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4. RESOLUCIÓN DE LOS CASOS PLANTEADOS

4.1. INTRODUCCIÓN

Los desarrollos y revisiones teóricas introducidos en capítulos anteriores se

encaminaban a dotar al lector de este documento de las herramientas necesarias para

la fácil comprensión de los conceptos que se manejarán a continuación.

En este tema se aborda la resolución práctica de varios casos sencillos

escogidos por su capacidad ilustrativa, habiéndose buscado además una posible

implementación experimental. Dicha resolución se llevará a cabo aplicando cada una

de las técnicas introducidas en capítulos anteriores (teorías clásicas o fórmulas

empíricas según corresponda, normativa, etc.), además de la vía experimental en los

casos en los que los recursos a nuestra disposición así lo permitan, realizándose

posteriormente la comparación de los resultados obtenidos.

Se ha intentado que los casos planteados, que fueron descritos brevemente en

el apartado introductorio (Página ix), coincidan en lo posible con los problemas

ensayados durante la realización de las prácticas de laboratorio de la asignatura

“Estructuras Metálicas” perteneciente al 4º curso de la titulación de Ingeniería

Industrial, pudiendo resultar un posible objetivo secundario de este proyecto servir de

referencia para futuras mejoras en la planificación de los mismos.

En lo que sigue, se desarrollarán en detalle cada una de las situaciones

planteadas estructurando cada apartado de la forma:

Descripción detallada del modelo empleado en cada caso.

Cálculos teóricos y de aplicación de la normativa (CTE y Eurocódigo) en

base a la información recogida en el Capítulo 2.

Cálculos mediante ANSYS por aplicación de los conceptos introducidos en

el Capítulo 3.

Resultados experimentales (si los hubiera).

Comparación de resultados.

Las conclusiones se remitirán a un apartado posterior, en el que se podrán

estudiar distintas variaciones sobre los casos estudiados tales como la sensibilidad de

la carga crítica ante el empleo de rigidizadores en problemas de abolladura,

sensibilidad de los resultados frente al empleo de unos elementos u otros, efectos del

refinamiento de la malla, etc.

80 Proyecto Fin de Carrera Ensayos y contraste de resultados

4.2. CASO 1: PANDEO DE EULER

4.2.1. DESCRIPCIÓN DEL MODELO EMPLEADO

En este primer análisis someteremos a una pieza de sección maciza rectangular y

constante a una carga de compresión que incrementaremos hasta alcanzar la

inestabilidad, que en este caso se manifestará en la forma del pandeo de Euler

estudiado en el Apartado 2.1 de este documento.

Las características geométricas de la sección se muestran a continuación:

Figura 4.1. Sección y longitud de la barra analizada

Como se comprobó en el Capítulo 2, uno de los aspectos más influyentes sobre

el valor final de la carga crítica serán las condiciones de contorno, referidas a las

restricciones de desplazamientos y giros en los apoyos. En este caso se modelarán

condiciones de empotramiento en ambos apoyos (ver Apartado 2.1.1.2) tal y como

se recoge en la Figura 4.2.

Para el caso que nos ocupa, será posible comparar

los resultados analíticos y numéricos con los de un

ensayo realizado en laboratorio. En dicho ensayo, la

aplicación de las cargas y de las condiciones de contorno

se realizó con la ayuda de una máquina de ensayos

Instron, la cual posibilita un control de cargas o de

desplazamientos, según se desee, durante el proceso de

compresión.

La dificultad de conseguir reproducir idealmente las

condiciones buscadas supone un primer posible factor de

discrepancias entre los diferentes resultados a extraer.

La máquina aplica sobre la muestra objeto de

ensayo una deformación con velocidad constante. Una

célula de carga mide la fuerza ejercida en cada momento.

De esta forma se obtienen las curvas tensión/deformación

del material, que nos permitirán determinar la carga para

la cual la deformación crece indefinidamente.

Figura 4.2. Condiciones

de apoyo ensayadas

Caso 1: Pandeo de Euler Cálculos teóricos y aplicación de la normativa 81

La aplicación de las mordazas reduce la longitud

efectiva de la barra ensayada, pasando a tener una longitud

neta Lneta=1m, que es la distancia entre las mordazas

(longitud de la barra susceptible de pandear) al comienzo

del ensayo. Esta reducción queda reflejada en la Figura 4.3.

Otro detalle a tener en cuenta es el hecho de que el

actuador móvil es el inferior tal y como puede observarse

en la Figura 4.2. Esta circunstancia no afectará a los

cálculos teóricos y “normativos”, pero será considerado a la

hora de modelar el sistema para su posterior análisis

numérico.

La calidad del acero empleado corresponde a la gama

S275 (cuyo límite elástico se sitúa en los 275 Mpa).

4.2.2. CÁLCULOS TEÓRICOS Y APLICACIÓN DE LA NORMATIVA

Antes de comenzar con la obtención de los resultados será necesario definir algunos

parámetros que caracterizan a la sección bajo estudio, tales como el momento de

inercia en una y otra dirección, los radios de giro, etc.

Para la sección descrita en la Figura 4.1 tendremos:

(4.1)

Además, para el acero tendremos E=210 Gpa = 210∙109 N/m2

Deberemos determinar también cual es la dirección predominante de pandeo, es

decir, el eje alrededor del cual se alcanzará la inestabilidad en primer lugar, que

corresponderá al de mayor esbeltez.

La esbeltez quedó definida en el Apartado 2.1.1.6 como la relación λj=Lk/ij

donde Lk=β∙L recibía el nombre de longitud de pandeo, y dependía de las condiciones

de contorno de la pieza analizada.

Para el caso que nos ocupa β=0.5, y por tanto Lk=β∙L=0.5∙L, resultando:

6.1731088.2

15.0

74.571066.8

15.0

3z

3y

λ

λ

con lo que finalmente λmax= max(57.74, 173.6) = 173.6=λz

Figura 4.3. Longitud

neta de la barra

Iy=12

1bh

3 = 8

3

1025.212

03.001.0

m4 ; iy=

3

4

8y

1066.8103

1025.2

A

I

m

Iz=12

1hb

3 =

93

1050.212

01.003.0

m4 ; iz=

3

4

9z 1088.2

103

1050.2

A

I

m


Una vez comprobado que el eje predominante de pandeo es el z (eje débil),

estamos en disposición de realizar los cálculos correspondientes.

4.2.2.1. TEORÍA DE EULER

La obtención de la carga crítica teórica para el caso ensayado es inmediata, sin más

que aplicar la expresión de la carga crítica obtenida en el Apartado 2.1.1.2, resultando:

Ncr = 2z

2

)L5.0(

EI

π= 20.727 KN (4.2)

4.2.2.2. APLICACIÓN DEL CTE

En el Apartado 2.1.2.1 se incluyeron todas las referencias necesarias de la norma

CTE. SE-A para afrontar el análisis de piezas afectadas por pandeo de Euler. Así,

según se recoge en el Artículo 6.3.2 (ver Anexo I), la resistencia de cálculo a pandeo

por flexión de una barra de sección constante viene dada por la expresión:

Nb,Rd=χ∙A∙fyd (4.3)

con

1M

yy d

ff

γ , siendo en este caso γM1=1,05

2

86

ydm

N1062.2

05.1

10275f

(4.4)

El coeficiente de pandeo (χ) puede determinarse en función de la esbeltez

reducida y de la curva de pandeo oportuna, de acuerdo a lo establecido en el Artículo

6.3.2.1. Así:

275Saceropara

8.86

N

fA 1

1cr

y

=1.995 (4.5)

en la que para el cálculo de Ncr se admite el uso de la expresión de Euler

Consultando la Tabla 6.1 incluida en el Anexo I, las secciones macizas son

remitidas a la curva de pandeo „c‟ (ver Tabla 6.3). Entrando en la tabla mencionada

para un valor de λ =1.995 tenemos el siguiente valor del coeficiente de pandeo

χ = 0.1965

Se obtiene así finalmente un valor de la carga crítica de cálculo

Nb,Rd = χ∙A∙fyd =0.1965∙3∙10-4∙2.62∙108 = 15.445 KN (4.6)

Como vemos, resulta un cálculo más conservador que el realizado en el

apartado anterior por aplicación de la teoría de Euler.

Caso 1: Pandeo de Euler Cálculos con ANSYS 83

4.2.2.3. APLICACIÓN DEL EUROCÓDIGO 3

Consultando en este caso las referencias incluidas en el Apartado 2.1.2.2

comprobamos que la expresión recogida en el Eurocódigo 3 para la determinación de

la resistencia de pandeo de una barra de sección constante tiene la forma

Nb,Rd=χ∙βA∙A∙fyd (4.7)

expresión que resulta prácticamente idéntica a la dada por el CTE. SE-A, con la única

diferencia de la inclusión de un factor βA que en el caso de perfiles de clase 1,2 ó 3

(como en el caso que nos ocupa) toma el valor βA=1.

El término fyd sigue teniendo la misma expresión

1M

yy d

ff

γ que en el caso

anterior, sin embargo, el factor γM1 valdrá en esta ocasión γM1=1,1. Así

2

86

1050.21.1

10275

m

Nfy d

(4.8)

cr

yA

N

fAβλ 1.995 (4.9)

que coincide con el calculado en 4.2.2.2

La Tabla 5.5.3 incluida en el Anexo II, indica que para el caso de sección maciza

deberemos recurrir a la curva „c‟ de la Tabla 5.5.2 para extraer el valor de χ.

Procediendo de este modo tenemos de nuevo χ = 0.1965

Se obtiene así finalmente un valor de la carga de pandeo

Nb,Rd =βA∙ χ∙A∙fyd =1x0.1965x3∙10-4x2.62∙108 = 14.736 KN (4.10)

que resulta una predicción aún más conservadora que la obtenida mediante el CTE.

4.2.3. CÁLCULOS CON ANSYS

4.2.3.1. ANÁLISIS LINEAL

Como era de esperar en base a lo visto en el Apartado 3.4.2.2 el análisis lineal

ejecutado con ANSYS arroja los mismo resultados que los obtenidos al utilizar la

fórmula de Euler, ya que como se comentó en dicho apartado, cuando se ejecuta un

análisis lineal de pandeo (eigenvalue buckling), el programa aplica las expresiones

teóricas que modelan el comportamiento del fenómeno en cuestión.

En el análisis llevado a cabo se ha solicitado la extracción de los 3 primeros

modos de pandeo y los valores de la carga crítica para cada caso. Los resultados

obtenidos se muestran a continuación, siendo time/freq la carga de pandeo en (N).


***** INDEX OF DATA SETS ON RESULTS FILE *****

SET TIME/FREQ LOAD STEP SUBSTEP CUMULATIVE

1 20726. 1 1 1

2 42403. 1 2 2

3 82922. 1 3 3

Tabla 4.1. Resultados del análisis lineal con 20 elementos BEAM3

Se puede observar como el valor de la carga crítica determinado para el primer

modo de pandeo coincide casi exactamente con el calculado en el Apartado 4.2.2.1.

Figura 4.4. Modos de pandeo de la barra comprimida

En la Figura 4.4 se han incluido capturas de los modos de pandeo solicitados.

Los ficheros de comandos empleados tanto en este como en posteriores análisis se

encuentran disponibles en el Anexo III de este documento para su consulta.

4.2.3.2. ANÁLISIS NO LINEAL

Para la realización de cualquier análisis no lineal deberemos introducir un valor de la

carga a aplicar, para posteriormente llevar a cabo la aplicación gradual de dicha carga

hasta converger al valor introducido. Para la correcta convergencia deseada será

necesario además introducir una pequeña imperfección inicial a modo de

deformación, a partir de la deformada obtenida en el problema lineal.

Se mencionó en el Capítulo 3, que la carga de pandeo (Ncr) obtenida a partir de

un análisis no lineal, resultaba ser menor (generalmente) que la obtenida mediante el

análisis lineal de la misma estructura. Es por ello, que elegiremos el valor de Ncr

obtenido en el análisis lineal como valor de la carga a aplicar y extraeremos una curva

“carga aplicada/desplazamiento del punto medio” en la que se podrá observar como

en el momento en el que la carga alcance su valor máximo la estructura ya presentará

grandes desplazamientos, es decir, el pandeo habrá comenzado para una N menor.

Caso 1: Pandeo de Euler Cálculos con ANSYS 85

En la siguiente figura se muestra la curva mencionada con el desplazamiento del

nodo intermedio en el eje X y la reacción del nodo superior en el eje Y.

Figura 4.5. Curva Carga/Desplazamiento

La extracción de un listado que recoge la evolución de los desplazamientos (mm)

y las cargas (N) en cada subpaso muestra como a partir de un valor de la carga en

torno a los 19 KN los incrementos de desplazamiento se producen para incrementos

de carga cada vez menores. Estos datos corresponden al uso de 30 elementos

BEAM189.

TIME 4 ABS 32 UX

0.84849 17743.9 0.564956E-01

0.87343 18265.4 0.705186E-01

0.89271 18668.5 0.862319E-01

0.90728 18973.3 0.102931

0.91838 19205.4 0.120159

Tabla 4.2. Seguimiento del proceso iterativo

También se observa cómo se alcanza una situación para la cual se tienen

“importantes” aumentos de Ux con incrementos muy pequeños de dicha carga (<1kg).

TIME 4 ABS 32 UX

0.97543 20398.6 0.602999

0.97587 20407.7 0.620931

… … …

0.98568 20612.9 1.84032

0.98573 20613.9 1.85825

0.98578 20614.9 1.87618

Tabla 4.3. ΔUx a carga ≈ CTE


A continuación se muestra también una figura del comportamiento real de la

barra si continuásemos aumentando la carga una vez alcanzada la inestabilidad, que

demuestra que el resto de modos de pandeo no se alcanzarán de manera natural, a

no ser que apliquemos restricciones a los desplazamientos en el punto medio.

Figura 4.6. Deformada en análisis no lineal

Otros aspectos como la sensibilidad del análisis ante la utilización de un tipo u

otro de elemento se revisarán más adelante en el apartado de conclusiones.

4.2.3.3. COMPARATIVA LINEAL/NO LINEAL

Los resultados obtenidos mediante los 2 tipos de análisis detallados anteriormente

han sido procesados con ayuda del software informático Matlab v6.1 con el fin de

elaborar unas gráficas que permitan comparar el comportamiento de la barra analizada

en uno y otro caso. Concretamente se han extraído datos referentes al desplazamiento

vertical en el extremo inferior (Figura 4.7) y al desplazamiento horizontal en el punto

medio (Figura 4.8), resultando

Figura 4.7. Desplazamiento Uy del extremo

inferior

Figura 4.8. Desplazamiento Ux del punto

medio

Caso 1: Pandeo de Euler Resultados experimentales 87

4.2.4. RESULTADOS EXPERIMENTALES

Se incluyen en primer lugar unas imágenes que muestran el proceso de preparación

del ensayo realizado. En ellas se puede observar el proceso de colocación y

alineación de la barra en la máquina Instron, así como el estado de la barra a la

conclusión del ensayo.

Figura 4.9. Montaje en máquina Instron y estado final de la barra

Una vez realizado el montaje mostrado en la Figura 4.9, y con ayuda de la

máquina Instron, se ha obtenido una curva análoga a las mostradas en el apartado

anterior, siendo el resultado el que se muestra a continuación:

Figura 4.10. Curva Carga/Desplazamiento experimental

En la gráfica azul de la figura (curva experimental) se tiene un valor máximo de

N=19,272 KN cuando el desplazamiento en el punto medio de la barra es de ux=0,542

mm, aunque el comportamiento propio del pandeo se detecta para cargas algo

inferiores (en torno a N=18,9 KN). Finalmente se ha tomado como valor de la carga de

pandeo un valor promedio de los resultados correspondientes a la “zona de interés”.

0 1 2 3 4 5 6 7 80

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

2.2x 10

4

Ux del punto medio (mm)

Carg

a (

N)

P/Ux NO lineal

P/Ux lineal

Ensayo


4.2.5. ANÁLISIS DEL MODELO NUMÉRICO

4.2.5.1. RESUMEN DE RESULTADOS: VALIDACIÓN DEL MODELO

Finalmente, podemos realizar una comparación de los resultados obtenidos

mediante los diversos métodos aplicados, habiéndose tomado para los resultados de

ANSYS los correspondientes a un análisis con 20 elementos BEAM3:

Euler CTE EUROCÓDIGO Ansys lineal

Ansys no lineal

Experimental

Ncr (KN) 20.727 20.727 20.727 20.726 ≈ 20.400 19.194

Ncr,Rb (KN) 20.727 15.445 14.736 20.726 ≈ 20.400 19.194

Tabla 4.4. Resumen de resultados

Resulta inmediata la apreciación de que los cálculos basados en normativas

resultan algo conservadores, lo cual es perfectamente lógico, ya que estas normas

incluyen importantes coeficientes de “incertidumbre” y de seguridad que buscan alejar

lo suficiente a la estructura de su punto de fallo durante la puesta en servicio de la

misma. No obstante, este valor conservador de la carga crítica de pandeo se obtiene

en base a un valor teórico que coincide con el ya conocido valor de pandeo de Euler,

lo cual valida los resultados obtenidos por ANSYS.

Por otra parte puede observarse como los cálculos realizados mediante ANSYS

predicen valores de la carga crítica mayores que el obtenido por vía experimental; es

decir, la barra pandea para una carga inferior a la establecida por las teorías clásicas

(como era de esperar) e incluso a la calculada mediante un proceso no lineal iterativo

que tiene en cuenta las imperfecciones iniciales y la deformación progresiva del

elemento. Estas discrepancias pueden deberse a posibles errores de colocación de la

barra durante la preparación del ensayo (si el empotramiento no es total, β aumenta,

con lo que la carga crítica disminuye), imperfecciones del material, imperfecciones

geométricas iniciales, etc.

De cualquier forma, los resultados obtenidos ponen de manifiesto que el valor

que más se aproxima al resultado experimental es el obtenido mediante el análisis no

lineal de ANSYS, con lo que queda demostrada su aplicabilidad para el análisis de

este tipo de problemas.

En los análisis no lineales se ha detectado una mejor convergencia de la

solución mediante la utilización del método ARCLEN frente al algoritmo clásico de

Newton-Raphson que se aplica por defecto en este tipo de análisis (comando

AUTOTS,ON).

En la búsqueda de un compromiso óptimo entre el tiempo de ejecución, la

convergencia y el grado de exactitud del análisis se han elegido los parámetros

mostrados en el Archivo de comandos II incluido en el Anexo III.

Caso 2: Pandeo Lateral Descripción del modelo empleado 89

4.2.5.2. EFECTO DEL TIPO DE ELEMENTO Y DEL CAMBIO DE MALLA

Como vimos en el apartado 3.4.4., la familia de elementos más idónea para estudiar el

comportamiento de piezas tipo barra es la de elementos “BEAM”. En concreto se han

realizado pruebas para modelos mallados mediante elementos de los tipos BEAM3 Y

BEAM189 con diferentes tamaños de malla, obteniéndose los siguientes resultados

referentes al valor de la carga crítica:

BEAM3 BEAM189

15 ELEMENTOS 30 ELEMENTOS 15 ELEMENTOS 30 ELEMENTOS

Ncr (KN) 20.727 20.726 20.707 20.705

Tabla 4.5. Resumen de resultados frente a cambios de malla

Los análisis realizados para mallas de más de 30 elementos no han presentado

cambios en el valor del primer modo de pandeo, aunque sí se aprecian leves

reducciones en los valores de las cargas correspondientes al resto de modos de

pandeo extraídos.

4.3. CASO 2: PANDEO LATERAL

4.3.1. DESCRIPCIÓN DEL MODELO EMPLEADO

El fenómeno que tratamos de reproducir en este segundo problema es el de pandeo

lateral definido en el Apartado 2.2. Con este fin se ha modelado un perfil IPE100 con

condiciones de contorno de empotramiento en uno de los extremos y libertad en el

otro. Al modelo descrito se le va a imponer una carga P vertical y hacia arriba en el

extremo libre, con punto de aplicación en el centro del borde inferior del perfil, la cual

provocará la aparición de unos esfuerzos de flexión alrededor del eje fuerte de la

barra, estableciéndose así las condiciones necesarias para el pandeo lateral descritas

en la Página 29 de este documento.

Las características geométricas de la sección se muestran a continuación:

h=100mm; b=55mm;

tw=4,1mm; tf=5,7mm; r =7mm

hi=88,6mm; d=74,6mm A=10,3∙102mm2

Iy=171∙104mm4; Iz=15,92∙104mm4

IT=1,2∙104mm4; Iw=0,35∙106mm6

G=81∙103N/mm2 E=210∙103 N/mm2

Figura 4.11. Sección del perfil IPE100 Siendo la longitud L=5700 mm


Este problema es análogo al descrito en el Apartado 2.2.1.2.2 para una carga

puntual vertical y hacia abajo colocada en el borde superior del extremo libre de una

viga en voladizo, incorporando además los efectos del peso propio del perfil ensayado.

Realizaremos los cálculos teóricos

en base a las expresiones empíricas

desarrolladas en el citado apartado e

intentaremos analizar la influencia del

peso propio en el valor de la carga crítica

comparando el resultado obtenido con el

derivado del resto de análisis (normativa,

ANSYS (lineal y no lineal, con y sin

consideración del peso propio, etc.))

Por último, la calidad del acero

corresponde a la serie S275.

4.3.2. CÁLCULOS TEÓRICOS Y APLICACIÓN DE LA NORMATIVA

4.3.2.1. CÁLCULO MEDIANTE LA „EXPRESIÓN DE ZHANG Y SHU‟

Recordemos en primer lugar la expresión introducida en la Página 40 para el cálculo

del momento crítico (Mcr) de una viga en voladizo con sección bisimétrica y carga

puntual aplicada sobre el extremo libre, en algún punto del eje vertical de la sección (a

una distancia „a‟ del centro de esfuerzos cortantes (CEC)), y adaptémosla al sistema

de ejes de nuestro perfil:

EI

)L2(GI1

I

I)aC(aC

)L2(

EICM

2

2T

z

2222

z2

1cr (4.11)

para a≥ 0 (0≤ m ≤2) 2

2 )4.2K(28.0165.2C (4.12)

siendo m=2ª/h, 2

1

K4

)K1(9.4C

y

2T

w2

LGI

EIK

(4.13)

En el apartado anterior se han descrito todas las características físicas y

geométricas de la sección bajo estudio, por los que disponemos de todos los datos

necesarios para obtener el valor del Mcr, y a partir de éste, el de la carga crítica.

Sustituyendo de acuerdo a los valores y expresiones dados tenemos:

K=4.79∙10-3, C1=2.460 y C2=0.559

dando lugar a un valor del momento crítico

Mcr=3.694 KN∙m=Pcr∙L Pcr=648.05 N (4.14)

Figura 4.12. Vista isométrica del

problema ensayado

Caso 2: Pandeo Lateral Cálculos teóricos y aplicación de la normativa 91

4.3.2.2. APLICACIÓN DEL CTE

Para el desarrollo de esta sección debemos trasladarnos al Apartado 2.2.2.1 de este

documento, en el cual se recogen todos los artículos y fórmulas que el CTE propone

para el análisis de piezas susceptibles de pandear lateralmente.

En dichos artículos, más concretamente en el Artículo 6.3.3.2 se indica que la

distribución de momentos no debe superar en ninguna sección el valor del momento

límite dado por la expresión

1M

ydyLTRd,b

fWM

γχ (4.15)

Wy≡Wpl,y para secciones de tipo 1 y 2

2LT

2LTLT

LT

λ

1χ

(4.16)

con 2LTLTLTLT λ2,0λα15,0 y

cr

ypl,y

LTM

fWλ (4.17)

El CTE sugiere además la siguiente expresión para el momento crítico

2LTW

2LTVcr MMM con

)b(iCL

EWM

)a(EIGIL

CM

22,f12

C

2

y,elLTW

zTC

1LTV

(4.18)

A partir la Ecuación (4.18 (a)) podemos calcular el MLTV en cuanto conozcamos

el valor del coeficiente C1, el cual, para una distribución de momentos como la que nos

ocupa, toma el siguiente valor según la Tabla 6.7

C1=2.05 y LC=2L

y sustituyendo en (4.18 (a)),

MLTV=3.221 KN∙m

Para el cálculo de MLTW consultaremos

el apartado 4 del Artículo 6.3.3.3, que nos

dice que MLTW coincide con la carga de

pandeo del soporte formado por el ala

comprimida y la 3ª parte de la zona

comprimida del alma (es decir, 1/6 del alma

total en este caso).

Figura 4.13. Apoyos y distribución de esfuerzos

Figura 4.14. Sección del soporte

comprimido


WEL,y=

2h

I y=3,86∙104mm4 (4.19)

62.10753.2977.55553.29712

17.555

12

1I 33sop

z =2.026∙104mm4 (4.20)

21.520

10026.2

A

Ii

4

sop

zz,f 6.24mm (4.21)

Sustituyendo en 2(b) resulta MLTW=124.64 N∙m=0.125 KN∙m y por tanto:

Mcr=22 125.0221.3 =3.223 KN∙m Pcr=565.35 N (4.22)

Para cerrar los cálculos deberemos determinar a qué clase pertenece el perfil

sometido a los esfuerzos definidos en nuestro caso (flexión con el ala superior

comprimida), y utilizando para ello las tablas 5.3 y 5.4 del Anexo I.

La sección con carga puntual en el extremo y hacia arriba se encontrará

sometida a la distribución de tensiones mostrada en la Figura 4.13, la cual nos

permitirá clasificar el tipo de sección que estamos estudiando.

Por lo que podemos observar en la

figura, existirán elementos intermedios (alma)

sometidos a flexión simple y elementos con

borde libre (alas) sometidos a compresión y

tracción respectivamente.

Analizaremos pues la clase a la que

pertenecen las distintas partes del perfil en

base a los criterios tabulados.

El elemento de clase mayor determinará la clase general del perfil, de acuerdo a

lo establecido por la Norma.

Ala superior (comprimida):

Para las características geométricas del perfil se tiene

mm45.182

721.455c

26.89t

c

92.0275

235

24.3t

c

f

fε

ε

CLASE 1

-

+

Figura 4.15. Distribución de

tensiones en la sección

Caso 2: Pandeo Lateral Cálculos teóricos y aplicación de la normativa 93

Alma (flexión simple):

mm45.18r2t2100d f

ε7266.107

6.74

t

d

w

CLASE 1

Por lo tanto, el perfil utilizado bajo las

hipótesis de cargas consideradas es de clase1, por lo que el módulo resistente a

utilizar en (4.15) es el plástico que para el IPE100 toma el valor Wy≡Wpl,y=39.41∙10-6 m3.

cr

ypl,y

LTM

fWλ = 1.83 curva a

Así, LT =0.245 y la resistencia de cálculo al pandeo lateral finalmente resulta

Mb,Rd=2.414 KN∙m Pcr,Rd=423.50 N

4.3.2.3. APLICACIÓN DEL EUROCÓDIGO 3

Nos centramos en este caso en el Apartado 5.5.2 del Eurocódigo 3 (ver Anexo II), que

nos orienta a lo largo del proceso de comprobación a pandeo de vigas no arriostradas

lateralmente y sometidas a flexión según su eje fuerte.

En este apartado se indica que la resistencia de cálculo al pandeo lateral de este

tipo de vigas vendrá dada por:

Rd,bM χLT

1M

y

y,plw

fW

γβ (4.23)

βw toma el valor βw=1 para secciones de clase 1 y 2 como en este caso

χLT es el coeficiente de reducción correspondiente al pandeo lateral

Tal y como se indica en el Epígrafe (4) del citado apartado, el coeficiente χLT se

obtendrá a partir de las tablas utilizados en el caso de pandeo de Euler, con LTλλ y

χ = χLT debiendo utilizarse la curva „a‟ para perfiles laminados como el nuestro.

11

2

LT2LTLT

LT

λ

χ (4.24)

con ])2,0(1[5,02

LTLTLTLT λλα ; crit

yy,plwLT

M

fW (4.25)

donde Mcr es el valor del momento crítico elástico de pandeo lateral, cuyo

procedimiento de cálculo se recoge en el Anexo F del Eurocódigo, también incluido en

este documento (ver Página 152).

tabla 6.6

perfil laminado h/b ≤ 2


j3g2

21

2

j3g2

z2

t2

z

w

2

w2

z2

1cr zCzCzCzCEI

GI)kL(

I

I

k

k

)kL(

EICM

π

π (4.26)

De acuerdo al Apartado F.1.2 de este Anexo F, kw=1. En dicho apartado

encontramos también la definición del parámetro „k‟ para una series de condiciones de

contorno en apoyos entre las cuales no se encuentra el caso que estamos analizando

(viga en ménsula con extremo libre), por lo que el valor de „k‟ para esta tipología se ha

extraído del libro de Monfort “Estructuras Metálicas para Edificación” [7]; además en el

Apartado F.1.3 se nos dice que zj=0 para secciones con doble simetría.

La Tabla F.1.1 nos da el valor de los coeficientes Cj según las condiciones de

contorno en los apoyos y la distribución de cargas. En nuestro caso tenemos una

distribución lineal con momento nulo en el extremo como la mostrada en el apartado

anterior, y condiciones de apoyo empotrado-libre (k=2); resultando:

C1=2.05 ; C2=0; C3=1.473 y sustituyendo todo en (4.26):

t2

w2

tz1zz2

wz22

1crIGL

IEπ1IIGE

kL

πCGIEI

L

IIE

kLCM

=3.220 KN∙m

Mcr=3220.08 N∙m=Pcr∙L Pcr=564.93 N (4.27)

cr

ypl,y

LTM

fWλ = 1.83 curva a LT =0.245

Con lo que según el Eurocódigo3, la resistencia de cálculo al pandeo lateral

toma el mismo valor que el ya calculado por aplicación del CTE:

Mb,Rd=2.414 KN∙m Pcr,Rd=423.50 N

4.3.3. CÁLCULOS CON ANSYS

4.3.3.1. ANÁLISIS LINEAL

Del mismo modo que para el primer caso planteado en el Apartado 4.2 se ha

ejecutado inicialmente un análisis lineal mediante ANSYS del que se han extraído de

nuevo 3 modos de pandeo y sus cargas críticas correspondientes, resultando:



1 571.34 1 1 1

2 1490.6 1 2 2

3 2421.7 1 3 3

Tabla 4.6. Resultados del análisis lineal con 20 elementos BEAM189

Caso 2: Pandeo Lateral Cálculos con ANSYS 95

Una vez más es el 1º de estos modos el de mayor relevancia, ya que en los

casos de interés el resto de modos no se alcanzarán de forma natural.

Se aprecia claramente como la carga que provoca la aparición del 1er modo de

pandeo se aproxima bastante a las cargas críticas (Pcr) calculadas a partir de las

expresiones de Mcr propuestas por ambas normativas.

Se muestran a continuación algunas capturas del modo de pandeo mencionado.

Como se observa en estas figuras, en el análisis lineal el pandeo lateral consiste en

un giro torsional de la sección acompañado de un desplazamiento lateral de la misma,

no recogiéndose el desplazamiento vertical que se produce en la práctica.

Figura 4.16. Vista isométrica del 1er modo de pandeo lateral

Figura 4.17. Vista frontal del 1er modo de pandeo lateral

4.3.3.2. ANÁLISIS NO LINEAL

De nuevo, y como corresponde a todo análisis no lineal, deberemos introducir una

imperfección inicial a modo de excentricidad de la carga o de deformación. Será esta

última alternativa la que utilicemos, actualizando la geometría del modelo definido a

partir de la deformada obtenida en el análisis lineal.


Una vez más, introduciremos una carga con un valor aproximado a la carga

crítica obtenida en el anterior análisis. Dicha carga será aplicada lentamente con la

intención de convergir a su valor final, y de que cuando se alcance dicha convergencia

ya se haya producido la aparición del fenómeno de pandeo lateral en la pieza.

En efecto, en la curva carga/desplazamiento extraída del análisis no lineal se

puede comprobar como algo antes de alcanzar la carga aplicada (1.044∙Pcrit en este

caso) ya se observa el típico comportamiento a pandeo en el que los incrementos de

desplazamiento se producen para a leves variaciones de la carga.

Figura 4.18. Desplazamiento lateral del extremo libre

Se incluye también una gráfica en la que se representa el desplazamiento

vertical (no registrado por el análisis lineal) del extremo libre frente a la carga

quedando reflejado claramente el comportamiento lineal de esta relación hasta la

región de manifestación del pandeo.

Figura 4.19. Desplazamiento vertical del extremo libre

Caso 2: Pandeo Lateral Cálculos con ANSYS 97

Se completa este apartado con un extracto del fichero de resultados en el que

observamos claramente la tendencia mencionada, no pudiendo establecerse un valor

concreto de la carga crítica, sino más bien un rango de valores de la carga para los

que empieza a manifestarse el pandeo. Los resultados de la Tabla 4.7, así como las

diferentes capturas, han sido obtenidos utilizando los comandos mostrados en el

Apartado II.a) del Anexo III, para una malla de 150 elementos BEAM189.

TIME 3 PROD 2 UZ 2 UY

CARGA UZ UY

0.72356 431.587 0.115506 77.8069

0.74356 443.517 0.128594 79.9585

... ... ... ...

0.99564 593.877 4.42866 107.118

0.99590 594.031 4.56978 107.147

0.99616 594.186 4.70612 107.176

Tabla 4.7. ΔUz a carga ≈ CTE

Se ha incluido finalmente una imagen de la deformada del elemento para una carga aplicada algo mayor que la carga crítica en la que pueden apreciarse grandes desplazamientos laterales.

Figura 4.20. Deformada para P>Pcr

4.3.3.3. COMPARATIVA LINEAL/NO LINEAL

En este caso se van a realizar 2 comparativas; una para los resultados obtenidos al

realizar un análisis no lineal con deformación inicial igual al 10% de la deformada

calculada en el análisis lineal (es decir, 0.1 mm en el extremo libre), y otra cuya

deformada inicial representa un 75% (0.75 mm en el extremo) de la deformada

obtenida linealmente.

Con ello se pretende poner de manifiesto el hecho de que cuanto menor es la

perturbación inicial introducida mayor es la adaptación del cálculo no lineal de ANSYS

al modelo teórico.


Figura 4.21. UY/Carga para diferentes deformaciones iniciales

Figura 4.22. UZ/Carga para diferentes deformaciones iniciales

En estas figuras se observa claramente que los análisis no lineales ejecutados

predicen un valor de carga crítica de pandeo lateral algo superior al establecido

mediante análisis lineal en contra de lo que suele ser habitual.

4.3.4. ANÁLISIS DEL MODELO NUMÉRICO

4.3.4.1. RESUMEN DE RESULTADOS: VALIDACIÓN DEL MODELO

En este punto, podemos proceder a la comparación de los resultados obtenidos

mediante los diversos métodos aplicados, habiéndose tomado para los resultados de

ANSYS los correspondientes a un análisis con 20 elementos BEAM189:

Zhang y

Shu CTE EUROCÓDIGO

Ansys lineal

Ansys no lineal

Pcr (N) 648.05 565.35 564.93 571.34 ≈ 594

Pcr,Rb (N) 648.05 423.50 423.50 571.34 ≈ 594

Tabla 4.8. Resumen de resultados

Caso 2: Pandeo Lateral Análisis del modelo numérico 99

Los valores anteriores concuerdan con lo mostrado por la Figura 2.32, en la cual

se contrastaban los resultados obtenidos por aplicación directa de la expresión

empírica utilizada para el cálculo con los derivados de otras expresiones. En dicha

figura podía observarse como la expresión de Zhang y Shu [15] arrojaba valores de la

carga crítica algo por encima de los extraídos a partir de otras expresiones empíricas,

mientras que encajaban con bastante exactitud con los resultados derivados de un

análisis por elementos finitos.

Este comportamiento coincide con el obtenido en nuestro análisis, aún

existiendo cierta discrepancia entre el resultado teórico y el dado por el análisis no

lineal de ANSYS, debida principalmente al bajo valor del parámetro K a causa de la

esbeltez de la viga (gran longitud y bajo módulo de alabeo (Iw)). Se demuestra por

tanto la idoneidad del cálculo no lineal del pandeo lateral mediante ANSYS.

4.3.4.2. EFECTO DEL TIPO DE ELEMENTO Y DEL CAMBIO DE MALLA

Al igual que en el primer caso analizado, por encontrarnos ante el análisis de piezas

tipo barra se ha procedido al modelado mediante elementos “BEAM”. En concreto se

han realizado pruebas para modelos mallados mediante elementos de los tipos

BEAM3, BEAM188 y BEAM189 con diferentes tamaños de malla, obteniéndose los

siguientes resultados referentes al valor de la carga crítica:

Nº DE ELEMENTOS

5 20 150

BEAM3 - - -

Ncr

(N) BEAM188 584.277 572.137 571.351

BEAM189 571.427 571.337 571.337

Tabla 4.9. Carga crítica para diferentes mallas y tipos de elementos

Como se aprecia en la tabla de resultados, no es posible la resolución del

problema de pandeo lateral utilizando elementos BEAM3 (así como con elementos

BEAM4, BEAM44, etc.), generando ANSYS el siguiente mensaje de error:

“Stress Stiffness matrix is all zero. No load factor solution is possible”

Los análisis realizados para mallas de más de 150 elementos no presentan

variaciones en lo que respecta al valor obtenido utilizando elementos BEAM189,

mientras que para el caso BEAM188, la carga se reduce aún ligeramente hasta

alcanzar el conocido valor de 571.337N.

Resulta evidente por tanto la conveniencia de cualquier elemento de la serie

BEAM18x para el estudio de los casos de inestabilidad lateral, principalmente del

elemento tipo BEAM189 que proporciona una solución exacta sin necesidad de un


mallado excesivamente denso, lo cual resulta ventajoso de cara a la reducción de los

tiempos de ejecución para un posible análisis no lineal.

4.3.4.3. EFECTO DEL PESO PROPIO

En el caso que nos ocupa resulta interesante analizar cómo afecta la consideración de

la carga repartida de peso propio al valor de la carga crítica de pandeo lateral. La

consideración del peso propio de la viga lleva asociada la aparición de un momento en

el empotramiento de signo contrario al introducido por la carga puntual. Para el caso

de carga distribuida dicho momento tomará un valor

Mpp=2

pL2

=

2

LA8.9 21287.22 Nm (4.28)

Así, aplicando el principio de superposición, se requerirán P=Mpp/L=225.83N

adicionales respecto de la carga crítica obtenida con anterioridad, para la

“compensación” de este momento que se opone al producido por la carga aplicada.

Para contrastar este razonamiento se ha realizado de nuevo un análisis lineal con 20

elementos BEAM189 (cuya validez se ha comprobado en el apartado anterior),

obteniéndose el siguiente resultado para los modos de pandeo solicitados:



1 5.0058 1 1 1

Tabla 4.10. Resultados para análisis lineal con peso propio

Este resultado se debe a la forma algo “ineficiente” que tiene ANSYS de

considerar la acción de la gravedad, que se incluye como una aceleración (fuerzas de

inercia) que también es escalada al resolver el problema de autovalores del análisis de

pandeo. Por lo tanto para averiguar el valor de la carga crítica en el extremo dejando

constante el peso propio ha sido necesario introducir manualmente y de forma iterativa

valores de la carga hasta obtener un factor de pandeo igual a 1. El nuevo resultado

obtenido mediante el proceso descrito ha sido recogido en la siguiente tabla junto con

el valor teórico de la carga crítica a partir de los resultados del análisis lineal,

resultando:

Ansys LINEAL Ansys LINEAL con

PESO PROPIO Ansys LINEAL + peso

propio “Superposición” ERROR

(%)

Ncr (N) 571.337 702.85 797.167 11.83

Tabla 4.11. Carga crítica con consideración del peso propio

Se concluye por tanto que la inclusión del efecto del peso propio es factible pero

“incómoda” en ANSYS, resultando muy recomendable la de por sí siempre

conveniente validación manual de los resultados a partir de los datos obtenidos en el

análisis lineal.

Caso 2: Pandeo Lateral Otros modelos analizados 101

4.3.5. OTROS MODELOS ANALIZADOS

Una vez validada la conveniencia del estudio del pandeo lateral mediante la

herramienta ANSYS con elementos tipo BEAM18x, se ha procedido a la resolución de

nuevos modelos en base al fichero de comandos elaborado, sin más que modificar las

condiciones de apoyo del modelo y el tipo de cargas aplicadas. Así, se ha planteado el

problema patrón definido en al Apartado 2.2.1.1 correspondiente al caso de la viga

biapoyada sometida a un momento uniforme, y se han extraído los datos

correspondientes al estudio lineal y al efecto del cambio de elemento. Los resultados

derivados de estos estudios se muestran a continuación, siendo los valores calculados

con ANSYS los correspondientes a una malla de 150 elementos BEAM189:

TEORÍA CTE EUROCÓDIGO Ansys lineal

Ansys no lineal

Mcr (KNm) 3.142 3.143 3.142 2.730 ≈ 2.550

Mcr,Rb (KNm) 3.142 2.403 2.394 2.730 ≈ 2.550

Tabla 4.12. Carga crítica de la viga biapoyada con M=cte.

Nº DE ELEMENTOS

5 20 150

BEAM188 2.832 2.736 2.730 Mcr

(KNm) BEAM189 2.731 2.730 2.730

Tabla 4.13. Efecto del cambio de malla y del tipo de elemento

Vuelve a comprobarse que el elemento BEAM188 es más sensible a la variación

de la densidad de la malla, aunque tanto uno como otro proporcionan resultados

bastante exactos para un nº de elementos no excesivamente alto.

Figura 4.23. Isocontornos UZ de la viga biapoyada


4.4. CASO 3: ABOLLADURA

La elección de un modelo ilustrativo para la representación de la abolladura no es tan

sencilla como en los casos anteriores, en los que la aplicación de un determinado

estado de cargas a cualquiera de los perfiles comúnmente utilizados en estructuras

metálicas daba lugar a la aparición del fenómeno deseado.

En el caso que nos ocupa, la sección bajo estudio deberá cumplir una serie de

requisitos geométricos que no poseen la mayoría de perfiles normalizados utilizados

habitualmente. Tanto es así, que sería muy difícil conseguir abollar cualquier perfil

laminado de entre los seleccionados de un catálogo, ya que con toda seguridad se

alcanzarían antes otros modos de fallo (plastificación o pandeo lateral principalmente).

Por otra parte, para perfiles cuyas características geométricas los convierten en

susceptibles de padecer abolladura, esta abolladura no tendrá un único modo de

manifestarse como ocurría en los casos anteriores, sino que la forma de la abolladura

dependerá del modo de aplicación de las cargas y del estado de esfuerzos que dichas

cargas induzcan sobre las “placas” (almas y alas) del perfil bajo estudio, como pudo

comprobarse en los desarrollos del Apartado 2.3.

Por todo esto, en este apartado comenzaremos por definir una sección

genérica con la que intentaremos reproducir la mayoría de casos posibles, y en base

a ésta modelaremos un “compartimento” patrón sobre el que aplicar tanto las

expresiones dadas por los desarrollos teóricos como las propuestas por la normativa

de aplicación. Dicho compartimento representará la parte del elemento metálico

comprendida entre 2 rigidizadores transversales y 2 alas (ó 1 ala y 1 rigidizador

longitudinal ó 2 rigidizadores longitudinales). En cada análisis podremos repetir dicho

patrón tantas veces como queramos para dar lugar al modelo deseado. Sobre el

elemento metálico resultante en cada caso aplicaremos las cargas, dependiendo la

forma de aplicación del fenómeno que deseemos reproducir.

4.4.1. ELECCIÓN DE LAS CARACTERÍSTICAS DEL PERFIL

En base a lo comentado anteriormente, para la selección del modelo se han

tomado como punto de partida las recomendaciones normativas para el estudio de la

abolladura a cortante en elementos metálicos. En concreto, tal y como se comentó en

la Página 54, el Eurocódigo3 indica que no será necesario comprobar la resistencia a

la abolladura de almas no rigidizadas (entre apoyos) con esbelteces (d/tw) menores o

iguales a 69ϵ (ϵ=[235/fy]1/2, d y tw son el canto y el espesor del alma respectivamente)

o, en caso de contar con rigidizadores intermedios, para esbelteces menores o iguales

a 30ϵ∙ 𝑘𝜏 , viniendo 𝑘𝜏 definido en el Apartado 5.4.6 (7) de dicha norma. (ver Anexo II).

En el catálogo de perfiles IPE consultado no se ha encontrado ningún perfil con

esbelteces mayores a las referenciadas por la norma para una calidad del acero S275

(ϵ=0.924 → 69ϵ=63.76). Así, para los perfiles con mayores esbelteces de entre los

disponibles (IPE600* e IPE750x137*) tenemos que d/tw toma valores 52.44 y 59.56

respectivamente.

Caso 3: Abolladura Elección de las características del perfil 103

Como consecuencia de lo anterior tendremos que modelar nuestra propia

sección mediante un perfil armado, en base a unos requisitos concretos:

1. El alma de la viga debe tener una esbeltez mayor a las esbelteces de referencia

de la Norma; por tanto, deberemos escoger un alma de pequeño espesor y de

canto suficiente.

2. No solo pretendemos conseguir la abolladura, si no que ésta se produzca para

valores de la carga suficientemente bajos, de cara a la posible reproducción del

modelo en el laboratorio. Por lo tanto, la reducción del espesor y el incremento

de la altura del alma antes mencionados no deben limitarse al mínimo necesario

para que la carga crítica de abolladura sea algo menor que la de pandeo lateral

o que la de plastificación, sino que serán sobreestimados.

3. Buscaremos un tipo de sección y una disposición que se adapte bien a la

comprobación mediante el método post-crítico simple (ver Apartado 5.3.6 del

Eurocódigo3), más sencilla de realizar y análoga a la comprobación del CTE.

4. El tamaño de las alas deberá ser suficiente, para resistir “por sí solas” los

esfuerzos de flexión y tracción/compresión en cada sección, pero no excesivo,

para evitar que la inercia de la sección aumente tanto que reduzca la tensión

equivalente por debajo de la de abolladura.

De acuerdo a estos criterios utilizaremos un perfil armado en I, para los cuales

el método post-crítico siempre es aplicable (ver Artículo 5.6.3 (2)).

Conviene recordar, que la comprobación de abolladura según el Eurocódigo 3 se

realiza sobre el rectángulo de altura igual a la distancia entre alas y/o rigidizadores

longitudinales, y de ancho igual a las distancia entre apoyos y/o rigidizadores

transversales. Dado que buscamos que el fenómeno de abolladura se manifieste antes

que el de pandeo lateral tomaremos una distancia entre apoyos de 1m con objeto

de evitar la aparición de momentos flectores importantes.

Como ya hemos comentado, es sabido en base a la experiencia que los perfiles

normalizados difícilmente abollarán, por lo que tomando como referencia el espesor

del perfil de mayor esbeltez de entre los mayores perfiles del catálogo (tw=11,5mm

para el IPE750x137*), y de acuerdo a los requisitos 1 y 2, tomaremos como alma de

nuestro modelo una chapa de 5mm de espesor.

Para el espesor elegido, el criterio introducido anteriormente para la necesidad

de comprobación de la abolladura establece que

d>30ϵ∙ 𝑘𝜏∙tw (4.29)

kτ se obtiene aplicando el Artículo 5.6.3 (3) del Eurocódigo 3, recogido en el

Anexo II de este documento y que plantea 3 posibilidades en función de la relación

a/d (a es la distancia entre rigidizadores transversales y d es el canto de la viga) y de

la existencia de rigidizadores intermedios. Así, suponiendo el caso más restrictivo en el

que dispondríamos de rigidizares transversales intermedios (a 0,5m de los apoyos)

podremos estimar un valor de d para forzar la comprobación de abolladura.


Suponiendo que a/d<1 la Norma establece que 2)d/a(

34.54k (4.30)

Tomando el d más pequeño posible para el caso contemplado (a/d≈1 → d≈0.5m)

resulta que kτ=9.34, con lo que la condición para el canto mínimo resulta

d>423.58mm

Dado que no sólo buscamos que se produzca la abolladura, sino que lo haga a

una carga relativamente baja tomaremos un canto bastante mayor al mínimo.

Tomando como referencia de nuevo el mayor perfil del catálogo, elegimos un canto

d=750mm.

Finalmente nos fijamos de nuevo en el catálogo y en el 4º requisito de los

anteriormente enumerados para tomar un espesor de las alas tf=17mm.

Se presenta a continuación la sección armada resultante, así como el rectángulo

patrón que servirá de base a algunos de los siguientes análisis.

Figura 4.24. Alzado y perfil del rectángulo patrón

En base a los parámetros de referencia anteriores se elaborarán a continuación

modelos que permitan la reproducción de los modos de abolladura analizados en el

Apartado 2.3 (abolladura ante esfuerzos cortantes y abolladura ante cargas

puntuales), modificando el parámetro a (distancia entre rigidizadores transversales) y

el punto y modo de aplicación de las cargas para conseguir que la menor carga crítica

corresponda a uno u otro tipo de abolladura.

En lo que sigue, para cada caso analizado se mostrará inicialmente el modelo

empleado para los diferentes estudios, no resultando definitivas las configuraciones

mostradas en las figuras, ya que en los estudios numéricos se han realizado

modificaciones sobre las mismas con objeto de estudiar la influencia de alguno de los

parámetros de la sección (existencia de rigidizadores, espesor de los mismos, espesor

de las alas, etc.) sobre el valor final de la carga crítica y sobre el tipo de abolladura

resultante para un acero de calidad S275.

Se pretende modelar en este orden los casos de abolladura por cortante,

abolladura del alma, abolladura local del alma y aplastamiento del ala.

Caso 3: Abolladura Abolladura a cortante 105

4.4.2. ABOLLADURA A CORTANTE

4.4.2.1. DESCRIPCIÓN DEL MODELO EMPLEADO

En este primer caso se desea que el alma de la viga trabaje a cortante, para lo cual se

ha modelado un elemento formado por 2 rectángulos con carga aplicada sobre el

rigidizador intermedio, tal y como se muestra en la Figura 4.25.

Figura 4.25. Alzado y perfil de la viga analizada

4.4.2.2 CÁLCULOS TEÓRICOS Y APLICACIÓN DE LA NORMATIVA

4.4.2.2.1. CORTANTE TÉORICO

La aplicación directa de la expresión (2.110) ofrece el siguiente resultado:

Vcr=330.06∙1500 = 495.087N

4.4.2.2.2. APLICACIÓN DEL CTE

El Apartado 6.3.3.4 del CTE, incluido en el Anexo I, establece las bases de la

comprobación frente a abolladura de los elementos metálicos cuya sección presenta

determinadas características geométricas, anteriormente mencionadas.

El valor de la resistencia por cortante propuesto por el CTE fue definido en la

Ecuación (2.112), según la cual Vb,Rd se calcula como

1M

bRd,b

tdV

(4.31)

donde la resistencia post-crítica simple (τba) dependerá de la esbeltez de abolladura

(𝜆w) y por tanto del coeficiente de abolladura para tensión tangencial (kτ), que a su vez

depende de la relación a/d como vimos anteriormente.

Dado que el modelo planteado en la Figura 4.25 presenta rigidizadores

intermedios, la condición que debemos satisfacer en este caso es d>30ϵ∙ 𝑘𝜏 ∙tw, siendo


2)d/a(

434.5k =7.59 (4.32)

Así, la condición se cumple, y nuestro perfil será susceptible de padecer

abolladura por cortante.

Para el valor obtenido del coeficiente de abolladura (kτ), tendremos que 𝜆w=1.57

con lo que nos encontramos en el intervalo 𝜆w ≥ 1.2, para el que el Apartado 5.6.3 (2)

b) establece:

w

y

b

9.0

3

f

=91.02 N/mm2 (4.33)

Así, se tiene un cortante de abolladura Vba,Rd=325.06 KN

4.4.2.2.3. APLICACIÓN DEL EUROCÓDIGO 3

Para esta nueva comprobación consultaremos el Apartado 5.6 del Eurocódigo 3,

recogido en el Anexo II.

La comprobación distingue de nuevo entre almas rigidizadas (en secciones

intermedias entre apoyos) y almas no rigidizadas. Calcularemos aquí el cortante de

abolladura para el 2º supuesto, utilizando para ello el método post-crítico simple

como ya se comentó en el Apartado 2.3.2.2., en el que se introdujo la expresión

correspondiente al cortante de abolladura de acuerdo a este procedimiento:

1M

bawRd,b

tdV

(4.34)

donde el valor de τb viene condicionado por el valor del parámetro

k4.37

t/dw .

Cabe destacar que no se plantea la posible no existencia de rigidizadores en los

apoyos, ya que la norma obliga a la colocación de los mismos.

Para el caso que nos ocupa, con rigidizadores intermedios y una relación a/d≥1,

kτ se calcula de la misma forma que en el apartado anterior

2)d/a(

434.5k =7.59

y por tanto w =1.57 ≥ 1.2, con lo que

w

y

b

9.0

3

f

=91.02

resultando finalmente, Vba,Rd=310.28 KN

Así, la comprobación mediante el método post-crítico del Eurocódigo 3 coincide

con la del CTE excepto por el valor del coeficiente γM1.


4.4.2.3. CÁLCULOS CON ANSYS

4.4.2.3.1. ANÁLISIS LINEAL

Se ha realizado un análisis lineal con una malla de 8500 elementos SHELL63 y

unos rigidizadores transversales de 10mm de espesor, del que se ha extraído un único

factor de pandeo correspondiente al valor del cortante crítico, resultando:

Vcr=443.51 KN

Se muestran a continuación 2 capturas de la solución solicitada, correspondiente

en este caso a los isocontornos de desplazamientos UZ sobre la situación deformada.

Figura 4.26. Vista isométrica de los desplazamientos UZ

Figura 4.27. Vista frontal de los desplazamientos UZ

4.4.2.3.2. ANÁLISIS NO LINEAL

El proceso a seguir es análogo al que se ha llevado a cabo en los análisis no

lineales mostrados con anterioridad, aunque en este caso existe la peculiaridad, ya

mencionada durante los desarrollos teóricos, de que el alma no sufrirá una pérdida


total de su capacidad resistente tras la abolladura, por lo que será posible seguir el

comportamiento del desplazamiento máximo al aplicar una carga mucho mayor a la

extraída del análisis lineal. Para ello es recomendable ejecutar un análisis mediante el

método ARCLEN.

Así, se muestran a continuación las gráficas resultantes de un análisis no lineal

con 3480 elementos SHELL63, en el que se ha aplicado una carga de valor 2.3∙Vcr,

siendo Vcr la solución mostrada para el análisis lineal. Como se puede comprobar, se

ha conseguido la convergencia a la solución buscada sin mayores problemas.

Figura 4.28. Desplazamiento transversal máximo

En la gráfica anterior se ha marcado el valor de Vcr obtenido en el análisis lineal,

pudiendo comprobarse que la placa es capaz de resistir carga tras abollarse.

También se ha extraído una gráfica que muestra el desplazamiento vertical del

punto de aplicación de la carga, resultando:

Figura 4.29. Desplazamiento vertical del centro de la viga


Como ya es habitual se incluye un extracto del fichero de resultados con algunos

datos correspondientes a la zona de aparición de la abolladura y otros pertenecientes

al comportamiento post-pandeo, en los que se aprecia como 2 incrementos de carga

similares provocan variaciones diferentes en el punto de deflexión máxima, como si la

zona afectada por la abolladura recuperase algo de su rigidez.

TIME 3 PROD 2 UZ 2 UY

CARGA UZ UY

0.44614 398007. 2.35307 1.33501

0.47870 427051. 2.99121 1.44332

0.50917 454237 3.62705 1.54900

... ... ... ...

94686 844702. 10.2482 3.44090

0.98237 876379. 10.5929 3.61708

1.0000 892111. 10.7611 3.70644

Tabla 4.14. Evolución de ΔUz

4.4.2.3.3. COMPARATIVA LINEAL/NO LINEAL

A diferencia de lo que ocurría en apartados anteriores en los que el

comportamiento teórico una vez alcanzada la inestabilidad se traducía en una asíntota

horizontal para una carga igual a Pcr , en este caso necesitamos una expresión que

modele la curva de comportamiento post-pandeo. A tal efecto se ha recurrido a la

expresión del desplazamiento transversal post-crítico dada por Venstel y Kauthammer

[13] obteniéndose la curva representada en la Figura 4.30, en la que se observa como

los resultados obtenidos por el análisis no lineal de ANSYS se asemejan más que

razonablemente al comportamiento teórico.

Figura 4.30. Validación de los resultados no lineales

La zona “pre-pandeo” de la curva se adaptará con mayor o menor exactitud al

comportamiento teórico en función del valor de la perturbación inicial, que en este caso

se ha introducido como una deformada obtenida a partir del modo de pandeo extraído

del análisis lineal con un desplazamiento inicial máximo de 0.75mm.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 110

1

2

3

4

5

6

7

8

x 105

Uz maxima (mm)

Ca

rga

(N

)

P/Uz NO lineal

P/Uz lineal


4.4.2.4. ANÁLISIS DEL MODELO NUMÉRICO

4.4.2.4.1. RESUMEN DE RESULTADOS: VALIDACIÓN DEL MODELO

Procederemos en este punto a la habitual comparativa entre los resultados

obtenidos por medio de los diferentes análisis realizados. Para los resultados de

ANSYS se han utilizado las cargas críticas obtenidas para un modelo con 8500

elementos SHELL63, y rigidizadores de espesor t=10mm.

CHAJES CTE EUROCÓDIGO Ansys lineal

Ansys no lineal

Vcr (KN) 495.087 324.06 309.33 443.51 ≈ 410

Tabla 4.15. Valores del cortante crítico

4.4.2.4.1.1. EFECTO DEL ESPESOR DE LOS RIGIDIZADORES

Puede observarse en la tabla anterior como el valor de la carga previsto por el

análisis lineal de elementos finitos para la aparición de la abolladura se encuentra

bastante por encima del definido por la normativa como valor de cálculo de Vcr, lo cual

resulta habitual para este tipo de configuraciones como podremos corroborar en los

siguientes apartados.

Existe sin embargo otro valor a tener en cuenta para la justificación de esta

discrepancia, que no es otro que el espesor de los rigidizadores. Este parámetro no

influye en el cálculo normativo de Vcr, ya que los criterios de la norma se encuentran

referidos a recomendaciones de diseño para la prevención de las inestabilidades, y es

por ello que se da por supuesto que se diseñarán los rigidizadores de forma

conveniente con objeto de evitar la abolladura.

Por otra parte, en lo que respecta a este documento, el objetivo resulta

diametralmente opuesto, siendo la intención final la obtención de la abolladura, por lo

que se provocará la aparición de la misma sean cuales sean las dimensiones de los

rigidizadores.

Con objeto de comprobar el efecto del espesor (t) de los rigidizadores sobre el

valor de Vcr se han ejecutado diferentes análisis con espesores t=8, 10 y 14 mm, para

la malla anteriormente mencionada, obteniéndose los siguientes resultados:

t (mm) Vcr (KN)

8 427.859

10 443.508

14 458.873

Tabla 4.16. Vcr para distintos valores de t


4.4.2.4.3. EFECTO DE LA RELACIÓN a/d

Se desea en este punto analizar la correcta adaptación de ANSYS a posibles

variaciones de la relación a/d para una viga como la modelada con una malla

constante de 8500 elementos SHELL63. Para ello, se compararán los resultados

obtenidos con los derivados de la aplicación del CTE a cada uno de los casos,

comprobándose si siguen pautas de variación similares.

Para los diferentes análisis se ha mantenido d=750 mm, modificándose el valor

de a. Se han resuelto finalmente modelos para valores de a=600, 1000 y 1200 mm

respectivamente.

a=600 mm a=1000 mm a=1200 mm

SHELL63 537.459 374.168 348.458 Vcr

(KN) CTE 413.264 324.06 309.035

Tabla 4.17. Vcr para distintos valores de la relación a/d

Como era de esperar, la tendencia de los resultados contrastados presenta un

comportamiento similar frente a los cambios de la relación a/d, tal y como se recoge en

el siguiente esquema.

a/d=0.8 →a/d=1.33 a/d=1.33→a/d=1.6

SHELL63 30.3 6.87 𝛁Vcr

(%) CTE 22.58 4.63

Tabla 4.18. Variación porcentual de Vcr

4.4.2.4.2. EFECTO DEL TIPO DE ELEMENTO Y DEL CAMBIO DE MALLA

Con objeto de comprobar el comportamiento de otros tipos de elementos y el

efecto de la densidad de la malla sobre el valor del cortante crítico (Vcr) se han

ejecutado análisis con elementos SHELL63 Y SHELL93, para mallas de 8500, 3480,

1152 y 240 elementos y rigidizadores de 14mm de espesor.

Nº DE ELEMENTOS

240 1152 3480 8500

SHELL63 514.589 469.111 461.572 458.873 Vcr

(KN) SHELL93 459.803 455.362 455.475 455.491



A la vista de los resultados, resulta evidente que el elemento SHELL63 presenta

una mayor sensibilidad a variaciones de densidad de la malla, mientras que el

elemento SHELL93 ofrece soluciones bastante estables para mallas con un

número pequeño de elementos; por ello se ha incluido un análisis de 240 elementos

que recoge una pequeña variación de Vcr, y nos permite establecer aproximadamente

un rango de densidad de malla para el cual la solución presenta un valor estable.

Se muestran a continuación capturas de los isocontornos de desplazamientos

transversales obtenidos del análisis del problema con 2 mallas iguales de 240

elementos, para ambos tipos de elementos. En ellas queda claro el buen

comportamiento del elemento SHELL93 para el cual la distribución de desplaza-

mientos sobre el alma es prácticamente idéntica a la obtenida por medio de análisis

con mallas más densas. Por el contrario, se pone también de manifiesto la sensibilidad

frente al cambio de malla de los resultados del análisis con SHELL63.

Se recomienda por tanto el uso de elementos SHELL93 para el estudio de

problemas de abolladura a cortante.

Los resultados mostrados se han obtenido para el tamaño de malla indicado

anteriormente, habiéndose modelado rigidizadores de 12 mm de espesor.

Figura 4.31. Isocontornos UZ con 240 elementos SHELL93

Figura 4.32. Isocontornos UZ con 240 elementos SHELL63


4.4.2.4.4. EFECTO DEL CAMBIO DE MALLA SOBRE EL TIEMPO DE

EJECUCIÓN

Una vez establecida la idoneidad del elemento SHELL93 para el estudio del

fenómeno de abolladura por efecto del cortante, resulta conveniente indicar que el

tiempo de ejecución de un análisis mediante este tipo de elementos resulta mucho

más costoso, en términos de tiempo computacional, que un mismo análisis ejecutado

con elementos SHELL63.

Esto sucede a causa del mayor número de nodos presentes en un mallado de

elementos tipo SHELL93, concretamente el doble que para el caso SHELL63, tal y

como se estableció en el Apartado 3.4.4.2, lo cual supone la obtención de un mayor

número de puntos para los cuales la solución proporcionada es la exacta; aunque,

dado que como hemos demostrado la solución obtenida es razonablemente exacta

para mallas no muy grandes, podremos permitirnos la reducción de la densidad de la

malla para modelos más complejos que el aquí analizado, en la búsqueda de un

compromiso entre exactitud y tiempo de ejecución.

Se pretende a continuación ilustrar las ideas mencionadas mediante la

resolución de algunos modelos con diferentes tamaños de malla con objeto de

establecer un rango aproximado de compromiso para el caso que nos ocupa.

Nº DE ELEMENTOS

240 1152 8500

TIP

O D

E

AN

ÁL

ISIS

LINEAL 32 58 226

t (s) NO

LINEAL 23 197 758

Tabla 4.20. Tiempos de ejecución (segundos)

Los resultados correspondientes al análisis no lineal se han introducido con

carácter meramente cualitativo, ya que además de por el tamaño de la malla, el tiempo

de ejecución de este tipo de análisis viene influenciado como sabemos por otros

parámetros tales como el número de subpasos, el valor de la perturbación inicial

introducida, el valor de carga introducido y al cual se desea converger, etc. Los valores

presentados se refieren a un análisis ejecutado introduciendo una imperfección inicial

máxima de 0.5 mm y una carga de valor 2∙Vcr, siendo Vcr el valor de la carga de

abolladura obtenido por el análisis lineal correspondiente en cada caso.

Finalmente, considerando estos resultados junto con los presentados por la

Tabla 4.19, se concluye que el tamaño de malla recomendable para la resolución del

problema presentado en esta sección se encontraría en el rango comprendido entre

240 y 1552 elementos, eligiéndose preferiblemente un nº de elementos más próximo al

primero de estos valores en caso de requerirse un análisis no lineal.


4.4.3. ABOLLADURA FRENTE A CARGAS PUNTUALES

Para este tipo de inestabilidades que abarca los casos de abolladura del alma,

abolladura local del alma y aplastamiento del ala, los resultados obtenidos mediante

ANSYS se contrastarán únicamente con los obtenidos por aplicación de la normativa,

por no disponerse de expresiones particulares correspondientes a los estados de

cargas modelados.

Para el caso concreto de la abolladura local se compararán también los

resultados mencionados con otros correspondientes a un estudio realizado por R.

Chacón [3] para la Universidad Politécnica de Cataluña, que nos ayudarán a validar

los análisis realizados. Estos resultados corresponden a estudios numéricos realizados

para perfiles armados con unas características concretas, por lo que para este caso

prescindiremos del uso de nuestro rectángulo patrón para adaptarnos a las

dimensiones propuestas por dicho estudio.

4.4.3.1. ABOLLADURA A LO LARGO DEL CANTO

Para que se produzca este tipo de abolladura, la transmisión de esfuerzos en la viga

debe ser del tipo mostrado en la siguiente figura:

Figura 4.33. Carga puntual transmitida de un ala a otra

Por este motivo, el modelo utilizado para el caso que nos ocupa es el de uno de

nuestros rectángulos patrón sometido al siguiente estado de cargas y condiciones de

contorno en desplazamientos:

Figura 4.34. Alzado y perfil del rectángulo analizado

Caso 3: Abolladura Abolladura frente a cargas puntuales 115

En la figura se puede apreciar que la carga se ha aplicado de modo uniforme

sobre una longitud de apoyo rígido de 200mm. Para la resolución de los modelos

mediante ANSYS se han impuesto condiciones de empotramiento en los bordes, factor

que deberemos tener en cuenta en el cálculo de Fcr en base al Eurocódigo 3.

4.4.3.1.1. APLICACIÓN DE LA NORMATIVA

4.4.3.1.1.1. APLICACIÓN DEL CTE

El CTE establece una expresión genérica para la resistencia del alma frente a

cargas concentradas, sea cual sea el modo de transmisión de dicha carga, tal y como

quedó establecido en (2.113). Dicha expresión era de la forma

1M

efyw

Rd.b

LftF

(4.35)

donde Lef es un coeficiente de minoración obtenido a partir del valor que la Norma

aplica para la carga crítica de abolladura (Fcr), que viene dada por

d

tEk9.0F

3

Fcr (4.36)

La diferenciación entre uno y otro tipo de inestabilidad de entre los 3 casos

posibles ya conocidos para este tipo de carga viene dada por el valor de kF y por el de

un factor ly utilizado para determinar la esbeltez relativa. Para el caso de carga (o

reacción) transferida de un ala al otra a través del alma estos parámetros vienen dados por:

2

Fa

d25.3k

= 4.625 (4.37)

ly= )mm1(t2s 21s =255.69 mm ≤a (4.38)

m1=wyw

fyf

tf

bf

= m2 =

5.0si0

5.0sit

d02.0

f

ff

(4.39)

cr

yw

fF

ft

y =1.55

F

F

5.0

=0.32 ≤1 (4.40)

Lef= yF =81.82mm Fb,Rd=107.52 KN

En los cálculos anteriores se hace necesaria una primera iteración con m2=0

para determinar el valor de f , ya que su cálculo requiere del empleo del parámetro ly

que depende directamente de m2.


4.4.3.1.1.2. APLICACIÓN DEL EUROCÓDIGO3

Según se vio en el Apartado 2.3.2.2.2 el Eurocódigo establece una expresión

particular para cada uno de los 3 fenómenos susceptibles de manifestarse bajo la

acción de cargas puntuales. En el caso de abolladura del alma la resistencia se definió

en (2.118), donde se establece la analogía con la resistencia de cálculo para el

pandeo de una pieza virtual de alto d y de ancho beff=[b2+ss2]1/2 Nb,Rd=χ∙βA∙A∙fyd.

Además, se impone la utilización de la curva „c‟ para la determinación de χ.

La sección del elemento representado

tendrá las siguientes propiedades:

2

43

z

mm55.404511.8095A

mm23.842812

511.809I

mm45.1A

Ii z (4.41)

𝜆=11

i/)d5.0(

=2.95 099.0

Nb,Rd =0.099∙3750∙275=102.09 KN

Para la configuración de apoyos y cargas analizada, el otro modo de fallo posible

de acuerdo al Eurocódigo 3 es el de aplastamiento del ala, por lo que debemos

comprobar que la carga prevista por la Norma para la resistencia del ala frente a dicho

aplastamiento no se encuentra por debajo del valor calculado para la carga de

abolladura, lo cual supondría que el fenómeno de aplastamiento se manifestaría antes

que la esperada abolladura del canto.

La resistencia de cálculo al aplastamiento viene dada por

1MywwysRd,y /ft)ss(R (4.42)

con

2

yf

Ed,f

0Myw

yf2/1wffy

f1

f

f)t/b(t2s

=152.05mm (4.43)

donde se ha despreciado el valor del término contenido en la raíz cuadrada (muy

próximo a 1 por no ser apreciable el valor de la tensión normal en el ala).

Tenemos por tanto que Ry,Rd=440.07 KN

El resultado obtenido confirma que el modelo empleado fallará, según el

Eurocódigo 3, por abolladura del alma a lo largo del canto, con lo que procedemos a

continuación a realizar los habituales estudios de elementos finitos mediante ANSYS.

Figura 4.35. Elemento virtual a analizar


4.4.3.1.2. CÁLCULOS CON ANSYS

4.4.3.1.2.1. ANÁLISIS LINEAL

El análisis lineal ejecutado sobre el modelo definido en la Figura 4.34, para una

malla de 2460 elementos SHELL63 y un espesor de rigidizadores t=10mm, establece

un valor de la carga crítica

Fcr=769.612∙200=153.92 KN

Se han extraído los isocontornos de desplazamiento para el primer modo de

pandeo, correspondiente a la abolladura del canto, con los siguientes resultados

Figura 4.36. Isocontornos de desplazamientos UZ

En la figura anterior puede comprobarse cómo efectivamente se produce una

distribución de desplazamientos repartida de forma simétrica a lo largo del canto.

Además, se observa además que dicha distribución concuerda con el “comportamiento

biempotrado”, ya que la abolladura no se produce en todo el canto. En la imagen, el

valor de la carga crítica viene dado en (N/m).

Por otra parte, tal y como ocurría en el resto de fenómenos ya analizados, el

cálculo mediante elementos finitos establece un valor de la carga crítica bastante por

encima del previsto por las normativas.

4.4.3.1.2.2. ANÁLISIS NO LINEAL

Continuando con los estudios habituales para cada fenómeno se ha ejecutado

un análisis no lineal con 2460 elementos SHELL63 con objeto de contrastar el nivel de

convergencia de este tipo de análisis para el caso de abolladura a lo largo del canto.

Las pruebas realizadas para una imperfección máxima de 0.5mm por aplicación

del método ARCLEN no han presentado problemas de convergencia, habiéndose

solicitado dicha convergencia para una carga de valor 1.5∙Fcr. La gráfica Uz/carga

solicitada presenta un aspecto muy similar al que se vio para el caso de abolladura por

cortante, apareciendo de nuevo la rigidización post-pandeo característica de los

fenómenos de abolladura.



En la figura anterior los valores de la carga vienen dados como cargas por

unidad de longitud repartida sobre la longitud de apoyo rígido (ss=200mm).

Se adjunta un fragmento del fichero de resultados en el que se observa un

cambio en la pendiente de la curva para un valor aproximado de 551 N/m (es decir,

para una carga resultante de ≈110.20 KN)

TIME 2 CARGA 4 UZ_max

0.81164E-01 95.2311 0.696165E-01

0.12674 148.711 0.117790

... ... ...

0.45862 538.107 1.04326

0.47045 551.989 1.12313

0.48138 564.809 1.20322

Tabla 4.21. Variación de ΔUz / ΔF

La comparativa realizada en 4.4.2.3.3 resulta válida de nuevo en este caso, con

lo que pasamos directamente al resumen de resultados y al estudio del compor-

tamiento de ANSYS frente al cambio de alguno de los parámetros de modelado.

4.4.3.1.3. ANÁLISIS DEL MODELO NUMÉRICO

4.4.3.1.3.1. RESUMEN DE RESULTADOS: VALIDACIÓN DEL MODELO

Recopilamos en este punto los resultados derivados de los análisis normativos y

de los estudios por elementos finitos realizados al modelo descrito en la Figura 4.34,

correspondiendo el resultado de ANSYS al obtenido para la malla anteriormente

definida (2460 elementos SHELL63).

CTE EUROCÓDIGO Ansys lineal

Ansys no lineal

Fcr (KN) 107.52 102.09 153.92 ≈ 110

Tabla 4.22. Valores de la carga crítica de abolladura del canto


Se comprueba la coherencia de los resultados de acuerdo a todo lo visto con

anterioridad a lo largo de esta sección, con lo que queda validado el modelo

empleado, y comprobada la aptitud de ANSYS para el modelado y análisis de los

casos en los que el primer modo de pandeo corresponde al de abolladura del canto.

4.4.3.1.3.2. EFECTO DE LA LONGITUD DE APOYO RÍGIDO (ss)

Se pretende examinar a continuación la adaptación de los resultados ofrecidos

por ANSYS ante cambios en la longitud de poyo rígido ss, y para ello se va a

implementar el modelo realizado con 3 valores diferentes de ss=0, 100 y 200mm, para

posteriormente comparar los resultados obtenidos con los valores calculados por

aplicación del CTE para dichas longitudes de apoyo.

El resultado de los análisis y cálculos mencionados se recoge en la siguiente

tabla, en lo que los resultados del estudio de elementos finitos corresponden a la

misma malla de 2460 elementos SHELL63 que se utilizó para el apartado anterior.

ss=0 ss =100 mm ss =200 mm

SHELL63 145.22 150.83 153.92 Fcr

(KN) CTE 55.52 84.10 107.52

Tabla 4.23. Valores de Fcr para distintas

4.4.3.1.3.3. EFECTO DEL TIPO DELEMENTO Y DEL CAMBIO DE MALLA

Los resultados mostrados a continuación corresponden a análisis realizados

para elementos SHELL63 Y SHELL93, con mallas de 720, 1284 y 2460 elementos

respectivamente, y rigidizadores de 10mm de espesor.

Nº DE ELEMENTOS

224 720 1284 2460

SHELL63 167.06 156.84 154.83 153.92 Fcr

(KN) SHELL93 152.03 151.70 151.67 151.62


Vuelve a quedar de manifiesto que el elemento SHELL63 presenta una mayor

sensibilidad a variaciones de densidad de la malla, y que el elemento SHELL93

proporciona soluciones bastante estables para mallas con un número pequeño de

elementos (alrededor de 250 elementos en nuestro caso).

Se recomienda de nuevo por tanto el uso de elementos SHELL93 para el estudio

de problemas de abolladura a lo largo del canto bajo la acción de cargas “puntuales”,

sin necesidad de definir mallas excesivamente densas.


4.4.3.2. ABOLLADURA LOCAL

Tal y como se comentó en la introducción de este apartado de fenómenos de

abolladura en presencia de cargas puntuales, el caso de pandeo local del alma

utilizará como valores de validación de los análisis los resultados extraídos de los

estudios de R. Chacón [3] para la Universidad Politécnica de Cataluña sobre el pandeo

local de perfiles armados sometidos a cargas puntuales.

Es por ello que se abandona en este caso el rectángulo patrón que veníamos

utilizando, para adaptar la geometría de nuestro modelo al de alguna de las vigas

armadas analizadas en estos estudios. Concretamente analizaremos un modelo como

el mostrado en la siguiente figura:

Figura 4.38. Modelo para abolladura local

Para el modelo mostrado se han analizado los casos con relaciones a/d=3 y

a/d=1 para longitudes de apoyo rígido ss=0, ss=250mm y ss=500mm.

Una vez definida claramente la tipología del problema podemos proceder a

mostrar los resultados obtenidos por cada uno de los procedimientos utilizados.

4.4.3.2.1. RESULTADOS TEÓRICOS Y APLICACIÓN DE LA NORMATIVA

4.4.3.2.1.1. RESULTADOS DE REFERENCIA

Los resultados consultados para los casos de interés descritos se recogen en la

siguiente tabla, y corresponden al caso fyw/fyf=1, con fy=235 N/mm2, y con longitudes de

apoyo rígido ss=250mm y ss=500mm:

a (mm) d (mm) Fcr (KN)

ss=250 1000 1000 4208.76

3000 1000 2489.28

ss=500 1000 1000 4615.20

3000 1000 2592.60

Tabla 4.25. Cargas críticas de referencia


4.4.3.2.1.2. APLICACIÓN DEL CTE

La carga crítica de abolladura para este caso viene dada de nuevo por (4.35) y

(4.36), siendo kF y ly en este caso los siguientes:

2

Fa

d26k

(4.44)

(ly coincide con el dado por (4.38))

Sin más que sustituir nuevamente en las expresiones ya conocidas para valores

de ss=0, ss=200 y ss=250 mm, que son los que utilizaremos en los análisis posteriores,

se obtienen los siguientes valores de Fcr y Fb,Rd:

a/d kF Fcr (KN) ly(mm) Lef (mm) Fb,Rd (KN)

ss=0 1 8 2612.74 1000.00 481.28 1292.57

3 6.22 2031.40 1019.80 428.55 1150.96

ss=250 1 8 2612.74 1000 481.28 1292.57

3 6.22 2031.40 1269.80 478.20 1284.31

ss=500 1 8 2612.74 1000 481.28 1292.57

3 6.22 2031.40 1519.80 523.16 1405.06

Tabla 4.26. Carga crítica de cálculo según el CTE

4.4.3.2.1.3. APLICACIÓN DEL EUROCÓDIGO3

La resistencia de cálculo a la abolladura localizada Ra,Rd del alma de una sección

en I vendrá dada, de acuerdo al Eurocódigo 3, como

d/st/t3t/tEft5.01

R sfw2/1

wf2/1

yw2w

1MRd,a

(4.45)

Así, se tienen los siguientes valores de Ra,Rd para cada uno de los casos analizados:

ss=0 ss=250 mm ss=500 mm

a/d 1 3 1 3 1 3

Ra,Rd (KN) 1028.18 1028.18 1097.15 1097.15 1166.12 1166.12

Tabla 4.27. Carga crítica de cálculo según el Eurocódigo3


Se observa por los resultados anteriores que el valor establecido por el

Eurocódigo 3 para la resistencia de cálculo ante abolladura puntual es independiente

de la relación a/d.

4.4.3.2.2. CÁLCULOS CON ANSYS

4.4.3.2.2.1. ANÁLISIS LINEAL

Se han ejecutado 3 análisis lineales, uno para cada una de las longitudes rígidas

definidas en el apartado anterior, obteniéndose los resultados que se muestran a

continuación, correspondientes a una malla de 9700 elementos tipo SHELL63:

ss=0 ss=250 mm ss=500 mm

a/d 1 3 1 3 1 3

Fcr (KN) 3492.10 2370.40 3524.40 2466.87 3614.10 2718.15

Tabla 4.28. Carga crítica del análisis lineal con 9700 elementos SHELL63

Se muestran algunas capturas correspondientes al caso de carga puntual (ss=0)

para las relaciones de aspecto estudiadas (a=1000mm y a =3000mm). En ellas se

aprecia como la acción de los rigidizadores “aisla” la aparición de la inestabilidad de

modo que ésta afecta únicamente a uno de los rectángulos que componen la viga.

Figura 4.39. Isocontornos de desplazamientos UZ (a/d=1)

Figura 4.40. Isocontornos de desplazamientos UZ (a/d=3)


4.4.3.2.2.2. ANÁLISIS NO LINEAL

Dado que los análisis no lineales realizados no pretenden la determinación de un

valor concreto de la carga crítica, sino que buscan establecer la confirmación de que

se registran relaciones carga/desplazamiento reales y comprobar posibles problemas

presentados por ANSYS para la convergencia a un determinado valor del paso de

carga, se extraerán resultados para una única configuración de entre las que venimos

analizando; concretamente se muestra a continuación la curva carga/desplazamiento

transversal máximo para el modelo con carga repartida sobre una longitud de apoyo

ss=250mm, 9700 elementos SHELL63 y relación a/d=1.

Por otra parte, el análisis se ha llevado a cabo introduciendo una perturbación

inicial en forma de deformación máxima de 2mm a partir del modo de pandeo obtenido

linealmente, y se ha buscado la convergencia para un valor de la carga 2∙Pcr.


En la figura mostrada vuelve a reflejarse el comportamiento conocido, con una

región de grandes desplazamientos para “pequeños” incrementos de carga en el

entorno del valor de carga crítica definido por el análisis lineal (línea verde en la

imagen), y una posterior rigidización de la zona analizada traducida en un incremento

de la pendiente de la curva.

4.4.3.2.3. ANÁLISIS DEL MODELO NUMÉRICO

4.4.3.2.3.1. RESUMEN DE RESULTADOS: VALIDACIÓN DEL MODELO

En esta ocasión, la recopilación y contrastación de los cálculos realizados nos

servirá, además de para la validación de los modelos empleados tal y como viene

siendo habitual, para observar algunos de los aspectos tratados independientemente

en otros apartados, tales como la influencia de la relación a/d o el efecto de la

variación de la longitud de apoyo rígido (ss).


Dado que solo se dispone de resultados de referencia para longitudes de apoyo

de 250 y 500 mm, los valores calculados para ss=0 se compararán únicamente con los

obtenidos a partir de la aplicación de las diferentes normativas consultadas.

Los resultados de ANSYS corresponden a un cálculo con 9700 elementos

SHELL63, habiéndose modelado rigidizadores de 18mm de espesor.

CTE

a/d REFERENCIA EUROCÓDIGO Fcr (KN) Fb,Rd (KN) ANSYS LINEAL

ss=0 1 - 1028.18 2612.74 1292.57 3492.10

3 - 1028.18 2031.40 1150.96 2370.40

ss=250 1 4208.76 1097.15 2612.74 1292.57 3524.40

3 2489.28 1097.15 2031.40 1284.31 2466.87

ss=500 1 4615.20 1166.12 2612.74 1292.57 3614.10

3 2592.60 1166.12 2031.40 1405.06 2718.15

Tabla 4.29. Fcr: Comparativa de resultados

Aceptando como correctos los resultados de referencia de Chacón [3], el modelo

utilizado quedaría validado para relaciones del ancho y del canto a/d=3, mientras que

aparecen ciertas discrepancias (≈10÷15%) a medida que dicha relación se reduce.

En cuanto a los resultados de la normativa, los valores de cálculo se encuentran

muy lejos de los resultados numéricos como era de esperar, pero puede observarse

que el valor de Fcr aplicado por la normativa se asemeja razonablemente bien al valor

numérico cuanto mayor es el carácter puntual de la carga, es decir, cuanto menor es

ss, y existe de nuevo mayor semejanza para valores altos de la relación a/d.

Se concluye por tanto la validez de los análisis numéricos realizados con ANSYS

para el estudio del fenómeno de abolladura local, principalmente para valores de

a/d>1 con ss bajos.

Por otra parte, queda comprobada la correcta adaptación del modelo a las

variaciones de ss y a/d, produciéndose el aumento de la carga crítica ante incrementos

de ss, y descensos de la relación a/d.

4.4.3.2.3.2. EFECTO DEL TIPO DELEMENTO Y DEL CAMBIO DE MALLA

Comprobaremos en este punto el comportamiento de los elementos SHELL93

para el modelado de este nuevo tipo de inestabilidad, una vez que ya se demostró su

excelente adaptación al estudio de los fenómenos revisados anteriormente.


Así, se ha aplicado el fichero de comandos mostrado en el Apartado III.d) del

Anexo III al problema analizado, para diferentes tamaños de malla y parámetros a/d=3

y ss=250mm, para los que ya ha quedado comprobada la fiabilidad del modelo.

Los resultados para uno y otro tipo de elementos se muestran a continuación:

Nº DE ELEMENTOS

556 2224 4088 9700

SHELL63 2693.3 2513.71 2472.28 2462.87 Fcr

(KN) SHELL93 2443.83 2441.25 2396.50 2396.17


Se demuestra una vez más la gran estabilidad de los resultados ofrecidos por el

elemento SHELL93, fruto del mayor número de nodos disponibles por elementos,

frente a los resultados obtenidos para el elemento SHELL63. Dicha diferencia queda

aún más de manifiesto si la referimos a variaciones porcentuales entre los valores

obtenidos para la mayor y la menor de las mallas en cada caso:

556 Elementos→9700 Elementos

SHELL63 8.5 𝛁Fcr (%)

SHELL93 1.9

Tabla 4.30. Variación porcentual de la carga crítica para las mallas utilizadas

Conviene recordar, que el incremento en la estabilidad de los resultados

ofrecidos por SHELL93, se consigue a expensas de un incremento considerable del

tiempo computacional para mallas del mismo tamaño modeladas con distintos

elementos. No obstante, dado que para el caso del elemento mencionado la solución

se puede considerar razonable para mallas pequeñas, no resultará complicada la

obtención de un modelo con un buen compromiso entre exactitud y coste

computacional. A modo de ejemplo se ha medido el tiempo de cálculo de los análisis

de 4088 y 2224 elementos descritos al comienzo de este apartado, resultando:

Nº DE ELEMENTOS TIEMPO DE ANÁLISIS

LINEAL (s) TIEMPO DE ANÁLISIS

NO LINEAL (s)

4088 85 556

2224 36 202

Tabla 4.31. Tiempo de ejecución de análisis con SHELL93


4.4.4. OTROS MODELOS ANALIZADOS

4.4.4.1. PROBLEMA PATRÓN. PLACA COMPRIMIDA

Algunos de los casos estudiados en esta sección referentes al fenómeno de pandeo

en placas no disponen de expresiones teóricas concretas para la tipología de cargas y

condiciones de apoyo analizados, debido a que estas expresiones vienen referidas en

la mayoría de los casos a situaciones en las que sobre el elemento actúa un único

esfuerzo con una distribución concreta sobre los bordes de la placa, y cualquier

pequeña modificación sobre dicha distribución teórica o sobre las condiciones de

apoyo de los bordes puede provocar significativas variaciones en el valor de la carga

crítica. Es por ello que en algunos casos hemos tenido que limitarnos a validar los

estudios realizados mediante comparación con los resultados obtenidos a partir de la

normativa de aplicación, cuyos valores, como es bien sabido, resultan siempre algo

conservadores por motivos de seguridad.

Por todo ello, se ha realizado un estudio sobre el elemento patrón del problema

de abolladura de placas definido en el Apartado 2.3.1.2, es decir, la placa de lados a y

b sometida a compresión uniforme en 2 de sus bordes enfrentados, de cara a reforzar

la validación de los estudios numéricos llevados a cabo hasta el momento.

Este estudio se ha basado en la resolución de varios problemas de placa

rectangular de espesor t=2mm con todos sus bordes apoyados, manteniendo el

parámetro b=100mm constante y variando a desde 50 hasta 350mm en intervalos de

25mm, incluyéndose además otros puntos de interés (corte de curvas teóricas)

mostrados en la Figura 2.40.

Los resultados obtenidos se han representado con ayuda del software Matlab

v6.1 sobre una gráfica en lugar de sobre una tabla, con el fin de visualizar con mayor

claridad el ajuste de las soluciones de ANSYS con las curvas teóricas mencionadas.

Figura 4.42. Carga crítica en función de la relación a/b

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4400

500

600

700

800

900

1000

a/b

Ca

rga

crí

tic

a (

N)

Ncr Ansys m=1

Ncr Ansys m=2

Ncr Ansys m=3

Ncr Teórico m=1

Ncr Teórico m=2

Ncr Teórico m=3

Caso 3: Abolladura Otros modelos analizados 127

En la gráfica se demuestra una más que correcta adaptación entre los cálculos

numéricos y los teóricos, obtenidos estos últimos a partir de la Ecuación 2.96.

Lo más destacable de estos resultados es el hecho de que en las zonas en las

que se observa gráficamente que la carga crítica que produce la abolladura con una

sola semionda (m=1) es mayor que la carga crítica para otros modos de pandeo,

ANSYS efectivamente extrae los modos de pandeo en el orden correcto tal y como

puede observarse en las siguientes capturas correspondientes al análisis realizado a

una placa con 288 elementos SHELL63 para una relación a/b=2, señalada en la

gráfica anterior mediante una recta vertical.

Figura 4.43. Modos de pandeo de la placa comprimida a/d=2

4.4.4.2. APLASTAMIENTO DEL ALA

No figura entre los objetivos de este proyecto el estudio del fenómeno de aplasta-

miento del ala; sin embargo, se ha hecho uso de los análisis realizados para algunos

de los casos aquí desarrollados con objeto de ilustrar la “detección” de este modo de

fallo por parte de ANSYS, ya que en algunos de los modelos resueltos, y tal y como

indica el Eurocódigo 3, si bien el 1er modo de fallo es del tipo abolladura local o

abolladura del canto, en modos sucesivos se alcanza el aplastamiento del ala,

representado en las siguientes figuras.


Figura 4.44. Aplastamiento del ala

La primera de las imágenes corresponde a la resolución de un modelo basado

en el rectángulo patrón conocido, con un aligeramiento de las alas hasta tf=6mm. Se

observa en la esquina superior izquierda de la imagen como el modo de fallo

representado corresponde al 3º de los modos de pandeo solicitados en este caso.

La segunda figura se ha extraído de uno de los análisis de abolladura local

realizados para la relación a/d=3, y en ella se puede observar cómo para la

configuración planteada el aplastamiento del ala se manifestaría como 2º modo de

pandeo.

4.4.5. CONCLUSIONES FINALES Y VÍAS DE ESTUDIO PROPUESTAS

Los diferentes estudios realizados han demostrado la total aplicabilidad de la

herramienta de cálculo numérico mediante elementos finitos ANSYS al estudio de los

fenómenos de inestabilidad, para un amplio rango de las tipologías propuestas en

cada uno de los casos analizados, en el sentido de compatibilidad de los resultados

obtenidos con los datos disponibles derivados de análisis experimentales, otros

estudios numéricos o fórmulas empíricas.

Conviene recordar sin embargo que algunos de los estudios no han podido ser

apoyados mediante cálculos teóricos o experimentales, y que como única fuente de

validación se ha buscado la comparación de los resultados lineales con los cálculos

normativos, el análisis del comportamiento de la curva carga/desplazamiento extraída

del correspondiente análisis no lineal y la respuesta coherente frente al cambio en

alguno de los parámetros de modelado. Sería altamente recomendable para la

validación total de estos resultados la realización de un estudio más detallado en base

al apoyo experimental.

En lo que respecta a los parámetros de modelado se han definido capacidades

para una serie de elementos de la librería de ANSYS, siendo las conclusiones más

remarcables las siguientes:

1. La adaptación de los elementos BEAM3 y BEAM4, así como la de los elementos

BEAM188 y BEAM189 es muy alta para el estudio de los fenómenos de pandeo

por flexión; siendo los resultados aportados por la serie 18x para los análisis

Caso 3: Abolladura Consideraciones finales y futuros desarrollos 129

lineales realizados los que más se aproximan a los valores experimentales y no

lineales, ya que ofrecen un valor de la carga crítica algo inferior al presentado

por la otra pareja de elementos. Por otra parte, el elemento BEAM189 ofrece

soluciones muy exactas para tamaños de malla pequeños.

Se recomienda por tanto la utilización del elemento BEAM189 con mallas de baja

densidad en problemas de barras susceptibles de padecer pandeo por flexión,

ya que pueden reducir sensiblemente los tiempos de ejecución de análisis no

lineales en modelos más complejos que los aquí presentados.

2. No es posible analizar mediante elementos BEAM3 fenómenos de inestabilidad

que impliquen el giro de la sección, tales como el pandeo lateral, ya que al

tratarse de un elemento plano con 3 gdl no recoge giros en planos

perpendiculares al de definición del elemento. Así mismo tampoco puede

captarse este modo de fallo utilizando elementos BEAM4 o BEAM44, siendo por

tanto la opción adecuada la utilización de la familia de elementos BEAM18x.

El elemento BEAM189 ha vuelto a demostrar para este tipo de pandeo una gran

estabilidad en cuanto a la proporción de la mejor solución posible para bajos

tamaños de malla, no viéndose mejorada esta solución por incrementos de la

densidad de la misma. Este hecho resultará de gran interés en la búsqueda de

un compromiso entre exactitud y tiempos de computación para problemas más

complejos que impliquen a un nº elevado de elementos o a varios tipos de ellos.

3. En el estudio del pandeo de placas se han obtenido buenos resultados para la

utilización tanto de elementos BEAM63 como de elementos BEAM93, aunque

para el primero de los casos la solución ofrecida se encuentra muy influenciada

por el tamaño de la malla, con variaciones que llegan a superar el 10% entre

valores obtenidos con un número diferente de elementos para un mismo

problema.

Se ha detectado además cierta falta de simetría en los resultados ofrecidos por

el elemento SHELL63 en el análisis de problemas con mallas simétricas y

sometidos a condiciones de contorno en carga y desplazamiento también

simétricas. De nuevo el elemento SHELL93 resulta una mejor opción en este

sentido.

Ambos elementos se han mostrado capaces de reproducir el efecto de la

rigidización post-pandeo, por lo que ha quedado comprobado que ANSYS

también permite el análisis del comportamiento ofrecido por una placa tras

producirse la abolladura.

4. La convergencia absoluta de los análisis no lineales mostrados, así como la

velocidad con la que se consigue la misma viene condicionada en la mayoría de

los casos por unos parámetros comunes tales como el valor de la perturbación

inicial introducida, el nº de subpasos definidos, el tipo de elemento utilizado

(algunos elementos presentan problemas conocidos para la reproducción de

ciertos fenómenos), la carga aplicada, etc.


Dado que el valor de la perturbación inicial afectará únicamente a la forma de la

curva en los primeros instantes (es decir, a la pendiente con la que la relación

carga/desplazamiento evoluciona inicialmente), y no a la evolución posterior de

la misma, se recomienda la introducción de perturbaciones iniciales en forma de

desplazamientos con la forma del modo de pandeo buscado (obtenida a partir de

un análisis lineal previo) con un factor del cala contenido en el rango 0.02÷0.75,

con la precaución de tomar valores bajos del mismo si se va a establecer algún

tipo de criterio de convergencia en forma de desplazamiento máximo, ya que

este podría alcanzarse antes de manifestarse es comportamiento inestable

deseado.

En caso de producirse problemas de inestabilidad en el estudio de problemas

con modelos basados en las líneas de comandos mostradas en el Anexo III se

recomienda la modificación de los parámetros mencionados, así como del

método de análisis utilizado (Arc-length o Newton-Raphson), y la consulta de la

librería de elementos de ANSYS en busca de elementos que ofrezcan una mejor

convergencia frente al tipo de problema planteado.

5. En el estudio correspondiente al pandeo local se ha obtenido una muy buena

convergencia entre los resultados ofrecidos por el modelo y los resultados de

referencia utilizados para valores de la relación a/d=3, mientras que para

relaciones a/d=1 se han detectado ciertas discrepancias.

Se propone por tanto un análisis más detallado de las causas de dichas

discrepancias, teniendo en cuenta que los datos de referencia están basados en

estudios realizados a un modelo de elementos finitos implementado mediante el

programa de cálculo ABAQUS, y que estos resultados difieren de los resultados

obtenidos por aplicación del CTE de un modo más acusado que los aquí

mostrados derivados de los cálculos con ANSYS.

Los estudios realizados en el presente documento dejan aún bastantes posibles

vías de profundización en lo que respecta al estudio de la capacidad de ANSYS como

herramienta de análisis de problemas de inestabilidad, tales como:

1. Implementación experimental de los modelos definidos, o de una adaptación de

los mismos ajustada a los medios disponibles.

2. Realización de análisis no lineales para el estudio del pandeo lateral con

diferentes condiciones de apoyo a las aquí consideradas.

3. Elaboración de un modelo para el análisis de los fenómenos de inestabilidad en

el ala. Contrastación mediante CTE y Eurocódigo.

4. Estudio del comportamiento de otros elementos SHELL distintos a los

considerados en el presente texto para el análisis de las situaciones

planteadas.

5. Estudio del comportamiento post-pandeo de las placas y contrastación con

otras expresiones experimentales.

6. Estudio del efecto de los rigidizadores longitudinales y cálculo de los cordones

de soldadura para secciones armadas.

Caso 3: Abolladura Consideraciones finales y futuros desarrollos 131

7. Consideración de la influencia de la calidad del acero utilizado en las alas

sobre el valor las cargas críticas de pandeo local y en el canto. Validación de la

no consideración de este efecto por parte de la normativa.

8. Análisis del efecto de las fuerzas de membrana consideradas en un análisis no

lineal respecto de las deformaciones previstas por un análisis lineal sobre un

elemento tipo lámina.

9. Análisis del comportamiento a pandeo de arcos y otras configuraciones que

presenten un mecanismo de pandeo tipo snap-trought.

10. Estudio del pandeo en cilindros de pared delgada.

Conviene comentar finalmente que los ficheros de comandos introducidos en el

Anexo III de este documento constituyen una muestra bastante representativa de los

modelos implementados para los diferentes estudios realizados, sin embargo, hubiera

sido imposible incluir en un apartado de anexos todas y cada una de las innumerables

modificaciones que se han realizado sobre el fichero base mostrado para la

elaboración de los estudios recogidos en este proyecto. Es por ello que se ha

intentado incluir en el encabezado de cada fichero algunos comentarios aclaratorios en

el caso de existir alguna incidencia reseñable cuya modificación pudiese provocar el

no funcionamiento del modelo. Por otra parte, se han incluido únicamente modelos de

“macros” de análisis no lineales debido a que al comienzo de cada uno de ellos se

ejecuta un análisis lineal previo.

4. resoluciÓn de los casos planteadosbibing.us.es/proyectos/abreproy/4783/fichero/vol+i... · 4....

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