6 matemc3a3 tica financiera

7/24/2019 6 Matemc3a3 Tica Financiera

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MATEMTICAFINANCIERA


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RAZONES Y PROPORCIONES

RAZNSe llama razn a la comparacin de doscantidades. Esta comparacin se puede

hacer de dos maneras:

Razn Aritmtica (r):

Es la comparacin entre dos cantidades por

medio de una diferencia.

. ab .a : Antecedenteb: Consecuente

Razn Geomtrica (k):

Es la comparacin entre dos cantidades por

medio de un cociente.

. b

a

.

a : Antecedente

b: Consecuente

PROPORCINDado cuatro nmeros diferentes de cero, en

un cierto orden, formarn, una proporcin, si

la razn de los primeros es igual a la razn

de los ltimos. Esta proporcin puede ser:

aritmtica, geomtrico armnico

Proporcin Aritmtica oEquidiferencia

Si ab = r y cd = r, entonces:

. ab = cd . . a + b = c + d .

CLASES

DiscretaCuando todos los trminos son diferentes

entre s donde:

. ab = cd . . d: 4ta diferencial .

ContinuaCuando los trminos medios son iguales:

. ab = bc . .2

cab .

.

encialera. difer3c:

ritmticao media aiferencialb: media d

Proporcin Geomtrica oEquicociente:

Si:b

a= k y

d

c= k entonces

NOTA: . a . d = b . c .

.dc

ba

.Extremos:d,aMedios:c,b

CLASESDiscretaCuando los trminos son diferentes s donde:

.dc

ba

. . d: 4ta proporcional .

ContinuaCuando los trminos medios son iguales

.cb

ba .

NOTA:. a . c = b

2. . c.ab .

rcionalera. propo3c:geomtrical o mediaroporcionab: media p

SESIN N 07


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SERIE DE RAZONES GEOMTRICASEQUIVALENTES

Se denomina as al conjunto de ms de dosrazones que tiene el mismo valor

. kb.....bbba.....aaa

n321

n321 .

. n

n321

n321 kb............bbb

a.. ...........aaa

.

Ejemplo: 1 / 2 = 2 / 4 = 3/ 6 = 4 / 8 = 0,5

En general definimos la serie:

. kb

a

...............b

a

b

a

a

a

n

n

3

3

2

2

2

1

.

donde:a1, a2, a3, ......... an: Antecedentesb1, b2, b3, ......... bn: Consecuentes

k : Constantes de

1. Hallar la 3ra diferencial de 17 y 12

Rpta. 7

2. Hallar la 4ta diferencial de 10,7 y 5

Rpta. 2

3. Dos nmeros estn en relacin de 3 a 7(o forman una razn de 3/7) y su sumaes 400. Hallar el mayor de los nmeros.Rpta. 280

4. Halla b Si:8c

5b

7a

Adems: a + 2b + 3c = 205

Rpta. 35

5. La diferencia de 2 nmeros es 244 yestn en relacin de 7 a 3. Cul es elmayor de los nmeros?

Rpta. 427

6. Si Juan le da a Pedro 10m de ventajapara una carrera de 100m; y Pedro le daa Carlos una ventaja de 20m para unacarrera de 180m. Cuntos metros de

ventaja debe de dar Juan a Carlos parauna carrera de 200m?

7. Lo que cobra y lo que gasta diariamenteun individuo suman S/. 60, lo que gastay lo que cobra est en relacin de 2 a 3.En cunto tiene que disminuir el gastodiario para que dicha relacin sea de 3 a5?

Rpta. S/. 2, 4

8. Un cilindro de 60lit. de capacidad, fuellenado completamente por 4 recipientesdonde el volumen del primero es alsegundo como el tercero es al cuartocomo 2 es a 1. Hallar la suma de losvolmenes del segundo y cuartorecipiente.Rpta. 20 lit.

9. La relacin entre 2 nmeros es de 11 a

14. Si a uno de ellos se le suma 33unidades y al otro se le suma 60entoncesambos resultados seraniguales. Hallar dichos nmerosRpta. 99 y 126

10. Dos nmeros estn entre s como 7 es a

12. si al menor se le suma 70, para que el

valor de la razn no se altere, entonces el

valor del otro nmero debe triplicarse.

Hallar el mayor de los 2 nmeros

Rpta. 60

11. Determine la tercia proporcional entre la

media proporcional de 9, 16 y la cuarta

proporcional de 10, 15 y 14

Rpta. 36, 75

12. En una asamblea estudiantil de 2970estudiantes se present una mocin. Enuna primera votacin por cada 4 votos a

favor haban 5 en contra Pedida lareconsideracin se vio que por cada 8votos a favor haban 3 en contra.Cuntas personas cambiaron deopinin?. No hubo abstenciones.Rpta. 840

13. La suma de dos nmeros es 640 y su

razn geomtrica es 17/23. Calcula el

mayor de ellos.

Rpta. 368


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14. En una proporcin geomtrica continua

el producto de los 4 trminos es 1296 y

el producto de los antecedentes es 24.

hallar la tercia proporcional.

Rpta. 9

15. La suma, diferencia y el producto de 2

nmeros estn en la misma relacin que

los nmeros 5, 3 y 16. hallar estos

nmeros.

Rpta. 4 y 16.

PROBLEMAS PROPUESTOS

1. Hallar la 3ra diferencial de 19 y 11

a) 1 b) 2c) 3 d) 5e) 7

2. Hallar la 4ta diferencial de 18, 15 y 12

a) 6 b) 8c) 9 d) 12e) 15

3. Si: 4

3

b

a

. Hallar b;

Si: a + b = 140

a) 60 b) 80c) 100 d) 120e) 140

4. Si:

653zyx

, x + y + z = 56

Hallar z

a) 12 b) 20c) 24 d) 26e) 30

5. Si:243zyx

; x . y . z = 192

Hallar x + y+ z

a) 6 b) 8

c) 12 d) 18

6. Si:cba

152 ; a + b + c = 96

Hallar c

a) 60 b) 12c) 24 d) 14e) 20

7. Si:43

b

a. Si ba = 15

Hallar a + b

a) 45 b) 60c) 105 d) 120e) 150

8. Si:352cba

y a2+ b

2+ c

2=152

Hallar a + b + c

a) 20 b) 21c) 22 d) 23e) 24

9. Si:635cba

y a + c= 66.

hallar b

a) 30 b) 36c) 18 d) 16e) 18

10. Si:3

22

1

ba,adems,a + b + 3 = 20

Hallar a

a) 5 b) 7c) 9 d) 10e) 12

CLAVES

1. C

2. C

3. B

4. C

5. D

6. B

7. C

8. A

9. C

10. B


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PROMEDIOS

Cantidades representativas de un conjuntode valores (medidas de tendencia central)dado:

a1 a2 a3 ...... an

MENOR VALOR PROMEDIO MAYOR VALOR

TIPOS DE PROMEDIO

Promedio Aritmtico o Media Aritmtica(MA ) o simplemente promedio

.datosdeNmero

datosdeSumaMA .

Dar la MA de: 7; 13 y 4

Resolucin

3

4137 = 8

OJO:SEA nNMEROS Y sSUMA DE LOS NMEROS. S = n . MA(nnmeros) .

Promedios Geomtricos o MediaGeomtrica (MG )

. n datoslosdeoductoPrMG .

n: nmero de datos

Dar la MG de: 5; 15 y 45

Resolucin

1545.15.53

Promedio Armnico o Media Armnica(MH )

.datoslosdeInversadeSuma

datosdeNmeroMH .

Dar la MH de: 6; 2 y 3

Resolucin

3

31

21

61

3

Consideraciones importantes

Para 2 cantidades a y b

.2

baMA . . abMG .

.ba

ab2

b1

a1

2MH

.

Dado:0 < a1a2a3.. an

Se verifica que:

.

PROMEDIOOPROMEDIMENORMAYOR

0MHMGMAan

.

Si todos los valores son iguales

MHMGMA

Para cantidades a y b

. MH.MAMG2 .

.)MGMA(4

)ba(MGMA2

.

LA ALTERACIN DE LA MEDIAARITMTICA

Sean los nmeros: 3, 5 y 10

63

1053MA

Si aumentamos 7 unidades al 5 ydisminuimos 4 al 10:

omedioPr

Nuevo=

VARIACININICIALPROMEDIO

347

31053

= 7

SESIN N 08


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IMPORTANTE

promediodeliacinvar

inicalpromedio

promedionuevo

Donde:

promediodeliacinvar =

datosdeNmero

uyemindissequetotal

aumentasequetotal

Promedio ponderado ( PP ) (Promedio dePromedios)

Al dar 3 exmenes, obtengo 11, 17 y 13;siendo los pesos de cada examen 2, 1 y 3Cul ser mi nota promedio?Resolucin:

NOTAS PESOS TOTAL

11 2 11 x 217 1 17 x 113 3 13 x 3

6 78

La nota promedio ser:

136

78312

3.131.172.11

En general:

.n321

nn332211

P..........PPPPa..........PaPaPa

PP

.

Donde:an: ensimo de las notas, precios,

etcPn: ensimo de los promedios, peso

frecuencias, crditos, ...... etc

PROBLEMAS PARA RESOLVER

1. Si el promedio de los siguientes nmeros es20,5. Hallar el valor de a.

(2a +1); (2a +2); (2a+3); ....; (5a - 2)

Rpta. 6

2. El promedio geomtrico de dos nmeros es12 y su promedio armnico es 4. hallar supromedio aritmtico.

Rpta. 36

3. Hallar el valor de x; si el promediogeomtrico de los nmeros: 2x; 4xy 8xes 64.

Rpta. 3

4. De 500 alumnos de un colegio, cuya estaturapromedio es de 1,67m; 150 son mujeres. Si laestatura promedio de las mujeres es 1,60m.Calcular la estatura promedios de los varones.

Rpta. 1,70m

5. Si la media geomtrica de dos nmeroses 4 y la media armnica es 32/17.Cul es el menor de dichos nmeros?

Rpta. 1

6. El promedio de 40 nmeros es n y elpromedio de otros 20 nmeros es (n - 9).

Calcular el valor de n; si el promedioaritmtico de los 60 nmeros es 12.

Rpta. 15

7. En un reunin asistieron 200 personasasistieron 3 varones por cada mujer. Siel promedio de las edades de todos lospresentes es 19 aos y adems elpromedio de las edades de los varoneses 20. hallar el promedio de las edadesde las mujeres.

Rpta. 3

8. Hallar dos nmeros sabiendo que elmayor y el menor de sus promedios son:13,5 y 13 1/13 respectivamente. Indicarsu diferencia.

Rpta. 3

9. Hallar la medida geomtrica de dosnmeros, sabiendo que la tercera partede su producto, por su MA: por su MG y

por su MH se obtiene 81.

Rpta. 3

10. Hallar el promedio de:

eces""""

....;..........;;;;........;;;;vmn

nnnnmmmm

Rpta.nm

mn

2

11. El mayor promedio de dos nmeros es 8,mientras que su menor promedio es. 6hallar la diferencia de dichos nmeros.

+ +


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12. Hallar la MH de:

1; 1/2; 1/3; 1/4; ..........; 1/1981

Rpt. 1/991

13. La MG de tres nmeros pares diferenteses 6. entonces, la MA de ellos ser:

Rpta. 26/3

14. La media armnica de 10 nmeros es3/2; el de otros 2 nmeros es 9/5.calcular la MH de los 30 nmeros.

Rpta. 27/16

15. Si la media geomtrica y la media

aritmtica de dos nmeros; a y b sonnmeros enteros consecutivos. Hallar (

ba )

Rpta. 2

PROBLEMAS PROPUESTOS PARARESOLVER

1. Hallar la media geomtrica de losnmeros: 3; 4; y 18

a) 3,5 b) 4

c) 5 d) 6e) 3 18

2. Hallar la media armnica de losnmeros: 1; 2; 3 y 6

a) 1,8 b) 2c) 2,1 d) 3e) 4

3. Hallar el promedio de los siguientesnmeros:

1; 2; 3; 4; ..........; 17; 18; 19; 20

a) 8 b) 10c) 10,5 d) 7e) 11

4. Hallar el promedio de:2; 4; 6; 8; ......; 38; 40; 42

a) 21 b) 18c) 26 d) 22

e) 27

5. El promedio de cinco nmeros pares

a) 14 b) 16c) 18 d) 20e) 30

6. Qu nota se obtuvo en un cuarto

examen, si en los tres anteriores seobtuvo: 14; 10 y 18 respectivamente; ysu promedio final fue de 15?a) 20 b) 19c) 18 d) 16e) 17

7. La media aritmtica de tres nmeros es6. y de otros dos nmeros es 16. hallar lamedia aritmtica de los cinco nmeros.a) 9 b) 10c) 11 d) 12

e) 13

8. Si tenemos: A; 10; B; 35; C y 15. elpromedio de los dos primeros nmeroses 15; el promedio de los dos ltimos 10y el promedio de todos los nmeros es20. Hallar A + B + Ca) 50 b) 60c) 40 d) 45e) 55

9. Calcular la media armnica de dosnmeros. Si: MA = 45 y

MG = 15a) 8 b) 10c) 12 d) 5e) 6

10. El promedio de las edades en un salnde clases es de 18. Si el promedio de 20de ellos es 15. Hallar el promedio de losrestantes sabiendo que hay 50 alumnos.a) 25 b) 24c) 32 d) 30

e) 20

CLAVES

1. D

2. B

3. C

4. D

5. C

6. C

7. B

8. B

9. D

10. E


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MAGNITUDESPROPORCIONALES

MAGNITUDEs todo aquello susceptible a ser medido y

que puede ser percibido por algn medio.

Una caracterstica de las magnitudes es el

poder aumentar o disminuir. A un nio se le

podra medir: su peso, estatura, presin

arterial, .....etc.

CANTIDAD (Valor):Resultado de medir el cambio o variacinque experimenta la magnitud.

MAGNITUD CANTIDAD

Longitud 2km

Tiempo 7 das

# de obreros 12 obreros

RELACIONES ENTRE 2 MAGNITUDES

Dos magnitudes son proporcionales, cuandoal variar el valor de una de ellas, el valorcorrespondiente de la otra magnitud cambiaen la misma proporcin. Se puedenrelacionar de 2 maneras.

Magnitudes Directamente Proporcionales(DP)Ejemplo Ilustrativo:

Si compramos libros cada uno a S/. 2 (Precio

constante); al analizar como vara el valor de

costo total, cuando el nmero de libros

vara, se tendr:

(Costo total) DP (# de libros)Se observo:

En General:Decimos que las magnitudes A y B son

o disminuir los valores de la magnitud de A,

el valor de B tambin aumenta o disminuye

(en ese orden) en la misma proporcin.La condicin necesaria y suficiente para quedos magnitudes sean D.P. es que el cocientede cada par de sus valores

correspondientes, sea una constante.

OJO:

DEBEMOS CONSIDERAR QUE AL RELACIONAR 2MAGNITUDES,LAS DEMS NO DEBEN VARIAR.DELEJEMPLO ANTERIOR,EL PRECIO DE CADA LIBRO,NO VARA (PERMANECE CONSTANTE)SI:

. ADPB

tetanconskBdevalorAdevalor

.

INTERPRETACINGEOMTRICA

IMPORTANTE:LA GRFICA DE 2MAGNITUDES D.PES UNA RECTAQUE PASA POR EL ORIGEN DE COORDENADASEN CUALQUIER PUNTO DE LA GRFICA (EXCEPTOEL ORIGEN DE COORDENADAS)EL CONCIENTE DECADA PAR DE VALORES CORRESPONDIENTES

RESULTA UNA CONSTANTE.

SI TENEMOS QUE ADPB

VALORESCORRESPONDIENTES

MAGNITUD A a1 a2 a3 ....... anMAGNITUD B b1 b2 b3 bn

SE VERIFICA:

kb

a

b

a

b

a

b

a

n

n ...3

3

2

2

1

1

SI TENEMOS QUE ADPB

. F(x) = mx .

SESIN N 09


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MAGNITUDES INVERSAMENTEPROPORCIONALES (I.P)

Ejemplo ilustrativo:

Para pintar las 60 habitaciones idnticas deun edificio se desea contratar obreros quepinten una habitacin. Al analizar cmovara el tiempo segn el nmero de pintorescontratados, se tendr:

X 2 X 3 X 5

N DE PINTORES 1 2 6 30 12

N DE DAS 60 30 10 2 5

2 3 5

Se Observa: (# de pintores) IP (# das)

Se Observa:

(# de pintores) (# das) = 1 . 60 = 2 . 30 = 6 .10 = 30 . 2 = 60

ConstanteEn general:

Se dice que A y B son inversamente

proporcionales, si al aumentar o disminuir elvalor de A, el respectivo valor de B

disminuye o aumenta en la mismasproporcin respectivamente.La condicin necesaria y suficiente para quedos magnitudes sean IP es que el productode cada par de sus valores correspondientessea una constante.

. A I.P.B (valor de A)(valor de B) = cte.

Interpretacin Geomtrica

IMPORTANTE:LA GRFICA DE DOS MAGNITUDES IPES UNA RAMA DEHIPRBOLA EQUILTERA.EN CUALQUIER PUNTO DE LA GRFICA EL PRODUCTODE CADA PAR DE VALORES CORRESPONDIENTES

RESULTA UNA CONSTANTE.LA FUNCIN DE PROPORCIONALIDAD INVERSA SER:.

x

mxF .

m:CONSTANTE

curvalabajogulotanrecdelrea

SI TENEMOS QUE AI.P BVALORESCORRESPONDIENTES

MAGNITUD A a1 a2 a3 ....... an

MAGNITUD B b1 b2 b3 bn

SE VERIFICA:

a1. b1= a2. b2= a3. b3= . . . = an .bn = k

PROPIEDADES DE LASMAGNITUDES

Para 2 magnitudes A y B se cumple:

A.P.IBB.P.IA*A.P.DBB.P.DA*

nn

nn

B.P.IAB.P.IA*

B.P.DAB.P.DA*

B1.P.DAB.P.IA*

B1.P.IA.B.P.DA*

Para 3 magnitudes A, B y C se cumple:Si: A D. P. B (C es constante)

A D. P. C (B es constante)

A D. P. (B . C)

C.BA = cte

Luego en los problemas. Sean lasmagnitudes: A, B, C, D y E

CteE.D.B

C.A


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OJO:CUANDO RELACIONAMOS LOS VALORES DE 2MAGNITUDES,ENTONCES LOS VALORES DE LASOTRAS MAGNITUDES PERMANECEN CONSTANTES.

Aplicaciones comunes:(N de obreros) DP (obra)

(N de obreros) IP (eficiencia)(N de obreros) IP (N de das)(N de obreros) IP (horas diarias)

(N velocidades) IP (Tiempo)(N de obreros) D P (Dificultad)(N de dientes) I P (N de vueltas)

Kdificultadobra

ientorendas

de

dapor

Horas

obreros

de

))((

)dim(##

PROBLEMAS PARA RESOLVER ENCLASE

2. Las magnitudes de a y b son D. P.Cuando a = 20, b = 5. Calcular b cuandoa = 12

Rpta. 3

3. Si a2

y b son D. P., cuando a vale 10, bes 7. Qu valor toma a cuando b vale28?

Rpta. 20

4. Si a y b son I.P. Cuando a vale 8, b vale6. Qu valor tomar a cuando b es 4?

Rpta. 12

5. Si a y b son I. P,. Cuando

a = 100, b = 3. calcular b cuando a = 9

Rpta. 10

5. Si a es I.P. a b2- 1, siendo a igual a

24 cuando b es igual a 10. hallar acuando b es igual a 5.

Rpta. 99

1. Si las magnitudes A y B son D. P.Calcular: a + b + c

2418161218

BcbaA

Rpta. 872. Sean las magnitudes A y B. Donde A es

D.P a(B2 + 1). Si cuando A = 8, B = 3,Qu valor tomara A cuando B = 7?

Rpta. 40

3. a es D.P a b e I.P a c2. Cuando a= 10; b = 25; c = 4. hallar a cuando b =

64, c = 8

Rpta. 44. De la grfica. Hallar a + b

Rpta. 15

5. De la grfica. Hallar a + b

Rpta. 30

6. Si las magnitudes son D.P. Calcular a +b + c

caB

bA

249

54010

Rpta. 24

7. Si: P.V = k. Hallar P cuando v = 6, si P= 12 cuando v = 4

Rpta. 8

8. Si:b

a= k. Hallar a cuando b = 12; si

a = 18 cuando b = 9


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9. Si: a es D.P. con b. Hallar a cuando

b = 4, si a = 4 cuando b = 2

Rpta. 16PROBLEMAS PROPUESTOS

1. Si a es D.Pa b. Hallar b cuando aes igual a 7, si a = 5 cuando b =15

a) 18 b) 20c) 21 d) 22e) 25

2. a es I.P. a b. Cuando a = 8, b = 3.Hallar b cuando a = 2

a) 10 b) 12

c) 14 d) 18e) 16

3. a es D. P. a b . cuando a = 6, b =8. calcular a cuando: b = 12

a) 6 b) 7c) 8 d) 9e) 10

4. a es I.P a b cuando a = 4,b = 3. Calcular el valor que toma b

cuando a toma el valor de 6.a) 1 b) 2c) 3 d) 4e) 5

5. a es D.P. a b2. Cuando a es igual a20 b es igual a 6. Qu valor tomar

a cuando b es igual a 3?

a) 1 b) 2c) 3 d) 4e) 5

6. Si: a es I.P a

3

b , adems cuando aes 35, b vale 27. Cunto vale acuando b valga 343?

a) 5 b) 10c) 15 d) 20e) 25

7. Si A y B son IP. Calcular m + n + a

11015

30 2

nB

amnA

a) 60 b) 64c) 68 d) 70

8. La grfica nos muestra laproporcionalidad entre las magnitudes Ay B. Hallara + b + c

a) 40 b) 44c) 48 d) 50

e) 529. a es D.P a b e I.P a c. Hallar el

valor de c cuando a es 10 y b es 8,

si cuando a es 8, b es 6 y c es 30

a) 28 b) 29c) 30 d) 31e) 32

10. Si A y B son IP. Calcular m + n + a

a) 10 b) 15c) 20 d) 25e) 30

CLAVES1. C

2. B

3. D

4. B

5. E

6. C

7. C

8. B

9. E

10. C


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1. REPARTO PROPORCIONAL

CLASES:

a) REPARTO PROPORCIONAL SIMPLECuando los valores que intervienen

corresponden a dos magnitudesdirectamente proporcionales.Se caracteriza por que a mayor numeroproporcional le corresponde mayorcantidad.

A = xkS B = yk

C = zk

A + B + C = S(x + y + z) k = S

b) REPARTO PROPORCIONALINVERSO

Cuando los valores que intervienencorresponden a dos magnitudesinversamente proporcionales.Se caracteriza por que a mayor nmeroproporcional le corresponde menorcantidad.

A =x

k

S B =

y

k

C =z

k

A + B + C = S

Skzyx

111

PROBLEMAS RESUELTOS

1.- Repartir 1250 en 3 partes directamenteproporcional a los nmeros 2;3;5 .

Solucin:

1250 se reparte en A;B;C partes, talesque:

A = 2 kB = 3 kC = 5 k

10 k luego 10k = 1250

Por lo tanto:A = 2 ( 125 ) = 250

B = 3 ( 125 ) = 375C = 5 ( 125 ) = 625

2.- La herencia de tres hermanos asciende a45 millones de soles, si dichas herenciasestn en la relacin con los nmeros4;12;14 Cuntos millones recibe elmayor ?

Solucin:4k+ 12k+ 14k = 45

30k = 45k = 1,5

por lo tanto el mayor recibe:

14 x 1,5 = 21 millones

3.- Dos personas invirtieron en un negocioS/. 1000 y S/. 2000 respectivamente,obteniendo una ganancia de S/.1500.Cunto le corresponde a cada una?

Solucin:

Persona A = kPersona B = 2k

3kluego 3 k = 1500

k = 500Cada persona recibir:Persona A = k= 500Persona B = 2k = 1000

4.- Divide 261 en tres partes proporcionales

a los nmeros 12;27; 48 respectivamente.

Solucin:12 k + 27 k + 48 k = 261

87 k = 261k = 3

Por lo tanto:Los nmeros sern:

12 ( 3 ) = 3627 ( 3 ) = 8148 ( 3 ) = 144

5.- Repartir 42 entre A; B; y C de modo quela parte de A sea el doble de la parte de By la de C la suma de las partes de A y B.Luego calcula el producto de A.B.C

Solucin:

De acuerdo al enunciado tenemos : A = 2 k B = k

C = A + B = 2k + k = 3k

Entonces:A + B + C = 422k + k + 3 k = 42

k 7

K = 125


13/53

* B = 7* C = 3(7) = 21

Por ltimo:14 x 7 x 21 = 2058

6.- Repartir 36 en tres partes inversamente

proporcional a los nmeros 6; 3; y 4 ( enste orden) obtenindose a; b; y c. Halla: a.b.c

Solucin:a =

6

k a = 2k

b =3

k b = 4k

c =4

k c = 3k

9k = 36k = 4

Por lo tanto: a = 2(4) = 8

b = 4(4) = 16 c = 3(4) = 12

Finalmente: 8.16.12 = 1536


1). Reparte 1250 en 3 partes directamente

proporcional a los nmeros 2;3;5, e indicala suma de las cifras del mayor nmero.

a) 10 b) 14 c) 9d) 13

2). Reparte 56 en partes proporcionales alos nmeros 3; 5; 6. Indica la mayor parte.

a) 22 b) 18 c) 25d) 16 e) 24

3). Reparte 3270 en partes DP a 7; 20; 82.

Da como respuesta la mayor parte.

a) 2460 b) 2420 c) 2640d) 3240 e) 840

4). Reparte 400 DP a los nmeros 10; 15;25. Indica la parte menor.

a) 150 b) 80 c) 106d) 140 e) 102

5). Se reparten S/. 7500 entre 3 personas en

forma D.P. a los nmeros 15; 6; 4. Cunto recibe el mayor?

a) 2400 b) 2500 c) 3200d) 4500 e) 2300

6). Reparte 750 DP a 6; 7; 12. Da la parteintermedia.

a) 210 b) 240 c) 36d) 150 e) 120

7). Reparte 135 dlares entre 5 personasproporcionalmente a los nmeros 2; 3; 4; 8y 13 respectivamente, indica cunto letoca al ltimo?.

a) 58.5 b) 35 c) 80d) 180 e) 81

8). Reparte 594 en I.P a 2; 3; 6 y 10. Indicala mayor parte.

a) 270 b) 406 c) 180d) 300 e) 240

9). Reparte 12240 en 3 partesproporcionales a 2/3; 1/5 y 5/6. Indica lamenor parte.

a) 2900 b) 1440 c) 1800d) 2160 e) 2880

10). Reparte 50 caramelos en formaproporcional a 162; 243; 405. Halla laparte que no es mayor ni menor.

a) 28 b) 20 c) 15d) 10 e) 22

11). Descompn el nmero 162 en trespartes que sean D.P a 13; 19 y 22. Halla laparte menor.

a) 36 b) 26 c) 39d) 38 e) 13

12). Reparte 882 I.P a 6; 12; 10.

a) 252;150;480 b) 210;420;172c) 189;378;315 d) 140;142;600e) 420;210;252

13). Reparte 309 I.P a 9; 15; 33. Indica lamayor parte.

a) 165;132;30 b) 165;123;39) 123 145 55 d) 150 165 12


14/53

14). Reparte 280 D.P a 1/5; 2/3; 3/10. Da

como respuesta la parte mayor.

a) 160 b) 100 c)180

d) 140 e) N.A.

15). Juan tiene 8 panes y Pedro 4; debencompartirlos equitativamente con dosamigos. Para recompensarlos stosentregan 180 soles a Juan y Pedro.Cunto le tocar a Juan?

a) 120 b) 140 c) 75d) 150 e) 90

16). Reparte 648 en forma D.P a 5 y 7

Indica la mayor parte.

a) 378 b) 102 c) 270d) 300 e) 100

17). Reparte 648 en forma I.P a 5 y 7 Indicala mayor parte.

a) 480 b) 270 c) 164d) 378 e) 382

CLAVES DE RESPUESTAS1) d 2) e 3) a4) b 5) d 6) a7) a 8) a 9) b10)c 11)c 12)e13)e 14)a 15)a16)a 17)d

REGLA DE TRES

1. CONCEPTOS PREVIOS

a) Cantidades DirectamenteProporcionales

Dos cantidades son D.P si al aumentar odisminuir una de ellas, la otra tambinaumenta o disminuye en ese mismo orden.

k

b

a

b

a

b

a

3

3

2

2

1

1 Constante de Proporcionalidad.

b) Cantidades InversamenteProporcionales (I.P)

Dos cantidades son IP si al aumentar odisminuir una de ellas, la otra disminuye oaumenta en ese mismo orden. Ejem :

k

q

1

P

q

1

P

q

1

P

3

3

2

2

1

1

2. DEFINICIN DE REGLA DE TRESSIMPLE

Dadas tres cantidades y una incgnitapertenecientes a dos magnitudes diferentesdeterminar la incgnita.

a) Directa .- Si las cantidades son D.P.(directamente proporcionales)

Ejemplo 1 :- Si un mvil recorre 120 km en 8 horas.

Determina en cuantas horas recorrer30km.

Solucin :Distancia(km) Tiempo (H)

120 830 xSon magnitudes D.P

Luego : x =120

8x30 = 2 horas

b) Inversa.- Si las cantidades son I.P.(inversamente proporcionales)

SESIN N 10


15/53

Ejemplo 1 :- Si 209 alumnos tardan 30 das en pintar

su saln de clase Cuanto tiempotardaran 60 alumnos?

Solucin :

Tiempo N alumnos

30 20x 60

Son magnitudes I.P.

Luego x =60

20x30 = 10 das

3. DEFINICIN DE REGLA DE TRESCOMPUESTA

Dadas varias cantidades y una incgnitaperteneciente a diversas magnitudes,determinar la incgnita.Consiste en resolver en forma simultneados o ms reglas de tres simple:

Mtodo de los signos

DP DP IP D IPA B C D E

- - + + +a1 b1 c1 d1 e1

a2 b2 c2 x e2+ + -

Luego : x =2211

11122

ecba

decba

)(PRODUCTO

)(PRODUCTO

PROBLEMAS RESUELTOS

1).- Si tres patas ponen tres huevos en tresdas, doce patas, En cuntos daspodrn poner doce huevos?

Solucin :

+ - +Patas Huevos Das3 3 312 12 x- + -

x =3x12

3x3x12= 3das

2).- En una competencia de glotones 40 deellos puede comer 300 panes en 2 das.Si fueran 50 en 3 das. Cuntos panespodrn comer?

Solucin :

+ - +Panes Glotones Das3000 40 2x 50 3

+ +

Luego :

x =40x2

3x50x3000= 3625 panes

3).- Una cuadrilla de 12 hombresencargados de la conservacin de un

tramo de la lnea frrea Arequipa Cusco,construyen 4/5 de una alcantarilla en 6das. Si se quiere concluir la obra en 5das, cuntos hombres sern necesarioaumentar?Solucin :

Hombres Obra Tiempo+ - +12 4/5 65 5/5 5

+ -

x = 185x4

6x5x12

Debe aumentarse 18 12 = 6 hombres

4).- Si 60 obreros trabajando 8 horasdiarias construyen 320 metros de unaobra en 20 das. En cuntos das 50obreros trabajando 6 horas diarias

construyen 300 metros de la misma obra?Solucin :

Obreros H/D MetrosTiempo+ + - +

60 8 320 2050 6 300 x- - +

X = 320x6x5020x300x8x60

= 30 das

5).- 10 campesinos siembran un terreno de50m

2en 15 das, en jornadas de 7 horas.


16/53

Cuntos das demorarn en sembraraotro terreno de 80m2, 15 campesinosdoblemente hbiles?

Solucin :

Camp. Das Horas Habilid. rea+ + + + -10 15 7 1 5015 x 8 2 80

X = 50x2x8x1580x1x7x15x10

= 7 das


1).- Viajando con una velocidad de 90 Km/h.

Un auto demora 8 horas. A que velocidaddebe viajar si desea demorar 6 horas?

a)160 b) 140c) 130 d) 150 e) 120

2).- Si una obra tiene una dificultad del 60%y se puede realizar en 24 das. Encuntas das se podr hacer la misma obrasi tiene una dificultad de 80%?

a) 16 b) 34

c) 33 d) 18 e) 32

3).- Con un rendimiento del 50% se puedehacer una obra en 30 das. Cul es elrendimiento si se demora 15 das?

a) 60% b) 80%c) 90% d) 100%e) 70%

4).- Si 10 carpinteros hacen 25 mesas.Cuntas mesas harn 4 carpinteros?

a) 20 b) 8c) 13 d) 10 e) 12

5).- Con una habilidad del 70% se puedehacer un trabajo en 27 minutos. Cuntodemorar con una habilidad del 90%?

a) 18 b) 24c) 12 d) 20 e) 21

6).- 8 conejos tienen alimento para 18 das.Si hay 6 conejos. Cunto duran los

alimentos?

a) 16 b) 24

7).- En una semana, Jos gasta S/.48 encomprar gasolina, en 42 das gastar:

a) 168 b) 48c) 336 d) 288 e) 208

8).- Si en dos das 20 nios comen 80 panes,en una semana, Cuntos panescomern?

a) 160 b) 240c) 320 d) 250 e) 280

9).- 20 mineros tienen vveres para 15 das.Si desisten trabajar 5 de ellos, Paracuntos das tendr vveres el resto?

a) 20 b) 25c) 15 d) 18 e) 23

10).- Si 8 obreros hacen una obra en 15das, 12 obreros harn la obra de igualcaracterstica en:

a) 16 b) 7c) 20 d) 15 e) 10

11).- Cuntos panes darn por S/.38, si porS/.2 dan 18 panes?

a) 242 b) 148 c) 230d) 150 e) 342

12).- Cinco Obreros trabajando 8 horasdiarias hacen una obra en 15 das; 10obreros trabajando 6 horas diarias, Encuntos das harn otra obra de igualcaracterstica?

a) 9 b) 6 c) 5d) 8 e) 10

13).- Un hombre caminando 8 h/d haempleado 4 das para recorrer 160 km.Cuntas horas diarias debe caminar otrohombre para recorrer 300 km en 10 das?

a) 9 b) 6 c) 5d) 8 e) 3

14).- Doce hombres trabajando 8 horasdiarias pueden hacer un muro en 15 das.En cuntos das harn otro muro igual 15hombres trabajando 6 horas diarias?

a) 14 b) 15 c) 16d) 17 e) 18


17/53

15).- Doce hombres tardan 10 das en cavaruna zanja de 2 m de profundidad.Cuntos hombres sern necesarios paracavar otra zanja de 3 m de profundidad en20 das?

a) 10 b) 11 c) 12d) 9 e) 8

16).- Una familia de 5 personas tom unapensin durante 6 das y pag S/. 60.Cunto pag otra familia de 4 personasque estuvo alojada en la misma pensindurante dos semanas?

a) 112 b) 120c)114

d)115 e) N.A.

17).- Caminando 6 horas diarias, un hombreha empleado 4 das para ir de un pueblo aotro distantes entre s 96 km. Sicontinuando su viaje debe ir a otro pueblodistante 192 km de este ltimo, cuntosdas emplear caminando 8 horas diarias?

a) 6 b) 3 c) 5d) 8 e) 7

18).- 120 soldados tienen provisiones para20 das a razn de 3 raciones diarias.Para cuntos das tendrn provisiones si

se aumentan 30 soldados y el nmero deraciones diarias se reduce a 2 por da.

a) 18 b) 20 c) 22d) 24 e) N.A

19).- Doce hombres trabajando 8 horasdiarias construyen 24 m de una pared en10 das. Cuntos hombres sernnecesarios para construir 20 m de paredcontinuada en 5 das trabajando 10 horasdiarias?

a) 16 b) 15 c)14d) 13 e) N.A

20).- Ocho hombres cavan una zanja de 24m de largo por 2 de ancho y 2m deprofundidad, en 12 das. Cuntostrabajadores con la misma habilidad sernnecesarios para cavar otra zanja de 18 mde largo por 3 m de ancho y 4 m deprofundidad en 8 das?

a) 18 b) 12 c) 27d) 30 e) N.A

CLAVES DE RESPUESTAS1) e 2) d 3) d

4) d 5) b 6) b7) d 8) e 9) a10)e 11)e 12)e13)b 14)c 15)d16)a 17)a 18)d19)a 20)c

REGLA DE COMPAA

Concepto.-

Es un caso particular del reparto

proporcional donde se reparten las

ganancias o prdidas de las transacciones,

segn el capital invertido por cada socio en

un periodo fijo de tiempo; dentro de una

sociedad mercantil.

En la Regla de Compaa se considera al capital

y al tiempo como directamente proporcionales a

la ganancia o a la prdida de una transaccincomercial.

KTC

Clases.-

1) Regla de Compaa Simple, cuandoexiste un capital nicos para cada sociopresentar 2 casos:

i. Capital Constante: La variacin de laganancia o prdida es DP al tiempo.

ii. Tiempo constante:La variacin de la

ganancia o perdida es DP al capital aderecho (de cada socio)

T

C

Donde: () : Ganancia o prdida

(C) : Capital de cada socio

(T) : Tiempo de inversin del

capital (meses)


18/53

2) Regla de Compaa Compuesta,cuando existen distintos capitales endistintos tiempos presenta 2 casos:

i. Capital Constante en tiempovariable: la ganancia o prdida es DPal capital multiplicndose con el tiempo

de cada socio.ii. Capital Variable: Ganancia o prdidaes dp al producto del capital nico porel tiempo total.

OBS:

1) Capital nico: es a suma de todos loscapitales (expresados en una mismaunidad de tiempo).

2) La Ganancia neta (Gn):es la ganancia,beneficio y/o utilidad Real, despus de la

inversin del capital, que indica lacantidad recuperada respecto al capitalinicial.

Ganancia neta =Inical

Ganancia-

Invertido

Capital

PROBLEMAS PARA LA CLASE

01) Juan y Pedro ganaron en 1966 y 1967, 1200soles cada ao en un negocio que tienen. En1966, Juan era dueo de los del negocio y susocio, del resto, y en 1967, Juan Garca fuedueo de los 2/5 del negocio y su socio delresto, por que el primero vendi al segundo unaparte. Hallar la ganancia total de cada socio enlos 2 aos.Rpta.:

02) A; B; C emprenden un negocio imponiendoA = S/. 900; B = S/. 800 y C = S/. 750. alcabo de un ao, A recibe como ganancia S/.180. Cunto ha ganado B y C?

Rpta.:

03) Tres socios que haban interesado S/. 25000 elprimero; S/. 24000, el segundo y S/. 16000 eltercero, tienen que repartirse una perdida de S/.19500. Cuntos quedan a cada uno?Rpta.:

04) Cuatro socios han ganado en los 3 aos queexplotaron una industria, lo siguiente: elprimero, S/. 5000; el segundo, los 2/5 de lo quegano el primero; el tercero, los de lo que

gano el segundo, y el cuarto, los 5/8 de lo quegano el tercero. Si el capital social era de S/.44000; Con cuanto contribuyo cada uno?R t

05) Tres comerciantes reunieron S/. 90000 para laexplotacin de un negocio y ganaron: el 11000; el 2 600 y 800 el 3. Cunto impusocada uno?Rpta.:

06) En una industria que trabajo durante 4 aos ymedio, cuatro socios impusieron: el primero S/.500 mas que el segundo, el segundo, S/. 600menos que el tercero; el tercero, la mitad de loque puso el cuarto y este impulso S/. 3000. sihay que afrontar una perdida de S/. 3400.Cunto perder cada uno?Rpta.:

07) Tres amigos se asocian para emprender unnegocio e imponen: S/. 2500; el segundo, lamitad de lo que puso el primero mas 600; eltercero, 400 menos que los anteriores juntos.

Al cabo de 3 aos se reparte un beneficio de16600. Cunto toca a cada uno?Rpta.:

08) A emprende un negocio con S/. 3000 y a los3 meses mas tarde entra de socio C con S/.3000. si hay un beneficio de S/. 2700 al cabodel ao de emprender A el negocio. Cuntorecibe cada uno?Rpta.:

09) A emprende un negocio de S/. 2000. Al cabo de6 meses entra como socio B con S/. 2000 y 11meses mas tarde entra como socio C con S/.2000. si a los 2 aos de comenzar A su negociohay un beneficio de S/. 630. Cunto recibecomo ganancia cada uno?Rpta.:

10) A; B; C impusieron S/. 300 cada uno para laexplotacin de un negocio. A, permaneci en elmismo un ao, B, cuatro meses menos que A yC; 4 meses menos que B. Si hay una prdidaque asciende al 20% del capital social. Cunto

pierde cada socio?Rpta.:

11) Reuniendo un capital de 10 000 soles porpartes iguales, tres socios emprenden unnegocio por 2 aos. El primero se retira a los 3meses; el segundo, a los 8 meses y 20 das y eltercero estuvo todo el tiempo. Si hay unaprdida de 3210 soles. Cunto pierde cadauno?Rpta.:

12) Dos individuos renen 8500 soles para explotarun negocio. El primero impone S/. 6000 solespara 2 aos y el segundo lo restante por 3aos. Cunto corresponde perder a cada unosi hay una prdida de S/. 1365?Rpta.:


19/53

13) En una sociedad formada por tres individuos sehan hecho las siguientes imposiciones: el primeroS/. 500 por 2 aos; el segundo S/. 400 por 4 aos yel tercero, S/. 300 por 5 aos. Cuntoscorresponde a cada uno si hay una ganancia de S/.1230?Rpta.:

14) Para explotar una industria 3 socios imponen elprimero S/. 300; el segundo S/. 200 mas que elprimero; y el tercero S/. 100 menos que los 2anteriores juntos. El primero ha permanecidoen el negocio por 3 aos. El 2 por 4 y el 3 por5 aos. Cunto toca a cada uno de unbeneficio de S/. 448?Rpta.:

15) Tres individuos renen 25 000 bolvares, de loscuales el primero ha impuesto 8000; el 2; 3000mas que el primero y el 3 lo restante. Elprimero ha permanecido en el negocio por 8meses y el tercero por 5 meses. Si hay queafrontar una perdida de 1143. Cunto debeperder cada uno?Rpta.:

16) En una industria 3 socios han impuesto: el 1con 6000 soles mas que el segundo; elsegundo con 3000 mas que el tercero y este8000. El primero permaneci en la industria porun ao, el segundo por ao y medio y el terceropor 2 aos. Cunto corresponde a cada unode beneficio de 5585 soles?

Rpta.:

17) Cunto ganar cada uno de los 3 socios que, enla explotacin de una industria, impusieron: elprimero 300 ms que el segundo, este, 850 y eltercero, 200 menos que el segundo; sabiendo queel primero; y el tercero, meses ms que el primer;si el beneficio total es de 338?Rpta.:

18) Cuatro comerciantes asociados en unaindustria han impuesto: el primero 300 mas que

el tercero; el segundo mas que el cuarto en400; el tercero, 500 mas que el segundo; elcuarto S/. 2000. el primero permaneci en laindustria durante ao y medio; el segundo, por1 aos; el 3 por 2 aos y el 4 por 2 aos. Si hay que repartir una ganancia de4350. Cunto corresponde a cada uno?Rpta.:

19) Dos individuos emprenden un negocio por 1ao. El primero empieza con S/. 500 y 7 mesesdespus aade S/. 200; el segundo empiezacon S/. 600 y, 3 meses despus aade S/. 300;Cunto corresponde a cada uno de unbeneficio de S/. 338?Rpta.:

20) En un negocio, que ha durado 3 aos, un socioimpuso 4000 bolvares y; a los 8 meses, retirola mitad; el segundo impuso 6000 y al aoaadi 3000; y el tercero, que empez con6000; a los 2 aos retiro 1500. Cundocorresponde a cada uno en beneficio de 5740?

Rpta.:

21) Dos hermanos forman un negocio, aportandocada uno un mismo capital, A un mes deiniciado el negocio, el primero aumenta en sus2/3 de capital; 4 meses ms tarde, el segundoreduce a sus 2/3 de su capital. Si el negocioduro 6 meses y al final se obtuvo una gananciawaaw; Cul es la diferencia de las ganancias,si estas son cantidades enteras?

a) 2661 b) 1331

c) 1221 d) 2112

e) 3113

22) En la imprenta Willys se observa el siguienteaviso:

# de tarjetas

impresasMedida Costo

500

1000

5 x 8 cm

5 x 8 cm2

S/. 7,50

S/. 14,00

Si hay 20% de descuento en la produccin de

tarjetas. Cunto se pagara por 1000 tarjetas

de impresin de 8 x 18 cm2; si el material para

hacerlas viene en planchas de 1,5 x 2,4 m2?

a) 39,5 b) 40,8

c) 41 d) 41,3

e) 41,5

23) Andrade, Fujimori y Toledo forman unasociedad. El capital de Andrade es al capital deFujimori como 1 es a 2 y el capital de Fujimories al de Toledo como 3 es a 2. a los 5 mesesde iniciado el negocio, Andrade tuvo que viajary se retiro del negocio; 3 meses despusFujimori tambin se retiro del negocio 4 mesesdespus, Toledo liquidara su negociorepartiendo las utilidades. Si Andrade hubiesepermanecido un mes en el negocio habrarecibido S/. 64 ms. Cul fue la utilidad total

obtenida en el negocio?


20/53

c) 2182 d) 2218

e) 2128

24) Tres socios imponen S/. 60 000 por partesiguales en un negocio que dura 2 aos. Elprimero, al terminar el primer ao aadi unosS/. 1500 y 4 meses despus, retiro S/. 5000; elsegundo a los 8 meses aadi S/. 4000 y, 5meses despus otros S/. 2000; el tercero, a los14 meses retiro 5600 soles. Si hay una perdidatotal de 7240 soles. Cunto pierde cada uno?Indicar la suma de las cifras de cada valor.

a) 11; 9; 7 b) 8; 5; 9

c) 13; 13; 5 d) 5; 5; 13

e) 4; 13; 11

25) Se ha realizado un beneficio de 5610 soles enun negocio en el que han intervenido dosindividuos. El negocio ha durado unos 3 aos.El primero empieza con 8000 soles, a los 7meses retira la mitad de su capital y 2 mesesmas tarde, agrega 2000. El segundo, queempez con 6000, al ao doblo su capital y 5meses mas tarde retiro S/. 4000. Cuntoganara cada uno? Indicar la suma de cifras delmayor.

a) 20 b) 10

c) 18 d) 9

e) 6

26) Tres individuos se asocian en un negocio quedura 2 aos. El primero impone S/. 2000 y alcabo de 8 meses, S/. 1500 ms. El segundoimpone al principio S/. 5000 y despus deun ao saca la mitad. El tercero, que habaimpuesto al principio S/. 2500, saca a los 5meses S/. 1000 y 2 meses mas tarde agregaS/. 500. si hay una perdida de S/. 500.Cunto corresponde perder a cada uno?

a) 170 11/12; 212 1/3; 117 3/38

b) 170 7/9; 212 ; 117 15/17

c) 170 2/5; 212 34/35; 117

d) 170 1/6; 212 34/35; 117 2/3

e) 170 10/47; 212 36/47; 117 1/47

27) Cinco socios han impuesto: el primero S/. 2000por 2 aos, 4 meses; el segundo S/. 2500 porlos 3/7 del tiempo anterior el tercero S/ 3000

4000 por un ao y 8 meses y, el quinto, S/. 500menos que el cuarto por de ao. HabiendoS/. 9100 soles de utilidad. Cunto gana cadauno? Dar como respuesta la suma de la sumade las cifras de cada valor.

a) 25 b) 26

c) 27 d) 28

e) 29

28) De los tres individuos que contribuyeron unasociedad, el primero permaneci en la mismadurante un ao; el segundo, durante 7 mesesms que el primero y el tercero durante 8meses ms que el segundo. El primero habaimpuesto S/. 800, el segundo, 400 menos quele segundo. Si hay una perdida de 224 soles.Cunto corresponde perder a cada uno,

respectivamente?

a) 16; 30; 48 b) 12; 15; 23

c) 27; 39; 51 d) 48; 85; 81

e) 30; 87; 96

29) Tres individuos se asocian para iniciar unaempresa. El primero impone S/. 2000 durante3 aos; el 2 S/. 1800 durante 4 aos y el 3S/. 3300 por 8 meses. Cunto corresponde acada uno si hay un beneficio de 2500 soles?Dar la aproximacin de la parte entera.

a) 799; 276; 402

b) 612; 400; 10

c) 900; 1200; 300

d) 986; 1184; 328

e) 578; 1207; 610

30) A emprende un negocio con capital de S/.2000 a los 4 meses toma como socio a B, queaporta S/. 2000 y 3 meses mas tarde, admitencomo socio a C, que aporta otros S/. 2000.Cuando se cumple un ao a contar del da enque A emprendi el negocio hay una utilidadde S/. 1250. Cunto recibe cada socio?(respectivamente)a) 600; 400; 250

b) 300; 120


21/53

d) 700; 600; 500

e) 250; 120; 212

31) Tres individuos emprenden un negocioimponiendo A = S/. 900; B = S/. 800 y C = S/.750 al cabo de una ao A recibe comoganancia S/. 180. Cunto han ganado B y C?

a) 120; 130 b) 130; 140

c) 140; 150 d) 170; 180

e) 160; 150

32) Se constituye entre 4 comerciantes unasociedad por 4 aos, reuniendo 24 000bolvares por partes iguales. El primero haestado en el negocio 3 aos; el segundo, 2 alos y 7 meses; el tercero 14 meses y el cuarto,ao y medio. Cunto tocara a cada uno deuna ganancia de 6930 bolvares,respectivamente?

f) 1999; 736; 456; 1879g) 2750; 2000; 930; 712h) 2520; 2170; 980; 1260i) 2003; 1982; 727; 432

j) 602; 799; 1988; 1015

33) Luisa y Roxana inauguran un negocio, Luisaaporta S/. 5020 y permanece en el negociodurante 3 meses. Roxana aporto 700 soles yestuvo durante 5 meses. Si al finalizar elnegocio hubo una ganancia de 5000; calcularla ganancia de Luisa y Roxana.

a) 100 b) 200

c) 300 d) 400

e) 500

34) Cinco colonos han emprendido un negocioimponiendo el primero S/. 500; el segundo; S/.200 mas que el segundo y as sucesivamentelos dems. Hay que hacer frente a una perdidade S/. 600. Cunto pierde cada uno?(respectivamente)

a) 70 1/2; 90 1/4; 200; 150; 188 1/9b) 66 2/3; 93 1/3; 120; 146 2/3; 173 1/3c) 70; 60; 50; 140; 208d) 66 1/2; 92 1/5; 100; 107 2/3; 200 1/4e) 70 1/5; 90 3/4; 208; 152; 188 7/9

35) Cuatro individuos explotan una industria por 4aos y renen 10 000 soles, de los cualesel primero pone 3500; el segundo 2500, eltercero, la mitad d lo que se puso el primero y,el cuarto, lo restante. Hay que repartir laganancia de 5000. Cunto toca a cada uno?(respectivamente)

a) 1982; 2001; 1946; 875b) 1750; 1250; 875; 1125c) 1740; 1230; 825; 1105d) 1800; 1180; 912; 1179e) N.A.

TALLER DE REFORZAMIENTO:

PROBLEMAS RESUELTOS

1).- Las magnitudes A2 DP.B; cuando A vale

20 B es 18. Qu valor toma A cuando Bvale 72?

Resolucin:

* Como A2 DP. B

cte)B(Valor

)A(Valor2

* Luego:

40n4x20n18

72x20n

72

n

18

20 222

222

2).- Si A es DP. B2adems cuando A = 18;

B = 9. Calcula: B cuando A = 8.

Resolucin:

* Si: A DP. tetanconsB

AB

2

2

* Luego:

6B36B189x8BB8

918 2

2

222

3).- Si la magnitud A es inversamenteproporcional a la magnitud B y cuando A =15, B = 24, halla B cuando A es 120.

Resolucin:

* Como A es IP a B, entonces:

AB = constante

.....BABxABxA 332211

Ma nitud Valores

A 20

B 18

20

18

SESIN N 11


22/53

* Luego reemplazamos los valores dados,

as: 3B120

24x15B24x15B120


1).- Si A es DP. a B y cuando A = 12;

B=16, cunto valdr A, cuando B = 18?

a) 28 b) 54 c) 36d) 44 e) 64

2).- Si A es DP. B2 y cuando A es 16;B = 2; calcula A, cuando B = 8.

a) 64 b) 256 c) 8 d) 32 e)512

3).- Se sabe que A es D. P. a B2cuandoA = 2; B = 5. Cul ser el valor de A

cuando B = 20?

a) 16 b) 32 c) 18d) 75 e) 25

4).- Si A es DP. B2 y cuando A es 6; B =

2; calcula A, cuando B = 10.

a) 164 b) 150 c) 80

d) 200 e) 512

5).- Si A es IP. a B y cuando A = 24;B =8; cunto valdr A, cuando B = 16?

a) 14 b)12 c) 16 d)54 e)96

6).- Si A es DP. a B y cuando A = 6;

B = 4, cunto valdr A, cuando B = 9?

a) 6 b) 9 c) 18d) 18 e) 9/2

7).- Si 3 A es IP. a B2y cuando A = 64;

B = 4; calcula el valor de B, cuandoA =64.

a) 2 b)8 c) 16d)13 e)7

8).- Si A es DP. B2 y cuando A es 24;B = 4; calcula A, cuando B = 6.

a) 12 b) 28 c) 36d) 54 e) 17

9).- Si A es IP. a B y cuando A = 48; B =16; cunto valdr A cuando B = 32?

a) 22 b)24 c) 26d)23 e)27

10).- A es D.P con B2e I.P a C , cuando

A = 4; B = 8 y C = 16. Halla A cuando

B = 12 y C = 36.

a) 2 b) 6 c) 8 d) 4 e) 10

11).- Si 3 A es IP. a B y cuando A= 64; B = 4;

calcula el valor de B, cuando A= 8.

a) 2 b) 8 c) 16d) 13 e) 7

12).- Si A es DP. a B4y cuando A = 48; B =


a) 27 b) 9 c) 81d) 162 e) 243

13).- P vara inversamente proporcional aT, cuando P = 125, entonces T = 48.

Determina T, cuando P = 300.

a) 12 b) 20 c) 16d) 13 e) 17

14).- Si la magnitud A es inversamenteproporcional a la magnitud B y cuando

A = 30, B = 48, halla B cuando A es 240.

a) 1 b)2 c) 6 d)3 e)5

15).- Las magnitudes A2 DP.B; cuando Avale 20 B es 18. Qu valor toma Acuando B vale 72?

a) 92 b)68 c) 80d)86 e)88

16).- Si A es DP. a B4y cuando A = 6; B =


a) 78 b)98 c) 81 d)62 e)96

17).- Si A es DP. a B4y cuando A = 18;B = 4; calcula A, cuando B = 8.

a) 227 b) 229 c) 281d) 262 e) 288

18).- Si la magnitud A es inversamenteproporcional a la magnitud B y cuando

A = 60, B = 96, halla B cuando A es 480.

a) 14 b) 22 c) 12d) 13 e) 15


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CLAVES DE RESPUESTAS

1) b 2) b 3) b4) b 5) b 6) b7) c 8) d 9) b10)b 11)b 12)e

13)b 14)c 15)c16)e 17)e 18)c


1. Repartir el nmero 1000 en 3 partes que senaD. P. a los nmeros 2, 3 y 5. Hallar el menornmero

Rpta. 200

2. Un enunciado reparte 840 soles en partesproporcionales a las edades de sus tres hijos,siendo stas de 24, 20 y 40 aos. Cundo lecorresponder al mayor?

Rpta. 400

3. Dividir el nmero 688 en partes D.P. a 8,15 y20. Hallar la mayor parte

Rpta. 320

4. Tres sastres compran un lote de piezasiguales de tela que valen 57680. El primero sequeda con 2 piezas, el segundo con 7 y eltercero en 5. Cunto paga el segundo?

Rpta. 28840

5. Repartir 858 en partes directamenteproporcionales a los nmeros:

5

4

6

5,4

3y . Hallar la menor parte

Rpta. 2706. Repartir 360 en 3 partes que sea

inversamente proporcionales a losnmeros 3, 4y 6. Hallar la mayor parte.

Rpta. 160

7. Repartir 735 en partes inversamente

proporcionales a 1/5, 3/5 y 3. hallar la

suma de cifras de la mayor parte.

Rpta. 12

8. Tres personas compran todos los boletos deuna rifa en forma directamente proporcional a2, 3 y 7. Si el premio se reparte en formainversamente proporcional al nmero de rifas

comprado. Cunto dinero recibi el quecompr ms boletos si en total se repartiS/. 2542?

Rpta. 372

9. Divide 1600 en partes inversamenteproporcionales a 2/3, 1/5 y 6. Calcular la sumade las partes mayor y menor

Rpta. 1240

10. Dividir en 170 en dos partes inversamenteproporcionales a los nmeros 3/2 y 4/3. Hallarel mayor

Rpta. 90

11. Repartir 1000 en partes directamente

proporcionales a 150y18,8 . Hallar elmenor

Rpta. 200

12. Tres personas compran todos los boletos deuna rifa en forma directamente proporcional a2, 3 y 7. Si el premio se reparte en formainversamente proporcional al nmero de rifascomprado. Cunto dinero recibi el quecompr ms boletos si en total se repartiS/. 2542?

Rpta. 372

13. Divide 1600 en partes inversamenteproporcionales a 2/3, 1/5 y 6. Calcular la sumade las partes mayor y menor

Rpta. 1240

14. Dividir en 170 en dos partes inversamenteproporcionales a los nmeros 3/2 y 4/3. Hallarel mayor

Rpta. 90

15. Repartir 1000 en partes directamente

proporcionales a 150y18,8 . Hallar elmenor

R t 200


24/53

PROBLEMAS PARA RESOLVERREPARTO PROPORCIONAL

1. Repartir S/. 5200 entre A, B y C partesdirectamente proporcionales a 2; 3 y 1/5.Cunto recibe C?

a) 55 b) 176c) 198 d) 200e) 250

2. Un padre reparte 520 dlaresproporcionalmente al promedio queobtienen sus hijos en Aritmtica.Cunto reciben las notas obtenidas son12; 13; 15?Dar por respuesta lo que recibe el mayor

a) 156 b) 169c) 195 d) 215e) 179

3. Repartir 429 en partes proporcionales a2/3; y 5/24. Dar por respuesta lamayor parte.

a) 55 b) 176c) 198 d) 200e) 250

4. Repartir el nmero 1246 inversamenteproporcional a 5/2; 4 y 6/5. hallar la sumade cifras del menor nmero.

a) 8 b) 9c) 10 d) 12e) 10

5. Repartir 1000 en forma inversamenteproporcional a 1/3, , 1/5. Hallar lamayor parte.

a) 100 b) 200c) 300 d) 400

e) 500

6. Se ha hecho un reparto en 3 partesinversamente proporcional a 3; 13 1/6. lasegunda parte es 72 soles. Cul fue eltotal repartido?

a) 1000 b) 3000c) 4000 d) 6000e) 8000

7. Repartir el nmero 1246 inversamenteproporcional a 5/2; 4 y 6/5. hallar la sumade cifras del menor nmero.

a) 8 b) 9c) 10 d) 11e) 12

8. Repartir 1000 en forma inversamente

proporcional a 1/3, , 1/5. Hallar lamayor parte.

a) 100 b) 200c) 300 d) 400e) 500

9. Se ha hecho un reparto en 3 partesinversamente proporcional a 3; 13 1/6. lasegunda parte es 72 soles. Cul fue eltotal repartido?

a) 1000 b) 3000c) 4000 d) 6000e) 8000

10. Repartir 348 en dos partes directamenteproporcionales a 3 y , e inversamenteproporcionales a y 1/5.Hallar la suma de cifras de la mayorparte.

a) 12 b) 14c) 16 d) 18e) 20

11. Se reparte 596000 en forma proporcionala los nmeros 2, 4, 6, 8 e inversamenteproporcional a los nmeros 1, 3, 5, 7.Cunto le corresponde a la partemenor?

a) 100000 b) 120000c) 250000 d) 300000e) 320000

CLAVES

1. D2. C3. C4. E5. E

6. D7. D8. A9. D10. B


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TANTO POR CIENTO

REGLA DEL TANTO POR CIENTO:Nos indica una relacin entre una parte y launidad que ha sido dividida en 100 partesiguales.

Es decir:

Unidad

1001

100

1

1001

100

1

1001

100 partes iguales

Luego:

1 parte 100

1= 1% (uno por

ciento)

2 partes 1002 = 2% (dos por

ciento)

3 partes 1003

= 3 % (tres por

ciento)

100 partes 100100

= 100% (cien por ciento)

Observamos que:

1% =100

1 a % =100a

. 100% =100100

= 1 .

OBSERVACIN:

El 7 por 40 407

El 35 por ciento 100

35

El 20 por 45 4520

El 90 por mil 100090

El a por b b

a

PORCENTAJE DE PORCENTAJE:

El 20% del 10% de 40% es:

100

10

.100

20. 40% = 10

8% = 0,8%

El 50% del 30% de 60% es;:

10030.

10050

x 60% = 9%

El a% del b% de c%

%10000

%.100

.100

abcc

ba

TANTO POR CIENTO DE UNA CANTIDAD:

El 20% de 30 =10020 . 30 = 6

El 60% del 10% de 500 es =10010.

10060

.

500 = 30

OPERACIONES CONPORCENTAJE

20%A + 30%A = 50% A

70%B30%B = 40%A

m + 10%m =

1

%100 m+ 10% m =

110% mN30%N = 70%N

2A + 10%A = 210%A

5% menos = 95%

RELACIN PARTE - TODO:

.Todo

Parte. 100% .

Ejemplos:

Qu tanto por ciento es 12 de 40?

4012

. 100% = 30%

SESIN N 12


26/53

Qu porcentaje de 80 es 25?

8025

. 100% = 31, 25%

Qu porcentaje de A es B?

A

B. 100%

En una reunin de 60 personas, el 20% sonhombres y el resto mujeres. Quporcentaje de las mujeres son los hombres?

Resolucin:N personas: 60 =

)(48)(hom1260.100

20

mujeresbres

Luego:

4812

. 100% = 25%

OBSERVACIN:

PIERDO

QUEDA PIERDO

GANO

10% 90% 20% 120%75% 25% 30% 130%

8% 92% 80% 180%

40% 60% 100% 200%

DESCUENTOS Y AUMENTOSSUCESIVOS:

Ejemplo 1A que descuento nico equivale dosdescuentos sucesivos del 10% y 30% de unacantidad?

Resolucin:Sea N la cantidad inicial:N (90% N) 70%(90% N) = 63% (Queda)

- 10% -30%

Descuento = 100% - 63% 37%

Otra forma:() ()

10% y 30% de N90% . 70%N = 63%N

D = 100% - 63% = 37%

A que aumento nico equivalen tresaumentos sucesivos del 10%; 20% y 50% deuna cantidad?

Resolucin:( + ) ( + ) ( + )

10%; 20% y 50%

100120.

100110

.150% = 198%

Aumento nico = 198% - 100% = 98%

VARIACIN PORCENTUAL

Ejemplo 1:Si el lado de un cuadrado aumenta en 20%

En que porcentaje aumenta su rea?

Resolucin

El rea:

A1= a2 A

2= (120% a)

2

A2= 120%a . 120%a = 144% a

2

El rea aumenta en 144% - 100% = 44%

Otra Forma:Se asume al lado inicial diez

El rea:

A1= 102A1= 100

A2= 122A2= 144

Aumento en 44%

Inicial

Final

120% a

a

a

A1

A2

+20%


27/53

Ejemplo 2:Si el radio de circulo aumenta en 100%, Enqu porcentaje aumentara su rea?

El rea:

A1= (102) A2= (20

2)

APLICACIN COMERCIAL

Ejemplo:Aurelio compr una computadora en S/. 400(precio de costo: PC) y decide ofrecerle en

$500(precio fijado: Pf) sin embargo, alamomento de venderlo lo hace por S/.420(precio de venta PV), se realiza undescuento de (500 420 = 80 soles) y seobtuvo una ganancia de 420 400 = 20soles, (ganancia bruta: GB); pero estaoperacin comercial genera gastos pos S/. 5o sea se gan realmente 20 - 5= 15 soles(ganancia neta GN) veamos:

Luego del grfico:

* . PV= PFD . * . PV= PC+ GB.GB

= GN + Gastos

Si hay prdida:P P P

Ejemplo:

Para fijar el precio de venta de una articulo

se aumento su costo en un 80% pero al

venderse se hizo una rebaja del 40%. Qu

tanto por ciento del costo se ha ganado?

Resolucin:Sea precio de costo S/. X

1 PF= x + 80%x PF= 180%x2 D = 40% PF3 PV = 60% (PF) = 60% (180%x) =108%x

Luego:PV= PC+ G108%x = x + G G = 8%x

ganancia es el 8% del costo


1. El radio de una esfera disminuye en 40%

con ellos el volumen disminuye en:

Rpta. 78, 4%

2. El precio de una refrigeradora es de S/.

1200 en tiendas sagafalabella y tiene los

siguientes descuentos:

40%, slo por hoy.

20% ms si paga con tarjeta CMR.

Cul es el monto a pagar?Rpta. S/. 576

3. Si la base de un rectngulo seincremente en 20%. En cuntodisminuye la altura si el rea no varia?

Rpta. 16 2/3%

4. El x% de 2057 es 187. Hallar x

Rpta. 100/11

5. El 25% de que nmero es el 35% de 770

Rpta. 1078

6. De que nmero es 216 el 8% ms?

Rpta. 200


28/53

7. El a% de 300 es b y b% de 30 es 27.

Hallar a.

Rpta. 30

8. El 18% de 990 es el n% de 198. Hallar n.

Rpta. 90

9. El a% de b es c el c% de a es e. Hallar a.

Rpta. 100 c/b10. Se observo que en una granja el nmero

de patos, conejos y pavos en la relacinde los nmeros 4, 5 y 6. Quporcentaje del total son pavos?

Rpta. 40%

11. En una reunin el 40% del total depersonas son hombres. Si se retira lamitad de stos. Cul es el nuevoporcentaje de hombres?

Rpta. 25%

12. El 20% menos de A es igual a 2% msde B si A + B = 546. Hallar A - B

Rpta. 66

13. Si el 65% de N es igual al 106% de (N -123). Qu porcentaje de N representa53?

Rpta. 16.6%14. En una reunin el 70% del nmero

de mujeres es igual al 50% delnmero de hombres. Quporcentaje del total son mujeres?

Rpta. 41,6%

15. En una granja: el 30% de losanimales son pollos, el 45% sonpatos y el resto son gallinas. Si sevenden la mitad de los pollos; 4/9 delos patos y 3/5 de las gallinas. Quporcentaje del nuevo total sonpatos?

Rpta. 50%

16. Qu porcentaje del cudruplo de lamitad del 60% de un nmero es el30% del 20% de los 2/5 del nmero?

PROBLEMAS PARA RESOLVER

1. La base de un tringulo aumenta en 50%y su altura en 20%. En qu porcentajevaria en rea?

a) 70% b) 80%c) 60% d) 40%e) 50%

2. Si al altura de un rectngulo disminuyeen 35% y la base aumenta en 10%. Elrea

a) Aumenta en 28,5%b) Aumenta en 25,8%c) Disminuye en 28,5%

d) Disminucin en 25,8e) N.A.

3. De un depsito de agua se extraeprimero el 20% y luego el 25%. Quporcentaje del total se extrajo?a) 40% b) 44,%c) 44% d) 45%e) 39,7%

4. Si el lado de un cuadrado disminuye en30%. En qu porcentaje disminuye elvalor de su rea?

a) 60% b) 30%c) 39% d) 51%e) 56%

5. Hallar el 36% de 2500

a) 693,3 b) 1000c) 900 d) 368e) N.A.

6. De que nmero es 72 el 2.4%?

a) 3 b) 172,8c) 300 d) 3000e) N.A.

7. Qu % de 38000 es 190?

a) 1/2 b) 50%c) 1/200 d) 2%e) N.A.

8. Hallar el 20% del 25% del 40% del 15por 60 de 24000

a) 120 b) 100c) 140 d) 125

) 124


29/53

9. Hallar el 20% del 30% del 15% de10000.a) 50 b) 70c) 90 d) 100e) 110

10. El 25% de 280 es el 40% ms de quenmero?

a) 40 b) 50c) 35 d) 28e) 48

CLAVES

1. B

2. C

3. A

4. D

5. C

6. D

7. A

8. A

9. C

10. B

REGLA DE INTERSINTERSEs la ganancia o beneficio al prestar uncapital durante cierto tiempo y bajo una tasaa considerarse. Si el inters es anual se lellama renta.

Inters (I) : Crdito, renta (anual)Capital (C) : Dinero, acciones,propiedades, etc.

Tiempo (T) : Ao, meses, das

OBSERVACIONES:

EL AO CONSIDERADO ES EL COMERCIAL,AQUELQUE TIENE 12MESES DE 30DAS CADA UNO

Tasa (r): Es el porcentaje anual, consideradocomo tasa de inters.

OBSERVACIONES:POR EJEMPLO,TENEMOS:3%MENSUAL 36%ANUAL12%BIMENSUAL72%ANUAL10%QUINCENAL 240%ANUAL

Monto (M) : Viene a ser la suma del capitalcon su inters As:

. M = C + 1 .

Frmulas para calcular el inters simple:

. 1 =100

t.r.C, ten aos .

. 1 =1200

t.r.C, tmeses .

. 1 =1200

t.r.C, ten das. .

SESIN N 13


30/53

Ejemplo:Pedro deposita 4000 soles bajo una tasa de12% semestral durante 15 meses. Cul esel monto que obtiene?

Resolucin:

C = S/. 4000r = 12% semestral 24%anualt = 15 meses

I =1200

t.r..C=

120015.24.4000

= 1200

Y como M = C + I

M = 4000 + 1200

M = 5200

PROBLEMAS PARA LA CLASE1. Cul es el capital que al 5% de inters

simple anual se convierte en 3 aos enS/. 3174 ?

Rpta. S/. 2760

M = C + I

3174= C +

C = 2760

2. Determinar el inters generado aldepositar S/. 1200 al 10% trimestraldurante 6 meses

Rpta. S/. 240

3. Un capital estuvo al impuesto al 9% deinters anual y despus de 4 aos seobtuvo un monto S/. 10200. Cul es el

valor del capital?

Rpta. S/. 7500

4. Calcular el inters producido por uncapital de S/. 60000 impuesto durante 30meses al 10% trimestral.

Rpta. S/. 60000

5. los 2/5 de un capital han sido impuesto al30%, 1/3 al 35% y el resto al 40%. Elinters total es de 41200 soles anuales.Calcular el capitalRpta. S/. 120000

6. Un capital de 2100 soles impuesto al 6%anual ha dado un monto de S/. 2400.Calcular el tiempo.Rpta. 2 aos 4 meses 20 das

7. Un capital es colocado durante 2 aos y

medio; entre capital e inters resultan2728 nuevos soles. Si el inters ha sido1/10 del capital. Calcular la tasa.Rpta. 4%

8. Hallar el monto que produce un capitalde 10800 soles al ser colocado 5%durante 2 aos, 3 meses, 20 dasRpta. S/. 12045

9. Durante cuanto tiempo estuvodepositado un capital al 12% anual si el

inters producido alcanza el 60% delcapital

Rpta. 5 aos

10. Un comerciante dispone de S/. 12000 ycoloca una parte al 3% y la otra al 5% tales as que acumula una renta anual deS/. 430. Cules son esas dos partes?

Rpta. S/. 8500 y S/. 3500

11. A que tasa de inters cuatrimestral se

presto un capital de S/. 400 de talmanera que al cabo de 8 meses produceun monto de S/. 432?

Rpta. 4%

12. Un capital colocado a inters simpleprodujo en 8 meses un monto de S/.19300. si el mismo capital se hubieraimpuesto a la misma tasa de inters poraos, el monto hubiera sido S/. 38600.Cul es la tasa anual?

Rpta. 150%

13. Una persona tiene S/. 16000 que lopresta al 5% trimestral y otra tiene S/.20000 que lo presta al 5% cuatrimestral.Dentro de cuntos aos los montosern iguales?Rpta. 20

14. Qu capital es aquel colocado al 5%anual durante 10 meses, produce S/.3300 menos que si se impusiera al 5%mensual durante el mismo tiempo?

R t 7200


31/53

15. A qu tasa debe colocarse un capitalpara que al cabo de 5 aos se produzcaun inters igual al 20% del monto?

Rpta. 5%

PROBLEMAS PARA RESOLVER1. Calcular el inters producido por S/.

2000 impuesto durante 3 aos

a) S/. 500 b) S/. 1000c) S/. 2000 d) S/. 1200e) S/. 2500

2. A que tasa de inters, la suma de S/.20000 llegara aun monto de S/. 21200colocada a inters simple en 9 meses?

a) 5% b) 6%c) 7% d) 8%e) 9%

3. Calcular el inters producido por uncapital de S/. 40000 durante 4 aos al30% semestral

a) S/. 48000 b) S/. 72000c) S/. 48000 d) S/. 72000e) S/. 54000

4. Cul es el capital que se coloca al 30%durante 2 aos para obtener un intersde S/. 120.

a) S/. 180 b) S/. 200c) S/. 220 d) S/. 240e) S/. 250

5. Un capital C produce al cabo de dosaos un beneficio de 1440. Hallar c, si

la tasa de inters es del 10% bimestral.

a) 1320 b) 1440d) 1200 d) 1220

e) 1260

6. Cul fue el capital que impuesto al 30%anual, durante 4 aos ha producido unmonto de S/. 220?

a) 200 b) 100c) 300 d) 400e) 180

7. Durante cuntos aos se deposito uncapital de S/.2500 en un banco que pagael 9% trimestral para que se haya

convertido en S/. 5200

a) 2 b) 3

e) 68. Cunto tiempo debe ser prestado un

capital al 20% para que se triplique?

a) 8 aos b) 9 aosc) 10 aos d) 11 aos

e) 12 aos

9. A que tasa fue impuesto un capital sidurante 4 aos se obtuvo un inters igualal 22% del capital?

a) 3% b) 3,5%c) 5% d) 5,5%6%

10. Cuntos meses estuvo colocado un

capital al 3% cuatrimestral, si produjo uninters igual al 6% del capital?

a) 4 mesesb) 6 mesesc) 8 mesesd) 10 meses

e) 1 ao

CLAVES

1. D2. D3. B4. B5. C

6. B7. B8. C9. D10. B


32/53

Se va a calcular el precio

de la mezcla conociendo las

cantidades y precios respectivos

de las sustancias que la

componen.

Se va a calcular las

cantidades o la proporcin en los

que se deben mezclar varias

sustancias para que resulte un

precio dado de la mezcla.

Es la unin de dos o ms

sustancias. Llamadas

componentes o ingredientes,

donde al mezclarse cada uno de

MEZCLA

Cuando en la mezcla se utiliza

agua su precio se considera S/. 0

NOTA

REGLA DE MEZCLA

Ejemplo:

Arroz tipo A con arroz tipo B al mezclarse seobtiene una mezcla tipo C; los granos de A

y B no se alteran.

PRECIO: Es el costo por cada unidad demedida del componente.

VALOR: Es el costo total de cadacomponente, que resulta del producto del

precio por el nmero de unidades.

PRECIO MEDIO (PM): Es el costo de unaunidad de medida de la mezcla.

MEZCLA DIRECTA

Se dice que la mezcla es directa cuando el

propsito es hallar el precio medio (valor

medio de la mezcla).

n n1 1 2 2m

n1 2

P .C P . C .... P .CP

C C .... C

n

x 1

n

x 1

x x

m

x

P C

P

C

Ejemplo 1Se mezclan 2 clases de cacao de 40 kg de S/.4 el kg y 80 kg de S/. 8 el kg. Hallar el precio

medio de la mezcla.

Resolucin:

m

40 4 80 8P

40 80

mP S /. 6,6

Ejemplo 2Se mezclan 3 tipos de vino: 30 litros de S/. 4

el litro, 60 litros de S/. 6 el litro y 20 litros

de S/. 5 el litro. Hallar el precio medio de la

mezcla.

Resolucin:

m

30 4 60 6 20 5P

30 60 20

m 580P Pm=110

S/. 5,27 Rpta.

MEZCLA INVERS Una mezcla inversa se caracteriza por que

se conocen el precio medio y los precios

unitarios, pero no las cantidades.

Luego: m1 2m12

C P PC P P

D d P P P

SESIN N 14

....

1C 2C 3C nC

1S/.P 2S/.P 3S/.P nS/.P

mCosto total

PCantidad total

2

1

m1 1

m2 2

P C P P

P C P P

mP


33/53

Ejemplos:Se han mezclado vinos de S/. 100 y

S/. 40 para vender la mezcla a S/. 75 el litro.

En que relacin debe hacerse la mezcla?

Resolucin:

Piden: 1

2

C 35

C 25

1

2

C 7

C 5 Rpta.

Se tiene caf de S/. 13 y S/. 9

respectivamente. Qu cantidad de cada

uno de ellos se requiere para obtener una

mezcla de 64 kg a S/. 12 el kilogramo?

Resolucin

Estn en relacin de: 3k y k

Dato: 3k k 64 4k 64 k= 16

1C 3(16) 48

2C 1(16) 16

MEZCLAS ALCOHLICAS Cuando se tiene como sustancias

componentes al alcohol y agua

generalmente.

Grado de pureza de AlcoholPorcentaje de alcohol puro en la mezcla

(volumen de alcohol puro).100%Gradovolumen total

Se expresa en porcentaje (%) o en grado (

).

Grado Medio (gm)

Es el grado de pureza de la mezcla.

volumen de alcohol purogm .100%

volumen de la mezcla

2 n1 .. . n1 2V g V g .... V ggm

Ejemplo 01Cul deber ser la pureza de alcohol que

deber aadirse a 80 litros de alcohol de

96% de pureza, para obtener un hectolitro

de alcohol de 90% de pureza?

Resolucin:Nota: 1 hectolitro=100 litrosPara completar faltan 20 litros: luego:

80(96%) 20(x%)90%

80 20

7 680+ 20x= 9 000

De donde: x= 66% Rpta.

Ejemplo 02Si 30 L de una solucin contiene 12 L de

alcohol. Cuntos litros de agua debemos

agregar para obtener una solucin al 25%?

Resolucin:Si agregamos x litros de agua, se tiene:

12gm 25%

30 x

12 1

30 x 4 Resolviendo

x

18 L Rpta.

ALEACIN

Aleacin es la mezcla de dos o mas metales

mediante el proceso de la fundicin,

conservando cada metal su propia

naturaleza.

Metales finos o preciosos: oro, plata,

platino

Metales ordinarios o de liga: cobre,

fierro, zinc, etc.

LEY DE UNA ALEACIN:Se llama ley de una aleacin de un metal

fino con un metal ordinario (liga) a la

relacin que existe entre el peso de un

metal fino, y el peso total de la aleacin.

Peso del metal finoL

Peso total de la aleacin

F

F O

WL

W W

1 1

22

100 C C = 75 40 35

40 C C 100 75 25

75

1 1

22

13 C C = 12 9 3

9 C C 13 12 1

12


34/53

Nota:Generalmente la ley de una aleacin se

representa en dcimos o milsimos.

LIGA DE UNA ALEACIN:

Peso del metal ordinarioLiga

Peso total de la aleacin

O

F O

WLiga

W W

Nota:L+Liga=1

Si un metal fino no contiene metal

ordinario o sea OW 0 L= 1

Si un metal ordinario no contiene metal

fino o sea

FW 0 Liga= 1

LEY DE ORO:En el caso del oro su ley se puede expresar

tambin en quilates. Al oro puro se le

asigna una ley de 24 quilates, el nmero de

quilates representa el nmero de dcima

cuarta parte de oro que contiene la

aleacin.

Ley de oro:k

L24

k: # de quilates

Si el oro es de 24 quilates (oro puro) su ley

es uno ( 1 ).

LEY MEDIA (lm)

1 1 2 2 3 3 n nm

1 2 3 n

W l W l W l ..... W ll

W W W .... W

Ejemplo 01:Se funden 280 g de oro puro con 200 g de

cobre. Hallar el nmero de quilates de la

aleacin.

Resolucin:

Del enunciado:280 k

200 280 24

De donde: k= 14 Rpta.

Ejemplo 02:Cuntos gramos de oro puro hay en un

collar que pesa 15 g, cuya ley es 4 dcimos

fino?

a) 6g b) 7g

c) 8gd) 10g e) 12g

Resolucin:

Se tiene que: FW

0, 415

De donde: FW 6 g Rpta.

1 Sean mezcla do 200 litros de vino dea S/. 5.00 el litro con 30 litros de vino de

mayor precio obteniendo una mezcla con

un precio medio de 6.50 slo por litro. Cul

es el costo en soles por litro del mencionado

vino de mayor precio?

a) 16.5 b) 16.9 c) 16.8d) 16.6 e) n.a.

Resolucin:El total de litros vendidos es 200 30 230 ,

como su precio medio por litro es de 6.50

soles el valor total ser.

230 6.50 1 495 soles Ahora bien sea el mayor precio por litro,

luego el total ser200 5 30 p 1 000+ 30p

Como en ambos casos el valor total es el

mismo tendremos.1 000+ 30p= 1 495

1 495 1 000p 16, 5

30

p 16,5 Rpta.

2 Cul ser la ley media de laaleacin resultante de fundir 3 bloques de

aleacin cuyos pesos son: 4; 5 y 6 kg, donde

sus leyes respectivas son de 0,750 ; 0,850 y

0,900?

a) 0,483 b) 0,413 c) 0,843

1l 2l 3l nl

..........nW3W2W1W


35/53

Resolucin:Ley de aleacin:

4(0,750) 5(0,850) 6(0,900)Lm

4 5 6

12 650Lm

15 0,843 Rpta.

3 Un comerciante vende dos tipos devinos de S/. 90 y S/. 75,60 soles el litro; los

cuales los mezcla en la proporcin de 5

partes del mas barato por 7 partes del ms

caro. Si quisiera ganar un 25% en la mezcla

a como debe vender el litro.

a) S/. 106 b) S/. 107 c)

S/. 105

d) S/. 108 e) n.a.

Resolucin:Supongamos que el total de la mezcla es 12

litros de vino.

Del barato: 5 75, 60 378 soles

Del caro: 7 90 630 soles

Total 1 008 soles S/.25% de 1 008 = 252

Luego el precio total de venta ser:+S /. 1 008 S /. 252 = S /. 1 260

El precio por litro ser:

1 26012 S/. 105 Rpta.

4 Se tiene oro de 9 decimos fino(0,900) y oro de 18 quilates (0,750).

Cuntos gramos hay que tomar de cada

clase para obtener 60 gr. de ley de 800

milsimos fino?

a) 20 y 10 b) 10 y 20 c) 20 y 40

d) 40 y 30 e) n.a.

Resolucin:Dato:

1 2

3k

C C 60

3k 60 k= 20

Luego: 1 2C 20 y C 40

20 y 40 Rpta.

5 Un litro de leche pura pesa 1 030g.si se han comprado 161,4 litros de leche y

estos pesan 165,420kg. Cuntos litros de

agua contiene esta leche?

d) 19 litros e) n.a.

Resolucin:Por cada litro de agua agregado se pierde:1 030 1 000= 30g de peso

181, 4 litros de leche pura pesarin 161,4 1 030= 166, 242kg

El peso de la leche comprada es 165, 920 g.

y la diferencia de pesos da: 840g

Luego de agua hay:84 0

30 28 litros Rpta.

6 Si 80 litros de agua contiene 15% desal. Cunto de agua se debe de evaporar

para que la nueva solucin contenga 20%

de sal?a) 10 litros b) 5 litros c)

20 litros

d) 19 litros e)n.a.

Resolucin:15

Sal (80) 12 litros100

Se evapora x litros de agua, la sal no se

evapora.

Luego:

20

12 (80 x)100 60 80 x

x 20 litros Rpta.

7 Se ha mezclado de una sustanciacon 70kg. De otra, las sustancias cuestan 3

soles y 5 soles el Kg. respectivamente. Qu

cantidad tendr que entrar de una tercera

sustancia de 4 soles el kg. Para que el

precio medio de la mezcla resulte de 3,95

soles el Kg?

a) 10 b) 20c) 30

d) 40 e) 50

Resolucin:Sea x la cantidad buscada.

80 3 70 5 x 4Pr omedio 3,95

80 70 x

(150 x)240 350 4x 3,95

0, 05x 2, 5 x= 50 Rpta.


36/53

8 Que cantidad de carbn con 4% dehumedad se debe mezclar con un carbn de

8% de humedad para obtener 164 kg de

carbn con 7% de humedad.

a) 43 b) 42c) 40

d) 41 e) 50

Resolucin:Proporcin de la mezcla:

Total = 4kg.

* Por una mezcla de 4kg. Se toma 1 kg con

4% de humedad

* Para una mezcla de 165 kg se tomarn164 1

x 41Kg.4

x 41 kg Rpta.

9 Si 1 litro de mezcla formado del 75%de alcohol y 25% de agua pesa 850 gramos

Cunto pesara 1 litro de mezcla formado

de 25% de alcohol y 75% de agua?

a) 890g b) 950g c) 900g

d) 980g e) 925g

Resolucin:NOTA: 1 litro de agua 2H O

Pesa 1 Kg. 1000 gramos.

Primera mezcla:

Se deduce 0,75L de alcohol.

Pesa: 850-250=600gr.

Segunda mezcla:

Aplicando regla de 3 simple:

75y 25 600

y 200gr.

Peso=700 200 950gr.

Peso= 950gr. Rpta.

10 Una cierta cantidad de azcar de120 soles el kilo se mezcla con 100 kilos de

azcar de 180 soles el kilo, si el precio

resultante era 142,5 soles. Hallar dicha

cantidad.a) 133 b) 160

c) 166

d) 130 e)2

1663

Resolucin: xKg 100Kg x 100 Kg

1P 120 , 2P 180 , mP 142,5

Sabemos:

1 1 2 2m

1 2

C P C PP

C C

Luego:

142,5= 120x 180 100x 100

Resolviendo:500 2

x 1663 3

21663

Rpta.

11 Si 20 litros de agua contiene 15%de sal Cunto de agua se debe evaporar,

para que la nueva solucin contenga 20%

de sal?a) 5 b) 10

c) 15

d) 3 e) 8

Sal=15%20 Se evapora x

litros

Sal=3L de agua (la sal no se

Evapora)

3 20% 20 x

Luego: 203 20 x100

x 5 Rpta

8 % 1% 1kg

0,800

4 % 3% 3kg

2H O

OH

25%1L pesa 250gr.

75% 1L p esa x gr.

850gr.

2H O

OH

25%1L pesa 250gr.

75% 1L p esa y gr.

P es o ? 7 5 0 y

Alcohol Peso

SAL

20L

SAL

20 x LxL


37/53

12 A una solucin de 2 litros dealcohol (en volumen) se le agrega 1 litro de

agua y litro de alcohol Cul seria el

nuevo % de alcohol en la mezcla?a) 27,5% b) 25,7%

c) 25%d) 20% e) 16,6%

Resolucin:

Se agrega 1L de agua y1

L2

de alcohol.

Entonces:

Luego el nuevo porcentaje de alcohol en la

nueva mezcla es:

alcohol

Total

V 0,9 9

V 3,5 35

0,257 25,7% Rpta.

13 Calcular el peso de un litro demezcla conteniendo 70% de agua y 30% de

alcohol, sabiendo que un litro de agua pesa

un kilogramo y un litro de mezcla de 75% de

alcohol y 25% de agua pesa 960gr.a) 988gr b) 984gr

c) 1007,5gr

d) 940gr e) 1000gr

Resolucin:Mezcla I:

Alcoho l75% 1 0,75L 710gr 1litro

agua 25% 1 0, 25L 250gr

Mezcla II:

Alcohol 30% 1 0, 30L 284gr 1litro

agua 70% 1 0,70L 700gr

984gr Rpta.

14 Una solucin de 15 litros de alcoholy agua contiene 75% de alcohol Cul es el

alcohol que puede agregarse a la solucin

original a fin de que la solucin final

contenga como mnimo 72% de alcohol?a) 14 b) 5

c) 17

d) 9 e) 10

Resolucin:x litros de solucin al 67% volumen

alcohol echado.

Volumen de alcohol:

75 4515 L 11, 25L

100 4

Obtenga solucin al 72%.

Al final habr 15 x L de solucin al 72%

72

15 x 0,67x 11, 25100

Resolviendo:10,8 0,72x 0,67x 11, 25

0,05x 0, 45

x 9 litros Rpta.

15 Dos clases diferentes de vino se hanmezclado en los depsitos Ay B, en el

deposito A la mezcla esta en proporcin de

2 a 3 respectivamente y en el deposito B, la

proporcin de la mezcla es 1 a 5 Qu

cantidad de vino debe extraerse en cada

deposito para formar una mezcla que

contenga 7 litros de vino de la primera clase

y 21 litros de la otra clase?

a) 12 y 16 b) 13 y 15 c) 10 y 18d) 15 y 13 e) 18 y 10

Resolucin:

x e y clase de vinoDato de x 7L 2a b 7............ (1)

y 21L 3a 5b 21............ (2)

OH

2H O

Alcohol 20% 2 0, 4L

agua 80% 2 1, 6L

2 litros

OH

2H O

0, 4 0, 5 0, 9L

1, 6 1 2, 6L

3,5 litros

960gr

984gr

Alcohol

Agua

P eso ? 7 5 0 y

15L

75%

67%x 0, 67x

2a

3a

A

x

y

1b

5b

B

x

y


38/53

7a 14 a 2

En (1) b 3

*Se saca de A 5a 5 2 10L

*Se saca de B 6b 6 3 18L Rpta.

1 Cual es el grado de una mezcla quecontiene alcohol y agua, sabiendo que tiene

40 litros de los cuales 16 litros sonde agua?

a) 60 b) 50 c) 70

d) 75 e) 55

2 Se mezclan 15 litros de alcohol de40, con 35 litros de 30 y 40 litros de 60.

De que grado es la mezcla resultante?

a) 40 b) 48 c) 50

d) 45 e) 52

3 Se alean 350 g de palta con 150 gde cobre. Cul es la ley de aleacin?

a) 0,700 b) 0,750 c) 0,800

d) 0,850 e) 0,900

4 Se mezclan tres metales de pesos:200 g, 300 g y 800 g; cuyas leyes son

respectivamente: 320 milsimas, 500

milsimas y 925 milsimas. Cul es la ley

media?

a) 0,820 b) 0,733 c) 0,720

d) 0,715 e) 0,723

5 Se mezclan dos sustancias cuyasdensidades son 2 y 3 g/ l, en las cantidades

de 8 litros y 10 litros respectivamente.Cul es la densidad de la mezcla

resultante?

a) 2,40 b) 2,18 c) 2,31

d) 2,41 e) 2,55

6 Se mezclan 2 clases de man: 30 kgde S/.4 el kg y 70 kg de S/. el kg. Hallar el

precio medio de la mezcla.

a) 5,4 b) 5,8 c) 4,8

d) 4,6 e) 5,2

7 Se mezclan tres tipos de vino: 20litros de S/. 3 el litro, 50 litros de S/. 5 el

litro para que resulte de S/. 40 el litro.

Indicar la cantidad de agua que se debe

aadir.a) 55 b) 50 c) 40

d) 70 e) 65

8 Se han mezclado 40 litros de vinode S/, 60 el litro, con 140 litros de S/. 50 el

litro. Qu cantidad de agua habr que

aadir para vender el litro a S/. 1,95

ganando un 30%?

a) 110 b) 100 c) 120

d) 108 e) 105

9 Un comerciante pesa 1 030 g, unlechero entrega 55 litros de leche con un

peso de 65,5 kg; le agreg en la leche, En

que volumen?

a) 3 L b) 5 L c) 4 L

d) 6 L e) 8 L

10 A cuanto debe venderse el litro devino que resulta de mezclar 20 litros de S/.

80 el litro con 50 y 30 litros de S/. 40 y S/.

69 el litro respectivamente, si no se debe

ganar ni perder?

a) 56,7 b) 58,4 c) 53,9

d) 55,9 e) 60

11 Se mezclan 30kg de caf de S/. 39el kilo con 48 kg y 52 kg de S/.26 y S/.13

respectivamente; se desea saber a como

debe venderse cada kg de la mezcla si se

debe ganar el 10%.

a) 25,40 b) 25,70 c) 26,18

d) 28,4 e) 27

12 A como se vendi cada kilogramode la mezcla de 27,33 y 45 kg de arroz

cuyos precios son respectivamente S/.10,6 ;

S/.5,3 y S/.2,65 el kilogramo, si se perdi el

7%?

a) 6,20 b) 4,9 c) 4,7

d) 5,8 e) 5,11

13 Se fundieron dos lingotes de plata

de igual peso y cuyas leyes son de 0,920 y0,950. Cul es la ley resultante?

a) 0 924 b) 0 0905 c) 0 935


39/53

14 Un vaso lleno de aceite pesa 1,69kg y lleno de alcohol pesa 1,609kg sabiendo

que a igualdad de volmenes, el peso del

aceite es los 9/10 del peso del agua y el

alcohol los 21/25 del mismo. Cuntosgramos pesa el vaso vacio?

a) 425 b) 615 c) 608

d) 612 e) 475

15 Un adorno de oro de 16 quilates,contiene 60 g de oro puro. Cuantos

gramos de liga contiene el adorno?

a) 18 b) 20 c) 30

d) 24 e) 26

16 Hallar la ley de una aleacin de oroy cobre que tiene una densidad de 14,

sabiendo que la densidad del oro es de 19 y

la del cobre 9 ( aproximadamente)

a) 0,678 b) 0,915 c) 0,583

d) 0,584 e) 0,832

17 Se mezclan 8 litros de aceite deS/.600 el litro y 12 litros de aceite de S/.800

el litro. A cmo se debe vender cada litro

de la mezcla resultante?

a) S/.840 b) S/.710 c) S/.730

d) S/.805 e) S/.720

18 Un comerciante ha comprado 350litros de aguardiente a S/.1.95 el litro. Qu

cantidad de agua habr que aadir para

vender el litro a S/.1,95 ganando un 30%?

a) 104 b) 105 c) 102

d) 110 e) 108

19 En que proporcin se debenmezclar dos tipos de vino, cuyo precios por

litro son de S/.800 y S/.1 100 para obteneruna mezcla cuyo precio medio sea de

S/.920

a) 2/3 b) 3/4 c) 4/3

d) 4/5 e) 3/2

20 Qu cantidades de vino de S/.35 ;S/.50 y S/.60 el litro han de mezclarse para

conseguir a S/.43,5 cada litro, con la

condicin de que la segunda clase, entre el

doble de cantidad de la tercera. Indicar la

mxima diferencia de 2 de estascantidades.

a) 600 b) 800 c) 700

21 Un recipiente de 100 litros decapacidad esta lleno con alcohol de 80.

Cuantos litros de dicho recipiente hay que

sacar para que al ser reemplazado por agua

se obtenga una mezcla de 60?a) 40 L b) 60 L c) 50 L

d) 75 L e) 65 L

22 Se mezclan alcohol puro, agua yvino cuyos volmenes estn e la misma

relacin que los nmeros 3; 5 y 2. Hallar el

porcentaje de alcohol en el vino, si al

mezclar ste resulto de grado 37.

a) 35 b) 30 c) 45

d) 37 e) 42

23 Un anillo de 33 g de peso esthecho de oro de 17 quilates. Cuntos

gramos de oro puro se debern agregar al

fundirlo para obtener oro de 21 quilates?

a) 40 g b) 42 g c) 44 g

d) 45 g e) 43 g

24 Qu cantidad de cobre habr quemezclar a una barra de plata de 44 kg y de

ley de 0,920 para que la ley disminuya en

0,04?

a) 42 b) 46 c) 44d) 45 e) 48

25 Al precio de S/. 2 200 el kilogramose plata, se ha vendido en S/770 un vaso

que pesaba 500 g. Cul es la ley de este

vaso?

a) 0,7 b) 0,6 c) 0,8

d) 0,9 e) 0,75

26 Se funden 50 g de oro puro con

450 g de una aleacin, la ley de la aleacinaumenta en 0,020. Cul es la ley de

aleacin de la primera?

a) 0,6 b) 0,9 c) 0,36

d) 0,8 e) 0,39

27 Se tienen 60 litros de una mezcla decido sulfrico al 40% de pureza. Cuntos

litros de agua se deben agregar para obtener

una mezcla que slo tenga el 10% de

pureza?

a) 160 b) 150 c) 180d) 170 e) 190


40/53

Pv = Pc + g

Pv = Pc - p

28 Se tiene alcohol de 80% y 60% cuyovolumen del primero es el triple del

segundo. Cuntos litros de alcohol de 65%

se debe agregar para obtener 96 litros de

69%?

a) 56,3 b) 57,6 c) 58,1d) 58,9 e) 60

29 Si se funden 50 g de oro con 450 gde una aleacin, la ley de aleacin aumenta

0,02. Cul es la ley de la aleacin inicial?

a) 0,70 b) 0,65 c) 0,91

d) 0,80 e) 0,85

1. 2. 3. 4 5. 6. 7. 8. 9.

a d a b e a d a c

10. 11. 12. 13 14. 15. 16. 17. 18.

a c e e c a b e b

19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27.

e b c a e b a d c

28. 29.

b d

Taller de Reforzamiento

ASUNTOS COMERCIALES:PROBLEMAS PROPUESTOS

FORMULAS:

1) Si Pv Pc

2) Si Pv Pc

Donde :

Pv = Precio de venta.

Pc = Precio de compra.

g = Ganancia.

p = Prdida.

1.- En cunto debe venderse un reloj que cost $

35,si se quiere ganar el 20% del precio de costo?.

a) 56 b) 28 c) 36

d) 42 e) 35

2.- En cunto debe venderse un reloj que cost $82,si se quiere ganar el 18% del precio de costo?.

a) 56 b) 28 c) 96.76

d) 94.78 e) 35.7


3500,si se quiere ganar el 25% del precio de

costo?.

a) 4375 b) 2886 c) 4475

d) 4455 e) 3565


1450,si se quiere ganar el 32% del precio de

costo?.

a) 1824 b) 1328 c) 1914

d) 1814 e) 1235

5.- Cul fue el precio de venta de un producto que

cost S/ 500, si se perdi el 14% del precio de

costo?

A) 464 B) 463 C) 430

D) 191 E) 514

6.- Cul fue el precio de venta de un televisor que


costo?

A) 464 B) 163 C) 284

D) 336 E) 214



costo?

A) 164 B) 163 C) 184

D) 114 E) 135



costo?.

A) 164 B) 163 C) 162

D) 114 E) 149



costo?.

) ) )

SESIN N 15


41/53


cost S/ 680, si se perdi el 25%?.

A) 464 B) 510 C) 584

D) 914 E) 414

11.- Cul es el precio de costo de un producto, si para

ganar el 20% del precio de costo tuvo que

venderse en S/.180 ?

A) 146 B) 151 C) 128

D) 150 E) 201

12.- Cul

6 matemc3a3 tica financiera

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