2 3 5 – 3

– 8

6

f(x)

x

NOTA

El signo del coeficiente principal de la función polinómica (coeficiente del término de mayor exponente), es igual al signo de los valores de la función en + 8 (en valores muy grandes de x).

La representación gráfica de una función polinómica corta al eje vertical en el punto de coordenadas (0, f(0)).

Como f(0) = a0, el término independiente de una función

polinómica determina el corte con el eje y.

Se debe tener en cuenta que cuando una función polinómica carece de término independiente, o sea a0= 0,

la representación gráfica de la función pasa por el origen de coordenadas. La función tiene un cero en x = 0.

Observando la representación gráfica de una función polinómica f, sin determinar f(x), completar:

1) El menor grado posible de f es: 2) El término independiente de f es: 3) El resto de dividir f entre (x – 3) es: 4) f es divisible entre: 5) La imagen de – 3 por f es: 6) Las preimágenes de cero son:

Véanse los resultados en la página 480.

0

33

β

EJEMPLO:

Determinar la expresión h(x) de una función polinómica de tercer grado cuya representación gráfica es la dada.

Al observar la representación gráfica se puede determinar que las raíces de h son: x = –1 (dos veces) y x = β (una vez). Partiendo del teorema de descomposición factorial, h(x) se puede expresar:

h(x) ≡ a(x + 1)2(x – β) Luego, al aplicar los otros datos que se deducen también de la representación gráfica dada, de que h(0) = – 9 y h(2) = – 27, se obtiene un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas: a y β.

Se aplica que h(0) = – 9 → h(0) = a(0 + 1)2(0 – β) = – 9 → – aβ = – 9 → aβ = 9

Se aplica que h(2) = – 27 → h(2) = a(2 +1)2(2 – β) = – 27 → a(9)(2 – β) = – 27 → a(2 – β) = – 3

Sistema a resolver: a 9a(2 ) 3

β =− β = −

Para resolver el sistema se emplea el método de sustitución, despejando siempre a de una ecuación y sustituyendo en la otra.

De la primera: 9a =β

, se sustituye en la segunda 9 (2 ) 3− β = −β

, se hacen cuentas y se

despeja β: 9(2 – β) = – 3β 18 – 9β = – 3β

β = 3 a = 3 h(x) ≡ 3(x + 1)2(x – 3) h(x) ≡ 3x3– 3x2– 15x – 9

0

34

10 – RELACIONES ENTRE RAÍCES Y COEFICIENTES

10.1. POLINOMIO DE SEGUNDO GRADO Si P(x) es un polinomio de segundo grado de la forma: P(x) ≡ ax2+ bx + c, a ≠ 0 con raíces reales α y β, se cumple según el teorema de descomposición factorial, la siguiente identidad:

ax2 + bx + c ≡ a(x – α)(x – β)

Se hacen las cuentas y se saca – ax de factor común, en los términos de primer grado. Se obtiene una expresión que debe ser idéntica al polinomio reducido. Por lo cual, los coeficientes de los términos de igual exponente son iguales en valor y signo (véase la definición de identidad de polinomios, en página 205).

ax2 + bx + c ≡ ax2

– aαx – aβx + aαβ

ax2 + bx + c ≡ ax2 – a(α + β)x + aαβ

En los coeficientes de x2 ? a = a

En los coeficientes de x ? – a(α + β) = b ? suma de las raíces: α + β = ba

−

En los términos independientes ? aαβ = c ? producto de las raíces: α.β = ca

De esta manera se obtienen las relaciones entre raíces y coeficientes para un polinomio de segundo grado.

10.2. POLINOMIO DE TERCER GRADO Si P(x) es un polinomio de tercer grado de la forma: P(x) ≡ ax3 + bx2 + cx + d, a $ 0 con raíces reales α, β y γ, se cumple según el teorema de descomposición factorial, la siguiente identidad:

ax3 + bx2 + cx + d ≡ a(x – α)(x – β)(x – γ)

Se hacen las cuentas, se sacan factores comunes para obtener un polinomio reducido en x y se igualan los coeficientes de igual exponente en x (véase la definición de polinomios idénticos, en página 205).

ax3 + bx2

+ cx + d ≡ ax3 – aαx2 – aβx2

– aγx2 + aαβx + aαγx + aβγx – aαβγ

ax3 + bx2

+ cx + d ≡ ax3 – a(α + β + γ)x2 + a(αβ + αγ + βγ)x – aαβγ

35

En los coeficientes de x3 ? a = a En los coeficientes de x2 ? – a(α + β + γ) = b En los coeficientes de x ? a(αβ + αγ + βγ) = c En los términos independientes ? – aαβγ = d De esta manera se obtienen las relaciones entre raíces y coeficientes para un polinomio de tercer grado.

VÉASE EL CUADRO COMPLETO EN LA CONTRATAPA DEL LIBRO

10.3. POLINOMIO DE ENÉSIMO GRADO Si P(x) es un polinomio de enésimo grado de la forma:

P(x) ≡ an xn + an – 1 xn – 1 +... + a1x + a0 an $ 0 de raíces reales α1, α2, α3,... αn

Se cumple, aplicando el mismo razonamiento anterior:

Para la suma de raíces: α1 + α2 + α3 +.... + αn = an 1an

−−

Para el producto de raíces: α1 . α2 . α3. ... αn = an 0( 1) .an

−

EJEMPLO: Dado P(x) ≡ 16x3 + 76x2 – 225 hallar todas sus raíces sabiendo que la suma de dos de ellas es igual a – 1. En estos problemas se trata de combinar el dato que nos dan, con el dato que debemos saber de las relaciones entre coeficientes y raíces, con el fin de obtener una raíz. El dato que se da es: α + β = – 1

La relación entre raíces y coeficientes para la suma de las raíces es: α + β + γ = ba

−

y para el polinomio dado: α + β + γ = 7616

−

Se sustituye el dato dado α + β = – 1 – 1 + γ = 7616

−

Al despejar se obtiene que: γ = 154

−

Se divide el polinomio dado, aplicando el esquema de Ruffini, para obtener un cociente de segundo grado. Este se resuelve igual a cero para obtener, si las hay, las otras dos raíces.

α + β + γ = ba

− suma

αβ + αγ + βγ = ca

α.β.γ = da

− producto

36

16 76 0 22515 60 60 2254

16 16 60 0

−

− − −

−

Raíces de P(x) = { }15 5 34 2 2, ,− −

Antes de continuar, es conveniente hacer

los ejercicios 282 al 295, de la página 257.

11 – RAÍCES COMUNES A DOS POLINOMIOS

11.1. INTRODUCCIÓN Dentro del tema de divisibilidad de polinomios es posible plantear una serie de teoremas similares a los vistos en el tema de de divisibilidad numérica, sustituyendo la expresión a/b (a divide a b) por una similar, en donde se empleen dos polinomios: D(x)/P(x) (D(x) divide a P(x)). Cuando D(x) es de primer grado y de la forma (x – α), se dirá que (x – α)/P(x), que (x – α) divide a P(x) o, lo que es lo mismo, que α es raíz de P(x). Por lo tanto, una manera de plantear algunos teoremas de divisibilidad de polinomios es usando la terminología de: α es raíz de un polinomio. Todos los teoremas siguientes se demuestran aplicando valor numérico y recordando que, por definición de raíz: α es raíz de P(x) si y solo si P(α) = 0.

11.2. PRIMER TEOREMA DE RAÍCES COMUNES

Si α es raíz común a dos polinomios, es también raíz de la suma y de la resta de ambos polinomios.

Hipótesis: α es raíz común a A(x) y B(x) Tesis: α es raíz de A(x) + B(x) Si α es raíz de A(x) se cumple que: A(α) = 0 Si α es raíz de B(x) se cumple que: B(α) = 0 A(x) + B(x) A(α) + B(α) = 0 Haciendo la suma o resta de A(x) con B(x), se cumple para x = α que A(α) + B(α) = 0, lo cual significa que α es raíz de: A(x) + B(x).

NOTA

El teorema, en su forma general, expresa:

Si α es raíz de A(x) y de B(x) α es raíz de toda combinación lineal de los polinomios. O sea, α es raíz de: kA(x) + pB(x) k∈ p∈ k2 + p2$ 0

Cociente = 16x2 + 16x – 60

de raíces: α = 52

− β = 32

37

11.3. SEGUNDO TEOREMA DE RAÍCES COMUNES

Si α es raíz común a dos polinomios (no nulos), es también raíz del resto de la división de los polinomios.

Hipótesis: α es raíz común a: A(x) y B(x) gr.B(x) ≤ gr.A(x) Tesis: α es raíz de R(x), resto de dividir los polinomios. Se dividen los polinomios.

x x

x x

A( ) B( )

R( ) Q( )

Luego se expresa como: A(x) ≡ B(x).Q(x) + R(x)

Se halla el valor numérico, sustituyendo toda x por α y se aplica la hipótesis de que A(α) = 0 y B(α) = 0. Resulta que R(α) = 0, lo cual significa que α es raíz de R(x), resto de la división.

A( ) B( )Q( ) R( )0 0

0

α = α α + α= =

=

Resulta que R(α) = 0

NOTA

El recíproco del teorema anterior no se cumple. En una división entera entre polinomios, las raíces del resto no tienen por qué ser raíces comunes entre divisor y dividendo.

En la teoría de la divisibilidad de polinomios, los polinomios de segundo grado, ¿son primos o compuestos?

Analice los distintos casos en el conjunto de números reales.

38

1) Un divisor del polinomio P(x) = 2x2 – 18 es:

i) 2x ii) (x – 9) iii) (2x – 3) iv) (x + 3) v) ninguno de los anteriores.

2) Un divisor común entre los polinomios A(x) ≡ 4x2– 1 y B(x) ≡ 8x3– 1 es:

i) (x – 2) ii) (2x – 1) iii) (2x + 1) iv) (2x) v) ninguno de los anteriores.

Véase el resultado en la página 480.

11.4. EJERCICIOS CON RAÍCES COMUNES PRIMER CASO Se debe investigar si se pueden hallar las raíces de uno de los polinomios, en forma independiente, para luego, en el segundo polinomio, averiguar aplicando el esquema de Ruffini, cuál es la raíz común. EJEMPLO: Dado A(x) ≡ – 4x3– 2x2 + 10x – 4 B(x) ≡ 12x3– 32x2 + 17x – 2 Resolver A(x) = 0 y B(x) = 0, sabiendo que tienen una raíz en común. En este caso, si se observan con atención los polinomios, se puede saber que A(x) tiene raíz evidente 1, pues la suma de sus coeficientes vale cero. Por lo tanto, mediante el esquema de Ruffini se obtiene un cociente de segundo grado de donde hallar las demás raíces. También se puede hacer como en el segundo o tercer caso (véanse páginas 240 y 241). En el polinomio A(x)

4 2 10 4

1 4 6 44 6 4 0

− − −− −

− −

Raíces de A(x) ={ }122, , 1−

En el polinomio B(x) Se investiga, aplicando el esquema de Ruffini, cuál de las raíces de A(x) es común con B(x).

12 32 17 21 6 13 22

12 26 4 0

− −

−

−

Raíces de B(x) ={ }1 1

6 2, , 2

Cociente ≡ – 4x2 – 6x + 4

de raíces = { }122,−

Cociente ≡ 12x2– 26x + 4

de raíces = { }16 , 2

Raíz común entre A(x) y B(x) ={ }12

39

SEGUNDO CASO

Si los polinomios son del mismo grado (tercer grado), conviene aplicar la forma general del primer teorema: se suman los polinomios multiplicados por números convenientes, de tal forma que se elimine el término de exponente tres. En dicha suma (polinomio de segundo grado) se encontrará la raíz común. EJEMPLO: Dados A(x) ≡ 6x3+ 11x2– 19x + 6 B(x) ≡ 3x3– 11x2– 24x + 20 Resolver A(x) = 0 y B(x) = 0, sabiendo que tienen una raíz en común. Se multiplica a A(x) por 1 y a B(x) por – 2, de forma que, al sumarlos, se elimine el término de exponente tres. En dicha suma se encontrará la raíz común. A(x) ≡ 6x3 + 11x2 – 19x + 6

– 2B(x) ≡ – 6x3+ 22x2 + 48x – 40

A(x) – 2B(x) ≡ 33x2 + 29x – 34

Raíces de (33x2 + 29x – 34) = { }17 2

11 3,−

En el polinomio A(x)

6 11 19 62 4 10 63

6 15 9 0

−

−

−

Raíces de A(x) ={ }1 2

2 33, ,−

En el polinomio B(x)

3 11 24 202 2 6 203

3 9 30 0

− −

− −

− −

Raíces de B(x) ={ }2

32, , 5−

Raíz común entre A(x) y B(x) = { }2

3

Cociente ≡ 3x2– 9x – 30 de raíces = { – 2, 5}

Cociente ≡ 6x2 + 15x – 9

de raíces = { }123,−

Responder «verdadero» o «falso», y justificar la

respuesta. 1) Si α y β son raíces de un

polinomio P, entonces (α + β) también es raíz de P.

2) Si α y β son raíces de un

polinomio P, entonces αβ es raíz de P.

3) Si α es raíz de los polinomios

P y Q, entonces α es raíz de (P – Q).

4) Si α es raíz de los polinomios

P y Q, entonces α es raíz del cociente de dividir P entre Q.

5) Si un polinomio tiene raíz α,

de multiplicidad mayor que 2, el polinomio es divisible entre (x – α)2.

6) Una raíz de P(x) ≡ (3x – 6)7+ (– x + 2)(x + 1) es x = 2.

40

TERCER CASO Si los polinomios que tienen raíces comunes son de diferente grado, se aplica el segundo teorema: se divide el de mayor grado entre el de menor grado y las raíces del resto (generalmente las dos), son las raíces comunes, (también se puede aplicar si son de igual grado).

EJEMPLO: Dados A(x) ≡ 6x4 + 13x3 – 32x2– 45x + 18 B(x) ≡ 3x3– x2– 12x + 4 Resolver A(x) = 0 y B(x) = 0, sabiendo que tienen raíces comunes.

x x x x x x x

x x x x x

4 3 2 3 26 13 32 45 18 3 12 44 3 26 2 24 8 2 5

+ − − + − − +

− + + − +

15x3 – 8x2 – 53x + 18

–15x3 + 5x2 + 60x – 20

–3x2 + 7x – 2 Raíces de (– 3x2 + 7x – 2) ={ }13 , 2

En el polinomio A(x)

6 13 32 45 181 2 5 9 183

6 15 27 54 0

2 12 54 54

6 27 27 0

− −

− −

− −

Raíces de A(x) ={ }3 12 33, , , 2− −

En el polinomio B(x)

3 1 12 41 1 0 43

3 0 12 02 6 12

3 6 0

− −

−

−

Raíces de B(x) ={ }1

32, , 2−

NOTA Con estos casos no se pretende mostrar todas las posibilidades para hallar las raíces comunes entre dos polinomios, sino las más comunes usadas en este curso.

Cociente = 3x + 6 de raíz = { – 2}

Raíces comunes entre A(x) y B(x) = { }13 , 2

Cociente = 6x2 + 27x + 27 de raíces = { }3

23,− −

41

12 – RAÍZ INDEPENDIENTE DEL PARÁMETRO (RIP) Sea un polinomio en la variable x, cuyos coeficientes dependen de un parámetro me . Por ejemplo:

Pm(x) = mx3 + (m2 + 1)x2 + (2m2 – 7m – 4)x + m2 – 6m – 5 Para estudiar si existe una raíz independiente del parámetro m, primero se debe reordenar el polinomio en el parámetro m, considerando a m como incógnita y cuyos coeficientes sean polinomios en x.

Términos con m2 Términos con m Términos sin m m2 x2 mx3 x2

2m2 x – 7mx – 4x

m2 – 6m – 5

Pm(x) = (x2 + 2x + 1)m2 + (x3 – 7x – 6)m + (x2 – 4x – 5)

Que Pm(x) reordenado en potencias decrecientes de m y con coeficientes

dependientes de x, tenga una o varias raíces independientes del parámetro m, significa que para ese valor de x y para cualquier valor de m, debe tener un valor numérico igual a cero.

Por lo tanto, debe ser un polinomio nulo, o sea que todos sus coeficientes deben ser iguales a cero. x2 + 2x + 1 = 0 → Se resuelve: raíces ={ – 1, – 1} x3 – 7x – 6 = 0 → Se resuelve: raíces ={ – 1, 3, – 2} x2 – 4x – 5 = 0 → Se resuelve: raíces ={ – 1, 5}

Por lo cual, aquellos valores de x que anulen simultáneamente a estas tres ecuaciones serán los valores de x que anularán el polinomio propuesto, cualquiera sea el valor del parámetro m.

Raíz independiente del parámetro = {– 1} En la mayoría de los problemas en que se pide hallar la raíz independiente del parámetro, es conveniente hacer la división por el esquema de Ruffini, no solo para proseguir con la siguiente parte del problema, sino para verificar que la RIP sea correcta.

2 2 2m m 1 2m 7m 4 m 6m 52 21 m m m 1 m 6m 5

2 2m m m 1 m 6m 5 0

+ − − − −

− − − + − − + +

− + − −

Cociente: Qm(x) = mx2 + (m2 – m + 1)x + (m2 – 6m – 5)

Hallar RIP es hallar la o las soluciones comunes de estas ecuaciones.

42

p∈ q∈ * En los números

enteros, p y q son primos

entre sí si y solo si

MCD(p,q) = {– 1,1}

13 – TEOREMA DE LA RAÍZ RACIONAL Si un número racional p

q es raíz de un polinomio no

nulo, de coeficientes enteros, y siendo p y q primos entre sí, se cumple que: el coeficiente del término de mayor exponente es múltiplo de q y el término independiente es múltiplo de p.

Hipótesis: Dado A(x) = an xn + an–1 xn–1 +... + a1 x + a0 con an $ 0

pq

es raíz de A(x) p y q son números primos entre sí.

Tesis: a0 = pi

(a0 es múltiplo de p) an = qi

(an es múltiplo de q)

Que pq

sea raíz de A(x) significa que al sustituir la x por el número pq

se obtiene

una igualdad a cero: A pq

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= 0

A pq

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= an np

q⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

+ an – 1 n 1p

q

−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

+... + a1 pq

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

+ a0 = 0

La potencia de una fracción es igual al cociente de las potencias del numerador y del denominador.

n n 1p p pa a ... a a 0n n 1 1 0n n 1 qq q

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ + + + =⎜ ⎟− −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Examen 5.º CientíficoFebrero 1987, Liceo de Solymar

Dado Pm(x) = 2x4+ (m – 10)x3– (7m + 20)x2+ 4(m – 10)x – 28(m + 4) con me 1) Verificar que Pm(x) tiene dos raíces imaginarias puras,

independientes de m, y calcularlas.

2) Calcular otra raíz entera, independiente de m.

3) Sabiendo, además, que si se divide Pm(x) entre (x2– 4) el resto es (– 72x – 216) calcular m.

4) Para m hallado, estudiar signo de P(x) t xe

Véanse los resultados en la página 480.

43

Se multiplica la igualdad por qn Se toman en cuenta los términos que son múltiplos de p.

n n 1 n 1 na .p a .p .q ... a .p.q a .q 0n n 1 1 0

p pp

p

− −+ + + + =−

i ii

i

pi

+ a0qn = 0 ? pi

= – a0qn

o lo que es lo mismo pi

= a0qn

Como por hipótesis p y q son primos entre sí, también lo son p y qn. En estas condiciones es aplicable el teorema de Euclides, del capítulo de divisibilidad numérica. Si el producto de dos números es múltiplo de p y uno de ellos es primo con p, entonces el otro es múltiplo de p. Conclusión:

a0 = pi

Partiendo nuevamente de la ecuación que resultó de hacer común denominador, pero tomando en cuenta los términos que son múltiplos de q, resulta:

n n 1 n 1 na .p a .p .q ... a .p.q a .q 0n n 1 1 0

q qq

q

− −+ + + + =−

i ii

i

anpn + qi

= 0 ? qi

= – anpn

o lo que es lo mismo, qi

= anpn

Como por hipótesis p y q son primos entre sí, también lo son pn y q. En estas condiciones es aplicable el teorema de Euclides, del capítulo de divisibilidad numérica. Si el producto de dos números es múltiplo de q y uno de ellos es primo con q, entonces el otro es múltiplo de q. En conclusión:

an = iq

Cada uno de los n primeros términos es un múltiplo de p. Como la suma de varios múltiplos de p es otro múltiplo de p, se cumple lo indicado.

Cada uno de los términos indicados es un múltiplo de q. Como la suma de varios múltiplos de q es otro múltiplo de q, se cumple lo indicado.

44

XXXVI Olimpíada Matemática Española 2000 Sean los polinomios:

P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + 1 Q(x) = x4 + cx3 + bx2 + ax + 1

Hallar las condiciones que deben cumplir los parámetros reales a, b y c (a distinto de c), para que P(x) y Q(x) tengan dos raíces comunes y resolver en ese caso las ecuaciones P(x) = 0 Q(x) = 0.

Véase el resultado en la página 480.

DESAFÍO OLÍMPICO 14 – TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ÁLGEBRA DE POLINOMIOS

Un polinomio de grado n efectivo no puede tener más de n raíces. n∈

Hipótesis: Dado P(x) = an xn + an–1 xn–1 +... + a1 x + a0 con an $ 0

Sean: α1, α2, α3,... αn raíces distintas de P(x)

Tesis: P(x) no puede tener más de n raíces. La demostración se efectúa por el absurdo, suponiendo lo contrario de lo que se quiere demostrar. O sea: ¿qué pasaría si tuviese más de n raíces? Por el teorema de descomposición factorial, con n raíces el polinomio se puede expresar como: P(x) = an (x – α1)(x – α2)(x – α3)... (x – αn) Suponiendo que αn + 1 es raíz de P(x), debería ser: P(αn + 1) = 0

P(αn + 1) = an(αn + 1 – α1)(αn + 1 – α2)(αn + 1 – α3)... (αn + 1 – αn ) $ 0

$ 0 $ 0 $ 0 $ 0 $ 0 NO puede valer cero, pues todos los factores son distintos de cero, por ser la resta de raíces diferentes. El primer coeficiente tampoco vale cero, por hipótesis.

Grado efectivo nsignifica an

$ 0

45

15 – TEOREMA PREVIO AL DE IDENTIDAD DE POLINOMIOS

Si un polinomio de grado aparente n tiene más de n raíces, es idénticamente nulo.

Hipótesis: Dado P(x) = an xn + an–1 xn – 1 +... + a1 x + a0

Sean: α1, α2, α3,... αn, αn+1 raíces distintas de P(x)

Tesis: P(x) = 0 (P(x) es un polinomio idénticamente nulo).

NOTA Es necesario notar que existe una diferencia fundamental con el teorema anterior (punto 14). Aquel teorema exigía, en la hipótesis, que el polinomio fuera de grado n efectivo, mientras que este teorema no lo hace.

Por el teorema de descomposición factorial, con las n raíces distintas el polinomio se puede expresar como: P(x) = an (x – α1)(x – α2)(x – α3)... (x – αn) Si por hipótesis αn + 1 es raíz de P(x), deberá cumplirse: P(αn + 1) = 0 P(αn + 1 ) = an(αn + 1 – α1)(αn + 1 – α2)(αn + 1 – α3)... (αn + 1 – αn) = 0

$ 0 $ 0 $ 0 $ 0 Para que este producto valga cero, uno de los factores debe ser cero. Los factores que son resta de raíces diferentes no valen cero. De modo que el único que puede valer cero es: an = 0. Entonces, el polinomio no es de grado n, sino que es de grado n – 1. P(x) = an – 1 xn – 1 +... + a1 x + a0 Por el teorema de descomposición factorial, con las n – 1 raíces el polinomio se puede expresar como:

P(x) = an – 1(x – α1)(x – α2)(x – α3)... (x – αn – 1)

Si por hipótesis αn es raíz de P(x), deberá cumplirse: P(αn) = 0

P(αn )= an – 1(αn – α1)(αn – α2)(αn – α3)... (αn – αn – 1 ) = 0

$ 0 $ 0 $ 0 $ 0

Para que este producto valga cero, uno de los factores debe ser cero. Los factores que son resta de raíces diferentes, no valen cero. De modo que el único que puede valer cero es: an – 1

= 0. Entonces, el polinomio no es de grado n – 1, sino que será de grado n– 2. De esta manera es posible seguir, sucesivamente, demostrando que todos los coeficientes valen cero, por lo cual el polinomio es un polinomio nulo.

46

16 – TEOREMA DE IDENTIDAD DE POLINOMIOS

Dos polinomios A(x) y B(x) de grados efectivos n y m que toman el mismo valor numérico para un número de valores de la variable superior al mayor de los grados, son idénticos.

Hipótesis: Dados A(x) = an xn + an – 1 xn – 1 +... + a1 x + a0 an $ 0

B(x) = bm xm + bm – 1 xm – 1 +... + b1 x + b0 bm $ 0

para x = 1 ? A(1) = B(1) Toman el mismo valor numérico para x = – 5 ? A(– 5) = B(– 5) para más de n valores de la para x = 3 ? A(3) = B(3) variable, o para más de m valores de la variable. para x = k ? A(k) = B(k) Tesis: A(x) = B(x) (son idénticos) La demostración se hace por el absurdo. Consiste en suponer que los grados pueden ser distintos: m < n o m > n, y llegar a contradicciones con la hipótesis. En toda la demostración del teorema se trabaja con un polinomio D(x), que es la resta de A(x) menos B(x). Este será de grado n o m, según sea n o m el mayor grado. D(x) = A(x) – B(x) = an xn + an – 1xn – 1+... + a1x + a0 – (bm xm +bm– 1xm – 1 +... +b1x + b0)

Examen 5.º Humanístico

Julio 1989, San Juan Bautista.

Dado P(x) = (a – 2)x3+ (b – 1)x2+ cx + d – 3

i) Hallar a, b, c y d, sabiendo que: ? ii) Hallar P(x) e indicar su grado. Véanse los resultados en la página 480.

– 3

2 1

– 2

7

0 – 1

2

P(x)

47

SUPONGAMOS QUE: n > m El polinomio D(x), resta de A(x) y B(x), tendrá la forma:

D(x) = an xn +... +(a1 – b1)x + (a0 – b0) Y como por hipótesis existen más de n valores de x, para los cuales A(x) y B(x) toman el mismo valor numérico, el polinomio D(x) valdrá cero para más de n valores de x.

para x = 1 ? D(1) = A(1) – B(1) = 0 De acuerdo con el teorema 15, para x = – 5 ? D(– 5) = A(– 5) – B(– 5) = 0 un polinomio que se anula para x = 3 ? D(3) = A(3) – B(3) = 0 para más de n valores de la variable, es un polinomio para x = k ? D(k) = A(k) – B(k) = 0 nulo. D(x) = 0 Que D(x) sea un polinomio nulo significa que todos sus coeficientes valen cero, entre ellos el an, lo cual no puede ser, pues por hipótesis an

$ 0. Por lo tanto, es absurdo suponer que n > m. SUPONGAMOS QUE: n < m El polinomio D(x), resta de A(x) y B(x), tendrá la forma:

D(x) = – bmxm +... + (a1 – b1)x + (a0 – b0) Y como por hipótesis existen más de m valores de x, para los cuales A(x) y B(x) toman el mismo valor numérico, el polinomio D(x) valdrá cero para más de m valores de la variable x.

para x = 1 ? D(1) = A(1) – B(1) = 0 De acuerdo con el teorema 15, para x = – 5 ? D(– 5) = A(– 5) – B(– 5) = 0 un polinomio que se anula para x = 3 ? D(3) = A(3) – B(3) = 0 para más de n valores de la variable, es un polinomio para x = k ? D(k) = A(k) – B(k) = 0 nulo. D(x) = 0 Que D(x) sea un polinomio nulo significa que todos sus coeficientes valen cero, entre ellos el bm, lo cual no puede ser, pues por hipótesis bm $ 0. Por lo tanto, es absurdo suponer que n < m. Si n no es mayor ni menor que m, debe cumplirse que n = m. Si los grados de A(x) y B(x) son iguales, el polinomio D(x) tendrá la forma:

D(x) = (an– bm)xm +... + (a1 – b1)x + (a0 – b0) El cual sigue siendo un polinomio nulo, por anularse para más de n valores de la variable. Y, por lo tanto, todos sus coeficientes valen cero.

48

an – bm = 0 ? an = bm an – 1 – bm – 1 = 0 ? an – 1 = bm – 1 an – 2 – bm – 2 = 0 ? an – 2 = bm – 2 a1 – b1 = 0 ? a1 = b1 a0 – b0 = 0 ? a0 = b0

A(x) = B(x) 17 – EQUIVALENCIA DE POLINOMIOS

17.1. DEFINICIÓN Dos polinomios A(x) y B(x) son equivalentes si toman el mismo valor numérico para cualquier valor de la variable. Se anota A(x) q B(x)

17.2. COROLARIO DE IDENTIDAD DE POLINOMIOS TEOREMA

Dos polinomios equivalentes son idénticos.

La afirmación es cierta, pues por definición de polinomios equivalentes, estos toman el mismo valor numérico para cualquier valor de la variable. Se cumple entonces la hipótesis del teorema de identidad de polinomios.

Y de acuerdo con la definición de polinomios idénticos, dos polinomios de igual grado que tienen iguales los coeficientes de los términos de igual exponente en x, son idénticos.

49

18 – ALGUNAS PREGUNTAS SOBRE EL TEÓRICO 1) De dos polinomios A(x) y B(x), se sabe que: gr(A(x)) = n gr(B(x)) = m n > m Determinar el grado de: i) A(x) + B(x) ii) A(x) * B(x)

iii) Si x xx x

A( ) B( )R( ) Q( )

¿Cuál es gr(Q(x)) gr(R(x))?

iv) – A(x)

2) i) Discutir el grado de: P(x)= (3b – 5)x3 – (2a + 2)x2– 5 + a + 3b – c según a, b y c. ii) Calcular a, b y c para que P(x) = 3

3) i) Definir división entera de polinomios. ii) Si el resto de dividir un polinomio P(x) entre (x – 3) es 10.

¿puede decirse que P(3) = 10? Justifique su respuesta enunciando y demostrando el teorema que utilizó. iii) Siendo P(x) = (x + 2)7+ 5(x + 1) + 8, hallar el resto de dividir P(x) entre (x + 2) 4) Completar indicando el o los teoremas aplicados en cada caso.

i) ( ) x

x53

B( )B 0

Q( )= ⇒

ii) x x

x xx

2 12

A( ) 4 4y B( ) 3( 1) 3A(1) B(1)

0 Q( )− +

≡ − ⇒ − =

iii) Se sabe que: x x

xA( ) 2

5 Q( )−

Calcular (A(2))2 y justificar.

5) i) Sea P(x)= 3x3 – x2 + ax + 3 Hallar a sabiendo que P(x) dividido entre (x – 3) da resto cero. ii) Enunciar y demostrar el teorema que utilizó en la parte anterior. 6) Si P(x) es divisible entre (x-1), cual es el valor de P(1). ¿Enuncie y demuestre el teorema que utilizó en la parte anterior.

7) Dado x xx x

A( ) 1R( ) Q( )

−m y gr(A(x)) = p con m $ 0 p $ 0

a) Discutir según m y p los grados de Q(x) y R(x). b) Si A(1) = 0 ¿Qué puede concluir de la división? ¿Qué aplicó? Demostrar.

8) Dado x x x xx x

2( 25)(2 1) ( 5)a b Q( )

− + ++

determinar el resto sin efectuar la división.

9) Aplicando el teorema del resto calcular a sabiendo que al dividir

A(x)≡ x4–2x3–ax+a2 entre B(x)≡ x3+8 se obtiene un resto R(x)≡ x2–2ax+27

50

10) Dado x xx x

T( ) ( )C( ) M( )

−β i) Indique de que grado debe ser C(x) y porqué.

ii) En el esquema anterior si β fuera raíz de T(x), que ocurriría con C(x) y porqué. iii) En el esquema anterior se sabe que γ es raíz de M(x), ¿será γ raíz de T(x).

11) En el siguiente esquema de Ruffini 4 0 6 20

2 8 16 204 8 10 0

− −

i) Determinar: dividendo, divisor, cociente y resto. ii) Definir división entera entre polinomios. iii) Efectuar A(x):B(x) siendo A(x) = 3x3– 6x – 1 B(x) = 2x – 3 12) a) Completar el siguiente esquema de Ruffini.

_ _ _ b a 4b 6a2 _ _ _ _ _ _ _ _ _

_ _ _ _ _ _ _ _ _ 0

− − +−

b) Indicar cuáles son: dividendo, divisor, cociente y resto. 13) i) Definir raíz de un polinomio.

ii) Sea P(x) = x3 – x2 – 3x + 5 ¿x = – 2 es raíz de P(x)? ¿Por qué sí o por qué no?

iii) Sea f(x) = 2x4n– 3x3n + 1 Demostrar que t n∈ f es siempre divisible entre (x – 1). Hallar la condición de n para que sea divisible entre (x + 1). 14) i) Determinar un polinomio de tercer grado de coeficiente principal = 5 y sus raíces: α = 1, β = 2, γ = 3. ii) Determinar los polinomios de tercer grado de raíces α = – 1, β = 0, γ = 4. 15) i) Deducir las relaciones entre coeficientes y raíces para un polinomio de tercer

grado. ii) Sea f(x) = 2x3 + 2x2– 20x + 16 Siendo α, β, γ las raíces de f, hallar todas sus raíces sabiendo que γ = – 2αβ 16) Sea α una raíz común de h(x) y f(x). ¿De qué otra función polinómica puede afirmar que α es raíz? Demuéstrelo. 17) Demostrar que si α es raíz de un polinomio divisor y de un polinomio resto, es

también raíz del polinomio dividendo. 18) i) Sea f(x) = x3 – 2x2 – x + 2 y g(x) = x3 – x2 – 8x + 12 Hallar la raíz común entre f(x) y g(x). ii) Enunciar y demostrar el teorema que aplicó para resolver la parte anterior.

51

19 – EJERCICIOS PROPUESTOS Véanse los resultados en la página 480. 236) i) Dado A(x) = x3 + (3b – 1)x + 13 + b indicar sus coeficientes.

ii) Dado B(x) = – x4 + (2 – a)x2 + a + 1 indicar sus coeficientes. 237) i) Dado P(x) = (2 + a)x3 + (3b – 6)x2– c + 5 hallar a, b, y c si P(x) = 0

ii) Dado Q(x) = (n – 2m)x3 + (m – n + p)x2 – p + 1 hallar m, n, y p si Q(x) = 0 238) Dado P(x) = (2 + a)x3 + 3x2 – c + 5 Q(x) = bx4 + (d – 3)x2 + 1

hallar a, b, c, y d si P(x) = Q(x) 239) Dado P(x) = 2x3 + ax2– 7x + 13, hallar a si P(1) = 6.

240) Dado P(x) = (2a – 3)x3 – (a + 2)x – 8, hallar a si P(– 2) = – 8. 241) Dado P(x) = x3 + 2ax + b – a, hallar a y b, si P(1) = 3 y P(– 2) = 6. 242) Dado P(x) = 4x3 + (3a – 1)x2 + (1 – 2a)x – 5 Hallar a sabiendo que P(x) dividido entre (x – 2) da resto 1.

243) Dado P(x) = (a – 1)x3 + (3a + 4)x2 + x – 5 Hallar a sabiendo que P(x) dividido entre (x + 1) da resto 1.

244) Sea P(x) = 2x3 + (a + 1)x2 – 3(a + b)x + 2a + 3b hallar a y b, sabiendo que P(x) dividido entre (x – 2) da resto 2, y que P(x) dividido (3x + 3) da resto 5.

245) Sea P(x) = 2x3 +ax2 + bx + c hallar a, b y c sabiendo que: P(1) = 1,

P(x) dividido x da resto – 3, P(x) dividido (2x + 2) da resto 5.

246) Hallar m para que se cumpla que: P(x) = x4 + mx2 – 5x + 1 sea divisible entre (x – 1). 247) Dado P(x) = 3x3 – (10 + m)x2 + (10 + m)x – 4 – 6m i) Hallar m para que P(x) sea divisible entre (x – 2). ii) Resolver P(x) = 0

248) i) Determinar a y b, para que P(x) = x4 – 5x3 – 7x2 + ax + b sea divisible entre (x + 1) y (x + 2).

ii) Resolver P(x) = 0 249) i) Calcular a y b para que P(x) = ax4+ bx3 + 1 sea divisible entre (x – 1)2 ii) Resolver P(x) = 0 250) Sea P(x) = x3 + (a – 1)x2 + (a + b)x + c Se sabe que: P(x) es divisible entre

(x + 1), P(2) = 15, y que P(x) dividido entre (x + 2 ) da resto – 5. i) Determinar a, b y c. ii) Resolver P(x) = 0

52

251) Sea f(x) = – 2x3 + ax2 + bx – 30

i) Hallar a y b sabiendo que f(x) dividido (x2 + 1) da cociente q(x) y resto r(x) = – 39x – 13 ii) Resolver f(x) = 0, sabiendo que f es divisible entre (x + 2).

252) i) Calcular a, b y c para que P(x) = x4+ x3 + ax2 + bx + c sea divisible entre

(x2 + x + 1) y que P(– 3) = 0. ii) Resolver P(x) = 0

253) Sea A(x) = 2x3 + ax2 + bx + c i) Hallar a, b y c sabiendo que A(– 2) = 0, y que A(x) dividido

(2x2 + 1) da resto R(x) = – 17x + 2 ii) Resolver A(x) = 0

254) Se considera el polinomio P(x) = ax3 – bx2 – x + 3

i) Hallar a y b sabiendo que dividido entre (x2– x + 2) da un cociente Q(x) y un resto R(x) tales que: Q(x) – R(x) = 6x – 9

ii) Resolver P(x) = 0

255) Se sabe que un polinomio P(x) de tercer grado dividido entre (x + 2) da resto 20, y

dividido entre (x2 + 4x) da cociente Q(x) = mx – 7 y resto R(x) = 15x + 6 i) Hallar m y P(x). ii) Resolver P(x) = 0, sabiendo que es divisible entre (x – 2).

256) i) Hallar un polinomio T(x) de tercer grado, sabiendo que:

T(– 1) = 15 x x

x

2T( ) 2

0 A( )

+ A(2) = – 1

ii) Resolver T(x) = 0

257) Se sabe que S(x), un polinomio de tercer grado, de coeficiente principal – 3, es

divisible entre (x2 + 1), y que S(– 1) = 14. i) Determinar S(x) ii) Resolver S(x) = 0

258) i) Determinar un polinomio P(x) de tercer grado sabiendo que:

es divisible entre (x2– 5x + 6) P(0) = – 6 P(1) + P(– 1) = – 34 ii) Resolver P(x) = 0

259) i) Determinar P(x) de cuarto grado sabiendo que:

? P(x) es divisible entre (x2 + 4) ? el coeficiente del término de mayor grado es 2 ? P(x) dividido (6x + 12) da resto – 120 ? P(0) = – 20 ii) Resolver P(x) = 0

260) i) Un polinomio P(x) dividido entre (x – 1) da resto 6, y dividido entre (x – 2) da resto 18. Hallar el resto de dividir P(x) entre (x – 1)(x – 2). ii) Si el cociente de la anterior división es (2x – 1), hallar P(x). iii) Resolver P(x) – R(x) = 0

53

261) i) Un polinomio es divisible entre (x – 2)(x + 3) y da resto 8 al dividirlo entre (x – 1). Hallar el resto de dividir el polinomio entre (x – 1)(x – 2)(x + 3).

ii) Si el cociente de la anterior división es (3x – 2), hallar P(x). iii) Resolver P(x) = 0. 262) i) Un polinomio P(x) dividido entre (x + 1) da resto 9, además se sabe que su

término independiente es – 8, y que – 4 es raíz del polinomio. Hallar el resto R(x) de dividir P(x) entre el producto (x + 1)(x + 4)x ii) Si el cociente de la anterior división es (– x– 2), hallar P(x). iii) Resolver P(x) – R(x) = 0 263) a) Hallar dos polinomios A(x) y B(x), sabiendo que:

A(x) + B(x) = 2x3+3x2 +4 x+1 2A(x) – B(x) = x3

– 4x – 7 b) Resolver A(x) = 0 y B(x) = 0 264) a) Hallar dos polinomios A(x) y B(x), sabiendo que:

2A(x) + B(x) = 14x3 + 47x2 + 29x – 18 A(x) – 3B(x) = – 8x2 – 10x + 12 b) Resolver A(x) = 0 y B(x) = 0, sabiendo que son divisibles entre (x + 2). 265) a) Hallar dos polinomios f(x) y g(x) sabiendo que:

f(x) – g(x) = 3x3 – 2x2 – 148x + 121 f(x) + 3g(x) = 3x3 + 2x2 – 144x – 167 b) Resolver f(x) = 0 sabiendo que es divisible entre (x + 7). Resolver g(x) = 0 266) Sean dos polinomios P(x) y Q(x), de los cuales se sabe que:

P(x) + Q(x) = 2x4– 6x – 8 mP(x) + nQ(x) = 4x4+ 5x3– 62x – 16 Q(0) = 0 ( )12P 0− =

a) Hallar los números reales: m y n y los polinomios: P(x) y Q(x). b) Resolver P(x) = 0 y Q(x) = 0 267) Dado el polinomio P(x) = (x – 2)2n – (x – 1)n + 1 Hallar el resto de dividir P(x) entre (x – 1)(x – 2) 268) Dado P(x) = (x2 – 5x + 6)n + 2 + (2x – 3)m – (3x – 1)n – (x – 2)(10x – 4)

Hallar m y n sabiendo que: (x – 2)/P(x) y (x – 3)/P(x). 269) Dado A(x) = x3 +6x2 + mx – 30 y B(x) = x3– x2– x – p i) Hallar p > 0 y m si A(p) = 0 y B(p) = 0 ii) Hallar P(x) = ((A(x) – B(x))A(x) y resolver P(x) = 0. 270) De dos polinomios A(x) y B(x). Se sabe que:

? A(x) + B(x) = 2x3 – 3x2 – 6x + 63 ? A(x) dividido (11x – 29) da cociente Q(x) y resto R. ? B(x) dividido (11x – 29) da cociente Q'(x) y resto R. ? Q(x) – Q'(x) = – x– 3 Se pide: i) Hallar A(x) y B(x). ii) Resolver: A(x) = 0 y B(x) = 0, sabiendo que admiten raíces comunes.

54

0

0

12

0

271) a) Determinar una función polinómica f, de la forma: f(x) = x3+ mx + n,

sabiendo que: f( – 5) = 0 f(3x) – f(x) = 26x3 – 40x b) Resolver f(x) = 0.

272) Dado el gráfico de la función polinómica f. i) Indicar para qué valores de x, f(x) = 0.

ii) Completar: f( ) = – 5

f( ) = – 3

signo de f( – 4) =

signo de f(4) =

273) Sea f la función polinómica de tercer grado dada por su representación gráfica. Determinar f(x) sabiendo que f(1) = – 12

274) La representación gráfica corresponde a una función polinómica de tercer grado. i) Hallar f(x). ii) Resolver f(x) = 12

275) El siguiente es el esquema del signo de una función polinómica f de cuarto grado.

0 0 0

1 2 3− − − − − − − − + + + + − − − −|| | |

−

i) Bosquejar la representación gráfica de f. ii) Si se conoce que f(0) = – 12, hallar la expresión de f(x).

55

α

0

0

0

276) Determinar f(x), expresión que define una función polinómica de tercer grado dada por su representación gráfica. 277) Sea f una función polinómica de tercer grado dada por su representación gráfica. i) Determinar f(x). ii) Hallar el signo de f(x). iii) Resolver f(x) > 0

278) i) Determinar f(x), expresión que define una función polinómica de tercer grado dada por su representación gráfica. ii) Resolver f(x) > 0

279)

Determinar f(x), expresión que define una función polinómica de tercer grado dada por su representación gráfica.

0

f(x)

56

280) i) Determinar h(x), expresión que define una función polinómica de cuarto grado dada por su representación gráfica. ii) Resolver h(x) < 24

281)

Determinar f(x), expresión que define una función polinómica de cuarto grado dada por su representación gráfica.

282) Dado: P(x) = 12x3 + 16x2 – 7x – 6

Resolver P(x) = 0, sabiendo que: αβ = 13

−

283) Dado: P(x) = 70x3 + 159x2 – 46x – 15

Resolver P(x) = 0, sabiendo que: α + β = 2710

−

284) Dado: P(x) = 36x3 – 12x2 – 5x + 1 Resolver P(x) = 0, sabiendo que una raíz es la suma de las otras dos.

285) Dado: P(x) = 4x3 + 16x2 – 9x – 36 Resolver P(x) = 0, sabiendo que tiene raíces opuestas. 286) Dado: P(x) = x3 – 7x + k Hallar k y resolver P(x) = 0, sabiendo que: α + β = 2 287) Dado: P(x) = 105x3 + 37x2 – 40x + k

Hallar k y resolver P(x) = 0, sabiendo que: α + β = 115

−

98

f(x)

0

57

288) Determinar h, k y las raíces de: P(x) = 3x4 + hx3 + kx2 + 86x – 24, sabiendo que una raíz es 2, y que otras dos son inversas.

289) Dado: P(x) = 9x4 – 12x3 – 38x2 – 20x – 3

Resolver P(x) = 0, sabiendo que: αβ = 19

y γ + δ = 2

290) Dado: P(x) = x3 – 5x2 – 12x + 36

Resolver P(x) = 0, sabiendo que: 1 1 1+ =

α β γ

291) Dado: P(x) = x3 + kx2 – 24x + 64 Hallar k y resolver P(x) = 0, sabiendo que: α(β + γ) = – 16 292) Sea P(x) = 2x3 + (h – 5)x2 – 13x + h Hallar h > 0 y resolver P(x) = 0, sabiendo que αβ = 1 293) Sea P(x) = x4 – 2x3 + hx2 + kx + 12 Hallar h, k y resolver P(x) = 0, sabiendo que: α + β = – 2(γ + δ) – 1 δγ = 2 294) a) Determinar un polinomio P(x) de tercer grado sabiendo que P(0) = 3, el producto de sus raíces es 3

2− , la suma 52 y P(2) = – 9

b) Expresar P(x) en forma factorial. 295) a) Determinar un P(x) de cuarto grado, de coeficiente principal 1, sabiendo que P(2) = – 12, P(x) es divisible entre (x – 1), dos de sus raíces son opuestas y la suma de las otras dos da 1; el producto de las raíces es 6. b) Resolver P(x) = 0. 296) En cada caso resolver A(x) = 0 y B(x) = 0 sabiendo que tienen una o dos raíces

comunes. i) A(x) = 6x3 – 13x2 + x + 2 B(x) = 2x3 – x2 – 18x + 9

ii) A(x) = 3x3 – 17x2 + 18x + 8 B(x) = 2x3 – 9x2 + 7x + 6

iii) A(x) = 2x3 + x2 – 13x + 6 B(x) = 2x3 – 15x2 + 31x – 12

iv) A(x) = 2x4 – 3x3 – 14x2 + 9x + 18 B(x) = 2x3 – 3x2 – 18x + 27

v) A(x) = x4 – 2x3 – 5x2 + 22x – 24 B(x) = x3 – 6x2 – 13x + 42 297) Dados los polinomios: A(x) = 2x4 – (2k + 3)x3 + (3k – 3)x2 + (3k + 2)x – 2k

B(x) = x3 – (k + 3)x2 + (3k + 2)x – 2k i) Resolver A(x) = 0 y B(x) = 0, sabiendo que tienen raíces comunes. ii) Siendo α y β las raíces comunes. Hallar k para que B(x) tenga todas sus raíces distintas y α = 2β.

58

298) Dado Pm(x) = – 3mx3 + (3 – 2m)x2 + (7m + 5)x – 2(m + 1) i) Hallar las raíces independientes del parámetro m.

ii) Hallar m para que tenga raíz: 32

299) Dado Pm(x) = (m2 – 3)x3 – (m + 1)x2 – (m2 – 2m – 1)x – m + 3 i) Hallar la raíz independiente de m.

ii) Hallar m > 0 para que la suma de las raíces dependientes de m sea 13

−

300) Dado Pm(x) = m2x4 +(– 5m2+ m + 1)x3 + (6m2 – 2m – 6)x2 + (– 9m + 11)x + 18m – 6 i) Hallar las raíces independientes de m. ii) Hallar m para que el producto de las raíces dependientes de m sea – 4. iii) Para el menor valor de m hallado, resolver P(x) = 0. 301) Dado Pm(x) = 8x3+ (27 – 16m)x2 + (8m2 – 30m + 25)x + 3m2 – 9m + 6

i) Hallar todas las raíces de P(x), sabiendo que tiene una raíz independiente de m. ii) Determinar todos los valores de m para los cuales el polinomio tenga una raíz doble.

302) Dado Pm(x) = m2x4 + (2m2 + 3m)x3 – (4m2 – 5m)x2 – (5m2 + 16m)x – 6m2 – 12m i) Hallar las raíces independientes de m. ii) Determinar m > 0 y resolver P(x) = 0, para que P(x) admita raíz – 1. 303) Dado Pm(x) = x4+ (4 – 3m)x3+ (2m2– m – 9)x2– (4m2– 20m+ 22)x – 4m2+ 14m – 10 i) Se sabe que tiene dos raíces independientes de m. Hallarlas. ii) Determinar m para que las otras dos raíces sean opuestas. iii) Resolver P(x) = 0. 304) Hallar las raíces racionales de:

i) A(x) = 2x3– 3x2– 11x + 6 ii) B(x) = 4x4 + 24x3 + 45x2 + 41x + 21

iii) C(x) = x3– 5x2 – 18x + 72 iv) D(x) = 7x5+ 18x4 – 2x3 – 3x2

59

CAPÍTULO 10 POLINOMIOS Página 204) ¿Será cierto? a) Verdadero. b) Falso. c) Falso, es la suma de los grados. d) Falso, no necesariamente.

60

Página 205) Hablemos de grado 1) menor que 5, o sin grado. 2) grado 1 o 0 3) grado 1 o 0, o sin grado.

Página 219) Haciendo Ruffini 1) a = – 3, b = – 12, α = 3

2) Dividendo = 2x3– 3x2– 11x + 6 Divisor = x – 3

Cociente = 2x2+ 3x – 2 Resto = 0

Página 220) Los de antes sí que eran exámenes a = 6 m = 7

Página 221) Los de antes sí que eran exámenes f(x) = (x – 3)2(x + 3)

g(x) = (x2 – 9)(x2+ x – 11)

Página 228) Resolver Si A(x) tiene raíz α, B(x) tiene raíz, 1α

Se puede demostrar, haciendo valor numérico.

Página 233) Completar 1) Es de grado 4. 2) Es – 8. 3) Es 6.

4) Es divisible entre: (x + 3), (x + 3)2, (x – 2), (x – 5), y otros. 5) Es cero. 6) Son: {– 3, 2, 5}.

Página 238) ¿Son primos o no? En los números reales, depende del discriminante. Si Δ > 0, son compuestos, si Δ < 0, son primos. En los números complejos, siempre son compuestos.

Página 239) Hablemos de divisores 1) (x + 3) 2) (2x – 1)

Página 240) ¿Será cierto? 1) Falso. 1) Falso. 3) Verdadero, primer teorema de raíces comunes. 4) Falso. 5) Verdadero. 6) Verdadero.

Página 242) Los de antes sí que eran exámenes 1) {x / x∈ , x2+ 4 = 0} 2) x = 7 3) m = 1

4) x0 0

Signo de P ( )51 72

+ + + + + − − − − − − − + + + + + +⎮ ⎮−

Página 245) Desafío Olímpico b = – 2 c = – a Raíces comunes = {– 1, 1}

x2 2

a a 4 a a 4Raíces de P( ) 1, 1, ,

2 2

− + + − − += −

x2 2

a a 4 a a 4Raíces de Q( ) 1, 1, ,

2 2

+ + − += −

Página 246) Los de antes sí que eran exámenes i) a = 2 b = 1 c = 0 d = 3 ii) P(x) = 0 no tiene grado.

236) i) coeficiente de x3 = 1 ii) coeficiente de x4 = – 1

coeficiente de x2 = 0 coeficiente de x3 = 0

coeficiente de x1 = 3b – 1 coeficiente de x2 = 2 – a

coeficiente de x0 = 13 + b coeficiente de x1 = 0

coeficiente de x0 = a + 1

237) i) a = – 2 b = 2 c = 5 ii) m = 1 n = 2 p = 1

238) a = – 2 b = 0 c = 4 d = 6 239) a = – 2 240) a = 2

61

241) a = – 2 b = 4 242) a = – 3 243) a = 1

244) a = – 5 b = 6 245) a = 6 b = – 4 c = – 3 246) m = 3

247) i) m = 0 ii) Raíces de P(x) = {2}

248) i) a = 29 b = 30 ii) Raíces de P(x) = {– 2, – 1, 3, 5}

249) i) a = 3 b = – 4 ii) Raíces de P(x) = {1}

250) i) a = 2 b = – 1 c = 1 ii) Raíces de P(x) = {– 1}

251) i) a = – 17 b = – 41 ii) Raíces de f(x) = { }35, 2, 2− − −

252) i) a = – 8 b = – 9 c = – 9 ii) Raíces de P(x) = {– 3, 3}

253) i) a = – 4 b = – 16 c = 0 ii) Raíces de A(x) = {– 2, 0, 4}

254) i) a = 1 b = 3 ii) Raíces de P(x) = { – 1, 1, 3}

255) i) m = 2 P(x) = 2x3+ x2– 13x + 6 ii) Raíces de P(x) = { }13, , 22

−

256) i) T(x) = – 2x3+ 3x2– 4x + 6 ii) Raíces de T(x) = { }32

257) i) S(x) = – 3x3 + 4x2– 3x + 4 ii) Raíces de S(x) = { }43

258) i) P(x) = 2x3– 11x2+ 17x – 6 ii) Raíces de P(x) = { }1 , 2, 32

259) i) P(x) = 2x4+ 9x3 + 3x2 + 36x – 20 ii) Raíces de P(x) = { }15,2

−

260) i) R(x) = 12x – 6 ii) P(x) = 2x3 – 7x2 + 19x – 8 iii) Raíces de (P(x) – R(x)) = { }1, 1, 22

261) i) R(x) = – 2x2– 2x + 12 ii) P(x) = 3x4– 2x3 – 23x2 + 30x iii) Raíces de P(x) = { }53, 0, , 23−

262) i) R(x) = – 5x2 – 22x – 8 ii) P(x) = – x4 – 7x3 – 19x2 – 30x – 8 iii) Raíces de (P(x) – R(x)) = { – 4, – 2, – 1, 0}

263) a) A(x) = x3 + x2 – 2 B(x) = x3 + 2x2 + 4x + 3 b) Raíces de A(x) = {1} Raíces de B(x) = {– 1}

264) a) A(x) = 6x3 + 19x2 + 11x – 6 B(x) = 2x3 + 9x2 + 7x – 6

b) Raíces de A(x) = { }3 12, ,2 3− − Raíces de B(x) = { }13, 2, 2− −

265) a) f(x) = 3x3 – x2 – 147x + 49 g(x) = x2 + x – 72

b) Raíces de f(x) = { }17, , 73− Raíces de g(x) = {– 9, 8}

266) a) m = 2 n = – 3 P(x) = 2x4 + x3 – 16x – 8 Q(x) = – x3 + 10x

b) Raíces de P(x) = { }1, 22− Raíces de Q(x) = { }10, 0, 10−

267) R(x) = – 2x + 4 268) n = 0 m = 3

269) i) m = – 1 p = 2

ii) P(x) = 7x5+ 42x4– 35x3– 378x2+ 28x + 840 Raíces de P(x) = {– 5, – 3, – 2, 2, 2}

270) i) A(x) = x3– 7x2– 5x + 75 B(x) = x3+ 4x2– x – 12

ii) Raíces de A(x) = {–3, 5, 5} Raíces de B(x) = { }1 17 1 173, ,2 2

− − − +−

271) i) m = – 20 n = 25 ii) Raíces de f = { }5 55,2

±−

272) i) f(x) = 0 para x = –5 x = – 3 x = – 1 x = 2 ii) f(1) = – 5 f(0) = – 3 signo de f(– 4) = – signo de f(+ 4) = +

62

273) f: f(x) = 2x3 – 2x2 – 12x 274) i) f: f(x) = 2x3 – 14x + 12 ii) Solución = { }7, 0, 7−

275) f: f(x) = – 2x4 + 6x3 + 6x2 – 14x – 12 276) a = 2 α = 3 f: f(x) = 2x3 – 10x2 – 18x + 90

277) i) a = –1 β = 2 f: f(x) = – x3 + 3x + 2 ii) Solución = {x /x ∈ , x < 2}

278) i) a = – 3 β = 4 f: f(x) = – 3x3 + 36x + 48 ii) Solución = {x /x ∈ , x < 4}

279) f: f(x) = – 2(x + 3)(x + 1)(x – 1) f: f(x) = – 2x3 – 6x2 + 2x + 6

280) i) a = 4 β = 2 h: h(x) = 4x4 – 2x3 – 34x2 + 32x + 24 ii) Solución = {x / x ∈ , – 3.08 < x < 0, 1 < x < 2.59}

281) f: f(x) = 2(x + 3)2(x – 5)5 f: f(x) = 2x4 – 8x3 – 52x2+ 120x + 450

282) Raíces de P(x) = { }3 1 2, ,2 2 3− − 283) Raíces de P(x) = { }5 31, ,2 5 7− −

284) Raíces de P(x) = { }1 1 1, ,3 6 2− 285) Raíces de P(x) = { }3 34, ,2 2− −

286) k = – 6 Raíces de P(x) = {– 2, – 1, 3} 287) k = – 12 Raíces de P(x) = { }32 2, ,3 7 5− −

288) h = – 4 k = – 41 Raíces de P(x) = { }14, , 2, 33−

289) Raíces de P(x) = { }1 11, , , 33 3− − − 290) Raíces de P(x) = {–3, 2, 6}

291) k = – 6 Raíces de P(x) = {– 4, 2, 8} 292) h = 6 Raíces de P(x) = { }13, , 22−

293) h = – 7 k = 8 Raíces de P(x) = {– 2, – 1, 2, 3}

294) a) P(x) = 2x3– 5x2– 4x + 3 b) ( )x x x x1P( ) 2( 1) ( 3)2

≡ + − −

295) a) P(x) = x4– x3– 7x2+ x + 6 b) Raíces de P(x) = {– 2, – 1, 1, 3}

296) i) Raíces de A(x) = { }1 1, , 23 2− Raíces de B(x) = { }13, , 32−

ii) Raíces de A(x) = { }1, 2, 43− Raíces de B(x) = { }1, 2, 32−

iii) Raíces de A(x) = { }13, , 22− Raíces de B(x) = { }1, 3, 42

iv) Raíces de A(x) = { }32, 1, , 32− − Raíces de B(x) = { }33, , 32−

v) Raíces de A(x) = {–3, 2} Raíces de B(x) = {–3, 2, 7}

297) i) Raíces de A(x) = { }11, , 2, k2− Raíces de B(x) = { }1, 2, k ii) k = 4

298) i) RIP = { }12,3

− ii) m = 2 299) i) R.I.P. = {1} ii) m = 3

300) i) RIP = {2, 3} ii) m = – 1 m = 14

iii) Raíces de P(x) = { – 2, 2, 2, 3}

301) i) RIP = { }38− Raíces dependientes = {(m – 1), (m – 2)} ii) m = 13

8 m = 5

8

302) i) RIP = {– 3, 2} ii) m = 1 Raíces de P(x) = {– 3, – 3, 1, 2}

303) i) RIP = {x / x2– 2x – 2 = 0} ii) m = 2 iii) Raíces de P(x) = {– 1, 1}

63

304) Raíces de A(x) = { }12, , 32− Raíces de B(x) = { }37 ,2 2

− −

Raíces de C(x) = { }4, 3, 6− Raíces de D(x) = { }30, 0, 7

64