4.2 teoría rankine

TEORÍA DE RANKINE

Curso : Ingeniería geotécnica

Prof. : Msc. José Luis Carrasco Gutiérrez

Excavaciones

Estructuras de Contención

Rellenos

TEORÍA DE RANKINE (1857)

Hipótesis

• Relleno de superficie horizontal

• Trasdós de muro vertical

•No existen tensiones tangenciales entre paramento vertical de muro

y el suelo (muro “liso”)

•Sobrecarga uniformemente distribuida en superficie de terreno.

• Resistencia al corte de suelo obedece ley de Coulomb

TEORÍA DE RANKINE

Contenido:

Rankine para w = b = dm = 0. Ejemplo de cálculo

Empuje en muros con paramento inclinado. Rankine w ≠ 0

Empuje en muros con paramento inclinado. Rankine para

b ≠ 0, suelo f

Efecto de las sobrecargas

Deformación y condiciones de frontera

Rankine para w=b=dm=0. Ejemplo de cálculo

TEORÍA DE RANKINE

4m

1m

1m

1

2

4

5

7

3

Arcilla saturadagsat = 19 KN/m3c = 30 Kpa

Arena mediag =17 KN/m3f = 30°

Arcilla saturadagsat=19 KN/m3c = 30 Kpa

NF1m

1m

Muro

6

Rankine para w=b=dm=0. Ejemplo de cálculo

TEORÍA DE RANKINE

3'

'

/9

1019

:

mKn

Observe

wsat

g

ggg

Kpaz

Kpaz

Kpaz

Kpaz

wwater 10)1(10

96)1019(187

87)19(168

68)17(40

0

4

''

3

'

4

'

2

'

3

'

1

'

2

'

1

g

g

g

g

Zona activa

Kpaz

Kpa

281*)1019(19

19)19(1

0

''

6

'

7

'

6

'

5

g

Zona pasiva

1. Cálculo de las tensiones verticales efectivas

TEORÍA DE RANKINE

Kpak

Kpak

k

tgkzk

aa

aa

a

aaha

66.22)333.0(68

0

333.0

;2

45;

'

2

'

2

'

1

'

1

2'

fg

2. Determinación de los empujes (esfuerzos horizontales)

Estrato 1-2: Estado activo (Arena media) Estrato 2’-4: Estado activo (Arcilla saturada)

Kpaz

z

Kpac

Kpac

Kpac

cz

www

ww

a

a

a

ha

10)1(100

0

36)30(2962

27)30(2872

8)30(2682

2

'

3

'

4

'

3

'

4

'

4

'

3

'

3

'

2

'

2

'

'

g

g

g

2

2’

TEORÍA DE RANKINE

2. Determinación de los empujes (esfuerzos horizontales)

2

2’

Estrato 5-7: Estado pasivo (Arcilla saturada)

Kpaz

z

Kpac

Kpac

Kpac

cz

www

ww

p

p

p

hp

10)1(100

0

88)30(2282

79)30(2192

60)30(202

2

'

6

'

7

'

6

'

7

'

7

'

6

'

6

'

5

'

5

'

'

g

g

g

TEORÍA DE RANKINE

3. Diagrama de empuje de tierras

Kpa66.22Kpa8

Kpa27

Kpa10

Kpa36

Kpa60

Kpa79

Kpa88Kpa10

)(_ ppasivoEmpuje

)(_ aactivoEmpuje

TEORÍA DE RANKINE

Contenido:



Empuje en muros con paramento inclinado. Rankine para b ≠

0, suelo f



Empujes en muros de paramento inclinado. Rankine para w ≠ 0

TEORÍA DE RANKINE

Hasta ahora soló se tomó en cuenta el empuje sobre una superficie vertical. Sin

embargo, en caso de muros con w≠0, es posible utilizar la teoría de Rankine haciendo

una simplificación totalmente aceptada en la práctica.

Simplificación: Trazar una vertical en el extremo de la base del muro y determinar los

empujes sobre dicha vertical virtual como si w=0. Se deberá considerar además la fuerza,

producida por el peso de la tierra, comprendida entre la vertical virtual y el paramento del

muro (W)

Ciclópeo En voladizo

W

Ea

Suelo

friccionante

(f)

a

Vertical ficticia sobre la que

se calcula el empuje y se

halla el peso (W) del suelo

Suelo friccionante (f)

W

Ea

a

w

Base

TEORÍA DE RANKINE

Note que: para la determinación del peso W podrá considerar el peso unitario saturado (gsat)

por debajo del NF pues lo que se está calculando es una fuerza vertical.

Como proceder si existe nivel freático (NF)

satbHaHWWW gg 21212

1

2

1

23

2

2

'

13

213

12

1

0

*

)(

0*

H

Kpaz

kHH

kHkH

kH

Kpaz

ww

ww

aa

awsataa

aa

a

g

g

gg

ggg

g

g

a

W1

NF

H

H1

H2

1

2

3

muro

g

f)(tefriccionanSuelo

satgW2

b

TEORÍA DE RANKINE

Contenido:


Empuje en muros con paramento inclinado.

Rankine w ≠ 0


Rankine para b ≠ 0, suelo f



TEORÍA DE RANKINE

Empuje en muros con terrenos inclinados. Rankine para b ≠ 0, Suelos f

La teoría de Rankine no toma en cuenta el efecto de la fricción entre el

muro y el suelo.

La solución para el caso de muros con rellenos inclinados (b≠0) será

aproximada. En la práctica ingenieril, para muros menores a 10m de altura y

un ángulo de fricción entre el muro y el relleno (dm) superior a la

considerada implícitamente por Rankine (dm=b) es posible aplicar estas

fórmulas aproximadas con éxito.

TEORÍA DE RANKINE

Método de Rankine para b≠0; dm ≥ dRankine=b; w=0 o w ≠ 0. Suelos f

mH 10

bfbb

fbbcos

coscoscos

coscoscos22

22

ak

Estado activo

a

Hg


b

b

bd m

;.. aa kzg

TEORÍA DE RANKINE

Si existe nivel freático y además w ≠ 0, se procede de la siguiente manera

mH 10

Noten dos aspectos de interés:

En primer lugar se determinan los empujes activos a sobre la vertical virtual, en este

caso al ser el relleno inclinado, se tiene una altura superior a H.

En segundo lugar los empujes de agua w continúan siendo horizontales

a

Hg


b

Las presiones intersticiales

son horizontales

bd m

b

Mayor altura

que “H”

w

NF

TEORÍA DE RANKINE

Método de Rankine para b≠0; dm ≥ dRankine=b; w=0 o w ≠ 0. Suelos f

bfbb

fbbcos

coscoscos

coscoscos22

22

pk

Estado Pasivo

H

g


b

bd m

b

p bd m

Si existe NF y/o el paramento es inclinado, se procede de la misma forma que para el

estado activo

;.. pp kzg

TEORÍA DE RANKINE

Resumen de casos a resolver mediante la teoría de Rankine

Estado Activo o Pasivo;

w ≠ 0 ó w = 0;

b 0; dm = 0 → Suelos f, Suelos c o Suelos c-f

Estado Activo o Pasivo;

w ≠ 0 ó w = 0;

dm ≥ b 0; b ≠ 0 → Suelos f

Para los casos no contemplados en el resumen anterior no es factible

aplicar la teoría de Rankine.

TEORÍA DE RANKINE

Contenido:



Empuje en muros con paramento inclinado. Rankine para

b ≠ 0, suelo f



TEORÍA DE RANKINE - EFECTO DE LAS SOBRECARGAS

Suelo f. Estados Activo y Pasivo. w ≠ 0 o w=0; dm=0; b0

Este método es aplicable por el método de Rankine para los casos definidos

anteriormente y en suelos homogéneos

bqWW

kq

kz

T

as

aa

.

.

..

g

Efecto de la sobrecarga uniforme

ps

pp

kq

kH

.

..

g

Hb

bd m

p+

q

ps qKpp HKg

H

q (actúa sobre el muro)

as qKaa HKg

+w

W+qb

b

TEORÍA DE RANKINE

g

g

qh

hq

s

s

.

Método de la altura equivalente. Cualquier tipo de suelo w=0; w ≠ 0; b=0

Consiste en transformar la sobrecarga en un estrato equivalente de altura tal que

simule el mismo efecto de la sobrecarga.

Una vez determinada la altura hs, los empujes se calculan como si la altura total

del terreno fuese H + hs

asa kh ..g

q

asa khH .. g

H

hs

Muro

TEORÍA DE RANKINE

bw

bw

g

cos

cos.cos.

qhs

Método de la altura equivalente. Cualquier tipo de suelo y: w ≠ 0; b ≠ 0

El método de la altura equivalente puede ser aplicado a cualquier caso, siempre

que se utilice la teoría adecuada para su solución de empujes de tierra.

El principio de este método es transformar la sobrecarga en un “estrato de espesor

equivalente”.

asa kh ..g

q

a

H

hs

w

W+qb’

b’.senb

b

b’

b

b

TEORÍA DE RANKINE

Contenido:



Rankine w ≠ 0


Rankine para b ≠ 0, suelo f



TEORÍA DE RANKINE


Como se observa, la zona de suelo que está en falla por esfuerzo cortante, para una misma altura de

muro, es mucho mayor en el estado pasivo que en el estado activo. Esto demuestra lo ya conocido de

que p > a.

Es importante recordar que la inclinación del plano de falla es de a=45+f/2, con respecto al plano

principal mayor, siendo dicho plano el horizontal en el caso del empuje activo. Mientras que en el estado

pasivo dicho plano es vertical, pues la mayor tensión principal es el empuje pasivo que es horizontal.

Planos de falla en los estados: Activo y Pasivo

aa

245

fa

3

' v

1

' ph

Plano de

falla.

Plano

principal

mayor

Plano de

falla.

245

fa

1

' v

3

' ah

Plano principal

mayor

H

aa

a90

Activo Pasivo

TEORÍA DE RANKINE

Deformación incompleta

(Empuje de tierras)

Hacia afuera de la masa del suelo

Zona activa

Zona pasiva

Hacia adentro de la masa del suelo

Fuente: Braja Das

TEORÍA DE RANKINE

Inclinación mínima para producir estado activo y pasivo

Resulta importante saber como se procede en la práctica ingenieril cuando la

deformación del muro no es suficiente para que se genere el estado activo o

pasivo.

Suelo Estado Activo Estado pasivo

Friccionante compacto 0.0005H 0.005H

Friccionante suelto 0.002H 0.01H

Cohesivo duro 0.01H 0.02H

Cohesivo blando 0.02H 0.04H

Discusión de la Teoría de Rankine

Condición de paramento liso no es real existen

tensiones tangenciales entre paramento vertical de muro y

suelo superficies de deslizamiento no son planas.

Estados activos y pasivos responden a niveles de

deformación horizontal diferentes no se alcanzan

simultáneamente Considerar movilización

completamente de estado pasivo no es seguro.

Resumen de los problemas de empujes de tierra resuelto por la teoría de Rankine

s: Esfuerzo equivalente por sobrecarga

4.2 teoría rankine

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