4.2.2. sistemas de segundo orden · 4.2.2. sistemas de segundo orden sea el diagrama de bloques de...

Automática Grado en Ingeniería Eléctrica

Departamento de Ingeniería de Sistemas y Automática Universidad de Málaga

4.2.2. Sistemas de segundo orden

Sea el diagrama de bloques de la figura 4-7, este diagrama representa a un sistema de segundo

orden, ya que el polinomio del denominador de la función de transferencia que relaciona las señales

de entrada R(s) y salida C(s) del sistema es de segundo orden. Físicamente, este diagrama podría ser

el modelo de un motor de corriente continua, el modelo de un sistema mecánico de traslación que

conste de una masa, un resorte y un amortiguador, …

Figura 4-7. Sistema de segundo orden.

Los parámetros que determinan la respuesta de un sistema de segundo orden son la ganancia

estática K, que tiene el mismo significado que en los sistemas de primer orden, el factor de amorti-

guamiento relativo ζ, que está directamente relacionado con la estabilidad del sistema y es el pará-

metro sobre el que se realiza el estudio de los sistemas de segundo orden, y la frecuencia natural no

amortiguada ωn, que es la frecuencia de oscilación del sistema cuando el sistema no se amortigua

como se verá más adelante. Al ser ωn una frecuencia, solo tomará valores positivos.

La función de transferencia normalizada de los sistemas de segundo orden viene dada por la

siguiente expresión:

𝐶(𝑠)

𝑅(𝑠)=

𝐾𝜔𝑛2

𝑠2 + 2𝜁𝜔𝑛𝑠 + 𝜔𝑛2

El comportamiento de la respuesta transitoria del sistema depende de los polos de la función de

transferencia del sistema que están determinados por la siguiente expresión:

𝑠1,2 = −𝜁𝜔𝑛 ± 𝜔𝑛√𝜁2 − 1

Esta expresión depende de los valores del factor de amortiguamiento y de la frecuencia natural

no amortiguada pero no depende de la ganancia estática del sistema.

Como se ha comentado, se va a estudiar el comportamiento dinámico del sistema en función

del valor de (factor de amortiguamiento). Analizando la expresión de la que se obtienen los polos

de la función de transferencia del sistema, se observa que el tipo de polos del sistema depende de la

diferencia incluida dentro de la raíz cuadrada de la expresión obtenida ( 2-1).

R(s) C(s) 𝐾𝜔𝑛

2




Dando valores a , los polos que se obtienen son:

• > 1 polos reales negativos distintos ya que ( 2-1) > 0

El valor absoluto del primer sumando siempre es mayor que el valor absoluto

del segundo por lo que los polos siempre serán negativos, uno de ellos estará

más cerca del eje imaginario que el otro y con mayor diferencia entre ellos mien-

tras mayor sea el valor de .

𝑠1,2 = −𝜁𝜔𝑛 ± 𝜔𝑛√𝜁2 − 1 (−𝜁𝜔𝑛 < 0)

• = 1 polos reales negativos iguales ya que ( 2-1) = 0

𝑠1,2 = −𝜔𝑛

• 0 < < 1 polos complejos conjugados con parte real negativa ya que ( 2-1) < 0

𝑠1,2 = −𝜁𝜔𝑛 ± 𝑗𝜔𝑛√1 − 𝜁2 (−𝜁𝜔𝑛 < 0)

• = 0 polos complejos conjugados con parte real nula ya que ( 2-1) = -1 y -ωn = 0

𝑠1,2 = ±𝑗𝜔𝑛

• -1 < < 0 polos complejos conjugados con parte real positiva ya que ( 2-1) < 0

𝑠1,2 = −𝜁𝜔𝑛 ± 𝑗𝜔𝑛√1 − 𝜁2 (−𝜁𝜔𝑛 > 0)

• = -1 polos reales positivos iguales ya que ( 2-1) = 0

𝑠1,2 = 𝜔𝑛

• < -1 polos reales positivos distintos ya que ( 2-1) > 0

El valor del primer sumando siempre es mayor que el valor del segundo por lo

que los polos siempre serán positivos, uno de ellos estará más cerca del eje ima-

ginario que el otro y con mayor diferencia entre ellos mientras menor sea el valor

de .

𝑠1,2 = −𝜁𝜔𝑛 ± 𝜔𝑛√𝜁2 − 1 (−𝜁𝜔𝑛 > 0)

Una vez conocida la posición de los polos del sistema en el plano complejo en función del valor

de , se puede conocer el comportamiento que presenta el sistema ante entrada escalón unitario ya

que, como se estudió en el tema de descripción externa, la posición de los polos determina la expre-

sión que se obtiene al realizar la transformada inversa de Laplace a una función de transferencia.



De esta forma, los comportamientos que se obtienen en función de los valores de son:

• > 1 sobreamortiguado: sistema estable y sin oscilaciones.

Al tener el sistema polos reales negativos cuando se realiza la transformada in-

versa se obtienen términos exponenciales con exponente negativo. Como es sa-

bido, estos términos exponenciales no introducen comportamiento oscilatorio.

𝑠1,2 = −𝜁𝜔𝑛 ± 𝜔𝑛√𝜁2 − 1 (−𝜁𝜔𝑛 < 0)

• = 1 críticamente amortiguado: sistema estable y sin oscilaciones.

Análisis similar al caso anterior, no aparecen oscilaciones en la respuesta del

sistema y es la respuesta más rápida sin que aparezcan oscilaciones.

𝑠1,2 = −𝜔𝑛

• 0 < < 1 subamortiguado: sistema estable y con oscilaciones.

Al tener el sistema polos complejos con parte real negativa cuando se realiza la

transformada inversa se obtienen términos exponenciales con exponente nega-

tivo que multiplican a funciones senos y cosenos. Como es sabido, las funciones

senos y cosenos introducen oscilaciones, estas oscilaciones se atenúan gracias a

las funciones exponenciales con exponente negativos.

𝑠1,2 = −𝜁𝜔𝑛 ± 𝑗𝜔𝑛√1 − 𝜁2 (−𝜁𝜔𝑛 < 0)



• = 0 no amortiguado o amortiguamiento nulo: sistema inestable y sin amortiguación.

Al tener el sistema polos complejos con parte real nula cuando se realiza la trans-

formada inversa no aparecen funciones exponenciales que atenúen la respuesta

oscilatoria de las funciones sinusoidales.

𝑠1,2 = ±𝑗𝜔𝑛

• < 0 sistema inestable.

Al tener el sistema polos con parte real positiva cuando se realiza la transformada

inversa aparecen funciones exponenciales con exponente positivo.

De los comportamientos obtenidos se va a estudiar en mayor profundidad el comportamiento

subamortiguado.

Comportamiento subamortiguado (0 < < 1):

Los polos de la función de transferencia son complejos conjugados y se encuentran en el semi-

plano izquierdo del plano s (parte real negativa):

𝑠1,2 = −𝜁𝜔𝑛 ± 𝑗𝜔𝑛√1 − 𝜁2 = −𝜎 ± 𝑗𝜔𝑑

𝜎 = 𝜁𝜔𝑛 𝑎𝑡𝑒𝑛𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛

𝜔𝑑 = 𝜔𝑛√1 − 𝜁2 𝑓𝑟𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑛𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑙 𝑎𝑚𝑜𝑟𝑡𝑖𝑔𝑢𝑎𝑑𝑎

Al valor absoluto de la parte real de los polos del comportamiento subamortiguado se le deno-

mina atenuación y al valor absoluto de la parte imaginaria de los polos del comportamiento subamor-

tiguado se le denomina frecuencia natural amortiguada.



La representación en el plano s de la posición de los polos es:

Figura 4-8. Representación de los polos de un sistema subamortiguado.

En la representación se observa que el valor del módulo de los polos coincide con ωn y, además,

se obtiene la relación entre el factor de amortiguamiento relativo y el ángulo β que se utilizará

posteriormente:

𝜎 = 𝜁𝜔𝑛

𝜎 = 𝜔𝑛 cos 𝛽} ⇒ 𝜁 = 𝑐𝑜𝑠 𝛽

La respuesta de un sistema subamortiguado ante entrada escalón unitario y K = 1 es:

𝑅(𝑠) =1

𝑠

𝐶(𝑠)

𝑅(𝑠)=

𝜔𝑛2

𝑠2 + 2𝜁𝜔𝑛𝑠 + 𝜔𝑛2}

𝐶(𝑠) =𝜔𝑛2


1

𝑠=1

𝑠−

𝑠 + 2𝜁𝜔𝑛𝑠2 + 2𝜁𝜔𝑛𝑠 + 𝜔𝑛

2

Si se toma la transformada inversa de la salida C(s), teniendo en cuenta que los polos son com-

plejos (0 < < 1), se obtiene:

𝑐(𝑡) = 1 − 𝑒−𝜁𝜔𝑛𝑡 (cos𝜔𝑑𝑡 +𝜁

√1 − 𝜁2𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑑𝑡) 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡 ≥ 0

Que es la respuesta temporal del sistema ante entrada escalón unitario.

por la definición de la atenuación

por trigonometría



Gráficamente, la salida c(t) para 0 < < 1 es:

Figura 4-9. Aportación de la parte real e imaginaria de los polos de un sistema subamortiguado.

La señal del error cometido viene dada por la expresión:

𝑒(𝑡) = 𝑟(𝑡) − 𝑐(𝑡) = 𝑒−𝜁𝜔𝑛𝑡 (cos𝜔𝑑𝑡 +𝜁

√1 − 𝜁2𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑑𝑡) 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡 ≥ 0

Esta señal de error presenta una oscilación senoidal amortiguada, de tal forma que cuando t

tiende a la señal de error tiende a cero, es decir, el error en estado estable ante entrada escalón

unitario es nulo.

La representación gráfica de la respuesta temporal de un sistema de segundo orden ante entrada

escalón, para distintos valores de entre 0 y 1, es:

Figura 4-10. Respuesta de sistema de segundo orden ante entrada escalón unitario y varios valores de ζ.

Repuesta de sistema de segundo orden ante entrada escalón con ζ entre 0 y 1

t

c(t)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

=

=

=

=

=

Atenuación exponencial generada por

la parte real del par de polos comple-

jos subamortiguados

Oscilación sinusoidal generada por la parte

imaginaria del par de polos complejos suba-

mortiguados



Si el factor de amortiguamiento fuese igual a 0, la respuesta se vuelve no amortiguada y las

oscilaciones continuarían indefinidamente. La respuesta temporal en el caso de = 0 es la siguiente:

𝑐(𝑡) = 1 − cos𝜔𝑛𝑡 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡 ≥ 0

La representación gráfica de la respuesta temporal de un sistema de segundo orden ante entrada

escalón unitario, para un valor de igual a cero, es:

Figura 4-11. Respuesta de sistema de segundo orden con factor de amortiguamiento igual a cero.

De la expresión anterior se puede establecer que n sería la frecuencia de oscilación si el factor

de amortiguamiento fuese cero. De ahí el nombre de frecuencia natural no amortiguada. Siempre se

cumple que d es menor que n y que si crece, d decrece.

A continuación, se muestran dos gráficas en las que se observa el comportamiento dinámico de

los sistemas de segundo orden en función de los distintos valores del factor de amortiguamiento. En

la primera gráfica se muestra la respuesta temporal para valores del factor de amortiguamiento ma-

yores o iguales a cero (comportamiento estable) y en la segunda gráfica se muestra la respuesta tem-

poral para valores negativos del factor de amortiguamiento (comportamiento inestable).

Respuesta de sistema de segundo orden ante entrada escalón para ζ igual a 0

t

c(t)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2



Figura 4-12. Curvas de respuesta para factores de amortiguamiento mayores o igual a cero.

Se puede observar que de los sistemas que responden sin oscilaciones, el más rápido es el crí-

ticamente amortiguado ( = 1). También se observa que los sistemas sobreamortiguados ( > 1) res-

ponden muy lentamente a un cambio en la entrada.

Figura 4-13. Curvas de respuesta para factores de amortiguamiento negativos.

Respuesta temporal de sistema de segundo orden ante entrada escalón para valores no negativos del factor de amortiguamiento

t

c(t

)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

=

=

= −

t

c(t

)

0 1 2 3 4 5-20

-10

0

10

20

= −

t

c(t

)

0 1 2 3 4 5-15000

-10000

-5000

0

5000

= −

t

c(t

)

0 1 2 3 4 50

1

2

3

4

5x 10

7 = −

t

c(t

)

0 1 2 3 4 50

0.5

1

1.5

2

2.5

3x 10

36



En la siguiente gráfica, se puede observar la relación que existe entre la posición de los polos

de la función de transferencia del sistema, el valor del factor de amortiguamiento relativo ζ y el ángulo

β.

Figura 4-14. Curvas de respuesta para factores de amortiguamiento negativos.

Los polos del sistema recorren el perímetro de una circunferencia de radio ωn, partiendo desde

el eje imaginario con polos complejos conjugados con parte real nula, valor del factor de amortigua-

miento igual a 0 y valor del ángulo β igual a 90º, pasando por polos complejos conjugados con parte

real negativa, valor del factor de amortiguamiento entre 0 y 1 y valor del ángulo β entre 90º y 0º, hasta

llegar al eje real con polos reales e iguales negativos, valor del factor de amortiguamiento igual a 1 y

valor del ángulo β igual a 0º.

Es decir, si aumenta el valor del factor de amortiguamiento, los polos se mueven hacia el eje

real y el ángulo β disminuye de valor, mientras que si el valor del factor de amortiguamiento dismi-

nuye, los polos se mueven hacia el eje imaginario y el ángulo β aumenta de valor.

Si el valor del factor de amortiguamiento es mayor que 1, el ángulo β deja de tener sentido ya

que los polos del sistema serían reales y distintos, uno de ellos dentro de la circunferencia de radio

ωn y el otro fuera de dicha circunferencia, pero ambos en el eje real.

Para valores negativos del factor de amortiguamiento el comportamiento del sistema es inesta-

ble y los polos tendrían parte real positiva. Estos polos también recorrerían la parte de la circunferen-

cia que no aparece en la gráfica anterior dependiendo de los valores negativos que tome el factor de

amortiguamiento.



En la siguiente gráfica, se pueden observar los lugares geométricos que se obtienen al dejar

constante uno de los parámetros que determinan la posición de los polos de la función de transferencia

normalizada de los sistemas de segundo orden y modificar el valor del otro parámetro. Esta gráfica

tiene sentido para valores del factor de amortiguamiento comprendidos entre 0 y 1.

Figura 4-15. Lugares geométricos en función de ζ y ωn.

Si se deja constante el valor del factor de amortiguamiento y se modifica el valor de la frecuen-

cia natural no amortiguada, el lugar geométrico queda definido por una recta que pasa por el origen

del plano s con una pendiente definida por el ángulo β. Al modificar el valor de la frecuencia natural

no amortiguada de forma creciente se recorre la recta desde el origen del plano s hasta el infinito, ya

que la frecuencia natural no amortiguada coincide con el módulo de los polos complejos de un sistema

subamortiguado (0 < < 1), con el módulo de los polos reales de un sistema críticamente amortiguado

( = 1) y con el módulo de los polos complejos con parte real nula de un sistema con amortiguamiento

nulo ( = 0).

Si se deja constante el valor de la frecuencia natural no amortiguada y se modifica el valor del

factor de amortiguamiento, el lugar geométrico queda definido por una circunferencia centrada en el

origen del plano s con un radio definido por el valor de la frecuencia natural no amortiguada. Al

modificar el valor del factor de amortiguamiento de forma decreciente desde el punto de la circunfe-

rencia situado en el eje real negativo comportamiento críticamente amortiguado ( = 1) uno de los

polos recorre la circunferencia en el sentido de las agujas del reloj pasando por un comportamiento

subamortiguado (0 < < 1), un comportamiento no amortiguado ( = 0) y un comportamiento ines-

table ( < 0). El otro polo del sistema recorre la circunferencia desde el mismo punto, pero en sentido

contrario a las agujas del reloj y pasando por los mismos comportamientos.

menor ζ

mayor ζ

menor ωn

mayor ωn



Ejemplo 4-2

Sea el sistema mecánico de la figura 4E-4:

Figura 4E-4. Sistema mecánico.

Como se vio en el tema de modelado, el modelo del sistema es:

𝑚�̈� = 𝐹 − 𝑏�̇� − 𝑘𝑥

Tomando transformada de Laplace en la ecuación se obtiene:

𝑚𝑠2𝑋(𝑠) = 𝐹(𝑠) − 𝑏𝑠𝑋(𝑠) − 𝑘𝑋(𝑠)

Sabiendo que la fuerza F es la entrada del sistema y la posición x es la salida del sistema, la

función de transferencia del sistema es:

𝑋(𝑠)

𝐹(𝑠)=

1

𝑚𝑠2 + 𝑏𝑠 + 𝑘

La función de transferencia obtenida se corresponde con la de un sistema de segundo orden ya

que la ecuación característica del sistema es de segundo orden.

Para obtener las expresiones de los parámetros de la función de transferencia normalizada teó-

rica de un sistema de segundo orden, primero se debe normalizar la función de transferencia, para

ello, el coeficiente del término s2 debe ser igual a 1. Esto se consigue dividiendo por m tanto el nu-

merador como el denominador de la función de transferencia. La función de transferencia normali-

zada obtenida es:

𝑋(𝑠)

𝐹(𝑠)=

1𝑚⁄

𝑠2 + 𝑏 𝑚⁄ 𝑠 + 𝑘 𝑚⁄

F

b

k



A continuación, se identifican los coeficientes obtenidos con los correspondientes coeficientes

de la función de transferencia normalizada teórica, se obtienen las siguientes relaciones:

𝑋(𝑠)

𝐹(𝑠)=

1𝑚⁄

𝑠2 + 𝑏 𝑚⁄ 𝑠 + 𝑘 𝑚⁄⇔

𝐶(𝑠)

𝑅(𝑠)=

𝐾𝜔𝑛2


1𝑚⁄ = 𝐾𝜔𝑛

2

𝑏𝑚⁄ = 2𝜁𝜔𝑛

𝑘𝑚⁄ = 𝜔𝑛

2

De las relaciones obtenidas se pueden obtener las expresiones de los distintos parámetros de la

función de transferencia normalizada teórica:

𝜔𝑛 = √𝑘𝑚⁄

𝐾 = 1 𝑘⁄

𝜁 =𝑏

2𝑚√𝑘 𝑚⁄

No confundir la ganancia estática K con el coeficiente del resorte k.

Se quieren obtener los valores de K, y n y el comportamiento del sistema cuando el valor de

la masa m es 4 kg, el valor del coeficiente de fricción viscosa b es 10 N/m s-1 y el valor de la constante

del resorte k es 100 N/m. Para ello, se sustituyen los valores dados en las expresiones obtenidas:

𝜔𝑛 = √𝑘𝑚⁄ ⇒ 𝜔𝑛 = √

1004⁄ = 5

𝐾 = 1 𝑘⁄⇒ 𝐾 = 1 100⁄ = 0.01

𝜁 =𝑏

2𝑚√𝑘 𝑚⁄

⇒ 𝜁 =10

8√100 4⁄

= 0.25

Como el valor del factor de amortiguamiento está entre 0 y 1, el sistema tiene un comporta-

miento subamortiguado.



Los sistemas de segundo orden subamortiguados (0 < < 1) exhiben una serie de parámetros

que permiten caracterizar la respuesta del sistema ante una entrada escalón unitario. Estos parámetros

se conocen con el nombre de especificaciones en el dominio del tiempo y se utilizan para determinar

la bondad del sistema en cuanto a rapidez, precisión y estabilidad relativa se refiere. Estos parámetros,

que se obtienen de la expresión c(t), se utilizan durante el diseño de un sistema de control y son

condiciones que deben cumplir el sistema diseñado. Las especificaciones más importantes son:

Figura 4-16. Especificaciones en el dominio del tiempo.

• Tiempo de subida (tr): tiempo requerido para que la salida alcance por primera vez el

valor final (0 al 100%). Los valores de π y β deben venir expresado en radianes.

𝑡𝑟 =𝜋 − 𝛽

𝜔𝑑𝛽 = 𝑐𝑜𝑠−1𝜁

• Tiempo de pico (tp): tiempo requerido para que la salida alcance el primer pico de sobre-

paso o sobreoscilación. Es el tiempo en el que la salida alcanza el valor máximo.

𝑡𝑝 =𝜋

𝜔𝑑

• Sobreoscilación máxima (Mp): es la diferencia entre el valor de pico máximo de la res-

puesta y el valor final de la respuesta dividido por el valor final de la respuesta. Normal-

mente, viene expresado de forma porcentual. Se define como:

𝑀𝑝 =𝑐(𝑡𝑝) − 𝑐(∞)

𝑐(∞)× 100%

A la expresión c(tp) – c(∞) se le denomina sobrepaso máximo.

Respuesta temporal de sistema de segundo orden ante entrada escalón con especificaciones temporales

t

c(t

)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Maximo sobreimpulso (%): 37.2

Tiempo de crecimiento: 0.492 Tiempo de establecimiento: 2.81

Tiempo de pico: 0.828



El valor de la sobreoscilación se calcula con la expresión:

𝑀𝑝 = 𝑒−𝜎𝜋𝜔𝑑 × 100% = 𝑒

−𝜁𝜋

√1−𝜁2 × 100%

El valor de la sobreoscilación máxima indica de manera directa la estabilidad relativa del

sistema. La relación entre el factor de amortiguamiento relativo y la sobreoscilación má-

xima se puede apreciar en la siguiente gráfica:

Figura 4-17. Relación entre ζ y Mp.

• Tiempo de establecimiento (ts): tiempo que se requiere para que la salida alcance un

rango alrededor del valor final y permanezca dentro de él. Se suelen utilizar los criterios

del 2% o el 5 % del valor final. Se mide en términos de la constante de tiempo, suponiendo

que para un sistema subamortiguado es T = 1/σ donde σ es la atenuación.

𝑡𝑠2% = 4𝑇 =4

𝜎𝑐𝑟𝑖𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜 𝑑𝑒𝑙 2%

𝑡𝑠5% = 3𝑇 =3

𝜎𝑐𝑟𝑖𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜 𝑑𝑒𝑙 5%

Las expresiones usadas para el cálculo del tiempo de establecimiento de los sistemas de

segundo orden son una aproximación, ya que se está aplicando el criterio de cálculo del

tiempo de establecimiento expuesto para los sistemas de primer orden. Es decir, se está

suponiendo, para el cálculo del tiempo de establecimiento, que los polos de un sistema de

segundo orden subamortiguado son reales negativos y coinciden con -σ y, por tanto, la

parte imaginaria no se utiliza en el cálculo del tiempo de establecimiento.

A partir de estas especificaciones queda prácticamente determinada la forma de la respuesta del

sistema.

Sobreoscilación



Ejemplo 4-3

Sea la función de transferencia normalizada teórica de un sistema de segundo orden en el que

el valor de la ganancia estática es 1, el valor del factor de amortiguamiento es 0.6 y el valor de la

frecuencia natural no amortiguada es 5 rad/s:

𝐺(𝑠) =𝐾𝜔𝑛

2

𝑠2 + 2𝜁𝜔𝑛𝑠 + 𝜔𝑛2 𝐾 = 1 𝜁 = 0.6 𝜔𝑛 = 5 𝑟𝑎𝑑/𝑠

Se van a calcular los valores de tr, tp, Mp y ts. Antes, se van a calcular los valores de la atenuación

y de la frecuencia natural amortiguada:

𝜎 = 𝜁𝜔𝑛 = 3 𝜔𝑑 = 𝜔𝑛√1 − 𝜁2 = 4 𝑟𝑎𝑑/𝑠

El valor del tiempo de subida es:

𝑡𝑟 =𝜋 − 𝛽

𝜔𝑑

𝜁 = cos 𝛽 ⇒ 𝛽 ≈ 0.93}

𝑡𝑟 =3.14 − 0.93

4= 0.55 𝑠

El valor del tiempo de pico es:

𝑡𝑝 =𝜋

𝜔𝑑=3.14

4= 0.785 𝑠

El valor de la sobreoscilación máxima porcentual es:

𝑀𝑝 = 𝑒−

𝜁𝜋

√1−𝜁2 × 100% = 𝑒−𝜎𝜋𝜔𝑑 × 100% = 𝑒−

3×3.144 × 100% = 9.5%

El valor del tiempo de establecimiento es:

𝑡𝑠2% = 4𝑇 =4

𝜎=4

3= 1.33 𝑠

𝑡𝑠5% = 3𝑇 =3

𝜎=3

3= 1 𝑠

Las especificaciones de tiempo de pico, sobreoscilación máxima y tiempo de establecimiento

se pueden relacionar con la posición de los polos del sistema en el plano s. A continuación, se van a

mostrar estas relaciones de forma individualizada.



La relación entre el tiempo de pico tp y la posición de los polos del sistema en el plano s viene

determinada por el denominador de la expresión del tiempo de pico, es decir, por el valor de la fre-

cuencia natural amortiguada ωd que, como se ha visto al estudiar los sistemas con comportamiento

subamortiguado, coincide con el valor absoluto de la parte imaginaria de los polos complejos. De esta

forma, se pueden trazar rectas paralelas al eje real que representen valores constantes de ωd y del tp.

En la gráfica, se puede apreciar que a mayor valor de ωd se obtiene un menor valor de tp.

Figura 4-18. Relación entre ωd y tp.

La relación entre el tiempo de establecimiento ts y la posición de los polos del sistema en el

plano s viene determinada por el denominador de la expresión del tiempo de establecimiento, es decir,

por el valor de la atenuación σ que, como se ha visto al estudiar los sistemas con comportamiento

subamortiguado, coincide con el valor absoluto de la parte real de los polos complejos. De esta forma,

se pueden trazar rectas paralelas al eje imaginario que representen valores constantes de σ y del ts. En

la gráfica, se puede apreciar que a mayor valor de σ se obtiene un menor valor de ts.

Figura 4-19. Relación entre σ y ts.

jω

σ

ωd2

ωd1

tp2

tp1

-

- +

+

jω

σ σ2 σ1

ts2 ts1

-

-

+

+



La relación entre la sobreoscilación máxima Mp y la posición de los polos del sistema en el

plano s viene determinada por el valor del factor de amortiguamiento ζ, que, como se ha visto al

estudiar los sistemas con comportamiento subamortiguado, está relacionado con el ángulo β. De esta

forma, se pueden trazar rectas que pasen por el origen del plano s que representen valores constantes

de ζ, β y de Mp. En la gráfica, se puede apreciar que a mayor valor de ζ se obtiene un menor valor de

Mp. También se puede apreciar que a mayor valor de β se obtiene un mayor valor de Mp.

Figura 4-20. Relación entre ζ, β y Mp.

jω

σ

ζ2

ζ1 Mp2

Mp1

- -

+

+

β2

β1 +

-

4.2.2. sistemas de segundo orden · 4.2.2. sistemas de segundo orden sea el diagrama de bloques de...

Documents