5_11ecuaciones_2008

GUSTAVO A. DUFFOUR 260

Siempre se sostuvo que los babilonios (400 a.C.) fueron los primeros en resolver ecuaciones cuadráticas, lo cual es una simplificación de la realidad, ya que los babilonios no tenían el concepto de ecuación.

En el 300 a.C., Euclides desarrolló una aproximación geométrica que le sirvió para encontrar una de las raíces de las ecuaciones cuadráticas.

Matemáticos hindúes tomaron los métodos de los babilonios, pero fueron más allá, tanto que Brahmagupta (598-665 d.C.) dio un nuevo método que admitía números negativos. También usó abreviaturas para las incógnitas, usualmente la inicial de un color y, a veces, había más de una incógnita en un problema.

A la incógnita de una ecuación se la denominaba a menudo «cosa». El así llamado «arte cósico» se desarrolló con rapidez en Alemania a principios del siglo XVI.

Solución a la ecuación cúbica tal como se la dio Tartaglia a Cardano en 1546:

«[…] cuando el cubo está junto con las cosas y se iguala a un número discreto, debes encontrar otros dos números que difieran en éste. Después haz lo siguiente como una norma: su producto debe ser siempre igual al tercio del cubo de la cosa exactamente. Entonces el resultado de sus raíces cúbicas restadas te dará la cosa principal. En el segundo de estos casos, cuando el cubo está aislado, debes seguir los siguientes pasos: harás dos partes del número, de modo que una en la otra produzca el tercio del cubo de la cosa exactamente. Después de estas dos partes, como una regla general suma sus raíces cúbicas y esta suma será lo que buscas. El tercero de nuestros casos se resuelve con el segundo si te esmeras, ya que por naturaleza son casi iguales. Esto encontré, y no con pasos lentos en el mil quinientos treinta y cuatro con fundamentos bien claros y robustos en la ciudad rodeada por el mar […]»

La transición total desde el álgebra retórica hasta un álgebra simbólica estandarizada y no ambigua tardó más de cien años. Por ejemplo: una de las mayores preocupaciones fueron las potencias mayores de tres. Como los métodos algebraicos se basaban en pruebas geométricas y no existían dimensiones físicas más allá de tres, no parecía razonable que tuviera sentido una cuarta potencia o potencias aún mayores.

En la actualidad, el uso de la fórmula para resolver ecuaciones de segundo grado pasó a la historia. Muchos modelos de calculadoras científicas de bajo costo (24 dólares), traen implementada la fórmula como una función más.

Extraído de: Mankiewicz, R. (2000). Historia de las matemáticas.Barcelona, Paidós.

MATEMÁTICA DE QUINTO 261

En todo el capítulo se trabaja con números reales.

En todos los casos: ae be ce

xe ze

En matemática es básico sustituir los números por letras, para que las conclusiones a que se lleguen sean generales. Dentro de las letras del abecedario es posible encontrar una gran diferencia entre: – los denominados parámetros,(generalmente las primeras letras del abecedario: a, b, c… ), que representan a algún número en particular. – las variables (las últimas letras del abecedario, x, y, z, …) que representan a cualquiera de los números de un conjunto determinado. Es común usar la x para representar a los números reales, y la n para representar a los números naturales. En algunos temas también es común usar otras letra del abecedario. Por ejemplo, con el signo de sumatoria es habitual usar la i.

∑= n

= 1(3 -2)

i

ii

11

ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO

BICUADRADA, BICÚBICA,

SIMÉTRICA, HEMISIMÉTRICA

1 – ECUACIONES

1.1. ¿QUÉ ENTENDEMOS POR ECUACIÓN?

Sean A(x) y B(x) dos expresiones algebraicas dependientes de una incógnita x, xe . La forma tipo de una ecuación es: A(x) = B(x) Y se define como una igualdad que se satisface para algunos valores de la incógnita. Esos valores reciben la denominación de raíces o soluciones de la ecuación. Resolver la ecuación es hallar estas raíces. En este capítulo, una ecuación se presentará como un polinomio igual a cero. A(x) = B(x)

x

x xP( )

A( ) B( ) 0=

− =

P(x) = 0


Si x = 1 Se multiplica por x x2 = x

Se resta 1 x2 – 1 = x – 1

Se factorea (x – 1)(x + 1) = (x – 1) Se simplifica (x – 1) x + 1 = 1

Pero si x = 1 resulta que 2 = 1

Véase el resultado en la página 483.

1.2. EQUIVALENCIA DE ECUACIONES, DEFINICIÓN

Dos o más ecuaciones son equivalentes cuando se satisfacen para los mismos valores de la incógnita. Para probar la equivalencia de dos ecuaciones es necesario demostrar que toda solución de la primera ecuación es solución de la segunda, y recíprocamente. O sea que dos ecuaciones son equivalentes cuando tienen exactamente las mismas soluciones. Cuando se consideran las soluciones con su orden de multiplicidad, este también debe coincidir. Los teoremas siguientes tienen la finalidad de demostrar si al aplicar la transposición de términos o de factores y divisores, o sea, al efectuar cualquier clase de operaciones racionales a los miembros de una igualdad, se obtiene o no una ecuación equivalente a la primera.

1.3. TRANSFORMACIÓN DE ECUACIONES, TEOREMAS

TEOREMA Si a los dos miembros de una ecuación se suma o resta un número o una expresión entera en la incógnita, se obtiene una ecuación equivalente a la primera.

Sea A(x) = B(x). Si α es una solución de la ecuación, se cumple que A(α) = B(α). Si se suma a ambos miembros la expresión entera E(x), la cual tiene un valor numérico para cualquier valor de la x por ser una expresión entera en x, resulta que: A(x) + E(x) = B(x) + E(x), y para el valor de x = α se tiene que: A(α) + E(α) = B(α) + E(α), lo que demuestra que α es solución de la nueva ecuación, ya que la transforma en una igualdad numérica. Sea β la solución de A(x) + E(x) = B(x) + E(x) ⇒ A(β) + E(β) = B(β) + E(β) Al restar en ambos miembros el número E(β), se obtiene la igualdad: A(β) = B(β), con lo cual es cierto también el recíproco. O sea que toda solución de la ecuación transformada es solución de la original.


TEOREMA Si se multiplican o dividen ambos miembros de una ecuación por una expresión dependiente de la incógnita, se obtiene una ecuación NO equivalente a la original.

Sea A(x) = B(x) una ecuación en x. Multiplicando a ambos miembros de esta ecuación por E(x), se tendrá que: A(x) E(x) = B(x) E(x). Transponiendo términos y sacando a E(x) como factor común se obtiene: (A(x) – B(x)) E(x) = 0. Sea α solución de la ecuación original. Se cumple que: (A(α) – B(α)) E(α) = 0. Ya que uno de los factores vale cero A(α) – B(α) = 0, por lo cual α es también solución de la transformada. Pero el recíproco no siempre se cumple, pues pueden existir valores de x, sea β, que anulen a E(x), o sea que: E(β) = 0 y que son, por lo tanto, soluciones de la ecuación transformada, pero no tienen por qué ser soluciones de la ecuación original, A(x) = B(x). El caso particular numérico de este teorema conserva la equivalencia: Si se multiplican o dividen ambos miembros de una ecuación por un número distinto de cero, se obtiene una ecuación equivalente. EJEMPLO: A(x) = x2– 3x + 2 B(x) = x2– 2x + 1 E(x) = x – 4

Solución de (A(x) = B(x)) = {1} Solución de (A(x) E(x) = B(x) E(x)) = {1, 4}

NOTA

Con estos teoremas no se cubren todas las posibilidades de equivalencia de ecuaciones, sino que se da una idea sobre las situaciones más comunes, como la suma/resta y la multiplicación/división. En el ejemplo siguiente, la elevación al cuadrado, puede verse como un caso particular del teorema anterior, porque al elevar al cuadrado estamos multiplicando por una expresión que depende de x.

Responder «verdadero» o «falso», y justificar la

respuesta.

¿Las siguientes ecuaciones son equivalentes?

1) a) (x + 1)2 = (2x – 3)2

b) x + 1 = 2x – 3 2) a) x – 3 = 2x + 4

b) 3x(x – 3) = 3x(2x + 4)

Véanse los resultados en la página 483.


Se pasan todos los términos al primer miembroy se resuelve la ecuación de segundo grado.

EJEMPLO: Resolver: x x1 1+ = − Existencia Primero se debe estudiar la existencia de la raíz cuadrada. Recuérdese que en los números reales no se pueden hacer raíces cuadradas de números negativos.

x +1 > 0 signo de (x +1) 0

−−−−−−−−−− +++++++++++++++⎮-1

La ecuación está definida solo t xe , x > –1 Resolución

Primero se elevan al cuadrado ambos miembros ( ) ( )x x2 21 1+ = − .

x + 1 = x2 – 2x + 1 – x2 + 3x = 0 Posibles soluciones = {0, 3}

Pero como al elevar al cuadrado se pueden introducir soluciones extrañas (no se mantiene la equivalencia), se deben verificar en la ecuación original las soluciones encontradas.

Para x = 3 3 1 3 1+ = − → 2 = 2 → x = 3 es solución

Para x = 0 ?0 1 0 1+ = − → 1 $ – 1 → x = 0 NO es solución

Antes de continuar, es conveniente hacer el ejercicio 305, de la página 273.

Cumplen existencia.


2 – ECUACIÓN DE PRIMER GRADO

2.1. DEFINICIÓN Son las ecuaciones que, escritas en forma reducida, tienen como máximo exponente de la incógnita al 1. Su forma general es:

ax + b = 0 a∈ * b∈

2.2. DISCUSIÓN Y RESOLUCIÓN Discutir una ecuación significa ver qué resulta cuando los coeficientes son iguales o distintos de cero. Si a $ 0, la ecuación ax + b = 0 admite dos formas. Si b = 0 resulta ax = 0. Su solución es x = 0. La ecuación es determinada. Si b $ 0 resulta la ecuación de primer grado completa ax + b = 0, cuya única

solución es x ba

−= . La ecuación es determinada.

3 – ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO

3.1. DEFINICIÓN La ecuación de segundo grado es aquella que escrita en forma reducida tiene como máximo exponente de la incógnita a 2. Consta a lo sumo de tres términos, de donde surge la denominación de trinomio de segundo grado. La forma tipo es:

ax2 + bx + c = 0

a∈ * b∈ c∈ Donde a es el coeficiente del término de segundo grado.

b es el coeficiente del término de primer grado.

c es el término independiente.

Responder «verdadero» o «falso», y justificar la

respuesta.

Dado el polinomio f(x) = ax2 + bx + c ae * be ce xe

si sus coeficientes se multiplican por αe *, se altera:

a) La función

f : ? / f(x) = ax2 + bx + c

b) La ecuación ax2 + bx + c = 0

c) Las preimágenes de 0,

por f.



4a $ 0 Pues la ecuación es de grado efectivo dos, lo cual significa que: a $ 0

3.2. DISCUSIÓN El valor de los coeficientes b y c (iguales a cero o distintos de cero) determina diferentes formas para la ecuación de segundo grado. Con b = 0 y c = 0 resulta: ax2 = 0, de soluciones: α = 0 β = 0 Con b = 0 y c $ 0 resulta: ax2 + c = 0 de soluciones:

ca

−α = c

a−

β = −

Si a $ 0 Con b $ 0 y c = 0 resulta: ax2 + bx = 0, la cual al sacar x de factor común, resulta:

x.(ax + b) = 0, de soluciones: α = 0 bβ =a

−

Con b $ 0 y c $ 0 resulta la ecuación completa de segundo grado, que se resuelve aplicando la fórmula que se hallará a continuación.

3.3. FÓRMULA DE RESOLUCIÓN Para resolver la ecuación ax2 + bx + c = 0, se completa un cuadrado perfecto. De este modo se obtiene una fórmula general (de Bhaskara), mediante la cual es posible resolver cualquier ecuación de segundo grado sustituyendo en esa fórmula los valores de los coeficientes a, b y c. A partir de la ecuación: ax2 + bx + c = 0, para despejar la x: Se multiplican ambos miembros por 4a: 4a2x2 + 4abx + 4ac = 0 Se pasa de miembro a 4ac: 4a2x2 + 4abx = – 4ac Se le suma a ambos miembros b2: 4a2x2 + 4abx+b2 = b2 – 4ac El primer miembro resulta ser un cuadrado perfecto: (2ax + b)2 = b2 – 4ac

Se aplica la raíz cuadrada a ambos miembros: x 22a b b 4ac+ = ± −

Se despeja la x: x 22a b b 4ac= − ± −

x

2b b 4ac2a

− ± −=

Que tenga o no solución depende de los signos de a y de c.


Si alguno de los coeficientes vale cero, no es una ecuación bicuadrada. Se resuelve factorizando o despejando directamente.

Antes de continuar, es conveniente hacer los problemas 306 al 308, de la página 273.

4 – ECUACIONES QUE SE REDUCEN A LA DE SEGUNDO GRADO

4.1. INTRODUCCIÓN Mediante los métodos estudiados se pueden resolver ecuaciones de primer y segundo grado en la incógnita, ya que en ambos casos es posible expresar a la incógnita en función de los coeficientes de la ecuación. Toda ecuación de grado mayor que dos deberá resolverse utilizando las ideas dadas en el capítulo de polinomios (página 224). A continuación se analizarán ecuaciones que, debido a sus formatos particulares, se pueden reducir a una ecuación de segundo grado, la cual es posible resolver aplicando la fórmula de resolución hallada.

4.2. ECUACIÓN BICUADRADA

La forma tipo de la ecuación bicuadrada es:

ax4 + bx2 + c = 0 ae * b e * c e * Es una ecuación de cuarto grado en la incógnita x, cuya particularidad es que el exponente de la incógnita en un término es el doble del otro.

Examen 5.º HumanísticoFebrero 1988, I.A.V.A

Una persona deja una herencia de a pesos, para que sea distribuida entre varios herederos; n de estos renuncian a la herencia y por esta causa la parte de cada uno de los herederos aumenta b pesos. i) ¿Cuántos herederos hay? ii) Aplicar a los casos: 1) a = 10 n = 4 b = 8 2) a = 20 n = 81 b = 9 3) a = 15 n = 1 b = 7 Si en algún caso no hay solución, explicar por qué.



Es común hablar de cambio de variable, cuando en realidad debería llamarse cambio de incógnita.

En la función f: f(x) = 2x2 + 3x – 1, la x es una variable, pues puede tomar cualquier valor real. Mientras que la x en: 2x2 + 3x – 1 = 0 pasa a llamarse incógnita, pues a lo sumo puede tomar dos valores.

Para resolverla se realiza el siguiente cambio de variable: x2 = z x4 = z2 Sustituyendo las x por su valor en z, se convierte a la ecuación bicuadrada en una ecuación de segundo grado en z. az2 + bz + c = 0 Esta se resuelve aplicando la fórmula. Con las soluciones halladas para esta ecuación en z, se vuelve a plantear el cambio de variable. Se obtienen hasta cuatro soluciones para la ecuación bicuadrada original.

Soluciones de (az2 + bz + c = 0) = {z1, z2} si x2 = z x z= ± Soluciones de (ax4 + bx2 + c = 0) z

1α = + z

1β = − z

2γ = + z

2δ = −

Otro caso similar es la ecuación bicúbica: ax6 + bx3 + c = 0. Se efectúa: x3 = z

a e * b e * c e *

O, en general, toda ecuación de la forma: ax2n + bxn + c = 0 n e *

EJEMPLO: Resolver x4 – 13x2 + 36 = 0 Se efectúa el cambio de variable x2 = z. Al elevar al cuadrado, resulta x4 = z2

Se obtiene la ecuación z2 – 13z + 36 = 0, que se resuelve. Soluciones: z = 4 z = 9

Al deshacer el cambio de variable se obtienen hasta cuatro soluciones en x.

Si x2 = 4 ? x 4= ± ? α = 2 β = – 2

Si x2 = 9 ? x 9= ± ? γ = 3 δ = – 3

Antes de continuar, es conveniente hacer los ejercicios 309 y 310, de la página 273.


4.3. ECUACIÓN SIMÉTRICA Son aquellas ecuaciones en las que los coeficientes de los términos equidistantes de los extremos son iguales en valor y signo.

4.3.1. ECUACIÓN SIMÉTRICA DE CUARTO GRADO La ecuación simétrica de cuarto grado queda planteada del siguiente modo:

ax4 + bx3 + cx2 + bx + a = 0 a ≠ 0 Para resolverla se aplica el siguiente procedimiento general para toda ecuación simétrica de grado par. ¿Cero es raíz de la ecuación? No, pues se supone que es de grado efectivo cuatro y, por lo tanto, a $ 0. Entonces es posible dividir cada término de la ecuación entre x2.

x xx x

22

b aa b c 0+ + + + =

Se reordena: x xxx

22a ba b c 0+ + + + =

Se sacan factores comunes: x xxx

221 1a b c 0⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠

(1)

Se efectúa el siguiente cambio de variable: x zx1

+ =

Como se necesita también la expresión con los cuadrados de x, se elevan al

cuadrado ambos miembros x zx

2 21⎛ ⎞+ =⎜ ⎟⎝ ⎠

, se efectúan las cuentas: x zx

2 2212+ + = , se

despeja la expresión que se necesita: x zx

2 221 2⎛ ⎞+ = −⎜ ⎟

⎝ ⎠. Se sustituye en la ecuación (1)

a(z2 – 2) + bz + c = 0 o lo que es lo mismo: az2 + bz + c – 2a = 0 Ecuación de segundo grado en z, que se resuelve aplicando la fórmula. Sean α y β las soluciones. Con estas soluciones se deshace el cambio de variable.

xx x x

xx

xx x x

xx

2 1

2

2 3

4

1si resulta que: 1 0 de soluciones:

1si resulta que: 1 0 de soluciones:

+ = α − α + =

+ = β − β + =

Se obtienen de esta forma hasta cuatro soluciones para la ecuación simétrica de cuarto grado.


EJEMPLO: Resolver 12x4 + 4x3 – 41x2 + 4x + 12 = 0 Es posible aplicar directamente la fórmula que resulta del cambio de variable.

az2 + bz + c – 2a = 0 12z2 + 4z – 41 – 2(12) = 0 12z2 + 4z – 65 = 0 ? soluciones = { }13 5

6 2, −

Para encontrar las soluciones en x de la ecuación original es necesario resolver las ecuaciones:

{ }

{ }

x x

x x

2 136

2 52

3 21 0 de soluciones ,2 3

11 0 de soluciones , 22

− + = → =

+ + = → = − −

Antes de continuar, es conveniente hacer el ejercicio 311, de la página 273.

4.3.2. ECUACIÓN SIMÉTRICA DE QUINTO GRADO La ecuación simétrica de quinto grado queda planteada como:

ax5 + bx4 + cx3 + cx2 + bx + a = 0 a ≠ 0 Esta ecuación tiene como raíz evidente a – 1. Se divide entre (x + 1) aplicando el esquema de Ruffini.

a b c c b a1 a a b a + b c a b a

a a + b a b + c a +b a 0− − − − − − −

− − −

Resultando por cociente una ecuación simétrica de cuarto grado, la cual se resuelve por cambio de variable (véase el caso 4.3.1 en la página 269).

ax4 + (b – a)x3 + (– b + a + c)x2 + (b – a)x + a = 0


NOTA Toda ecuación simétrica que admite la raíz α $ 0, también tiene la raíz 1

α (hacer la demostración).

EJEMPLO: Resolver 6x5 + 11x4 – 33x3 – 33x2 + 11x + 6 = 0 Esta ecuación tiene como raíz evidente a – 1. Se divide entre (x + 1) aplicando el esquema de Ruffini.

6 11 33 33 11 61 6 5 38 5 6

6 5 38 5 6 0

− −− − − − −

−

Resulta por cociente 6x4 + 5x3 – 38x2 + 5x + 6 = 0, una ecuación simétrica de cuarto grado, la cual se resuelve por cambio de variable (véase el caso 4.3.1 en la página 269). Es posible aplicar directamente la fórmula que resulta del cambio de variable.

az2 + bz + c – 2a = 0 6z2 + 5z – 38 – 2(6) = 0 6z2 + 5z – 50 = 0 ? soluciones = { }10 5

3 2,−

Para encontrar las soluciones en x de la ecuación original es necesario resolver las ecuaciones:

{ }

{ }

x x

x x

2 103

2 52



+ + = = − −

− + = =

Soluciones de la ecuación propuesta: { }1 13, 1, , , 23 2

− − −

Antes de continuar, es conveniente hacer los ejercicios 312 al 314, de la página 273.


4.4. ECUACIÓN HEMISIMÉTRICA

Son ecuaciones en las que los coeficientes de los términos equidistantes de los extremos son iguales en valor, pero de signo contrario.

4.4.1 ECUACIÓN HEMISIMÉTRICA DE CUARTO GRADO La ecuación hemisimétrica de cuarto grado queda planteada como:

ax4 + bx3 + cx2 – bx – a = 0 a ≠ 0 Estas ecuaciones hemisimétricas de grado par NO tienen ningún método particular de resolución.

4.4.2 ECUACIÓN HEMISIMÉTRICA DE QUINTO GRADO Las ecuaciones hemisimétricas de quinto grado se plantean como:

ax5 + bx4 + cx3 – cx2 – bx – a = 0 a ≠ 0 Tienen raíz evidente a 1. Se divide entre (x – 1) aplicando el esquema de Ruffini.

a b c c b a1 a a + b a + b + c a + b a

a a + b a + b + c a + b a 0

− − −

Se obtiene por cociente una ecuación simétrica de cuarto grado, que se resuelve por cambio de variable (véase el caso 4.3.1 en la página 269).

ax4 + (a + b)x3 + (a + b + c)x2 + (a + b)x + a = 0

Resolver el ejercicio

315, de la página 273.


5 – EJERCICIOS PROPUESTOS Véanse los resultados en la página 483. 305) Resolver las siguientes ecuaciones, en condiciones de existencia. 1) x x7 1 2+ + = 2) x x5 6 − = 3) x x3 6 2+ − =

4) x x 6= − 5) x x2 7 7 0− + + = 6) x x x24 + 9 2 + 1=

306) Un estanciero vendió cierto número de toros por 1200 dólares. Si hubiera pedido la misma suma por 3 toros menos, habría recibido 20 dólares más por cada toro. ¿Cuántos toros vendió y a que precio cada uno?

307) Un automóvil hace un viaje de 300 km de ida y 300 km de vuelta, en un tiempo total de 11 horas. Si la velocidad del segundo viaje fue de 10 km por hora menos que en el primero, hallar la velocidad a la ida y al regreso.

308) Un avión demora cierto tiempo en hacer un viaje de 2400 km Este tiempo podría reducirse en 1 hora si la velocidad del avión se aumentase en 80 km por hora. Hallar el tiempo que actualmente emplea el avión en hacer el viaje.

309) Resolver en las siguientes ecuaciones:

1) x4– 5x2 + 4 = 0 2) 25x4– 101x2 + 4 = 0 3) 9x4 + 5x2 – 4 = 0

4) 4x4 – 37x2 + 9 = 0 5) x4 – 25x2 + 144 = 0 6) 4x4 + 11x2 – 3 = 0


1) x6 – 9x3 + 8 = 0 2) 27x6– 217x3 + 8 = 0


1) 6x4 + 5x3 – 38x2 + 5x + 6 = 0 2) 30x4 + 91x3 – 278x2 + 91x + 30 = 0 3) 8x4– 14x3 – 69x2 – 14x + 8 = 0 4) 15x4 + 28x3 – 230x2 + 28x + 15 = 0


1) 12x5 + 8x4 – 45x3 – 45x2 + 8x + 12 = 0 2) 15x5 + 43x4– 202x3– 202x2 + 43x + 15 = 0

313) Dado: P(x) = (7a + b)x4 + (3a – 15b + 1)x3 – 278x2 + (7a – 4b + 36)x + 2a – 4b i) Determinar a y b, sabiendo que P(x) es simétrico. ii) Con a y b hallados resolver P(x) = 0

314) Dado: P(x) = 2(a + b + c)x4 + (a + 6b – 3c)x3 – (3a + 7b + 8c)x2 + (3b – 2)x + 4c i) Determinar a, b y c sabiendo que P(x) es simétrico y el coeficiente del término central es – 41 ii) Con a, b y c hallados resolver P(x) = 0

315) Resolver las siguientes ecuaciones: 1) 2x5 – 3x4 – 5x3 + 5x2 + 3x – 2 = 0 2) 12x5 – 2x4 – 86x3 + 86x2 + 2x – 12 = 0 3) Dado: P(x) = x7 – 4x6 – 6x5 + 40x4 – 31x3 – 36x2 + 36x Resolver P(x) = 0, sabiendo que P(x) es divisible entre D(x) = x2 – 4x + 4

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