4.19 cuando la gradiente es normal
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CUANDO LA GRADIENTE ES NORMAL TEMA DE CรLCULO VECTORIAL
INTRODUCCIรN
El gradiente es normal a las curvas de nivel. Si ๐ es diferenciable en ๐ฅ0, ๐ฆ0 y๐ป๐ ๐ฅ0, ๐ฆ0 โ 0 entonces ๐ป๐ ๐ฅ0, ๐ฆ0 es normal (ortogonal) a la curva de nivel quepasa por ๐ฅ0, ๐ฆ0 .
EJEMPLO
Hallar un vector normal a una curva de nivel:
๐ ๐ฅ, ๐ฆ = ๐ฆ โ ๐ ๐๐ ๐ฅ
Con ๐ = 0.
Soluciรณn:
A partir de la funciรณn
๐ ๐ฅ, ๐ฆ = ๐ฆ โ ๐ ๐๐ ๐ฅ0 = ๐ฆ โ ๐ ๐๐ ๐ฅ
๐ ๐๐ ๐ฅ = ๐ฆ๐ฆ = ๐ ๐๐ ๐ฅ
Ahora, derivando la funciรณn parcialmente:
๐๐ฅ ๐ฅ, ๐ฆ =๐
๐๐ฅ๐ฆ โ ๐ ๐๐ ๐ฅ =
๐
๐๐ฅ๐ฆ โ
๐
๐๐ฅ๐ ๐๐ ๐ฅ = ๐ฆ
๐
๐๐ฅ1 โ
๐
๐๐ฅ๐ ๐๐ ๐ฅ
๐๐ฅ ๐ฅ, ๐ฆ = โcos๐ฅ
๐๐ฆ ๐ฅ, ๐ฆ =๐
๐๐ฆ๐ฆ โ ๐ ๐๐ ๐ฅ =
๐
๐๐ฆ๐ฆ โ
๐
๐๐ฆ๐ ๐๐ ๐ฅ =
๐
๐๐ฆ๐ฆ โ ๐ ๐๐ ๐ฅ
๐
๐๐ฆ1
๐๐ฆ ๐ฅ, ๐ฆ = 1
Y de la gradiente:
๐ป๐ ๐ฅ, ๐ฆ = ๐๐ฅ ๐ฅ, ๐ฆ ๐ + ๐๐ฆ ๐ฅ, ๐ฆ ๐ฆ
๐ป๐ ๐ฅ, ๐ฆ = โ cos ๐ฅ ๐ + ๐
Para tomar diferentes valores se hace lo siguiente:
๐ป๐ โ๐, 0 = โ cosโ๐ ๐ + ๐ = ๐ + ๐
๐ป๐ โ2๐
3,โ
3
2= โ cos โ
2๐
3 ๐ + ๐ =
1
2 ๐ + ๐
๐ป๐ โ๐
2, โ1 = 0 ๐ + ๐
๐ป๐ โ๐
3,โ
3
2= โ cos โ
๐
3 ๐ + ๐ =
1
2 ๐ + ๐
๐ป๐ 0, 0 = โ cos 0 ๐ + ๐ = โ ๐ + ๐
๐ป๐๐
3,
3
2= โcos
๐
3 ๐ + ๐ = โ
1
2 ๐ + ๐
๐ป๐๐
2, 1 = โ cos
๐
2 ๐ + ๐ = 0 ๐ + ๐
BIBLIOGRAFรAS
Colley, S. J. (2013). Cรกlculo vectorial. Mรฉxico: PEARSON EDUCACIรN.
Larson, R., & Edwards, B. (2017). Matemรกticas 3. Cรกlculo ce varias variables. Mexico: CENGAGE Learning.
R. Spiegel, M. (1967). Anรกlisis vectorial. Mรฉxico: McGRAW - HILL.