4. gaia: atomo monoelektronikoak - upv/ehu · 2014. 10. 14. · hidrogeno atomoaren energia mailak...

Schrödinger-en Ekuazioaren PlanteamenduaHidrogeno atomoaren egoera lotuak

Efekto MagnetikoakSpin-Orbita Egoerak

4. Gaia: Atomo Monoelektronikoak

Xabier Lopez, Jon M. Matxain

1) Kimika Teorikoko Laborategia

2012.eko urriaren 23

Xabier Lopez, Jon M. Matxain 4. Gaia: Atomo Monoelektronikoak



Laburpena

1 Schrödinger-en Ekuazioaren Planteamendua

2 Hidrogeno atomoaren egoera lotuak

Hidrogeno Atomoaren Energia Mailak

Funtzio Erradialak

Orbital Hidrogenoideak

3 Efekto Magnetikoak

Zeeman Efektua

Elektroiaren Spina

4 Spin-Orbita Egoerak


Schrödinger-en Ekuazioaren PlanteamenduaDemagun atomo edo ioi bat, Z zenbaki atomikoarekin (mN masa eta +Zekarga), elektroi bakar batekin (me masa eta −e karga):

Ĥosoa = T̂~RN+ T̂~re + V̂eN(reN )≡ T̂~R

︸︷︷︸

ĤMZ

+ T̂~r + V̂eN(r)︸︷︷︸

H~r≡Koord. Erlatiboa

(1)

Bakarrik koord. erlatiboak (~r) ⊕ Elkarekintza Coulombikoa ⊕ T̂~r esferikopolarretan ⊕ µ ≈ me :

Ĥ~r =−h̄2

2me∇2r +

l̂2(θ ,φ)2me r2

︸︷︷︸

~T~r

− 14πε0

Ze2

r(2)

Konpatibleak diren behagarri multzo osoa: Ĥ, l̂z eta l̂2 elkar konmutatzen dute

⇒ Funtzio propio berdinak dituzte ⇒ Egoera egonkor hidrogenoideak E ,l2 etalz -agatik karakteriza daitezke,

Ψ = Rn,l (r)Yml (θ ,φ)

Eremu zentralaren problema bat da, eta funtzio erradiala, hurrengo ekuaziodiferentziala erresolbatuz lortuko da

− h̄2

2me

1

r2∂∂ r

(

r2∂∂ r

)

︸︷︷︸

∇2r

+l(l +1)h̄2

2me r2− 1

4πε0Ze2

r

R(r) = ER(r) (3)



Schrödinger-en Ekuazioa Erradialaren Frogapena

Frogapena.

Mugimendu erlatiboaren (~r) Schrödinger Ekuazioa:

{

− h̄2

2me∇2r +

l̂2(θ ,φ)2me r2

− 14πε0

Ze2

r

}

R(r)Y ml (θ ,φ) = ER(r)Yml (θ ,φ) (4)

− h̄2

2meYm

l(θ ,φ)∇2r R(r)+R(r)

l̂2(θ ,φ)2me r2

Yml

(θ ,φ)− 14πε0

Ze2

rR(r)Ym

l(θ ,φ) = ER(r)Ym

l(θ ,φ)

− h̄2

2meYm

l(θ ,φ)∇2r R(r)+R(r)

l(l +1)h̄2

2me r2Ym

l(θ ,φ)− 1

4πε0Ze2

rR(r)Ym

l(θ ,φ) = ER(r)Ym

l(θ ,φ)

Yml

(θ ,φ)

{

− h̄2

2me∇2r R(r)+R(r)

l(l +1)h̄2

2me r2− 1

4πε0Ze2

rR(r)

}

= ER(r)Yml

(θ ,φ)

{

− h̄2

2me∇2r +

l(l +1)h̄2

2me r2− 1

4πε0Ze2

r

}

Rn,l (r) = ERn,l (r) (5)




Hidrogeno Atomoaren Energia MailakFuntzio ErradialakOrbital Hidrogenoideak

Hidrogeno atomoaren egoera lotuak

Uhin-funtzio hidrogenoideei orbitalak deitzen diegu (R. E. Mulliken):

|nlm >= ψnlm(r ,θ ,ϕ) = Rnl (r)Ylm(θ ,ϕ) (6)

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

E/E

h

r/a

n=1

n=2

n=3

Egoera hauek multzo diskreto eta infinito bat osatzendute, eta beraien energiak:

En =−Z2

2n2Eh n = 1,2, . . . , (7)

non , Eh = e2/4πε0a0 = 4.35974381×10−18 J = 1

hartree

Energia bakarrik n-ren funtzioa da, eta ez l etam-rena.

Zenbaki kuantikoen artean loturak daude.Nagusia: n = 1,2,3, . . . . Angeluarra:l = 0,1,2, . . . n−1. Azimutala:m = 0,±1,±2, ...± l .





Funtzio Erradialak

Funtzio erradialek hurrengo forma dute

Rnl (r) =−{

4Z3

n4a3(n− l −1)![(n+ l)!]3

} 12(

2Zr

na

)l

exp

{

−Zrna

}

L2l+1n+l

(2Zr

na

)

, (8)

non Lsq(ρ) Laguerre funtzio asoziatuak diren, Laguerre polinomioekinerlazionatuak:Funtzio Erradial Hidrogenoideak: (ρ = 2Zr/na)

(1s) : R10(r) = (Z/a)3

2 2e−ρ/2, (9)

(2s) : R20(r) = (Z/2a)3

2 (2−ρ)e−ρ/2 , (10)

(2p) : R21(r) =1√3(Z/2a)

3

2 ρe−ρ/2, (11)

(3s) : R30(r) = (Z/a)3

2

1

9√

3(6−6ρ +ρ2)e−ρ/2, (12)

(3p) : R31(r) = (Z/a)3

2

1

9√

6(4−ρ)ρe−ρ/2 , (13)

(3d) : R32(r) = (Z/a)3

2

1

9√

30ρ2e−ρ/2, (14)





Funtzio Erradialak

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

0 2 4 6 8 10 12 14

Rnl

(r)

r/a

1s

2s

2p

−0.1

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0 5 10 15 20

Rnl

(r)

r/a

3s

3p

3d

s, Rn0(r) funtzioek maximo batdute nukleoan, deribatu erradialanegatiboa dutelarik (goikoerpina). Rn0(r) funtzioak n−1nodo erradialak ditu.

l > 0 duten funtzioek nodo batdute jatorrian, eta n− l nodototalean.

dentsitate elektronikoa|ψnlm|2 = R2nl |Ylm |2 da.Oinarrizko egoeran,|n = 1, l = m = 0 >, dentsitateelektronikoak maximo bat izanendu nukleoaren posizioan, etanukleotik aldentzean,esponentzialki txikitzen da.





Funtzio Erradialak

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.12

0 5 10 15 20 25

r2 R

2 nl(r

)

r/a

3s3p

3d

−0.1

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0 5 10 15 20

Rnl

(r)

r/a

3s

3p

3d

r ∈ [ri ,rf ] tartea kontsideratuz,kurbaren azpiko azalerak tartehorretan elektroia aurkitzekoprobabilitatea ematen du.

(rRnl )2 jatorrian beti nulua da,

baita s orbitalentzat ere, bolumenelementua sartu dugulako.

n berdinak dituzten funtzioakdentsitate maximoa aurkeztendute antzeko distantzietan.Honek geruza egitura sortarazikodu. n = 1,2,3,4, ... orbitalek K, L,M, N, ... geruzak sortzen dituzte

rRnl maximoa aurkitzen dendistantziari erradio problableenadeitzen diogu: rmp(nl).






Uhin-funtzio hidrogenoideei orbitalak (R. E. Mulliken) deitzen diogu

|nlm >= ψnlm(r ,θ ,φ) = Rnl(r)Ylm(θ ,φ). (15)

Ylm harmoniko konplexua erabili ordez, bere konbinaketa erralak Slm erabiltzen dira,horien irudikapena egiteko.

(1s) : ψ1s,0 =1√π

(Z

a

) 32

e−Zr/a, (16)

(2s) : ψ2s,0 =1

4√

2π

(Z

a

) 32

(

2− Zra

)

e−Zr/2a, (17)

(2px ) : ψ2p,x =1

4√

2π

(Z

a

) 52

rsen(θ )cos(ϕ) e−Zr/2a, (18)

(2py ) : ψ2p,y =1

4√

2π

(Z

a

) 52

rsen(θ )sen(ϕ) e−Zr/2a, (19)

(2pz ) : ψ2p,z =1

4√

2π

(Z

a

) 52

rcos(θ ) e−Zr/2a, (20)






Orbital hidrogenoide errealen irudia: ψnlm(r ,θ ,ϕ) 3D funtzio bat da. 4D mundubatean bizi beharko genuen horren irudia egiteko (5D funtzio konplexua marraztenbadugu!). Zera egin dezakegu: isoazalerak irudikatu, hau da, ψnlm(r ,θ ,ϕ) = Kekuazioak definitzen duen azalera, nahi dugun K -ren balioetarako. Uhin funtziohidrogenoideei orbitalak (R. E. Mulliken) deitzen diogu






Marraztutako Isoazalerak: ±0.007 u.at. (1s,2s,3s), ±0.03 u.at. (2px ,2py ,2pz ),±0.005 u.at. (3px ,3py ,3pz ), ±0.01 u.at. (3dz2 ,3dxz ,3dyz ,3dx2−y2 ,3dxy ). 2s eta 3sorbitaletan kanpoko azalerak (esferak) zatitu dira, barneko egitura nodala ikusi ahalizateko.




Zeeman EfektuaElektroiaren Spina

Zeeman Efektua

1896: Zeeman-ek eremu magnetiko bat aplikatzerakoan lerro espektralakbikoizten zirela deskrubitu zuen. Elektroiaren mugimendu angeluarrak momentumagnetiko bat sortarazten du,

~µL = −e2me~r ×~p =−e

2me~L = |~µL|=

eh̄

2me︸︷︷︸

µB

√

l(l +1) (21)

non µB Bohr-en magnetoia den. (µB = 9.274×10−24J ·T−1)Kanpoko Eremu Magnetiko baten Aplikazioa:

EB = −~µ~B =e

2me~L~B

~B=B~k=

µBh̄

BLz ⇒ ~HB = µBBh̄−1L̂z (22)

Horrela Hidrogenoaren Hamiltondarra,(

Ĥ + ĤB

)

Ψ = EΨ ; Ψ = R(r)Y ml (θ ,φ)

ĤRY ml +µBBL̂zEYml =

(

− Z2

2n2Eh +µBBml

)

RY ml

Hots, B kanpoko eremu magnetikoak m-ri asoziatutako degenerazioa apurtzendu. eta horregatik, m-ari deitzen zaio ere bai zenbaki kuantiko magnetikoa





Elektroiaren Spina

z-ardatzean ez-homogeneoa ~B Eremu Magnetikobatenpean, ~µ momentu magnetiko batek indarbat jasatzen du

Fz = ~µd~B

dz=− µB

h̄Lz

dBz

dz(23)

Stern eta Gerlach: Ag atomo multzo bat, eremumagnetiko batenpean pasaarazten zutenean, bibanda ikusten zituzten. Ondorioa: Ag atomoekmomentu magnetiko bat daukate, eta bereorientazioa z-ardatzarekiko kuantizatuta dago.

Baina BI banda agertzea ez dator bat momentoangeluar orbitalaren balioekin, zeren eta 2l +1orientazio posible bait daude, non l zenbaki osobat den. Bi banda agertzeak bakarrik konpatibleada l = 1/2 balioarekin!





Elektroiaren Spina

Spina berezko momentu angeluar bat delakontsidera daiteke

Magnitude:√

s(s +1)h̄ (24)

Componente-Z: ms h̄ ; ms =−s, ...,+s (25)

Elektroaren Spina: s=1/2, bi orientazio posibleSpin-Orb.

ms =+12 α ↑ ψ(r ,θ ,φ) ·α(w)

ms =− 12 β ↓ ψ(r ,θ ,φ) ·β(w)Spina fenomeno erlatibista bat da. Badagomomentu magnetiko bat (~µs ) ~s spinari asoziatua,eta erlazioa hurrengoa da,

~µs = −gee

2mes ; |~µs |=

ge

2me|s| , ge ≈ 2




Spin-Orbita Egoerak

Horrela, Stern-Gerlach esperimentua azalduta geratzen da: Ag atomo bakoitzakmomentu angeluar total bat aurkezten du, eletroi bakar baten spinagatik.

Beste partikula elementalek ere spin bereizgarri bat dute:Spin Partikula Adibideak

erdi-osoa (n · 12 ) Fermioak elektroiak (s=1/2) eta protoiak (s=1/2)osoa (n) Bosoiak mesoiak (s=1) eta fotoiak (s=1)

Horrela, hidrogeno egoera estazionarioak (spinorbitalak) guztiz determinatzeko lauzenbaki kuantiko beharko ditugu:

|nlmms >= Rnl (r)Ylm(θ ,φ)|ms >,

(nagusia) n = 0,1,2, . . .(angular) l = 0,1,2, . . . n−1(azimutal) m = 0,±1, · · · ± l

(magnetikoa) ms =±1/2.(26)


Schrödinger-en Ekuazioaren PlanteamenduaHidrogeno atomoaren egoera lotuakHidrogeno Atomoaren Energia MailakFuntzio ErradialakOrbital Hidrogenoideak

Efekto MagnetikoakZeeman EfektuaElektroiaren Spina

Spin-Orbita Egoerak

4. gaia: atomo monoelektronikoak - upv/ehu · 2014. 10. 14. · hidrogeno atomoaren energia mailak...

Documents