(jorge)

Los filtros son unas de las piezas clave de los sistemas de comunicaciones.

Los principales tipos de filtros LC en uso se llaman de acuerdo con el nombre de

quien los descubrió y desarrollo el análisis y método de diseño de cada uno. Los

filtros de mayor uso son Butterworth, Chevyshev, Caurer (elíptico) y Bessel. Cada

uno puede utilizarse en las formas constante k y derivando m.

APROXIMACIÓN BUTTERWORTH

Una de las aproximaciones más simples, conocidas y empleadas es la del

ingeniero británico S. Butterworth en 1930, quien propone como función generadora

de la amplitud a: f (η ,ω )=ωn, de donde se desprende que su respuesta en amplitud

y resulta ser:

|H (ω)|= 1

√1+ f (η ,ω )2= 1

√1+ω2 η (3.1)

Probablemente esta se la aproximación mas natural, puesto que incluso se da

de manera automática, como parte de la respuesta del famoso circuito RC o RL de

primer orden, al igual que muchas de las otras aproximaciones, que tienen como

punto común esta coincidencia.

Características

La amplitud tiene respuesta plana máxima.

La amplitud es monotónicamente decreciente.

|H (ω=0 )|=1, independientemente del orden.

|H (ω=1 )|=1

√2 , independientemente del orden.

Fig. 3.1.- Características de la aproximación Butterworth.

La primera de las características se refiere al hecho de que la pendiente con

la cual parte del origen la familia de curvas propuesta es completamente horizontal y

a medida que aumenta el orden se aproxima cada vez mas al tipo de respuesta del

filtro ideal.

La segunda de las características asume que, a partir de una frecuencia

cualquiera que se elija, la amplitud siempre será menor para cualquier frecuencia

situada a la derecha de ésta, y mayor para cualquier frecuencia situada a su

izquierda.

La tercera y cuarta característica se cumplen siempre e independientemente

del orden.

La ultima, en particular requerirá de una modificación en la propuesta original

(para cumplir con el requisito de amplitud con el filtro prototipo), incluyendo un

corrimiento en frecuencia de forma que corresponda su amplitud respecto al filtro

prototipo, incluir una frecuencia que normalice la aproximación respecto del prototipo

ωN :

|H (ω )|= 1

√1+( ωωN )2 η

(3.2)

Frecuencia de normalización

El aparente conflicto existente entre las características intrínsecas de la

aproximación y las requeridas por el prototipo (puesto que el riple superior no

necesariamente tiene que estar situado en la posición propuesta por la

aproximación) puede ser resuelto incluyendo un corrimiento en la grafica original

hacia la derecha; es decir, un escalamiento previo a una determinada frecuencia que

permita conciliar ambas, una frecuencia de normalización ωN . Asumiendo que la

amplitud es monotónicamente decreciente, tenemos que:

|H (ω=1 )|= 1

√1+(ω=1ωN )

2 η=A1

(3.3)

ωN=η√ A1

√1−A21

En el entendido de que ωN ¿1¿, la grafica será recorrida a la derecha en tal

forma que A1¿0 .7071¿ en la frecuencia de corte normalizada. Mientras que si ωN ¿¿,

la grafica será recorrida a la izquierda y A1¿¿ en la frecuencia de corte

normalizada; es decir, la amplitud seguirá siendo de 0.7071 en ωN , pero en la

frecuencia de corte normalizada (ωc=1 rad / s )se tendrá la amplitud requerida.

Fig. 3.2- Corrimiento al incluir una frecuencia de prescalamiento

Calculo del Orden

El planteamiento para cumplir el requerimiento del filtro prototipo en términos

de la aproximación propuesta (y considerando que debe ser prescalada, puesto que

dicho corrimiento afecta directamente la amplitud en la frecuencia de supresión, ver

figura (3.3) es que su amplitud tiene que ser mayor o igual al riple superior en la

banda de paso, y menor o igual al riple inferior en la banda de supresión:

A1≤1

√1+( ωc

ωN)2 n

Y

A2≥1

√1+( ωs

ωN)2 n

Al resolver simultáneamente ambas desigualdades para n, tenemos:

η≥

logb ( A2√1−A12

A1√1−A22

)logb (ωs

ωc)

En ella, el logaritmo puede ser en la base que resulte mas conveniente y en

términos de los parámetros de normalización definidos previamente, resulta ser:

η≥logb (δ )logb ( λ )

=log10 (δ )log10 ( λ )

=In (δ )In ( λ ) (3.4)

Fig. 3.3- Efecto del prescalamiento en el cálculo del orden.

Como el orden debe ser entero, y se parte de dos desigualdades, cualquier

fracción excedente siempre debe ser aproximada al inmediato entero siguiente (o

analizar si las especificaciones toleran un reajuste para el orden inmediato anterior),

lo cual significa que las especificaciones necesariamente serán rebasadas (salvo el

remoto caso en que resulte ser exacto). Esto es, o bien la amplitud del riple inferior

es menor a la especificada para la frecuencia de supresión, o la banda de transición

es mas angosta (considerando fijo el riple inferior).

Es importante recalcar que la frecuencia de normalización queda incluida al

momento del cálculo del orden, y debe ser incluida posteriormente en la función de

red para que dicha función corresponda contra el filtro prototipo.

Igualmente, en la función de red deberá incluirse dicha frecuencia antes

(razón del nombre de Pre-escalamiento) de la transformación en frecuencia

requerida, puesto que estas dos ultimas actúan a partir del filtro prototipo (respecto

de ω=1 ), razón por la que si no se efectúa antes, no cumplirá las especificaciones

originales del filtro.

Determinación de las Raíces

El orden del filtro determina directamente el número de raíces (polos) en el

plano de Laplace que tendrá la función de red:

ρk=σk+ jωk , donde

σ k=−Sen ( (2k−1 )π2η )

ωk=Cos( (2k−1 ) π

2η ) (3.5)

Con: K= 1, 2,3,…, n

Estas describen el lugar geométrico de un círculo de radio 1:

σk2+ω

k2=1

Y lo dividen en 2n partes iguales (considerando únicamente la parte estable

del plano s, ver figura (3.4), teniendo n polos.

Fig. 3.4- lugar geométrico de las raíces para varios ordenes

Obtención de la función de red.

La función de red para la aproximación de Butterworth pertenece a la

categoría de solo polos (en función de que no tiene ceros):

H (s )= 1D(s )

D( s )=( s−ρ1 )(s−ρ2)( s−ρ3 ). . .(s−ρn )

D( s )={( s+1 ) [(s2−2σ1s+1) . .. (s2−2σ rs+1) ] n, impar

D( s )={( s2−2σ1 s+1 )[ .. . (s2−2σr s+1) ] n, par

D (s )=an sn+an−1s

n−1+an−2sn−2+.. .+a0

Sus coeficientes presentan la siguiente simetría:

a0=an=1a1=an−1a2=an−2⋮

ak=Cos ((k−1 )π

2n )Sen(kπ2n )

(ak−1 )

(3.6)

1,2,3 , .. . ,

n−12 n, impar

Con: k={

1,2,3 , .. . ,

n2 n, par

Tabla 3.5- Coeficientes de Butterworh para ordenes del 2 al 10

Finalmente, tendrá que ser prescalada para cumplir con el prototipo a:

H N (s )= ωnN

sn+ωN1an−1s

n−1+ωN2an−2 s

n−2+. ..+ωNn

En la figura 3.6 se muestran los efectos de la distribución de las raíces (polos)

de la aproximación Butterworth en la función de red:

H ( s )= 1

s3+2 s2+2 s+1

Figura 3.6- Efectos de las raíces en al aproximación.

EJEMPLOS

Procedemos a calcular la función de red con las formulas del capitulo, el

orden con (3.4) y la frecuencia de normalización con (3.3):

η≥In (15 ,119 )In(2 .5 )

=10 .5⇒η=11

ωn=11 √ 0.75

√1−0 .752=1 .0115

Por ultimo, para la función de red, como no se encuentra en la tabla (llega

hasta orden 10), empleamos (3.6):

a0=a11=1

a1=a10=cos ((1−1 )π2(11) )sen( π

2(11))(1 )=7 .0267

a2=a9=cos((2−1 )π2(11) )sen( 2 π2(11))

(7 .0267 )=24 .6872

a3=a8=cos ((3−1 )π2(11) )sen ( 3 π2(11))

(24 .6872)=57 .0206

a4=a7=cos( (4−1) π2(11) )sen ( 4 π2(11))

(57 .0206 )=95 .9376

a5=a6=cos ((5−1 )π2(11) )sen ( 5 π2 (11))

(95 .9376)=123.2443

E incluyendo la frecuencia de normalización resulta:

H ( s )= 1 .134

s11+7 .107 s10+25 .26 s9+59.01 s8+100.4 s7+130 .5 s6+132 s5+103.9 s4+62 .48 s3+27 .36 s2+7 .877 s+1.134

Si resultaran de interés las raíces de la aproximación, usando (3.5):

p1=−Sen ((2(1)−1)π2(11) )+ jCos ((2(1)−1)π2(11) )=−0 .1423+0 .9898 j

p2=−Sen((2(2 )−1)π2(11) )+ jCos ((2(2 )−1) π2(11) )=−0. 4154+0 .9096 j

p3=−Sen((2(3 )−1) π2(11) )+ jCos( (2(3 )−1 )π2(11) )=−0 .6549+0 .7557 j

p4=−Sen ((2(4 )−1 )π2(11) )+ jCos ((2(4 )−1)π2(11) )=−0 .8413+0 .5406 j

p5=−Sen((2(5 )−1) π2(11) )+ jCos((2 (5 )−1 )π2(11) )=−0 .9595+0 .2817 j

p6=−Sen((2(6 )−1 )π2(11) )+ jCos ((2(6 )−1) π2(11) )=−1.0000+0 .0000 j

p7=−Sen((2(7 )−1 )π2(11) )+ jCos ((2(7 )−1)π2(11) )=−0.9595−0 .2817 j

p8=−Sen((2(8 )−1 )π2(11) )+ jCos ((2(8 )−1)π2(11) )=−0.8413−0 .5406 j

p9=−Sen((2( 9)−1 )π2(11) )+ jCos ((2(9 )−1) π2(11) )=−0.6549−0 .7557 j

p10=−Sen( (2 (10 )−1 )π2(11) )+ jCos ((2(10)−1)π2(11) )=−0 .4154−0 .9096 j

p11=−Sen ((2(11)−1) π2(11) )+ jCos((2(11)−1 )π2(11) )=−0 .1423−0 .9898 j

Por ultimo calculamos el orden con (3.4) y la frecuencia de prescalamiento

con (3.3):

n≥ln (22.89)ln (3)

=2.85→n=3 ωn3√ 0.9√1−0.92

=1.273

Para obtener la función de red, ahora empleamos (3.2)

H (s )H (−s )=[ 1

√1+( ω1.273 )

6 ]2

= 1

1− s6

4.263

=(√ 4.263 )2

4.263−s6

P1= -1.2734 + 0.0000j

P2= -0.6367 + 1.1028j

P3= -0.6367 – 1.1028j

P4= 0.6367 + 1.1028j

P5= 0.6367 – 1.1028j

P6= 1.2734 - 0.0000j

H (s )H (−s )= 2.065

(s¿¿3+2.547 s2+3.243 s+2.065)∗2.065(−s3+2.547 s2−3.243 s+2.065)

¿

Ulloa,(2001),34-48

REFERENCIAS

Ulloa, R. (2005), Filtros (Aproximación y Síntesis), México:Editorial

Universidad Iberoamericana A.C.

4 DISEÑO DE FILTROS (azarel)

4.1.3 APROXIMACION CAUER: LA CARACTERISTICA ELIPTICA.

“El filtro Cauer produce todavía mayor atenuación o relación de pendiente que los filtros Chebyshev y mayor atenuación fuera de la banda de paso. Sin embargo, esto se logra con un rizo aun mayor en la banda de paso así como fuera de ésta.”

Frenzel, 2003:83.

“Un filtro elíptico o filtro de Cauer es un tipo de filtro eléctrico. Su nombre se debe al matemático alemán Wilhelm Cauer, una de las personas que más ha contribuido al desarrollo de la teoría de redes y diseño de filtros. El diseño fue publicado en 1958, 13 años después de su muerte.

Están diseñados de manera que consiguen estrechar la zona de transición entre bandas y, además, acotando el rizado en esas bandas. La diferencia con el filtro de Chevyshev es que este sólo lo hace en una de las bandas.

Figura.- Ejemplo de una grafica de filtro de Cauer.

Respuesta de un filtro de Cauer suelen ser más eficientes debido a que al minimizar

1

1

v

la zona de transición, ante unas mismas restricciones consiguen un menor orden. Por el contrario son los que presentan una fase menos lineal.”

Oppenheim, 1999:466.

“Una forma de reducir la banda de transición, es decir, lograr una caída más abrupta de la banda pasante a la rechazada, es distribuir los ceros de transmisión a lo largo del eje imaginario. Una solución de este tipo es la ofrecida por W. Cauer utilizando funciones elípticas. Aunque la deducción de la función de transferencia es muy complicada, su cálculo puede realizarse con un algoritmo relativamente simple de programar”

Regidor, 1997:3-4

“La aproximación elíptica proporciona rizos en las dos bandas mediante el empleo de funciones racionales cuyo numerador y denominador exhiben la propiedad de igual rizo como se ilustra en la figura.

Fig.- Espectro de magnitud de un filtro pasa-bajas elíptico.

El cuadrado de la función de magnitud de esta aproximación puede describirse con la expresión:

|H (v )|2= 1

1+L2(v)= 1

1+є2Rn2(v , δ)

En esta expresión Rn❑(v , δ) es la función racional de Chebyshev, є2describe el

rizo en la banda de paso, y el parámetro adicional δ proporciona una medida de la magnitud del rizo en la banda de supresión. Es evidente que Rn

❑(v , δ)debe ser una función racional de la forma A(v2) /B(v2), donde el denominador y el numerador

satisfacen restricciones casi optimas y tienen propiedades semejantes a las de los polinomios de Chebyshev.

Esto implica que, para un orden n dado,

1. Rn❑(v , δ) debe exhibir un comportamiento oscilatorio con extremos iguales en

la banda de paso ¿), con todos sus n ceros dentro de la banda de paso.2. Rn

❑(v , δ) debe exhibir un comportamiento oscilatorio, con extremos iguales en la banda de supresión ¿), con todos sus n polos dentro de la banda de supresión.

3. Rn❑(v , δ) debe tener una simetría par si n es par, e impar si n es impar.

También debe imponerse la restricción adicional, que sirve para simplificar,

Rn❑( 1v , δ

)∝ 1Rn

❑(v , δ)

Esta expresión proporciona una relación reciproca entre los polos y ceros de Rn

❑, y sugiere que si se puede encontrar una función de esta forma con un comportamiento de igual rizo en la banda de paso 0<v<1, entonces esto dará automáticamente como resultado un comportamiento de igual rizo en el intervalo reciproco 1<v<∞, el cual representa a la banda de supresión. La forma funcional de Rn

❑(v , δ) que cumple con estos criterios puede describirse en términos de las posiciones de sus raíces vk como

Rn❑ (v , δ )=C vN ∏

k=1

∫ (n/2)v2−v k

2

v2− Bv k2

donde ∫(x) es la parte entera de x , vk es una raíz del numerador, las constantes B y

C se escogen para asegurar que Rn❑ (v , δ )=1 para n par, y Rn

❑ (v , δ )=0 para n impar, y N=0 para n par, y N=1 para n impar.

Los filtros elípticos producen el filtro de mínimo orden para un conjunto de especificaciones dado, al permitir la presencia de rizos en las bandas de paso y supresión. Para un orden dado, exhiben la región de transición más pronunciada, pero la sola presencia de los rizos también hace que la no linealidad de la fase sea mayor y que las características del retraso empeoren.

Una alternativa al método de prueba y error para establecer Rn❑ (v , δ ) es

encontrar una transformación v=g∅ que transforme Rn❑, que es un polinomio en v,

en una función periódica en ∅ de la misma manera que v=cos∅ transforma el polinomio de Chebychev T n(v ) en la función periódica cos (n∅ ) con su carácter de igual rizo. Este tipo de transformación requiere el uso de integrales elípticas y funciones elípticas, que a continuación se mostraran.

La integral elíptica de primera clase, u, es una función de dos argumentos, la amplitud, ∅ , y el parámetro m, y se define como:

u (∅ ,m )=∫0

∅

(1−msen2 x )−1/2dx

La dependencia de u con respecto ∅ se visualiza mejor si se toma la derivada

dud∅

=(1−msen2 x )−1/2

Como m=0, se tiene el siguiente resultado trivial:

dud∅|

m=0=1

❑

u (∅ ,0 )=∅

Si la amplitud de ∅ es igual a π /2 , entonces lo que se tiene es la integral

elíptica completa de primera clase, u( π2m ), denotada por K (m ) , la cual ahora es solo

una función de m:

K (m )=u( π2 ,m)=∫0

π2

(1−msen2 x)−1/2dx

El modulo k está relacionado con el parámetro m por m=k2. La integral elíptica completa complementaria de primera clase se denota como K ˈ (m ). Si k ˈ2=1−k2 y mˈ=1−m, esta integral se define como

K ˈ (m )=K (mˈ )=u( π2 ,m ˈ)=∫0

π2

(1−mˈ sen2 x)−1 /2dx

Por lo tanto, se tiene que K ˈ (m )=K (1−m). La cantidad mˈ se conoce como

parámetro complementario, y k ˈ❑es el modulo complementario.

Las funciones elípticas jacobianas también contienen dos argumentos, uno de ellos es la integral elíptica u (∅ ,m ), y el otro, parámetro m. Algunas de estas funciones son

Senoel í ptico jacobianosn (u ,m )=sen∅

Cosenoel í ptico jacobianocn (u ,m )=cos∅

Diferencia el í ptica jacobianodn (u ,m )=d∅du

0 5 10 15

Seno elíptico jacobiano en función para

1

0.5

0

-0.5

-1

En realidad las funciones elípticas jacobianas son doblemente periódicas para argumentos complejos. En particular sn (u ,m), donde u es complejo, tiene un periodo

real 4 K❑ y un periodo imaginario 2K ˈ. Las funciones elípticas jacobianas se parecen a las funciones trigonométricas e incluso satisfacen algunas de sus identidades.

La figura ilustra el seno elíptico jacobiano, sn (u ,m). Como puede observarse, su comportamiento es similar al del seno trigonométrico, pero es las aplanado y alargado. Los grados de elongación (conocido como periodo) y de aplanamiento dependen del parámetro m . para m=0 , sn (u ,m) es idéntico a sen(∅ ). Para u

pequeño, sn (u ,m) se parece mucho al seno y cuando m aumenta, se vuelve más plano y elongado, y alcanza un periodo infinito cuando m=1. Esta característica de sn (u ,m) de cambiar de forma al cambiar m es la que proporciona un medio para

caracterizar a la función Rn❑.

Figura.- Función seno elíptica jacobiana.

La transformación para v en la función Rn❑ (v , δ )que permite alcanzar el

comportamiento deseado de igual rizo tiene la forma v=sn [α K (m ) ,m ] , donde K (m ) es

la integral elíptica completa de primera clase. La trasformación v=sn [α K (m ) ,m ] producirá Rn

❑ (v , δ )

Como una función elíptica jacobiana de la forma

Rn❑ (v , δ )=C vN ∏

k=1

∫ (n/2)v2−v k

2

v2− Bv k2

donde N={ 0 , n par1 ,n impar

En este caso, N=0 para n par y N=1 para n impar. La constante C se obtiene

si se observa que Rn❑ (v , δ )=1 cuando v=1

rads

, lo que conduce a

C= ∏k=1

∫ (n/2)1−pk

2

1−zk2 k=1,2 ,…,n

Los polos pk2 y los ceros zk

2 son imaginarios, y sus ubicaciones dependen del

orden n. También se encuentran relacionados por la relación reciproca

pk❑=

vszk, k=1,2,…,∫( n

2)

Donde vs es el primer valor de v❑ parael que Rn❑ (v , δ )=δ y

z={ sn [ 2kK (m )n

,m ] , n imparsn [ (2k−1 )K (m)

n,m ]n par

dondek=1,2 ,…,∫( n2)

Donde sn es la función seno elíptica jacobiana, K (m )=K (1 /vs2) es la integral

elíptica completa de primera clase, y δ es la magnitud máxima de las oscilaciones

para |v|>vs.

La función racional Rn❑ (v , δ ) entonces toma la forma

Rn❑ (v , δ )=C vN ∏

k=1

∫ (n/2) v2−[ sn(uk ,m)]❑2

v2−[ vs/ sn(uk ,m) ]❑2 , dondeuk={(2k−1 )K (m)/n ,n par

2kK (m) /n ,n impar

Nótese que Rn❑ (v , δ ) obedece la relación reciproca Rn

❑ (v , δ )=δ /R (vsv, δ). La

frecuencia v paso de la banda paso máxima (donde Rn❑ (v , δ )=1) está dada por

v paso={sn [ (2k+1)K (m )n

,m ] , nimparsn[ (2kK (m))

n,m ]n par

dond e k=1,2 ,…,∫( n2)

Las frecuencias vsupresió nde la banda de supresión máxima (donde Rn❑ (v , δ )=δ)

están relacionados con v paso por

vsupresió n=vsv paso

Al igual que las funciones elípticas jacobianas, Rn❑ (v , δ ) también es

doblemente periódica. Los periodos no son independientes, pero están relacionados por el ordenn de la siguiente manera:

n=K ( 1vs )K ˈ(1 /δ2)

K ˈ ( 1vs )K (1 /δ2)=K ( 1vs )K❑(1−1/δ 2)

K❑(1− 1vs )K (1/δ 2)

Ahora veremos el procedimiento de diseño de filtros elípticos. Se inicia

normalizando el límite de la banda de paso a la unidad para obtener v p=1rads

y

vs=

ωs

ωp

rad

s.

Los parámetros ε y δ se obtienen de la relación de atenuación

A (v )=10 log [1+ε2 Rn2 (v , δ ) ]

En el límite de la banda de paso v=v p=1rads

,Rn❑ (v , δ )=1 y se obtiene

Ap=A (v p )=10 log [1+ε2 ] oε2=100.1 A p−1

Notese que si ω p corresponde a la frecuencia de potencia media (Ap=3.01dB),

entonces ε 2=1. En el límite de la banda de supresión,v❑=v srads

,Rn❑ (v , δ )=δ, y se

obtiene:

A s=A (vs )=10 log [1+ε2δ 2 ] oδ2=(10¿¿0.1 A s−1)/ε2 ¿

A continuación se evalúa el orden n a partir de la relación:

n=K ( 1vs )K ˈ(1 /δ2)

K ˈ ( 1vs )K (1 /δ2)=K ( 1vs )K❑(1−1/δ 2)

K❑(1− 1vs )K (1/δ 2)

Si resulta que n no es un entero, se elige el mayor entero que esté cerca de n. sin embargo, para asegurar que el diseño satisface de manera exacta las especificaciones de manera exacta las especificaciones de la banda de paso, se debe hallar (de manera iterativa) un valor de la frecuencia vs de la banda de

supresión y de K ( 1vs ) que satisfaga de manera exacta la relación anterior para el

entero n seleccionado.

Para encontrar la función de transferencia prototipo Hp (s )=KP(s)/Q(s ), se

comienza con |H (v )|2.

|H (v )|2= 11+є2 Rn

2(v ,δ )=

∏❑

∫ (n/2)

(v2−pk2)2

∏❑

∫ (n/2)

(v2−pk2)2+(ϵCvn)2 ∏

❑

∫ (n /2 )

(v2−pk2)2

Con p❑2 →−s2, se obtiene Hp (s )Hp (−s ) en la forma

Hp (s )Hp (−s )=∏❑

∫ (n /2)

(s2−pk2)2

∏❑

∫ (n/2)

(s2−pk2)2+(−s)N ϵ2C2 ∏

❑

∫ (n/2)

(s2−zk2)2

, donde N={ 0 , n par1 , n impar

El numerador P(s) se obtiene a partir de las raíces simétricas complejas

conjugadas ± j pk❑

y son iguales a:

P (s )= ∏k=1

∫ (n /2)

(s2−pk2)❑

El denominador Q(s) se obtiene de las raíces que se encuentran en el semiplano izquierdo de

Q (s )Q (−s )=0=∏k=1

∫( n2 )(s2−pk

2 )2+(−s )N ϵ 2C2∏k=1

∫ ( n2 )(s2−zk

2 )2

donde N={ 0 , n par1, n impar

Para n>2, el cálculo de las raíces de esta ecuación es tedioso y a menudo requiere del uso de métodos numéricos. Para tener una ganancia unitaria de dc, se

escoge K=Q (0)/ [P (0 ) √1+ε2 ] para n par.”

Ambardar; 2002:427-431.

REFERENCIAS

Oppenheim, A.(1999). Tratamiento de señales en tiempo discreto. Madrid: Pearson Prentice Hall.

Ambardar, S. (2002). Procesamiento de señales analógicas y digitales. Mexico, D.F:Thomson.

Frenzel, L. (2003), Sistemas electrónicos de comunicaciones, Texas: Ed. Alfaomega.