4.1.-maga iii_lugares geometricos

7/24/2019 4.1.-MAGA III_Lugares Geometricos

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UNIDAD 2 SISTEMAS DE COORDENADAS Y LUGARES GEOMTRICOS

GRUPO 401C 104

LUGARES GEOMTRICOS

En esta seccin se trata brevemente el tema de lugares geomtricos, el tema requiere de una base deconocimientos matemticos, que regularmente a estas alturas no se tiene, por lo que su desarrollo serlimitado, pero a la vez se proporcionar lo necesario para su comprensin.

DEFINICIN. El conjunto de puntos en el plano, y solamente aquellos puntos cuyas coordenadassatisfagan una ecuacin, se llamaGRFICAde la ecuacin o bien, su LUGAR GEOMTRICO.

PROBLEMAS DE LA GEOMETRA

En la Geometra Analtica existen dos problemas fundamentales:

PROBLEMA 1. Dada la condicin o condiciones que deben cumplir los puntos de un lugar geomtrico,determinar su ecuacin.

PROBLEMA 2. Dada una ecuacin interpretarla geomtricamente, esto es, conocida una ecuacin,construir su grfica correspondiente.

Primer problema fundamental de la geometra analtica

Vamos a considerar el primer problema fundamental de la geometra analtica, a saber:

Dada una figura geomtrica, o la condicin que deben cumplir los puntos de la misma. Determinarsu ecuacin.

Para poder resolver el primer problema fundamental de la Geometra Analtica necesitamos la grfica deuna curva o bien las condiciones que deben cumplir los puntos que la componen.

De esta manera decimos que una curva est bien definida, si la descripcin de esta, es de tal naturaleza

que sea posible identificarla de una manera exacta de entre los dems objetos de su clase. As,consideramos que estamos definiendo una curva plana del tipo Mpor medio de una propiedad P quenicamente posee M .

Generalmente, se define una curva como el lugar geomtrico de todos aquellos puntos ( )P x, y , sloaquellos puntos, que satisfacen una o ms condiciones geomtricas dadas.

Ejemplos para obtener ecuaciones de lugares geomtricos

Nota. Es importante mostrar que en cada uno de los siguientes ejercicios se obtiene una relacin quecontiene las variables ex y denominadas ecuaciones con dos variables.

Ejemplo 2.39. Hallar la ecuacin del conjunto de puntos ( )yxP , , tal que equidistan de los puntos

( )3 5A , y ( )2 7B ,

Es conveniente realizar un grfico donde se muestren los puntos ( )3 5A , y ( )2 7B , y que elalumno intente marcar los puntos que equidistan (estn a la misma distancia)de estos dos puntos.


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GRUPO 401C 105

Se mostrar que los puntos que cumplen con est condicin estn sobre la mediatriz del segmento

determinado por los extremos A y B .

Solucin analtica

La distancia del punto P al punto A es

( ) ( )( ) ( ) ( )22 2 2

3 5 3 5dPA x y x y= + = + +

La distancia del punto P al punto B es

( )( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2

2 7 2 7dPB x y x y= + = + +

La condicin es que las dos distancias son iguales (equidistan)

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2

3 5 2 7x y x y + + = + +

Al elevar al cuadrado ambos miembros de la expresin y simplificando se tiene

2 2 2 26 9 10 25 4 4 14 49x x y y x x y y + + + + = + + + +

5 12 10 0x y + =

Ejemplo 2.40. Hallar la ecuacin del conjunto de puntos ( )yxP , l que equidistan 5 unidades del punto

fijo ( )3 5A , .

Solucin

La distancia del punto P al punto A es

( ) ( )( ) ( ) ( )22 2 2

3 5 3 5dPA x y x y= + = + +

La condicin es que esta distancia es siempre igual a 5

( ) ( )( ) ( ) ( )22 2 2

3 5 3 5 5dPA x y x y= + = + + =


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GRUPO 401C 106

de donde

( ) ( )2 2

3 5 5x y + + =

elevando al cuadrado ambos miembros y simplificando, se tiene

2 26 9 10 25 25x x y y + + + + =

Finalmente, la ecuacin del lugar geomtrico

2 2 6 10 9 0x y x y+ + + =

Ejemplo 2.41. Hallar la ecuacin del conjunto de puntos ( )yxP , , que cumplen la condicin de que la

distancia de estos puntos al punto ( )3,0Q es igual a la distancia que hay del punto P a la recta03 =+y .

Solucin

Primeros despejamos a y de la expresin 03 =+y , obtenemos: 3=y

Observamos que la variable y no depende de la variable x , por lo tanto para cualquier valor de x ,

obtenemos el mismo valor para y , por otra parte;

X Y

0 3

-2 35 3

8 3

La distancia del puntoPal puntoQes

( ) ( )2 2

0 3dPQ x y= +


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GRUPO 401C 107

En la siguiente figura se muestra un grfico de la situacin

La distancia entre el punto P y la recta se mide de acuerdo a la lnea perpendicular que une al punto yla recta. Luego, la distancia entre el punto P y la recta est dada por la distancia del punto P al punto A.

El puntoA tiene coordenadas 3A( x, ) , la abscisa es la misma que la del punto P y su ordenada es la

de la recta 3=y .Por lo tanto

( ) ( )( )22

3dPA x x y= +

Como dPQ dPA= , se tiene

( ) ( ) ( ) ( )2 2 220 3 3x y x x y + = + +

elevando al cuadrado cada uno de los miembros de la ecuacin tenemos:

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]222222 330 ++=+ yxxyx

de donde

( ) ( ) ( )2222 33 ++=+ yxxyx

Desarrollando los binomios al cuadrado

9696

222++=++

yyyyx

Simplificando y despejando la variable y tenemos:12

2xy =

Esta ecuacin es la ecuacin del lugar geomtrico para las condiciones dadas.


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GRUPO 401C 108

Ejemplo 2.42. Encontrar la ecuacin del lugar geomtrico del conjunto de puntos ( )yxP , ; si P est

tres veces ms lejos del punto ( )0,9A que del punto ( )0,1B .

Solucin

Encontrar la ecuacin significa que debemos tener una relacin R entre las variables x e y tal que0R( x, y ) = .

Las condiciones dadas para el conjunto de puntos ( )yxP , nos indica que la distancia del punto A alpunto P es tres veces la distancia del punto B al punto P . Al traducirlo al lenguaje matemtico setiene:

3dAP dBP=

( ) ( )2122

12 yyxxd +=

Con el uso de la expresin

para calcular la distancia entre dos puntos se determinan las distancias ydAP dBP .

Por lo tanto la distancia entre los puntos ( ) ( )yxPA ,y0,9 es

( ) ( ) 229 0dAP x y= +

y la distancia entre los puntos ( ) ( )yxPB ,y0,1 es:

( ) ( ) 221 0dBP x y= +

La condicin 3dAP dBP= nos lleva al expresin:

( ) ( ) ( ) ( )2222 01309 +=+ yxyx

Para simplificar la relacin encontrada, vamos a elevar ambos miembros al cuadrado para eliminar losradicales.


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GRUPO 401C 109

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]222222 01309 +=+ yxyx

de donde:

( ) ( ) ( ) ( )22222 01309 +=+ yxyx

Desarrollando cada uno de los binomios al cuadrado y efectuando operaciones, se tiene:

2 2 2 2 18 81 + 9 2 1x x y x x y + = + +

2222 991898118 yxxyxx ++=++

Al igualar a cero, se obtiene:

07288 22 =+ yx

Y dividiendo la ecuacin anterior entre ( )8 nos queda:

0922 =+yx

Por lo tanto todo punto que satisfaga la ecuacin anterior nos indica que el punto P se encuentra 3veces ms alejado del punto A que el punto B .

Segundo problema fundamental de la geometra analtica

El segundo problema fundamental de la geometra analtica establece:

Dada una ecuacin interpretarla geomtricamente, esto es, conocida una ecuacin, construir sugrfica correspondiente.

En este instante, se supone que ya se tiene el concepto de una ecuacin con dos variables, la cual, se

puede expresar como una relacin S 0( x , y ) = la cual, en general depende de las dos variables

ex y .

Es importante hacer nfasis que se est trabajando con el conjunto de los nmeros reales

, por lo queexiste un nmero infinito de pares de valores de ex y que satisfacen la ecuacin 0S ( x , y ) = (al

sustituir los pares ordenados se cumple la igualdad). Cada uno de tales pares de valores son las

coordenadas ),( yx de un punto del plano.

Adems, cualquier punto cuyas coordenadas satisfacen la ecuacin, pertenece a la grfica de laecuacin.


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GRUPO 401C 110

Nota: En este momento restringiremos la graficacin con una tabulacin y su representacin en el planocartesiano.

Ejemplo 2.43.Encontrar parejas de puntos que satisfacen la ecuacin 3 2 0y x = y graficar.

Solucin:

Para encontrar puntos que satisfacen la ecuacin, vamos a efectuar una tabulacin, para ello, debemosdar valores a la variable x y encontrar los de y utilizando la ecuacin dada.

Un ejemplo para encontrar valores de ,y analicemos el caso de ;3=x sustituimos en la ecuacin

dada

2)3(3 +=y ; 29 +=y 7y =

La tabulacin para algunos valores es

x y Puntos

-3 -7 ( 3. 7)A

-2 -4 ( 2, 4)B

-1 -1 ( 1, 1)C

0 2 (0, 2)D

1/2 7/2 1 7( , )

2 2E

5/3 75( , 7)3

F

Mostrar que en la tabulacin, uno de los puntos es la pareja ordenada es ( 3, 7), y que el punto se

ha nombrado como A , entonces el punto es )7,3( A y as, cada par de valores correspondientes es

tomado como las coordenadas de un punto diferente, esto nos permite trazar varios puntos en nuestrosistema de coordenadas cartesiano como se muestra en la figura. Se recomienda graficar nicamente lospuntos obtenidos.


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GRUPO 401C 111

Nota:Los valores asignados a la variable x fueron tomados arbitrariamente del conjunto de los nmerosreales. Se recomienda comprobar los valores encontrados para la variable y .

Se debe dibujar una lnea CONTINUA que pase por todos los puntos marcados?,

La respuesta es si, ya que al hacer esto, establecemos que en la grfica, entre dos puntos sucesivoscualesquiera, existe una infinidad de puntos que satisfacen a la ecuacin y debido a la imposibilidad dedeterminar esta gran variedad de valores, suponemos que la grfica de la ecuacin es continua y sedibuja al unir los puntos.

El lugar geomtrico de la ecuacin 3 2 0y x = corresponde como se puede observar a una lnea

recta.

Ejemplo 2.44.Encontrar parejas de puntos que satisfacen la ecuacin 2 2 49 0x y+ = y graficar.

Solucin. Para encontrar valores de ,y despejemos la variable y .

249y x=


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GRUPO 401C 112

La tabulacin para algunos valores es

x y Puntos

-8 No hay imagen No hay punto

-7 0 7 0A( , )

-6 13 ( )6 13B , ( )6 13C , -4 33 ( )4 33D , ( )4 33E , 0 7 ( ) ( )0 7 0 7F , G , 5 24 ( )5 24H , ( )5 24I ,

Observar que para un valor de x se obtienen dos valores para y , tambin se muestra que para algunos

valores de x no se tienen valores de y , por ejemplo, para 8x=

49 64 15y = =

La expresin 15 significa que 15 no es nmero real.

Grfica de los puntos

Los puntos se pueden unir y obtener todos los puntos que equidistan 7 unidades del origen. El lugar

geomtrico que corresponde a la ecuacin2 2 49 0x y+ = es una circunferencia con centro en el

origen y radio 7:


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GRUPO 401C 113

La grfica es el lugar geomtrico que corresponde a la ecuacin2 2 49 0x y+ = .

Nota. Hacer notar que los valores que se le pueden asignar a la variable x estn restringidos al intervalo7 7x .

Ejemplo 2.45. Encontrar parejas de puntos que satisfacen la ecuacin12

2x

y = y graficar.

Solucin

Obtenemos algunos puntos que satisfacen la ecuacin, esto es, tabulamos

x y Puntos

-6 3 ( )6 3A , -4 4

3 ( )44 3B ,

0 0 ( )0 0C , 2 1

3 ( )12 3D ,

5 25 12 ( )255 12E , 6 3 ( )6 3F ,

Graficamos los puntos encontrados


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GRUPO 401C 114

Si unimos los puntos, obtenemos el lugar geomtrico correspondiente

Recordar que entre ms puntos se tabulen, el lugar geomtrico estar mejor determinado.

Nota. En este ejercicio es conveniente recordar que la expresin12

2x

y = fue encontradaen el ejemplo

2.34 bajo la condicin de conjunto de puntos que equidistan del punto ( )3,0Q y de la recta fija3 0y + = y que este tipo de curva se llama parbola.

Algunos aspectos importantes del tema de lugares geomtricos

a) Se debe mostrar que no toda ecuacin con dos variables tiene necesariamente una grfica.

Un ejemplo es la ecuacin 01022 =++ yx

la ecuacin es equivalente a 1022 =+ yx


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GRUPO 401C 115

Para que se satisfaga la ecuacin anterior es necesario que la suma de los cuadrados de los nmerosyx y sea igual a menos diez. Observamos que esto no es posible en el conjunto de los nmeros

reales.

El tratamiento que debemos dar a nuestra ecuacin inicialmente, es el de determinar los valores de x enlos cuales y se encuentra definida dentro de los nmeros reales o lo que es lo mismo debemos

determinar el dominio de la relacin.

b) Si la ecuacin tiene grfica, entonces es de gran utilidad encontrar los puntos de interseccindel lugar geomtrico con los ejes coordenados.

Inicialmente, debemos recordar que un punto que se encuentra sobre el eje x tiene como ordenada

0=y , en tanto que todo punto que se encuentra sobre el eje y tiene por abscisa 0x= .

Para determinar los puntos de interseccin de la grfica con el eje x tendremos que asignarle a y el

valor de cero en la ecuacin de la curva y las soluciones reales de la ecuacin resultante en x nos darnla interseccin buscada.

Ejemplo 2.46.Encontrar la interseccin de la grfica de la ecuacin12

2x

y = con los ejes coordenados.

Solucin

Para encontrar el punto de interseccin de la curva con el eje Y, el valor de Xes cero.

Al sustituir en la ecuacin12

2x

y = se tiene ( ) 0012

1

2==y

El punto de interseccin con el eje Yes ( )0,0I .

El punto de interseccin con el eje X lo encontramos cuando 0=y . Al sustituir en la ecuacin, se

tiene:

2

12

10 x=

de donde 0x=

El punto de interseccin con el eje Xes ( )0,0I que es el mismo que encontramos para la interseccincon el eje Y.

c) Otro aspecto importante es la simetra de la curva (lugar geomtrico) con respecto a los ejescoordenados y al origen del sistema.

DEFINICIN.Se dice que la grfica de una ecuacin es simtrica respecto a un eje de simetra si paracada punto de la curva existe un punto correspondiente de la grfica, tal que estos dos puntos sonsimtricos con respecto al eje.


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GRUPO 401C 116

NOTA:Dos puntos son simtricos con respecto a una recta (eje), si sta es perpendicular al segmentoque une a los puntos.

.

Simetra con respecto al eje de las abscisas (eje X)

Si los puntos ( ) ( )yxPyxP ,y, de una determinada grfica, satisfacen su ecuacin, entonces dicha

curva es simtrica con respecto al eje X.

De otra manera; si la ecuacin de la curva se satisface para las coordenadas ( ),yx del punto P como

tambin para las coordenadas ( )yx , del punto P , entonces la grfica es simtrica respecto al ejeX.

Lo anterior lo podemos enunciar de una manera ms simple:

Si la ecuacin de una grfica no se altera cuando la variable y se reemplaza por y , la grfica es

simtrica respecto al eje X. El enunciado recproco tambin es vlido.

Simetra con respecto al eje de las ordenadas (eje Y)

Si los puntos ( ) ( )yxPyxP ,y, de una determinada grfica, satisfacen su ecuacin, entonces dichacurva es simtrica con respecto al eje Y.

Es decir, si la ecuacin de la grfica se satisface para las coordenadas ( ),yx del punto P como

tambin para las coordenadas ( )yx , del punto P , la grfica es simtrica respecto al eje Y.

Lo anterior lo podemos enunciar tambin de la siguiente manera:

Si la ecuacin de una grfica no se altera cuando la variable x se reemplaza por x , entonces lagrfica es simtrica respecto al eje Y. El enunciado recproco tambin es vlido.

Simetra con respecto al origen

Para que la grfica sea simtrica con respecto al origen, la ecuacin del lugar geomtrico no debemodificarse al reemplazar x por x y y por y , o bien, podemos decir que cuando esto ocurre, la

grfica es simtrica respecto al eje Xy respecto al eje Y.


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GRUPO 401C 117

Ejemplo 2.47. Determinar si el lugar geomtrico (grfica) de la ecuacin 01243 22 =+ yx es

simtrica con respecto a los ejes coordenados Xy Y.

SolucinPara determinar si la curva (lugar geomtrico) es simtrica respecto al eje X, en la ecuacin debemos

sustituir a la variable y por el valor de y , ( ) 0124322

=+ yx De donde

2 23 4 12 0x y+ = , la ecuacin no se altera por lo tanto podemos concluir que la grfica

correspondiente es simtrica respecto al eje X

Ahora, para determinar si la curva es simtrica al eje Y, tendremos que sustituir la variable x por x

en la ecuacin original, ( ) 01243 22 =+ yx

De donde2 23 4 12 0x y+ = la ecuacin original no cambia por lo que la curva es simtrica al eje Y.

Finalmente concluimos que la curva es simtrica al eje X y al eje Y, luego entonces, tambin essimtrica respecto al origen.

d) Es importante mostrar al alumno que la grfica no siempre se obtiene con una simpletabulacin


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GRUPO 401C 118

Ejemplo 2.48. Encontrar parejas de puntos que satisfacen la ecuacin1

1

2

=x

y y encontrar su

grfica.

Solucin

De acuerdo a lo efectuado en ejemplos anteriores, vamos a elaborar una tabla (tabulacin), para ello,damos valores arbitrarios para x , y con la ecuacin dada encontramos los valores correspondiente paray .

Al hacer esto, tenemos:

Vamos a indicar los puntos encontrados en un plano cartesiano;y al unir los puntos por medio de una lnea continua, se obtienela grfica mostrada en la siguiente figura:

Quizs se piense en este momento que ya se ha comprendido el trazado de grficas. Sin embargo,

observemos que ocurre cuando se le asigna un valor no entero a x por ejemplo 0.8,x= al sustituir en

la ecuacin,

1)8.0(

12

=y 2.78=

Por lo que el punto (0.8,-2.78) satisface la ecuacin y por lo tanto corresponde a la grfica.

x y Puntos

4 115

1(-4, )15

A

3 1

8

1(-3, )

8B

2 1

3

1(-2, )

3C

0 1 (0, 1)D

2 1

3

1(2, )

3E

3 1

8 1

(3, )8F

4 1

15

1(4, )

15G


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GRUPO 401C 119

Por lo anterior NO podemos garantizar que para algn otro valor no entero de ,x el valor calculado de y

no se aleje todava ms del valor esperado segn nuestro esquema. Es claro entonces que nuestromtodo para construir grficas falla.

La grfica correcta es

Grfica continua

El unir los puntos obtenidos en una tabulacin no siempre es verdadero, como se muestra en losejemplos anteriores, ya que, bajo el supuesto de unir los puntos sucesivos por lo general introducimoserrores en el trazado de la grfica, por lo que, para evitar errores de este tipo, debemos hacer unainvestigacin preliminar de las caractersticas de la ecuacin antes de proceder al trazado de la curva.

Lugares geomtricos desde un punto de vista dinmico

La palabra dinmica nos induce a pensar en movimiento, esto es, consideremos el lugar geomtrico quedescribe un punto que se mueve bajo ciertas condiciones.

Algunos ejemplos son los siguientes:

Al trazar una elipse con el mtodo del jardinero, los puntos quedan marcados y ellos, son un ejemplo deconjunto de puntos estticos, sin embargo, la trayectoria que describen los planetas, no dejan marcadoslos puntos por donde van pasando, pero se sabe que la trayectoria que sigue es una elipse, este es uncaso de lugar geomtrico dinmico.

Otro ejemplo desde el punto de vista dinmico es la trayectoria que describe una pelota o cualquierproyectil al ser lanzado con una cierta velocidad y formando un ngulo con respecto a la horizontal, latrayectoria no queda marcada, pero, la trayectoria que describe el proyectil es una parbola, un lugar

geomtrico.

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