4elemfin1d

Metodos NumericosCIV-317

Metodo de Elementos Finitos (1D)

Joaqun Mura

1Ingeniera Civil, Pontificia Universidad Catolica de Valparaso.

Semestre Primavera 2013

Metodo de Elementos Finitos (1D)

Es un caso particular del metodo de Galerkin.

Considera funciones base de interpolacion polinomiales comoLagrange o Hermitte Los coeficientes corresponden a los valoresnodales de la solucion.

J. Mura (Ing. Civil PUCV) CIV317 02/2013 2 / 27

Metodo de Elementos Finitos (1D)Problema modelo

Consideremos la ecuacion diferencial

(au) + cu = f en ]0, L[,u(0) = 0

a(L)u(L) = 1.

donde a = a(x), c = c(x) y f = f(x). Asumiremos que a, c L(0, L) yf L2(0, L).La formulacion variacional (discreta) asociada es: Encontrar u Vh tal que L

0auhv

h dx+

L0cuhvh dx =

L0fvh dx+ vh(L)

para cualquiervh Vh =

{v H1(0, 1) : v(0) = 0} {vh C0([0, L]) : vh(0) = 0} .


Metodo de Elementos Finitos (1D)Funciones base

Vamos a considerar una particion del dominio en elementos:[0, L] =

ni=1[xi1, xi], con x0 < x1 < . . . < xn. Luego

uh(x) =

ni=0

uili(x),

donde las funciones {li}ni=0 corresponden a las funciones de interpolacionde Lagrange tipo P1 por tramos (visto en el captulo 1 de este curso).

Observacion: Las funciones lineales por elemento constituyen una base dedimension finita que se aproxima a C0([0, L]) cuando n.J. Mura (Ing. Civil PUCV) CIV317 02/2013 4 / 27

Matrices globales

Una manera de resolver este problema es planteando el problemaglobalmente, es decir, si

uh(x) =

nj=0

ujlj(x), vh(x) = li(x),

entonces

nj=0

( L0auhl

ivhlj dx

Kij

+

L0cuhlivhlj dx Mij

)uj =

L0fvhli dx+ vh(L)in

bj

Las matrices K (Rigidez), M (Masa) y el vector b (carga) tienen uncaracter global: son de tamano N N (N = n+ 1=num. nodos).


Matrices globalesConstruccion

Recordemos que los polinomios de Lagrange lineales por tramo se definenas:

l0(x) =

x x1x0 x1 , x [x0, x1],0, x [x1, xn].

li(x) =

x xi1xi xi1 , x [xi1, xi],x xi+1xi xi+1 , x [xi, xi+1],0, x / [xi1, xi+1].

i = 1, 2, . . . , n 1

ln(x) =

x xn1xn xn1 , x [xn1, xn],0, x [x0, xn1].


Elementos Finitos P1Convergencia

Se puede demostrar que

Teorema: Convergencia para EF tipo P1Sea u V y uh Vh soluciones de la formulacion variacional en dimensioninfinita y dimension finita, resp. Entonces, el metodo de elementos finitosP1 converge, es decir

lmh0||u uh||H1(0,L) = 0

Ademas, si u H2(0, L) (lo que es cierto si f L2(0, L)), entoncesC > 0 independiente de h tal que

||u uh||H1(0,L) Ch||u||L2(0,L) Ch ||f ||L2(0,L) .



y sus derivadas (si el espaciamiento es constante e igual a h):

l0(x) =

{1h, x [x0, x1],

0, x [x1, xn].

li(x) =

1

h, x [xi1, xi],1h, x [xi, xi+1],

0, x / [xi1, xi+1].i = 1, 2, . . . , n 1

ln(x) =

{ 1h, x [xn1, xn],

0, x [x0, xn1].Esto significa que L

0li(x)l

j(x) dx =

(1/h) si j = i 1,

(2/h) si j = i,0 si no.



As entonces, las matrices tienen una estructura simple:

K =a

h

1 11 2 1

. . .. . .

. . .

1 2 11 1

M =ch

6

2 11 4 1

. . .. . .

. . .

1 4 11 2

b =fh

2

12...21

+

00...01

si a, c y f son constantes. Sin embargo, esta manera es poco practica para

parametros variables o elementos de orden superior.


Matrices elementales

Las integrales las podemos descomponer en elementos L0

=

e

e. As, para

cada elemento e tenemos que resolver el sistema local o elementalm=1,2

(Kelm +Melm)u

em = b

em para l = 1, 2

o el sistema de 2 2Sistema local o elemental

(Ke +M e)ue = be

Calculo de matrices locales o elementales

Kelm =

e

a(x)(lel )(x)(lem)

(x) dx Melm =e

c(x)lel (x)lem(x) dx

bem =

e

f(x)lem(x) dx+ mna

aEste termino viene de reemplazar vh(L) por lm(x = xn = L).


Matrices elementales

De esta forma, la solucion restringida a un elemento e corresponde a

uh|e(x) = ue1le1(x) + ue2le2(x),

con las funciones base locales le1(x) =xxe2xe1xe2 y l

e2(x) =

xxe1xe2xe1

Sea he = xe2 xe1. Las funciones a,c y f pueden ser constantes por

elemento, por simplicidad. De esta forma, obtenemos

Matrices locales o elementales

Ke =aehe

[1 11 1

]M e =

cehe6

[2 11 2

]be =

fehe2

[11

]


Matrices elementalesElementos isoparametricos

Otra manera de realizar el calculo elemental, mas general, es mediante latransformacion del intervalo e = [xi1, xi] a e = [1, 1]. Sea x lacoordenada en el sistema e y en el sistema e, entonces

x() = xi1 le1() + xi le2() = xi1 +

he2

pues le1() =12(1 ), le2() = 12(1 + ) son funciones base del intervalo

[1, 1].El Jacobiano de la transformacion es Je =

dxd =

he2 , entonces

dleidx

=dleid

d

dx=dleidJ1e .

Ahora, (le1)() = 12 y (le2)() = 12 .


Matrices elementalesElementos isoparametricos

De esta forma, para l,m = 1, 2 se tendra que

Kelm =

xixi1

a(x)(lel )(x)(lem)

(x) dx

=

11a()

((lel )()J1e

)((lem)

()J1e)Je d

M elm =

xixi1

c(x)lel (x)lem(x) dx =

11c()lel ()l

em() Je d

bem =

xixi1

f(x)lem(x) dx =

11f()lem() Je d

Nota: Estos terminos se pueden calcular mediante cuadratura Gaussiana!.En particular, si a, c, f son constantes por elemento y se usa una cuadratura de

dos puntos, se obtienen las mismas matrices Ke,Me y el vector be recien vistos.


EnsamblajeDe matrices locales a globales

Recordemos que el proceso comenzo dividiendo [0, L] en intervalos.Ahora vamos a reunir las contribuciones de cada tramo.

Supongamos que los elementos son los intervalos (1), (2) y (3)definidos por las coordenadas nodales globales

[x1, x2], [x2, x3], [x3, x4].

Para cada intervalo, tenemos matrices locales K(i), M (i) de tamano2 2 y el vector de carga local b(i) de tamano 2 1, para i = 1, 2, 3.Globalmente, se tienen matrices de 4 4 (hay 4 nodos en total)llamadas Kh, Mh y un vector global bh de 4 1.Con lo anterior, la solucion global uh se obtiene al resolver(Kh +Mh)uh = bh.



Para el elemento (1), las coordenadas locales 1 = 1 y 2 = 1 tienecoordenadas globales x1 y x2 (las dos primeras entradas de lasmatrices globales).

Para el elemento (2), las coordenadas locales 1 = 1 y 2 = 1corresponden a las coordenadas globales x2 y x3.

Para el elemento (3), las coordenadas locales 1 = 1 y 2 = 1corresponden a las coordenadas globales x3 y x4.

Cada contribucion se suma a la anterior en la posicion correspondiente. Esto se

deriva de la operacion L0

=

e

e

que se hizo anteriormente.



Por ejemplo, el ensamblaje de la matriz

Kh =

K

(1)11 K

(1)12

K(1)21 K

(1)22 +K

(2)11 K

(2)12

K(2)21 K

(2)22 +K

(3)11 K

(3)12

K(3)21 K

(3)22



y el ensamblaje del vector

bh =

b(1)1

b(1)2 + b

(2)1

b(2)2 + b

(3)1

b(3)2

Con este sistema de ecuaciones se encuentra la solucion global uh.As recuperamos las mismas matrices globales K, M y b calculadasinicialmente.


Elementos de orden superior

Para el caso de elementos de orden superior, por ej. 2, los elementoscorresponden a intervalos compuestos por tres nodos.

Cada elemento tiene 3 nodos locales y tres funciones de forma (o deinterpolacion de Lagrange)

le1() = 12(1 ), le2() = 12(1 + ), le3() = (1 2)


Elementos de orden superior

El calculo elemental es analogo, solo hay que reemplazar ue por lasuma de tres funciones en lugar de dos.

Las matrices locales son de 3 3 y el vector local de 3 1.El proceso de ensamblaje es identico.

Es posible considerar otras funciones base, por ejemplo, funciones deHermitte (utiles para describir giros en elementos tipo barras enflexion).


Elementos de orden superiorElementos de Lagrange P2

Construimos una base de Lagrange de orden 2 para un intervalo[xi1, xi+1] compuesto por los puntos xi1,xi y xi+1:

i1(x) =(x xi)(x xi+1)

(xi1 xi)(xi1 xi+1) =1

2h2(x xi)(x xi+1)

i(x) =(x xi1)(x xi+1)

(xi xi1)(xi xi+1) = 1

h2(x xi1)(x xi+1)

i+1(x) =(x xi1)(x xi)

(xi+1 xi1)(xi+1 xi) =1

2h2(x xi1)(x xi)

si el espaciamiento es h = cte.


Elementos de orden superiorElementos de Lagrange P2

Si a = L = 1 entonces podemos encontrar la matriz de rigidez

Kh =1

h

16/3 8/3 0 . . . 08/3 14/3 8/3 1/3

0 8/3 16/3 8/3 0 ...1/3 8/3 14/3 8/3 1/3

. . .. . .

. . .. . .

. . .... 8/3 16/3 8/3 0

1/3 8/3 14/3 8/30 . . . 0 8/3 16/3


Elementos Finitos P2Convergencia

Se puede demostrar que

Teorema: Convergencia para EF tipo P2Sea u V y uh Vh soluciones de la formulacion variacional en dimensioninfinita y dimension finita, resp. Entonces, el metodo de elementos finitosP1 converge, es decir

lmh0||u uh||H1(0,L) = 0

Ademas, si u H3(0, L) (lo que es cierto si f H1(0, L)), entoncesC > 0 independiente de h tal que

||u uh||H1(0,L) Ch2 ||u||L2(0,L) .


Elementos de orden superiorElementos de Hermitte

Los elementos de Hermitte se usan frecuentemente para calculardesplazamientos y rotaciones en elementos estructurales en flexion, deacuerdo a los modelos para vigas de Euler-Bernoulli1 o Timoshenko2.

1Considera que los puntos materiales en la normal a la lnea mediapermanecen sobre la normal despues de la deformacion ux ()y.

2Se asume que una seccion plana originalmente normal a la lnea media,permanece plana, pero admite una deformacion de corte ux (xuy + )y, con : ] de corte .J. Mura (Ing. Civil PUCV) CIV317 02/2013 23 / 27

Elementos de orden superiorElementos de Hermitte

La idea consiste en considerar funciones base

Figura: Funciones base para Desplazamientos (izq) y giros (der).


Elementos de orden superiorFunciones base (o de forma) de Hermitte

Definimos las siguientes funciones:

1() =1

4(1 )2(2 + ) 1() = le

8(1 )2(1 + )

2() =1

4(1 + )2(2 ) 2() = le

8(1 + )2( 1)

con = 2x1le 1. Las funciones 1,2 corresponden a los grados de libertad(g.d.l.) asociados al desplazamiento, mientras que 1,2 es a los g.d.l. degiro y le es la longitud del elemento finito e.La idea es que en cada nodo (1 o 2) se tenga un desplazamiento ui y ungiro i.



De esta forma encontramos

uh(x) =2

i=1 uii(x) +2

i=1 ii(x)

= [1(x) 1(x) 2(x) 2(x)] Ne

u11u22

y por lo tanto,

uh(x) =[1(x)

1(x)

2(x)

2(x)

] dNe/dx

u11u22



Con esto, podemos escribir, por ejemplo, la matriz de rigidez elementalasociada al calculo del termino

e uhvh dx usando una forma matricial

Ke =

e

[dN e

dx

]T dN edx

dx

En particular, para una viga de Euler-Bernoulli

Ke =

12l3e

6l2e12l3e

6l2e

4le 6l2e

2le

12l3e 6l2e

sim. 4le


IntroduccinFunciones baseMatrices globalesMatrices elementalesEnsamblaje

Elementos de orden superiorElementos de orden superiorElementos tipo P2Elementos de Hermitte

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