51190972 proyecto mecanica de fluidos construccion de una boya

7/16/2019 51190972 Proyecto Mecanica de Fluidos Construccion de Una Boya

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Universidad de El Salvador

Facultad Multidisciplinaria Oriental

Escuela de ingeniera Civil

Mecnica de fluidos

Proyecto de mecnica de fluidos: Entrega final

Ing. Luis Clayton Martnez

Integrantes:

Bentez, Luis Eduardo

Martnez Canizales, Gustavo Alberto

Portillo Cortez, Harold JosPortillo Orantes, Sergio Jaasiel

Rios-Lazo Arvalo, German Ernesto

Ciudad universitaria, viernes 25 de junio de 2010


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ndice

Introduccin _____________________________________________________________ 1

Objetivo ________________________________________________________________ 2

Hiptesis ________________________________________________________________ 2

Definicin _______________________________________________________________ 3

Ondas sinusoidales _______________________________________________________ 3

Teora simplificada para creadores de ondas en aguas poco profundas _____________ 5

Teora completa de ondas planas producidas por una paleta. _____________________ 6

Ecuacin de movimiento para la boya _______________________________________ 11

Fuerza hidrodinmica sobre la boya ________________________________________ 11

Teora de las ondas lineales ________________________________________________ 12

o Deduccin de la velocidad potencial y el campo de velocidad vertical en la generacin de

ondas regulares. _____________________________________________________________ 12

o Campo de velocidad ______________________________________________________ 13

o Energa y velocidad conjunta _______________________________________________ 14

Energa y potencia en circuitos elctricos _____________________________________ 19

Desarrollo del experimento ________________________________________________ 20

Procedimiento de clculo__________________________________________________ 22

Memoria de clculo ______________________________________________________ 23

Conclusiones ____________________________________________________________ 26

Recomendaciones _______________________________________________________ 26

Bibliografa _____________________________________________________________ 27


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Introduccin

La naturaleza ofrece diferentes tipos de energa, depende del hombre el manejo y l utilizacin de

ella. Es interesante como se puede aprovechar esta energa, en este caso la energa que se puede

generar a travs de las ondas del agua; y es llamada energa mareomotriz.

En El Salvador la demanda de energa es ms grande que la generada por las presas hidroelctricas

y otros mecanismos de generacin; y es necesario pensar en crear nuevas formas de generar

energa elctrica y saber utilizar los medios necesarios para aprovechar al mximo la energa

presente en la naturaleza.

En nuestro experimento utilizamos un modelo de energa mareomotriz para generar una fuente

de energa electromotriz a travs de herramientas sencillas y modelamientos matemticos para el

clculo aproximado de la energa aprovechable.


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Objetivo

o Calcular la relacin de la potencia elctrica que genera la boya contra la potenciaque genera la energa producidas por las olas.

Hiptesis

o La energa mareomotriz es una alternativa viable para la generacin de la energaelctrica


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DefinicinEl concepto de onda es abstracto. Cuando observamos lo que

llamamos a una onda de agua, lo que vemos es la modificacin de

la superficie del agua. Sin el agua, no habra onda. Una onda

viajando sobre un cable no existira sin el cable. Las ondas del

sonido podran no viajar a travs del aire si no hubieran molculas

de aire.

Con ondas mecnicas, lo que podemos interpretar como una onda

corresponde a la propagacin de una perturbacin a travs de un

medio.

Ondas sinusoidalesLa onda representa por la curva en la figura 1 es llamada sinusoidal porque la curva es la misma

que la descrita por la funcin graficada contra . La onda senosoidal es el ejemplo ms simplede una onda continua y periodica, y que puede ser usada para construir ondas ms complejas.

En t = 0, la funcin que describe la posicin de las partculas del medio a travs del cual las ondas

sinusoidales estn viajando, puede ser escrita como:

Donde la constante A representa la amplitud de onda y la constante es la longitud de onda. As,vemos que la posicin de la partcula del medio es la misma cada vez que x es incrementada por

una integral mltiple de . Si el movimiento de las ondas es hacia la derecha con una velocidad v,entonces la funcin de la onda en un instante t ms tarde es: * +

Figura 1. Una onda sinusoidal unidimensional viajando

hacia la derecha con una velocidad v. La curva

naranja representa una fotografa de la onda en t=0, y

la curva azul representa una fotografa un poco de

tiempo t ms tarde.


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Ese es, el trayecto sinusoidal del movimiento de ondas hacia la derecha a una distancia vt in el

tiempo t, como se mostr en la figura 1.

La funcin tiene la forma

y representa una onda viajando hacia la derecha. Si la onda

estuviera viajando hacia la izquierda, la cantidad sera reemplazada por .Por definicin, las ondas viajan una distancia de una longitud de onda en un periodo T. Por lo

tanto, la velocidad de onda, la longitud de onda y el periodo estn relacionados por la expresin

Sustituyendo esta expresin en la ecuacin que expresa la altura de la onda encontramos que

[ ]Esta forma de la funcin de onda claramente muestra la naturaleza peridica de y. En algn dado

tiempo t (una fotografa instantnea de la onda), y tiene el mismo valor en las posiciones , etc. Es ms, en alguna dada posicin x, el valor de y es el mismo en los tiempos , etc.Podemos expresar la funcin de onda en una forma conveniente definiendo otras dos cantidades,

el nmero de onda angular y la frecuencia angular :

Usando esta expresiones, se puede escribir la ecuacin de en una forma ms compacta

La frecuencia de una onda sinusoidal est relacionada con el perodo por la expresin

La unidad ms comn para la frecuencia es el , o el hertz (Hz). La unidadcorrespondiente para T es el segundo.

La funcin de onda dada asume que el desplazamiento vertical es cero en y . Este nonecesariamente es el caso. Sino, generalmente se expresa la funcin de onda en la forma


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Donde es la constante de fase. Esta constante puede ser determinada desde las condicionesiniciales.

Teora simplificada para creadores de ondas en aguas poco

profundasEn aguas poco profundas, una simple teora para la generacin de ondas por creadores de ondas

fue propuesta por Galvin (1964), quien razon que el agua desplazada por el creador de ondas

debera ser igual al volumen de la cresta de la forma de la onda propagndose.

Por ejemplo, consideremos un pistn creador de ondas con una brazada S la cual es una constante

sobre una profundidad h. El volumen de agua desplazada sobre una brazada completa es Sh, como

se observa en la siguiente figura:

El volumen de agua en una cresta de onda es . Igualando losdos volmenes,

En el cual el factor representa la proporcin del rea sombreada al rea del rectngulo que laencierra. Esta ecuacin puede ser expresada como

Figura 2. Teora simplificada de un tipo de pistn creador de ondas en aguas poco

profundas, de Galvin.


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Donde es la proporcin de la altura respecto a la brazada. Esta relacin es valida en regionesde aguas poco profundas, . Para una tabla creadora de ondas, que pivotea en el fondo,el volumen del agua desplazada por esta ser menor por un facto de 2.

Estas dos relaciones estn mostradas por las lneas rectas dibujadas en la figura 3.

Teora completa de ondas planas producidas por una paleta.El problema del valor lmite para el creador de ondas en un tanque de ondas viene

directamente del problema del valor lmite para ondas en dos dimensiones propagndose en

un fluido irrotacional e incompresible. Para la geometra descrita en la figura 2, la ecuacin

que gobierna para la velocidad potencial es la ecuacin de Laplace,

Figura 3. Teora de los creadores de ondas planos. Proporcin de la altura de onda sobre la brazada contra

las profundidades relativas. Movimientos de los creadores de ondas de tipo pistn y tabla.


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Las formas linealizadas de las condiciones lmite de la superficie libre dinmica y cinemtica

son las mismas que antes

Las nicas condiciones que cambian son las condiciones limite laterales. En la direccin x positiva,

como x se extiende, requerimos que las ondas estn aparentemente propagndose, imponiendo la

condicin de radiacin lmite (Somerfeld, 1964). En

, una condicin cinemtica debe ser

satisfecha sobre el creador de ondas. Si es la brazada del creador de onda, su desplazamientohorizontal esta descrito como

Donde es la frecuencia del generador de onda.La funcin que describe la superficie del generador de ondas es

La condicin lmite cinemtica general es

|| Donde y ||. Sustituyendo por la proporcin

Por tanto, la condicin lmite lateral final es


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Ahora que el problema del valor lmite esta especificado, todas las posibles soluciones para la

ecuacin de Laplace son examinadas como posibles soluciones para determinar esas que

satisfacen la condicin lmite.

Se presenta la siguiente formula de velocidad potencial en forma general que satisface la

condicin lmite del fondo ( ) El subndice en k indica que esa parte de esta asociada con una onda progresiva o estacionaria.Para los problemas de generadores de onda, A debe ser cero, como no hay un posible flujo a

travs del generador de onda y B puede ser cero sin afectar el campo de velocidad.

La forma final para el problema de valor lmite esta propuesta como

( )

Otra vez, el primer termino representa una onda progresiva, hecha por el generador de onda,

mientras la segunda serie de ondas son estacionarias las cuales decaen fuera del generador de

onda.

Para determinar cuan rpidamente la posicin exponencial de la onda decrece en la direccin x,

examinemos el primer trmino en la serie, el cual decae hacia lo ms bajo rpidamente, La

cantidad , de la figura 4, debe ser mas grande que , pero por razones conservativas, sedice que

, por lo tanto el decaimiento de la altura de la onda estacionaria es mayo

que . Para , , para , este es igual a 0.009. Por lotanto, el primer trmino en las series es virtualmente despreciable de 2 a 3 veces la profundidaddesde el generador de onda.

Figura 4. Representacin

grfica de los modos de la

onda estacionaria,

mostrando unas de los

infinitos nmero de rutas.


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Para una solucin completa, y necesitan ser determinados. Estos son evaluados por lacondicin lmite lateral en el generador de onda.

Ahora tenemos una funcin de z igual a las series de funciones trigonomtricas de z de nuestro

lado derecho. De hecho, el juego de funciones,

{ } forman una serie armnica completa de funcionesortogonales y as una funcin continua puede ser expandida en trminos de ellas. Por lo tanto,

para encontrar , la ecuacin de arriba se multiplica por e integrada desde hasta .Debido a la propiedad ortogonal de estas funciones no hay contribucin de la serie de trminos y

por lo tanto

Multiplicando, la ecuacin de la serie de funciones, por e integrando sobretoda la profundidad se obtiene

Dependiendo de la forma funcional de

, los coeficientes fcilmente obtenidos. Para los casos

de un pistn y una tabla generadores de ondas, los estn especificados como

La altura de onda para la onda progresiva est determinada por evaluar lejos del generador deonda.


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Sustituyendo por , podremos encontrar la proporcin de altura de onda por brazada con

( ) La potencia requerida para generar estas ondas puede ser fcilmente obtenida determinando la

energa de flujo fuera del generador de onda.

Donde E es proporcional a la altura de la onda que se propaga. La potencia necesaria para generar

ondas en varias profundidades est mostrada en la figura 5.

Examinando la figura 3 y la 5 se puede observar que para generar una onda de la misma altura, en

aguas poco profundas, es ms fcil generarlas con el movimiento de un pistn generador de onda,

mientras que en aguas ms profundas, el generador de paleta es ms eficiente.

Figura 5. Potencia como

una funcin de la

profundidad del agua para

un pistn y una paleta

generadora de ondas


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Ecuacin de movimiento para la boyaEl movimiento de la boya est gobernado por la segunda ley de Newton

Donde denota la posicin central de la boya, t el tiempo, la masa de la boya, B lafuerza de flotacin sobre la boya, R la reaccin causada por el resorte.

Fuerza hidrodinmica sobre la boyaLa fuerza hidrodinmica sobre la boya consiste en general de una contribucin de flujopotencial asociado con la difraccin y radiacin de onda, , y un efecto viscoso asociado con losvrtices,

. El ultimo es generalmente sin importancia en la ausencia del actual, y para pequeos

a moderados nmeros de Keulegan-Carpenter , donde , A son el numero deondas y la amplitud de onda, respectivamente.Para la contribucin del lujo potencial hemos formulado el problema de interaccin onda-boya en

trminos de la velocidad potencial la cual satisface la ecuacin de Laplace dentro del fluido. Sobre la superficie instantnea libre, denotada por , satisface lacondicin limite no lineal cinemtica y dinmica.

||

Donde g es la aceleracin gravitacional. Sobre el cuerpo, aplica la condicin de no flujo

Donde es la unidad normal dentro del cuerpo. Sobre el fondo, , tenemos , o para profundidades de agua donde .Para las condiciones iniciales, en , la elevacin y velocidad potencial de la superficie libre, ascomo tambin la posicin y velocidad del cuerpo estn prescritos.

El problema de valor lmite inicial para la velocidad potencial est completo con la imposicin deuna condicin de radiacin lejos del campo, en este caso, un argumento fsico es que las ondas

difractadas y radiadas por el cuerpo se propagan fuera del cuerpo.

En trminos de la velocidad potencial , la presin hidrodinmica (P) sobre la boya estdeterminada de acuerdo a la ecuacin de Bernoulli:


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La fuerza de la onda sobre la boya es obtenida por integracin de la presin sobre la superficiedel cuerpo:

Para incluir los efectos de la separacin del flujo, incluimos una fuerza viscosa de arrastre sobre el

cuerpo el cual estimamos usando una formula cuadrtica (Ecuacin de Morison):

| |Donde es el coeficiente de arrastre y la proyeccin del rea del cuerpo, es la velocidadpotencial para el incidente campo de ondas, y

es evaluada en el centro del cuerpo. Para el

problema que consideramos, la fuerza sobre el cuerpo esta dominada por ya que los efectosde son mnimos en los resultados finales.Para la carga hidrodinmica dominada por la separacin del flujo, los efectos de la masaagregada al sistema y el efecto de la radiacin y difraccin de la onda es despreciable. En este

caso, un modelo simple puede ser escrito por el total de la fuerza hidrodinmica reemplazandoen la ecuacin en trminos de solo masa agregada al sistema, llamada frmula de Morison:

| |

Donde la derivada sustancial , es la masa agregada de la boya, y elvolumen de la boya. Donde el primer trmino (de la ecuacin) representa la fuerza de la masa

agregada, el segundo trmino la fuerza de flotacin debido al ambiente inestable del flujo, y el

tercero la fuerza viscosa de arrastre.

Teora de las ondas lineales

o Deduccin de la velocidad potencial y el campo de velocidad verticalen la generacin de ondas regulares.

Aparte de la elevacin y la velocidad potencial, hay muchas otras cantidades de inters. En lasiguiente seccin se ver ms de cerca la velocidad del agua debido a las ondas.


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o Campo de velocidadRecordamos que la velocidad del agua para lasondas unidimensionales que hemosconsiderado tiene dos componentes, , y

Para ondas regulares la velocidad potencial est dada por la siguiente ecuacin:

Por simplicidad primero consideremos las aguas profundas. Para valores grandes de kh

deberamos escribir convenientemente el factor cosh como lo siguiente:

Cuando z esta cerca de la superficie y , esta expresin tiende a . Note que z seincrementa negativamente cuando nos movemos hacia abajo dentro del agua, lo cual significa que

el factor se hace mas pequeo.Para aguas profundas podemos escribir as

Para el cual

Y

Para una profundidad z dada, u y w representan ondas en movimiento con la misma amplitud. Las

ondas difieren en fase por . La amplitud decrece desde en la superficie hasta veces laamplitud de la superficie en la profundidad de z. Este decrecimiento es mas bien rpido para

,

A una profundidad igual a la mitad de la longitud de onda, la velocidad es solamente el 4% de lo

que es en la superficie.


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o Energa y velocidad conjuntaCuando observamos las olas rompiendo en tierra, es obvio que las olas traen con ellas mucha

energa. La energa contenida en un plano infinito de onda es obviamente infinita, entonces

nosotros estamos ms interesados en encontrar la energa por unidad de rea de la superficie.

La energa potencial contenida en una

columna de agua con seccin transversal

como se muestra en el grfico es

Desde que solo nos interesa el exceso de energa potencial, sustraemos la parte correspondiente a

la energa de la superficie y obtenemos la energa potencial por unidad de rea: En vez de usar el valor instantneo de , es ms comn usar el promedio de sobre el ladoderecho de la ecuacin anterior. El promedio de para una onda senosoidal con amplitud es . Para una onda plana con amplitud , la energa potencial promedio por unidad de rea espor tanto:

Donde los corchetes indican el valor promedio.

La energa cintica es derivada similarmente observando que


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Si (por simplicidad) consideramos aguas profundas y un plano de onda ,obtenemos

Y por lo tanto

La energa cintica y potencial promedio son as iguales (se debe notar que el error introducido

por reemplazar por 0 es insignificante).La energa es llevada a lo largo con las ondas, pero un tanto sorprendente es que la energa no

est viajando con la velocidad de fase de la onda. De hecho, en aguas profundas, la velocidad de

transporte de la energa es solo la mitad de la velocidad de fase.

No se profundizara rigorosamente con esto, pero se seguirn argumentos intuitivos.

Consideremos primero la superposicin de dos ondas planas en la misma direccin, pero de

frecuencia y nmero de onda (recproco de longitud de onda) ligeramente diferente:

El resultado es el producto de dos ondas viajando. La primera onda tiene frecuencia sobre la

misma frecuencia y numero de onda como las dos ondas originales, mientras que la segunda onda

tiene frecuencia

y nmero de onda

. En un instante dado de tiempo, el

resultado se ver como el mostrado sobre la figura siguiente:

Los resultados consisten en grupos de ondas movindose con la velocidad de fase de la onda

coseno:


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Si estamos sentados en un bote en una zona donde la amplitud de onda es mnima (llamados

nodos) y nos movemos a una velocidad

, no sentiramos alguna onda, y la energa nos pasar en

cualquier direccin. De esto concluimos que la energa se est moviendo a la misma velocidad a laque nosotros estamos, llammosles velocidad conjunta, la cual en el lmite da

Desde que tratamos con ondas de agua la relacin de dispersin nos queda:

En aguas profundas

obtenemos desde la expresin de arriba, o simplemente de la

relacin de la correspondiente dispersin que

En aguas profundas, la velocidad conjunta es solamente la mitad de la velocidad de fase. Si

miramos grupos de ondas, las ondas individuales son creadas al final del grupo, y se mueven hacia

adelante hasta que desaparece enfrente del grupo.

En aguas muy superficiales, , y En aguas muy poco profundas, la velocidad conjunta y de fase con iguales!

Para la potencia generadora de ondas, la energa viniendo dentro del dispositivo por unidad de

tiempo ms que la energa contenida en este mismo es lo de nuestro inters. En orden de derivar


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la energa disponible, es conveniente considerar una absorcin ideal de energa de onda (100%)

puesta enfrente del plano de venida de la onda como se muestra en la figura de abajo. Estamos

interesados en la energa absorbida por unidad de tiempo y unidad de longitud del absorbe olas.

Durante un intervalo de tiempo , toda la energa dentro del rea sombreada es absorbida por elabsorbedor de olas. La energa dentro del cuadro es

La energa absorbida por unidad de tiempo y por unidad de longitud por el absorbe olas es


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Energa y potencia en circuitos elctricosEn los circuitos elctricos lo que ms nos suele interesar es la rapidez con la que se entrega o

extrae energa de un elemento de circuito. Si la corriente a travs del elemento es I, entonces en

un intervalo de tiempo dt una cantidad de carga dQ=Idt pasa a travs del elemento. El cambio de

energa potencial que corresponde a esta cantidad de carga es

. Dividiendo esta

expresin entre dt se obtiene la rapidez con la que se transfiere energa hacia adentro o hacia

afuera del elemento de circuito. La relacin de transferencia de energa por unidad de tiempo es la

potencia, que se representa mediante P; por tanto, escribimos

La unidad de es un volt, o joule por coulomb, y la unidad de es un ampere, o un coulomb porsegundo. Por tanto, la unidad de es un watt, como debe ser:

(1 J/C)(1 C/s) = 1 J/s = 1 W


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Desarrollo del experimentoBsicamente el experimento se compone de tres partes principales: cajn, la boya y el sistema

generador de olas.

Cajn:

Una tabla de 0.80 x 0.20 m (base) Dos tablas de 0.50 x 0.20 m (paredes laterales) Una tabla de 0.80 x 0.50 m (pared trasera) Vidrio de 0.80 x 0.50 m (frente transparente)

Se pegaran las tablas y el vidrio para contener el agua. Se sellar para que esta no se salga.

Boya:

Bola flotante Varilla de hierro Sistema generador de corriente

Boya: vista de perfil

Sistema

generador de

corriente

Boya flotante

Varilla de hierro


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Se armara el sistema mostrado para generar una fuerza electromotriz a partir del movimiento

ascendente y descendente de la boya.

Sistema generador de olas:

Motor Soporte para el motor Paleta de madera Bisagra (no se ve en la figura) Paleta giratoria Extensin de paleta giratoria Piedras y malla (no se ven)

Se unir el motor a la paleta para olas por medio de la paleta giratoria y la extensin de la paleta

giratoria, la bisagra se usara como pivote para la paleta de olas, con el movimiento de sta se

generaran las olas, las piedras y la malla servirn para evitar la reflexin de las ondas.

Motor

Soporte para el

motor

Paleta de madera

Extensin de la paleta giratoriaPaleta giratoria


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Procedimiento de clculo

Para la paleta

Se obtendr tericamente el nmero de onda angular, k, mediante la ecuacin de la teora deondas lineales para aguas poco profundas

Para la Boya (modelo idealizado)

Supuestos

La velocidad vertical de las ondas es igual al movimiento ascendente de la boya. Las prdidas de energa son cero, es decir, el movimiento mecnico de la boya se

convierte en energa elctrica.

Se desprecia la reflexin de las ondas.

Se proceder a calcular la potencia transmitida de las olas hacia la boya de forma terica a partir

de la ecuacin de movimiento para la boya , la fuerza hidrodinmicasobre la boya

se encontrara de la ecuacin

| | donde es la fuerza de flotacin y es la reaccin ejercida por elresorte, () y ; se desprecia la fuerza dearrastre por lo que el ltimo termino de la ecuacin (donde aparece ) se hace cero.De la ecuacin de movimiento para la boya se obtendr la fuerza hidrodinmica que nosservir para encontrar la potencia generada por la Boya a partir de la ecuacin donde .Nota: Consideraremos despreciable la potencia negativa generada por el resorte, y no tomaremos

en cuenta la potencia generada por la fuerza de flotacin

y el peso

ya que ambas cargas se

anulan y realizan trabajo cero. Para el Generador de Corriente

Se medir experimentalmente el voltaje con un voltmetro y la corriente con unampermetro generada por el sistema descrito anteriormente, y de esta manera poder calcular la

potencia de este mediante la ecuacin .


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Despus se calculara la diferencia relativa porcentual entre estas dos magnitudes (resultados

tericos y resultados experimentales) con la ecuacin Donde es el resultado terico y el resultado experimental.Por ltimo se calculara la eficiencia del sistema mediante la relacin Memoria de clculo

o Medicin de :

Donde: Entonces:

o Medicin de la fuerza hidrodinmica sobre la boya (ver anexos): Donde:

( ) ( )


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( )

( )

( )

( )

( )

( )

Sustituyendo todos los trminos obtenidos anteriormente sobre la ecuacin de

( ) ( )

Donde:

Al sustituir todos los valores anteriores en la ecuacin para el resultado es:


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o Obtencin de la potencia generada por :

Donde:

Al sustituir los valores anteriores en la ecuacin para el resultado queda:

Ahora la potencia generada es:

o Medicin de la potencia absorbida por la boya:Con un voltmetro se mide la corriente

y el voltaje

, dando los siguientes resultados:

Se obtiene la potencia as:

o Diferencia relativa porcentual (valores tericos Vs. Valores experimentales)

o Calculo de la eficiencia mecnica


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Conclusiones

Se concluye que el prototipo diseado para absorber la energa de las olas (boya) poseeuna eficiencia del 23.3% aproximadamente a partir de la potencia generada por el

movimiento de las olas. Toda la dems energa se pierde en la friccin del sistema y elmovimiento horizontal de la boya que impide en cierta manera el movimiento ascendente

de la boya.

Recomendaciones

Se recomienda buscar un diseo para la boya en el que se aproveche lo mejor posible elmovimiento de las olas, y despreciar mas el efecto de las fuerzas que hacen que el sistemapierda energa.


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Bibliografa

Linear Wave Theory Part A - Regular waves - Harald E. Krogstad(PDF)

Mechanics of nonlinear short-wave generation by a moored near-surface

buoy - Q. Zhu, Y. Liu, A. A. Tjavaras, M. S. Triantafyllou Aabd D. K. P. (PDF)

Generacin de Olas Wavemaker Theory Cap. 6 (RAR/JPG) Sears, Francis W., Zemansky, Mark W,, Young, Hugh D. y Freedman, Roger

A. - Fisica universitaria con fisica moderna - Volumen 2 undecima edicin.

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