49606132 fisica ejercicios resueltos soluciones movimiento ondulatorio selectividad

7/23/2019 49606132 Fisica Ejercicios Resueltos Soluciones Movimiento Ondulatorio Selectividad

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5 .1 . EL MOVIMIENTO ONDULATORIO

1. En qu unidades se m ide la longitud de onda de un m ovimiento on dula-torio ? Y la frecuen cia?

Segn su definicin, la longitud de onda mide la distancia mnima que separa

dos puntos del mismo medio que se encuentran en el mismo estado de vibra-

cin, por lo que su unidad en el SI es el metro.

La frecuencia es la inversa del perodo. En el SI, el perodo se mide en segundos

y, por tanto, la frecuencia se mide en hertz.

2. Calcula la ecuacin de dimensione s de la frecuencia.Por su definicin, la frecuencia es la inversa del perodo, el cual se mide en se-

gundos. Por tanto:

5.2 . ONDAS CLSICAS

1. El mo vimiento ondulatorio puede ser unidimensal, bidimen sional o tridi-mensional. Seala dos ejemplos, al menos, de cada uno de estos tipos demovimiento.

Unidimensionales:

La vibracin de una cuerda de guitarra al pulsarla.

La vibracin de un muelle que describe un m.a.s.

Bidimensionales:

La ondas que se crean en la superficie de un vaso cuando golpeamos el vidrio

con el dedo.

Las ondas que se generan en el tmpano o en un tambor.Las ondas que se generan en una cubeta de ondas.

Tridimensionales:

La propagacin de ondas de radio en el aire al ser emitidas por una antena.

El sonido emitido por un instrumento musical cuando se propaga por el aire.

Propagacin de la luz en el vaco.

2. Indica de qu tipo (lo ngitudinales o transversales) son las ondas que hascitado en la actividad anterior.

[ ] fT

=

= =

1 11

TT

1


2/27

Unidad 5. Movimiento ondulatorio.

3. El sonido y la luz son dos ejemplos de prop agacin o ndulatoria. Qu se-

me janzas y qu diferencias existen entre estos dos tipos de on da?Semejanzas Ambas son ondas tridimensionales; se propagan en las tres direcciones del es-

pacio.

Ambas pueden ser planas o esfricas, dependiendo de la distancia a la que nos

encontremos de l foco.

Diferencias El sonido es una onda de naturaleza mecnica: slo se propaga por un medio

material. En cambio, la luz es una onda no mecnica, que tambin se propaga

por el vaco. Prueba de ello es que somos capaces de observar las estrellas.

La luz se propaga mediante ondas transversales. En cambio, el sonido se pro-paga mediante ondas longitudinales.

5 .3 . ECUACIN D EL MOVIMIENTO ONDULATORIOUNIDIMENSIONAL

1. De una ecuacin de o nda que viaja por una cuerda se con ocen los siguien-tes datos :

Amplitud = 3 cm ; velocidad de prop agacin = 5 m s1; frecuen cia = 20 Hz.A partir de dicho s datos, calcula:

a) Frecuencia angular.b) Longitud de onda.c) Nmero de onda.d) Expresin de la ecuacin de la onda, en sus tres posibles formas.

a) La frecuencia angular resulta:

= 2 f = 2 20 = 40 rad s1

b) El valor que corresponde a la longitud de onda es, por tanto:

Onda longitudinal Onda transversal

Sonido emitido por un instrumentomusical.

Vibracin de una cuerdade guitarra.

Vibracin de un muelle que describeun m.a.s.

Propagacin de ondas de radioen el aire.

Propagacin de la luz en el vaco.

Ondas en la superficie de un vaso.

Cubeta de ondas.

Ondas en el tmpano o en un tambor.

2


3/27

c) En cuanto al nmero de onda:

d) Las tres formas en que se puede escribir una ecuacin de onda son:

En nuestro caso, estas expresiones se convierten en:

5 .4 . ENERGA E INTENSIDAD EN UN MOVIMIENTO ONDULATORIO

1. La potencia con que em ite el Sol es de 2,7 1020 MW. Calcula la intensidadlumin osa que recibim os en la Tierra y en Jpiter, medida en W m2.

Datos:

Distanc ia Tierra-Sol: 1,5 108 km .

Distanc ia Jpiter-Sol: 7,8 10 8 km .

La intensidad luminosa que recibimos del Sol podemos determinarla a partir de la

expresin:

Para realizar el clculo, supondremos que el Sol es el foco de una onda esfrica,

y que la Tierra y Jpiter estn situados en la superficie de sendas esferas cuyo ra-

dio es, respectivamente, la distancia Tierra-Sol y la distancia Jpiter-Sol. De ese

modo, resulta:

I

dE dt

S

P

S= =

/

y x t sent x

y x t sen tx

y x t sen t x

( , ) ,, ,

( , ) ,,

( , ) , ( )

=

=

=

0 03 20 05 0 25

0 03 2 200 25

0 03 40 8

y x t A sent

T

x

v T

y x t A sen f tx

y x t A sen t k x

( , )

( , )

( , ) ( )

=

=

=

2

2

k =

=

= 2 2

0 258 1

,rad m

= = = =v Tv

f

5

200 25, m

3


4/27

2. Cul es la razn de que los valores que obtiene s sean distintos?

Jpiter est mucho ms alejado del Sol que la Tierra. Ello implica que la luz emi-

tida por el Sol, que la emite a potencia constante, debe repartirse entre una su-

perficie mayor. Como la intensidad luminosa es la energa por unidad de superfi-

cie, esta ser inferior en Jpiter.

3. Com enta la frase: La absorcin es una caracterstica espe cfica de un a on -da esfrica.

En la frase se estn confundiendo los conceptos de atenuacin y de absorcin.

La atenuacin es la prdida de intensidad que se p roduce en una onda esfrica al

alejarnos del foco emisor. Este es un fenmeno propio de toda onda esfrica,

pues, al crecer la distancia, la energa de la onda ha de repartirse entre una su-

perficie mayor, lo que provoca una menor intensidad.

Sin embargo, la absorcin es la prdida de energa debida al rozamiento. Este

efecto viene asociado a una interaccin con un medio material y no se produce

en el vaco, a diferencia de la atenuacin, que se produce en cualquier caso.

5 . 5 . ABSO RCI N

1. Calcula el coeficiente de absorcin de un material que reduce a la dcimaparte la intensidad de una on da sono ra y tiene un e speso r de 20 cm.

El coeficiente de absorcin, , de un material, podemos calcularlo a partir de laexpresin:

I= I0

e x

Sabemos que, tras pasar por un material cuyo espesor es 20 cm, la relacin entre

las intensidades de entrada y de salida es: I= 0,1 I0. Por tanto,

2. Una onda que viaja por una cuerda tiene por ecuacin:

y (x ,t) = 0,05 sen [4 [(x 2 t) + ]]Determina e l p armetro , si:

I I e

I

I

x

I

Ix= =

=

= =

0

0

0

0 1

0 1

0 2

0 1

0 211 51

ln lnln

,

,

,

,, m

IP

S

P

r

IP

S

P

r

Tierra

Jpiter

= =

=

=

= =

=

=

4

2 7 10 10

4 1 5 10954 93

4

2 7 10 10

4 7 8 10

35 32

2

20 6

11 2

2

2

20 6

11 2

2

( , )

( , ),

( , )

( , )

,

W m

W m


4


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a) En el instante inicial,x = 0.b) En e l instante inicial,x = 1.

Para calcular el parmetro, forzamos que el punto indicado en cada caso cumpla

la ecuacin:

y (x,t) = 0,05 sen [4 [(x 2 t) + ]]

Suponemos que en el instante inicial la cuerda no vibra: y (x , 0) = 0.

a) En el primer caso, en el punto (x,t) = (0,0), y = 0. Por tanto:

b) En el segundo caso, en el punto (x,t) = (1,0), y = 0. Por tanto:

3. Una onda armnica se propaga con una velocidad de 10 m s1. Su ampli-tud es de 5 cm , y su frecuen cia angular, de 100 rad s1. Se sabe, adem s,que un punto que se encuentra a 25 cm del origen tiene una elongacinmx ima en el instante inicial. Con eso s datos, escribe la ecuacin que co-rrespon de a la propagacin de es a onda.

Escribiremos la ecuacin en la forma:

donde el perodo lo podemos obtener a partir de la frecuencia angular:

siendo la longitud de onda:

= v T= 10 0,02 = 0,2 mLa ecuacin queda, por tanto, en la forma:

Por otra parte, se indica que en el punto (0,25, 0) la elongacin es mxima, de

valor A = 0,05 m. De este modo:

y sen

sen

( , , ) ,,

,

,,

,

,

,

,

0 25 0 0 05 20

0 02

0 25

0 20 05

20 25

0 21 2

0 25

0 2 2

= +

=

+

= +

=

y x t sen

t x

( , ) , , ,= +

0 05 2 0 02 0 2

=

=

=

=2 2 2

1000 02

TT , s

y x t A sen tT

xv T

( , ) = +

2

y x t sen sen

n nn

n N

( , ) , [ ( )] [ ( )]

( ) ( )

= + = + =

+ = + = =

0 05 4 1 0 4 1 0

4 1 4 14

1

y x t sen sen

nn

n N

( , ) , ( ) ( )= = =

= =

0 05 4 0 4 0

44

5


6/27

de donde podemos despejar el valor de :

Por tanto, la ecuacin del movimiento resulta:

5 .6 . PROPIEDADES GENERALES DE LAS ONDAS

1. La ecuacin de una on da transversal es:

donde x e y se ex presan en metros, yt, en segundos. Calcula:

a) La frecuen cia, la longitud de o nda y la velocidad de fase.b) Los puntos que estn e n fase y en o posicin de fase en un instante de-

terminado.PAU. Jan. Junio, 1994.

a) Al comparar la ecuacin de onda de l ejercicio:

con la expresin general de la ecuacin de una onda:

deducimos los valores que corresponden a la longitud de onda y a la frecuen-

cia:

f = 2 Hz

= 1,5 m

Por tanto, la velocidad de fase:

b) La diferencia de fase entre dos puntos, en un mismo instante, resulta:

Para dos puntos en fase, la diferencia de fase es de 2 n . Por tanto,

=

2 2

1 52

1 5t

xt

x

, ,

v

Tf= = = =

1 5 2 3 1, m s

y x t A sen f tx

( , ) = +

2

y x t sen tx

( , ) , ,=

0 1 2 2 1 5

y x t sen t

x( , ) ,

,=

0 1 2 2 1 5

y x t sent x

( , ) ,, ,

,= +

0 05 2

0 02 0 21 5

20 25

0 2 2

1

4

0 25

0 21 5 +

= = + =

,

,

,

,, rad

6


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siendo n = 1, 2, 3, ...

Para dos puntos en oposicin de fase, la diferencia de fase es de (2 n + 1) :

siendo n = 0, 1, 2, ...

5 .8 . ONDAS ESTACIONARIAS

1. Calcula la distancia que separa un no do del vientre que le antecede o quele precede.

La distancia entre dos nodos o entre dos vientres es / 2. Por tanto, la distanciaentre un nodo y un vientre es la mitad, / 4.

2. Una cuerda, sujeta por ambo s ex trem os, es s om etida a vibracin . Su ecua-

cin de on da es:y (x ,t) = 0,2 sen (0,04 x ) co s (20 t)

donde x se mide en centmetros y t en segundos. Calcula:

a) Longitud de onda.b) Frecuencia.c) Velocidad de propagacin de las ondas por la cuerda.

La ecuacin general de una onda estacionaria es:

y = 2 A cos (k x ) sen ( t)En el caso que nos ocupa:

y (x,t) = 0,2 sen (0,04 x ) cos (20 t)Al comparar estas dos expresiones vemos que las funciones seno y coseno estn

cambiadas. Este es un hecho que no ha de preocuparnos, ya que ambas funcio-

nes son esencialmente la misma, aunque desfasadas 90 grados una respecto a la

otra. Dependiendo del instante en que comencemos a medir, puede ser ms c-

modo tomar una funcin u otra. Los parmetros que acompaan a las variables x

y tson los mismos. Por tanto,

k = 0,04 rad cm1 ; = 20 rad s1

Los valores que corresponden a la longitud de onda, frecuencia y velocidad de

propagacin son:

=

= +

= +

2 21 5

21 5

2 1

1 5

22 1

tx

tx

n

x x n

, ,( )

,( )

=

=

=

2 21 5

21 5

2

1 5

tx

tx

n

x x n

, ,

,


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C u e s t i o n e s

1. Un frente de o las planas llega al muro de un puerto y pasa a travs de l.

Qu figura muestra mejor la evoluc in de las o las?Estamos ante un caso de difraccin. La difraccin se produce cuando un obst-culo impide el avance de parte de un frente de onda. Si la longitud de onda de

la perturbacin es comparable con el tamao del obstculo, los puntos del fren-

te de onda que no chocan con el obstculo se convierten, de acuerdo con el

principio de Huygens, en centros emisores de nuevos frentes de ondas. De ese

modo, se genera un frente de ondas esfricas, con centro en la parte libre del

obstculo, que explica que la onda se propague por detrs de l.

La respuesta correcta es, por tanto, d) a no ser que la abertura sea mucho ma-yor que la longitud de onda de la vibracin, en cuyo caso, la respuesta correcta

sera c) .

2. Com pleta las frases, aadiendo las palabras que faltan:

Se denomina __________________ al lugar geomtrico de los puntos delmedio que poseen idntico estado de vibracin, es decir, poseen la mis-ma _______________, __________ y __________.

En una onda se transmite la ___________ asociada a la perturbacin. Elloex plica que las partculas alcanzadas p or la perturbacin __________ alre-dedor de su posicin de equilibrio, reproduciendo la __________ del_______.

= = = = = v Tv

fv f 1 57 10 15 7 1, , m s

= =

=

=22

20

2

10f f Hz

kk

=

=

=

= =2 2 2

0 0450 1 57

,

,cm m

a) b) c) d) e)

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Se denomina frente de onda al lugar geomtrico de los puntos del medio queposeen idntico estado de vibracin, es decir, poseen la misma elongacin, ve-locidad y aceleracin.

En una onda se transmite la energa asociada a la perturbacin. Ello explicaque las partculas alcanzadas por la perturbacin vibren alrededor de su posi-cin de equilibrio, reproduciendo la vibracin del foco.

3. Com pleta las frases, aadiendo las palabras que faltan:

Un medio _______________ es una sucesin, en todas direcciones, de__________ en equilibrio entre las que existen fuerzas de __________ y__________.

Al caer una piedra sobre la superficie del agua, produce __________. Co-mo las molculas de agua vibran ____________ a la direccin en que se

propaga la on da, sta se den om ina o nda __________.Un medio elstico es una sucesin, en todas direcciones, de partculas enequilibrio entre las que existen fuerzas de atraccin y repulsin.

Al caer una piedra sobre la superficie del agua, produce una perturbacin.Como las molculas de agua vibran perpendicularmente a la direccin en quese propaga la onda, sta se denomina onda transversal.

4. En salas de gran tamao, el so nido del eco que se p roduce puede mez-clarse con el sonido emitido, creando confusin. A ese fenmeno se lodenomina reverberacin. Qu mtodo utilizaras para reducir la rever-

beracin en las paredes de una sala grande?a) Paneles cermicos.b) Paneles de aluminio.c) Cortinas de terciopelo.d) Paneles de madera.e) Lminas de vidrio.

La reverberacin se produce por la reflexin de la onda sonora sobre las pare-

des y el techo, que actan como obstculos para la propagacin del movimien-

to ondulatorio.

Los materiales lisos y duros favorecen la reflexin. Por tanto, no es aconsejable,dado nuestro objetivo, la utilizacin de materiales cermicos o aluminio, y mu-

cho menos, lminas de vidrio.

Los otras dos soluciones se pueden utilizar, porque ambos materiales son absor-

bentes y reflejan poco el sonido. Si la sala es nueva, es aconsejable realizarla en

madera (siempre que el coste no sea prohibitivo). Si la sala ya est construida,

lo normal es poner en las paredes cortinas de terciopelo de gran tamao, o re-

vestirlas de madera.

Las respuestas c) y d) pueden aceptarse.

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5. La figura representa las po sicione s, en determin ado instante, de partcu-las de aire form ando una o nda son ora, que se des plaza hacia la derecha.

a) Seala en la figura un punto [C] en el que la presin del aire se a mxi-ma y otro punto [D] en el que sea mn ima.

b) Dibuja sobre el diagrama dos puntos que estn separados po r una lon-

gitud de o nda. Cunto vale dich a lon gitud de o nda?c) Indica la direccin en que se m overn las partculas A y B.

a) Los puntos en que la presin del aire es mxima son las crestas de la onda.

Grficamente, son los lugares donde las lneas estn ms juntas. Se indican

en la figura con la letra C.

Por otra parte, los puntos en que la presin del aire es mnima son los valles

de la onda. Grficamente, son los lugares donde las lneas estn ms espa-

ciadas. Se indican en la figura con la letra D.

b) La distancia entre dos puntos consecutivos que se encuentran en el mismo

estado de vibracin coincide con la longitud de onda.

Esto significa que entre dos puntos consecutivos, sealados como C, hay una

distancia que es igual a la longitud de onda, en este caso, 10 cm, suponien-

do que las unidades de la escala superior sean cm.

c) Se trata de una onda longitudinal. La direccin de propagacin, marcada con

la flecha negra, es tambin la direccin de vibracin. El sonido se propaga

por medio de compresiones y rarefacciones que se producen en la misma di-

reccin de propagacin.

La direccin en que se mueven las partculas A yB es la direccin de propa-

gacin del sonido. El sentido es, en cada caso, el que se indica en la propia

figura.

A

C D DC C

B

0 5 10 15 20 25 30

A B

0 5 10 15 20 25 30

10


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6. Introducimos una mon eda en un vaso y ajustamos n uestro ojo para verlaenrasada ex actamen te. Hech o esto, bajamos la posici n de n uestra cabe-za, hasta que la moneda deja de ser visible. Sin desplazar ahora la mira-da, hacemos que alguien llene el vaso con agua. Al hacerlo, vemos de

nuevo la mon eda. Puedes e xp licar el mo tivo?El que esto sea posible se debe al fenmeno de la refraccin. Si llenamos el va-

so de agua, el rayo de luz que, procedente de la moneda, llega al borde del va-

so, en la superficie de separacin agua-aire, cambia de direccin, alejndose de

la normal, como se aprecia en la figura. Este cambio de direccin hace posible

que veamos la moneda.

7. Demuestra que, al proyectar un rayo hacia una superficie que separa dosmedios cuyo ndice de refraccin es diferente, si el ndice de refraccin

del segundo m edio es m eno r que el del primero, existe un ngulo de in-cidencia mximo ms all del cual no se produce refraccin, y solo seproduce reflexi n. A dicho ngulo se lo den om ina ngulo lmite.

Observa la figura:

Se denomina ngulo lmite el ngulo mximo de incidencia con que debe al-canzar un rayo la superficie que separa un medio de mayor ndice de refraccin

de otro de menor ndice de refraccin para que el rayo salga refractado. Si el

ngulo de incidencia es superior al ngulo lmite, el rayo se refleja en la superfi-

i3 1

2 r3

n1

n2


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cie que separa ambos medios y sigue propagndose por el medio que tiene ma-

yor ndice de refraccin.

Para comprobar que esto es as, aplicamos las leyes de Snell a la refraccin:

Si n2

< n1, debe ser sen i < sen r. Por tanto, como el ngulo de refraccin mxi-

mo es 90, existir un ngulo de incidencia mximo, ilmite

, cuyo valor ser:

8. Calcula el ngulo lmite en la refraccin de un rayo de luz en la superficieque separa una masa de agua del aire que se encuen tra sobre ella, si el n-

dice de refraccin del aire es 1 y el del agua 4/ 3.El ngulo que forma el rayo refractado con la normal, cuando el ngulo de inci-

dencia es el ngulo lmite, es 90. Al aplicar la segunda ley de Snell, resulta:

9. Calcula el ngulo lmite en la refraccin de un rayo de luz en la superficie

que separa una fibra ptica del aire en que se encuentra.El ndice de refraccin del aire es 1 y el de la fibra p tica 2.

Como el rayo no se refracta para pasar al aire, el rayo refractado debe salir pa-

ralelo a la superficie de separacin de ambos medios.

Ello significa que, respecto a la normal, el ngulo con que sale el rayo es 90. Si

aplicamos la segunda ley de Snell en este caso, resulta:

10. La figura muestra un frente de o ndas plano, que llega a una habitacincuya puerta est abierta.

60 cm

sen i

sen t

n

nsen i

n

nsen i arcsen

L L

= = = =

= 21

2

1

901

2

1

230

sen i

sen r

n

nsen i

n

nsen

i arcsenL

,

= = =

=

=

2

1

2

1

901

4

3

3

448 6

i arcsenn

nsen arcsen

n

nlmite=

=

2

1

2

1

90

sen isen r nnsen i nnsen r

= = 21

2

1

12


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a) Copia la figura y dibuja sobre ella el frente de on das que se forma alatravesar la puerta.

b) Calcula la lon gitud de onda, , de la perturbacin tras atravesar lapuerta.

a) En este caso se produce un fenmeno de difraccin. La difraccin se produ-

ce cuando un obstculo impide el avance de parte de un frente de onda. Los

puntos del frente de onda que chocan con el borde del orificio se convier-

ten, de acuerdo con el principio de Huygens, en centros emisores de nuevos

frentes de ondas, obteniendo como resultado la envolvente de todos ellos.

Ello explica que la forma del frente de ondas cambie al atravesar la onda la

abertura.

b) La forma del frente de ondas cambia al atravesar la abertura. Sin embargo, la

velocidad de propagacin y la frecuencia no lo hacen. La longitud de onda

antes y despus de que se atraviese la abertura es la misma:

11. Qu diferencia de camin os p rovocar una interferen cia constructiva enel punto P? Y una interferencia destructiva?

Indica el resultado e n funci n de la longitud de o nda, , del movimientoondulatorio.

Para que se produzca interferencia constructiva, las distancias desde los puntos

de origen (A yB) hasta el punto P han de cumplir la siguiente relacin:

xBP

xAP

= n

PA

B

d1

d2

= = =60

6 10 0 1cm m,

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De acuerdo con las cotas que se indican en la figura, resulta:

siendo n = 1, 2, 3, ...

Para que se produzca una interferencia destructiva, las distancias desde los pun-

tos de origen (A y B) hasta el punto P considerado han de cumplir la siguiente

relacin:

En funcin de las cotas indicadas en el dibujo:

siendo n = 0,1, 2, ....

12. Un frente de o ndas longitudinales de superficie se propaga por un estan-que, hasta que llega a un obstculo. La frecuencia del movimiento ondu-latorio es de 100 Hz, y la lon gitud de on da, de 10 cm .

a) Dibuja un diagrama co mo el que se adjunta y, sobre l, sita los suce-sivos frentes de onda, para explicar qu ocurre en el lado poco pro-fundo del estanque.

b) Qu no mbre recibe el fen men o que se produce al encon trarse elmovimiento ondulatorio con el obstculo?

c) Cul es la velocidad de propagacin de las ondas en el lado ms pro-fundo del estanque?

a) En la parte en que el estanque es profundo se producir la reflexin de las

ondas al chocar contra la pared del estanque. Por el contrario, en la parte en

que este es poco profundo, el fenmeno que se producir ser similar al que

se produce en una playa con las olas del mar: la onda, al alcanzar el punto

inferior en la vibracin, rozar contra el fondo, dando lugar a la formacin

de olas.

B

Ondas

Ladoprofundo

Lado pocoprofundo

A

d d d n

12

22

1 22 1+ = +

( )

x x nBP AP

= +2

2 1( )

d d d n12

22

1+ =


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b) Cuando el frente de ondas incide sobre el obstculo, se produce una refle-

xin de las ondas.

c) En el enunciado se proporcionan los datos necesarios para calcular la veloci-

dad de propagacin en el lado profundo del estanque, donde no existen

perturbaciones con el fondo:

13. Dada la ecuacin de onda:

y (x ,t) = 0,04 sen [ (x t)]Calcula:

a) La distancia que separa dos puntos que se en cuentran en fase.

b) La distancia que separa dos pun tos que se encuentran en op osicin defase.

a) Dos puntos estn en fase si, en un instante dado, su diferencia de fase, , es2 radianes. Por tanto:

= [(x t) (x' t)] = 2 x x'= 2 m

b) Dos puntos se encuentran en oposicin de fase si, en un instante dado, su

diferencia de fase es radianes. Por tanto:

= [(x t) (x' t)] = x x'= 1 m

14. Una on da arm nica tiene las siguientes caractersticas:Amplitud = 10 cmVelo cidad de pro pagacin = 10 m s1

Nmero de o nda = 20 rad m 1

Con estos datos, determina:

a) La ecuacin de onda.

b) La diferencia de fase entre dos puntos que se en cuentran sep aradosuna distancia de 80 cm .

c) La diferencia de fase entre dos puntos que se en cuentran sep aradosuna distancia de 60 cm .

La ecuacin general de una onda armnica podemos expresarla en la forma:

a) La longitud de onda se puede calcular a partir del nmero de onda:

Por su parte, el perodo resulta:

k

k=

=

=

=2 2 2

200 1

, m

y x t A sent

T

x( , ) = +

2

vTf= = = =

0 1 100 10 1, m s

15


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Como no se indica nada al respecto, supondremos que la fase inicial es nula.

As:

b) Para dos puntos separados 80 cm, la diferencia de fase resulta:

Como 16 es mltiplo de 2 , podemos afirmar que ambos puntos vibranen fase.

c) Si los dos puntos estn separados 60 cm, al sustituir en la expresin anterior,

resulta:

Al igual que antes, como 12

es mltiplo de 2

radianes, podemos afir-

mar que ambos puntos vibran en fase.

Estos resultados son perfectamente lgicos, ya que, en cualquier movimiento

ondulatorio, los puntos que vibran en fase estn separados un nmero ente-

ro de veces la longitud de onda, que en nuestro caso es 10 cm.

15. Un alumno se en cuentra a la puerta del centro en que estudia y oye cm ose aprox ima una ambulancia que hace so nar la sirena.

Si la frecuencia que pe rcibe cuando se acerca la ambulancia es de 2 100Hz, y la que percibe cuando se aleja es de 1 900 Hz, calcula:

a) La velocidad a la que circula la ambulancia, medida desde un sistemade referencia inercial solidario co n el alumno .

b) La frecuencia con que emite la ambulancia.

Dato: La velocidad de propagacin del so nido en el aire es de 340 m s 1.

a) El alumno se encuentra parado en todo momento, lo que equivale a decir

que la velocidad del observador es nula.

Planteemos la expresin de la frecuencia aparente cuando la ambulancia se

acerca y cuando se aleja:

=

=

= 20 1 0 1

2

0 10 6 12

x x

, , ,, rad

=

=

=

=

20 01 0 1 0 01 0 1

2 0 1 0 1

2

0 1 0 8 16

t x t x

x x

, , , ,

, , , , rad

y x t sent x

sen t x

( , ) ,, ,

, [ ( )]

=

=

=

0 1 20 01 0 1

0 1 2 100 10

= = = =v T T

v

0 1

100 01

,, s

16


17/27

Tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incgnitas: vF

yf.

Dividiendo entre s ambas expresiones, eliminamos la frecuencia y podemos

calcular la velocidad del foco:

b) Sustituyendo en cualquiera de las expresiones anteriores, la frecuencia resul-

ta:

16. Calcula el ndice de refraccin del bloque de vidrio de la figura, utilizan-do la informacin que en ella se proporciona. El medio que rodea a lapieza de vidrio es e l aire, y su ndice de refraccin e s la unidad.

Aplicando directamente las leyes de Snell a la refraccin resulta:

17. Una on da transversal se prop aga por una cuerda segn la ecuacin :

y(x ,t) = 0,4 co s (50 t 2 x )

ex presada en unidades S.I. Calcula:

a) La velocidad de propagacin de la on da.

b) El estado de vibracin de un a partcula situada a 20 cm del foco en elinstante t = 0,5 s.

sen

sen

,

=30

201 1 462n

sen i

sen r n

= =

2 1

sen i

sen r

n

n

= 2

1

20

30

naire= 1

2 100

340

340 2 100340 17

340 1 995 Hz= =

=f v fF

1105340

340

35 8

2 10517 1,

,

,=

+

= = v

vvF

F

Fm s

=

=

=

=

+

=

+

=

f fv

v vf

v

f fv

v vf

v

acerca

F F

aleja

F F

340

3402 100

340

3401 900

Hz

Hz

17


18/27

a) La ecuacin general de un movimiento ondulatorio puede escribirse de la for-

ma:

y (x,t) = A cos ( t k x )

Al comparar esta expresin con la del enunciado:y (x,t) = 0,4 cos(50 t 2 x )

Como = k v, identificando:

b) Sustituyendo en el pun to indicado:

y (x,t) = 0,4 cos(50 0,5 2 0,2 ) = 0,364 m

18. Una onda armnica se propaga en direccin OXy sen tido po sitivo. Dicha on -

da tiene las siguien tes caractersticas:A = 25 cm; v = 2 m s1;k = 2 rad m 1

Escribe la ecuacin que corresponde al movimiento ondulatorio.

La ecuacin general de onda podemos escribirla en la forma:

y (x,t) = A sen ( t k x )

El nmero de onda permite calcular la longitud de onda:

Conocida la velocidad de propagacin, podemos calcular la frecuencia y la fre-

cuencia angular:

De ese modo, la ecuacin de onda queda en la forma:

y (x,t) = 0,25 sen (4 t 2 x ) = 0,25 sen [2 (2 tx)]

19. Se h ace vibrar una cuerda de 0,5 metros sujeta por los dos e xtremo s. Lacuerda tiene cinco nodos, siendo la amplitud de vibracin de 2 cm y lavelocidad de propagacin de las ondas de 10 m s1. Calcula la frecuenciafundamental de vibracin y la lon gitud de o nda asociada.

Al estar sujeta por los extremos, la cuerda tiene dos nodos en los extremos.

N N N N N

l= 50 cm

= = = =

= = =

v

ff

v

f

2

12

2 2 2 4 1

Hz

rad s

k

k=

=

=

=2 2 2

21

m

vk

= = = 50

225 1m s

18


19/27

Como en total hay cinco nodos, podemos calcular la frecuencia de la vibracin,

ya que, para una onda estacionaria con nodos en los extremos:

En nuestro caso, n = 4, pues se empieza a contar desde n = 0. Debemos teneren cuenta que en el origen es donde se encuentra el primer nodo. De este mo-

do:

Por tanto, la longitud de onda resulta:

20. Los grficos que siguen muestran el mo vimiento de una onda.

La primera figura representa el desplazamiento, y , frente al tiempo, endeterminada posicin. La segunda muestra el desplazamiento, y , en uninstante de tiemp o, frente a la po sicin, x .

a) Expresa las siguientes variables en funcin de los parmetrosA,B, CyD:

Amplitud.

Longitud de onda.

Frecuencia.

Perodo .

b) Calcula la velocidad de prop agacin de la onda.

c) Escribe la ecuacin de propagacin de la onda si se trata de una ondatransversal que se propaga en la direccin OX.

y

O150 300 450 600

x(m)

C

A

y

O0,5 1,0 1,5 2,0

t(s)

B

D

= = =v

f

10

400 25, m

fn v

l=

=

=2

4 10

2 0 540

,Hz

fn v

l

=

2

19


20/27

a) Para resolver este ejercicio, es preciso entender con claridad e l significado de

ambas grficas.

La primera muestra cmo cambia, a medida que transcurre el tiempo, el esta-

do de vibracin en que se encuentra determinada partcula que ha sido al-

canzada por la perturbacin y que se encuentra en una posicin relativa, x ,que no cambia.

La segunda muestra el estado de vibracin de distintos puntos alcanzados

por la perturbacin en un mismo instante. El efecto equivale a una fotografa

instantnea de una zona alcanzada por la perturbacin.

Amplitud: Corresponde a la cota D. La amplitud es la mxima separacin,

desde su posicin de equilibrio, de una partcula alcanzada por la vibra-

cin.

Longitud de onda: Corresponde a la cota C. La distancia sealada es la que

separa dos puntos que se encuentran en el mismo estado de vibracin.

Perodo: Corresponde a la cota B. Es el intervalo de tiempo que transcurrepara que un punto alcance de nuevo el mismo estado de vibracin.

Frecuencia: Ser la cantidad f= 1/B, ya que la frecuencia es la inversa delperodo.

b) La velocidad de p ropagacin de la onda se calcula a partir de la expresin:

El resultado que obtenemos es, precisamente, la velocidad de propagacin

de las ondas electromagnticas.

c) La ecuacin general de una onda es:

Sustituyendo los datos que ya conocemos:

El parmetro D no tiene un valor concreto, porque no se indican valores nu-

mricos en la escala de elongaciones. En cuanto a la fase, , esta es nula,porque en el instante inicial (t= 0 s) la elongacin en el foco (x = 0) es nula.

21. Un o bservador en reposo pretende m edir la velocidad de un coche ba-sndose en el efecto Dopp ler. Para ello, mide la frecuencia del motor delcoche cuando se acerca y cuando se aleja, obteniendo como resultado500 Hz y 450 Hz, respectivamente. Con esos datos, calcula la velocidadcon que se mueve el vehculo.

La lectura que realiza el observador es la frecuencia aparente, f '. Por otra parte,

el observador se mantiene en reposo (v0

= 0 m s1).

y x t D sent x

( , ) =

2 10 3006

y x t A sent

T

x( , ) = +

2

vT

= = =

30010

3 106

8 1m s

20


21/27

Si planteamos las ecuaciones que corresponden a las situaciones en que el foco

se acerca y se aleja, obtenemos el siguiente resultado:

En estas expresiones, la incgnita que nos interesa es vF. Para despejarla, dividi-

mos en tre s ambas expresiones:

22. Maite se en cuentra en el po rtal de su casa, mien tras oye cm o se acercauna mo to, emitiendo un ruido que, a efectos del p roblema, asimilaremo sa un so nido de frecuencia 1 500 Hz. La mo to se acerca con un a velocidadde 54 km h 1. Con eso s datos, calcula:

a) La frecuencia que percibe Maite, m ientras la m oto s e acerca hacia ella.La direccin en que se mueve la moto es, en todo caso, la recta queune la m oto co n Maite.

b) La frecuen cia que p ercibe si, tras pasar la moto po r delante de e lla, sealeja con la misma velocidad. Al igual que en el caso anterior, la motose mueve en una direccin definida, en todo momento, por una rectaque une a Maite con la moto.

c) La frecuencia del ruido pe rcibido si Maite m on ta en s u mo to y persi-gue al conductor de la primera moto con una velocidad de 10 m s 1.

a) El problema es una aplicacin del efecto Doppler. Consideraremos en todos

los apartados que la velocidad del sonido en el aire es 340 m s1

.

En este caso, el foco se acerca al observador. Por tanto, la frecuencia aparen-

te que este percibe es:

b) Ahora, la moto (el foco) se aleja del observador, que sigue permaneciendo

en reposo. La velocidad del foco cambia de signo, y por tanto:

f fv

v vF

,=

=

=1 500340

340 541 000

3 600

1 569 2

Hz

500

450

340

340

340

340

340

340

340 500 450 450 500

340 50

95017 9 1

=

+

=+

= +

=

=

v

v

v

v

v

v

F

F

F

F

F

F

( ) ( )

, m s

f fv

v v

f

v

f fv

v vf

v

F F

F F

1

2

340

340

500

340

340450

=

=

=

= +

= +

=

Hz

Hz

21


22/27

c) En esta ocasin, tanto el foco como el observador se mueven. El observadorse acerca hacia el foco y el foco se aleja del observador. Por tanto:

23. Un tren se acerca por una va recta haciendo so nar su silbato. La frecuen-cia con que em ite el s ilbato es 1 000 Hz.

Si el tren se m ueve con una velocidad de 144 km h 1, calcula:

a) La frecuencia que percibe un o bservador que se en cuentra parado enel andn de la estacin mien tras se acerca el tren .

b) La frecuencia que percibe un observador si est paseando por el andnde la estacin, en direccin al tren, con una velocidad de 3,6 km h 1.

c) La velocidad con que debera moverse e se o bservador, una vez hayapasado el tren, para percibir el son ido del s ilbato con una frecuencia de975 Hz.

d) En qu sentido debe hacerlo, si se mueve en la mism a direccin queel tren?

a) El problema es una aplicacin del efecto Doppler. Consideraremos en todos

los apartados que la velocidad del sonido en el aire es 340 m s 1.

En este caso, el foco (el tren) se acerca al observador; por tanto, la frecuen-

cia aparente que este percibe es:

b) Ahora, el observador tambin se mueve, aproximndose al foco. Por tanto:

c) Una vez ha pasado el tren por delante del observador, su velocidad cambia

de signo. Debemos despejar ahora la velocidad con que debera moverse el

observador a partir de la ecuacin:

f fv v

v v

vv

F

,= ++

= ++

= 0 00

1975 1 000340

340 4030 5 m s

f f v v

v vF

,

,= +

= +

=0 1 000340 3 6

1 000

3 600

340 1441 000

3 600

1 136 7

Hz

f fv

v vF

,=

=

=1 000340

340 1441 000

3 600

1 133 3

Hz

f fv v

v vF

,= ++

= +

+

=0 1 500340 10

340 5400

3 600

1 478 91 0

Hz

f fv

v vF

,= +

= +

=1 500340

340 54000

3 600

1 436 61

Hz

22


23/27

d) El signo de la velocidad, v0, es positivo, lo que indica que el observador se

acerca hacia el foco. Ello quiere decir que el observador debera ir persi-

guiendo el tren con una velocidad igual a 30,5 m s1.

24. Un rayo de luz incide com o se in dica en la figura sobre la caraab de unprisma de cristal cuyo ndice de refraccin tom a el valorn = 1,52.

a) Calcula el mxim o valor del ngulo que hace que el rayo salga total-

mente reflejado en la caraac.b) Calcula ese mism o ngulo si el prisma est en e l agua (n

agu a= 4/3).

a) Como se aprecia en la ilustracin, la lnea que separa los dos medios es la

recta ac , siendo la normal la recta perpendicular a ella, de trazo discontinuo.

Si el rayo sale reflejado en la cara ac , el ngulo que forma con la normal es

90. Por tanto, al aplicar la ley de Snell, resulta:

b) El ndice de refraccin del segundo medio cambia ahora. Por tanto:

25. En la ecuacin de onda:y (x ,t) = 0,1 sen [2 (2 x +t)]

calcula:

a) La amplitud, la frecuencia, la lon gitud de on da y la velocidad de pro-pagacin del movimiento ondulatorio.

b) La distancia mnim a que separa dos pun tos que se encuen tran en fase.

c) La distancia mnim a que separa dos puntos que se encuen tran en op o-sicin de fase.

sen

sen r

n

nsenn

nsen

arcsen

,

,

,

,,

= = =

=

=

2

1

2

1

901 33

1 52

1 33

1 526131

sen

sen r

n

nsenn

nsen

arcsen

,

,,

= = =

= =

2

1

2

1

901

1 52

11 52

4114

a

b c

23


24/27

d) Por qu hablamo s de distancia mn ima en lo s dos apartados anterio-res?

a) La ecuacin general de una onda es:

Si comparamos la ecuacin general con la del problema:

y (x ,t) = 0,1 sen [2 (2 x + t)]

obtenemos directamente los siguientes valores:

Amplitud = 0,1 mFrecuencia = 1 Hz

Longitud de onda = 1/ = 2; = 0,5 mVelocidad de propagacin = /f= 0,5 m s1

b) La diferencia de fase entre dos puntos es:

= 2 [(2 x + t) (2 x '+ t)]

Para dos puntos en fase, la diferencia de fase mnima es 2 , luego:

2 = 2 [2 x + t) (2 x '+ t)]Por tanto, la distancia entre ambos puntos es:

c) Dos puntos consecutivos en oposicin de fase son aquellos cuya diferencia

de fase es ( = (2 n + 1) ):

= 2 [(2 x + t) (2 x '+ t)]

Simplificando la expresin anterior, resulta:

1 = 4 (x x ') x x '= 0,25 m

d) Existen multitud de puntos que vibran en fase y en oposicin de fase. Entre

dos puntos cualesquiera de una recta que parta del foco de la perturbacin,

separados una distancia igual a una longitud de onda, existen dos puntos

que vibran en fase. Si la distancia que los separa es igual a media longitud de

onda, existen dos puntos vibrando en oposicin de fase.

26. Se hace vibrar una cuerda de 0,5 me tros s ujeta por los dos e xtremo s. Lacuerda tiene tres n odo s y la amplitud de vibracin e s de 1,2 cm , siendo lavelocidad de prop agacin de las ondas de 100 m s1. Con eso s datos:

a) Escribe la ecuacin de la onda estacion aria.

b) Calcula la frecuencia fundamental de vibracin y la longitud de o ndaasociada.

a) Al estar sujeta por los extremos, la cuerda tiene dos nodos en los extremos.

Como en total hay tres nodos, esto nos permite calcular la frecuencia de la

x x = =

1

20 5, m

y x t A sen f t x( , ) =

2

24


25/27

vibracin a partir de la longitud de la cuerda, ya que, para una onda estacio-

naria con nodos en los extremos:

En nuestro caso, hemos tomado n = 2, pues se empieza a contar partiendode n = 0, estando en el origen el primer nodo.La longitud de onda es:

b) La ecuacin general de una onda armnica se escribe:

y = A cos (k x ) sen ( t)

El nmero de onda ky la frecuencia angular son:

Por tanto, la ecuacin de la onda estacionaria resulta:

y = 0,012 cos (4 x ) sen (400 t)

27. Un p risma birrefractante est form ado por dos prismas iguales unidoscomo se indica en la figura, en la que los ngulos que se sealan miden

101,5.Un rayo A, que incida como se indi-ca, saldr desplazado po rA'.

Cunto se desplazar verticalmen-te el rayo?

Datos: El ndice de refraccin del cristal del prisma es n = 1,6.El cristal se encue ntra en el aire y su lo ngitud es L = 10 cm.

El ngulo que forma el rayo incidente con la normal es:

= 101,5 90 = 11,5

L

O

Lx

A

hB

C

aab

ca

M

NN

M

x

A

L

A'

k

f

=

=

=

= = =

2 2

0 54

2 2 200 400

1

1

,

rad m

rad s

= = =v

f

100

2000 5, m

fn v

l

fn v

l

=

=

=

=2 2

2 100

2 0 5

200

,

Hz

25


26/27

Si aplicamos la ley de Snell a este sistema, podemos calcular el ngulo de re-

fraccin:

Por tanto, el ngulo marcado en la figura como c, resulta:

c = a b = 11,5 7,16 = 4,34

En cada uno de los dos tringulos rectngulos que se forman podemos escribir:

De las dos expresiones anteriores podemos despejar el desplazamiento vertical

del rayo, h:

28. Com pleta el diagrama adjunto, indicando la trayectoria que seguir unrayo de luz amarilla monocromtica que incide formando un ngulo de30 con la horizontal, com o se indica en la figura, si pasa a travs del vi-drio y del cuarzo, para salir de nuevo al aire.

Datos : El ndice de re fraccin de l vidrio es n = 1,50.

El ndice de refraccin del cuarzo es n = 1,70.

Como conocemos el ngulo de incidencia del rayo y los ndices de refraccin

del aire, del vidrio y del cuarzo, podemos determinar cul ser la desviacin

que sufre el rayo a medida que va atravesando cada medio. Para ello, simple-mente hemos de aplicar la ley de Snell.

Al pasar del aire al vidrio, el ngulo de refraccin es:

Si trazamos otra normal a la lnea de separacin vidrio-cuarzo, en el punto en

que incide el rayo refractado, el ngulo de incidencia con que llega el rayo al

cuarzo es el que hemos calculado anteriormente. Por tanto:

sen i

sen r

n

nsen r

n

nsen i sen r

, ,= = = = = 1

1

1

1 530

1

319 47

30VIDRIO CUARZO

h Ltg c

tg c tg a

tg

tg tg=

+ =

+

=

= =

m mm

,

,

, ,

, ,

10 1

4 34

1 4 34 11 5

7 47 10 7 473

ABC

x

htg a OAB

h

L xtg c =

=;

sen a

sen b

n

n

sen b sen an

n

sen

b arcsen

,

,

,

, ,

= = = =

= =

2

1

1

2

11 51

1 6

0 1246

0 1246 7 16

26


27/27

Por ltimo, al salir al aire:

Como vemos, el rayo sale paralelo a la direccin de entrada.

29. Una placa de vidrio tiene un espesor de 0,9 centmetros, y un ndice derefraccin n = 1,55. Cunto tardar un haz de luz en pasar a travs deella?

El ndice de refraccin de la placa de vdrio es la relacin entre la velocidad de

propagacin del haz de luz en el aire y la velocidad de propagacin a travs de

la placa de vidrio. Por tanto:

Como la placa de vidrio tiene un espesor de 0,9 centmetros, el haz de luz tar-

dar en atravesarla:

ts

vvidrio

= =

= 0 9 10

1 93 104 66 10

2

8

11,

,,

s

nv

vvv

n

aire

vidrio

vidrio

aire= = =

= 3 10

1 551 93 10

88

,, m s1

30

19,4

19,417,1

17,1

30

VIDRIO CUARZO

n1=1,5n n2=1,7

sen i

sen r

n

nsen r n

nsen i sen r

,, , = = = = =

2

2 1 7

117 1 0 5 30

sen i

sen r

n

nsen r n

nsen i sen r

9,47

,

,, ,= = = = = 2

1

1

2

1 5

1 71 0 294 17 1

49606132 fisica ejercicios resueltos soluciones movimiento ondulatorio selectividad

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