4.3_derivada_de_orden_superior.doc

8/16/2019 4.3_Derivada_de_Orden_Superior.doc

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C A P I T U L O I I I

Derivadas parciales

En las aplicaciones de las funciones de varias variables surge una pregunta: ¿Cómo

será afectada la función por una variación de unade las variables independientes?. Podemosresponder esta interrogante considerando cada vezuna variable independiente. Por ejemplo, paradeterminar el efecto de un catalizador en une perimento, un !u"mico llevar"a a cabo ele perimento varias veces usando cantidadesdistintas de catalizador, pero manteniendoconstantes otras variables, tales como latemperatura # la presión. $eguimos un

procedimiento parecido para determinar la razón de cambio de una función f conrespecto a una de sus variables independientes. Esto es, %acemos la derivada de fcada vez con respecto a una variable independiente, manteniendo constantes lasdemás. Este proceso se conoce como derivada parcial , # su resultado se refiere comola derivada parcial de f con respecto a la variable independiente elegida.

&a introducción de las derivadas parciales tardóvarios a'os en seguir a los trabajos de (e)ton #&eibniz. Entre *+ - # *+ -, &eon%ard Euler # /ean&e 0ond d12lembert 3*+*+4*+5 6 publicaron

separadamente varios art"culos de dinámica, en loscuales establecieron gran parte de la teor"a de lasderivadas parciales. Estos art"culos usabanfunciones de dos o más variables para estudiarproblemas !ue trataban del e!uilibrio, elmovimiento de flu"dos # las cuerdas vibrantes.

Derivadas parciales

Definición 3.1

$i z7f3 ,#6, entonces las derivadas parciales primeras de f con respecto a # a #son las funciones f # f # respectivamente, definidas mediante

Jean Le Rond d´Alembert

Leonhard Euler


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siempre # cuando e istan los l"mites.

Esta definición indica !ue si z7f3 ,#6, entonces para calcular f x consideramos !ue esconstante # derivamos con respecto a . 8e forma análoga, para obtener f consideramos !ue x es constante # derivamos con respecto a #.

E!emplo 3.1

Calcular f # f # para la función

"olución

Considerando # constante # derivando con respecto a , resulta

Considerando constante # derivando con respecto a #, resulta

E isten notaciones diferentes para las derivadas parciales primeras. 2 continuacióndamos una lista de las más comunes:

$i z7f3 ,#6, las derivadas parciales primeras f # f # se denotan

E!emplo 3.#

Para la función encontrar f # f # # evaluar cada una de ellas en el punto3*, ln96

"olución


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Como la derivada parcial de f con respecto a en 3*, ln96es

Como la derivada parcial de f con respecto a # en 3*, ln96es

&as derivadas parciales de una función de dos variables, z7f3 ,#6, tienen unainterpretación geom trica ;til. $i #7c, entonces z7f3 ,c6 representa la curva formadapor la intersección de la superficie z7f3 ,#6 con el plano #7c, como muestra la figura

.*. Por lo tanto,

fi$ura 3.1

representa la pendiente de esta curva en el plano #7c 3observar !ue tanto la curvacomo la tangente pertenecen al plano #7c6.

8e forma similar,

representa la pendiente de la curva obtenida por la intersección de z7f3 ,#6 # el plano7c como se observa en la figura .9.


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fi$ura 3.#

$e dice !ue los valores de f # f # en el punto 3 - ,# - ,z - 6 denotan la pendiente de lasuperficie en las direcciones x e respectivamente.

E!emplo 3.3

Encontrar la pendiente de la superficie dada por en el punto3*


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fi$ura 3.3 fi$ura 3.&

Derivadas parciales de orden superior

&o mismo !ue sucede con las derivadas ordinarias, es posible encontrar derivadasparciales de una función de varias variables de órdenes segundo, tercero # superiores,supuesto !ue tales derivadas e isten. 8enotamos las derivadas de orden superior porsu orden de derivación. Por ejemplo, %a# cuatro formas distintas de encontrar unaderivada parcial segunda de z7f3 ,#6.

*. 8erivar dos veces respecto de :

9. 8erivar dos veces respecto de #:

. 8erivar primero con respecto a # luego con respecto a #:

=. 8erivar primero con respecto a # # luego con respecto a :

&os casos tercero # cuarto se conocen como derivadas parciales cru%adas . $e debeobservar !ue %a# tipos de notación para las derivadas parciales cruzadas, seg;nconvenio se utilice para indicar el orden de derivación. 2s", la parcial

rden de derec%a a iz!uierda

indica !ue la primera derivación es con respecto a , pero la parcial

3f #6 7f # rden de iz!uierda a derec%a


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indica !ue la primera derivación es con respecto a #. bservar !ue con ambasnotaciones se driva primero respecto de la variable !ue está más cercana a f .

E!emplo 3.&

Encontrar las derivadas parciales segundas de # calcular elvalor de f #34*,96

"olución

Primero calculemos las derivadas parciales primeras con respecto a # a #:

@ derivando cada una de estas con respecto a # a #, resulta

Ainalmente, f #34*,967*94=-7495

$e observa !ue las derivadas parciales cruzadas son iguales. Esto sucedefrecuentemente, como se indica en teorema siguiente.

'eorema 3.1

$i f es una función de e # tal !ue f, f , f #, f # # f # son continuas en la región abierta0, entonces para cada 3 ,#6 en 0,

E!emplo 3.(

Probar !ue las derivadas parciales cruzadas son iguales para la función

"olución

&as parciales primeras son,


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@ las parciales cruzadas son,

E!ercicios

E!ercicio 3.1

Encontrar las derivadas parciales primeras con respecto a e #

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

E!ercicio 3.#

Evaluar f # f # en el punto !ue se indica

1. , (2,-2)

2. , (1,0)


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3. , (2,-2)

4. , (1,0)

E!ercicio 3.3

Encontrar las segundas derivadas parciales f , f ##, f # # f#

1.

2.

3.

4.

E!ercicio 3.&

8emostrar !ue f #7f #

1.

2.

3.

4.

5.

6.

E!ercicio 3.(

Berificar !ue la función satisface la ecuación de Laplace


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E!ercicio 3.)

tilizar la definición mediante l"mites de las derivadas parciales para encontrar f 3 ,#6 #f #3 ,#6

E!ercicio 3.*

8ibujar la curva de intersección de la superficie # del plano dados. Encontrar lapendiente de la curva en el punto !ue se especifica

superficie plano punto79 39, , 6

#7* 39,*,56#7 3*, ,6

7* 3*, ,-6

Evaluación

*6 $e ( el n;mero de candidatos a una universidad, p es el costo de alimentación #alojamiento # t el precio de la matr"cula. $upongamos !ue ( es una función de p # de ttal!ue ( pD- # ( tD-. ¿Cómo interpretar"a el %ec%o de !ue ambas derivadas parcialesfueran negativas?

96 El alcance de un pro#ectil disparado con un ángulo de elevación sobre la %orizontal# con velocidad


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Evaluar cuando v - 79--- m

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