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Giuseppe Peano (Italia, 1858-1932)

Georg Cantor (Rusia, 1854-1918)

En la antigedad, el concepto de nmero surgi como consecuencia de la necesidad prctica de contar objetos. Para ello, al principio el hombre se vali de los elementos de que dispona a su alrededor: dedos, piedras... Basta recordar, por ejemplo, que la palabra clculo deriva de la palabra latina calculus, que significa 'contar con piedras'. La serie de nmeros naturales era, obviamente, limitada; pero la conciencia sobre la necesidad de ampliar el conjunto de los nmeros naturales, representaba ya una importante etapa en el camino hacia la matemtica moderna. Paralelamente a la ampliacin de los conjuntos numricos, se desarrollaron su simbologa y los sistemas de numeracin diferentes para cada civilizacin.

Fue en la India entre los siglos V y XII d. C. donde se empezaron a usar

correctamente los nmeros negativos, se introdujo el cero e incluso se lleg a aceptar como vlidos los nmeros irracionales. Es indiscutible la procedencia hind del sistema de numeracin decimal y de las reglas de clculo.

El cero es o no un nmero natural?

Este es uno de los temas de ms frecuente discusin entre quienes se dedican a las matemticas. Cuando Peano introdujo los axiomas para definir el conjunto de los nmeros naturales, inici este conjunto por el nmero uno. Pero cuando Cantor estudi la teora de conjuntos, encontr que deba empezar por el cero, dada la necesidad de asignarle un cardinal al conjunto vaco. Quiz fue esto lo que hizo que, diez aos ms tarde, Peano empezara los nmeros naturales con el cero.

En las ltimas dcadas ha sido muy popular la teora de conjuntos, lo cual justifica que muchos profesores prefieran comenzar el conjunto de los nmeros naturales por el cero.

En este texto se elige iniciar el conjunto de los

nmeros naturales por el cero, pues es necesario para el cardinal del conjunto vaco, para el neutro de la suma y para tantas otras aplicaciones.

Pero en algunos temas, como el de las sucesiones, se

indicar como `* a los nmeros naturales sin el cero, pues es normal que se relacione el primer trmino con el nmero uno, el segundo trmino con el nmero dos y as sucesivamente, recordando que no hay un ordinal para el cardinal cero.

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2

CONJUNTOS NUMRICOS 1 INTRODUCCIN En la prctica diaria del estudio de las matemticas se ha visto que, mediante el razonamiento y la formulacin de teoremas, se pueden deducir nuevas proposiciones de otras ya establecidas, las que a su vez deben de haber sido deducidas de otras anteriores, mediante otros teoremas. Pero, en todo caso, se ha de partir siempre de unas primeras proposiciones, que deben aceptarse sin demostracin pues, en caso contrario, no seran las primeras. Toda teora matemtica parte de conceptos iniciales o primitivos. Se deben definir ciertos entes matemticos, a partir de los cuales se construye la teora. Estos conceptos primitivos no se demuestran; simplemente se aceptan como verdaderos. Se llaman axiomas. Todos los teoremas y otros conceptos de esta teora sern consecuencia lgica de los axiomas.

Dada una tabla de nmeros en la que falta uno. Se pide que diga qu nmero falta y que explique cmo lleg a ese resultado.

54 (117) 36 72 (154) 28 39 (513) 42 18 (?) 71

El test, supuestamente, consiste no slo en que pueda determinar qu nmero debera ir en lugar de los signos de interrogacin, sino tambin en medir su capacidad de anlisis para deducir una ley de formacin. Es decir: alguien pens en un patrn que subyace tras la gestacin de esos nmeros, y pretende que usted lo descubra. Me apresuro a decir que ninguno de estos mtodos es fiable, ni mucho menos exacto. De hecho, habra y en general hay infinitas maneras de encontrar un nmero que ocupe el lugar del signo de interrogacin. Se trata, en todo caso, de ser capaz de buscar el que pensaron los que disearon el test. Trate de entrenarse haciendo este tipo de tests y ver cmo al final le salen todos, o casi todos. se ser el momento en que quiz crea que es ms inteligente. Lo curioso es que tal vez haya aprendido a someterse mejor al pensamiento oficial. Pretender usar la matemtica como un testeador de la inteligencia puede producir un efecto no slo negativo y frustrante, sino falso. Aunque ms no sea porque no se sabe qu se mide.

Extrado de: Paenza, A. (2006). Matemtica Ests ah? Episodio 2 Argentina: Siglo veintiuno editores.

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En este captulo solamente se intenta recordar al estudiante los diferentes conjuntos numricos, sus nombres, sus interrelaciones. En ningn caso se pretende definirlos rigurosamente.

Tngase en cuenta que:

Se da una introduccin a la axiomtica del nmero real, en el captulo 16. Se estudian los nmeros complejos en el captulo 17.

2 NMEROS NATURALES Mediante los axiomas de Peano, un conjunto ` llamado nmeros naturales, un elemento llamado cero, y una relacin primitiva sg (siguiente de), quedan definidos axiomticamente como: 1 Cero es un nmero natural. 2 A cada nmero natural le corresponde un nmero natural siguiente a l, unvocamente determinado (si x ` sg x `) ( significa 'pertenece'). 3 El cero no tiene precedente (para todo x` sg x 0) Esto significa que la sucesin numrica natural empieza en cero. 4 De la igualdad sg x = sg y se deduce que: x = y 5 Axioma de induccin completa. Si de un conjunto C de nmeros naturales se sabe que cumple las dos condiciones siguientes: i) El nmero natural cero pertenece al conjunto C (0 `). ii) Si un nmero natural x pertenece al conjunto C se cumple que el siguiente de x pertenece tambin a C. Entonces, todos los nmeros naturales pertenecen al conjunto C. Estos cinco axiomas son las proposiciones que caracterizan esencialmente a lo que se llama sucesin numrica natural y se toman como definicin de los nmeros naturales. 3 NMEROS ENTEROS

Los nmeros naturales no permiten resolver todas las posibilidades operativas. Esta limitacin llev a la necesidad de crear otros conjuntos numricos que atendieran este problema.

La resta entre nmeros naturales slo es posible si el sustraendo es menor o igual al minuendo. Sin embargo, la prctica de trabajo exige un conjunto numrico en donde la resta sea siempre posible. As, se hizo necesario crear un nuevo conjunto numrico, que se llam nmeros enteros. Ellos comprenden a los enteros positivos, el cero (naturales) y los enteros negativos.

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Todos ellos son nmeros racionales.

Responder verdadero o falso, y justificar

la respuesta. 1) Un nmero fraccionario es un nmero racional.

2) Un nmero entero es un nmero racional.

3) Un nmero real es un nmero racional. 4) Un nmero cuya representacin decimal contiene infinitas cifras no peridicas, es un nmero racional.

5) Un nmero natural es un nmero entero.

6) El nmero 0.5617 es un nmero racional.

7) no es un nmero real.

8) El nmero 0.11111111 no es un nmero racional.

9) El producto de dos nmeros racionales es un nmero racional.

10) La suma de dos nmeros irracionales es irracional.

Vanse los resultados en la pgina 469.

4 NMEROS RACIONALES

Si bien la creacin del conjunto de los nmeros enteros permite la resta entre cualesquiera de ellos, no sucede lo mismo con la divisin. Por ejemplo, si 6 dividido 2 es igual a 3 y el resultado es un nmero entero, no hay ningn nmero entero que sea el resultado de 6 dividido 5.

Este problema llev a la creacin del conjunto de los nmeros racionales, en el que la divisin es siempre posible, con la nica excepcin del divisor cero. El conjunto de los nmeros racionales comprende a los nmeros enteros y a los fraccionarios positivos y negativos. Algunos ejemplos:

45

, 7, 3 35 70 35

100 20. = =

20.2 0 222222 ...9

. = = 5 NMEROS REALES La necesidad de los nmeros reales se presenta cuando se intenta efectuar algunas operaciones como la radicacin, que entre los racionales no tiene solucin en todos los casos. As, 2 no existe en el conjunto de los nmeros racionales, pues no existe ningn racional cuyo cuadrado valga 2. De modo que, como sucede con la resta entre naturales o con la divisin entre enteros, se est frente a una operacin que carece de sentido en un conjunto numrico para ciertos valores de la variable.

GUSTAVO A. DUFFOUR 24

i) En la siguiente serie de nmeros, qu tres nmeros seguirn?

4 6 5 8 6 ___ ___ ___

ii) En la siguiente serie de nmeros, qu nmero seguir?

18 12 15 10 12 8 ___

iii) En la siguiente serie de nmeros, qu dos nmeros seguirn?

3 6 13 28 59 ___ ___

Vanse los resultados en la pgina 469.

Por tal razn se cre un conjunto numrico, el de los nmeros reales, formado por los nmeros racionales (expresables como razn de enteros) y los nmeros irracionales, de los cuales 2 es un ejemplo (vase el captulo 16). Otros ejemplos de nmeros irracionales:

27 , 5 , 2 3 , , , e 2 718281828...

7. + =

6 NMEROS COMPLEJOS Muchos problemas quedan sin resolver en el conjunto de los nmeros reales; en particular, la radicacin de ndice par de nmeros negativos. ( )( )3 ( 1)(3) 1 3 = = Hacia 1853, Hamilton y Gauss, independientemente, propusieron la teora de los nmeros complejos, tal como es aceptada en la actualidad (vase el captulo 17). Con la creacin del conjunto de los nmeros complejos, pudieron comenzar a resolverse todas las operaciones, sin la necesidad de nuevos conjuntos numricos. Tomado de pruebas de admisin de la carrera de Diseo Industrial.

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7 NOTACIN

Los conjuntos numricos se designan con las siguientes letras:

` = nmeros naturales. ] = nmeros enteros (Zahl, del alemn, que significa 'nmero'). _ = nmeros racionales (Quotient, del ingls, que significa 'cociente'). \ = nmeros reales. ^ = nmeros complejos. 8 ESQUEMA DE LOS CONJUNTOS NUMRICOS

Cuando se le agrega un asterisco, significa siempre sin el cero. Ejemplo: `* Nmeros naturales sin el cero. ]* Nmeros enteros sin el cero.

\ ^

`] _

Tambin suele utilizarse como subndice el cero. Para indicar los siguientes conjuntos:

0+\ Nmeros reales positivos y el cero.

0\ Nmeros reales negativos y el cero.

Naturales0, 1, 2, 3, ...

EnterosEnteros negativos

1, 2, 3, ...Racionales

Fraccionarios31, , 0.3, ...

2 5Reales

Irracionales2, , 3 5, ...

ComplejosImaginarios

1 , ...

+

`]

_

\

^

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A finales del siglo XV se fueron imponiendo las abreviaturas para indicar algunas operaciones matemticas. Por ejemplo, los italianos utilizaban la letra p y la letra m para indicar la suma y la resta (plus y minus, en latn). Sin embargo, acab imponindose la abreviatura alemana de los smbolos: + y . Estos smbolos se utilizaron originalmente para indicar exceso y defecto en la medida de las mercancas en los almacenes. De hecho, el texto ms antiguo que se conoce, en el que aparecen stos con el sentido de suma y resta, es un libro de aritmtica comercial del alemn Johann Widman, publicado en 1489. Estos smbolos, que utiliz Stifel en 1545 y adopt Vieta en 1591, se difundieron rpidamente en todo el mundo. El smbolo de igualdad = fue empleado primeramente por Robert Recorde en 1557, justificndolo as: pondr, como hago a menudo en el curso de mi trabajo, un par de paralelas o lneas gemelas de una misma longitud, as: = porque no hay dos cosas que puedan ser ms iguales. De todos modos, su uso no se generaliz sino hasta un siglo despus. En los viejos tiempos de la aritmtica, muchos algoritmos para obtener productos y proporciones hacan uso de la cruz de San Andrs (el aspa). Quiz por ello Oughtred, all por 1631, la eligi como smbolo para sus multiplicaciones y pronto otros autores siguieron su ejemplo. Pero no todos: Leibniz, en 1698, le escribi a John Bernoulli: [] no me gusta como smbolo para la multiplicacin, pues se confunde fcilmente con x; [...] a menudo relaciono dos cantidades con un punto interpuesto, e indico la multiplicacin mediante a . b. Es decir que Leibniz, para evitar confusiones, sealaba de la misma manera proporciones y productos, con un sencillo punto. Cardn, en 1637, no us smbolo alguno interpuesto entre dos factores y los coloc uno al lado del otro, aunque la misma idea se atribuye a Stifel, en 1544.

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9 EJERCICIOS PROPUESTOS Vanse los resultados en la pgina 469. 11) Cules de los siguientes nmeros son racionales y cules son irracionales? i) 4 ii) 0.375 iii) 1 2+ iv) ( )21 3+ v) ( ) ( )3 2 5 2 vi) 5 2

12) Se sabe que la expresin decimal de un nmero racional ab

es 0.12345

Podr esta expresin decimal ser ilimitada no peridica? 13) Responder verdadero o falso, y justificar la respuesta dada:

i) 1.23 y 1.230 representan nmeros diferentes.

ii) No hay ningn decimal entre 3.25 y 3.26

iii) El nmero siguiente a 3.25 es 3.26

iv) 3.9 < 3.12 porque 9 < 12

v) La hipotenusa de un tringulo rectngulo cuyos catetos miden 8 m y 6 m es un nmero racional?

vi) Cualquier nmero que pueda ser escrito como una fraccin ab

es racional.

vii) La resta de dos nmeros racionales es racional.

viii) La resta de dos nmeros irracionales es irracional.

ix) Entre dos nmeros irracionales distintos siempre hay otro nmero irracional.

14) Considere las siguientes fracciones: 3 6 9 18 30, , , ,7 14 21 40 70

A cuntos racionales representan? 15) Indicar con una cruz, en la interseccin de la fila con la columna correspondiente, si el

nmero pertenece al conjunto indicado:

` ] _ \ \ _ 223

0

1.02002

3

366

o0.1237

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