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CORPORACIN EDUCATIVA

Formandolde r

es,conunaau

tnticaeduca

cinintegral Primero de Secundaria

Schools

Aritmtica

Quinto

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Somos un grupo de educadores que busca contribuir en la solucin de

uno de los mayores problemas de nuestro pas, la educacin, brindando

una enseanza de alta calidad.

En ese sentido es pertinente definir pblicamente la calidad

asocindola a las distintas dimensiones de la formacin de las personas:

desarrollo cognitivo, emocional, social, creativo, etc.

Nuestra Institucin Mentor Schools propone una perspectiva integral

y moderna, ofreciendo una formacin personalizada basada en principios

y valores; buscando el desarrollo integral de nuestros estudiantes,

impulsando sus capacidades para el xito en la vida profesional.

Es por esta razn que nuestro trabajo para este ao 2014 se datambin con el esfuerzo de los docentes a travs de Guas Didcticas que

permitirn un mejor nivel acadmico y lograr alcanzar la prctica que

es lo que el alumno(a) requiere, porque nuestra meta es:

Formar lderes con una autntica

educacin integral

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Captulo 1. Razones y Proporciones .......................................................... 9

Captulo 2. Serie de Razones ...................................................................... 16

Captulo 3. Promedios y Medias ............................................................... 23

Captulo 4. Magnitudes Proporcionales .................................................... 29

Captulo 5. Regla de Tres ............................................................................ 37

Captulo 6. Porcentaje: Aplicaciones Comerciales .................................. 43

Captulo 7. Regla de Inters ........................................................................ 53

Captulo 8. Estadstica ................................................................................. 61

Captulo 9. Conjuntos .................................................................................. 73

Captulo 10. Numeracin .............................................................................. 84

Captulo 11. Conteo de Nmeros Progresin Aritmetica ...................... 95

Captulo 12. Mtodo Combinatorio ............................................................. 106

Captulo 13. Cuatro Operaciones ................................................................. 113

Captulo 14. Divisibilidad : Principios y Criterios ..................................... 124

Captulo 15. Nmeros Primos - M.C.D. y M.C.M. .................................... 133

Captulo 16. Nmeros Racionales: Fracciones y Decimales .................... 142

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Aritmtica - 5to Sec.

Formando lderes con una autntica educacin integral

Captulo

1Razones yProporciones

Es la comparacin de dos cantidades mediante unaoperacin aritmtica (sustraccin divisin)

RAZN

RAZN

ARITMTICA GEOMTRICA

a b = Ra

Kb

=

a antecedente

b consecuente

R y K Valores de las razones

Es la igualdad en valor numrico de dos razones de lamisma clase.

En consecuencia se tiene dos clases de proporciones:

PROPORCIN

Se forma al igualar dos razones aritmticas.

Ejemplo: Sean los siguientes datos:

Comparando mediante la sustraccin

1. PROPORCIN ARITMTICA

Auto

Velocidad ( )m/s

A

20

B

17

C

18

D

15

20 17 = 18 15

Proporcin Aritmtica

Trminos

mediosTrminosexternos

InterpretacinLa velocidad de A excede a la velocidad de B, tantocomo la velocidad de C excede a la velocidad de D.

Observacin

La suma de La suma de

los extremos los medios

=

20 + 15 = 18 + 17

Dependiendo de los trminos medios se tendr:

Proporcin Aritmtica DiscretaCuando los trminos medios son diferentes.

Ejemplo:

Proporcin Aritmtica ContinuaCuando los trminos medios son iguales.

Ejemplo:

15 11 = 20 16Cuarta diferencial

de 15; 11 y 20

24 19 = 19 14

Tercera diferencial

de 24 y 19

Media diferencial o Media

aritmtica de 24 y 15

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10 Formando lderes con una autntica educacin integral


En General

PROPORCIN ARITMTICA

DISCRETA CONTINUA

Extremos

a b = c d

Medios

d: cuarta

diferencial de

a, b y c

Extremos

a b = b c

Medios

b: media

diferencial de

a y c

c: tercera

diferencial de

a y b

Se forma al igualar dos razones geomtricas.

Ejemplo:

Sean los siguientes datos:

Comparando mediante la divisin:

Donde:18 y 10 son los extremos12 y 15 son los trminos medios.

Interpretacin:La edad de A es a la edad de B, como la edad de C esa la edad de D.

2. PROPORCIN GEOMTRICA

Personas A

18

B

12

C

15

D

10Edades (aos)

18 15 3= =12 10 2

Observacin

El producto de El producto de

los extremos los medios

=

180 180

18 (10) = 15 (12)

Proporcin Geomtrica DiscretaCuando los valores de los trminos medios son diferentes.

Ejemplo:

Proporcin Geomtrica ContinuaCuando los valores de los trminos medios son iguales.

Ejemplo:

15 12=Cuarta proporcional20 16

de 15, 20 y 12

12 18=18 27

Media proporcional

de 12 y 27

Tercera proporcional

de 12 y 18

En General

PROPORCIN GEOMTRICA

DISCRETA CONTINUA

a c

b d=

a b

b c=

d cuartaproporcionalde a, b y c

b mediaproporcionalde a y c

c terceraproporcionade a y b

Hipatia de Alejandra

(370 415)Filsofa griega, nacida y muerta en Alejandra. Es laprimera mujer de la que se tiene noticia que dedicsu vida a las matemticas. Su muerte en el ao 415a manos de cristianos fanticos marc el ocaso dela escuela de Alejandra que inici sus actividadescon Euclides (300 a.C.) y continu con grandesmatemticos como Arqumedes, Apolonio o Pappus.La obra de Hypata se centr en los comentariossobre las obras de los matemticos anteriormentecitados y unos trabajos originales sobre curvascnicas. Hypata fue la ltima lumbrera de labiblioteca de Alejandra y su martirio estuvo muylegado de la misma.

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Para ReforzarPara Reforzar

Resolviendo en claseResolviendo en clase

1) Dos nmeros son entre si como 7 es a 9; si elproducto de dichos nmeros es 252. Hallar elmayor.

2) Dos nmeros son proporcionales a 2 y 5 si seaumentan 175 a uno de ellos y 115 al otro se obtienencantidades iguales. Cual es el menor? (UNI 1970)

3) Las edades de 2 personas estn en relacin de 5 a 7,dentro de 10 aos la relacin ser de 3 a 4. Hace10 aos cul era la relacin de sus edades?

4) A una esta asistieron 140 personas entre hombresy mujeres. Por cada 3 mujeres hay 4 hombres. Sise retiran 20 parejas. Cul es la razn entre elnmero de mujeres y el nmero de hombres quese quedan en la esta? (UNI 1992)

5) En un examen los problemas resueltos y no resueltosestn en la relacin de 2 es a 3. Dentro de losproblemas contestados, el nmero de problemasresueltos correctamente y los que no ,estn enla relacin de 1 a 2. Cul es la relacin de losproblemas mal contestados con respecto al total?

6) La razn de dos nmeros es 3/4 y los 2/3 desu producto es 1152.Encontrar el mayor de losnumeros. (UNI 1982II)

1) Dos nmeros son entre si como 5 es a 7. Si elproducto de dichos nmeros es 315, hallar el mayor.

2) Dos nmeros son entre si como 8 es a 11. Si a unode ellos se le aumenta en 30 unidades mientrasque al otro se le disminuye 12; ambos nmerosresultarian iguales. Hallar el mayor de dichosnmeros.

3) El dinero que tiene Andrea es al dinero quetiene Cristina como 11 es a 7. si Andrea da $ 40a Cristina ambas tendran la misma cantidad.Cunto tiene Andrea?

4) En una discoteca se observa que por cada 8 muje-res haba 5 hombres, adems el nmero de mujeresexcede al nmero de hombres en 21. Cul es lanueva relacin si se retira 16 parejas?

5) Si: a b c2 3 5

= =

Calcular:

c a b

a b

2

3 8

+

6) La razn de dos nmeros es 5/7 y los 2/5 de suproducto es 1 134. Encontrar el menor de losnmeros.

Rpta.: _______

Rpta.: _______

Rpta.: _______

Rpta.: _______

Rpta.: _______

Rpta.: _______

Rpta.: _______

Rpta.: _______

Rpta.: _______

Rpta.: _______

Rpta.: _______

Rpta.: _______

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PROBLEMAS PARA CLASE N 1

Clave:

1

Clave:

1

Clave:

2

Clave:

2

Para el alumno:Para el alumno:Para el profesor:Para el profesor:

Resolucin: Resolucin:

Resolucin:Resolucin:

Si la razn de la suma con la diferencia de 2nmeros enteros positivos es 5/3. Cual es elnmero mayor si el producto es 64? (UNI 1990)

a) 4 b) 8 c) 16d) 32 e) 64

La suma, la diferencia y el producto de dosnmeros estn en la misma relacin que losnmeros 7, 3 y 20. Cul es el menor de losnmeros?

a) 2 b) 2 c) 4d) 8 e) 10

Si la razn de la suma con la diferencia de 2nmeros enteros positivos es 5/3. Cul es elnmero mayor, si su producto es 64?

a) 4 b) 8 c) 16d) 32 e) 64

La suma, la diferencia y el producto de dosnmeros estn en la misma relacin que losnmeros 4; 2 y 15. Cul es el mayor de losnmeros?

a) 4 b) 10 c) 14d) 15 e) 16

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13



Clave:Clave:

Clave:Clave:

3

4

3

4


En una proporcin geomtrica continua lasuma de los extremos es 90 y la diferencia de losmismos es 54. Hallar la media proporcional.

a) 20 b) 30 c) 36d) 40 e) 50

En una P. G. continua la suma de los trminosextremos es 29 y su diferencia 21. Hallar lamedia proporcional.

a) 24 b) 16 c) 10d) 8 e) 12

Resolucin:

Resolucin:

Calcular A + B + C sabiendo que: A es cuarta proporcional de 8, 18 y 20 B es tercera proporcional de A y 15 C es media proporcional de (A + B) y (B 3)

a) 4 b) 8 c) 10d) 12 e) 16

Si M es la media proporcional de 25 y 9; Nes la cuarta proporcional de 30, M y 8. HallarM + N

a) 10 b) 19 c) 21d) 25 e) 30

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5

6

5

6

Clave:Clave:

Clave:Clave:


Resolucin:

Resolucin:

La suma de los 4 terminos de una proporcingeometrica continua es 9. Si la diferencia de susextremos es 3. Hallar el producto de los cuatrotrminos. (UNI 1990)

a) 8 b) 16 c) 32d) 64 e) 100

Tres nmeros A, B, C estn en relacin directa a 5, 7y 11. Si sumamos a dichos nmeros respectivamente130, 260 y n, la nueva relacin directa es como 13,17 y 19. Determine n.(UNI 2010II)

a) 600 b) 900 c) 910d) 1 800 e) 2 000

La suma de los 4 trminos de una proporcingemetrica contnua es 32. Si la diferencia desus extremos es 16. Hallar el producto de los 4trminos.

a) 1 000 b) 1 200 c) 1 296d) 1 400 e) 1 800

Si: a b c d7 13 15 19

= = =

Adems: a + b + c = 525 Hallar d

a) 280 b) 285 c) 300d) 400 e) 525

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15



Clave:Clave:

Clave:Clave:

7

Sello y Firma del Profesor

7

8 8

NOTA

Resolucin:

Resolucin:

Hallar la suma de los 4 trminos de una proporcingeomtrica continua si se sabe que la suma de sustrminos extremos es a su diferencia como 17 es a15 y la diferencia entre el tercer trmino y la raznes 24.

a) 100 b) 120 c) 175d) 180 e) 700

En una proporcin geomtrica continua, la sumade las races cuadradas de los extremos es 7. Sila diferencia de los extremos es 7. Determinar elvalor de la media proporcional.

a) 8 b) 10 c) 64d) 16 e) 12


La edad de A y B son entre s como 5 es a 4.La razn entre las edades de B y C es 3/7. Si lasuma de las edades de las tres personas es 165.Entonces la diferencia entre la edad del mayor

y menor es:

a) 20 b) 30 c) 45d) 48 e) 60

Si:

Adems: A + 2B + C = 147 Halle "C"

a) 6 b) 9 c) 30d) 45 e) 42

A 7 B 2y

B 5 C 3= =

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Captulo

2

Supongamos que tenemos tres toneles cuyas capacidadesson proporcionales a los nmeros 3; 5 y 8. Esto quiere decirque sus capacidades podran ser:

SERIE DE RAZONES GEOMTRICASEQUIVALENTES

Propiedad 1

Cte. de proporcionalidad

Ejemplo:INTRODUCCIN

3x20 = 60 litros5x20 = 100 litros

8x20 = 160 litros

o tambin

3x25 = 75 litros5x25 = 125 litros8x25 = 200 litros

Como podemos ver existen muchas opciones, pero losvolmenes siguen guardando la misma proporcin. Si Aes la capacidad del primer tonel, B la del segundo y Cla del tercero, podremos escribir las razones geomtricas.

A la que denominaremos serie de razones geomtricas equivalentes(S.R.G.E.)

A3

B5

C8

= = =K

Es la igualdad de dos o ms razones geomtricas que tienenel mismo valor.

=1224

12

; 48

12

= ; 2550

12

= ; 2040

12

=

Igualando:

Serie de razones

=

12

24

4

8

25

50

20

40

1

2== =

Valor de la razn

En general, podemos escribir:

a1c1

= = =...= =Ka2c2

a3c3

ancn

Donde:

a1,a

2,a

3, ........., a

n: Antecedentes

c1,c2,c3, ........., cn: ConsecuentesK : Constante de porporcionalidad o valor de la razn.

PROPIEDADES

Suma de antecedentesSuma de consecuentes

Es decir:

a1+a2+a3+...+anc1+c2+c3+...+cn

=K

* Reconocer los elementos de una serie de razones geomtricas equivalentes.

*

Construir una S.R.G.E. dado un conjunto de nmeros.* Aplicar las propiedades adecuadamente.

=

OBJETIVOS:

Serie de Razones

GeomtricasEquivalentes

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17



Ejemplo:

=1224

48

= 2550

= 2040

12+4+25+2024+8+50+40

= =61122

12

Propiedad 2

(Cte. de proporcionalidad)nProducto de antecedentesProducto de consecuentes

Donde n es el nmero de antecedentes o consecuentesque se multiplican.

=

Es decir:

a1. a2. a3. ... anc1. c2. c3. ... cn

=Kn

Ejemplo:

=1224

48

= 2550

= 2040

12 x 4 x 25 x 2024 x 8 x 50 x 40

=12

4

OBSERVACIN:

Una serie de razones geomtricas de la forma:

= = = =...=Kab

bc

cd

de

Se denomina serie de razones geomtricas continuas. Enesta serie continua tambin se cumplen las propiedadesmencionadas.

Ejercicio 1En una serie de razones geomtricas, los consecuentes son5; 7; 10 y 12. Si la suma de los dos primeros antecedenteses 84; halla los otros antecedentes.

Resolucin

Formamos la serie con los datos proporcionados:

= = = =Ka5

b7

c10

d12

; a+b= 84

Por el dato que nos dan (suma) aplicamos la propiedad 1:

=Ka+b5+7

8412

=K K=7

Luego:

c=70 d=84

c10

=K=7d12

=K=7

Ejercicio 2

Si se cumple que:

halla: J+E+S+I

= = = = =KJ

972EJ

SE

IS

41

Resolucin

Si observamos con cuidado veremos que cada letra aparececomo antecedente y consecuente de las diferentes razones,entonces si multiplicamos todos los antecedentes y todoslos consecuentes resultar:

Luego podemos escribir :

J.E.S.I.4972.J.E.S.I

=K5

=K54

972

1243

=K5 K=

13

= = = = =J972

EJ

SE

IS

41

13

324 108 36 12

324 108 36 12

J + E + S +I=324+108+36+12J + E + S +I=480

Mi amigo Rogelio tiene una gran aficin a lasmatemticas. Su obsesin son los nmeros. Vivesiempre con su mente ocupada al menos por unadocena de dgitos.El otro da descubri una curiosa relacin. Comprobque los nneros de su casa y los de las casas de susamigas Silvia y Luca eran primos consecutivos. Si semultiplicaban los tres entre s, el resultado era el saldode su cuenta bancaria.La casa de Rogelio est entre las de Silvia y Luca. Elsaldo de la cuenta comienza con 6 y tiene un total de

cinco cifras. Cul es el nmero de la casa de Rogelioy el saldo de su cuenta en el banco?

El saldo de la cuenta de Rogelio

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Rpta.: _______

Rpta.: _______

Rpta.: _______

Rpta.: _______

Rpta.: _______

Rpta.: _______

Rpta.: _______

Rpta.: _______

Rpta.: _______

Rpta.: _______

Rpta.: _______

Rpta.: _______

1)Dada la serie:

Se cumple: a.b.c=2916 halla a+b+c

= =a6

b8

c18

2) Si se cumple:

halla a+b+c

= = =a15

20b

1827

8c

3) Los volmenes de tres recipientes son proporcionalesa los nmeros 4; 5 y 10. Si la suma de los cuadradosde los dos menores volmenes es 656, halla elvolumen mayor.

4) Los antecedentes de una serie de razonesgeomtricas equivalentes son 7; 10; 12 y 15. Si elproducto de los dos primeros consecuentes es 1120,halla la diferencia de los dos ltimos consecuentes.

5) Si en la serie:

se cumple: a+b+c-d=120,

halla: a.d

= = =a

15b

12+nd7

c10-n

6) Si y

a . c . b + b . c . d=6480, halla a+b+c+d.

a3

b4

c6

d7

= = =

1) En la serie:

Se cumple: a.c=405, halla b+d

= = =a5

b7

c9

d10

2) Si

a+b=48, halla c.d

= = =a3

b5

c8

d6

3) Tres nmeros son entre s como 7; 11 y 13, tales queel segundo ms el cudruplo del primero suman 17.Calcula el valor del tercero.

4) Los antecedentes de varias razones equivalentesson: 3; 4; 5 y 6. Si la suma de los dos primerosconsecuentes es 28, halla los 2 ltimos.

5) En la siguiente serie:

calcula a+b

3a+b

9= =

34 - b

7

a+b

4

a5

b6

c7

= =d8

= y

6) Si:

a . b . c + b . c . d = 34944; halla "a + b + c +d".

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19




Dada la serie :

y a.b+a.c+b.c=639,halla a.b.c

a) 3215 b) 2415 c) 3432 d) 4328 e) 2835

a3

b5

c7

= =

Clave:

1

Clave:

1

Clave:

2

Clave:

2


Resolucin:

Resolucin:

Resolucin:

Resolucin:

Si:

Adems: ab + cd = 1 600. Halle "b"(UNFV 2001-II)

a) 16 b) 28 c) 32d) 36 e) 40

Si:

Hallar: (UNI 1995-II)

a) R b) R c) R/K

d) RK e) K

a b c d

4 7 8 9= = =

( )2

2

2

a c e R k y bde R 0

b d f K= = = = >

acf

Dada la serie:

a2+c2+e2=324, calcula

a) 12 b) 15 c) 18 d) 24 e) 32

ab

cd

ef

= =

ab+cd+ef

b2

+d2

+f2

M= 2

3

para la que

,

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Clave:Clave:

Clave:Clave:

3

4

3

4


Resolucin:Resolucin:

Si: a/5 = b/7 = c/11 ya2+ 2b2-c2= 50,

calcula:

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) N. A.

a+b+30

c-25E=

En una serie de razones iguales, los antecedentesson 3; 5; 6 y 9; y el producto de los consecuenteses 65610. Halla la suma de los consecuentes.

a) 72 b) 81 c) 69

d) 48 e) 92

Si

a2+b2+c2=1206,

halla a+b+c

a) 36 b) 45 c) 58 d) 54 e) 72

a2

b7

c9

= = y

En una serie de razones equivalentes, losantecedentes son 2, 3 y 7. Si el producto de losconsecuentes es 2688, halla la suma de estos.

a) 36 b) 48 c) 54 d) 72 e) 108

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20/147

21



5

6

5

6

Clave:Clave:

Clave:Clave:



Si se cumple:

halla: K+A+R+Y

a) 50 b) 60 c) 80 d) 100 e) 120

K64

AK

RA

YR

= = = =2Y

,

Si se cumple:

halla:

a) b) c)

d) e)

a2+b2+c2

d3+e3+f3a3+b3+c3

d2+e2+f2M= .

ad

be

cf

= =a.b.cd.e.f

=1

27;

13

16

19

127

181

Dada la serie :

halla J + O + S + E.

a) 60 b) 75 c) 100 d) 125 e) 90

J96

OJ

SO

= =ES

3E

= =

Dada la serie de razones:

halla

a) 210 b) 215 c) 2 d) 220 e) 230

Aa

Bb

Cc

Dd

= = = y

A10+B10+C10+D10

a10+b10+c10+d10M=

A.B.C.Da.b.c.d

= 4096,

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21/147



Clave:Clave:

Clave:Clave:

7


7

8 8

NOTA



En la siguiente serie de razones equivalentes:

se cumple: A+B+C+D= 63; m+n+p+q=175 Halla:

E= A.m + B. n + C.p+ D.q

a) 105 b) 210 c) 51 d) 315 e) 21

Am

Bn

Cp

Dq

= = =

En una serie de cuatro razones geomtricascontinuas, la suma del primer antecedente y deltercer consecuente es 1176. Determina el mayorconsecuente si el producto de las cuatro razoneses 1/81.

a) 1701 b) 3402 c) 6804

d) 5103 e) 10206

Dada la serie :

y se cumple : A+B+C=80 a+b+c=128

halla

a) b) c)

d) e)

Aa

Bb

Cc

= =

A2+B2+C2

a2+b2+c2

2536

1625

1649

2564

49

En una serie de tres razones geomtricasequivalentes continuas, el producto de las tresrazones es 1/27. Si la suma de los consecuenteses 234, halla el mayor antecedente.

a) 54 b) 48 c) 72 d) 64 e) 60

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22/147

23



Captulo

3Promedios

Una media de un conjunto de datos es un valor que puederepresentar o substituir a todos los elementos del conjuntosin alterar una cierta caracterstica de la misma.

Dicho valor se encuentra comprendido entre el mnimo ymximo dato del conjunto.

En general, para n datos: se tiene:

MEDIAS MS USUALES

1. Media Aritmtica (MA)La media aritmtica del conjunto de n datos a1; a2;..., an es:

Ejemplo:

Calcule la media aritmtica de las notas 11; 16 y 18.

Resolucin:

2. Media Geomtrica (MG)La Media Geomtrica del conjunto de n datos positivosa1, a2, ..., an es:

Ejemplo:

Halle la Media Geomtrica de los nmeros 8; 12 y 18.

PROMEDIOS O MEDIAS

1 2 3a a a ... an

a a1 n

media

(promedio)

1 2 na a ... aMA

n

+ + +

=

Resolucin:

11 16 18MA

3

+ +

= MA 15 =

n1 2 nMG a a ...a=

3MG 8 12 18 MG = 12=

3. Media Armnica (MH)La Media Armnica de los n datos positivos a1, a2,..., an es:

Ejemplo: Determine la media armnica de las velocidades:

20 m/s y 30 m/s

Resolucin:

PROPIEDADES DE LA MEDIAS

Para un conjunto de datos:

1. Si no todos los datos son iguales

2. Si todos los datos son iguales

3. Para dos datos a y b

i)

ii)

1 2 n

nMH

1 1 1...

a a a

=

+ + +

2MH

1 1

20 30

=

+

MH 24 m/ s =

Media Media Media< Pc)P: Prdida (Pv < Pc)

Pv = Pc + GPv = Pc -P

Las ganancias y prdidas se expresan como un tanto porciento de los precios, generalmente del precio de costo.

Ejemplo 1:

Si se vendi un artculo en 240 soles ganando el 20% decosto, cunto cost el artculo?

Resolucin:

Pv = Pc + G 240 = 100%Pc + 20%Pc 240 = (100 + 20)% Pc = 120% Pc 240 = Pc Pc = 200 soles

120

100

Ejemplo 2:

Un distribuidor vende un objeto a S/. 540 con una prdidadel 10% del costo. De cunto es la prdida?

Resolucin:

Pv = Pc -P 540 = 100%Pc -10%Pc 540 = (100 -10)% Pc = 90% Pc 540 = Pc Pc = S/.600

90100

Prdida: 600-540=S/.60=10% (600)

Para los casos donde la ganancia indicada es la gananciabruta, y se efectan gastos (g) se tiene:

GB: Ganancia bruta

GN: Ganancia neta

g: Gastos

Observacin 1

GB =GN + g

Esquema

PrecioFijado

Precioventa real

Preciode costo

- Descuentos + Ganancia

Ejemplo 3:

Si despus de efectuar una venta se gan 250 soles, cules la ganancia neta obtenida si se debe cubrir los gastosefectuados en la venta los cuales representan el 18% de laganancia bruta?

Resolucin:

Se conoce GB= G

N+ g

100% GB= G

N+ 18% G

B

(100-18)% (250) = GN

Se obtiene GN = 205 soles

Ejemplo 4:

Resolucin:

Un objeto se ofrece en 240 soles, pero al momento devenderlo se le rebaja un 15%. Cunto se gana si su costoes 190 soles?

VARIACIONES PORCENTUALES

Es la variacin porcentual que sufre una cantidad a causade los aumentos o disminuciones porcentuales de las can-tidades de los que depende.

Ejemplo 1:

Sea M = a x b. Si a aumenta 25%, qu porcentaje debe devariar b para que M no vare?

Pf=

240 se le rebaja 15%

Pventa

=240 -15% (240)

=85% (240) = 204 soles Pv =Pc + g 204 =190 + g 204-190= 14 solesSe gana

Tambin

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a1x b

1= a

2x b

2= M

a1x b

1= (a

1+25%

a

1)b

2

a1x b

1= 125% a

1x b

2

125100

b1= b

2= b

2

54

b2= b

1=

80% b

1

45

Valores a1

, b1

Iniciales

Valores a 2 , b 2Finales

Donde

De donde

Se observa que b debe disminuir en un 20%.

Resolucin:

1) En una aplicacin de multiplicacin, si el multiplican-do aumenta en x% y el multiplicador disminuye en

x%; el producto disminuye en 4%. Halla "x".

a) 30 b) 15 c) 12d) 10 e) 20

Resolucin:

Ejemplo 2:

Si el radio de un crculo aumenta un 50%, en qu porcen-taje aumenta el rea?

Resolucin:

Area crculo = Radio2

A1

= R1

2 (inicialmente)

El radio aumenta en 50% y se convierte en 150%

A2= R2

2 =(150% R1)2

A2= ( R1)

2 = (R1)23

294

A2 = 2,25 R12 =225% A

1

El rea inicial aument en un 125%.

Sean m y n los factores:

m(1+x%)n(1-x%)=mn(1-4%)

100 + x100 100 -x100 96100x =

1002 -x2 = 9600

x = 20

Rpta.: e

2) Un comerciante compra sillas a S/.32 cada uno. Anun-cia su venta a P soles, de modo que cuando haga undescuento de 20% a sus clientes resulte ganando 20%sobre el precio real de venta. Cul es el valor de P?

a) 38,4 b) 46 c) 50d) 60 e) 64

32 G=20%V 20%P

32 + 20% (80%P)= 80%P 32= 64%P

P = 50

Rpta.: c

3) Una persona compra un terreno y lo vende ganando1/5 del precio de compra. Si la venta la hubiese rea-lizado incrementando el precio en 10%, entonces suganancia se hubiese incrementado en:

a) 10% b) 25% c) 30%d) 50% e) 60%

Resolucin:

C V P

V = 80%P

Si al precio jado a un artculo se le hace un descuentoal momento de su venta.

Pf: Precio jado o precio de lista

PvR: Precio de venta real

D: Descuento

Observacin 2

PvR =Pf-D

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47



Resolucin:

Precio Costo 5kPrecio Venta 6k

ganancia: k=100%

Si precio Venta: 6, 6kGanancia: 1,6 = 160%

Rpta.: e

4) Cuando se fotocopia pgina por pgina, de un libronumerado del 1 al 1992, se obtiene un descuento del20% por las pginas que son mltiplos de 3. Si el pre-cio normal de cada fotocopia sola es S/.0,05, cuntose pag en total?

a) S/.96,18 b) S/.92,96 c) S/.50,56d) S/.86,32 e) S/.89,64

Resolucin:

Mltiplos de 3:

3; 6; 9; ...; 1 989; 1 992

Estos son en total: 664 pginas y los no 3 son: 1 992 -664 = 1 328

Costos:

1328 x 0,05 + 664 x 0,05 x 0,8 = S/.92,96

Rpta.: b

5) Una fbrica produce en un mes 3 toneladas de esprra-gos a un costo de 14 400 soles. Si se pierde el 20% dela produccin por falta de calidad, a cunto tiene quevender el kilo para ganar el 25%?

a) S/.8,7 b) S/.7,5 c) S/. 9,3d) S/.9,3 e) S/.6,

Rpta.: b

Resolucin:

Produce: 3000 kgPierde: 20% (3000) = 600 kgVende: 2 400 kg

Precio de costo: S/.14400Costo: S/.14400Ganancia: 25%(14400) = 3 600

Precio de venta: S/.18000Precio de kilogramo

1800024000 =7,5 soles

Precio de venta: 125% (14400)Peso a vender: 80% (3 000)precio por kilo

1,25(14400)0,8(3000) =S/.7,5

La Madre de todaslas Batallas

Lewis Carrol, matemtico y escritor britnico,

cuyo verdadero nombre era Charles Lutmidge Dog-son. Se le conoce principalmente por su obra Aliciaen el pas de las maravillas , en la cual manifiesta suinters por lo absurdo, los acertijos y la confusin.

Un problema que se atribuye a l es el siguiente:"En una extraordinaria batalla, por lo menos el 70%de los combatientes perdi un ojo, el 75% una ore-ja, por lo menos el 80% perdi una mano y el 85%una pierna. Cuntos por lo menos perdieron los 4rganos?

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2) Una seora lleva 3000 naranjas al mercado yencuentra que el 20% est malogrado y slo pudovender el 70% de los buenos.

Cuntas naranjas quedaron sin vender?

3) Si a es el 25% de c y b es el 40% de c, qu parte deb es a?

2) A un cliente en una tienda se le concede undescuento del 20% sobre el precio del un artculo,luego va y lo compra en otra consiguiendo undescuento del 25% sobre el mismo repuesto,

consiguiendo un ahorro de S/.35. Cunto costabael repuesto?

3) El 50% de A es igual al 30% de B. Qu tanto porciento de "5A + 7B" es "A + B"?

1) En cierto momento de una esta el 60% de los

hombres estn bailando y el 20% de las mujeres nobailan. Si en total fueron 350 personas, cuntosbailaron ese momento?

1) De un conjunto de 800 personas, el 75% sonhombres y el resto mujeres. Sabiendo que el 80% delos hombres y el 15% de las mujeres fuman, cuntaspersonas no fuman de dicho conjunto de personas?

5) Si compr un televisor en $240 y lo quiere venderganando el 30% del costo, cul es el precio deventa?

6) Pedro vendi su bicicleta en $150 ganando el 25% delo que le cost. Cunto pag Pedro por la bicicleta?

5) Al vender una cocina en $170 se perdi el 15% delcosto.

Cul fue el precio de costo?

6) Se vendi un artculo en S/.450 ganndose el 25%del costo. Cul sera el precio de venta si se quiereganar el 40% del costo?

4) Cinco pantalones y veinte sacos cuestan S/.490. Si

el precio del pantaln disminuye en 10% y el preciodel saco disminuye en 5%, el costo de 5 pantalones

y 20 sacos sera S/.457. Cunto cuesta un saco yun pantaln?

4) Si cada una de las dimensiones de un paraleppedoaumentara en 20%, 50% y 40%, en cuntoaumentari su volumen?

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

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49



Clave:

1

Clave:

1

Clave:

2

Clave:

2



Si Juan gastara el 30% del dinero que tiene y ga-nase el 28% de lo que le quedara perdera S/156.Cunto tiene Juan inicialmente?

a) S/.1400 b) S/.1500 c) S/.1600

d) S/.1700 e) S/.1800

Resolucin:

El 10% del agua de mar es sal. Cunto litros deagua dulce se debe aadir a 80 litros de agua demar para que la concentracin de la sal sea de 4%?

a) 80 litros b) 110 litros c) 90 litros d) 120 litros e) 100 litros

Resolucin:

Un boxeador decide retirarse cuando tenga un80% de triunfos en su carrera. Si ha boxeado 60veces obteniendo 42 triunfos. Cul es el mnimonmero de peleas adicionales necesarias para queel boxeador se pueda retirar?

a) 25 b) 30 c) 15

d) 20 e) 50 Resolucin:

Gast el 60% de lo que no gast. Si inicialmentetena S/.320, con cunto me quedara si volvieraa gastar 50% ms de lo que gast al inicio?

a) S/.120 b) S/.180 c) S/.30 d) S/.15 e) S/.20

Resolucin:

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Clave:Clave:

Clave:Clave:

3

4

3

4

A qu precio se debe vender un reloj que costS/.255 si se quiere ganar el 15% del precio deventa?

a) S/.320 b) S/.300 c) S/.306d) S/.310 e) S/.380

Resolucin:

Un mayorista vende computadoras en $700,ganando el 20% del precio de venta. Cul es elprecio de costo de cada computadora?

a) $560 b) $480 c) $540d) $490 e) $504

Resolucin:

Se vende un lote de objetos de la siguiente manera: -El 50% ganando el 20%. -El 60% del resto perdiendo el 30% Qu porcentaje sobre el resto del lote debe ganar-

se para que la ganancia total sea el 7%?

a) 36% b) 30% c) 35%d) 40% e) 28%

Resolucin:

"A" vende un objeto a "B" ganando el 20%, "B"vende el objeto a "C" ganando el 25%, "C" vendeel objeto a "D" perdiendo el 10% y "D" vende elobjeto a "E" ganando el 40%. Si "E" pag S/.1134por el objeto, cunto gan "A" en la venta dedicho objeto?

a) S/.100 b) S/.135 c) S/.120d) S/.200 e) S/.150

Resolucin:

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51



5

6

5

6

Clave:Clave:

Clave:Clave:

Si el precio de un producto se rebaja en un 20%,en qu tanto por ciento hay que aumentar elnuevo precio para volverlo al precio original?

a) 20% b) 25% c) 30% d) 40% e) N.A.

Resolucin:

Pedro tiene una casa que vale $100 000 y se lavende a Juan con una ganancia del 10%. Juanrevende la casa a Pedro con una prdida del 10%,siendo as:

a) Pedro no gana nadab) Pedro gana $11 000

c) Pedro pierde $9 000d) Pedro gana $10 000

e) Pedro pierde $10 000

Resolucin:

Se vende dos filmadoras en $720 cada una. Enuna de ellas se gana el 20% del costo y en la otrase pierde el 20%. Cunto se gan o perdi en estaventa?

a) Se gan $60 b) Se perdi $60c) Se gan $80 d) Se perdi $80e) N o se gan ni perdi

Resolucin:

Se vendieron tres refrigeradoras en $660 cada una.En la primera se gan el 20%, en la segunda segan el 10%, qu tanto por ciento se gan en latercera, sabiendo que en total se gan $330?

a) 20% b) 16% c) 18%

d) 32% e) 40%

Resolucin:

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Clave:Clave:

Clave:Clave:

7


7

8 8

NOTA

Para fijar el precio de venta de un artculo se au-menta su costo en 40% y al momento de venderlose hace una rebaja del 10% del precio fijado. Qutanto por ciento del precio de costo se gana final-

mente?

a) 30% b) 20% c) 24%

d) 25% e) 26%

Resolucin:

Un tcnico compr un televisor en $200. Quprecio tiene que fijar para su venta teniendo encuenta que an haciendo al comprador una rebajadel 20% sobre el precio fijado todava gana un 25%sobre el precio que el cost el aparato?

a) $275 b) $325 c) $287,5 d) $235,5 e) $312,5

Resolucin:

Un objeto cost S/.2400. Qu precio se fij parasu venta al pblico, sabiendo que si al venderlose hacen dos descuentos sucesivos del 10% y 20%todava se gana el 20% del costo?

a) S/.3000 b) S/.3600 c) S/.4000 d) S/.2500 e) S/.2000

Resolucin:

A un artculo cuyo precio de lista es el 180% delcosto se le hace una rebaja del 25%. Cul es elporcentaje de utilidad con respecto al costo?

a) 25% b) 50% c) 35% d) 22,5% e) 40%

Resolucin:

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53



Captulo

7Inters

1. CONCEPTOSe denomina inters a la ganancia obtenida por elprstamo de una determinada cantidad de dinerodurante un cierto tiempo y bajo condiciones previamentesealadas en la tasa de inters.La regla de inters es el conjunto de procedimientosque permiten el clculo del inters con los elementospreviamente sealados.

2. ELEMENTOS

Es el dinero que ha sido prestado, impuesto o de-positado en una entidad nanciera.

Es aquel que seala la duracin del prestamo ex-presado en aos, meses o das.

Es el indicador que seala la ganancia a recibir porel prstamo del capital, generalmente expresadocomo un tanto por ciento del capital prestado y en

un perodo de tiempo sealado.

Tasa de inters del 20% anual indica que en un aose debe de ganar 20 unidades monetarias de cada100 prestadas.

Ejemplo:

Tasas equivalentes

Tasa 10% mensualtasa 30%trimestraltasa 120% anualTasa 12% mensualtasa 36%trimestraltasa 144% anualTasa 4% mensualtasa 12%trimestraltasa 48% anual

Para el tiempo se considera:Un ao comercial de 360 das.Un mes comercial de 30 das.Un ao comn de 365 das.Un ao bisiesto de 366 das.

Es el valor que resulta de sumar el capital prestadoel inters ganado, al trmino del prestamo.

Monto = Capital + Inters

Se ha prestado S/.750 por un ao, recibiendo uninters de S/.300. Qu monto se ha obtenido y qutanto por ciento se est ganando (tasa)?

Ejercicio 1

Capital=750 (se presta)

Monto=750+300=1050(se recibe)

Inters=300

gana

tiempo=1 ao

Se obtiene un monto de 1050.

r%= 100%= 100%=40%Interscapital

300750

3. INTERS SIMPLE

Aquel en el cual el capital permanece constante duran-te todo el tiempo que dura el prstamo.El valor del interes simple ganado por el prstamo deun capital C, durante t aos, impuesto a la tasa del r%

anual, est dado por:

I = Cr% t ... (1)

2.1. Capital (C)

2.2. Tiempo (t)

2.3. Tasa de inters (r)

2.4. Monto (M)

Resolucin:

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r100

n

Observacin

Se deposita 5000 soles en un banco a la tasa del 10%anual durante 2 aos. Qu monto se recibir al cabode dicho tiempo?

Ejercicio 2

I = 5000 10%(2) = 1000 solesEl monto recibido:

M = 5000+1000 =6000 soles

Para utilizar nicamente la expresin (1) se debe detener en cuenta que la tasa de inters y el tiempo debende estar en las mismas unidades de tiempo.

4. CLCULO DE DAS TRANSCURRIDOS

En el caso que el tiempo est dado en das, se utiliza losdas que tiene el calendario.

Cuntos das hay desde el 24 de marzo al 25 de junio?24 de marzo: El mes de marzo posee 31 das, como hantranscurrido 24, faltan 31-24=7 das.

Ejemplo:

Abril: Utiliza 30 das Mayo: Utiliza 31 das

25 de junio: Utiliza 25 das

Marzo Abril Mayo Junio24 marzo 25 junio

7 + 30 + 31 + 25

93 das

Resolucin:

Tasa 10% anual Al tercer ao el nuevo capitalformado es 1331 soles.

El inters ganado es 13311000=331 soles.

Para obtener el monto nal, que resulta de prestar uncapital C, a una tasa del r%, durante n perodos decapitalizacin se utilizar:

Ejemplo:

Cul es el inters producido por un capital de S/.2920prestado al 9% semestral, desde el 20 de julio hasta el18 de septiembre?, considerandoa.-Inters ordinariob.-Inters exacto

Calculando el nmero de das.

Julio Agosto Setiembre20 julio 18 septiembre

11 + 31 + 18

60 das

Segn el inters ordinario:

I= = S/.87,6

Segn el inters exacto:

I= = S/.86,4

Para realizar cualquier transaccin, la norma bancariaes el sistema que utilizan los bancos para calcular elinters mediante el inters ordinario con el nmeroexacto de das.

29201860 36000

29201860 36500

5. INTERS COMPUESTO

El inters obtenido en un determinado perodo seagrega al capital para formar un nuevo capital, para elsiguiente perodo. Este proceso se llama capitalizacin.

Se presta S/.1000 capitalizable anualmente al 10% anualdurante 3 aos. Qu inters se gana?

Ejemplo:

1 ao

C1=1000 C

2=1100 C

3=1210 C

4=1331

1 ao 1 ao

1.er

ao 2. ao 3.er

ao

Inters+100

Inters+110

Inters+121

M=C(1+r%)n

Donde la tasa y el nmero de perodos de capitali-zacin deben de estar en las mismas unidades de lacapitalizacin.

Ejemplo:

Halla el monto de un capital de S/.6000 colocado al12% de inters compuesto anual durante 3 aos.Resolucin:

Resolucin:

M=C 1+ M=6000 1+

M= S/.8429,568

12100

r100

3

7/23/2019 5-ARITMETICA 5to (1 - 16)

54/147

55



18/3

100

x383

n x mr/m

100

6. TASAS EQUIVALENTES Dos tasas son equivalentes cuando, dentro deperodos de capitalizacin diferentes, se cumple:

1+ = 1+

Donde m es el nmero de perodos de capitalizacinen un ao.

Si prestamos S/.2000 al 16% capitalizable trimestralmentedurante 3 aos, cul ser el monto?

Ejemplo:

M=C 1+ Donde 1 ao4 trimestres

m = 4 perodos de capitalizacin

r/m100

M=2000 1+ =2000(1,04)12=3202

Se recibe S/.3202 de monto.

3 x 416/4100

Se puede calcular de varias maneras:a) 6 meses3 bimestres; tasa 10% bimestral I=250010% (3)= S/.750

b) 6 meses;10% bimestral5% mensual. I=25005% (6)= S/.750

c) 6 meses1 semestre;10% bimestral30% semestral.

I=250030% (1)= S/.750

2. Halla el monto que produce S/.400 impuestos al 18%capitalizable cuatrimensualmente por 2 aos y 8 meses.

El tiempo indicado se expresa como fraccin de un ao:

2 aos 8 meses 2+ aos=

Tambin 1 ao 3 cuatrimestres.M=C 1+ M=400 1+

M=400(1,06)8 M=S/.637,54

83

812

ao

812

2

3

n x m

Resolucin:

Resolucin:

Resolucin:

3. Al cabo de qu tiempo un capital de S/.8000 se con-vierte en S/. 15625, cuando ha sido colocado al 25% deinters compuesto anual?

4. Se deposita 2500 al 20% anual, capitalizable trimestral-mente durante 6 meses. Determina el inters ganado.

M=C 1+ 15625=8000 1+

= = =

n = 3 aos

53

(22)3

56

n r100

n25100

2653

n

125100

n

54

3

54

n

54

Capitalizacintrimestral

20% anual 5% trimestral

6 meses 2 trimestres

M=2500(1+5%)2=2756,25

I = 2756,25 - 2500.

Se gana un inters: I = 256,25

5. Un capital depositado al 8% anual capitalizable semes-tralmente por un ao, origina un monto de 8112 soles.Qu inters se gana?

Capitalizacinsemestral

8% anual 4% semestral

1 ao 2 semestres

M=C(1+4%)2=8112 C= S/.7500.

El inters ganado: 8112 - 7500= S/.612

Resolucin:

Resolucin:

Resolucin:

r

100

n

n x mr/m

100

1. Qu inters se gana al prestar S/.2500 por 6 meses al10% bimestral?

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Resolviendo en claseResolviendo en clase1) Se depositan S/.4000 a una tasa de inters del

0,8% quincenal. Qu inters producir en cincoquincenas?

3) Durante cunto tiempo estuvo depositado uncapital al 5% de inters anual, si los interesesproducidos equivalen a la dcima parte delcapital?

2) Qu suma de dinero se debe depositar al 10%anual, para que en dos aos y medio se conviertaen S/.3750?

2) Un capital impuesto al 20% trimestral de interssimple se convirti al cabo de ocho meses enS/.49680. Cul fue el capital?

3) Un capital se impone al 5% mensual. En qutiempo se quintuplicar?

5) Los 2/5 de un capital se prestan al 30% y el restose presta a una tasa de manera que ambos capitales

para un mismo tiempo producen el mismo inters.Cul es la tasa desconocida?

6) La diferencia de los capitales es S/.15000. Si seimpone el mayor al 4% anual y el menor al 12% yluego de 18 meses los intereses son iguales, cules el capital mayor?

4) Un capital se presta al 50%. En qu tiempoproduce el 25% del monto?

5) La octava parte de un capital se deposit al 35%.Los 3/7 del resto al 40% y el saldo a cierta tasa quepermiti obtener una utilidad anual de 45% sobredicho capital, a qu tasa se coloc el saldo?

6) Luis coloca un capital al 25% y Pedro el suyo al12% observndose que a los cinco aos los montosobtenidos son iguales. Si el capital de Pedro excedeen S/.780 al capital de Luis, calcula la suma decapitales.

4) Si un capital de $239200 es dividido en tres

partes para imponerlas al 50%, 45% y 55%respectivamente, resulta que producen el mismointers. Halla la parte impuesta al 45%.

1) Karina deposit en el banco de Lima S/.3000 a unatasa de inters simple del 2% mensual. Cunto ganaren dos aos?

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

7/23/2019 5-ARITMETICA 5to (1 - 16)

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57



Clave:

1

Clave:

1

Clave:

2

Clave:

2



Se tiene dos capitales tales que los 3/4 del primeroigualan a los 4/5 del segundo. Si colocamos al 9%trimestral durante 4 meses los 2/3 del primero y ala mitad del segundo se obtendr S/.3270 comorenta total. Halla el capital menor.

a) S/.20500 b) S/.22500 c) S/.24000 d) S/.25000 e) S/.20000

Resolucin:

Se sabe que S/.54000 es la suma de los capitales dedos personas. La primera impone su dinero al 4%durante tres meses y recibe un inters doble delque tendra la segunda persona imponiendo el suyoal 5% durante 6 meses. Indica el capital menor.

a) S/.8000 b) S/.7200 c) S/.6000 d) S/.12000 e) S/.9000

Resolucin:

A qu tasa mensual debo imponer mi dinero sa-biendo que tengo S/.1200 y dentro de ocho mesesdebo comprar un artefacto que actualmente cuestaS/.1400 y que al cabo de dicho tiempo su precioaumentar en un 20%?

a) 5% b) 17,5% c) 10%

d) 15% e) 12% Resolucin:

Si un capital depositado a una tasa anual del r% produce un inters que representa el 18% delcapital en cuatro meses, halla r.

a) 48% b) 58% c) 50% d) 60% e) 54%

Resolucin:

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Clave:Clave:

Clave:Clave:

3

4

3

4

Un capital impuesto al 1% mensual de interssimple produce anualmente 300 soles ms que sise impusiera al 10% anual. Halla dicho capital.

a) S/.6000 b) S/.24000 c) S/.10000 d) S/.20000 e) S/.15000

Resolucin:

Un capital se divide en tres partes iguales lascuales se imponen al 14%; 17% y 19% anual. Alcabo de cunto tiempo producir un inters igualal capital?

a) 2 aos b) 5 aos c) 4 aos d) 8 aos e) 6 aos

Resolucin:

Un capital es impuesto al 0,2% diario durante 10meses y produce S/.2784 ms que si se pusiera al0,2% mensual durante el mismo perodo de tiempo.Halla el capital.

a) S/.4000 b) S/.3200 c) S/.4800 d) S/.4200 e) S/.3600

Resolucin:

Un capital depositado al 12% anual ha producidoun inters equivalente a 1/9 del monto. Cuntosdas dur el depsito?

a) 300 b) 325 c) 350

d) 365 e) 375

Resolucin:

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59



5

6

5

6

Clave:Clave:

Clave:Clave:

Se prest un capital por un ao y el monto fueS/.5500 pero si se hubiera prestado por dos aossera S/.6000. Cul sera el monto en cuatro aos?

a) S/.12000 b) S/.7000 c) S/.9000 d) S/.6500 e) S/.8000

Resolucin:

Hace 6 meses se impuso un cierto capital, cuyomonto actual es S/.6200. Si dentro de un ao elmonto ser S/.8600, cul fue la tasa de inters?

a) 20% b) 38% c) 42% d) 48% e) 60%

Resolucin:

Dos capitales que suman S/.14300 son impuestos,uno al 12% y el otro al 10%, durante el mismotiempo, produciendo igual inters. Cul es elmenor capital?

a) S/.6000 b) S/.7200 c) S/.6200 d) S/.7800 e) S/.6500

Resolucin:

Un capital de S/. 3450 se divide en dos partes. Laprimera se deposita al 15% y la segunda al 12%, yresulta que al cabo de un ao los intereses obteni-dos estn en la relacin de 2 a 3. Halla la menorde las partes en la que fue dividido el capital.

a) S/.1000 b) S/.2500 c) S/.1200 d) S/.2250 e) S/.1450

Resolucin:

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Clave:Clave:

Clave:Clave:

7


7

8 8

NOTA

La relacin de dos capitales es de 4 a 11. La re-lacin entre los intereses producido despus dealgn tiempo es de 7 a 22. Si el segundo capitalest impuesto al 16% anual, cul es la tasa deimposicin del primer capital?

a) 14% b) 16% c) 10% d) 12% e) 15%

Resolucin:

Los 5/7 de un capital colocado al 3% produceanualmente S/.420 ms que el resto colocado al4%. Cul es el capital?

a) S/.28000 b) S/.56000 c) S/.63000 d) S/.42000 e) S/.40000

Resolucin:

Se ha colocado los 3/8 de un capital al 8% anualy el resto al 6% anual. Si al cabo de medio ao elcapital ms el inters total suman S/. 41350, cules la suma depositada al 6%?

a) S/.36000 b) S/.20000 c) S/.40000 d) S/.16000 e) S/.25000

Resolucin:

Un capital se deposita al 20% semestral durante 18meses. Si el mismo capital se hubiera depositadoal 18% trimestral durante 20 meses, cul sera larelacin de los intereses obtenidos?

a) 1/2 b) 2/3 c) 3/4 d) 2/5 e) 3/5

Resolucin:

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61



Captulo

8Estadstica

Es una ciencia que nos porporciona un conjunto de m-todos y procedimientos para la recoleccin, clasicacin,organizacin, presentacin, anlisis e interpretacin dedatos en forma adecuada con el n de realizar una teorade decisiones ms efectivas.

Ejemplo:

CLASES DE ESTADSTICA

ESTADSTICA DESCRIPTIVAEs la parte de la estadstica que trata de recopilar, clasicar,

presentar y describir datos estadsticos.

ESTADSTICA INFERENCIALEs la parte de la estadstica cuyo objeto de estudio es in-vestigar cmo deben ser utilizados los datos para producirresultados o probar alguna hiptesis.

OBSERVACIN:La diferencia entre la estadstica descriptiva y la inferenciales que la segunda usa el clculo de la probabilidad.

POBLACIN:Es un conjunto de datos referentes a determinadas caracte-rsticas de un grupo de individuos o elementos.

La edades de los alumnos de la UNI.

MuestraEs el subconjunto tomado al azar de los elementos de unadeterminada poblacin.

Las edades de los alumnos de la facultad de Mecnica.

DEFINICIONES PREVIAS

ANCHO DE CLASE (W):Es la diferencia que hay entre los extremos de cada inter-valo de clase.

DISTRIBUCIN DE FRECUENCIASConsiste en distribuir los datos de la muestra de clase ocategoras e ir colocando el nmero de datos que caen encada intervalo.

ALCANCE (A):Es el intervalo denido por los datos extremos (mayor ymenor valor).

INTERVALO DE CLASE O CATEGORA (Li):Son grupos que resultan de dividir el alcance o recorrido; elnmero de grupos (K) se determina por la regla propuestapor Sturges.

K = 1 + 3,32 logn

(redondeando al entero superior e inferior segn conven-ga).

Donde:n: nmero total de datos disponibles.

RANGO O RECORRIDO (R):

Es la longitud de alcance que resulta de la diferencia entreel mayor y menor valor.

DEFINICIN

Ejemplo:

Ejemplo:

Sea el intervalo [Li; Li+1 W = L

i+1 L

i

tambin : W =RK

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Calculando el ancho de clase:

W = = = 6,86 7Con los siguientes datos encontradosharemos una tabla de distribucin defrecuencia.

R

K

48

7

FRECUENCIA ABSOLUTA (fi):Es el nmero de datos que caen dentrode cada intervalo de clase.

FRECUENCIA RELATIVA (hi):Viene a ser el cociente entre la fre-cuencia absoluta y el nmero total dedatos.

Donde n : nmero de intervalos.

j = 1

iF

i= f

j

Donde : i = 1, 2, 3, ..., k

FRECUENCIA RELATIVA ACUMULADA (H)

FRECUENCIA ABSOLUTA ACUMULADA (Fi):Es aquella que resulta de sumar sucesivamente las frecuencias absolutas.

Suponiendo k intervalos. F

1 = f

1 F

2 = f

1+ f

2 F

3 = f

1+ f

2+ f

3

F(k)

= f1+f

2+f

3+...+f

k=n

Es aquella que resulta de sumar sucesivamente las frecuencias relativas.

H1= h

1

H2= h

1+ h

2

H3= h

1+ h

2+ h

3

H

(k)= h

1+h

2+h

3+...+h

k=1 Donde : i = 1, 2, 3, ... k

fin

hi=

j = 1

jH

i= h

j

Li ; Li+1 Tabulacin fi Fi hi Hi xi

[ 46 ; 53 3 3 49,5

[ 53 ; 60 7 10 56,5

[ 60 ; 67 6 16 63,5

[ 67 ; 74 19 35 70,5

[ 74 ; 81 8 43 77,5

[ 81 ; 88 4 47 84,5

[ 88 ; 95 3 50 91,5

350

350

750 1050

650

1650

1960

3550

850

4350

450

4750

350

5050

Ejemplo:

PROBLEMA APLICATIVO:Se tiene los pesos de 50 estudiantes dela UNI con una aproximacin de 1 kg.

73 67 67 60 61 67 57 59 57 77 69 76 52 69 72 76 77 94 77 93

79 70 68 72 63 47 82 70 67 80 70 85 70 73 58

58 67 68 66 86 79 88 67 54 56 64 46 63 84 74

Calculando el alcance:Dato mayor : 94Dato menor : 46

A = [ 46 ; 94 ]

Calculando el Rango:

R= 94 46 = 48

Calculando el nmero de intervalos:Si n = 50; (n = nmero de datos)

K = 1 + 3,32 log(50) = 6,617

MARCA DE CLASE (x):Son los puntos medios de los intervalosde clase.

Sea el intervalo [Li; Li+1

xi=

Ejemplo:

Li+Li+12

CALCULANDO LAS FRECUENCIAS ABSOLUTASDel conjunto de datos se puede observar cuantos de stos caen en cada inter-valo de la distribucin de frecuencias; este nmero de datos se ir colocandoen sus respectivos casilleros hasta llenar toda la columna.

CALCULANDO LAS FRECUENCIAS ABSOLUTAS ACUMULADAS

F1 = 3

F2 = 3 + 7

F3 = 3 + 7 + 6

F4 = 3 + 7 + 6 + 19

F5 = 3 + 7 + 6 + 19 + 8 F6 = 3 + 7 + 6 + 19 + 8 + 4

F7 = 3 + 7 + 6 + 19 + 8 + 4 + 3

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CALCULANDO LAS FRECUENCIAS RELA-TIVAS

h1= h

2=

h

3= h

4=

h5= h

6=

h7=

CALCULANDO LAS FRECUENCIASRELATIVAS ACUMULADAS

H1=

H2= +

H3= + +

H4= + + +

H5= + + + +

H6= + + + + +

H7= + + + + + +

350

750

1950

450

350

850

650

350

350

750

350

750

650

350

750

650

1950

350

750

650

1950

850

350

750

650

1950

850

450

350

750

650

1950

850

450

350

GRFICOS

Histograma:Son diagramas de barras o rectngulos cuyasbases son los intervalos de clase y las alturas las frecuenciasabsolutas o relativas.

GRFICO DE SECTORES

0 4 8 12 16 20Ii

1

234567 Histograma

Polgono deFrecuencia

fi

Preferencia N. de Expresado Expresado

Personas en grados en porcentajes

Aritmtica (A) 60 144 40 %

lgebra (X) 20 48 13,3 %

Geometra (G) 30 72 20 %

Trigonometra (T) 40 96 26,7 %

Total 150

En grados:

150 360 x = = 144 60 x

En porcentaje:

360 100% y= = 40% 144 y

60 .

360150

144 .100%360

Diagrama Escalonado:Son diagramas similares al histo-grama, con la diferencia de que las alturas son frecuenciasabsolutas o relativas acumuladas.

Ii

Ojiva

Diagramaescalonado

2

13

20

6

17

Fi

4 8 12 16 20

A

40%G20%

T26,7%

X13,3%

PORCENTAJES

GRADOS

144

72

96

48

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Describen el comportamiento del grupo de valores en es-tudio de una caracterstica de la muestra.

As tenemos para datos no clasicados:

MEDIA, MEDIANA Y MODA PARA DATOS NOCLASIFICADOS

Media (Ma):

Las notas del joven Antonio en su primer ciclo en la UNIen Matemtica I, fueron:

Su nota media o promedio ser:

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL(ESTADGRAFOS)

Llamada tambin promedio aritmtico o media aritm-tica de los datos.

Ejemplo:

8, 12, 10, 11

Que se han repetido:

2, 1, 2 y 3, veces

8(2)+12(1)+10(2)+11(3)8 = 10,125

Antonio aprob el curso.

Mediana (Me):El valor mediano o mediana de un conjunto de valores odatos es aquel que tiene la propiedad de dividir al conjuntoen 2 partes igualmente numerosas. Si el nmero de elemen-tos fuese par hay 2 elementos en el centro y como medianatomamos el promedio de ambos.

Ejemplo:

Se observ que el coeciente de inteligencia de 5 alumnos dela UNI, los cuales estn ordenados de mayor a menor, son:

220 180 110 110 100

por lo tanto la inteligencia mediana de los alumnos serde 110.

Ejemplo:

Para dictar la clase de aritmtica poseo 6 tizas de diferentescolores, cuyos pesos, ordenados de menor a mayor, son:

10 10 14 27 30 32

por lo tanto la mediana ser:14 + 272

= 20,5

Es el valor que se presenta con mayor frecuencia en ungrupo de datos. A una distribucin que tiene una sola modase le denomina unimodal. Si hubiese ms de dos valores noadyacentes con frecuencias mximas similares; la distribu-

cin es multimodal, bimodal, trimodal, etc.

Moda (Mo):

Ejemplo:

Las edades de los alumnos ingresantes a la facultad deIngenera Mecnica fueron:

de 16 aos 25 alumnosde 17 aos 32 alumnos

de 18 aos 46 alumnos de 19 aos 23 alumnos de 20 aos 40 alumnos de 21 aos 27 alumnos de 22 aos 12 alumnos

por lo tanto la moda de edades ser 18.

MEDIA, MEDIANA Y MODA PARA DATOSCLASIFICADOS

Media Aritmtica(Ma)

Ma = n

i=1x

ih

ii=1 n

xif

i

k

=

Ejemplo:

[Li; Li +1 xi fi xifi

[5 -7 6 1 6 [7 -9 8 5 40 [9 -11 10 4 40 [11 -13 12 6 72 [13 -15 14 2 28 [15 -17 16 2 32 Total 20 218

Ma =21820 =10,9

Mediana (Me)

Me = Lm+ W

m

m2

-fm-1

Fm

Donde:L

m: Lmite inferior de la clase mediana.

Wm: Ancho de la clase mediana.

m: Nmero total de datos.

fm-1: Frecuencia absoluta acumulada de la clase queprecede a la clase mediana.F

m: Frecuencia absoluta de la clase mediana.

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65



Ejemplo:

[Li-Li +1 xi fi [ 4 0 0 0 -

4200 80 80 [4200 -4400120 200

[4400 -4600 125 325[4600 -4800 99 424[4800 -5000 88 512[5000 -5200 78 590[5200 -5400 10 600

Total 600

Clase mediana: Aquel que supera por primera vez a la mitaddel nmero de datos.

[4400 -4600

Me=4400+200 =45606002

- 200

125

Moda (Mo)

Mo= L

o+ W

o

d1d1 +d2

Donde:L

o: Lmite inferior de la clase modal.

Wo: Ancho de la clase modal.

d1: Diferencia entre la frecuencia de la clase modal y dela clase anterior.d

2: Diferencia entre la frecuencia modal y la frecuencia

de la clase siguiente.

Ejemplo:

Clase modal: Aquel que posee la mayor frecuencia absoluta. [30 -40

d1= 10 -2 = 8 d2= 10 -8 = 2

Mo = 30 + 10 88+2= 38

[Li ; Li -1 fi

[20 -30 2[30 -40 10

[40 -55 8[55 -65 6[65 -85 2

Total 28

d1

d2

1) En una empresa se realiz una encuesta sobre las edadesde los empleados, obtenendose:

Edades N de empleados

[25; 30> 60

[30; 35> 75

[35; 40> 120

[40; 45> 85

[45; 50> 60

Donde A es el porcentaje de empleados con 30 aos oms y B es el porcentaje de empleados con menos de 45aos Halla: A+B.

Resolucin:

Empleados con ms de 30 aos:f2+f

3+f

4+f

5=75+120+85+60=340

A= x100%=85%340400

Empleados con menos de 45 aos:f1+f

2+f

3+f

4=60+75+120+85=340

B= x100%=85%340400

A+B=85%+85%=170%

2) Dada la siguiente distribucin de frecuencias en base alingreso familiar de 450 familias:

Ingreso f F

[ ; > a

[240; > 80

[ ; > 2a+40 5a

[ ; >

[ ; 400> a-20

Si el ancho de clase es constante, cuntas familiastienen un ingreso comprendido entre 300 y 380 soles?

Rpta.: 170%

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Resolucin:

Se cumple: 240+4w=400 w=40

Tambin: f1=Fi=a F3=f

i+f

2+f

3

5a=a+80+2a+40 a=40

Tambin: fi=450

60+80+160+f4+40=450 f

4=110

5

i=1

Ingreso fi

[200; 240> 60

[240; 280> 80

[280; 320> 160

[320; 360> 110

[360; 400> 40

}Entre 300 y

380 soles.

3) La siguiente ojiva muestra las frecuencias absolutas acu-muladas correspondientes al ingreso diario (en soles) deun cierto nmero de empleados.

200

180

120

7030

0 20 30 40 50 6010 Ingresos

Cuntos empleados ganan entre 20 y 45 soles?

De la ojiva se forma la tabla:

Resolucin:

Sueldos Fi

[10; 20> 30 30

[20; 30> 70 40

[30; 40> 120 50

[40; 50> 180 60

[50; 60> 200 20

En [20;40> hay 40+50=90, lo que corresponde a[40;45> lo averiguamos mediante una interpolacin.

[40;45> x[40;50> 60

Entonces entre 20 y 45 hay 90+30=120

x= =3060(45-40)

50-40}

4) El histograma muestra la distribucin de frecuenciasde las edades de los ingresantes a cierta facultad. Quporcentaje de ingresantes tienen entre 18 y 22 aos?

I hi (%)

[15; 17> 36 28,8%

[17; 19> 54 43,2%

[19; 21> 27 21,6%

[21; 23> 8 6,4%

Resolucin:

Rpta.: 210

f3=

160

f4=110 f

5= 40

280 300 320 360 380 400

80+110+20=210

80 20

N. de empleados

Rpta.: 120

36

27

8

0 15 17 19 21 23 Edades

54

Total 125

43,2% 21,6% 6,4%

17 18 19 21 22 23

En la tabla:

43,2%2

De 18 a 22 se tendr:

+21,6%+ =46,4%6,4%

2Rpta.: 46,4%

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67



5) Las notas de 7 alumnos son: 08, 09, 10, 11, 08, 12, 14un alumno aprueba si su nota es mayor que la media oque la mediana. Cuntos aprobaron?

Resolucin:

Me : se ordena las 7 notas: 8; 8; 9; 10; 11; 12; 14

Trmino central Me = 10

Las notas aprobatorias son: 11; 12 y 14

Rpta.: 3

6) Conocida la siguiente distribucin de frecuencias relati-vas acumuladas:

Ii Hi[4; 8 a[8; 12 2a[12; 16 4a[16; 20 7a[20; 24 11a[24; 28 12a

Calcula la suma de la media aritmtica, la mediana yla moda.

Resolucin:

De la tabla se forma:

1 1 1 2 2 4 3 7 4 11

1 12

Relacin hi Relacin Hi

clase mediana

clase modal

x = =10,288+9+10+11+8+12+147

Para el clculo de x, Me y Mo, basta tomar la relacinen que aparecen: h

i( f

i) y H

i( F

i)

iii)Mo = 20+ 4x (4 -3)(4 -3)+(4 -1)

= 21

Rpta.: 57,3

ii) Me = 16+ 4x (12/2 -4)3

= 18,6

Luego: x +Me + Mo = 57 = 57,313

i)1(6)+1(10)+2(14)+3(18)+4(22)+1(26) 1+1+2+3+4+1

= 17,6x =

8) Si la moda de la variable aleatoria x es un nmero impar,halla la M.A.

xi fi3 104 125 18+x6 18+y7 48 89 15

10 10

Total: 100(x -y)= 1

Resolucin:

fi= 100 = x

1+ x

2+...+x

8

Se obtiene: x+y = 5 ... ()

Como la moda es impar, debe corresponder Mo = 5donde x > y, luego x -y = 1 ... ()

De () y (): x = 3 y = 2 xifi fi

630

100 = 6,3=x =Rpta.: 6,3

7) En el siguiente grco de frecuencias:

a 1412 160

4

8

20

fi

x

Si la M.A. es 11, 9, halla "a".

Llevando a una tabla:

Ii x

i f

i

[0, a a/2 4[a, 12 (12+a)/2 8[12, 14 13 20[14, 16 15 8

Total 40

Como: x = 11,9Se obtiene: a = 8 Rpta.: 8

Resolucin:

(4)+ 8+13x20+15x8

40

12+a2

a2 x=

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Enunciado:Se muestra la siguiente tabla de distribucin del nmerode trabajadores de un ministerio, de acuerdo a suocupacin.

xi

Ocupacin

Administradores

Ingenieros

Abogados

Obreros

Secretarias

fi

N. de personas

12050

809060

n=400

Fi

hi

Completa la tabla y responde las siguientes preguntas:

1) Cul es la frecuencia relativa de los abogados?

2) Halla el porcentaje de administradores.

3) Halla F3

.

Enunciado:

La tabla muestra una distribucin de frecuencias delos salarios semanales en, soles, de 80 empleados de lacompaa SARITA S.A.

Completa el cuadro y responde:

1) La frecuencia absoluta de la tercera clase es:

2) Qu porcentaje de trabajadores ganan entre 150y 160 soles?

3) Qu porcentaje de trabajadores gana menos de130 soles?

Salario(soles)

[100; 110>[110; 120>[120; 130>[130; 150>[150; 160>[160; 170>

Nmero deempleados

8 12

24 14 6

n=80

Fi

74

(fi) h

i

0,15

Hi

0,450,20

6) El gobierno decide destinaruna suma de S/. 400000 parael desarrollo de un pueblo dela selva, la cual ser invertidaslo en educacin, vivienda yalimentacin. Si el diagramacircular muestra como se hadistribuido el dinero.Cunto se ha destinado a laeducacin?

20%

45%

Alimentacin

Educacin

Vivienda

5) De la siguiente tabla dedistribucin de frecuencias,calcula: f

2-f1+n

Clases

[10, 20>

[20, 30>

[30, 40>

[40, 50>

[50, 60>

fi

25

20

hi0,1

0,3

Hi

0,8

Fi

4) El siguiente cuadro corres-ponde al ingreso semanal(en soles) de cierto nmerode obreros. Calcula cuntosempleados se estima queganan entre S/.125 y S/.260.

I

[100, 150>

[150, 200>

[200, 250>

[250, 300>

fi50

5

hi

0,30

Fi Hi

0,95

4) Complet a la s iguien te

tabla de distribucin defrecuencias e indica qutanto por ciento del totaltienen edades desde 20 hasta33 aos.

Ii[10, 20>[20, 30>

[30, 40>

[40, 50>

[50, 60>

fi

24

30

hi0,1

0,3

Hi

0,85

Fi

Edades

[12, 18>

[ , 24>

[ , 30>

[ , 36>

fi

40

20

hi

0,30

Fi0,10

5) Dada la siguiente distribucinde frecuencia halla:

f1+f

3+F

4

Ropa36

Otros54

Vivienda10%

Alimen-tacin20%

Educacin45%

6) Para el siguiente grco: Qu se puede afirmar

si la persona tiene uningreso de S/. 300?I. La persona gasta S/.

135 en educacin.II. Ga s t a i g ua l en

vivienda y en ropa.III.En alimentacin gasta

S/.50.

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

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69



Clave:

1

Clave:

1

Clave:

2

Clave:

2



Dado el siguiente histograma:

Determina la frecuencia relativa del segundo in-tervalo de clase.

a) 20% b) 25% c) 27% d) 30% e) 32%

Resolucin:

En el siguiente cuadro de frecuencias:

Determina la suma de las frecuencias relativas delprimer y tercer intervalo de clase.

a) 0,36 b) 0,50 c) 0,60 d) 0,45 e) 0,55

Resolucin:

Completa la siguiente tabla de distribucin defrecuencias e indica el valor de f

1+F

3.

a) 24 b) 40 c) 50 d) 34 e) 44

Resolucin:

Ii[20-30>[30-50>[50-80>

[80-90>Total

Fi8

912

1140

Ii[20-30>[ -40>

[ -50>[ -60>

Total

fi

201050

Fi hi0,08

Hi

0,40

19

50 70 80 100 110 125

151286

fi

Ii

Observa el siguiente histograma de frecuencias ycompleta la tabla de frecuencias que est debajo.

Calcula x3+ f

5+ F

4+ n.

a) 135 b) 136 c) 137 d) 138 e) 139

Resolucin:

5 10 15 20 25

20

17

10

4

Clases xi f

i F

i

0 5

5 10

10 15

15 20

20 25

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Clave:Clave:

Clave:Clave:

3

4

3

4

El siguiente diagrama muestra el nmero de alum-nos que llegaron tarde la semana pasada al colegioMENTOR.

3) Cuntas tardanzas se registraron en toda la semana?

a) 120 b) 115 c) 130 d) 145 e) 150

Resolucin:

40

30

25

20

0 Lun Mar Mier Jue Vie

fi1 N. de alumnos

Dado el siguiente conjunto de datos: 6; 8; 13; 4; 12; 12; 8; 7; 4; 13; 15; 7; 8 Calcula la media aritmtica, moda y mediana.

a) 6; 8; 9 b) 6; 9; 9 c) 9; 8; 8d) 9; 8; 10 e) 10; 9; 8

Resolucin:

Luego de un examen, las notas de once alumnosfueron:

04; 06; 09; 10; 11; 13; 11; 14; 11; 12 y 15 Calcula la suma de la mediana y la moda.

a) 20 b) 30 c) 22 d) 32 e) 24

Resolucin:

Del grco, halla la media, mediana y moda. Dacomo respuesta su suma.

a) 21 b) 20,8 c) 20,4

d) N.A. e) 20,6

Resolucin:

2 74 10

10

fi

9

2

5

8

12

Yi

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70/147

71



5

6

5

6

Clave:Clave:

Clave:Clave:

En la siguiente distribucin:

calcula la suma de la media, mediana y moda.

a) 36 b) 38,45 c) 36,65 d) 38,65 e) 20,25

Resolucin:

En la siguiente distribucin:

Halla el promedio entre la mediana y la moda.

a) 23 b) 25 c) 23,6 d) 22 e) 24

Resolucin:

Edades

(aos)fi

20 522 424 626 328 2

Edades

(aos)fi

10 6

11 712 813 414 1215 3

Dada la distribucin:

Determina la suma de la media, mediana y moda.

a) 199,6 b) 204,1 c) 201,2 d) N.A. e) 202,6

Resolucin:

Ii

[35;45>

[45;55>

4

8

[55;65>

[65;75>

[75;85>

10

15

13

Determina la moda de la siguiente distribucin:

a) 2,43 b) 2,65 c) 2,35 d) 2,56 e) 2,25

Resolucin:

Ii fi[0;1> 3

17

5

[1;2>

[2;3>

[3;4>

[4;5>

10

8

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Clave:Clave:

Clave:Clave:

7


7

8 8

NOTA

24) Dada la distribucin:

halla la mediana.

a) 61,67 b) 61,84 c) 60,54 d) 62,21 e) 59,72

Resolucin:

Ii fi[35;45> 5

12[45;55>

[55;65>[65;75>[75;85>[85;95>

181463

25) Se muestra la frecuencia de la cantidad de bolasmetidas en 2 horas por Renzo y sus amigos:

Calcula la mediana.

a) 43 b) 46 c) 46,25 d) 47 e) 47,25

Resolucin:

Dado la siguiente ojiva acerca de las edades decierto nmero de alumnos. Qu porcentaje tienenentre 10 y 15 aos?

a) 22% b) 18% c) 21% d) 23% e) 20%

Resolucin:

El siguiente cuadro muestra la ojiva de frecuenciarelativa acumulada porcentual de las notas de unexamen de ingreso a la UNI. Qu porccentaje dealumnos obtuvieron una nota entre 9 y 15?

a) 32,75% b) 33,75% c) 23,79% d) 33,25% e) 33%

Resolucin:

Notas4 128 16 20

30

5065

95100

Hi % Hi

127 17 22 b

0,550,45

0,250,10

a

aos

[10 -20>

12

2

[20 -30>[30 -40>[40 -50>[50 -60]

358

Ii fi

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73



Captulo

9Conjunto y Operacionesentre Conjuntos

CONJUNTO

1. Notacin Generalmente los conjuntos se denotan por letrasmaysculas A, B, C, ..., etc. y los elementos por letrasminsculas, maysculas u otros smbolos, separados porcomas y encerrados entre llaves.

Si un elemento est en un conjunto o es parte de l, diremosque "PERTENECE" a dicho conjunto y lo denotaremos conel smbolo "", en el caso de no pertenecer por "".

3.1. POR EXTENSIN

Ejemplos:

A = {Lunes, Martes, Mircoles, Jueves, Viernes, Sbado,Domingo}

B = {Jorge, Alberto, Mario, Manuel, Nstor, Ricardo}C = {3; 5; 12; 18}

2. Relacin de Pertenencia ()

Ejemplo:

3. Determinacin de Conjuntos Existen dos formas de determinar un conjunto.

Cuando se nombran todos los elementos queconforman el conjunto.

A = {a; m; o; r}B = {1; 3; 5; 7; 9}

3.2. POR COMPRENSIN

Cuando se menciona una o ms caractersticascomunes a todos los elementos del conjunto.

A = {x/x es una letra de la palabra aroma}B = {x/x es un nmero impar menor que 10}

3.3. POR DIAGRAMAS DE VENN - EULER

Se escriben los elementos encerrados en figurasgeomtricas.

A

B

a ei o u

1 2 0 3 4

Entonces: 2 A 4 A

7 A

El trmino CONJUNTO es aceptado en matemticascomo un "CONCEPTO PRIMITIVO", es decir, se aceptasin denicin. Intuitivamente, un CONJUNTO es unacoleccin o agrupacin de objetos llamados elementos.

i) El conjunto de los das de la semana. ii) El conjunto de profesores CEPREUPLA iii) El conjunto de los nmeros 3; 5; 12 y 18.

Ejemplos:

Dado el conjunto, A = {2; 5; 7; 8}

Ejemplos:

Ejemplos:

Ejemplos:

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4. Conjuntos Especiales

4.1. CONJUNTO VACO O NULO

Es aquel conjunto que carece de elementos. Se ledenota por: o {}.

A = {x/x N 6

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75



Diagrama lineal

El que A B se representa por:

B

A

Ejemplos:

Por ahora se considerar:

N Z Q R C C

R

I Q

Z

N

7. Conjunto Potencia

Dado el conjunto A, se denomina conjunto potencia de Ay se denota por P (A), al conjunto cuyos elementos son todoslos subconjuntos de A.

Ejemplo:

Si A = {2; 5};entonces: P(A)= {; {2};{5};{2,5}}siempre es un subconjunto A.

Nota: Un conjunto nito A tiene como cardinal n (A).

Se cumple: n[P(A)] = 2n(A)Donde: n[P(A)] es el nmero de elementos delconjunto potencia o nmero de subconjuntos delconjunto A.

Ejemplo:

Si n (A) = 5n[P(A)] = 2n(A) =25 = 32Es decir, A tiene 32 subconjuntos.

OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS

OPERACIONES ENTRECONJUNTOS

Unin Interseccin Diferencia

Complementacin DiferenciaSimtrica

Unin o reunin ()

Dados dos conjuntos A y B , se llama unin o reunin alconjunto formado por los elementos que pertenecen a A,

a B o a ambos a la vez.

Notacin: A B = {x/x A x B}(:se lee "o" )

Ejemplo:

Sean los conjuntos: Entonces

A = {1; 2; 3; 6} A B = {1; 2; 3; 4; 6; 7; 8}B = {2; 4; 6; 7; 8} B C = {2; 4; 6; 7; 8}C = {4; 7; 8} A C = {1; 2; 3; 4; 6; 7; 8}

PROPIEDADES:Las mas importantes son:

i) AB = BA (Conmutativa)

ii) AA = A (Idempotencia)iii) A = Aiv) AU = U

AUB

A

1

36

B4

7

8

2

B

2

BUC

6

48

7

C

A C1

3

2

67

4

8

AUC

Grcamente:

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Interseccin ()

Dados dos conjuntos A y B, se llama interseccin al conjuntoformado por los elementos que pertenecen a A y B a la vez;es decir, es el conjunto formado por los elementos comunes

a A y B.Notacin:A B = {x/x A x B}(:se lee "y" )

Ejemplo :

Sean los conjuntos:A = {1; 2; 3; 6}B = {2; 4; 6; 7; 8}C = {4; 7; 8}

entonces:

A B = {2; 6} B C = {4; 7; 8} A C = {}

Grcamente:

B

2

6

C

74

8

BC

A C

1

3

2

67

4

8

AC =

PROPIEDADES: Las ms importantes son:

i) AB = BA

ii) AA = Aiii) A= iv) AU = A

Diferencia (-)

Dados dos conjuntos A y B, se llama diferencia de A y B,al conjunto formado por todos los elementos de A y queno pertenecen a B; es decir, es el conjunto formado por los

elementos que pertenecen exclusivamente a A.Notacin:A - B= {x/xAxB}

A B

1

3

4

7

8

AB

2

6

Ejemplo:

Sean los conjuntos: A = {1; 2; 3; 6} B = {2; 4; 6; 7; 8} C = {4; 7; 8}

entonces: A - B = {1; 3} B - C = {2; 6} A - C = {1; 2; 3; 4}

Graficamente:

A B

1

3

4

7

8

A-B

2

6

B

2

6

C

74

8

B-C

A C

1

3

2

67

4

8

A-C

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77



Notacin:A' = AC= {x/x U x A}

Ejemplo :

Sean los conjuntos: U = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}

A = {1; 3; 4; 7; 8}

Grcamente

entonces: A' = {2; 5; 6}

Complemento de un Conjunto (AI; Ac)

Dado un conjunto A que est incluido en el universoincluido en el universo U, se denomina complemento delconjunto A, a todos los elementos que estn afuera de A,

pero dentro de universo.

A'

U

2

A

5

3

7

48

6

1

PROPIEDADES:Las ms importantes son:

i) A B = B Aii) A A = iii) A = A

iv) A U = A'Grcamente:

B

A B

AA B

A B

Nmero de Elementos de un Conjunto

Si A es un conjunto nito, n(A) representa el nmero de

elementos del conjunto A, llamado tambin cardinal de A.

Ejemplo:

Dados los conjuntos A y B.

A = {a; b; c; d; e}, entonces n(A)=5

B = {1; 2; 3; 4; 3; 1}, entonces n(B)=4

Propiedades del nmero de elementos de un conjunto:

Si A y B son dos conjuntos nitos se cumple:1. n(AB) = n(A)+n(B) -n(AB)

2. n(A - B)= n(A) - n(AB)

3. Si AB = , entonces:

n(AB) = n(A)+n(B)

Grcamente:

PROPIEDADES: Las ms importantes son:

i) (A')'= A iv) A A' = Uii) ' = U v) A A' = iii) U' =

Leyes de Morgan: (A B)' = A' B' (A B)' = A' B'

Diferencia Simtrica ()

Dados dos conjuntos A y B, se llama diferencia simtrica

al conjunto formado por los elementos que pertenecen aA - B o B -A.

Notacin: A B = (A - B) (B - A)Tambin: A B =(A B) - (A B)

Ejemplo:

Sean los conjuntos: A = {1; 2; 3; 4; 6}B = {2; 4; 6; 7; 8}

entonces: A - B = {1, 3}

B - A = {7, 8} A B = {1; 3, 7, 8}

A B

A B

1

34

7

8

26

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1) Dado A = {1 ; 1 ;{1} ; }

da el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. P(A)tiene cuatro elementos.

II. {}P(A) III. P(P(A))

a) VVV b) VVF c) VFV

d) FVV e) FFV

Rpta.: d

Resolucin:

Resolucin:

El conjunto "A" es:

A = {1; {1};} n(A)

=3Luego: n [P(A)] = 2n(A)=23 =8Donde:P(A) = {{1}; {{1}}; {};{1;{1}}; {1,}; {{1}; };

{1; {1}; };}Entonces: {} P(A)Ahora por teora:Si: P(A) P (P(A))con lo que tendremos: I. Falsa

II. Verdadera III. Verdadera

2) Determina por comprensin: A = {1; 4; 27; 256;...} a) {x2 /x N x 0} b) {x2 /x Z x 0} c) {xX /x N x 0} d) {x/x N} e) {2x-1/x N}

Analizando la secuencia formada por los elementos

se llega a:

1 ; 4 ; 27 ; 256 ; ...

11 22 33 44

Luego la frmula que tiene una caracterstica comn alos elementos ser: a

x= xx ; x N.

Entonces el conjunto A queda determinado por:{xx / x N x 0}

Rpta.: c

3) Si AB = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}AB = {3; 5; 7}

halla n (A B)

Resolucin:

Se sabe: A B = (AB) -(AB)A B = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8} -

{3; 5; 7}A B = {1; 2; 4; 6; 8}

Luego: n(A B) = 5

4) Si: n [P(AB)]=256n [P(B)]=32n [P(A)]=16

halla n (B A)

Resolucin:

Si: n [P(AB)]=256 n(AB)=8n [P(B)]=32 n(B)=5

n [P(A)]=16 n(A)=4

Luego: 4 5

BAx y z

8x + y + z = 8x + y = 4 z = 4y + z = 5 x = 3

Nos piden n (B A), es decir, las zonas "x" y "z":x + z = 7

5) De 500 alumnos del colegio MENTOR, se sabe que 140practican full contact, 160 practican karate y 220 nopractican ninguno de estos deportes. Cuntos practicanambos deportes?

Resolucin: U = 500

x y z

220

F=140 k=160

Se sabe:x + y + z + 220 = 500

x + y + z = 280Luego nos piden ambos deportes (y): y = 20

adems:x + y = 140 z = 140

y + z = 160 y = 20

7/23/2019 5-ARITMETICA 5to (1 - 16)

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1) Dado el conjunto:

5-aritmetica 5to (1 - 16)

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