UNIVERSIDAD DEL ATLANTICOFACULTAD DE CIENCIAS ECONMICASPROGRAMA DE ECONOMIACALCULO MULTIVARIADO

Mag. Erwin Maury Mancilla

DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR

Si z = f(x, y), entonces no slo z es una funcin de x e y, tambin fx y fy lo son. Por lo que podemos derivar fx y fy para obtener derivadas parciales de segundo orden de f. simblicamente:fxx significa (fx)x, es decir, primero se deriva la funcin f con respecto a x, luego se deriva fx con respecto a x fxy significa (fx)y, es decir, primero se deriva la funcin f con respecto a x, luego se deriva fx con respecto a y fyx significa (fy)x, es decir, primero se deriva la funcin f con respecto a y, luego se deriva fy con respecto a xEn trminos de la notacin :

Ejemplo 1: Encontrar las cuatro derivadas parciales de segundo orden de f (x, y) = x2y + x2y2Solucin: Primero hallamos fx(x, y) = 2xy + 2xy2, entonces:fxx(x, y) = 2y + 2y2; fxy(x, y) = 2x + 4xyTambin como fy(x, y) = x2 + 2x2y, entonces:fyy(x, y) = 2x2 fyx(x, y) = 2x + 4xyLas derivadas fxy y fyx se llaman derivadas parciales mixtas o cruzadas. Observe en el ejemplo anterior que fxy(x, y) = fyx(x, y). Bajo ciertas condiciones las derivadas parciales mixtas de una funcin son iguales; esto es, el orden de la derivada es irrelevante. Puede suponerse que ste es el caso para todas las funciones que consideremos.Ejemplo 2: Encontrar el valor de si w = (2x + 3y + 4z)3Solucin: = 3(2x +3y + 4z)2 (2) = 6(2x +3y + 4z)2. = 12(2x +3y + 4z) (3) = 36(2x +3y + 4z) = 72x + 108y + 144z = 144.Por lo tanto, = 144EJERCICIOSEn los ejercicios siguientes encuentre las derivadas parciales indicadas:f(x, y) = 4x2y, fx(x, y), fxy(x, y)f(x, y) = 4x3 + 5x2y3 3y; fx(x, y), fxx(x, y)f(x, y) = 9e2xy; fy(x, y), fyx(x, y), fyxy(x, y); En los ejercicios siguientes hallar el valor indicado:Si f(l, k) = 5l3k6 lk7, encuentre fkkl(8, 1)Si f(x, y, z) = z2(3x2 4xy3), encuentre fxyz(1, 2, 3)Si f(x, y) = y2ex + ln(xy), encuentre fxyy(1, 1)

REGLA DE LA CADENASea z = f(x, y) donde x, y son funciones de r y s dadas por x = x(r, s) y y = y(r, s). Si f, x y y tienen derivadas parciales continuas entonces z es una funcin de r y s, y:

y

La regla de la cadena puede extenderse. Por eejemplo, supongamos que z = f(v, w, x, y) y que v, w, x, y y son todas funciones de r, s y t. Entonces, si se suponene ciertas condiciones de continuidad , puede considerarse a z como una funcin de r, s y t, por lo que tenemos:

y

Consideremos ahora el caso en que z = f(, y) tal que x = x(t) y y = y(t). Entonces:

Usamos el smbolo porque z puede consiederarse como una funcin de una sola variable tEjemplo 1: si w = f(x, y, z) = 32y + xyz 4y2z3,, donde x = 2r 3s, y = 6r + s y z = r s, determine y Ejemplo 2: dado z = exy, x = r 4s y y = r s, encontrar en trminos de r y s.

La regla de la cadena tambin puede usarse para evaluar las derivadas totales de funciones cuyas variables independientes estn relacionadas de varias maneras

Si u = f(x, y, z), en la cual x = x(r, s), y = y(r), z = z(y), entonces:

EJERCICIOS

En los problemas del 1 al 12 encuentre las derivadas indicadas usando la regla de la cadena

1. z = 5x + 3y, x = 2r + 3s, y = r 2s.

2. z = x2 + 3xy + 7y3, x = r2 2s, y = 5s2.

3. z = ex + y, x = t2 + 3, y = ;

4. , x = t2 + 3t + 4, y = t3 + 4.

5. w = x2z2 + xyz + yz2, x = 5t, y = 2t + 3, z = 6 t.

6. w = ln(x2 + y2 + z2), x 2 3t, y = t2 + 3, z = 4 t; dw/dt

7. z = (x2 + xy2)3, x = r + s + t, y = 2r s;

DERIVADAS IMPLCITAS

Un ecuacin en x, y, z no necesariamente define a z como funcin de x e yPor ejemplo, en la ecuacin z2 x2 y2 = 0(1)si despejamos a z de la ecuacin obtenemos:z = z = cada una de las cuales define a z en funcin de x y de yAunque la ecuacin (1) no expresa de manera explcita a z como funcin de x e y, puede considerarse que expresa a z implcitamente como una de dos funciones diferentes de x e y. ntese que la ecuacin tiene la forma f(x, y, z) = 0, donde f es una funcin de tres variables. Cualquier ecuacin de la forma f(x, y, z) = 0 puede considerarse que expresa a z de manera implcita como un conjunto de posibles funciones de x e yAdems podemos encontrar a y directamente de la forma f(x, y, z) = 0, a travs de las frmulas siguientes:

Ejemplo1: La ecuacin x 2y 3z + z2 = 2, define a z como una funcin de x e y en un entorno del punto (x, y, z). Calcular y Solucin:

Entonces,

EJERCICIOS1. Hallar siendo

(a) x2 + 3xy 2y2 + 3xz + z2 = 0(b) 3x2 + 4y2 5z2 = 60(c) x2 + y2 + z2 +2xy + 4yz + 8zx = 20(d) x + 3y + 2z = lnz(e) lnx + nly lnz = ey

2. Halle las derivadas parciales indicadas para los valores dados de las variables(a) xz + xyz 5 = 0; , x = 1, y = 4, z = 1(b) xz2 + yz 12 = 0; , x = 2, y = - 2, z = 3(c) ; , x = 2, y = 2, z = 6(d) ln(x + z) + xyz = x2ey + z; , x = 0, y = 1, z = 1(e) ; , r = 0, s = 1, t = 0