4. representación matemática de los sistemas de control

8/17/2019 4. Representación Matemática de Los Sistemas de Control

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REPRESENTACION MATEMATICA DE LOS SISTEMAS FISICOS.MODELOS MATEMATICOS. Sistemas mecánicos.

Movimiento de traslación.

o Resorte y masa sin rozamiento. Si W es el peso del objeto y g es la gravedad, la

masa del objeto vale M=W/g. Si sobre esta masa actúa una fuerza F(t), debecumplirse la relación:

2

2

)(dt

xd M t F =

KxF

(1)

El resorte es un elemento análogo a una capacidad en una red

eléctrica, y almacena energía potencial. Admitiendo que sus

deformaciones siguen la ley de Hooke (comportamiento lineal), la

relación entre la fuerza F y el desplazamiento x es:

= (2)

Siendo K la constante del resorte.

La ecuación de equilibrio para el sistema es:0

2

2

=+ Kxdt

xd M (3)

o Resorte y masa con amortiguamiento.- El amortiguamiento lo produce un fluido

u otro amortiguador viscoso equivalente. En

cualquier caso, se supone que la fuerza

amortiguadora es directamente proporcional a la

velocidad de la masa móvil. La ecuación de

equilibrio para este sistema es:

0=++ Kxdt

dx f

2

2

dt

xd M (4)

Resorte y masa con oscilaciones forzadas.- La Ecuación de equilibrio que seo

obtiene haciendo el balance de las diversas

fuerzas que intervienen es:

)(2

2

t f Kxdt

dx f

dt

xd M =++

Siendo f(t) la fuerza exterior aplicada.

Movimiento de rotación. Puede describirse como un movimiento alrededor de un eje

(5)

fijo. En este caso, las variables son el desplazamiento angular o giro θ, la velocidad

angular θ •

y la aceleración angular θ ••

.

En el eje plo, la barra de torsión tiene

un extremo fijo, y su constante elástica

torsional es K. El momento de inercia

del sistema es J. Para un giro

m

θ , la barra

de torsión reacciona con par K θ . El par

debido al amortiguador esdt

d f

θ , y el



debido a la inercia es2

2

dt

d J í pues la ecuación de equilibrio e

θ , As s:

02

2

=++ θ θ θ

K dt

d f

dt

d J (6)

Si sobre el sistema actúa un par externo T, la ecuación se convierte en:

T K dt

d f

d J =++ θ

θ θ 2

(dt 2

7)

Trenes de engranajes.- En la mayoría de los sistemas, la carga no la acciona

directamente el eje del motor, sino que está acoplada a él por medio de un tren de

engranajes. La precisión de la posición final de la carga está limitada por el juego

existente entre los engranajes, el cual ocasiona una “zona muerta” que en la carga podrá

tomar cualquier posición. Este juego puede, además, ocasionar inestabilidad; si, por

ejemplo, el motor recibe una señal para invertir su marcha, esta inversión no se producirá

en la carga movida hasta que se haya absorbido el juego existente entre los engranajes,apareciendo un retardo que en determinadas condiciones causa inestabilidad.

En los trenes de engranajes existen las siguientes relaciones:es proporcional al radio R,o

El número de dientes N en la periferia del engranaje

por lo tanto.

1221 N R N R = (8)

o La longitud recorrida por la periferia de los engranajes en contacto es la misma, o

sea

2211 θ θ R R = (9)

o El trabajo realizado por ambas ruedas es el mismo, es decir

2211 θ θ T T = (10)

Donde T1 y T2 son pares.

De esta esulta:s tres últimas ecuaciones r

2

1

1

2

2

1T = θ

N

N

T =

θ (11)

Esta ecuación se refiere a un comportamiento ideal, pues los engranajes reales tienen

juego entre sus dientes, y además existe rozamiento entre los dientes en contacto.

Aplicando las ecuaciones 7 y 11 (sin término K θ ) al sistema se tiene:

T Tmdt

d fm

d Jm mm −=+

θ θ 2

dt 2

(12)

T

N

N

dt

d f

dt

d J L

L

L

L

1

2

2

2

=+ θ θ

(13)

2

1

N

N

m

L =θ

θ (14)



Eliminando T entre las dos primeras, resulta:

dt

d N d θ θ 2

f N dt

J N

Tmd

fmd

Jm L

L

Lmm θ θ

2

1

2

1

2

−−=+ (15)

Esta ecuación diferencial resulta más útil si está referida a un solo lado del tren de

engranajes, por lo que se aplica la ecuación 14 de modo que la ecuación (15) quede

N dt dt L

2

2

expresada exclusivamente en función de θ L (lado de la carga).

Tm N

N d f

N f

d Jm

N J L L

2

2

22

2 =⎥⎤

⎢⎡

⎟ ⎞

⎜⎛

+⎥⎤

⎢⎡

⎟ ⎞

⎜⎛

+ θ θ

dt N dt N m L L

1

2

12

1 ⎥⎦⎢⎣ ⎟

⎠⎜⎝

+⎥⎦⎢⎣

⎟ ⎠

⎜⎝

(16)

Esto significa que JL+N2Jm es el momento de inercia efectivo total referido al e e de la

arga, siendo N=N2/N1 la reducción de los engranajes. El término f L+N2f m es el

j

c

coeficiente de rozamiento viscoso referido al lado de la carga. Si la ecuación 15 se

expresará en términos de θ m, las dos constantes anteriores pasarían a ser,

respectivamente, (JL/N2)+Jm y (f L/N2)+f mSi la relación de aceleraciones

2

1arg N acladenaceleració α

N motor m

L =α

(17)

Se introduce la ecuación 16 despreciando los rozamien

delnaceleració

tos, se obtiene la ecuación

( NTm J N J Lm L =+ α 2 (18)

La condición de máxima aceleración es 0=dN d Lα , cumpliéndose para

m

L

J

J N =2

La ecua unquemuchos esta con reduce

s de redes eléctricas son el de mallas y el de nudos.

(19)

ción 19 es útil como guía en la elección de un tren de engranajes, y a sistemas se apartan de dición de adaptación optima, no se

demasiado la aceleración máxima.

Sistemas Eléctricos.os métodos usuales para el análisiL

Por ejemplo, para el circuito de la figura, las dos ecuaciones de malla son:

Para la malla 1.

∫ ∫−+= dt iC

dt iC

Riv 21

11

11

(20)

Y para la malla 2.

1

∫ ∫ +⎟⎟ ⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛

++−= dt

di

Ldt iC C dt iC 10

2

2

21

1

111

(21)



El mismo circuito puede analizarse por el método de los nudos.

Las dos ecuaciones son ahora.

Para el nudo 1.

∫ ∫−++= dt v L

dt v Ldt

dvC

R

v

R

v21

11

1 11 (22)

Y para el nudo 2

∫ ++−= dt v∫ Ldt dvC dt v

L2

221

110

ueden expresarse de diferentes formas, por ejemplo el operador diferencial

ara simbolizar d/dt, en cuyo caso 1/D simbolizará la integración, o bien

puede identificarse D con el operador de lap

(23)

Estas ecuaciones p

D puede usarse p

lace S, supuesto que sean nulas las condiciones

iniciales asociadas con la red. Las ecuaciones 20 y 21 se convierten, en este último caso, en

los siguientes, donde V(s), I1(s), etc., son, respectivamente, las transformadas de laplace de v,

i1, etc.

1

2

1

11

)()()()(

sC

s I

sC

s I s RI sV −+= (24)

)()(11)(0 22

211

1 s LsI ss I

C C sC s I +⎟⎟

⎠ ⎞⎜⎜

⎝ ⎛ ++−= (25)

Componentes hidráulicos.

dt

dh

At q *)(0 =−

t iq )(

R=Resistencia Hidráulica

Flujo laminar0q

h R =

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