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Leyes de probabilidad
Francisco Marzal Baró Curso 2016/17
Fundamentos estadísticos
Versión 1
2
� Conceptos:� Variable aleatoria.� Distribución de probabilidad.� Ley de probabilidad.� Densidad de probabilidad.
� Leyes de probabilidad para variables discretas:� Ley Binomial.� Ley de Poisson.� Ley Hipergeométrica.
� Leyes de probabilidad para variables continuas:� Ley Normal.
Leyes de Probabilidad
Índice
NOTA: Algunos gráficos y tablas están sacados del libro: Métodos Estadísticos. J.M. Doménech Massons.
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- Toda variable sigue, en la población, una determinada ley de probabilidad -
� Variable aleatoria o estocástica: Es una función que en un experimento aleatorio,asigna a cada suceso elemental ei un valor numérico ri.Ej: E = {masculino, femenino}
Masculino → 0Femenino → 1
� Distribución de probabilidad : Es el conjunto de todos los valores de la variable consus correspondientes probabilidades.Ej: Valores de un dado E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
P= {�� , �
� , �� , �
� , �� , �
� }
� Ley o Modelo de probabilidad : Modelo que sirve para explicar la distribución de unavariable aleatoria.
� Densidad de probabilidad : En variables continuas, es la probabilidad asociada a undeterminado intervalo.
Leyes de Probabilidad
Conceptos
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� Las leyes de la probabilidad se utilizan para cuantificar los patrones que se observan en fenómenos aleatorios.
� Ejemplos:
� El lanzamiento de dados.
� La evolución de una epidemia.
� El crecimiento de una población.
� El comportamiento de mercados financieros.
� El crecimiento de galaxias.
� Modelos meteorológicos para calcular el tiempo y el nivel de precipitación en una ciudad.
� Cuando se produce un huracán y para estimar qué lugares serán afectados, así como la magnitud de los eventuales destrozos.
� Se utiliza en la fiabilidad de los productos, para reducir la probabilidad de avería. Está relacionado con la garantía del producto.
� Albert Einstein comentó en una carta a Max Born: “Estoy convencido de que Dios no tira los dados”. No obstante hoy en día no existe un medio mejor para describir la física cuántica si no es a través de la teoría de la probabilidad.
Leyes de Probabilidad
Aplicaciones prácticas de la probabilidad
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� La distribución de una variable aleatoria puede res umirse por la media (llamada esperanza matemática) y la variancia.
� El cálculo se efectúa con las probabilidades de cada valor en vez de utilizar la frecuencia.
� Esperanza y Variancia para variables discretas:
� � � ∑ ���� � � ∑ �� � ���������
Leyes de Probabilidad
Esperanza matemática (o valor esperado) y Variancia.
Leyenda:X: Variable aleatoria.�: Nº total de valores que toma la variable.�: Valor que toma cada variable.: Probabilidad de obtener cada valor.
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� Definición: La distribución de frecuencias de objetos con una determinada característica, que se obtieneal extraer de forma no exhaustiva muestras al azar de una población, sigue una ley Binomial.
� Representación: Una variable aleatoria S sigue una distribución binomial de parámetros n y π, seescribe:
"~$��, �� Características:
� Distribución de probabilidad discreta.� Solamente admite dos categorías (éxito y fracaso).� Las probabilidades de ambas posibilidades han de ser constantes en todos los experimentos (π y 1-π).� Se utiliza en muestreos CON reposición.� Para poblaciones muy grandes (N>>n).
� Cálculo:+ , � �!
.!��/.�! ∙ . 1 � �/.
� " � � ; " � ��1 � �
Leyes de Probabilidad
Ley Binomial
Leyenda:n: nº de sujetos escogidos en una muestra.k: nº de sujetos buscados en la muestra.π: Proporción del parámetro buscado en la población.S: Variable aleatoria.
7
0
0,2
0,4
0,6
0azules
1 azul 2azules
Prob. obtener Bolas Azules
Tenemos una caja con 4 bolas azules (A) y 3 bolas blancas (B).Si extraemos dos bolas con reposición calcular la probabilidadde encontrar bolas azules:
a) Que sean las dos blancas
� + , � 0 � �!4!��/4�! ∙ 0.5714 1 � 0.571 �/4 � 0.184
b) De encontrar una bola azul
� + , � 1 � �!�!��/��! ∙ 0.571� 1 � 0.571 �/� � 0.49
c) Que sean las dos azules
� + , � 2 � �!�!��/��! ∙ 0.571� 1 � 0.571 �/� � 0.326
d) Calcular la Esperanza y la Variancia� � " � � � 2 ∙ 0.571 � 1.142 ; " � � 1 � � 2 ∙ 0.571 1 � 0.571 � 0.49
Ejemplo Ley Binomial
Leyes de Probabilidad
+ � 37 ∙ 4
7 � 0.2450.245∙ 2 � 0.49+ � 3
7 ∙ 47 � 0.245
0.245∙ 2 � 0.49
+ � 37 ∙ 3
7 � 0.184+ � 37 ∙ 3
7 � 0.184
+ � 47 ∙ 4
7 � 0.326+ � 47 ∙ 4
7 � 0.326
p , � �!.!��/.�! ∙ .�1 � ��/.
Leyenda:n: Nº de bolas
extraídas.k: Nº bolas azules
buscadas.π: Prop.bolas azules
en la población.
8
� Se lanza un dado perfecto de 6 caras, 51 veces. ¿Cuál es la probabilidadde que el número 3 salga 20 veces?
S ~ B(51, 1/6) y la probabilidad sería p(S=20):
n= 51k= 20π= 1/6
Leyes de Probabilidad
Ejercicio
+ 20 � 51!20! �51 � 20�! ∙ �1/6��4 1 � 1
6?�/�4
� 0.00007353
p , � �!.!��/.�! ∙ .�1 � ��/.
9
� Definición: La distribución de frecuencias de una característica poco frecuente, obtenida al extraeral azar y con reposición muestras muy grandes, sigue una ley de Poisson.
� Representación: S ~ A�λ� , representando λ el número de veces que se espera que ocurra elfenómeno en una muestra o intervalo dado.
� Características:� Distribución de probabilidad discreta .� Solamente admite dos categorías (éxito y fracaso).� Se utiliza en muestreos con reposición.� Para poblaciones muy grandes (N>>n).� En muestras muy grandes �C D EFF� .� La frecuencia de la característica a estudiar es poco frecuente �G H F. FI�.
� Cálculo:+ " � , � JK
.! ∙ L/J
� " � " � λ � �
Leyes de Probabilidad
Ley de Poisson
Leyenda:�: nº del tamaño de la muestra.,: nº de ocurrencias del evento.
: Proporción del evento en la población.λ � � ∙L � 2.71828 … .
10
� La prevalencia de personas pelirrojas en el municipio de Madrid es del 2%.Realizando una muestra aleatoria de 100 sujetos, ¿Cual es la probabilidadde encontrar en la muestra?
λ � � � 100 ∙ 0.02 � 2� 1 persona pelirroja:
+ , � 1 � λ.,! ∙ L/J � 2�
1! ∙ L/� � 0.2707
� 5 personas pelirrojas:
+ , � 5 � 2?5! ∙ L/� � 0.0361
� Calcular la Esperanza y la Variancia:
� " � " � λ � �π � 2
Leyes de Probabilidad
Ejemplo Ley de Poisson p " � , � JK.! ∙ L/J
Leyenda:�: nº del tamaño de la muestra.,: nº sujetos con pelo pelirrojo.: Proporción de pelirrojos en la población.λ � �
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� Repetir el ejercicio anterior aplicando la ley Binomial.La prevalencia de personas pelirrojas en el municipio de Madrid es del 2%.Realizando una muestra aleatoria de 100 sujetos, ¿Cual es la probabilidad deencontrar en la muestra?
� 1 persona pelirroja:
+ , � 1 � �44!�!��44/��! ∙ 0.02� 1 � 0.02 �44/� � 0.2706
� 5 personas pelirrojas:
+ , � 5 � �44!?!��44/?�! ∙ 0.02? 1 � 0.02 �44/? � 0.0353
� Calcular la Esperanza y la Variancia:� " � � � 100 ∙ 0.02 � 2 ; " � � 1 � � 100 ∙ 0.02 1 � 0.02 � 1.96
Leyes de Probabilidad
Ejercicio demostrativo p , � �!.!��/.�! ∙ .�1 � ��/.
O 0.2707 (Poisson k=1)
O 0.0361 (Poisson k=5)
� " � " � λ � �π � 2 (Poisson)
12
� El 2% de los libros encuadernados en un taller tiene encuadernacióndefectuosa. Tenemos 400 libros y se quiere obtener la probabilidad deque 5 de ellos estén defectuosos. Aplicar la Ley de Poisson.
k= 5 (nº de ocurrencias del evento).λ= 8 (nº de veces que se espera que ocurra el fenómeno → 2% RL 400).
+ , � 5 � λ.,! ∙ L/J � 8?
5! ∙ L/S � 0.092
Leyes de Probabilidad
Ejercicio p " � , � JK.! ∙ L/J
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� Definición: Describe la distribución de frecuencias de una determinada característica que se obtiene al extraersin reposición muestras aleatorias de una población finita.
� Representación: T�U�; U�; ��� Características:
� Distribución de probabilidad discreta.� Solamente admite dos categorías (éxito y fracaso).� Se utiliza en muestreos SIN reposición.
� Cuando el tamaño de la población es grande, la distribución hipergeométrica coincide con la Binomial.
� Cálculo:+ , �
VW!K!�VWXK�!∙
VY!�ZXK�!�VYXZ[K�!
V!Z!�VXZ�!
� " � � ; " � ��1 � � ∙ \/�\/�
Leyes de Probabilidad
Ley Hipergeométrica
Leyenda:U: Total de sujetos en la población.U�: Sujetos tipo 1 (característica a analizar).
U�: Sujetos tipo 2.�: Tamaño de la muestra.,: nº de ocurrencias del evento.
: Proporción del evento en la población.
14
Tenemos una población de 10personas compuesta por N1=6♀ yN2= 4♂. Realizamos un muestroaleatorio de tres personas sinreposición.
Leyes de Probabilidad
Ejemplo Ley Hipergeométrica
+ � 610 ∙ 5
9 ∙ 48 � 0.166
0.166 ∙ 3 � 0.5
+ � 610 ∙ 5
9 ∙ 48 � 0.166
0.166 ∙ 3 � 0.5
+ � 610 ∙ 5
9 ∙ 48 � 0.167+ � 6
10 ∙ 59 ∙ 4
8 � 0.167
+ � 410 ∙ 3
9 ∙ 28 � 0.033+ � 4
10 ∙ 39 ∙ 2
8 � 0.033
6♀, 4♂
♀
♀♀
♂
♂♀
♂
♂
♀
♀
♂
♂♀
♂
3♀
2♀
1♀
0♀
+ � 410 ∙ 3
9 ∙ 68 � 0.1
0.1 ∙ 3 � 0.3
+ � 410 ∙ 3
9 ∙ 68 � 0.1
0.1 ∙ 3 � 0.3Calcular la probabilidad de que nosalga ninguna mujer en la muestra(k=0). Obtener la Esperanza y laVariancia de la variable aleatoria.
Leyenda:N1 nº de ♀ ; N2 nº de ♂.N: Población total �U � U� ] U��n: nº de personas elegidas.k: nº de ♀ elegidas en la muestra.π: Proporción de ♀ en la población. � � U� U⁄ �
+ , � 0 � 6!
0! �6 � 0�! ∙ 4!�3 � 0�! �4 � 3 ] 0�!
10!3! �10 � 3�!
� 6!
0! ∙ 6! ∙ 4!3! ∙ 1!10!
3! ∙ 7!� 1 ∙ 4
120 � 0.033
� " � � � 3 ∙ 0.6 � 1.8 " � � 1 � ∙ U � �
U � 1 � 3 ∙ 0.6 1 � 0.6 ∙ 10 � 310 � 1 � 0.56
+ , � U�!
,! �U� � ,�! ∙ U�!�� � ,�! �U� � � ] ,�!
U!�! �U � ��!
15
Utilizando la ley hipergeométrica en el muestro aleatorio del ejemplo anterior, y sabiendo que se eligen a trespersonas sin reposición, calcular la probabilidad de obtener:� Una sola mujer:
+ , � 1 � 6!
1! �6 � 1�! ∙ 4!�3 � 1�! �4 � 3 ] 1�!
10!3! �10 � 3�!
� 6!
1! ∙ 5! ∙ 4!2! ∙ 2!10!
3! ∙ 7!� 6 ∙ 6
120 � 0.3
� Un solo hombre:
+ , � 2 � 6!
2! �6 � 2�! ∙ 4!�3 � 2�! �4 � 3 ] 2�!
10!3! �10 � 3�!
� 6!
2! ∙ 4! ∙ 4!1! ∙ 3!10!
3! ∙ 7!� 15 ∙ 4
120 � 0.5
� Tres mujeres o tres hombres:
+ ♀♀♀ � + , � 3 � 6!
3! �6 � 3�! ∙ 4!�3 � 3�! �4 � 3 ] 3�!
10!3! �10 � 3�!
� 6!
3! ∙ 3! ∙ 4!0! ∙ 4!10!
3! ∙ 7!� 20 ∙ 1
120 � 0.167
+ ♂♂♂ � + , � 0 � 6!
0! �6 � 0�! ∙ 4!�3 � 0�! �4 � 3 ] 0�!
10!3! �10 � 3�!
� 6!
0! ∙ 6! ∙ 4!3! ∙ 1!10!
3! ∙ 7!� 1 ∙ 4
120 � 0.033
+�♀♀♀� ∪ +�♂♂♂) = +�♀♀♀� + +�♂♂♂)� 0.167]0.033 � 0.2
Leyes de Probabilidad
Ejercicio Ley Hipergeométrica + , � U�!
,! �U� � ,�! ∙ U�!�� � ,�! �U� � � ] ,�!
U!�! �U � ��!
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0 1 2 3
Prob. de elegir mujeres
Mujeres
16
Ley Distribución de probabilidad
Fórmulas
Pob
laci
ones
infin
itas
Binomial
$��, �Muestro con reposición
Para 2 categorías
+ , � �!,! �� � ,�! ∙ .�1 � ��/.
� " � � ; " � ��1 � �Poisson
A�λ � ��Muestro con reposición
Requisitos:-Proporciones poco frecuentes(π≤0.05)-Muestras muy grandes(n≥100)
+ " � , � λ.,! ∙ L/J
� " � " � λ � �
Pob
laci
ones
finita
s
HiperGeométrica
T�U�; U�; ��Muestro sin reposición
Para 2 categorías
+ , � U�!
,! �U� � ,�! ∙ U�!�� � ,�! �U� � � ] ,�!
U!�! �U � ��!
� " � � ; " � ��1 � � ∙ U � �U � 1
Leyes de Probabilidad
Leyes de probabilidad en variables discretas
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� Características:� Tiene forma de campana.� Es simétrica alrededor de la media.� Es asintótica (no llega a tocar el eje de las X).
� Media, mediana y la moda son iguales y se localizan en el centro de la distribución.
� El área total bajo la curva vale 1.
Leyes de Probabilidad
Ley Normal o Distribución de Gauss
� Representación: � ∈ U�a , b��.� No existe una sola distribución de probabilidad normal, su número es ilimitado.
� Para distribuciones continuas .� Casi cualquier distribución de probabilidad, se puede aproximar por una normal
bajo ciertas condiciones.
+ � D �� � c 12b� ∙ L/�
� ∙ �d/e�YfY
g
dW
18
� Todas las distribuciones normales pueden convertirse a la estándar, que tiene media 0 y variancia 1 → U�0 , 1�.
Transformación:� Transformar la variable � que siga una ley U�a , b�� en una variable h que
siga una ley U 0 , 1 .Variable Z: → h � d/e
f� Buscar la probabilidad de que se cumpla el valor h en la tabla T4a.
� La tabla proporciona la probabilidad de que la variable aleatoria normal estandarizadatome valores h mayores o iguales a h → + h D h .
Tabla
Leyes de Probabilidad
Distribución estándar normal o Ley Normal reducida
+�h D h�
19
� La distribución de peso de los alumnos en un Instituto sigue una ley N(50, 2.25).¿Cuál es la probabilidad de que al elegir a un alumno al azar pese 51 Kg?
Peso: V. Cuantitativa: 51 ,i → 50.5 j 51.5 ,i.Datos: a � 50,i ; b� � 2.25 → b � 2.25 � 1.5 ,i
� Transformar los límites en valores z:
� � � 50.5 ,i → h � d/ef � ?4.?/?4
�.? � 0.33� �k � 51.5 ,i → h � ?�.?/?4
�.? � 1
� Obtener la probabilidad con la tabla.� + h D 0.33 � 0.3707� + h D 1 � 0.1587
� Calcular probabilidad del área pedida:� + 50.5 l � l 51.5 � + 0.33 l h l 1.00 �
0.3707 � 0.1587 � 0.2120 → 21.2%
Leyes de Probabilidad
Ejemplo
kg
+�� H 50.5�
20
� La distribución de peso de los alumnos en un Instituto sigue una ley N(50, 2.25).¿Cuál es la probabilidad de que al elegir a un alumno al azar pese entre 48 y 50 Kg?
Peso: V. Cuantitativa: 48 a 50 ,i → 47.5 j 50.5 ,i.Datos: a � 50,i ; b� � 2.25 → b � 2.25 � 1.5 ,i
� Transformar los límites en valores z:
� � � 47.5 ,i → h � d/ef � mn.?/?4
�.? � �1.67� �k � 50.5 ,i → h � ?4.?/?4
�.? � 0.33
� Obtener la probabilidad con la tabla.� � � 47.5 ,i → h � �1.67 → + h H �1.67 � + h D 1.67 � 0.0475 � �k � 50.5 ,i → h � 0.33 → + h D 0.33 � 0.3707
� Calcular probabilidad del área pedida:� + 47.5 l � l 50.5 � 1 � + h H �1.67� � +�h D 0.33 �
1 � 0.0475 � 0.3707 � 0.5818 → 58.2 %
Leyes de Probabilidad
Ejercicio
kg
21
� El intervalo contiene la proporción 1 � o central de los casos:
p q rs/t ∙ u
hv/�: Valor de la ley normal reducida. Deja a su derecha una proporción α/2 de los casos.
� Ejemplo: Calcular el intervalo que contiene el 50% central de la siguiente distribución:N(50,2.25).
a q hv/� ∙ b � 50 q 0.6745 ∙ 1.5 � 50 q 1.01 → 48.99 j 51.01
Leyes de Probabilidad
Determinar un intervalo central de valores
α/21-α
0.2550%
0.1080%
0.0590%
0.02595%
0.00599%
0.000599.9%
Zα/2 0.674 1.282 1.645 1.96 2.576 3.291
22
� Si las muestras son grandes, las probabilidades de la ley Binomial se pueden calcular de forma bastante aproximada a la ley Normal.
� Condiciones de muestra grande: CG w C�E � G� D I� Corrección de continuidad: q0.5 +x�yz{. (permite tratar como continua una variable discreta).
Leyes de Probabilidad
Aproximación Normal de la ley Binomial
24Asignatura/Tema
Muchas gracias por vuestra atención.