);

Concav_Arriba:=solve({D(D(f))(x)>0}); Concav_Abajo:=solve({D(D(f))(x) c1:=plot(f(x),x=-10..3,y=-20..20,color=green,thickness=3): c2:=plot(f(x),x=3..10,color=yellow,thickness=3): display({c1,c2});

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No tiene puntos de inflexin.

Ejercicios con Maple.

> restart:with(plots): f:=x-> x^3-3*x; D(f)(x):deri1:=factor(%); crece:=solve({D(f)(x)>0}); decrece:=solve({D(f)(x)0}); Concav_Abajo:=solve({D(D(f))(x)

:= Concav_Abajo { } < x 0

Ejercicio: A la vista de este grfico, hacer el grfico de ln(f(x), determinando los intervalos de crecimiento/decrecimiento, concavidad , extremos y puntos de inflexin.> restart:with(plots):

f:=x-> x^4-2*x^2; D(f)(x):deri1:=factor(%); crece:=solve({D(f)(x)>0}); decrece:=solve({D(f)(x)0}); Concav_Abajo:=solve({D(D(f))(x)

> restart:with(plots): f:=x->( x-1)*exp(x-1); D(f)(x):deri1:=factor(%); crece:=solve({D(f)(x)>0}); decrece:=solve({D(f)(x)0}); Concav_Abajo:=solve({D(D(f))(x)

> restart:with(plots): f:=x->ln(x^2-1); D(f)(x):deri1:=factor(%); crece:=solve({D(f)(x)>0}); decrece:=solve({D(f)(x)0}); Concav_Abajo:=solve({D(D(f))(x)

> ;FIN

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