MOVIMIENTO CURVILINEO «2° PARTE»

Ing. Francisco Alfredo Díaz Manzano

Universidad de Oriente

COMPONENTES TANGENCIAL Y

NORMAL • Primero considérese una partícula que se mueve a lo

largo de una curva contenida en el plano. Sea P la

posición de la partícula en un instante dado. Se une en P

a un vector unitario et tangente a la trayectoria de la

partícula y que apunta en la dirección de movimiento.

COMPONENTES TANGENCIAL Y

NORMAL • Sea et’ el vector unitario correspondiente a la posición P’

de la partícula en un instante posterior.

• Si se dibujan ambos vectores desde el mismo origen O’,

se define el vector ∆et =et’ - et

COMPONENTES TANGENCIAL Y

NORMAL • Puesto que et y et’ son de longitud unitaria, sus puntas

se encuentran sobre un círculo de radio 1.

• Si se denota por ∆θ el ángulo formado por et y et’, se

encuentra que la magnitud de ∆ et es 2 sin(∆θ/2)

• A medida el Angulo ∆θ se aproxima a cero, el vector ∆et

se vuelve tangente a la circunferencia unitaria y esto es

perpendicular a et y que su magnitud tiende a:

COMPONENTES TANGENCIAL Y

NORMAL • En consecuencia, el vector obtenido en el límite es un

vector unitario a lo largo de la normal a la trayectoria de la

partícula, en la dirección hacia la cual cambia et. Al

denotar este vector por en, se escribe:

• Puesto que la velocidad v de la partícula es tangente a la

trayectoria, puede expresarse como el producto del

escalar v y el vector unitario et. Se tiene

COMPONENTES TANGENCIAL Y

NORMAL • Para calcular la aceleración de una partícula se sigue el

proceso ya conocido:

COMPONENTES TANGENCIAL Y

NORMAL • Elaborando las sustituciones tenemos que:

• Donde finalmente tenemos

• Se puede observar que la aceleración tiene dos

componentes, una componente tangencial y una

componente normal.

COMPONENTES TANGENCIAL Y

NORMAL • Si aumenta la velocidad de la partícula, at es positiva y la

componente vectorial at apunta en la dirección de movimiento. Si disminuye la velocidad de la partícula, at es negativa y at apunta contra la dirección del movimiento

• La componente vectorial an, por otro lado, siempre se dirige hacia el centro de curvatura C de la trayectoria

COMPONENTES RADIAL Y

TRANSVERSAL • En ciertos problemas de movimiento plano, la posición de

la partícula P se define mediante sus coordenadas

polares.

• En ese caso es conveniente descomponer la velocidad y

la aceleración de la partícula en componentes paralela y

perpendicular, respectivamente, a la línea OP. Éstas se

conocen como componentes radial y transversal.

COMPONENTES RADIAL Y

TRANSVERSAL

COMPONENTES RADIAL Y

TRANSVERSAL • Una operación similar a la que se usó en la sección

anterior para determinar la derivada del vector unitario et

produce las relaciones.

• Donde er denota un vector unitario de sentido positivo

respecto a er.

COMPONENTES RADIAL Y

TRANSVERSAL • Mediante la regla de la cadena, se expresan las

derivadas del tiempo de los vectores unitarios er y eθ del

modo siguiente:

• Para obtener la velocidad v de la partícula P, se expresa

la posición del vector r de P como el producto del escalar

r y el vector unitario er y se deriva con respecto a t

COMPONENTES RADIAL Y

TRANSVERSAL

• Donde finalmente:

• Al derivar nuevamente tenemos:

COMPONENTES RADIAL Y

TRANSVERSAL

• Donde finalmente:

• Al derivar nuevamente tenemos: