4 eso funciones ejercicios resueltos

18 Unidad 10 | Funciones

10 Funciones

ACTIVIDADES INICIALES

10.I. Una compañía eléctrica cobra un fijo de 1,15 € al mes por kilovatio (kW) de potencia contratada y 0,17 € por cada kilovatio hora consumido. A la suma de estas dos cantidades le aplica un impuesto sobre la electricidad del 5 %. A continuación se suma el alquiler mensual del equipo, 2,12 €, y se aplica el 18 % de IVA sobre el total. ¿Cuánto pagará María si ha consumido en los dos últimos meses 600 kW h y tiene contratada una potencia mensual de 5,5 kW?

El cálculo correspondiente sería el siguiente:

((2 · 1,15 · 5,5 + 0,17 · 600) · 1,05 + 2 · 2,12)) · 1,18 = 147,05 euros.

10.II. María quiere encontrar una función para calcular de forma sencilla lo que tendrá que pagar, dependiendo de los kilovatios-hora consumidos. ¿Podrías encontrarla?

Como la potencia contratada y el alquiler del equipo no varían, en cada recibo de dos meses hay un gasto fijo de (2 · 1,15 · 5,5 · 1,05 + 2 · 2,12) · 1,18 = 20,68 euros. Llamando k a la energía consumida en kW h, podemos escribir la función de esta forma:

F(k) = 20,68 + 0,17 · 1,05 · 1,18 k = 20,68 + 0,21 k.

10.III. En el recibo eléctrico figuran dos impuestos indirectos: el porcentaje que hay que pagar por cada uno de ellos es fijo e igual para todos los clientes. A diferencia del IRPF, no varían en función de la situación económica de cada persona. Por ejemplo, el IVA al comprar un libro es igual para todos. Debate con tus compañeros qué tipo de impuesto os parece más justo, y decidid en qué casos os parece adecuado cada uno.

Respuesta abierta.

ACTIVIDADES PROPUESTAS

10.1. Actividad resuelta.

10.2. Di si las siguientes correspondencias son o no funciones.

a) c)

b) y x= d) y x= ±

a) Es una función, ya que hay un único valor de y para cada valor de x.

b) Es una función, ya que hay un único valor de y para cada valor de x.

c) No es una función, para algunos valores de x, como x = 1, hay varios valores de y.

d) No es una función, para algunos valores de x, para todos salvo x = 0, hay dos valores de y.

Funciones | Unidad 10 19

10.3. (TIC) Dibuja las gráficas de las siguientes funciones.

a) f(x) = 1 – 3x b) f(x) = x2 – 3

a) b)

10.4. Ana y Juan han ido al Museo de Ciencias. Han pagado 3 € por la entrada general y 2 € más por cada actividad adicional.

Crea una tabla de valores para la función que relaciona el número de actividades con el coste, representa la gráfica y escribe su expresión algebraica.

Tabla de valores: Expresión algebraica: Gráfica:

y = 3 + 2x


10.6. Dadas las siguientes funciones, halla el dominio y el recorrido de cada una de ellas.

a) y = –x + 2 c) y = x2 – 2 e) y = x3

b) y = –3 d) y = x2 – 4x f) y = 1 – 2x2

a) D(f) = R c) D(f) = R c) D(f) = R

Im(f) = R Im(f) = [–2, +∞) Im(f) = R

b) D(f) = R d) D(f) = R f) D(f) = R

Im(f) = {–3} Im(f) = [–4, +∞) Im(f) = (–∞, 1]

10.7. Halla el dominio y el recorrido de:

a) 21

yx

=−

b) 2 9y x= −

a) D(f) = R – {1} b) D(f) = (–∞,–3] ∪ [3, +∞)

Im(f) = R – {0} Im(f) = [0, +∞)

N.º actividades (x)

Coste (y)

0 3

1 5

2 7

3 9

4 11

10.8. Actividad interactiva.



10.11. (TIC) Representa las siguientes funciones definidas a trozos.

a) f(x) = { 1 si 23 si 2x x

x+ <

≥ b) f(x) = si 1

2 1 si 1 310 si 3

x xx xx x

≤ − + − < ≤− + >

a) b)

10.12. (TIC) Escribe como funciones definidas a trozos y representa las siguientes funciones.

a) 2 4y x= − b) x

yx

=

a) 2

2 2

2

4 si 24 4 si 2 2

4 si 2

x xy x x x

x x

− < −= − = − + − ≤ ≤ − >

b) { 1 si 01 si 0

x xy xx− <= = >



10.15. Halla los puntos de corte con los ejes y el signo de las funciones dadas por:

a) y = 3x – 6 b) y = −x2 – 6x – 8

a) Punto de corte con el eje Y: x =0 ⇒ y = –6 ⇒ A(0, –6)

Puntos de corte con el eje X: y = 0 ⇒ 3x – 6 = 0 ⇒ x = 2 ⇒ B(2, 0)

Signo de la función: La función es positiva en (2, +∞) y negativa en (–∞, 2).

b) Punto de corte con el eje Y: x =0 ⇒ y = –8 ⇒ A(0, –8)

Puntos de corte con el eje X: y = 0 ⇒ −x2 – 6x – 8 = 0 ⇒ x = –4, x = –2 ⇒ B(–4, 0) y C(–2, 0)

Signo de la función: y = −(x + 4)(x + 2)

La función es positiva en (–4, –2) y negativa en (–∞,–4) ∪ (–2, +∞).

10.16. Encuentra los puntos de corte con los ejes de:

a) 23

xyx

=+

b) 2 1xyx+

=

a) Punto de corte con el eje Y: x =0 ⇒ y = 0 ⇒ A(0, 0)

Puntos de corte con el eje X: y = 0 ⇒ 2x = 0 ⇒ x = 0 ⇒ A(0, 0)

b) Punto de corte con el eje Y: No tiene, la función no está definida en x = 0.

Puntos de corte con el eje X: y = 0 ⇒ x2 + 1 = 0, no tienen solución, por tanto no tiene puntos de corte con el eje X.


10.18. Dada la función f(x) = –x2 + 1, calcula su tasa de variación en los intervalos [1; 1,3] y [2; 2,4].

TV[1; 1,3] = f(1,3) – f(1) = –0,69 – 0 = –0,69

TV[2; 2,4] = f(2,4) – f(2) = –4,76 – (–3) = –1,76

–∞ –4 –2 +∞

x + 4 – + +

x + 2 – – +

f(x) – + –


10.19. Calcula la tasa de variación media de las funciones f(x) = 2x + 8 y g(x) = x2 – 3 en los intervalos [0, 3] y [1,8; 2].

Función f(x):

TVM[0, 3] = (3) (0)3 0

f f−−

= 14 83− = 2

TVM[1,8; 2] = (2) (1,8)2 1,8

f f−−

= 12 11,60,2− = 2

Función g(x):

TVM[0, 3] = (3) (0)3 0

g g−−

= 6 33+ = 3

TVM[1,8; 2] = (2) (1,8)2 1,8

g g−−

= 1 0,240,2− = 3,8

10.20. Calcula la tasa de variación media de la función f(x) = 2x2 + 2 en los intervalos [0,5; 1] y [2; 3,5].

¿En qué intervalo varía más rápido la función?

TVM[0,5; 1] = (1) (0,5)1 0,5

f f−−

= 4 2,50,5− = 3

TVM[2; 3,5] = (3,5) (2)3,5 2

f f−−

= 26,5 101,5− = 11

Varía más rápidamente en el intervalo [2; 3,5].



10.23. Estudia si son continuas o discontinuas las siguientes funciones dadas por sus gráficas.

a) b)

a) Es continua b) Es discontinua en x = 0

10.24. (TIC) Representa las siguientes funciones, dadas por su expresión algebraica, y estudia si son continuas o discontinuas.

a) y = x – 2 b) ( ) { si 1si 1

x xf x x x≥= − < c) g(x) = x2 – 5x

a) b) c)

Continua Discontinua en x = 1 Continua



10.27. Estudia el crecimiento o decrecimiento de las siguientes funciones en el intervalo 10,2

.

a) f(x) = –2 b) g(x) = –3x + 4

Sean 1, 0,2

a b ∈ con a < b

a) TV[a, b] = f(b) – f(a) = –2 + 2 = 0, por tanto, la función es constante.

b) TV[a, b] = g(b) – g(a) = –3b + 4 – (–3a + 4) = –3(b – a) < 0 , por tanto, la función es decreciente.

10.28. Dibuja una función continua que tenga las siguientes características.

a) Presenta un mínimo relativo en x = 1,5.

b) Presenta un máximo relativo en x = 3.

c) Presenta un máximo absoluto en x = 0.

d) No presenta ningún mínimo absoluto.

e) Corta el eje X en cuatro puntos.


10.29. Un globo aerostático ascendió a las 7.00 horas y tomó tierra a las 17.00. Observa la gráfica e indica los máximos y mínimos de la función.

La gráfica tiene un máximo absoluto en el punto (12,5; 600) y dos mínimos absolutos en (7, 0) y (17,0).

También tiene dos máximos relativos en (8, 400) y (16,5; 325) y dos mínimos relativos en (10, 200) y (14, 300).


10.31. Estudia la simetría de las siguientes funciones dadas por su gráfica.

a) b)

a) La función es impar. b) La función es par.

10.32. (TIC) Estudia si tienen simetría las funciones:

a) y = 3x + 2 b) y = 5x2 + 3 c) y x=

a) f(–x) = 3(–x) + 2 = –3x + 2. No presenta ninguna simetría.

b) f(–x) = 5(–x)2 + 3 = 5x2 + 3 = f(x). Presenta simetría par.

c) f(–x) = |–x| = |x| = f(x). Presenta simetría par.

10.33. Indica si es periódica la siguiente función y, en caso afirmativo, determina cuál es su período.

Se trata de una función periódica de periodo 9.



EJERCICIOS

Formas de expresar una función

10.35. Construye una tabla de 6 valores para las siguientes funciones.

a) y = 5x + 3 c) y = 2 4xx+

b) y = x2 + 2x d) y = 1x −

a) c)

b) d)

10.36. Observa esta tabla de valores de una función:

x –2 –1 1 2

y 7 5 5 7

¿Cuál es su expresión algebraica?

a) y = x2 + 4 b) 2 3y x= + c) 1 4y x= +

La función del apartado b).

10.37. (TIC) Para cada una de las siguientes funciones, construye una tabla de valores y una gráfica.

a) f(x) = 12 4

x− b) g(x) = 5

6x

a) b)

x –2 –1 0 1 2 3 y 0 –1 0 3 8 15

x –3 –2 –1 1 2 3

y 23

0 –2 6 4 103

x 0 1 2 3 4 5 y 3 8 13 18 23 28

x 1 2 5 10 17 26 y 0 1 2 3 4 5

x –2 –1 0 1 2

y 1 34

12

14

0

x –2 –1 0 1 2

y 53

− 56

− 0 56

53


10.38. (TIC) Un aficionado al ciclismo realiza un trayecto en línea recta a una velocidad constante de 25 km/h.

a) Construye una tabla de valores que indique el espacio que ha recorrido a los 15 minutos, 30 minutos, 45 minutos y 1 hora.

b) Representa gráficamente los datos del apartado anterior.

c) Escribe la fórmula para hallar el espacio que recorre el aficionado a lo largo del tiempo.

a) b)

c) y = 25x

10.39. (TIC) Escribe la expresión algebraica de la función que asocia a cada número real su cuadrado menos su doble. Construye una tabla de valores y representa gráficamente la función.

Expresión algebraica Tabla de valores Gráfica:

y = x2 – 2x

Dominio y recorrido

10.40. Halla el dominio de las siguientes funciones.

a) y = 3x – 78

c) y = 51x +

b) y = –x2 – 4 d) y = 23

1x +

a) D(f) = R c) D(f) = R – {–1}

b) D(f) = R d) D(f) = R

x (h) 14

12

34

1

y (km) 6,25 12,5 18,75 25

x y

–2 8

–1 3

0 0

1 –1

2 0


10.41. Halla el dominio y el recorrido de las siguientes funciones.

a) y = 3x + 9 c) y = 12

x2

b) y = –x2 d) y = x3

a) D(f) = R c) D(f) = R

Im(f) = R Im(f) = [0, +∞)

b) D(f) = R d) D(f) = R

Im(f) = (–∞,0] Im(f) = R

10.42. Determina el dominio de las siguientes funciones.

a) y = 21

1x + c) y =

3 15 10xx

−+

b) y = 5x − d) y = 2 4x +

a) D(f) = R c) D(f) = R – {–2}

b) D(f) = [5, +∞) d) D(f) = R

10.43. Pon un ejemplo de una función cuyo recorrido esté acotado por un número real.

Cualquier función constante, por ejemplo f(x) = 5.

10.44. Dibuja una función para cada una de las siguientes condiciones.

a) Que su dominio sea R – {2}, y su recorrido, R.

b) Que su dominio sea (–∞, 0].

c) Que su dominio sea [–6, 6], y su recorrido, [0, 12].

a) b) c)

10.45. Escribe la expresión algebraica de una función:

a) Cuyo dominio sea [0, +∞).

b) Cuyo dominio sea R – {0}.

c) Cuyo recorrido sea {5}.

a) y = x b) y = 1x

c) y = 5

Funciones definidas a trozos

10.46. Considera la función

f(x) = 2 si 13 33 9 si 1

x x

x x

+ ≤ − + > −

y calcula f(3), f(10), f(0), f(–1) y f 34

.

f(3) = 3 · 3 + 9 = 18

f(10) = 3 · 10 + 9 = 39

f(0) = 3 · 0 + 9 = 9

f(–1) = 2 13 3− = 1

3

f 34

= 3 · 34

+ 9 = 454

10.47. (TIC) Dibuja las siguientes funciones.

a) f(x) = {1 si 32 1 si 3

x xx x− <+ ≥ b) g(x) =

6 si 13 si 14

x xx x− <

≥

a) b)

10.48. (TIC) Dibuja las siguientes funciones definidas a trozos.

a) f(x) = 3 si 42 1 si 4 2

5 si 2

x xx x

x

− < − + − ≤ <≥

b) h(x) = 8 si 0

24 7 si 0

x xx x

− <+ >

a) b)

10.49. Calcula la imagen de x = 2 en cada una de las funciones siguientes.

a) f(x) = { 3 2 si 24 3 si 2x x

x x+ <

− ≥

b) g(x) = 2

6 3 si 20 si 22 1 si 2

x xx

x x

+ < = − >

c) h(x) = { 38 1 si 22 7 si 2x x

x x+ <

+ >

a) f(2) = 4 – 3 · 2 = –2

b) g(2) = 0

c) h(2) no está definida.

10.50. Define como funciones definidas a trozos f(x) = 2 9x + y g(x) = 6 3x− . Para ambas:

a) Represéntalas.

b) ¿Qué valores de x tienen por imagen 1?

c) ¿Cuáles tienen por imagen 0?

d) ¿Y cuáles son los que tienen por imagen –2?

f(x) =

92 9 si292 9 si2

x x

x x

− − < − + ≥ −

g(x) = 6 3 si 26 3 si 2

x xx x

− <− + ≥

a)

b) f(x) = 1 si x = –4 y x = –5 g(x) = 1 si x = 53

y x = 73

c) f(x) = 0 si x = – 92

g(x) = 0 si x = 2

d) Ningún valor de x puede tener como imagen –2 porque el valor absoluto de un número nunca es negativo.

Variación. Continuidad

10.51. Calcula la tasa de variación media de la función h(x) = 8 – 4x en el intervalo [–3, –1].

TVM[[–3, –1] = ( 1) ( 3)1 ( 3)

h h− − −− − −

= 12 202− = –4

10.52. Representa las siguientes funciones y di si son continuas. En caso contrario, indica sus puntos de discontinuidad.

a) y = {2 1 si 54 si 5

x xx x

− <+ ≥ b) y = { 3 si 1

4 si 1x x

x x+ < −

≥ −

a) b)

Continua Discontinua en x = –1

10.53. Estudia la continuidad de:

f(x) = 6 4 si 03 si 01 si 0

x xx

x x

− < =− >

Es discontinua en x = 0.

10.54. Halla la tasa de variación media de la función y = x2 + 2x. ¿En cuál de los dos intervalos, [3; 3,5] y [6,5; 7], varía más rápidamente?

TVM[[3; 3,5] = (3,5) (3)3,5 3

f f−−

= 19,25 150,5

− = 8,5

TVM[[6,5; 7] = (7) (6,5)7 6,5

f f−−

= 63 55,250,5− = 15,5

Varía más rápido en el intervalo [6,5; 7].

10.55. (TIC) Haz la representación gráfica de las siguientes funciones e indica si son continuas.

a) f(x) ={ 24 si 26 15 si 2 4

x xx x− <− < ≤ b) g(x) =

2 2 si 1 13 si 1 2

1 si 2

x x xx x

x

− − < < − ≤ <≥

a) b)

Discontinua en x = 2 Discontinua en x = 1

10.56. Define y estudia la continuidad de la función f(x) = 4 8x + .

f(x) = 4 8 si 24 8 si 2

x xx x

− − < − + ≥ −

Continua

Características de las funciones

10.57. Razona si son ciertas las siguientes afirmaciones. En caso contrario, pon un ejemplo que lo demuestre.

a) Si el dominio de una función es R, su recorrido también es R.

b) Todas las funciones definidas a trozos son discontinuas.

c) Los puntos de corte con el eje de abscisas se obtienen sustituyendo x por 0.

d) El crecimiento o decrecimiento de una función depende del signo de la tasa de variación.

a) Falso. y = x2

b) Falso. y = x

c) Falso. Se obtiene sustituyendo y por 0

d) Verdadero


10.58. (TIC) Calcula los puntos de corte con los ejes de las siguientes funciones.

a) y = x2 – 4x + 4 c) y = x3 + 2x

b) y = x2 + x + 1 d) y = 2xx+

a) Punto de corte con el eje Y: x =0 ⇒ y = 4 ⇒ A(0, 4)

Puntos de corte con el eje X: y = 0 ⇒ x2 – 4x + 4 = 0 ⇒ x = 2 ⇒ B(2, 0)

b) Punto de corte con el eje Y: x =0 ⇒ y = 1 ⇒ A(0, 1)

Puntos de corte con el eje X: y = 0 ⇒ x2 + x + 1 = 0 no tienen solución, por tanto, no tiene puntos de corte con el eje X.

c) Punto de corte con el eje Y: x =0 ⇒ y = 0 ⇒ A(0, 0)

Puntos de corte con el eje X: y = 0 ⇒ x3 + 2x = 0 ⇒ x = 0 ⇒ A(0, 0)

d) Punto de corte con el eje Y: No tiene, no está definida en x = 0.

Puntos de corte con el eje X: y = 0 ⇒ 2x

x+

= 0 ⇒ x = –2 ⇒ B(–2, 0)

10.59. Una función continua está definida en R, es creciente en (–∞, –3) y en (4, +∞), y decreciente en (–3, 4). ¿Tiene máximos o mínimos relativos?

Sí, tiene un máximo relativo en x = –3 y un mínimo relativo en x = 4.

10.60. Indica si las siguientes funciones son simétricas, y el tipo de simetría que presentan.

a) f(x) = x2 + 4 b) g(x) = x3 – x

a) Simetría par b) Simetría impar

10.61. Si una función es periódica de período 4, ¿es suficiente conocer su gráfica en el intervalo [–2, 2] para poder representarla en toda la recta real?

Sí, ya que la amplitud del intervalo es 4, y si es periódica, basta conocer su gráfica en un intervalo de amplitud igual al período para dibujarla en R.

10.62. Observa la gráfica siguiente.

a) Si es una función periódica, indica su período.

b) ¿Qué valor toma la función cuando x es par? ¿Y cuando x es impar?

a) Es periódica de período T = 2.

b) Cuando x es par, f(x) = 0, y cuando x es impar, f(x) = –1.

10.63. (TIC) Estudia si las siguientes funciones son crecientes o decrecientes en el intervalo [–4, –3].

a) f(x) = 2x + 9 c) h(x) = 1 – x2

b) g(x) = 3x2 + 6x d) i(x) = 4 – 5x

a) Es creciente. Para probarlo habría que verificar que para cualquier par de valores dentro del intervalo, con a < b, se cumple que TV[a, b] > 0, como ocurre al tomar los extremos:

TV[–4, –3] = f(–3) – f(–4) = 3 – 1 = 2.

b) Es decreciente. Para probarlo habría que verificar que para cualquier par de valores dentro del intervalo, con a < b, se cumple que TV[a, b] < 0, como ocurre al tomar los extremos:

TV[–4, –3] = g(–3) – g(–4) = 9 – 24 = –15.

c) Es creciente. Para probarlo habría que verificar que para cualquier par de valores dentro del intervalo, con a < b, se cumple que TV[a, b] > 0, como ocurre al tomar los extremos:

TV[–4, –3] = h(–3) – h(–4) = –8 + 15 = 7.

d) Es decreciente. Para probarlo habría que verificar que para cualquier par de valores dentro del intervalo, con a <b, se cumple que TV[a, b] < 0, como ocurre al tomar los extremos:

TV[–4, –3] = i(–3) – i(–4) = 19 – 24 = –5.

10.64. Estudia el crecimiento y decrecimiento de la función f(x) = 4x3 – x en [ ]2, 1− − , 1 1,4 4

− y

3 ,22

.

En el intervalo [ ]2, 1− − es creciente. Para probarlo habría que verificar que para cualquier par de valores dentro del intervalo, con a < b, se cumple que TV[a, b] > 0, como ocurre, por ejemplo, al tomar los extremos: TV [ ]2, 1− − = f(–1) – f(–2) = –3 + 30 = 27.

En el intervalo 1 1,4 4

− es decreciente. Para probarlo habría que verificar que para cualquier par de

valores dentro del intervalo, con a < b, se cumple que TV[a, b] < 0, como ocurre, por ejemplo, al tomar

los extremos: TV1 1,4 4

− = f 1

4

– f 14

−

= 18

– 12

= 38

− .

En el intervalo 3 ,22

es creciente. Para probarlo habría que verificar que para cualquier par de

valores dentro del intervalo, con a < b, se cumple que TV[a, b] > 0, como ocurre, por ejemplo, al tomar

los extremos: TV3 ,22

= f(2) – f( 32

) = 30 – 12 = 18.


10.65. Fíjate en las siguientes gráficas de funciones e indica cuáles son periódicas y los puntos de corte con los ejes.

a) b)

a) Es periódica de periodo T = π . Corta al eje Y en el punto (0, 0); corta al eje X en los puntos de la forma ( ), 0kπ para k ∈ Z.

b) No es periódica. Corta al eje Y en el punto (0; –7,5); corta al eje X en los puntos (1, 0) y (2, 0).

10.66. Sabemos que la función f(x) pasa por el punto (3, 5).

a) Si fuese par, ¿por qué otro punto pasaría?

b) ¿Y si fuese impar?

a) Por el punto (–3, 5)

b) Por el punto (–3, –5)

10.67. Dibuja una función con las características siguientes: tiene un mínimo relativo en (–5, 0), un máximo relativo en (0, 4) y es par.

10.68. ¿Se puede afirmar que si la tasa de variación media de una función es positiva, la función es creciente?

No. Por ejemplo y = x2 tiene una tasa de variación media de 1 en [–1, 2], pero no es creciente en este intervalo.

10.69. (TIC) Teniendo en cuenta su gráfica, estudia la función y = x2 en los intervalos [–0,5; 0] y [0; 0,5]. ¿Es creciente o decreciente? ¿Qué se puede afirmar del punto (0, 0)?

En el intervalo [–0,5; 0] es decreciente.

En el intervalo [0; 0,5] es creciente.

El punto (0, 0) es un mínimo (absoluto).


10.70. La función f(x) = x, ¿es creciente en todo su dominio? ¿Y continua?

Basta representar su gráfica para contestar afirmativamente las dos preguntas.

10.71. Contesta a las siguientes cuestiones.

a) Una función par tiene un máximo en el punto (–2, 1). ¿Qué podemos decir del punto (2, 1)?

b) Una función impar tiene un máximo en el punto (4, –2). ¿Qué tipo de punto es (–4, 2)?

a) Es otro máximo.

b) Es un mínimo.

10.72. Para cada una de las funciones representadas a continuación, estudia:

f(x) = x4 – 4x2 g(x) = x3 + x2 – 10x + 8

a) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento.

b) Los máximos y mínimos relativos y absolutos.

c) La simetría.

d) Los puntos de corte con los ejes.

e) El signo.

Función f(x):

a) Creciente en (–1,5; 0) ∪ (1,5; +∞), decreciente en (–∞; –1,5) ∪ (0; 1,5).

b) Tiene un máximo relativo en el punto (0, 0) y dos mínimos absolutos en los puntos (–1,5; –4) y (1,5; –4).

c) Tiene simetría par.

d) Corta al eje Y en el punto (0, 0). Corta al eje X en los puntos (0, 0), (–2, 0) y (2, 0).

e) Es positiva en (–∞, –2) ∪ (2, +∞), es negativa en (–2, 0) ∪ (0, 2).

Función g(x):

a) Creciente en (–∞, –2) ∪ (1,5; +∞), decreciente en (–2; 1,5).

b) Tiene un máximo absoluto en el punto (–2, 25) y un mínimo relativo en el punto (1,5; –1,25).

c) No es simétrica.

d) Corta al eje Y en el punto (0; 7,5). Corta al eje X en los puntos (1, 0) y (2, 0).

e) Es positiva en (–4, 1) ∪ (2, +∞), es negativa en (–∞, –4) ∪ (1, 2).

10.73. Halla el dominio de las siguientes funciones y sus puntos de corte con los ejes.

a) y = x3 – 4x c) y = x4 – 6x2 + 8

b) y = 2 1

5 9xx−+

d) y = 4

27

3 2x

x x+− +

a) Dominio: D(f) = R.

Punto de corte con el eje Y: x =0 ⇒ y = 0 ⇒ A(0, 0)

Puntos de corte con el eje X: y = 0 ⇒ x3 – 4x = 0 ⇒ x = –2, x = 0 y x = 2 ⇒ B(–2, 0), A(0, 0) y C(2, 0)

b) Dominio: D(f) = R – 95

−

Punto de corte con el eje Y: x =0 ⇒ y = 19

− ⇒ A 10,9

−

Puntos de corte con el eje X: y = 0 ⇒ x2 – 1 = 0 ⇒ x = –1 y x = 1 ⇒ B(–1, 0) y C(1, 0)

c) Dominio: D(f) = R

Punto de corte con el eje Y: x =0 ⇒ y = 8 ⇒ A(0, 8)

Puntos de corte con el eje X: y = 0 ⇒ x4 – 6x2 + 8 = 0 ⇒ x = –2, x = – 2 , x = 2 y x = 2 ⇒ ⇒ B(–2, 0), C(– 2 , 0), D( 2 , 0) y E(2, 0)

d) Dominio: x2 – 3x + 2 = 0 ⇒ x = 1 y x = 2 ⇒ D(f) = R – {1, 2}


⇒ A 70,2

Puntos de corte con el eje X: y = 0 ⇒ 7 + x4 = 0 no tiene solución, por tanto, no tiene puntos de corte con el eje X.

10.74. Si una función es creciente en (–∞, 0) y decreciente en (0, +∞), ¿se puede afirmar que tiene un máximo en x = 0?

Si la función es continua sí se puede afirmar. En general no se puede, por ejemplo, y = 2

1x

.

10.75. Dada la función y = 22 2

4x x

x+ −−

, halla su dominio, calcula sus puntos de corte con los ejes y

estudia si es creciente o decreciente en los intervalos [0; 0,5] y [3; 3,2].

Dominio: D(f) = R – {4}


⇒ A 10,2

Puntos de corte con el eje X: y = 0 ⇒ 2x2 + x – 2 = 0 ⇒ x = 1 174

− − y x = 1 174

− + ⇒

⇒ B 1 17 , 04

− −

y C 1 17 , 04

− +

Crecimiento y decrecimiento: En los dos intervalos, [0; 0,5] y [3; 3,2], es decreciente. Para probarlo habría que verificar que para cualquier par de valores dentro de los intervalos, con a < b, se cumple que TV[a, b] < 0, como ocurre, por ejemplo, al tomar los extremos:

TV[0; 0,5] = f(0,5) – f(0) = 0,286 – 0,5 = –0,214 TV[3; 3,2] = f(3,2) – f(3) = –27,1 + 19 = –8,1

10.76. (TIC) Define y = 12x− como una función definida a trozos y represéntala gráficamente.

a) ¿Es continua?

b) Halla los puntos de corte con los ejes.

c) Estudia su crecimiento en los intervalos [0, 1] y [3, 4].

d) ¿Tiene máximos y mínimos relativos y absolutos?

f(x) = 1 si 2

2

1 si 22

x x

x x

− + < − ≥

a) Es continua.

b) Punto de corte con el eje Y: A(0, 1).

Puntos de corte con el eje X: B(2, 0).

c) En [0, 1] es decreciente.

En [3, 4] es creciente.

d) Tiene un mínimo absoluto en el punto B.

PROBLEMAS

10.77. Julia ha abierto una tienda de ropa. A cada prenda que compra le aumenta un 70 % su precio inicial, obteniendo así el precio de venta.

Como en el último mes no vendía mucho, decidió aplicar a todas las prendas un descuento del 18 %.

a) Construye una tabla de valores que indique el precio actual de cada prenda en función del precio inicial, teniendo en cuenta que la prenda más cara le costó 235 euros y la más barata 20.

b) Haz una gráfica con los datos obtenidos.

c) Escribe la expresión algebraica que representa el precio de venta actual de cada prenda en función del precio al que la compró Julia.

d) Halla el dominio y el recorrido de la función.

e) ¿Corta la función al eje de coordenadas?

f) ¿Es una función continua?

a) b)

c) y = 1,7 · 0,82 · x = 1,394x

d) D(f) = [20, 235]

Im(f) = [27,88; 327,59]

f) No corta a ningún eje.

g) Sí es continua.

10.78. Expresa, mediante una función definida a trozos, la distancia al lugar de partida a la que se encuentra una familia que realiza la siguiente excursión:

a) Durante la primera hora y media caminan a una velocidad constante de 3 km/h.

b) Descansan durante la media hora siguiente.

c) Regresan a una velocidad constante de 4,5 km/h.

En la primera hora y media recorren 3 · 1,5 = 4,5 km, por tanto, la función es

3 si 0 1,5 3 si 0 1,5( ) 4,5 si 1,5 2 4,5 si 1,5 2

4,5 4,5( 2) si 2 3 13,5 4,5 si 2 3

x x x xf x x x

x x x x

≤ < ≤ < = ≤ < = ≤ < − − ≤ < − ≤ <

.

Precio inicial

(x)

Precio final

(y)

20 27,88

50 69,70

100 139,40

150 209,10

200 278,80

235 327,59

10.79. Juan está estudiando dos ofertas de trabajo, como comercial de electrodomésticos, que solo se diferencian en el sueldo:

a) Escribe, en cada caso, la expresión algebraica que representa el sueldo mensual de Juan en función del número de electrodomésticos vendidos.

b) Calcula el dominio y el recorrido de cada una de las funciones.

c) ¿Son funciones crecientes o decrecientes?

d) ¿Tienen algún máximo o mínimo?

a) Oferta A: f(x) = 1050 10 si 0 201250 si 20

x xx

+ ≤ ≤ >

Oferta B: g(x) = 600 + 20x

b) D(f) = [0, +∞); Im(f) = [1050, 1250]

D(g) = [0, +∞); Im(g) = [600, +∞)

c) Función f(x):

Si 0 ≤ a 0 ⇒ Es creciente.

Si 20 < a < b, la función f es constante, ya que no recibe más dinero por electrodoméstico vendido.

Función g(x):

Si a 0 ⇒ Es creciente.

c) La función f(x) tiene un mínimo absoluto en (0, 1050) y un máximo absoluto en (20, 1250).

La función g(x) solo tiene un mínimo absoluto en (0, 600).

10.80. Calcula la fórmula que permite obtener el diámetro de una lata de zumo de 500 mL, de forma cilíndrica, en función de su altura.

Si la altura de la lata puede oscilar entre 12 y 16 cm, ¿cuáles son el dominio y el recorrido de esa función?

Observemos que 500 mL = 500 cm3.

Por tanto, si d es el diámetro, r el radio y h la altura, entonces d(h) = 2 · r = 5002h

⋅π

.

Si la altura de la lata puede oscilar entre 12 y 16 cm, tenemos

D(d) = [12, 16] Im(d) = [6,31; 7,28]

OFERTA A

1050 € mensuales

10 euros por venta

Hasta un máximo de 20 ventas al mes

OFERTA B

600 € mensuales

20 euros por venta

Sin límite de ventas

10.81. Un aljibe tiene una fisura y pierde 2 L de agua cada hora. A la vez, está cogiendo agua a razón de 6 L/hora. Cuando empezó el día tenía 750 L de agua y durante un día entero no han conseguido arreglarlo.

a) Describe el crecimiento durante el día de la función que expresa el volumen de agua del aljibe.

b) Escribe sus máximos y mínimos.

a) y = 750 – 2x + 6x ⇒ y = 750 + 4x, 0 ≤ x ≤ 24.

a 0 ⇒ Es creciente.

b) Mínimo en (0, 750), y máximo en (24, 846)

10.82. Laura quiere vallar un terreno de forma cuadrada y de área desconocida. Encuentra la expresión algebraica que permite obtener el lado del cuadrado en función del área.

a) Si el área oscila entre 120 y 180 m2, ¿cuáles serán el dominio y el recorrido de la función?

b) La función, ¿es creciente o decreciente?

c) ¿Tiene máximos o mínimos?

Si l es el lado del cuadrado y A su área, tenemos l A= .

a) D(f) = [120, 180] Im(f) = [2 30 , 6 5 ].

b) a 0 ⇒ Es creciente.

c) Mínimo en (120, 2 30 ) y máximo en (180, 6 5 ).

AMPLIACIÓN

10.83. Si f(x) = px7 + qx3 + 5x − 4 y f(−7) = 3, ¿cuánto vale f(7)?

a) −11 b) −3 c) 10 d) 17

Sabemos que 3 = f(−7) = p (−7)7 + q (−7)3 + 5 (−7) − 4 = −77p − 73q − 35 − 4 ⇒ 77p + 73q = −42, por tanto, f(7) = 77p + 73q + 35 – 4 = 77p + 73q + 31 = −42 + 31 = −11, la respuesta a).

10.84. La gráfica de una de las siguientes funciones corta a la gráfica de y = |x| solamente en un punto. ¿De qué función se trata?

a) f(x) = x − 2 b) f(x) = x + 1 c) f(x) = x d) f(x) = x − 1

Representando las gráficas de las funciones se observa que la respuesta correcta es la b).

10.85. Si f(x) = 2 | 2 |x− + y el número a verifica a < −4, f(a) es igual a:

a) −4 b) 4 + a c) −4 − a d) a

Observemos que a < −4 implica a + 2 < −2 < 0 y a + 4 <0, por tanto:

f(a) = 2 | 2 |a− + = 2 ( 2 )a− − − = 4 4a a+ = − − , la respuesta c).

10.86. La función ( ) 2f xx

= toma valores enteros para:

a) Dos valores de x c) Cuatro valores de x

b) Tres valores de x d) Infinitos valores de x

Si a es entero no nulo, f 2a

= a es entero, por tanto, la respuesta correcta es la d).

10.87. Las gráficas de las funciones ( ) 2f x x= − , ( )4 4

2xg xx−

=+

verifican:

a) Son idénticas.

b) Difieren para todos los valores de x > 2.

c) Difieren en un solo valor de x.

d) Nada de lo anterior.

Observemos que:

f(x) = g(x) ⇒ x – 2 = 4 4

2xx−+

⇒ x2 – 4 = x4 – 4 ⇒ x4 – x2 = 0 ⇒ x2(x2 – 1) = 0 ⇒ x = 0, x = 1 y x = –1

Por tanto, las funciones solo coinciden en x = 0 (f(0) = g(0) = –2), x = 1 (f(1) = g(1) = –1)y x = –1 (f(0) = g(0) = –3), es decir, la respuesta correcta es la b).

AUTOEVALUACIÓN

10.1. Una carnicería compra 60 kg de ternera a 9,95 € cada uno.

a) Escribe la expresión algebraica que relaciona el dinero invertido en función de los kilos.

b) Construye una tabla de valores para la función y represéntala gráficamente.

c) Calcula su dominio y su recorrido.

a) Si x son los kilos comprados e y su coste, la expresión es y = 9,95x.

b)

c) D(f) = [0, 60] Im(f) = [0, 597]

10.2. Calcula el dominio y el recorrido de las siguientes funciones y los puntos de corte con los ejes.

a) f(x) = x3 + 2x – 3 b) g(x) = 92 6x +

a) D(f) = R b) D(f) = R – {–3}

Im(f) = R Im(f) = R – {0}

10.3. Estudia el crecimiento y decrecimiento de las funciones en los intervalos que se indican:

a) f(x) = x + x2 en [–1,5; –1] y en [0,2; 1]

b) g(x) = 2x – 9 en [–2; –1,8]

a) En el intervalo [–1,5; –1] es decreciente. Para probarlo habría que verificar que para cualquier par de valores dentro del intervalo, con a < b, se cumple que TV[a, b] < 0, como ocurre, por ejemplo, al tomar los extremos: TV[–1,5; –1] = f(–1) – f(–1,5) = 0 – 0,75 = –0,25.

En el intervalo [0,2; 1] es creciente. Para probarlo habría que verificar que para cualquier par de valores dentro del intervalo, con a < b, se cumple que TV[a, b] > 0, como ocurre, por ejemplo, al tomar los extremos: TV[0,2; 1]= f(1) – f(0,2) = 2 – 0,24 = 1,76.

b) Si –2 ≤ a 0, es decir, la función es creciente en el intervalo [–2; –1,8].

x 0 10 20 30 40 50 60 y 0 99,5 199 298,5 398 497,5 597

10.4. Estudia si son simétricas y, en su caso, de qué tipo las siguientes funciones.

a) 3( ) 5 4f x x x= + b) ( )4

21xg x

x=

−

a) f(–x) = 5 · (–x)3 + 4 · (–x) = –5x3 – 4x = –f(x) ⇒ La función es impar.

b) g(–x) = 4

2

( )1 ( )

xx

−− −

= 4

21x

x− = g(x) ⇒ La función es par.

10.5. Representa gráficamente la siguiente función y estudia su continuidad.

g(x) = 2 si 03 si 0 26 si 2

x xx x

x

− < ≤ <>

La función es discontinua en x = 0 y x = 2.

10.6. Observa la gráfica de la siguiente función:

a) Encuentra el dominio y el recorrido.

b) Estudia el crecimiento y decrecimiento.

c) Halla sus máximos y mínimos e indica de qué tipo son.

d) ¿Es simétrica? ¿Y continua?

a) D(f) = R

Im(f) = [–2, +∞)

b) Es creciente en (–3, –2) ∪ (0, +∞); es decreciente en (–∞, –3) ∪ (–2, 0).

c) La función tiene un mínimo absoluto en el punto (0, –2), otro relativo en (–3, 0) y un máximo relativo en (–2, 1).

d) No es simétrica. Es continua.

PON A PRUEBA TUS COMPETENCIAS

Aprende a pensar > El impuesto de la renta

El impuesto de sobre la renta de las personas físicas (IRPF) es un porcentaje de los ingresos que todas las personas están obligados a pagar al Estado cada año. Los ingresos del Estado, con los que se mantiene el sistema sanitario, la educación pública, las infraestructuras y todos los servicios públicos, provienen en gran parte de este impuesto.

El IRPF es progresivo. Esto quiere decir que cuanto mayores sean los ingresos de una persona, mayor es el porcentaje que debe pagar al Estado. En España, este porcentaje varía entre el 24 % y el 43 %, aunque algunas personas están exentas de pagar el IRPF (por ejemplo, las que ganan menos de 9000 € al año o las que sufren de incapacidad permanente.)

La cuota integra es el producto de la base liquidable (los ingresos de las personas) por el tipo aplicable (el porcentaje de los ingresos que debe pagar) de cada tramo. A esta cuota integra después hay que aplicarle deducciones por diferentes conceptos. En la tabla tienes los tipos aplicables en España.

¡Atención! Hay que tener mucho cuidado al leer esta tabla: Una persona que gana 18 000 € al año no paga el 28% por los 18 000 €, sino el 24 % de 17 360 € y el 28 % del resto (18 000 – 17 360 = 640 €).

10.1. Las cuotas íntegras corresponden a una función definida a trozos. Copia en tu cuaderno y completa la expresión de dicha función, donde x es la base liquidable:

si 0 17360284166,40 ( 17 360) si 17360 32360

( ) 100si 32360 52360si 52360

x

x xf x

xx

≤ < + − ⋅ ≤ <=

≤ < ≤

0,24 si 173604166,40 ( 17360) 0,28 si 17360 32360( ) 8366,4 ( 32360) 0,37 si 32360 5236015766,4 ( 52360) 0,43 si 52360

x xx xf x x xx x

< + − ⋅ ≤ <= + − ⋅ ≤ < + − ⋅ ≤

10.2. Mirando la expresión, ¿dirías que la función es continua o discontinua? Representa la función en unos ejes de coordenadas tomando unas unidades y escala adecuadas. ¿Has acertado?

Es continua.

Base liquidable Tipo

aplicable Parte que va

desde hasta

0 € 17 360 € 24 %

17 360 € 32 360 € 28 %

32 360 € 52 360 € 37 %

52 360 € Sin límite 43 %


10.3. Cuatro personas tienen las siguientes bases liquidables.

Álvaro: 12 500 € Carlos: 45 725 €

Berta: 25 650 € Diana: 95 344 €

Determina la cuota íntegra de cada uno de ellos.

Álvaro: 0,24 · 12 500 = 3000 €

Berta: 4166,40 + (25 650 – 17 360) · 0,28 = 6487,60 €

Carlos: 8366,40 + (45 725 – 32 360) · 0,37 = 13 311,45 €

Diana: 15 766,4 + (95 344 – 52 360) · 0,43 = 29 949,52 €

10.4. A Sergio le acaban de subir el sueldo: ganaba 32 000 € al año, y ahora gana 33 000 €. Dice: “¡Vaya, al subir de tramo, ahora gano menos después de pagar impuestos!”. ¿Es cierto lo que dice?

No es cierto porque solamente se le aplica el 37 % a la cantidad que sobrepasa los 32 360 €.

Con 32 000 € le sale una cuota íntegra de 4166,40 + (32 000 – 17 360) · 0,28 = 8265,60 €.

Con 33 000 € le sale una cuota íntegra de 8366,40 + (33 000 – 32 360) · 0,37 = 8603,20 €.

10.5. En el gráfico puedes ver en qué contribuye cada impuesto a las arcas del Estado. Busca información y describe brevemente en qué consiste cada uno de ellos.

Impuesto indirecto: no es percibido por Hacienda directamente del consumidor.

• IVA: impuesto indirecto sobre el consumo que es percibido por el vendedor en el momento de toda transacción comercial y trimestralmente transferido al Estado.

• Impuestos especiales: aquellos que gravan más algunos artículos que ya tienen IVA; por ejemplo, el alcohol, el tabaco, la gasolina, etc.

Impuesto directo: es aquel que grava directamente en la persona.

• IRPF: impuesto sobre la renta de las personas físicas; es un impuesto personal, progresivo y directo que grava la renta obtenida en un año natural por una persona física.

• Impuesto de sociedades: impuesto personal, periódico y proporcional, que grava la renta de las sociedades y demás entidades jurídicas.

10.6. En otros países, el IRPF no es progresivo. ¿Qué te parece que en España sí lo sea, y que de hecho sea un principio constitucional? Entra en http://matematicas20.aprenderapensar.net y expresa tu opinión.

Respuesta abierta.

http://es.wikipedia.org/wiki/Impuesto_indirecto�

http://es.wikipedia.org/wiki/Impuesto�

http://es.wikipedia.org/wiki/Principio_de_progresividad�

http://es.wikipedia.org/wiki/Ingreso�

http://es.wikipedia.org/wiki/A%C3%B1o_natural�

http://es.wikipedia.org/wiki/Renta�


Reflexiona y decide > Conduce con prudencia

Aunque durante los últimos años, el número de fallecidos en accidentes de tráfico ha bajado considerablemente, aún sigue siendo demasiado alto.

En la mayoría de los accidentes mortales hay dos factores determinantes: el consumo de alcohol, que afecta gravemente a la capacidad del conductor, y la velocidad excesiva, que contribuye además a que las consecuencias del accidente sean más graves.

El control de alcoholemia y los radares para detectar el exceso de velocidad en las carreteras son dos de los instrumentos que se utilizan para prevenir los accidentes.

10.1. ¿Recuerdas cuánto pesa un litro de agua? ¿Y a cuántos centímetros cúbicos equivale? ¿Cuánto pesa un centímetro cúbico de agua? ¿A cuántos mililitros equivale?

Un litro de agua pesa 1 kg. Un litro equivale a un decímetro cúbico, es decir, 1000 cm3.

Un centímetro cúbico equivale a 0,001 L (es decir, 1 mL), que pesan 0,001 kg, es decir 1 g.

10.2. La graduación de una bebida alcohólica es la cantidad de etanol que contienen 100 cm3 de esa bebida. Como el etanol es menos denso que el agua, para hallar el peso en gramos se multiplica por un factor, 0,8. Escribe la función que permite calcular los gramos de alcohol ingeridos conociendo dos variables: la graduación de la bebida y la cantidad consumida.

Si GA son los gramos de alcohol ingeridos, Gº la graduación de la bebida y C la cantidad de bebida consumida en mL, la función buscada es:

0,8· º·100

G CGA =

10.3. Una persona se ha tomado dos tercios de litro de cerveza cuya graduación es de 6º. ¿Cuántos gramos de alcohol ha ingerido? ¿Y otra que tomó 50 cL de ron de 45º?

Según la fórmula anterior, en el primer caso ha ingerido

20,8·6· ·10003 32

100GA = = gr de alcohol.

En el segundo caso ha ingerido 0,8·45·500 180100

GA = = gr de alcohol.

10.4. Varios factores influyen en la absorción del alcohol en el organismo: estar en ayunas, la constitución corporal, el sexo… ¿Qué cantidad de alcohol crees que podría tomar una persona de tu constitución física para poder conducir con seguridad? Debate con tus compañeros.

Respuesta abierta.

Pueden ser útiles los siguientes datos:

La cantidad de alcohol que pasa a la sangre es de un 15 % el alcohol ingerido. El resto se evapora en el aliento y se reparte por los órganos internos del cuerpo.

La cantidad de sangre que contiene el cuerpo humano es de un 8 % del peso del cuerpo.

La máxima tasa de alcohol en sangre permitida para conducir en España es 0,5 gr/L. Los profesionales del volante tienen un máximo legal de 0,3 g/L.

La tasa de alcohol en sangre para entrar en coma etílico es 4 gr/L, y puede considerarse borracho a cualquiera con una tasa de alcoholemia de más de 1 gr/L.


Reflexiona y decide > Pillados por las matemáticas

Cuando un conductor detecta la presencia de un radar, disminuye la velocidad para evitar la multa. Una vez superado, hay conductores imprudentes que aceleran y vuelven a superar la velocidad permitida.

Recientemente se han establecido dispositivos de radares por tramos: dos cámaras, situadas en dos puntos a varios kilómetros de distancia, recogen el momento exacto en el que un coche pasa al comienzo y al final del tramo, lo que permite conocer con exactitud la velocidad media del vehículo en ese tramo.

10.1. En el túnel de Guadarrama, en Madrid, hay un radar de tramo, en una zona con un límite de velocidad de 100 km/h. El tramo mide 8 km. Halla la función que permite calcular la velocidad media en el tramo a partir del tiempo empleado.

Si y es la velocidad media (en km/h) y t el tiempo empleado (en minutos) en recorrer el tramo, la

función es: y = 8

60t

= 480t

.

10.2. Un coche entra en el tramo a las 15:07:32 y sale a las 15:11:55. ¿Ha superado la velocidad límite?

El coche ha tardado 4 min 23 s ≈ 4,38 min en recorrer el tramo, por tanto, su velocidad media ha sido

y = 4804,38

= 109, 59 km/h, es decir, ha superado la velocidad límite.

10.3. Si ha hecho la primera mitad del tramo a 120 km/h, ¿a qué velocidad debe hacer la parte que falta para que su velocidad media sea de 100 km/h? Antes de hacer cuentas… ¿a 80 km/h, más despacio o más deprisa?

Para que la velocidad media sea 100 km/h debe recorrer el tramo en 4,8 minutos. Recorre los

primeros 4 km a 120 km/h, por tanto, ha necesitado 4120

= 130

h = 2 minutos. Así, debe tardar 2,8

minutos en recorrer los restantes 4 km, por lo que su velocidad debería ser 42,860

= 85,71 km/h.

10.4. Otro conductor hace una parte del recorrido a 120 km/h y otra a 80 km/h, y consigue una media de 100 km/h. ¿Qué distancia recorrió a cada velocidad?

Pongamos que recorre x km a 120 km/h y los restantes 8 – x km a 80km/h. El primer tramo lo ha

recorrido en 120

x horas, el segundo en 880

x− horas, por tanto, ha necesitado 8 24120 80 240

x x x− −+ =

horas para recorrer 8 km.

De este modo, tenemos: 8 1920100 100 2400 100 1920 4,824 24240

x xx x

= ⇒ = ⇒ − = ⇒ =− −

. Es decir,

recorre 4,8 km a 120 km/h y los restantes 3,2 km a 80km/h.

Proyecto editorial: Equipo de Educación Secundaria del Grupo SM Autoría: Antonia Aranda, Rafaela Arévalo, Juan Jesús Donaire, Vanesa Fernández, Joaquín Hernández, Juan Carlos Hervás, Miguel Ángel Ingelmo, Cristóbal Merino, María Moreno; Miguel Nieto, Isabel de los Santos, Esteban Serrano, José R. Vizmanos, Yolanda A. Zárate Edición: Oiana García, José Miguel Gómez, Aurora Bellido Revisión contenidos solucionario: Juan Jesús Donaire Corrección: Javier López Ilustración: Modesto Arregui, Estudio “Haciendo el león”, Jurado y Rivas, Félix Anaya, Juan Francisco Cobos, José Santos, José Manuel Pedrosa Diseño: Pablo Canelas, Alfonso Ruano Maquetación: SAFEKAT S. L. Coordinación de diseño: José Luis Rodríguez Coordinación editorial: Josefina Arévalo Dirección del proyecto: Aída Moya Gestión de las direcciones electrónicas: Debido a la naturaleza dinámica de internet, Ediciones SM no puede responsabilizarse de los cambios o las modificaciones en las direcciones y los contenidos de los sitios web a los que remite este libro. Con el objeto de garantizar la adecuación de las direcciones electrónicas de esta publicación, Ediciones SM emplea un sistema de gestión que redirecciona las URL que con fines educativos aparecen en la misma hacia diversas páginas web. Ediciones SM declina cualquier responsabilidad por los contenidos o la información que pudieran albergar, sin perjuicio de adoptar de forma inmediata las medidas necesarias para evitar el acceso desde las URL de esta publicación a dichas páginas web en cuanto tenga constancia de que pudieran alojar contenidos ilícitos o inapropiados. Para garantizar este sistema de control es recomendable que el profesorado compruebe con antelación las direcciones relacionadas y que comunique a la editorial cualquier incidencia a través del correo electrónico [email protected]. Cualquier forma de reproducción, distribución, comunicación pública o transformación de esta obra solo puede ser realizada con la autorización de sus titulares, salvo excepción prevista por la ley. Diríjase a CEDRO (Centro Español de Derechos Reprográficos, www.cedro.org) si necesita fotocopiar o escanear algún fragmento de esta obra, a excepción de las páginas que incluyen la leyenda de “Página fotocopiable”. © Ediciones SM Impreso en España – Printed in Spain

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