52086214...

19

Click here to load reader

Upload: juan-carlos-zabarburu-ventura

Post on 27-Jun-2015

8.571 views

Category:

Documents


1 download

DESCRIPTION

calculo de masa

TRANSCRIPT

Page 1: 52086214 calculos-de-centros-de-masa-momentos-de-inercia-utilizando-integrales-multiples-y-sus-aplicaciones-en-el-area-de-ingenieria

c��������������� ��������������������c���� V

���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� �! � �V

u�����������u��������� � ����������������� ������ ������� ����

�������������������� �������������� ����������� � �

V

�������V��V��V�����V��V��� ����� V

��� ��"��� ���#������ $ ����� ������ ���� ������� ��� ��������� �� ����

��%��&��� ��� ����� �� ��� ���� ����������� ��� ����� ������� %��� ��� �������� ��� ���

%��� ����� ��������� ���� ����� ����� �������� ��� ��� ������� �������������� ���

�����!� ��� ��'��� �'������ ��� ��� ��������� ��� �������� �������� ������� ��� ����

��������������#������� ������ ����������������������!����������������������������

����������������()�*++�,���������������������-�������������������(.+��+++�+++�

,����������������������������������������������������%��&������ ����������

�������������!��

�������� ��� ���� ����� ��� ���� ����� ��������� �� ��� ��'����� ��� �#'����� ����

����� ��� ��������� ���������� ��� ��� �����!� ����������� ���� ������� ���

�$������������ ��������'������������ ����������������������'�!�/����������

�������� ��� ��������� �������� %��� ������ ���� ���� ����� ������ ��� ��� ������� ��

������������������"������������"������������������ ����������������������º�!�

����#���������������&���'���������������#�#�'� ���#�����������%��������������

%����� �%����#����� ����� � ���� � � ������ ������� ��� �� ��� ���� ������ ��� ����

��&���� �� ��� �� ��� ���� ������������ ���������� ��� ������ ��� ������� ��� ���� ���

������������������������!�������'����������"�������%����������#�������������

������������������0�$������������1�������� ���� �����������������������

���� ��������� ���������� �������� ��� �'��� ���������� ������ ��������� �� �� �����

�%����������� ������������������� ��������������������������������������������

���� %��� ��� ��������� ��� ����� ����!� �������� ��� ����� �� ��� �%����#���� ��� %������� �� ����� � � �2��������������$����������������������������������������������

��������������������!��

ü������������

����*������������������������� ���������������� �� � � �� ���������������

������������� �� � � ���������������!�������������������'������������ ����

��� ������ �� %��� �� �� � � � ���� ����������� ���������� ������ � �� ���� ��������� �� � � � ��������������!� �������� ��� �������� ��� ����� �������� ���

���� ��������������������'�� ����������������������� ����������$���������3��

Page 2: 52086214 calculos-de-centros-de-masa-momentos-de-inercia-utilizando-integrales-multiples-y-sus-aplicaciones-en-el-area-de-ingenieria

c�� � � ��� � � ����� � ��� c�� � V

� ���� � ������ � ���� �������� ���������� ���� ����������������� ���� ������ ����������������� ������������� �! � �V

���V �� � ���� � � � � �������� �

4�������� � ��� ������������������������������ � �����'������������� ��������

��� �� ��� ������ ��� ������� ������ �� ����� ����� ���������� ������� ��� ���

� ������� � ���� ��� ������� ���� ��������� ������ ��� ������� ��� �$����� �����������

����������������$�������������5����� !�

������������������������������������� � ������������� ���������3�

���� �� � ���� � � � � �������� �

���� �� � ���� � � � � �������� �

/��������������� �������������� ������������������������������ ���

��� V��V

�� � � V����

/��������������� ������������������$����������� ����������� �� �� ��� � �� ��

������� ��������� !� �� ���������� !�

�� � ��6����������������� � � 7 �

�� !�"#� #�#� $�!� %�&� "! # ' !# !' �

�� !�#� #�"#� $�#� %�!� ! " # $ #$ #( �

Page 3: 52086214 calculos-de-centros-de-masa-momentos-de-inercia-utilizando-integrales-multiples-y-sus-aplicaciones-en-el-area-de-ingenieria

c��������������� ��������������������c���� V

���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� �! � �V

c������������'���������������'��������������3�

�� � � � � � � � � � � �� � � ��� � � � � � � � �� � � � � ) � � �

����������%����� ����������������%����������������������������#�������'�� ����

��������� ������$������� ����� �������������!� �� � �� ���� ���%����������������

���������%����#�������������������'�! �

ü������������

����*������������������������� �������*� ������������%�����������������������

��� ����� ������ ���� �������� *� ��� ��� ����� ������ *� ��º* ���!� ����� �� � ���+� � ����

��������� ��� �������� �� �� ��� ���� ��������� *� �� *� �� ��������������!� ����� � �+� �����������'� ���� ��������*� � ��� ������ ��������� ����� ���� ���������

����� ����#��������� ��� ��� ��������� 0������ ��� ��������1�� ����� ��� �������

���#��������'�������%��������������������� �����������������������������*� ��

���%��������������������������������������%��������� ���������������������

����$����������������������������������*�

4������ $�������� �������� ����� ��������� ���� ����������� ��� ��� ������ ���

����!����������������������������������������������3 �

���� � � ��� � �� � � � ���� ��� �������� ���� �������� *� � ��� ������ ��� �������� ���� �������� ��������� ���

�����������������������������'��������������������#�����������%��3� �

���� �+� � � � ���º� � ��º� � � º �

���� �+ � �� � ����� � ���� � � � �

Page 4: 52086214 calculos-de-centros-de-masa-momentos-de-inercia-utilizando-integrales-multiples-y-sus-aplicaciones-en-el-area-de-ingenieria

c��������������� ��������������������c���� V

���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� �! � �V

�����������������������#�����3�

m����� ���V*� ��º* ��������������������������������������������� �������� ����������������������, ��º� ������������- � � .��������3�

���V �º* � �/ � 0/ � 0 /1�1/ � � /2�2 23 /21��� �

���V �� � �/ 0/ 0 /1 1/ � � /2�2 23 /21��� �

�������V����

������������������������������������������������������'������(!� �

Ô���� ��� ����%���� � � � � � ����������º* � �45/ � �67 ����� � 48/ ��9�7 � !� ���������%��������������������������������� :�6�7 ;��

�������V��V����V��V��V�� �V���� V

�$����������������������� ���� ���������������������'������������������

��� ��� ����� ��� ��� ���� ���� �� �� ��� ��������� ������ ��� �'�2� �����������������j���������������������������j����������������������������������������

"������ ��� ������ ��������� ����������� ��$�������� ��������� ��� ��� �� �

����� ����3� ���� �� ��<�� ���� �������� �������� �� ������ ��������

��������������!�

������������������������������������������������������������������������

����������� �#������������ í!����������������������������������������������

������������������%���������������"����8����������������������������������

���������� %��� � � !� �� �������� �� ������� ��� �������� ��� ������� ��� ����

�������"����8��������������� �������������������������$����� � � �!�

Page 5: 52086214 calculos-de-centros-de-masa-momentos-de-inercia-utilizando-integrales-multiples-y-sus-aplicaciones-en-el-area-de-ingenieria

c��������������� ��������������������c���� V

���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� �! � �V

ü����������

2�������������������������������� ��I�������������������'���º��������3��

=> � �? �@A � �B �

=C � �? ��DE F���B��

����������������������������#��� ��������������������������������������

�����'��������%������ ���#�'�!�/���������������������'��$�'���������#�����$�����

���� ��������� G����� %��� �G� � =� �� ��� %��� ��� ������ ������ ��� ����� ������� ���

�������!�

����������� ����������������H������9(���������������������������������������

�����'���º��������������$������������������������HG�� � � =>���HG� � � =C���������3�

G� � �I�JK �L �����G � �I�JM�L ���������V��VV

ü���������� ��� �������� ��� ������� ���� ����� ��� ��� ���������� ��� �������� ��

�����������#�������� ������������������������������������������������! �

�� ��V��VV

���� ���������������������������������������������������������������

������$�������������������� =>���G� !�������������������������������������$���'���

"�������������������������,:8�����������������������������������-�����������

����������������� �����������'��º!� ������������������������������ � ���������

��������������������%��3�

Page 6: 52086214 calculos-de-centros-de-masa-momentos-de-inercia-utilizando-integrales-multiples-y-sus-aplicaciones-en-el-area-de-ingenieria

c��������������� ��������������������c���� V

���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� �! � �V

=> � �? �@N � �B � ��? �@

A OB � � OP� QPR � � OP< ��

S> � �T=>U � �TOP<OP � � PV ��

�������#�����������������������������������$��������%��3� �

=C � PO< ���SC � ��T� PV �

���

Page 7: 52086214 calculos-de-centros-de-masa-momentos-de-inercia-utilizando-integrales-multiples-y-sus-aplicaciones-en-el-area-de-ingenieria

c��������������� ��������������������c���� V

���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� �! � �V

��������V�V�������V��V��� V

����������������������������������! �

�WXW � �H � ��� Y Y �H � Y Y ��HZZ �����������������������ü�� ������ ��������� ������� %��� ���� ������� ������ ��������� ���������� � ������� �#���� ������

��������� ��� ��������� �����#���!� 2��� ����������� ��#���� ������� ������� �����

������� ��� ����� ��� ���� ������� ��� ��������� �����#���� ������ ��� ������ ����º ��������������������$��� �������������� ����ü�$���� �����������������������������������������������#��3 �

������������ $��� ������������������������#��� ��� �������%����������������

�������� ��������[��\�]����������������������������������������������3�

� � ? ? ��º ���HZ �

2���������������-������������������������������������������������!�/����

��������������������������������������������������������������������$���!� �

�������V ��� "������ ��� ����� ��� ���� ������� ������ ����������� ��� �8�������� � ����� �������%������������������ �º ��������º �� � º � ��

V

�� ��V��VV

���� ��V���������������������$�������������� ��;�

������ ���� $��������� º � � � � ��� � <�� ������������\�º � � �^ ��������������������� ���������

��������������3��

� � �? ?� º � ���H � ? ? � º � ���º��� ^<N

<NZ �

� � �Y _º� � º�`N5^a<N �� �� �N6 Y ��<N �� � � �N6 b a< cN

< � �

V

V

Page 8: 52086214 calculos-de-centros-de-masa-momentos-de-inercia-utilizando-integrales-multiples-y-sus-aplicaciones-en-el-area-de-ingenieria

c��������������� ��������������������c���� V

���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� �! � �V

V

V

������V��V���V

4������ ��� ��� ���������� �������V��� ���� ��������� ��� ����� �� ��� ������ ���

����� ��� ���� ������� ����������� �]�\�[�� ��� �8������ �+�+��� �(�+�� �� �+�)��� ��� ���

$��� �� ��� ��������� ��� ��º �� �� � � º � ��� ��#������ %��� ���� �����������

�º+ ���� ���� ������ ��� ����� ��� ���� ������� %��� ����� ��� ���� �� ]� �� %��� ������

����$��� �������������º ������3�

º* � �45/ � � �/d º��º ���He �� �� � Y Y ���º ���Hf �

�� � �48/ � � �/d ���º ���He ������������� � Y Y º��º ���Hf �

ü�����������������3��� � �g ��º ���He �

���������������������������������������������������������3 �

�º+ ��� � �45/ 48/ ���� ��V��VV

�#������%���������� ��������$��������������������� � º �

2����������������������3�

� � �g ��º ���He � �? ? � � º � �����º�h��N

�N �

� � �? i� � º� � ��j�N��h�� �º�

N �

� � � ? � º���º � iº º<jN� ��

N �

�� �%�������$�����������������������������3� ��

º* � ���g º��º ���He � � ? ? �º � º� � º�����º�h��N

�N ��

Page 9: 52086214 calculos-de-centros-de-masa-momentos-de-inercia-utilizando-integrales-multiples-y-sus-aplicaciones-en-el-area-de-ingenieria

c��������������� ��������������������c���� V

���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� �! � �V

º* � �� ? iº� � º�� � º ��j �N��h���

N �º�

º* � �� ? �º º<� iº� � º�� � º ��j �N��h���

N �º�

º* � �� �º º<��º � � iº� � º7jN� � �

�� � ���g ���º ���H � �e ? ? �� � º� � ���h��N

�N ����º �

�� � �� ? i�� � º �� � �<j �N��h���

N �º � ? � º º� � kº<��º�N �

�� � �� �i º º� º< � k º7jN� � � )�

����������������������������������:<9 ���l;������������ ��������������������������������������������������������������

��������� ������������������ ����������������������� ��������� ����� ���������

������������� ��

2���������� �������������������������������8����������������������<��������

������� ����<!�c���������������������������%�������������������������������

��������������������������������#8��#���!������������������������������������

��� ��������� ���� ����������� �������� ��� ��� �������� ��� ���� ����!� ��� ��� "���

������� $������ �-������ %��� ����� ��#��� ���� ���� ����� ��� �������� ���

����������� ������������������!��������$��������������������"����������$���� ��

%����������#��������������������� ������������������������������������������

�������� ���#�8�� ��� ��������!� ����� ���������� �����$��� %��� ��� �������� ���

���� ����� ��� ������ ������������ ���� ���� ����� ���� ���� �%���������!� �#'�����

� ������ ���� ��������� ����� ������ �� ������� ��� ������� ���������� ��� ���

������� ���� ��������� ��� ���� ����� �� ��� ������� ������������ �$�����������

���� ���� ����� �������� �%����������� ������ ��� �������� ��� ����������!� ���

����������� �����"���������������������������������������!� �

Page 10: 52086214 calculos-de-centros-de-masa-momentos-de-inercia-utilizando-integrales-multiples-y-sus-aplicaciones-en-el-area-de-ingenieria

c��������������� ��������������������c���� V

���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� �! � ��V

��������������������������������������������������������������������������

��� ����� ��� ��� �#'���� �� ��� ��� �������!� ���� ��� ��� �#'���� ����� ��� ����� ��� ���

������������������������������$��������� ���!��������������������������

����� ��� �����#�� ���� ��� ���������� ��� � �� ������ ��� �%����#���� ��� ��� �#'����

� ����!�/����'�����������������%����#����� �����#����#������������������������

�����������������������������������������������������#���������������������

������������������������������ !�

2�����������������=�>������� ������������������� �������������������������

����3�h � �Hm4 �

���������h�������$�������-�����������������������������������������������������

����������������� ����������������� ��� � �� � � �� � � �� �� � � ��.����������

�������� ������ .� ���� ������� �� Hn�� ��� ��� ������� �� ���� ������ ��� ����!� 2��

���� �� ���� %��� ��� ������ ��� ����� ��� ��� �������� ��� ���� ����� ��� ������

���� ��� ����� ��� ����� ���� �������� ���������� ���������� ��� �� �� ���#����� ���

�� ��������������������������$��������-������!� �

�� � ������� ��� ��� $�������-�����������%����������#��������������������� ����

����� ��� �������� ��� ����������� ������� ������ ���� ������ ��� ����� ���������

���������� ����� %��� ���� ����� ���� ���� ���� ����� �����$��� %��� ��� ������ ���

����� ��� ������ ��� ���� ��������� ��������� �� ��������� ��� ������!� ���

������� ���� ������ ��� ����� ��� ������ �� ���%����� �������� ��� ���� ����� ��

�#'���������%������8������������������!� �

/������������������.����� ������������������������������ �������������������'��

��� ���� º�� ��� ����� �� op������ ��� ���������� º� ���� ������ ��� ����� ��� ���

�������� ��� ���� ����!� ��� ���� ����� �� ����� �������� ������� ����� ������� ����

���������� ��� ���� ��������� ��� ������ ��� ����������� ������ ��� ����� ��� ����

���������� º �� ����� q� ���� ����� �q � � � � � .��� ��� ���������� º �� � � ���������� op�� � �r�� �� ��� ������ ��� ����� ���� �������� ��������������� �����

����������������������!� �

�������������������������������������������������������� ����������$�����

��� $����� �������!� /���� ���� ������#�� �� #������������� ��� ������� ����

�����������íG\��������������op� s �tp�����

Page 11: 52086214 calculos-de-centros-de-masa-momentos-de-inercia-utilizando-integrales-multiples-y-sus-aplicaciones-en-el-area-de-ingenieria

c��������������� ��������������������c���� V

���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� �! � ��V

��� ������� ������������� ����� ��� ��������� ��� ����������� ��� ��� �������� ���

��"��� ���� ������ �� ��� ������ $������� ��� ��� ��� ������� ��� ������ ��#��������

���!� ���%��� ��� ��� ��� ���� ����� ��� ������� ��� ����� ��� ���#�8�� ������$���

��������#���������������������������"�%��� !�

2������� �������������������������� .����� ��������������� � � � � �.����

������������������������������[ [ � � � [.����������������[p�� � �� �[ ��� �[ �� � � ���.�[.� ��� ������ �� � �� � � �� ��� � � �.���� ��� ����� ������ ����

�������!��

������� ����� ���� ����� ��� ������� #�'�� ��� ��$������� ��� $������� �-������� ��

���������� �������� ����#��������� ������!����������#����� ���������������� u�� ���

����� �� ��� ���� �������� �� ������ [ � ������ [ � � ��� ������ [.�� ��� �������� �� ����

���������� ����� ���� ��[p�� � ��v�uW�[p�� �� �� �[ � �v�uW � �� �� �[ ��v�uW � �� ��.�[. � �v�uW.���ü��������� ����������'���p� � �� � � �� � � � � � � ��.��

��#������ %��� ������ ��� ������ $������� �-�������� ��� �������� ������ ���

����������� ��� ��� �������� ��������� ��������!� ����� �p�� ��� ������ �� ���

�������� ��� ����������� ������ ���� ��������� ��������� %��� ��� �������� ���

$��������-�������������������������������������������������������������������

����������������������������������������������!� �

�������$�������-������������������������������������������������������������

��� =�>���!� ��� ��������� ��� ��� ����� ������ ��� ��#��� ��� ��� �������� ���

������� �������������������������W�p�� � �h � wºu�������������h � vºu�������$�������-�����������%����������#�������������!� �

����� ����������u�������� � � �

��� ������ ��� ����� ���� �������� ��� ��$����� �� ������� %��� ������� ��� )�

����������������������� ���� $�������%��� ������������� ������������� $��������

�����������������$�����������������������������������������������������������

�������������������������������������� ����� ��������� �������������������

����������� ��� ������ ��� ��� %��� ��� ��������� ���� $������ ��� ���� ����� ���%���

������!��

��� ��������u����������� ��� �

Page 12: 52086214 calculos-de-centros-de-masa-momentos-de-inercia-utilizando-integrales-multiples-y-sus-aplicaciones-en-el-area-de-ingenieria

c��������������� ��������������������c���� V

���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� �! � ��V

���������������������������8�����������$�����%���������������������������

��������������������������%�����������������������������������������%������

"������%�������������������������������!� �

������������������%� ����"�'�������� �����%������������������ ��������������!��

�������V ��� ��������� ��� ��!� ���� ������� ��� ���-x�� ��-x � �� )��-x� ������

������������������������ � � ���)� ����� � ����������������������������

��������������������?���� �����������������������������������������@�ü��� �3�� � � ��-x���������3�op�������������������

�� � �r-x��� � )� r-x��º � � ����º� � )����º � � r���2��������������������������������������������������������������!�A!(B�� �

op�� ������������� �º ��

�������-x�� ���� �� � � ��-x��)���� �� ��)��-x��� ��������-x� � � �-x� � �)�-x��2�� ������� �� � ��� ���� ��� %��� ��#����� %��� ��� ������ ��� ����� ����� ��� ���

������!�

�������V������������������������������$��������

c��� ����� ������ ���� #����� ��� ���-� �� ��� ����� ��������#��!� ��������� ���

����� �� ���� ������ ��� ����� ���� ���� � ����� ������� ���� ���� k��-x �� �� �#�� ������������k���-x���������������-x���Ô���� ��Vü����3������� � ���� � k�-x���������!�V

����op� tp���������������

º�� ��k� ��

�����op� tp����º�� � k���

Page 13: 52086214 calculos-de-centros-de-masa-momentos-de-inercia-utilizando-integrales-multiples-y-sus-aplicaciones-en-el-area-de-ingenieria

c��������������� ��������������������c���� V

���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� �! � ��V

t�� � �t� � ���k���������� � k�-x����� � ��-x��=����%�������������������������������� �����������������������������������

�������������!��

��������������op�����������

op�� � ���º� � � ����o������ � �����op�� � � �k��-x�����k��� �� � �k��-x��� k����k�-x� � �k�-x��op�� � ��k�����

��� $����� ��������� ��� $���� ��������� %��� tn�� � ���k���� ���� ���� ��� ��� ����

������ ��� ����� ��� %��� ���� ������ ��� ����� ����� �� ����� ������!� ��� ������ ���

������������������������������������������ �op� tn�� �� � ��k�� ��k������

��������������������������������������-������!� ����������� � ��-x��op�� � ���º� � � ���º������ � ������

op�� � � �k��-x����k��� �� � ����-x��� k�����k�-x� � ���-x��op�� � ��k �����

2����������^ ����������������������#����������������� ��!��c�������������������

������������%����������������%����#������������������8������������ ��!���

���%����������� ���������������������������������������������$����������

�������������������������������������������������%�������������� k��-x�����

����'���������º!��������������º�� � �r���º�� � ��k�������

Page 14: 52086214 calculos-de-centros-de-masa-momentos-de-inercia-utilizando-integrales-multiples-y-sus-aplicaciones-en-el-area-de-ingenieria

c��������������� ��������������������c���� V

���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� �! � ��V

op�� � �k��-x��� � �����-x���k��� � � ���k�-x� � ���-x���

2�� ���������� C� ���� ������ ��� ����� ��� ��� ������ tp�� � ���k���� ���� ���

"����������#���!��

�������'������D���������������������������������������#� ���������������-�

��������������������#� !� �

c����� ���� �� "�#��� ��������� %��� ���#�8�� ��#����� ��� �'�� ��� ���� �!� ����

��#����2���������������������������������-���������������������������������

����������tp���������� � �����!�/���� ����������� tp�������#����������������

����������������������-�����������%�����%����� �����������#�'�����������������

������������������� ��������������������������� ����������!� �

����� ������ ��� ��#��� ��� ����� �� ��� ����� ������ ����������� � �����������!�

�����������$����������"�������������������������������������������������

��E������������������%����������������������%����������������������������

�#'���� ��� ������������ ���� �#'���� ���� ���� ���� ���!� ��� ������ ��� ������� ��

��#������ �������������������������� ���� %�������������������"��� ����

�����������$�������������������������������#���������� ��������������� �

�xop�� � �o� º��

�����������������������x��������������������op��������������������������

�������������������������!� �

������������� ����#��������������������������������������������������������

����������������������������!� �

����� ������ ��� "�#��� �������� ��� ����� �� ���� ������ ��� ��������� �������

�������� ��� �������� $������� ��� ���� %��� ��� ��#�' � ��� $��"�� ���� ������ ����� ���

����������������������������������������������#'���!� �

������������������������������������������������ ����������������#'�������

�������������������������� �!�/����'����������������#'������$8�����"����8����

��������������������#��������$���������������������������������������������

����8����������������������� ��!��������'������)�������%���������������� ����

�-���������������������������������������������������#�#����������%������������

��������������������������������������������������!� �

Page 15: 52086214 calculos-de-centros-de-masa-momentos-de-inercia-utilizando-integrales-multiples-y-sus-aplicaciones-en-el-area-de-ingenieria

c��������������� ��������������������c���� V

���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� �! � ��V

2������� ���������������������������#'�������$��������������������������������

���� ��� �������� ��������� ����� ��� �8������ ����������� ����������!� ���

�������� ������ ��� ������ ��� ����� ��� ������ ��������� ��� $����� �-����������!�

/��� �'������� ��� ������ ��� ����� ��� ��� �#'���� ��� $����� ���������� ��� ������

�������������� $������-�������������� ������������ ��#����������������$��������

��������$������!����������������������������������������������������%���

��� ������ ��� ����� ��� ��� ������ ��� ���������� %����� ������������� �#�'�� ����

����������������� �!����������������������������$�����������������������

���� ��� ������ ���������� %��� ����� ���������� ����� ��� ����� ��� ��� �������

����� ��� �������� �� ���� ���� ���� ��� ����� ����������� ��� ���� �����!� ���

����������������#'��������������������������������������� ���������������

��#�������%�����#����������������������������������������������������� ����

����������������� ���������� ����!� �

�������������������������#'����������%������ $��������������������#'���!����

������ ��� ����� ��� ��� ������� "����8���� ����� ��� ��� �����!� 2�� ����� ���

���%����� ��� �� ���� ������� ��� �������� ���� ��� ����� ��� ���� ��� ��

�%������������������������ ����8�������������������������� ����� ��������������

����������������!�/��������#'�������$��������2������������������������������

����� %����� ��� ���� � ���� %��� $����� ��� ������� ��� F.G� ��� ���� �����!� ���

����� �������������������������$��������������������������2����������������

��������������������������������������������� �������������������������������� ��

������������� ������������!� �

=������������%����������� ����������������������������������������������

�#'���� �������� ��� ��� � �����#�� �� ��� ��� ����!� /��� ��� ������� ����� ��� �#'����

$��-�#�������������������"��������������� ��������������������������#���

���������%�������#'������#��������$������ ���������#�� ����������!� �

u ���� ��� ���������������������� � ����� ������������

��� ���������� ������������#'������������� $����� ���������� ������������������

�����������������#'�����������������������!���� ��� �������E��%��������#���

����� ������������#�'�����%���������������������� ����� ������������ ���������

���������� ������������������ ����������������������������������!� �

���������������������������������������$����������������������������������

������%���������������$��������������������������������� ���������#�� �����

�������!�����/�����������������$������������ ���������������������������!��#��

/��������#'������� $��������2�� ��� ���������#�� ����� ��������������$������� ����

������������������� ���������������������������%������������������������������

�����!��

Page 16: 52086214 calculos-de-centros-de-masa-momentos-de-inercia-utilizando-integrales-multiples-y-sus-aplicaciones-en-el-area-de-ingenieria

c��������������� ��������������������c���� V

���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� �! � ��V

�������V ��� c��� ����� ��� ��-x� ����� ��� -� 9���� �� � �y� � �rG.� �� ����

����������������)��-x���������º� � �� �� �� � �y� � �r����2�������������!��

���� ���2������ ����������������������������������������������������

��������������'���������������������������������������������!����������

�����������-���������������������������������tp�� � �zp�� � �!�2������ ��op�{�����-x�op�� � � ���-x������� �� ��)��-x��� ����%��������%������

���������������'���������º�W�r� k)����

E���������������������������������������������������������������������� �����

������ ��� $������� ���������� ��#������ ���� ��� ������ ���� ����������� ��

���������� ��� ����������� ������������� ������ ���������� ��� ������!� ����

��#����������������������������$���� ����#�����������������������!���������

%�������������������������$�������%�����������#���������������������������

���� ����� ��� $������� ��������� �� $������� �-�������� ��� ������ ������$���� ���

���������������#�������������������������������������������������� �����3��

�u������������!����������u�"� �

�������V���c��������������-x�����������%�����������������%��&�������

�-������������������������#�������������������������$���������!�ü������������

������� ������ ��8������ ��� �k�-x� ���� ���2� ��� ������� ������ ���� ����� ���

���|x��2���������������������$��������������k�-x�"�����������������A+G�

������ ��� �� ��� ��������� ��� ��"��� ����������� ��� ��� ���^X�� ?����� ��� ���

�������������$���������������-x@��

���� �������'����������� ����%���#��������������������������������������������

$��������������k-x��������}p�� � �r��������������-����� �����#�8����#���������������8���������!� �

ü��������� �����������������%��� �

��k�-x�~�� � ���k�-x�~�� � � ����-x�~ � � �r�-x��^X����#��������$���������������������

��k�-x��~�º� � �~�º� �� � ����-x�~ º� � ��-x��^X����k�-x��~�� � �~��� �� � ����-x�~ � � �r�-x��^X��n\�\�}�º� � � }�º� ~ º�r��^X� �W��q�.�}��� � �}��� � � ����^X��p\X� �� � � )�)��^X��

Page 17: 52086214 calculos-de-centros-de-masa-momentos-de-inercia-utilizando-integrales-multiples-y-sus-aplicaciones-en-el-area-de-ingenieria

c��������������� ��������������������c���� V

���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� �! � ��V

/����������} �� � � )�)��^X���������V ���� ����� ��� �'������ ���� ��� ��� ������ �� ���� ������� ���� ����

���������������'��������������������������#������������� �����$������������

���� �������� ��� ���� ����� �� �%��� ��� ������ ��� ���� ��������� ������� }\!�

��������������������%�������#�����������!��

Ô���� ���/���� ������� ��������� ����������� ��# ������� ��������� ��� � �#���� ì�

������������������������������������$������������������������!�ü���������

��� ��� ���� �� ��� ���� ��� ������ ��� ��� ����� ��� ������ ������������ �� ����

������������~\��}p� � ��� � � ��� �����#���������������������������������������������%������

������$��������-���������#�������������!� ��

;��������� %��� ��� ��������� �� ��� ���� ���� ���� ��� ��� ����� ��� ��$�������

����������������������������������������������������������������$�������

������������������������

}� � �}G� � �}[���

���������}[���� ��������������������������$������!�������������� }[���� ���

��������� ���� ������ ��� �����~p��� �� "����� ������ ��� � �#���� ì������}G!�ü��

�%� �%����

}� � �ì� � �}p��s ��� � �}� �}p����

��� �������� ��� �������� ���� ���� ���� ����������� ��������� ��� ��� �� �������

�������!��

�\� � � ��}\� ����^��� � �����º�}\� � � ������^��� � �����º�}\���

��������"�%������������������������������������������������������8��������

����� ����#��������������!� �

�������� ��� ���� ��� ���� ����� ��� ��$�������� %����� ��� ������!� ����� ����

���������� � ��� ��� ������� �����$���� ��� ���� ����������� $������� ��� ���� ����

�#'���������������������$��������������������#���������������%�������������

Page 18: 52086214 calculos-de-centros-de-masa-momentos-de-inercia-utilizando-integrales-multiples-y-sus-aplicaciones-en-el-area-de-ingenieria

c��������������� ��������������������c���� V

���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� �! � ��V

"�%���� �� ��������!� ��� ���� ����������� ��� ��#����� ���� ���� �#'����� ��� "���

"���������� ��������� ��������������� ����� �� ������� ������#���������

����������������#����!�/����������� ���8������"�%�����

�|�� � � ��\� � � ���º�}\���� � ����� �

Page 19: 52086214 calculos-de-centros-de-masa-momentos-de-inercia-utilizando-integrales-multiples-y-sus-aplicaciones-en-el-area-de-ingenieria

c��������������� ��������������������c���� V

���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� �! � ��V

���� � � ���\� � � �� �º�}\����� � �����

�/��������������������� ����������$������������������$�������������#���������

��������������������������� �

���������������������������������������������������

}��� � � ���� � ���^��� � �����º�}\���}��� � � ������^��� � �����º�}\�

�������V��V�����V

��� �������� ��� ������� ��� �������� ��������� ��� ���� ���� ���� ��� ����������������� ��� ��� �'�� ��� ��$���� ���� �G�� ������ �� ��� ��� ��������� ��� ���

���� ���� ��� �'�!� ���������� ����� ������� �� ���� ������� ��� ���� $��� ��

��������� ��º ��� %��� ����� ���� ���� ��ü�� ����������� ���� ��� "������ �����

�����������������������!�ü���������ü������%��&�������������������-�������

������������������������������#:�������������������������'��º��������������

� ������������������$�����������#:�����������������������!�����������������

�������������������������������������������������'�� º3��