Fresco

Tema 6.1 (1): Matrius

1. Nomenclatura i classificaci2. Operacions amb matrius3. El rang d'una matriu4. Matrius inverses5. Equacions matricials

1. Nomenclatura i classificaci

p10 1,2,3,4,5

element

Matrius iguals: mateixa dimensi i elements coincidents.

columna

fila

Dimensi: m x n

Tipus de matrius: matriu fila, matriu columna, matriu nulla, matriu quadrada d'ordre tal, matriu rectangular.

Tipus de matrius quadrades: matriu triangular superior, matriu triangular inferior, matriu diagonal, matriu identitat o unitat (I).

p12 6,7,8,9

Matriu transposada At: S'obt de canviar les files per les columnes.

Si A = (aij), aleshores At = (aji)

p13 E6,10

Noms en les matrius quadrades:

-Matrius simtriques: A = At, per tant aij = aji

-Matrius antisimtriques: -A = At, per tant -aij = aji

p13 E7 i 11

2. Operacions amb matrius

p14 E8, E9, 12, 13 i 14

Suma i resta: A + B = C, essent cij = aij + bij

Multiplicaci per un nombre: k A = C, essent cij = k aij

Multiplicaci d'una matriu fila per una matriu columna:

p15 E10, E11, 15 i 16

El resultat t tantes files com files t el primer factor (el primer mana)

2. Operacions amb matrius

Multiplicaci de dues matrius:

p16 17, 18, 19, E12, 20full a part: 44,45,46,49,51,52,54,60,61

-Noms podrem multiplicar dues matrius si el nombre de columnes de la primera coincideix amb el nombre de files de la segona.-La resultant t tantes files com la primera i tantes columnes com la segona.-Atenci: en general, NO es presenta la propietat commutativa.

3. El rang d'una matriu

El rang d'una matriu s el nombre de files no nulles linealment independents. Sempre coincideix amb el nombre de columnes.

Exemples:

Rang(A) = 1

Rang(B) = 2

Rang(C) = 2

Ja que F1 = -2F2 + F3

No s immediat!

MTODE DE GAUSS

Consisteix en transformar la matriu de tal manera que quedin 0 sota la diagonal. El rang ser el nombre de files no nulles.

Mtode de Gauss per calcular el rang d'una matriu:

1r pas: Primera columna tot 0's menys la primera fila

F3 F1

Canvi fila

2n pas: Segona columna tot 0's menys la primera i segona files

2F3 F2

Rang(A) = 2

2 files no nulles

p18 21, 22, 23, 24, 92, 93, 94

4. Matrius inverses

Noms poden tenir inversa, i del mateix ordre, les matrius quadrades. Si la tenen parlem de matrius regulars o invertibles, en qu sempre Rang (A) = n; si no la tenen de matrius singulars.

-Propietats:

p20 E16, 25!, 26, 27

4. Matrius inverses

Trobar la matriu inversa: el mtode de Gauss-Jordan.

1r pas: Primera columna tot 0's menys la primera fila, segona columna tot 0's menys segona fila, i aix successivament fins que quedi una matriu diagonal.

F3 + 3F1

F2 2F1

F3 + F2

F1 F2

F2 - 5F3

F1 + 7F3

1r pas: Primera columna tot 0's menys la primera fila, segona columna tot 0's menys segona fila, i aix successivament fins que quedi una matriu diagonal.

F3 + 3F1

F2 2F1

F3 + F2

F1 F2

F2 - 5F3

F1 + 7F3

2n pas: Quan la matriu inicial est en format diagonal, la transformem en la matriu identitat.

- F2

1/2F1

- F3

p21 28, 29

5. Equacions matricials

a) Tipus AX = B

Identitat

b) Tipus XA = B

Identitat

c) Tipus AX + B = C

Identitat

p22 SF, 30, 31, 32, 33, operaci sele10