5.5 diseños en cuadrados grecolatinos
DESCRIPTION
tema de Grecolatinos de estadistica inferencial IITRANSCRIPT
5.5 DISEÑO EN CUADRADOS
GRECOLATINOSUnidad V
INTRODUCCIÓN
• En los arreglos por bloques, se pueden analizar 4 factores, introduciendo un cuarto factor o bloque en un diseño cuadrado latino, siguiendo las mismas reglas utilizadas para introducir un tercer factor en un diseño cuadrado de dos factores.• A este cuarto factor o bloque se le denomina componente
griego, ya que se utilizan letras griegas para identificar sus niveles.• A la adición de un diseño cuadrado latino y un cuarto
factor, se le llama Diseño Cuadrado Grecolatino.
INTRODUCCIÓN
• Un cuadrado grecolatino es una extensión del cuadrado latino en el que se incluye una tercera variable de control o variable de bloque.• Todos los factores deben tener el mismo número de
niveles K y el número de observaciones necesarias sigue siendo K2.• Este diseño es, por tanto, una fracción del diseño completo
en bloques aleatorizados con un factor principal y 3 factores secundarios que requeriría K4 observaciones.
DEFINICIÓN
Diseño con cuatro factores
a k niveles.
Se asume que no hay
interacciones.Requiere k=2 observaciones
El diseño factorial completo
requiere k=4
Cada nivel de un factor
aparece una vez con cada nivel
de los otros factores
Superposición de dos
cuadrados latinos
ORIGEN
Nacen de una investigación llevada a cabo por el matemático y físico Leonhard Paul Euler, quien fuera muy distinguido durante el siglo XVIII por sus estudios realizados.Entre sus muchos estudios se interesó en los cuadrados mágicos y realizó un trabajo algebraico más que numérico con estos para ello introdujo las letras latinas en vez de números, a estos les llamó «Cuadrados latinos»
ORIGEN
• Un cuadrado grecolatino es el resultado de la superposición de dos cuadrados latinos, el cuadrado resultante no tiene ninguna de las letras o signo repetido en fila o columna, ello es posible si ambos cuadrados latinos son ortogonales entre sí.
Cuadrado grecolatino
• No para todos los ordenes se puede realizar un cuadro greco-latino, con el paso de los años se ha llegado a la conclusión de no ser posible para los ordenes de 2 y 6, para cualquier otro orden si es posible
Cuadro 6x6 al que no puede ser grecolatino• “El problema de los
treinta y seis oficiales”. La pregunta es si es posible colocar a treinta y seis oficiales de seis regimientos diferentes y de cada uno de los seis grados (en cada regimiento)
Planteamiento del modelo
• Si se aumenta el número de factores-bloque, la extensión del cuadrado latino es el grecolatino, que permite con p2 observaciones estudiar cuatro factores de p niveles sin interacciones (un factor-tratamiento y tres factores bloque), si se utilizase el diseño completo es necesario utilizar p4 observaciones.
Planteamiento del modelo
• Consideremos un cuadrado latino p x p al que se le sobrepone un segundo cuadrado latino cuyos tratamientos se designan por letras griegas. Se dice que los dos cuadrados son ortogonales si al sobreponerse poseen la propiedad de que cada letra griega aparece solamente una vez con cada letra latina.
PLANTEAMIENTO DEL MODELO
Cuadro
Columna
1 2 3 41 Aα Bβ Cγ Dδ2 Bδ Aγ Dβ Cα3 Cβ Dα Aδ Bγ4 Dγ Cδ Bα Aβ
α Alfaβ Betaγ Gammaδ Delta
Planteamiento del modelo
• En el diseño en cuadrado grecolatino se superponen dos cuadrados latinos, resultando el siguiente modelo matemático:
𝒚 𝒊𝒋 (𝒌𝒍 )=𝝁+𝜶𝒊+𝜷 𝒋+𝜸𝒌+𝜹𝒍+𝜺𝒊𝒋 (𝒌𝒍 )
La notación indica que los niveles determinan los niveles para un cuadrado grecolatino especificado. Es decir, los subíndices l toman valores que dependen de la celdilla .
Planteamiento del modelo
• µ es un efecto constante, común a todas las unidades.• es el efecto producido por el i-ésimo nivel del factor fila. Dichos efectos están
sujetos a la restricción • es el efecto producido por el j-ésimo nivel del factor columna. Dichos efectos
están sujetos a la restricción • es el efecto producido por el h-ésimo nivel del factor letra latina. Dichos
efectos están sujetos a la restricción • es el efecto producido por el p-ésimo nivel del factor letra griega. Dichos
efectos están sujetos a la restricción • son variables aleatorias independientes con distribución N (0, σ).
𝒚 𝒊𝒋 (𝒌𝒍 )=𝝁+𝜶𝒊+𝜷 𝒋+𝜸𝒌+𝜹𝒍+𝜺𝒊𝒋 (𝒌𝒍 )
Descomposición de la variabilidad
• Simbólicamente se puede escribir:
SCT = SCF + SCC + SCL + SCG + SCR
• SCT suma total de cuadrados.• SCF suma de cuadrados debida al efecto fila.• SCC suma de cuadrados debida al efecto columna.• SCL suma de cuadrados debida a las letras latinas.• SCG suma de cuadrados debida a las letras griegas.• SCR suma de cuadrados del error.
Análisis de varianza
• El análisis de variancia es muy similar al de un cuadrado latino. El factor representado por las letras griegas es ortogonal a los renglones, las columnas y los tratamientos de las letras latinas porque cada letra griega ocurre una sola vez en cada renglón, en cada columna y para cada letra latina.
Análisis de varianza
• Por lo tanto, la suma de cuadrados debida al factor letra griega puede calcularse usando los totales de la letra griega. El error experimental se reduce en esta cantidad. • Las hipótesis nulas de igualdad entre los renglones, entre las
columnas, entre los tratamientos de la letra latina y entre los tratamientos de la letra griega pueden probarse dividiendo la media de cuadrados correspondiente entre la media de cuadrados del error. • La región de rechazo es el extremo superior de la distribución
F p – 1, (p – 3) (p – 1).
Análisis de varianzaFuente de Variación
Suma de Cuadrados Grados de Libertad
Tratamiento de Letra Latina
p – 1
Tratamiento de Letra Griega
p – 1
Renglones p – 1
Columnas p – 1
Error (p – 3)(p – 1) Total p2 – 1
Ejemplo 1
• En la obtención de un determinado producto químico se está interesado en comparar 4 procedimientos. • Se supone que en dicha obtención también puede influir la
temperatura, presión y tipo de catalizador empleado, decidiéndose realizar un experimento en cuadrado greco-latino.• Para ello, se consideran 4 niveles de cada uno de estos
factores. La tabla adjunta muestra el cuadrado greco-latino que resulta elegido y las cantidades de producto obtenidas.
Ejemplo 1
En dicha tabla:• Las filas representan el factor principal, procedimientos.• Las columnas representan el factor temperatura.• Las letras latinas(A, B, C, D) representan el factor presión.• Las letras griegas(α, β, γ, δ) representan el factor tipo de
catalizador.
Ejemplo 1
Procedimientos
Temperaturas
T1 T2 T3 T4P1 Cβ 5 Bα 12 Aδ 13 Dy 13P2 By 6 Cδ 10 Dα 15 Aβ 11P3 Dδ 7 Ay 5 Bβ 5 Cα 7P4 Aα 11 Dβ 10 Cy 8 Bδ 9
N=16n=4
EJEMPLO 1
Procedimientos
Temperaturas
T1 T2 T3 T4
P1 Cβ 5 Bα 12 Aδ 13 Dy 13 43 1849
P2 By 6 Cδ 10 Dα 15 Aβ 11 42 1764
P3 Dδ 7 Ay 5 Bβ 5 Cα 7 24 576 P4 Aα 11 Dβ 10 Cy 8 Bδ 9 38 1444
29 37 41 40
841 1369 1681 1600 5491
Ejemplo 1
Procedimientos
Temperaturas
T1 T2 T3 T4
P1 Cβ 5 Bα 12 Aδ 13 Dy 13
P2 By 6 Cδ 10 Dα 15 Aβ 11
P3 Dδ 7 Ay 5 Bβ 5 Cα 7
P4 Aα 11 Dβ 10 Cy 8 Bδ 9
PARA LATINOA= 11+5+13+11 40 1600B= 6+12+5+9 32 1024C= 5+10+8+7 30 900D= 7+10+15+13 45 2025SUMAS 147 5549
∑ ∑2
Ejemplo 1
Procedimientos
Temperaturas
T1 T2 T3 T4
P1 Cβ 5 Bα 12 Aδ 13 Dy 13
P2 By 6 Cδ 10 Dα 15 Aβ 11
P3 Dδ 7 Ay 5 Bβ 5 Cα 7
P4 Aα 11 Dβ 10 Cy 8 Bδ 9
PARA GRECOLATINO
α= 11+12+15+7 45 2025
β= 5+10+5+11 31 961
γ= 6+5+8+13 32 1024
δ= 7+10+13+9 39 1521
SUMAS 147 5531
∑ ∑2
Ejemplo 1
Datos al cuadrado1 2 3 4 ∑
Cβ 5 25 Bα 12 144 Aδ 13 169 Dy 13 169 507By 6 36 Cδ 10 100 Dα 15 225 Aβ 11 121 482Dδ 7 49 Ay 5 25 Bβ 5 25 Cα 7 49 148
Aα 11 121 Dβ 10 100 Cy 8 64 Bδ 9 81 366
231 369 483 420 1503∑
Ejemplo 1
𝑆𝑆 𝑓𝑖𝑙𝑎𝑠=∑𝑖=1
𝑛
𝑦 𝑖2
𝑛 − 𝑦2𝑁=5633
4−
(147 )2
16=57.6875
43 184942 176424 57638 1444
Ejemplo 1
Ejemplo 1
PARA LATINOA= 11+5+13+11 40 1600B= 6+12+5+9 32 1024C= 5+10+8+7 30 900D= 7+10+15+13 45 2025SUMAS 147 5549
∑ ∑2
Ejemplo 1
PARA GRECOLATINO
α= 11+12+15+7 45 2025
β= 5+10+5+11 31 961
γ= 6+5+8+13 32 1024
δ= 7+10+13+9 39 1521
SUMAS 147 5531
∑ ∑2
Ejemplo 1
• ERROR =• ERROR
Ejemplo 2Coeficiente de
variaciónGrados de
libertad (Y)Suma de
cuadradosCuadrados
mediosF Calculada
Filas(procedimiento
)
n-1 4-1=3 57.6875 CMF=57.6875/3
=19.2291
Columnas (temperatura)
n-14-1=3
22.1875 CMC=22.1875/3
=7.3958
Tratamiento latino
n-14-1=3
36.6875
CML=36.6875/3
=12.2291
Tratamiento greco
n-14-1=3
32.1875
CMG=32.1875/3
=10.7291
ERROR(n-3)(n-1) (4-3)(4-1) (1)(3)=3
3.6875 CME=3.6875/3
=1.2291
TOTALn2-142-1
16-1=15152.4375
Ejemplo 1
F de tablas
v1 ; v2 con
Hipótesis a probar:
Ejemplo 1
• Para procedimientos (filas)
• Para temperatura (columnas)
15.644 > 9.28 6.0172 < 9.28
Ejemplo 1
• Para tratamiento latino (presión)
• Para tratamiento greco (catalizador)
9.9496 > 9.28 8.7292 < 9.28
Ejemplo 1
CONCLUSIÓN:
Se concluye que se aceptan las hipótesis de igualdad de efectos de columnas y de letra griega y se rechazan las hipótesis de igualdad de efecto de filas y de letra latina. Es decir, son significativos los efectos de los procedimientos y presión, pero no lo son los efectos de la temperatura y catalizador.
Ejemplo 2
• Un experimentador opina que las líneas de ensamblaje son fuentes de variación al momento de reproducir la fórmula para la elaboración de dinamita. Para comprobarlo diseña un arreglo de cuadrado Grecolatino.
• Supóngase que en el experimento para comparar las fórmulas para la dinamita, tiene importancia el factor adicional línea de montaje. Considérese que existen cinco líneas de montaje representadas por las letras griegas α, β, γ, δ y ε.
Ejemplo 2
• El diseño de cuadrado grecolatino 5 x 5 que resulta se muestra en la Tabla.
Lotes Materia Prima
Operadores
1 2 3 4 5
1 Aα 24 By 20 Cε 19 Dβ 24 Eδ 242 Bβ 17 Cδ 24 Dα 30 Ey 27 Aε 363 Cy 18 Dε 38 Eβ 26 Aδ 27 Bα 214 Dδ 26 Eα 31 Ay 26 Bε 23 Cβ 225 Eε 22 Aβ 30 Bδ 20 Cα 29 Dy 31
N=25 n=5
Ejemplo 2
Lotes Materia Prima
Operadores
1 2 3 4 5
1 Aα 24 By 20 Cε 19 Dβ 24 Eδ 24 111 12 321
2 Bβ 17 Cδ 24 Dα 30 Ey 27 Aε 36 134 17 956
3 Cy 18 Dε 38 Eβ 26 Aδ 27 Bα 21 130 16 900 4 Dδ 26 Eα 31 Ay 26 Bε 23 Cβ 22 128 16 384
5 Eε 22 Aβ 30 Bδ 20 Cα 29 Dy 31 132 17 424
107 143 121 130 134 80985
11449 20449 14641 16900 1795
681 395
Ejemplo 2
PARA LATINOA= 24+30+26+27+3
6143 20 449
B= 17+20+20+23+21
101 10 201
C= 18+24+19+29+22
112 122 544
D= 26+38+30+24+31
149 22 201
E= 22+31+26+27+24
130 16 900
SUMAS 635 82295
Lotes Materi
a Prima
Operadores
1 2 3 4 5
1 Aα 24 By 20 Cε 19 Dβ 24 Eδ 242 Bβ 17 Cδ 24 Dα 30 Ey 27 Aε 363 Cy 18 Dε 38 Eβ 26 Aδ 27 Bα 214 Dδ 26 Eα 31 Ay 26 Bε 23 Cβ 225 Eε 22 Aβ 30 Bδ 20 Cα 29 Dy 31
∑ ∑2
Ejemplo 2
PARA GRECOLATINO
α= 24+31+30+29+21
135 18225
β= 17+30+26+24+22
119 14161
γ= 18+20+26+27+31
122 14884
δ= 26+24+20+27+24
121 14641
ε= 22+38+19+23+36
138 19044
SUMAS 635 80955
Lotes Materi
a Prima
Operadores
1 2 3 4 5
1 Aα 24 By 20 Cε 19 Dβ 24 Eδ 242 Bβ 17 Cδ 24 Dα 30 Ey 27 Aε 363 Cy 18 Dε 38 Eβ 26 Aδ 27 Bα 214 Dδ 26 Eα 31 Ay 26 Bε 23 Cβ 225 Eε 22 Aβ 30 Bδ 20 Cα 29 Dy 31
∑ ∑2
Ejemplo 2
1 2 3 4 5 ∑Aα 24 576 By 20 400 Cε 19 361 Dβ 24 576 Eδ 24 576 2,489Bβ 17 289 Cδ 24 556 Dα 30 900 Ey 27 729 Aε 36 1296 3,790
Cy 18 324 Dε 38 1444 Eβ 26 676 Aδ 27 729 Bα 21 441 3,614
Dδ 26 676 Eα 31 961 Ay 26 676 Bε 23 529 Cβ 22 484 3,326Eε 22 484 Aβ 30 900 Bδ 20 400 Cα 29 841 Dy 31 961 3,856
2,349 4,281 3,013 3,404 3,758 16,805
Datos al cuadrado
∑
Ejemplo 2
𝑆𝑆 𝑓𝑖𝑙𝑎𝑠=∑𝑖=1
𝑛
𝑦 𝑖2
𝑛 − 𝑦2𝑁=80985
5−
(635 )2
25=68
Ejemplo 2
Ejemplo 2
PARA LATINOA= 24+30+26+27+3
6143 20 449
B= 17+20+20+23+21
101 10 201
C= 18+24+19+29+22
112 122 544
D= 26+38+30+24+31
149 22 201
E= 22+31+26+27+24
130 16 900
SUMAS 635 82295
∑ ∑2
Ejemplo 2
PARA GRECOLATINO
α= 24+31+30+29+21 135 18225
β= 17+30+26+24+22 119 14161
γ= 18+20+26+27+31 122 14884
δ= 26+24+20+27+24 121 14641
ε= 22+38+19+23+36 138 19044
SUMAS 635 80955
∑ ∑2
Ejemplo 2
Coeficiente de variación
Grados de libertad (Y)
Suma de cuadrados
Cuadrados medios
F Calculada
Filas (lotes)n-1 5-1=4
68 CMF=68/4=17
Columnas (operador)
n-15-1=4
150 CMC=150/4=37.5
Tratamiento latino
n-15-1=4
330
CML=330/4=82.5
Tratamiento greco
n-15-1=4
62
CMG=62/4=15.5
ERROR(n-3)(n-1) (5-3)(5-1) (2)(4)=8
66 CME=66/8=8.25
TOTALn2-152-1
25-1=24676 160.75
Ejemplo 2
F de tablas
v1 ; v2 con
Hipótesis a probar:
Ejemplo 2
• Para lote (filas)
• Para operador (columnas)
2.06 < 3.84 4.54 > 3.84
Ejemplo 2
• Para tratamiento latino
• Para tratamiento greco
10 > 3.84 1.87 < 3.84
Ejemplo 2
CONCLUSIÓN:
Al parecer hay varianza en los Lotes de materia prima y a un más en los operadores lo que significa que hay una gran fuente de variación para los tratamientos.
EJEMPLO 3
• En el caso de ejemplo 3.1, donde se comparan cuatro métodos de ensamble y se tiene el factor de bloque operador, se podrían tener dos factores de bloque adicionales: orden en el que se hace el ensamble y lugar donde se hace. De acuerdo con esto, el diseño en cuadro grecolatino se observa en la tabla
EJEMPLO 3
EJEMPLO 3
Ejercicio 1
• Se compara el rendimiento de tres procesos de fabricación (A, B y C) en tres condiciones experimentales (α, β y γ) tres días distintos con tres procedimientos de medición. El diseño y los resultados obtenidos se indican en el cuadro.
Día 1 Día 2 Día 3Método 1 Aα 10 Bβ 13 Cγ 11
Método 2 Cβ 8 Aγ 8 Bα 10
Método 3 Bγ 9 Cα 11 Aβ 10
Ejercicio 2
• Una compañía distribuidora ubicada en los suburbios está interesada en estudiar la diferencia en costos (tiempo y gasolina) entre las cuatro rutas (A, B, C, D) que llegan a la zona comercial, más importante para ellos, en el otro extremo de la ciudad. Deciden correr un experimento en cuadro grecolatino controlando los factores de bloque chofer, marca de vehículo (α, β, γ, δ) y día de la semana. El experimento se repite en dos semanas diferentes, en las cuales no hay días festivos ni quincenas. Los costos observados en pesos se muestran en la siguiente tabla:
NOTA: se puede realizar un promedio para las dos semanas
Ejercicio 2
a) Haga el análisis de varianza de este experimento b) Realice las pruebas de comparaciones múltiples para los factores significativos
Día de la semanaChoferRutas(A, B, C, D)Marca de vehículo(α, β, γ, δ)
Ejercicio 3
• El rendimiento de un proceso químico se midió utilizando: cinco lotes de materia prima, cinco concentraciones del ácido, cinco tiempos de procesamiento (A, B, C, D y E) y cinco concentraciones del catalizador (α, β, γ, δ, ε).
• Se usó el cuadrado grecolatino siguiente. Analizar los datos de este experimento (utilizar = 0,05) y sacar conclusiones.
Ejercicio 3
Referencias bibliográficas
• Universidad nacional del santa Facultad de ingeniería E.A.P. Ingenieria agroindustrial(Noviembre 2013), Diseño de cuadrado latino y grecolatino, pp. 21-31, Fecha de consulta 11 de noviembre de 2015 Disponible desde http://bit.ly/1PUvf9P • Reyes Moreno, K. A.(28 de julio de 2015) DISEÑOS EN
CUADRADOS GRECO-LATINOS(presentación de PowerPoint) Fecha de consulta 11 de noviembre de 2015 URL: http://bit.ly/1I5h6Wc • Gutiérrez Pulido, M. De la Vara Salazar, R.. (2008). Análisis y
diseño de experimentos. México: McGraw-Hill.
Referencias bibliográficas
• Universidad de Castilla~La mancha; López Fidalgo, J(2009), Modelos lineales 3° Diplomatura de Estadística Ejercicios; pp. 4-5; Fecha de consulta: 22 de noviembre de 2015; URL: http://bit.ly/1PITI3D• Jiménez González, R. (Agosto de 2012) Estadística
Inferencial II p. 107. Fecha de consulta 10 de noviembre de 2015; URL http://bit.ly/1PUww0F