ANUALIDADES

1.- OBJETIVOS A) Reconocer, definir y clasificar los diferentes tipos de anualid ades B) Identificar y manejar los diferentes factores que intervienen en las anu alidades C) Calcular: 1) Montos o valores futuros 2) Valores actuales o presente s 3) Renta de anualidades 4) Tasas de inters, y 5) Tiempos o plazos de anualidade s

2.- INTRODUCCION En matemticas financieras, la expresin anualidad, se emplea para indicar el sistema de pago de sumas fijas a intervalos iguales. La palabra anual idad se utiliza por costumbre desde su orgenes. As es que se usa en las anualidade s contingentes, en las que interviene la probabilidad anual de vida de las perso nas. En Finanzas, una anualidad no significa pagos anuales sino pagos a interval os de tiempo. Por consiguiente se consideran anualidades: A) B) C) D) E) Los div idendos sobre acciones Los fondos de amortizacin Los pagos a plazos Los pagos per idicos de las compaas de seguros Y en forma mas general, los sueldos y todo tipo de rentas

Entonces las expresin anualidad puede cambiarse por: 1) Rentas 2) Series uniforme s 3) Pagos peridicos 4) Amortizaciones u otros Segn el caso y las costumbres local es 3.- DEFINICION. Una anualidad es una sucesin de pagos peridicos iguales. Si los pagos son diferentes o alguno de ellos es diferente a los dems , la anualidad se toma, segn el caso, los nombres de anualidades variables o anualidades impropias

4.- CLASIFICACION DE LAS ANUALIDADES Los factores financieros que intervienen en las anualidades y sus formas de pago determinan diferentes tipos de anualidades . A fin de llevar a cabo un estudio organizado, es necesario elaborar una clasif icacin y dar su correspondiente definicin. A) RENTA. El valor de cada pago peridico recibe el nombre de renta B) PAGO PERIODICO O PERIODO DE RENTA. El tiempo fijad o entre dos pagos sucesivos es el periodo de pago o periodo de la renta. C) TIEM PO O PLAZO DE UNA ANUALIDAD. El intervalo que transcurre entre el comienzo del p rimer periodo de pago y el final del ultimo es el tiempo o plazo de una anualida d. D) RENTA ANUAL. La suma de los pagos hechos en un ao corresponde a la renta an ual E) TASA DE UNA ANUALIDAD. El tipo de inters fijado es la tasa de anualidad y puede ser nominal o efectiva

Segn el tiempo, las anualidades se agrupan en dos clases: 1) Anualidades ciertas, y 2) Anualidades eventuales o contingentes A) ANUALIDAD CIERTA. Son aquellas cuya fecha inicial y terminal se conocen por e stas estipuladas en forma concreta B) ANUALIDADES CONTINGENTES. Son aquellas en las que el primer pago o el ultimo, es decir, , la fecha inicial y/o la fecha final dependen de algn suceso previsib le, pero cuya fecha de realizacin no puede fijarse

ANUALIDADES PERPETUAS O PERPETUIDADES. Estas son una variacin de las anualidades ciertas, en las que la duracin del pago es, en teora, ilimitadas Segn la forma que se estipule el pago de la renta o anualidad, se originan: 1) Anualidades ordinar ias o vencidas, y 2) Las anualidades anticipadas. A) ANUALIDAD ORDINARIA. O venc ida si el pago de la renta se hace al final del periodo de pago. B) ANUALIDAD AN TICIPADA. Si el pago se efecta al principio del periodo de pago

ANUALIDADES INMEDIATAS. Son aquellas cuyo primer pago se efectua al iniciar o te rminar el primer periodo. ANUALIDADES DIFERIDAS. Son aquellas en las que se esti pula que el primer pago debe efectuarse de transcurrido cierto numero de periodo s. Entonces en base a estas clasificaciones se tiene: A) ANUALIDADES CIERTAS Ord inarias o vencidas Inmediatas Diferidas Perpetuas inmediatas Perpetuas diferidas Anticipadas Inmediatas Diferidas Perpetuas inmediatas Perpetuas diferidas

B) ANUALIDADES EVENTUALES O CONTINGENTES ordinarias o vencidas Inmediatas Diferi das Perpetuas inmediatas Perpetuas diferidas Anticipadas Inmediatas Diferidas Pe rpetuas inmediatas Perpetuas diferidas Cada una de las distintas formas de anualidades presenta variantes en la forma d e calcular sus valores, segn el numero de pagos en el ao y numero de periodos de c apitalizaciones anuales que estipule el tipo de inters. ANUALIDADES SIMPLES. Se d efinen como aquellas cuyo periodo de pago coincide con el periodo de capitalizac in.

5.- VALOR DE LAS ANUALIDADES. A) El valor de la anualidad calculado a su termina cin es el valor futuro de esta. B) El valor de la anualidad calculado al comienzo es su valor presente. Estos valores pueden calcularse en fechas intermedias; en tal caso, se refieren a valor futuro de la parte vencida o valor presente de las anualidades por vence r. As por ejemplo,, una renta de $ 4.000 pagaderos cada final de ao durante 6 aos, tendr el valor futuro F al finalizar los 6 aos, y tendr un valor presente, P, en su fecha inicial

P F 0 1 2 3 4 5 6 aos 4.000 4.000 4.000 4.000 4.000 4.000 Parte vencida Fecha intermedia Parte por vencer Transcurridos 2 aos se tiene una fecha intermedia que separa la parte vencida de la anualidad, de la parte por vencer , tal como se muestra en la grafica

5.1.- VALOR FUTURO Y VALOR PRESENTE DE LAS ANUALIDADES SIMPLES CIERTAS ORDINARIA S INMEDIATAS Este tipo de anualidad es el mas frecuente y, por esto, cuando se dice simplemen te anualidad, se supone que se trata de una anualidad simple cierta ordinaria in mediata . La tasa de inters es por lo general , una tasa de inters nominal anual. En caso qu e la tasa no se nominal , se indicara como tasa efectiva anual Si la tasa dada es nominal, sin especificacin de periodo de capitalizacin, la tasa efectiva en el periodo de pago es el cociente entre la tasa nominal y el numero anual de pagos.

SIMBOLOS UTILIZADOS PARA LAS ANUALIDADES. A= i= j= m= pago peridico de una anuali dad o renta tasa efectiva por periodo de capitalizacin tasa nominal anual numero de capitalizaciones en el ao j(m) = tasa nominal con m periodos de capitalizaciones en el ao n= F= P= numero d e periodos de pago monto de una anualidad o su valor futuro Valor actual o prese nte de una anualidad

A) CALCULO DEL VALOR FUTURO. Los pagos A efectuados al final de cada periodo gan an inters compuesto, hasta la fecha final. Estableciendo la ecuacin de equivalenci a para la fecha final como fecha Focal, se tiene, entonces: F 0 1 2 3 .. n -1 n periodos A A A A A A A A Cada pago efectuado al final del periodo capitaliza los intereses en cada uno de los siguientes periodos. El primer pago acumula durante (n 1) periodos, el segu ndo (n 2) periodos, y as sucesivamente, hasta el ultimo pago que no obtiene inter eses, ya que coincide con la fecha de termino

Los valores futuros respectivos de los pagos A comenzando por el ultimo seran: A , A(1 + i), A(1 + i)2,.. A(1 + i)n-2 + A(1 +i)n-1, El valor futuro total F de la anualidad es igual a la suma de los valores futuro s producidos por las distintas rentas A, o sea: F = A + A(1+i) + A(1 + i)2+.. + A(1+i)n-2 + A(1+i)n-1 Los trminos del segundo miembro forman una progresin geomtrica de n trminos , razn (1 + i) y primer termino A. al aplicar la formula de la suma dada de la progresin g eomtrica se tiene: S = a(rn 1)/r -1; F = A (1+i)n 1/(1+i) 1 (1+i)n -1 F= A i ( 1 A)

En notacin estndar F = A (F/A, i%, n) ( 1 B) (Se pide F dados: el pago peridico A, la tasa i% por periodo y el numero n de per iodos) Si el valor de cada pago a es de una unidad monetaria, el valor Futuro F corresp onde al valor futuro de una anualidad de uno por periodo, el cual se denomina fa ctor de valor futuro de una anualidad. Notacin algebraica (1 + i)n 1/i = Factor de valor futuro Notacin estndar (F/A, i%, n) = Factor de valor futuro

B.- CALCULO DEL VALOR PRESENTE. El valor presente de una anualidad es aquella ca ntidad P de dinero con sus intereses compuestos que, en el tiempo de la anualida d, proporcionara un valor futuro equivalente al de la anualidad. Al formar la ec uacin de equivalencia y utilizar como fecha focal la fecha final, se tiene: P F 0 1 2 n2 n-1 n periodos A A A A

P (1 + i)n = F P(1 + i)n = A (1+i)n-1/i P = A*(1+i)n-1/i*(1+i)-n P = A*[1 (1-i)-n /i] Notacin estndar P = (P/A, i%, n) ( 2 A) ( 2 B) (Se pide P, dados el pago peridico A, la tasa i% por periodo y el numero de perio dos) Si el valor de cada pago A, es de una unidad monetaria, el valor presente P corr esponder al valor presente de una anualidad de uno por periodo y se expresa por e l factor de valor presente de una anualidad de $ 1

Notacin algebraica 1 (1+i)-n/i = Factor de valor presente Notacin estndar (P/A, i%, n) = Factor de valor presente EJERCICIO 1: Una persona que viaja fuera de su ci udad deja una propiedad en arriendo por 5 aos, con una condicin de que paguen M$ 3 60 por trimestre vencido. Esta cantidad se depositara en una cuenta de ahorros q ue paga el 8% nominal anual. Encontrar: 1) El valor futuro en los 5 aos 2) El val or presente del contrato de arriendo

RESOLUCION: 1) Valor Futuro: F = A*(1+i)n -1/i F = A(F/A, i%, n) A = M$ 360; j = 0,08; m = 4; i = 0,08/4 = 0,02; n = 4*5 = 20 F = 360[F/A, 2%, 20], usando tabla s de Matemticas Financieras 24,29736980 F = 360*24,29736980 = M$ 8.747

2.- Valor Presente. P = A(P/A, i%, n) = 360 (P/A, 2%, 20) en las tablas de M. F. (P/A, 2%, 20) = 16,35143334 A = 360*16,35143334 = M$ 5.887 EJERCICIO 2: Encontr ar el valor futuro y el valor presente de una anualidad de M$ 500.000, pagadera semestralmente durante 7 aos 6 meses al 8,6%, capitalizable semestralmente. 1.- V alor Futuro A = M$ 500.000; j = 0,086; m = 2; i = 0,086/2 = 0,043; n = 7*1/2*2 = 15 F = 500.000*(1+0,043)15 1/0,043 = 20,475867 F = 500.000*20,475867 = M$ 10.23 7.933

2.- Valor Presente. P = A*[1-(1+i)-n]/i = 500.000* 1 (1,043)-15/0,043 A = 500.00 0* [1 0,531784]/0,043 A = 500.000*10,888742 = M$ 5.444.371 EJERCICIO 3: Una pers ona debe pagar una anualidad de M$ 6.000 trimestrales durante 10 aos. Si no efecta los 4 primeros pagos , Cunto debe pagar la vencer la quinta cuota , para poner al da su deuda, si la tasa de operacin es del 10%, con capitalizacin trimestral? Se c alcula el VF parcial hasta el quinto pago

F 0 1 5 37 38 39 40 trimestres 6.000 6.000 6.000 6.000 6.000 6.000 F = Valor futuro parcial A = M$ 6.000; j = 10%; m = 4; i =10%/4 = 2,5% = 0,025; n = 5 F = A(F/A, i%, n) = 6.000 (F/A, 2,5%, 5) F = 6.000* 5,2563632852 = M$ 31.538

EJERCICIO 4: Una persona debe pagar durante 10 aos una anualidad de M$ 5.000 seme strales pactados al 8% nominal. Al efectuar el noveno pago, desea liquidar el sa ldo con un pago nico. Cunto debe pagar en la fecha del noveno pago, para liquidar l a deuda? P 0 1 9 19 20 semestres A A A A Al efectuar el noveno pago quedan 20 9 = 11 pagos Pago nico = A + P (A es el valor de cada anualidad y P el valor actual de los 11 pagos pendientes)

A = M$ 5.000; j = 0,08; m = 2; i = 0,08/2 = 0,04 Pago nico = 5.000 + 5.000*(P/A, 4%, 11) = 5.000 + 5.000*8,76047671 Pago nico = M$ 43.802,4 5.2.- CALCULO DE LA RENTA EN UNA ANUALIDAD SIMPLE CIERTA ORDINARIA Es frecuente la necesidad de conocer el importe de pagos peridicos, para lograr d eterminado resultado; as por ejemplo: 1) Cul es el pago mensual que debe hacerse pa ra cancelar el valor de una propiedad, en cierto numero de aos, 2) Qu cantidad de d inero habr que colocar peridicamente, en un fondo de amortizacin para cancelar una obligacin a largo plazo? 3) Con que cuotas peridicas puede cancelarse una mercadera conocido su valor de contado y la tasa de inters?

En esta parte se pueden plantear dos problemas, segn se conozca el valor futuro p or cancelar en fecha futura o el valor presente por cancelar, mediante pagos per idicos. (A) Calculo de la renta cuando se conoce el valor futuro De la formula se obtiene F = A*(1+i)n-1/i A = F*i/(1+i)n 1 (3A) (3B) En notacin estndar A = (A/F, i%, n) El factor i/(1+i)n-1 = (A/F, i%, n) recibe el nombre de factor del fondo de amor tizacin, que corresponde al valor de la renta de una anualidad cuyo valor futuro ascender a una unidad monetaria, despus de n pagos, a la tasa i por periodo de pag o. El valor de este factor, para las tasas que con frecuencia se usan en sistema bancario hoy se encuentra en las calculadoras financieras

(B) Calculo de la renta, cuando se conoce el valor presente De la formula 2 Se ob tiene P = A*[1-(1+i)-n]/i A = P*i/[1-(1+i)-n] (4 A ) (4 B ) En notacin estndar A = P(A/P, i%, n) El factor i/[1-(1+i)-n] = (A/P, i%, n) recibe el nombre de factor de amortizacin, que corresponde al valor de la renta de una anualidad que amortiza una deuda de una unidad monetaria, en n pagos, a la tasa i por periodo de pago. Por otra parte, se pueden asociar las formulas, mediante la siguiente relacin. A partir de la formula (F/A, i%, n) = (1+i)n 1/i

Se obtiene (A/F, i%, n) = i/(1+i)n -1 De la formula (P/A, i%, n) = [1-(1+i)-n]/i Se obtiene (A/P, i%, n) = i/[1-(1+i)-n] al sumar i al valor de (A/F, i%, n), se obtiene (A/F, i%, n) + i = i/(1+i)n- 1 +i =[ i + i(1+i)n 1]/(1+i)n -1 (A/F, i%, n) + i = i/[1- (1 +i)-n], de donde (A/F, i%, n) = (A/F, i%, n) + i Los valores del factor de amortizacin (A/P, i%, n), se obtienen al sumar i al val or correspondiente del factor de fondo de amortizacin (A/F, i%, n)

EJERCICIO 5: Calcular los depsitos semestrales necesarios en una cuenta de ahorro s que paga el 8% con capitalizacin semestral, para obtener en 5 aos un capital de M$ 20.000 RESOLUCION: A = F(A/F, i%, n) F = 20.000; j = 8%; m = 2; i = 8%/2 = 4% ; n = 2*5 = 10 A = 20.000*(A/F, 4%, 10) = M$ 20.000* 0,08329094 A = M$ 1.666 EJE RCICIO 6: Calcular los pagos por semestre vencido, necesarios para cancelar el v alor de M$ 100.000 de una propiedad comprada a 8 aos de plazo con un inters del 9% capitalizable semestralmente

RESOLUCION: A = P(A/P, i%, n) P = 100.000; j = 9%; m = 2; i = 9%/2 = 4,5%; n = 8 *2 = 16 A = 100.000*(A/P, 4,5%, 16) = 100.000[(A/F, 4,5%, 16) +0,045] (A/P, 4,5% , 16) = 0,04401537 con calculadora (A/P, 4,5%, 16) = 0,044015537 + 0,045 = 0,08901537 A = M$ 100.000*0,08901537 Pag os semestrales de M$ 8,902

5.3.- CALCULO DEL TIEMPO O PLAZO DE UNA ANUALIDAD Si en la formulas del valor fu turo y valor presente se conoce, la tasa y la Anualidad A, puede calcularse el v alor de n, o sea, el numero de pagos Mediante logaritmos, las formulas de los va lores futuros y presente pueden resolverse para n; as, por ejemplo: Formula del Valor Futuro F = A*(1+i)n-1/i iF = A*(1+i)n A A(1 + i)n = iF+ A logA + n log(1+i) = log(iF + A) nlog(1+i) = log(iF + A) log A n = (log (iF + A) logA )/log(1+i)

EJEMPLO 6: Cuntos pagos semestrales de M$ 6000 debern hacerse para cancelar una deu da de M$ 45.000, al 7% de inters capitalizable semestralmente? RESOLUCION M$ 45.0 00 es el valor actual de la deuda, para el calculo del numero de pagos, se aplic a: P = A(P/A, i%, n) P = 45.000; A = 6.000; j = 7%; m = 2; i = 7%/2 = 3,5% 45.00 0 = 6.000*(P/A, 3,5%, n) (P/A, 3,5%, n) = 45.000/6.000 = 7,5 Entonces utilizamos interpolacin como sigue: (P/A, 3,5%, 8) = 6,87395554 y (P/A, 3,5%, 9) = 7,607686 51

Si se necesita calcular un valor decimal aproximado al numero de periodos, es co mo sigue a 9 corresponde a 8 corresponde 1 es a 7,60768651 6,87395554 a n corresponde a 8 corresponde n 8 es a 7,50000000 6,87395554 0,62604446 0,73373097 como 1/0,73373097 = n 8/0,62604446 n 8 = 0,62604446/0,73373097 = 0,853 n = 8,853 peri odos semestrales En las actividades financieras se acostumbran soluciones practicas, optando por cualquiera de las dos alternativas expresadas a continuacin

A) Aumentar el pago correspondiente al ultimo periodo entero (para este caso, el 8) B) Utilizar el entero superior, efectuando un pago menor en el ultimo period o. (en el ejemplo dado, se trabajara con 9 periodos, efectuando un pago menor al final del noveno periodo) Estas soluciones no enteras dan origen a las anualidad es impropias o variables, aquellas cuyos pagos o anualidades no son iguales. Si en el ejemplo trabajado, se toma la alternativa b, se tendr que efectuar un ultim o pago menor que los anteriores y suficiente para cancelar exactamente el saldo o remanente despus de efectuar los 8 primeros pagos. Para calcular el valor del u ltimo pago, se plantea una ecuacin de equivalencia. Al escoger la fecha inicial c omo fecha focal, se tiene entonces para:

P = 45.000; A = 6.000; j = 0,07; m = 2; i = 7/2 = 3,5%; n = 9 45.000 1 2 7 8 9 semestres 6.000 6.000 6.000 6.000 X 45.000 = 6.000*(P/A, 3,5%, 8) + X (1+0,035)-9 45.000 = 6000*6,87395554 + X(0,733 73097) 45.000 = 41.244 + 0,73373097X X = (45.000 41.244)/0,73373097 = M$ 5119

La anualidad, en este caso impropia, esta formada por 8 pagos semestrales de M$ 6.000 cada y un ultimo pago de M$ 5.119, al final del noveno semestre. Para el calculo del ultimo pago, es posible aprovechar la interpolacin anterior y se tendra: 0,62604446/0,73373097*6.000 = M$ 5.119,4 Para demostrar que las dos formas de calculo son iguales, basta observar que 0,6 2604446 = 7,50000000 6,87375554 y que: 6.000* 0,62604446/0,73373097 = (7,5000000 6,87375554)/0,73373097 6.000 = (45.000 41.244)/0,73373097 = M$ 5119,4

Obsrvese tambin que (P/A, 3,5%, 9) (P/A, 3,5%, 8) = (1 + i )-9 Demostracin [1- (1+i)-9]/i [1-(1+i)-8]/i =[ (1+i)-8 (1+i)-9]/i (P/A, 3,55, 9) (P/A, 3,5%, 8) = (1+i)[(1+i)-1]/i = (1+i)-9 De acuerdo con lo anterior es posible enunciar: cuando el valor (P/A, i%, n) = A /P se resuelve por interpolacin, la parte decimal de n es la parte de la renta A que debe pagarse al final del periodo, y que corresponde al entero superior para cubrir totalmente la deuda.

5.4.- CALCULO DE LA TASA DE INTERES DE UNA ANUALIDAD SIMPLE CIERTA ORDINARIA La tasa i de una anualidad puede ser incgnita, cuando se conocen los dems elemento s de una anualidad, por lo general, los valores de i correctos desde el punto de vista matemtico, resultan ficticios en la practica. As, por ejemplo, si el calcul o da para i el valor de 7,322563%, desde el punto de vista matemtico resulta corr ecto, pero no se utiliza en la practica y se tomara una tasa aproximada de 7 1/3 % Se acostumbra calcular la tasa aproximada de inters mediante interpolacin, con est o se obtienen valores suficientemente aproximados para cualquier propsito. Este mt odo podemos ilustrarlo con el siguiente ejemplo.

EJEMPLO 7: Una empresa de seguros ofrece, por un pago inmediato de $ 180.000, un a renta anual de $10.000 pagadera durante 30 aos, al comprador o sus herederos. Qu tasa de inters abona esta empresa? RESOLUCION: A partir de la formula = A(P/A, i% , n) = P Se tiene (P/A, i%, n) = P/A P = 180.000; A = 10.000; n = 30 (P/A, i%, 3 0) = 180.000/10.000 = 18

Para encontrar los valores de (P/A, i%, 30) entre los cuales se halle comprendid o el valor 18,000000, se busca en las respectivas tablas para un n de 30 y estos valores son: Para (P/A, 4%, 30) = 17,29203330; i = 0,04 Para (P/A, 3,5%, 30) = 18,39204541; i = 0,035 Para el valor dado (P/A, i%, 30) = 18, se calcula i por interpolacin a a 0,035 corresponde 0,040 corresponde - 0,005 es a 18,39204541 a i corresponde 18,00000000 17,29203330 a 0,04 corresponde 17,292033 30 1,10001211 como i 0,04 es a 0,70796670 - 0,005/1,10001211 = i 0,04/0,70796670 i 0,04 = (-0,005)(0,70796670)/1,10001211 = -0,003218 Tasa = 3,6782 (Calculada) Tasa = 3, (practica o real)

5.5.- ANUALIDADES ANTICIPADAS Y ANUALIDADES DIFERIDAS OBJETIVOS. 1) Aprender a r econocer y definir los factores que intervienen en el calculo de los valores de anualidades anticipadas y diferidas 2) Examinar el desarrollo de formulas y mtodo s de anlisis para el calculo del valor futuro, valor presente, renta, plazos y ta sas 3) Aprender a plantear ecuaciones de equivalencia entre anualidades vencidas y anualidades anticipadas y diferidas

5.5.1.- ANUALIDADES ANTICIPADAS. 1) En los negocios, es frecuente que los pagos peridicos se efecten al comienzo de cada periodo, tal es el caso de las renta de terrenos, edificios y oficinas, cu yo arriendo se paga al principio de cada periodo. 2) En las ventas a plazo se su ele estipular una serie de pagos al comienzo de los periodos convenidos en el co ntrato de venta. 3) En los seguros, ya sean seguros de bienes en general, de vid a o de proteccin contra riesgos, las plizas, por lo general , estipulan que el ase gurado debe pagar sus cuotas o primas al comienzo de cada periodo. En estos caso s se usa la expresin. El pago vence a principio del periodo

DEFINICION: Una anualidad anticipada es una sucesin de pagos o rentas que se efec tan o vencen al principio del periodo de pago. Para comparar las anualidades anti cipadas, con las anualidades vencidas es muy til el siguiente diagrama Anualidade s Vencidas 1 2 n- 2 n- 1 n 0 1 2 3 n1 n Anualidades Anticipadas

A) SIMBOLOS UTILIZADOS EN LAS ANUALIDADES ANTICIPADAS Todos los smbolos tienen el mismo significado definidos en las anualidades ordinarias o vencidas A= i= j= m = Pago peridico o renta Tasa efectiva por periodo de capitalizacin Tasa nominal an ual Numero de capitalizaciones en el ao j(m) = Tasa nominal con m capitalizaciones en el ao n= F= P= Numero de periodos d e pago Valor futuro o monto de una anualidad Valor presente o actual de una anua lidad

Con el objeto de diferenciar las anualidades anticipadas de las anualidades venc idas, se acostumbra usar los smbolos F y P con diresis para las anualidades antici padas, esto en particular es til cuando se trabaja simultneamente con ambos tipos de anualidades. F = Valor futuro de una anualidad anticipada P = Valor presente de una anualidad anticipada Para el calculo de las anualidades anticipadas y diferidas se utilizan las misma s formulas ya explicadas en anualidades vencidas, la diferencia se encuentra en la interpretacin del factor. En efecto, en el modelo matemtico Y(X/Y, i%, n) se pide X conocido Y, que es modi ficado por los efectos del tiempo y la tasa. Para Y = 1, la cantidad (X/Y, tasa, tiempo), recibe el nombre de factor de , que para cada tipo de anualidad tiene una expresin algebraica en la que el tiempo incide en forma diferente

B) VALOR FUTURO Y VALOR PRESENTE DE LAS ANUALIDADES SIMPLES CIERTAS ANTICIPADAS Existen diferentes formas para calcular tanto el valor futuro como el valor pres ente de las anualidades anticipadas; de estas, se proporcionaran dos formas cons ideradas las mas simples y de mayor utilidad en el planteamiento de los problema s Sea el diagrama de una anualidad anticipada de A por periodo F -1 0 1 2 n-2 n-1 n A A A A A A

Observe que al dad vencida de 1), restando a l valor futuro periodos.

agregar un ultimo pago A se obtiene el valor futuro de una anuali A, por periodo, pagadera durante n + 1 periodos, F = (F/A, i%, n+ este valor el ultimo pago A el cual se haba agregado, se obtiene e de una anualidad anticipada de A, por periodo, pagadero durante n

F = A (F/A, i%, n+1) A estndar F = A[(F/A, i%, n+1)- 1] Algebraica F = A[(1+i)n+1 -1/i -1] El factor [(F/A, i%, n+1)-1] es el factor de valor futuro de anualidades anticip adas

El mismo resultado puede obtenerse planteando la siguiente ecuacin de equivalenci a y utilizando como fecha focal el final del periodo n 1 (ver diagrama). En este se advierte que el pago A en el periodo n 1 puede considerarse el ultimo pago d e una anualidad vencida que se inicia en el periodo -1: F(1+i)-1 = A(F/A, i%, n) donde F = A(F/A, i%, n)( 1+ i) Al reemplazar por sus expresiones algebraicas F = A*[(1+i)n -1/i]*(1+i) = A* (1+ i)n -1 i/i F = A [(1+i)n+1 1/i i/i] = A*[(1+i)n+1 -1/i 1] Como [(1+i)n+1 -1/i] = (F/A, i%, n+1) Se tiene F = A[F/A, i%, n+1) - 1]

[(F/A, i%, n+1) -1 ] es el valor futuro de una anualidad anticipada de una unida d monetaria, pagada durante n periodos, a la tasa i por periodo. Se puede expres ar en la forma (F/A, i%, n) Los valores del factor de valor futuro de una anualidad anticipada en n periodos se obtiene restando 1 al valor del factor futuro de anualidades vencidas corres pondientes a (n+1) periodos. C.- CALCULO DEL VALOR PRESENTE. Si en el diagrama de una anualidad anticipada pa gadera durante n periodos se suprime el primer pago A, se tiene una anualidad ve ncida de A, por periodo, pagadera durante n1 periodos

P F 0 1 2 n-1 n A A A A A Su valor presente es P = A(P/A, i%, n-1) + A P = A[(P/A, i%, n-1) +1] Este mismo resultado puede obtenerse planteando la siguiente ecuacin de equivalencia y util izando la fecha inicial como fecha focal

P = A(F/A, i%, n -1)(1+i)-(n-1) + A P = A[(F/A, i%, n- 1)(1+i)-(n-1) +1] Como (F /A, i%, n- 1) = (1+i)n-1 1/i Luego P = A [(1+i)n-1 1/i*(1+i)-(n-1) +1] O sea P = A[1-(1+i)-(n-1)/i + 1] En no tacin estndar P = A[(P/A, i%, n-1) +1] [(P/A, i%, n-1)] es el factor de valor pres ente de una anualidad anticipada de $ 1 por periodo pagada durante n periodos. S e puede expresar en la forma (P/A,i %, n)

El tratamiento de los problemas que involucran anualidades anticipadas, por lo g eneral no es diferente de lo tratado en los problemas de anualidades vencidas. E n todo caso, es recomendable plantear las ecuaciones de equivalencia y no depend er de la simple aplicacin de las formulas, ya que estas resultan muy limitadas an te la gran variedad de problemas a abordar en matemticas financieras . EJEMPLO 8: Una empresa deposita al principio de cada ao $ 200.000 en una cuenta de ahorro q ue abona el 7% de intereses, A cuanto ascendern los depsitos al cabo de 5 aos F 0 1 2 3 4 5 aos 200.000 200.000 200.000 200.000 200.000 200.000

F = A[(F/A, i, n+1) -1] F = 200.000: i = 7%; n = 5 F = A[(F/A,7%, 5+1)-1] = 200.000*6,15329074 F = $ 1.230.658 Las calculadoras fin ancieras, bajo el mando de anticipada, reciben como dato el valor de n en la mis ma forma que sucede con las anualidades vencidas Mediante calculadora con funcin Xy: [(F/A, i%, n-1) -1] = (1+i)n+1 -1/i 1 Primer paso 1,07)6 = 1,5007304 Segundo paso 1,5007304 -1 = 0,5007304 Tercer paso 0,5007304/0,07 = 7,1532914 Cuarto pas o 7,1532914 -1 = 6,15320914 Quinto paso 6,1532914* 200.000 = $ 1.230.658

EJERCICIO 9: Carlos Meza desea ahorrar dinero y debe escoger entre dos plizas de capitalizacin que le ofrecen bajo las siguientes condiciones: 1) Cancelar $ 25.00 0 semestrales pagaderos a principio del semestre durante 10 aos para formar un ca pital de $ 1.040.000 2) Cancelar $ 12.500 trimestrales pagaderos a principio de trimestre durante 10 aos para formar un capital de $ 1.075.000 Entre las dos alte rnativas es mejor la que ofrezca mayor tasa de retorno DESARROLLO: A) Primera alternativa

$ 1.040.000 0 1 2 18 19 20 semestres 25.000 25.000 25.000 Opcin A: 25.000 25.000 F = A[(F/A, i%, n) -1 ]; n = 20, F = $ 1.040.000, A = $ 25.000 1040.000 = 25.000 [(F/A, i%, 21)-1] (F/A, i%, 21) = 1.040.000/25.000 = 41,6 (F/A, i%, 21) = 42,6 V amos a las tablas para n = 21 los valores mas prximos a 42,6

(F/A, 6,5%, 21) = 42,34895373 (F/A, 7%, 21) = 44,86517678 a 0,07 corresponde 44,86517678 a 0,065 corresponde 42,34895373 0,005 es a ai corresponde 42,60000000 a 0,065 correspo 42,34895373 0,25104627 2,51622305 como i- 0,065 es a 0,005/2,51622305 = i 0,065/0,25104627 i 0,065 = 0,05*0,25104627/2,51622305 i = 0,00049886 + 0,065 i = 0,06549886 j(2) = 13,1% TIR = 13,53 EFECTIVO

Opcin B, mediante calculadora con funcin Xy $ 1.075.000 0 1 2 38 39 40 Trimestres 12.500 12.500 12.500 12.500 12.500 12.500 F=A (1+i)n+1- 1/i 1 F = 1.075.000; A = 12.500, n = 40 1.075.000 = 12.500 (1+i)41 -1/i - 1

(1+ i)41 1/i = 87 A buen criterio, se ensaya con j(4) = 12%; i = 0,03 Primer pas o (1,03)41 = 3,3598989 Segundo paso 3,3598989-1 = 2,3598989 Tercer paso 2,3598989/0,03 = 78,6632966 < 8 7 Se ensaya con i Tercer paso Ahora con la alternativa Tercer paso Ahora con la alternativa Tercer paso = 0,035, se repiten los pasos y se obtiene = 88,50953714 > 87 = 0,034 y se obtiene = 86,4294676< 87 = 0,0345 = 87,4622696 > 87

Finalmente se ensaya con i = 0,0343 Tercer paso = 87,0474256 > 87 valor que es s uficientemente aproximado i = 0,0343 TIR = 14,44% Respuesta , la oferta B es mej or puesto que proporciona mayor tasa de retorno. Con calculadora electrnica F = ( F/A, i%, n); se ingresan los datos F = 1.075.000, A = 12.500, n = 40 y se comput a i = 3,4277%, j(4) = 13,7108% j(4) = 13,72%

5.6.- ANUALIDADES DIFERIDAS En los negocios, es frecuente que algunas circunstan cias obliguen a que el primer pago comience en una fecha futura, hasta despus de transcurrido cierto tiempo desde el momento inicial o de convenio. Es decir, la fecha inicial de la anualidad no coincide con la fecha del primer pago. En estos casos se dice que la Anualidad es Diferida. DEFINION. Una anualidad diferida es aquella cuyo plazo comienza despus de transcurrido un intervalo INTERVALO DE APL AZAMIENTO Es el tiempo transcurrido entre la fecha inicial, o fecha de valoracin de la anualidad, y la de primer pago

Para medir el intervalo de aplazamiento, se utiliza como unidad el tiempo que co rresponde a un periodo de pago. As por ejemplo, si dentro de 2 aos se efectuara el primer pago de una anualidad vencida de $ A por semestre y cuyo plazo es de 3 ao s, se tendra: 0 1 2 k 3 4 5 6 7 8 9 10 semestres A A A A A A A k = fecha inicial de la anualidad vencida

Tiempo diferido = 3 periodo semestrales Tiempo plazo de la anualidad = y periodo s Tiempo total = tiempo diferido mas tiempo de la anualidad Por lo general, las anualidades diferidas se analizan como ordinarias o vencidas de manera que, en los problemas, al hablar de una anualidad diferida, se supone que es vencida

A) VALORES DE LAS ANUALIDADES DIFERIDAS SIMPLES CIERTAS Para el calculo de los valores de las anualidades diferidas no se requieren nuev as formulas ni tablas distintas de las ya descritas en apartados anteriores. Para ello es necesario comprender la importancia de analizar los problemas, util izando diagramas que le permitan determinar, cuidadosamente, el tiempo diferido y el tiempo de pago, para luego plantear las ecuaciones de equivalencia que cond ucen a la correcta solucin. 1) CALCULO DEL VALOR PRESENTE. Sea una anualidad venc ida, diferida k periodos, de $ A por periodos pagaderos durante n periodos, a la tasa i por periodo. Mediante la elaboracin de un diagrama se tiene:

P 0 1 2 k k+1 k+2 k+n-1 k+n periodos A tiempo diferido A A tiempo de anualidad A Al formar una ecuacin de equivalencia y utilizar como fecha focal el final del pe riodo k, siendo P el valor presente en la fecha inicial, se tiene:

Notacin estndar P(F/P, i%, k) = A(P/A, i%, n) P = A(P/A, i%, n) (P/F, i%, k) Notacin algebraica (P/A, i%, n) = 1 (1+i)-n/i; (P/F, i%, k) = (1+ i)-k P = [1-(1+ i)-n/i]*(1+i)-k Otro mtodo para calcular el valor de las anualidades diferidas co nsiste en tratarlas como diferencia, entre dos anualidades no diferidas, as: P1 0 I 1 2 K-1 K K+1 K+ n -1 k+n Periodos A A A A A A A

P2 0 II 1 2 k1 k periodos A A A A P3 0 III 1 2 k -1 k k+1 k+ n -1 k + n periodos A A A A A A A

El valor presente de I es P1 = A(P/A, i%, k+ n) El valor presente de II es P2 = A(P/a, i%, k) El valor presente de III es P3 = P1 P2 P3 = A(P/A, i%, k+ n) A(P/A , i%, n) De donde, el valor presente de la anualidad diferida k periodos es: P = A[(P/A, i%, k+ n) (P/A, i%, k)] Anteriormente demostramos que: (P/A, i%, n + k) = (P/A, i%, k) + (1+i)-k(P/A, i%, n)