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8/9/2019 3matema_operaciones

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NMERO

Y OPERACIONES


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Los saberes que se ponen en juego

Para que los alumnos puedan aprender los saberes incluidos en los ncleos, enla escuela tendremos que proponer situaciones de enseanza en las que sepongan en juego distintos aspectos de estos. Se trata de que los conocimientosmatemticos se introduzcan en el aula asociados a los distintos problemas quepermiten resolver, para luego identificarlos y sistematizarlos.

Usar nmeros naturales de una, dos, tres, cuatro y ms cifras a travs de sudesignacin oral y representacin escrita al comparar cantidades y nmeros.

Identificar regularidades en la serie numrica y analizar el valor posicionalen contextos significativos al leer, escribir, comparar nmeros de una, dos, tres,cuatro y ms cifras, y al operar con ellos.

Usar las operaciones de adicin, sustraccin, multiplicacin y divisin condistintos significados.

Realizar clculos de sumas, restas, multiplicaciones y divisiones adecuandoel tipo de clculo a la situacin y a los nmeros involucrados, y articulando losprocedimientos personales con los algoritmos usuales para el caso de lamultiplicacin por una cifra.

Usar progresivamente resultados de clculos memorizados (incluyendo los

productos bsicos) y las propiedades de la adicin y la multiplicacin pararesolver otros.

Explorar relaciones numricas* y reglas de clculo de sumas, restas,multiplicaciones y divisiones, y argumentar sobre su validez.

Elaborar preguntas o enunciados de problemas y registrar y organizar datosen tablas y grficos sencillos a partir de distintas informaciones.

Nmero y Operaciones

EJE

* Las relaciones numricas que se exploren estarn vinculadas con los conocimientos disponiblessobre el sistema de numeracin y/o las operaciones.


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Propuestas para la enseanza

En este apartado, intentamos precisar el alcance y el sentido de los conocimien-tos que se priorizan en el Eje Nmero y Operaciones a partir de algunos ejem-plos de actividades para desarrollar en el aula y de producciones de los nios.

Adems, presentamos posibles secuencias de actividades que apuntan alaprendizaje de un contenido y muestran el tipo de trabajo matemtico propues-to desde el enfoque explicitado al inicio del Cuaderno, en Ensear Matemtica

en el Primer Ciclo.

Para conocer el sistema de numeracinPara que los alumnos comprendan la representacin de cantidades en el siste-ma de numeracin decimal, en la escuela ha sido habitual presentar las nocionesde unidad, decena y centena, en relacin con la idea de agrupamiento: para obte-ner una decena, se agrupan las unidades de a 10; luego, las decenas se renenen grupos de 10 para obtener una centena, y as sucesivamente. Este modo depresentacin, realizado durante los primeros aos de la escolaridad, exige que losalumnos, adems de comprender que en cada posicin el valor de la cifra es dife-

rente, entiendan que 10 veces 10 es 100, y 10 veces 100 es 1000, lo que con-lleva la idea de multiplicacin.

Otra manera de abordar la enseanza de las caractersticas del sistema denumeracin que se desarroll en los Cuadernos para el aula: Matemtica 1 y2 propone enfrentar a los alumnos con diversos problemas que les permitanexplorar distintos tramos de la serie numrica, encontrando regularidades yestableciendo relaciones entre los nmeros. Para establecer estas regularida-des, es decir, las caractersticas que se repiten en un determinado tramo, los chi-cos tendrn que considerar el valor posicional de las cifras.

Este tipo de abordaje, en los primeros aos de la escolaridad, considera lasideas y el modo de pensar las escrituras numricas de los nios como anclaje parael aprendizaje. Por ejemplo, para interpretar, escribir o descomponer los nmeros,los chicos se apoyan, por un lado, en los conocimientos numricos ya alcanzados,pero tambin extraen informacin del modo como se nombran los nmeros. Porejemplo, trescientos cuarenta y ocho puede asociarse palabra por palabra a laescritura 300, 40 y 8, y por lo tanto, a la descomposicin aditiva 300 + 40 + 8.

Entre 2o y 3er aos/grados, cuando los alumnos comienzan a trabajar con lasmultiplicaciones, tambin podrn reconocer que trescientos es lo mismo que 3veces 100 o que cuatro miles 4 veces 1000.


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As, al estudiar las regularidades, consiguen arribar a conclusiones talescomo: cuatrocientos se combina con uno, dos, tres, hasta nueve y allcomienzan los nmeros del cuatrocientos diez, cuatrocientos once, cuatro-cientos doce; o tambin: cuatrocientos se puede combinar con diez, vein-te hasta noventa y ah empiezan los del quinientos; o bien: cuandoagregamos 100 a un nmero, cambia la cifra de la centena y cuando agrega-mos 1000 a un nmero, cambia la cifra de la unidad de mil.

Para que los nios puedan descubrir regularidades, es necesario que les pre-

sentemos situaciones que involucren intervalos de la serie numrica suficiente-mente amplios, de modo que sea evidente cmo cambia la escritura al iragregando 1, 10 o 100, etc. Cuando se avanza en la enseanza segn el ordenclsico, podra pensarse que algunos problemas como: qu ao ser el queviene si ahora estamos en el 2006?no pueden ser resueltos por los chicos sisolo se ha trabajado con la numeracin hasta 1000; sin embargo, ellos puedenarribar a una respuesta que dar cuenta de sus hiptesis acerca de las reglasque organizan el sistema de numeracin.

En 2o y 3er aos/grados, los alumnos trabajan el pasaje de la descomposicin

aditiva a la descomposicin aditiva y multiplicativa de los nmeros. Por ejemplo,pasar de pensar el 3472 como 3000 + 400 + 70 + 2, a hacerlo tambin como3 x 1000 + 4 x 100 + 7 x 10 + 2.

As, la resolucin de situaciones que requieran que los alumnos comparen uordenen cantidades y nmeros, expliciten y analicen las regularidades de nues-tro sistema de numeracin, y compongan o descompongan aditiva y multiplica-tivamente los nmeros, ir dando lugar poco a poco a que, adems de la idea devalor posicional, puedan construir la nocin de las sucesivas agrupaciones de a10. Este proceso suele demandar varios aos de la escolaridad hasta que losnios logren una comprensin ms acabada de las reglas del sistema.

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Eje

Nmeroy Operaciones

En este ao/grado, se cierra una etapa. As, las competencias numricas desa-rrolladas en aos anteriores ahora se profundizan y extienden a nmeros de mayorcantidad de cifras. Los nmeros que se incluyen en las actividades que se presen-tan podrn referirse, al igual que en los aos anteriores, a cantidades o posicionesy tambin podrn ser estudiados por s mismos. En 3o tambin se podrn referir amedidas con distintas unidades, como ocurre al expresar la duracin de un tiem-po de un partido de ftbol en horas o minutos: 3

4de hora, 45 minutos.1

Plantear situaciones para comparar y ordenar cantidades y nmeros

En particular, en relacin con la posibilidad de comparar nmeros u ordenarlosse tratar que los alumnos generalicen la conclusin de que el mayor es el quetiene ms cifras y, si se trata de nmeros con la misma cantidad de cifras, el msgrande es el que tiene la cifra de mayor valor absoluto en el lugar que corres-ponde al mayor orden.

Para trabajar la comparacin entre nmeros2 y la distancia de un nmerodado a otro, sugerimos el planteo de situaciones en las que, por ejemplo, a par-tir de 4 dgitos distintos, se deba formar el nmero mayor, el menor, o bien unnmero que est entre dos nmeros dados, como ocurre en el siguiente juego. 3

Lo ms cerca posible : calcular la distancia entre dos nmerosMateriales: por grupo, cartas o cartones con los 10 dgitos.Organizacin de la clase: se divide en grupos de a 3 o 4 alumnos.Desarrollo: el objetivo es formar un nmero que est lo ms prximo posiblea un nmero dado. Para ello, el docente escribe un nmero de 3 cifras en elpizarrn y reparte a cada grupo 3 cartas (o cartones) con dgitos. Una posibleconsigna puede ser: con los tres nmeros que reciben, tienen que armarel nmero que les parece que est ms cerca del que escrib en el pizarrn.Cuando cada grupo haya armado el suyo, los escribirn en el pizarrn y

entre todos averiguaremos qu grupo gan. El grupo que gana se anotaun punto. Luego de varias rondas, gana el equipo que obtuvo ms puntos.

1 El nmero como medida se desarrollar en el apartado Para diferenciar magnitudes y medirdentro del Eje Geometra y Medida de este Cuaderno.

2 Recomendacin de lectura: se sugiere la consulta de las situaciones que permiten compararnmeros desarrolladas en Cuaderno para el aula: Matemtica 2.

3 En el apartado Los contextos, se explicita el valor que tienen los juegos y su adecuada gestindidctica como actividad para que los alumnos desarrollen el tipo de trabajo matemtico que seexplicita en Ensear matemtica en el Primer Ciclo.


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Veamos un caso: supongamos que el nmero al que deben aproximarse es el400, y los distintos grupos forman con sus cartas los nmeros 501, 414, 478,250 y 387. Lo primero que debe someterse a discusin es si, efectivamente,cada grupo arm el nmero ms cercano posible de acuerdo con las cartas querecibi. Por ejemplo, quienes formaron el 250 porque recibieron los cartones0, 5 y 2 deberan haber armado el 520, debido a que est ms cerca de 400,como peda la consigna.

Luego, para saber quin es el ganador, hay que decidir cul de los nmeroses el ms cercano, es decir, habr que compararlos entre s. En este momento,

trataremos de promover el anlisis de los procedimientos utilizados por los chi-cos. En algunos casos habrn realizado una comparacin segn la regla de mirarprimero la cifra de mayor valor y as siguiendo. Por ejemplo, esto funciona para501 y 478 que son ambos mayores que 400: el ms cercano es el 478 porque501 es mayor que 478. Gan el 478. En cambio, este procedimiento no sirvepara comparar el 387 y el 414, dado que uno es mayor y otro menor que 400.En este caso, debe calcularse entonces la distancia de cada uno de ellos con el400. Para hacerlo, en este ao/grado, es probable que algunos chicos utilicenla suma, en forma exacta o aproximada. Por ejemplo: como 387 + 3 = 390, y390 + 10 = 400, la distancia entre 387 y 400 es 13. En el caso de que ningn

alumno utilice la resta, el docente podr mostrarlo como otro procedimientoposible de resolucin.

Con el fin de que los chicos pongan en juego algunos de los procedimientosutilizados por sus compaeros, podemos repetir la misma actividad en otras ins-tancias. Al hacerlo, tambin se puede cambiar la organizacin de la clase paraque jueguen en forma ms autnoma. Por ejemplo, los alumnos se agrupan dea 4. En cada ronda, de forma rotativa, un chico ser el encargado de escribir elnmero de 3 cifras y repartir las 3 cartas a los integrantes de su grupo. Luegode que sus compaeros armen los nmeros, tendr que anotar los puntajes

correspondientes a cada jugador, pudiendo asignar 100 puntos al ms cercanoy 50 al que le sigue.

Otro juego para comparar nmeros como el que planteamos a continuacinpermite, en su primera versin, diagnosticar los conocimientos disponibles delos alumnos y, en la segunda, abordar el trabajo con nmeros de ms cifraspropio de 3o.

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Eje

Nmeroy Operaciones

Dados mgicos :4 componer y comparar nmerosMateriales: 3 dados y una tabla para registrar los valores obtenidospor cada alumno.Organizacin de la clase: se divide en grupos de 4 participantes.Desarrollo: se les explica a los chicos que uno de los dados sersupermgico: en l, cada punto valdr 100 puntos. Otro ser mgico: cadapunto valdr 10 puntos. El tercer dado ser comn, y cada punto valdr 1.En su turno, cada jugador lanza los 3 dados; cuando ve qu nmerossalieron, decide cul dado ser supermgico, cul mgico y cul comn.

A continuacin, escribir el puntaje obtenido en una tabla como la que sepresenta ms abajo. Luego, le toca el turno al jugador siguiente, quien tiralos dados, y as sucesivamente.Al trmino de cada vuelta, gana el jugador que haya obtenido el mayor puntaje.

Sugerimos que todos los jugadores que participen de la actividad lleven elcontrol del juego anotando y calculando los puntajes obtenidos por l y por suscompaeros en una tabla de resultados. En la siguiente tabla, se registra elpuntaje obtenido con cada dado de acuerdo con si es supermgico, mgicoo comn. El docente podra ejemplificar en el pizarrn cmo anotar.

Jugador Dado Dado Dado Total Espacio para usar si

supermgico mgico comn necesitan hacer clculos

Ana 400 40 3Nico 600 40 3Martn 600 50 5

Para calcular los puntajes obtenidos en cada tirada, los alumnos suelen utilizardiferentes estrategias: contar, calcular o asociar directamente el puntaje total. Por

ejemplo, Ana podra contar los puntajes de un dado: 100, 200, 300, 400; luego 10,20, 30, 40 para el otro dado, y 3 para el ltimo; aunque tambin podra hacer la sumaconvencional: 400 + 40 + 3 o apoyarse en la multiplicacin 4 x 100 + 4 x 10 + 3.

4 Adaptacin de una secuencia extrada de Secretara de Educacin de la Ciudad de Buenos Aires(2004), Material para el docente, Proyecto conformacin de grados de aceleracin,Buenos Aires, Secretara de Educacin de la Ciudad de Buenos Aires.


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Es esperable que despus de jugar varias veces, algunos alumnos ya no nece-siten escribir clculos en la ltima columna y puedan concluir que esas cuentasno son necesarias porque el puntaje te lo dicen las palabras. Efectivamente, sise leen los nmeros obtenidos en cada dado siguiendo el orden de los cienes,dieces y sueltos, por ejemplo cuatrocientos, cuarenta y tres, es posible averi-guar el total, que es cuatrocientos cuarenta y tres. Esta conclusin pueda ser uti-lizada por los nios con posterioridad, tambin fuera del contexto del juego.

Para mantener el inters de los chicos en cada actividad, es conveniente pro-ducir algunas modificaciones en las consignas. Con estos pequeos cambios,

los alumnos podrn avanzar en los contenidos numricos o bien utilizar nuevosprocedimientos, siempre a partir del objetivo propuesto.

Para avanzar se puede jugar una segunda versin agregando un dado en elque cada uno de sus puntos valga 1000 y se llame extramgico. El maestroevaluar, en funcin de los conocimientos numricos de los chicos, si es posiblecomenzar a jugar directamente con cuatro dados.

Para utilizar nuevos procedimientos, se puede cambiar a la siguiente consig-na: el alumno que forma el menor nmero posible gana. En este caso, los chi-cos podrn arribar a la conclusin: si gana el mayor, convendr elegir como

extramgico el dado con mayor valor; si gana el menor, convendr que esedado ocupe el lugar del dado comn.

Plantear situaciones para analizar regularidadesEl trabajo con las regularidades de la serie puede continuar con el mismo recur-so utilizado en 1er y 2o aos/grados: los cuadros con 100 nmeros. En esteao/grado, suelen ubicarse los nmeros de 1 en 1 para cualquier centena de laserie, por ejemplo, desde 600 a 699 o 1200 a 1299; o los nmeros de 10 en10 para un intervalo de mil nmeros como el que va de 4000 a 5000; o tam-bin los nmeros de 100 en 100, por ejemplo, desde 0 hasta 9900.

Esta propuesta de organizacin de los nmeros resulta til para analizar las regu-laridades, pues permite focalizar qu parte de la escritura numrica cambia cuandola cantidad representada aumenta de a 1: la cifra de las unidades cambia desde 0hasta 9, mientras que la de las decenas se mantiene igual 10 nmeros seguidosantes de cambiar al siguiente recorriendo, tambin de 0 a 9, etctera.

En los casos en que vara de a 10, mientras se mueve en la misma fila, semodifica el lugar de la cifra de las decenas, y si se desplaza hacia el casillero deabajo se modifica el lugar de las centenas. Por ltimo, si el cuadro est armadode 100 en 100, se modifica en las filas el lugar de las centenas y en las colum-nas, el lugar de la unidad de mil.

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Eje

Nmeroy Operaciones

Segn cual sea el dominio de la serie de 1 a 1000 alcanzado por los alumnos,para este tema se pueden retomar las propuestas planteadas en el Cuaderno

para el aula: Matemtica 2. Por medio de las actividades all incluidas, se podrapuntar a que los alumnos reconozcan la escritura de los nmeros en cifras, ala localizacin de estas escrituras en tablas organizadas de 1 en 1 y de 10 en10, y a que puedan tomar conciencia del diferente rol que cada cifra juegaen el significado total del nmero escrito. Los valores posicionales pueden sernombrados, al modo en que lo hacen los alumnos, como miles, cienes, dieces

y unos, introduciendo paulatinamente los nombres convencionales.

Es posible fijar los contextos apropiados para cada cuadro numrico deacuerdo con el intervalo que se desee trabajar. As, los nmeros de 1 a 1000 sepueden identificar, por ejemplo, con los libros en una biblioteca, con las pginasde un volumen de una coleccin de varios tomos, con las fotos del fichero de unfotgrafo que tiene su material clasificado o con la numeracin de las casas que,segn la localidad en que se desarrolle la propuesta, tendr nmeros solo conmiles, solo con cienes, o con ambos.

Luego de que los alumnos interacten con los diferentes cuadros de nmeros,es esperable que comiencen a establecer ciertas relaciones que expresarn enfrases como: en esta columna todos los nmeros terminan en 600; en esta filatodos comienzan con 23; todas las filas terminan en nmeros que tienen un 9en algn lugar; si bajo un casillero es lo mismo que sumar 100; si subo uncasillero es lo mismo que quitar 1000, etctera.

2000 2010 2020 2030 2040 2050 2060 2070 2080 2090

2100 2110 2120 2130 2140 2150 2160 2170 2180 2190

2200 2210 2220 2230 2240 2250 2260 2270 2280 2290

2300 2310 2320 2330 2340 2350 2360 2370 2380 2390

2400 2410 2420 2430 2440 2450 2460 2470 2480 2490

2500 2510 2520 2530 2540 2550 2560 2570 2580 2590

2600 2610 2620 2630 2640 2650 2660 2670 2680 2690

2700 2710 2720 2730 2740 2750 2760 2770 2780 2790

2800 2810 2820 2830 2840 2850 2860 2870 2880 2990

2900 2910 2920 2930 2940 2950 2960 2970 2980 2990

3000


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Es conveniente dejar colgado en la pared del aula un cuadro de 10 en 10 y/ode 100 en 100, para que los alumnos puedan recurrir a ellos buscando informa-cin para escribir nmeros. Esto puede suceder espontneamente o bien podre-mos orientarlos con preguntas como: qu nmeros de este cuadro te puedenayudar para escribir 1243?o dando ms informacin, como: cul de estosnmeros se sealan el 1000, el 1100 y el 1200 te sirve para saber cmose escribe 1243?

Dado que es posible cambiar el intervalo numrico sobre el que se trabaja, estetipo de actividades suele adaptarse fcilmente a los diferentes conocimientosde partida de los alumnos. Por esta adaptabilidad tambin es recomendable suimplementacin en el plurigrado, ya que nos permite presentar problemas ade-cuados para distintos grupos, con actividades y materiales similares.

Algunas propuestas de actividades para continuar el trabajo con estos cua-

dros pueden ser:

Complet los casilleros marcados. Ubic el 3440 y los 8 nmeros que lo rodean. Escrib los cinco nmeros que siguen al 4880. Complet la columna de los que terminan en 70.

50 Matemtica 3

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0 100 200 300 400 500 600 700 800 900

1000 1100 1200 1300 1400 1500 1600 1700 1800 1900

2000 2100 2200 2300 2400 2500 2600 2700 2800 2900

3000 3100 3200 3300 3400 3500 3600 3700 3800 3900

4000 4100 4200 4300 4400 4500 4600 4700 4800 4900

5000 5100 5200 5300 5400 5500 5600 5700 5800 5900

6000 6100 6200 6300 6400 6500 6600 6700 6800 6900

7000 7100 7200 7300 7400 7500 7600 7700 7800 7900

8000 8100 8200 8300 8400 8500 8600 8700 8800 8900

9000 9100 9200 9300 9400 9500 9600 9700 9800 9900

10000


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8110

8290

5000 5020 5030

5100 5140

5150 5230

5450

5520

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Eje

Nmeroy Operaciones

En este caso, el cuadro solo incluye la informacin que corresponde al iniciode las filas y las columnas. Para escribir el nmero en un casillero pintado, porejemplo el 3520, los chicos pueden establecer relaciones entre los nmeros queencabezan la fila: est en la fila del tres mil quinientos y la columna de los queterminan con 20.

Ya avanzados en el trabajo, podemos presentar aun menos informacin, pro-porcionado solo fragmentos de cuadros para completar a partir de dos datos

correctos, con consignas tales como:

Complet los casilleros remarcados.

3000 3010 3020 3030 3040 3050 3060 3070 3080 3090

3100

3200

3300

3400

3500

3600

3700

3800

3900

4000

Encontr los nmeros intrusos sabiendo que los nmerosremarcados son correctos.


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Cuando se trabaje con estos fragmentos de cuadros, es importante que loschicos descubran cmo es el cuadro que se les presenta y cul es la regulari-dad que siguen los nmeros en l. Tambin se sugiere hacer hincapi en que setrata de un recorte de un cuadro de 10 x 10, y no de un cuadro de 5 x 5, puesesto los podra llevar a errores al completar los casilleros.

Aunque en 3o es poco probable que ocurra, si al ampliar el campo numricoalgn chico realiza escrituras del tipo 300040092 o 3000492, para el 3492,

recomendamos la lectura del apartado Plantear situaciones para leer y escri-bir nmeros en el Cuaderno para el aula: Matemtica 2. All se explica por qulos chicos escriben de esta manera los nmeros y se exploran las distintasintervenciones que podramos desplegar los docentes para ayudarlos a supe-rar esas dificultades.

La siguiente actividad permite que los alumnos lean y encuadren nmerosentre otros dos nmeros de un cuadro, al tiempo que establecen relacionesentre todos los nmeros incluidos en l.

Tres en lnea: encuadrar nmeros en distintos intervalosMateriales: 3 tarjetas con cada uno de los 10 dgitos por grupo. Fichas, tapitasu otros elementos pequeos. Cuatro cartones de nmeros como los siguientes.

52 Matemtica 3

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0 100 200 300 400

1000 1100 1200 1300 1400

2000 2100 2200 2300 2400

3000 3100 3200 3300 3400

4000 4100 4200 4300 4400

500 600 700 800 900

1500 1600 1700 1800 1900

2500 2600 2700 2800 2900

3500 3600 3700 3800 3900

4500 4600 4700 4800 4900

5000 5100 5200 5300 5400

6000 6100 6200 6300 6400

7000 71000 7200 7300 7400

8000 8100 8200 8300 8400

9000 9100 9200 9300 9400

5500 5600 5700 5800 5900

6500 6600 6700 6800 6900

7500 7600 7700 7800 7900

8500 8600 8700 8800 8900

9500 9600 9700 9800 9900


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Organizacin de la clase: pueden armarse grupos de 5 alumnos. Uno delos integrantes es el encargado de cantar los nmeros, y cada uno de losotros 4 jugadores recibe un cartn. En el centro de la mesa se colocan lasfichas que se utilizan para marcar.Desarrollo: en cada ronda, luego de mezclar el mazo de cartas, elencargado saca 4 cartas, las coloca una al lado de la otra formando unnmero y canta el nmero. Los otros participantes analizan si el nmerocantado se encuentra entre dos casilleros de una misma fila de su cartn y,en ese caso, colocan una ficha entre los mismos. Contina formando otros

nmeros con las cartas hasta que alguno de los jugadores gane al ubicar 3fichas en una misma hilera en sentido horizontal o vertical.

Otras actividades frecuentes que permiten analizar las regularidades del sis-tema de numeracin son la que involucran el completamiento de escalas ascen-dentes y descendentes a partir de un nmero dado, de 1 en 1, de 10 en 10, de100 en 100, de 1000 en 1000, de 15 en 15, etc. Segn como se planteen,estas actividades pueden resultar largas o tediosas, y llevar a que los alumnosse distraigan o pierdan el inters. Adems, si durante el proceso de completa-miento los chicos no tienen indicios de cmo lo van realizando, suelen arrastrar

errores en los nmeros siguientes. Por ello, sugerimos que las actividades decompletamiento abarquen un tramo corto de la serie y tengan nmeros interca-lados como informacin de control.

Complet los espacios que faltan.

1400 1435 1575

6500 6000 4500

Para resolver esta actividad, los chicos tienen que analizar los nmeros dados,determinar si avanzar o retroceder y de a cunto. Los nmeros intercalados lespermitirn evaluar si los completamientos que realizan son correctos.

Plantear situaciones para componer y descomponer nmerosPara continuar el trabajo de composicin y descomposicin de nmeros aborda-do en 2o ao/grado, y que los alumnos avancen en la comprensin del sistemade numeracin, podemos plantear actividades como el canje de billetes, el cl-culo de puntajes en juegos y la anticipacin del resultado de operaciones reali-zadas con calculadora.

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Eje

Nmeroy Operaciones


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Por ejemplo, se puede retomar la secuencia El juego del cajero, planteadaen 2o ao/grado,5 incluyendo billetes de $ 500 y $ 1000. Dado que estos bille-tes no se corresponden con los de curso legal, se pueden construir con papel ocartulina, al modo en que aparecen en diversos juegos de mesa.

En una primera actividad, los alumnos se organizan por grupos y uno hace decajero mientras los dems reciben sucesivamente 3 tarjetas con nmeros de 3y 4 cifras; en cada mano, el jugador debe solicitarle por escrito al cajero el nme-ro de monedas y billetes de cada tipo que necesita para reunir dicha cantidad.Al finalizar el tiempo asignado a la actividad, ganar el que tiene la mayor canti-

dad de dinero. En este caso, los chicos podrn componer con billetes y mone-das (de todos los valores) y hacer sumas manipulando o no los materiales segnsus conocimientos.

A continuacin, es posible plantear los siguientes problemas.

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5 Recomendacin de lectura: se sugiere la consulta de la secuencia para componer ydescomponer nmeros El juego del cajero incluida en Cuaderno para el aula: Matemtica 2.

Escrib tres maneras diferentes de pagar este cheque. Si el cajero quiere usar la menor cantidad posible de billetes, cuntosbilletes necesitar?

Si es posible, form $ 3840 utilizando:

La menor cantidad posible de billetes. 40 billetes de $ 100 (observemos que este caso no es posible). Solamente billetes de $ 100 y de $ 1.


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Eje

Nmeroy Operaciones

En instancias posteriores del mismo juego, los nios podrn jugar con lasiguiente restriccin: al pedir el dinero, debern hacerlo con la menor cantidadde billetes posibles y usando solamente billetes de $ 1000, $ 100 y $ 10 ymonedas de $ 1. Esto los llevar, por un lado, a reflexionar sobre la informacinque brinda cada cifra segn la posicin que ocupe en el nmero, y por otro, aconsiderar que esta descomposicin es nica.

Luego de realizada la actividad, se pueden proponer problemas como lossiguientes.

Resolv los problemas de este cajero.Un cliente pide al cajero que le pague $ 3200. Si solo quiere billetesde $ 100, cuntos deber darle? Habr alguna manera rpida deaveriguarlo?

Otro cliente pide cambio de $ 1000. Si quiere 5 billetes de $ 100 y el restode $ 10, cuntos billetes le darn?

Complet el cuadro para formar las cantidades de dinero indicadas conla menor cantidad de billetes y monedas posible.

Billetes de $ 100 Billetes de $ 10 Monedas de $ 1

82419606034

705750

Es de esperar que aparezcan formulaciones tales como: las cifras indican lacantidad de billetes que se necesitan (para 824 se necesitan 14 entre bille-

tes y monedas, lo que se obtiene al sumar 8 + 2 + 4); cada cifra te dice cun-tos de 1000, cuntos de 100 (para 824, el 8 indica cuntos billetes de100; el 2, de 10 y el 4, cuntas monedas de 1), etctera.

En el caso de los nmeros de 4 cifras de la tabla, ser conveniente discutir elhecho de que, si se utilizan los billetes de curso legal, la cantidad de billetes de$ 100 tendr dos cifras. Por otra parte, ser interesante comparar la formacinde nmeros como 750 y 705, que utilizan la misma cantidad de billetes, pero dediferente valor, como tambin ocurre con los nmeros 751 y 715.


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Conviene que los nios registren en sus cuadernos las conclusiones a lasque arriban para poder volver a ellas en caso de necesitarlas cuando tengan queresolver una nueva situacin. Algunos alumnos podrn hacerlo de modo indepen-diente, pero otros necesitarn de nuestra intervencin para identificar un saberque ya ha sido abordado. En este caso, la escritura en el cuaderno para luegorecurrir a ella, transforma al cuaderno en una herramienta til tanto para el niocomo para el docente.

Continuar el trabajo con juegos de emboque6 abordado en 2o ao/grado per-

mitir que los chicos reutilicen las relaciones numricas establecidas con los jue-gos de canje de dinero. Tambin en este caso es conveniente adecuar losmateriales al rango numrico que se pretende trabajar en 3er ao/grado. As, laslatas podrn tener etiquetas con los valores 1, 10, 100 y 1000.

Luego de jugar algunas veces, es posible complejizar este juego haciendo quecada participante tire 6 bollitos de papel de 3 colores diferentes (2 rojos, 2 verdesy 2 amarillos). En este caso, se tendr en cuenta que cada uno de los rojos vale 5veces el valor de la lata; los verdes, 3 veces, y los amarillos, 1. En esta versin deljuego, cada alumno anota lo que saca para luego averiguar quin es el ganador.

A continuacin, se pueden presentar a la clase problemas como los siguientes.

En un juego de tiro al blanco, cada uno de los tres jugadores realiz 5tiros. A partir del siguiente dibujo, podras decir quin gan y cuntospuntos obtuvo cada uno?

56 Matemtica 3

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6 Recomendacin de lectura: se aconseja consultar el apartado Plantear situaciones paracomponer y descomponer nmeros en Cuaderno para el aula: Matemtica 2, donde sedescriben ms detalladamente los juegos de emboque.

Martn Violeta Dana


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Juan obtuvo 3500 puntos jugando al tiro al blanco. Se puede sabercuntos tiros realiz? Cmo pudo haber obtenido ese puntaje? Fundamenttu respuesta.

Otro recurso til para que los chicos reflexionen sobre la posicionalidad denuestro sistema de numeracin es la calculadora.

Previo al trabajo con la calculadora, ser necesario abordar actividades que les

permitan a los chicos conocer su funcionamiento con preguntas como: conqu tecla se enciende y con cul se apaga?; cules son las teclas de lasdiferentes operaciones?; cmo se borra un nmero si uno se equivoca?, etc.Posteriormente, los chicos podrn empezar a resolver problemas para apren-der ms sobre las operaciones o sobre el sistema de numeracin.

Por ejemplo, si queremos que los alumnos piensen en la descomposicin adi-tiva, podemos plantearles:

Cmo haras para obtener con la calculadora el nmero 245 usandonicamente las teclas 0 y 1 las veces que quieras y las teclas de lasoperaciones que necesites? No se puede sumar 1 + 1 + 1 245 veces.

En este caso, los alumnos pueden considerar que el 245 es equivalente a200 + 40 + 5 y, por lo tanto, se puede hacer 100 + 100 + 10 + 10 + 10 + 10+ 1 + 1 + 1 + 1 + 1.

Otras propuestas que permiten que los nios analicen cmo vara el valor deuna cifra, segn la posicin que ocupa en el nmero, son las que siguen.

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Eje

Nmeroy Operaciones

Escrib en el visor de la calculadora el nmero555. Haciendo una nica operacin tiene queaparecer 455. Qu operacin haras? Y paraque aparezca el 355? Y el 255?


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Escrib en el visor de la calculadora el nmero 1583.- Qu operaciones hay que hacer para que aparezca el nmero 1083?- Y para que aparezca 1503?- Y el 1003?

Escrib en el visor de la calculadora el nmero 2222. Indic, sin hacer lacuenta, qu nmero aparecer si se agrega 1000 cinco veces. Verificalo.

Si bien en las primeras actividades se puede permitir que los chicos tanteen

ms libremente la respuesta, para que se familiaricen con la calculadora, esimportante que, de a poco, desde las consignas, les solicitemos que primero rea-licen una anticipacin de lo que pueden hacer o del resultado que pueden obte-ner, que luego hagan el registro y que por ltimo verifiquen con la calculadora sila anticipacin era correcta. En caso negativo, es conveniente que escriban elresultado obtenido para analizarlo despus.

El registro de anticipaciones y verificaciones los ayudar a no proceder nica-mente por tanteos y a empezar a guardar en la memoria lo realizado. Esta memo-ria puede ser usada como informacin para mejorar las siguientes anticipaciones.

Los dos primeros contextos7

utilizados para plantear el trabajo con composicionesy descomposiciones (billetes y juegos de emboque) son extramatemticos: en elloslos nmeros se refieren a cantidades. En cambio, en los problemas planteados concalculadora, los nmeros aparecen en un contexto intramatemtico, es decir que yano refieren a cantidades, sino que son tratados como tales. Como hemos planteadoen el apartado Ensear Matemtica en el Primer Ciclo, es importante el trabajo enambos tipos de contextos para construir el sentido de los nmeros naturales.

Para operar al resolver problemas con distintos procedimientosRespecto de las cuatro operaciones bsicas con nmeros naturales (suma,

resta, multiplicacin y divisin), se deben considerar dos aspectos: por un lado,los distintos significados de aquellas, y por otro, los procesos que llevan a laconstruccin de los diferentes algoritmos propios de cada operacin.

58 Matemtica 3

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7 En el apartado Los contextos de Ensear Matemtica en el Primer Ciclo de este Cuadernohemos desarrollado los tipos de contextos en los que es posible presentar las nociones a losalumnos. Adems, hemos planteado la importancia de que los enunciados incluyan preguntasque aludan a situaciones reales o verosmiles.


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En relacin con los significados, es importante sealar que una mismaexpresin numrica resuelve problemas aritmticos distintos. Por ejemplo, esdiferente multiplicar 8 x 6 para resolver los problemas siguientes: Para el campamento de 3er ao/grado, la escuela tiene 8 carpas y en cadauna entran 6 personas. Cuntas personas podrn dormir en las ocho carpas? En una fbrica, cada modelo de remera se hace en 6 colores y 8 talles.Cuntas remeras diferentes hacen de cada modelo?

En estos dos casos, la misma multiplicacin se utiliza con significados dife-rentes.8 En el primero, hay dos cantidades que se relacionan de manera directa-

mente proporcional, las carpas y las personas; en el segundo, hay tres tipos decantidades, ya que se trata de combinar los elementos de dos tipos, colores ytalles, para obtener elementos de un tercer tipo, la remeras diferentes.

Presentar mltiples situaciones que permitan reflexionar acerca de la diversi-dad de significados de cada operacin facilitar la comprensin, por parte de losalumnos, de los alcances y lmites de cada una de ellas.

En relacin con las formas de calcular, es conveniente ir avanzando desde losprocedimientos originales que propongan los alumnos a los algoritmos usuales.

Tanto los significados como las estrategias de clculo, deben ser abordados demodo simultneo en el aula, ya que una manera de controlar los clculos que se

proponen para resolver es pensando sobre las cantidades que intervienen en elproblema. En este Cuaderno, analizaremos ambos aspectos: el primero, en esteapartado, y el segundo, en el apartado Para calcular de diferentes formas.

En cuanto al primer aspecto, es decir, al tratamiento de problemas donde lasoperaciones pueden asociarse con distintos significados, en este ao/grado secontinan trabajando las situaciones para sumar y restar, ahora con nuevos sig-nificados y un mayor nivel de complejidad, y se profundiza el trabajo del aoanterior para la multiplicacin y la divisin.

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Eje

Nmeroy Operaciones

8 En el apartado Los significados de este Cuaderno se desarrolla con ms detalle la idea deque una misma nocin puede asociarse con diferentes significados.


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Plantear situaciones para sumar y restarLas operaciones de suma y resta con los nmeros naturales deben constituirsepaulatinamente en un recurso disponible para resolver situaciones con distintossignificados. Algunos de estos ltimos ya se conocieron en 1er y 2do aos/gra-dos, como los que se asocian a los problemas siguientes. Calcular cuntos lpices hay en una caja en la que se pusieron lpices rojosy azules (unir). Cuntos lpices negros hay si hasta ayer haban una cantidad y hoy uno delos chicos trajo ms (agregar).

Cuntos lpices quedaron si haba una cantidad y algunos se gastaron (quitar). Averiguar cunto ms cuestan los lpices en una librera que en otra (diferencia). Determinar si es necesario agregar lpices a una caja para que haya paratodos los chicos (complemento).9

Un nuevo significado para estas operaciones es el que se vincula con proble-mas como: Calcular cuntas figuritas gan un chico en la escuela si en el primer recreogan algunas y en el segundo, otras (composicin de dos transformacionespositivas sin conocer el estado inicial).

Aun manteniendo el mismo significado, por ejemplo, el de quitar, es posiblecomplejizar las situaciones moviendo el lugar de la incgnita, como en lossiguientes enunciados. En la boletera de un teatro hay 160 localidades. Por la maana se venden45 entradas para la funcin de la noche. Cuntas entradas se pueden venderantes de la funcin?

Aqu se apunta a averiguar la cantidad final luego de una transformacin que,en este caso, es negativa. Se trata de un problema donde la resta se usa consignificado de quitar.

60 Matemtica 3

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9 Recomendacin de lectura: sobre la complejidad de las situaciones para sumar, restar,multiplicar y dividir se recomienda la lectura del libro de Claudia Broitman (1999), Las operacionesen el Primer Ciclo. Aportes para el trabajo en el aula.


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Si, en cambio, proponemos: Sabiendo que en la boletera de un teatro se reservaron 45 entradas y que anhay 115 para vender, es posible averiguar cuntas localidades tiene el teatro?

Aqu hay que averiguar el estado inicial, conociendo la transformacin nega-tiva y el estado final.

Otra modificacin podra ser: En la boletera de un teatro hay 160 localidades y al medioda an hay 115sin vender. Cuntas se vendieron por la maana?

La solucin a este problema consiste en buscar el valor de la transformacin.

Todos estos problemas se denominan aditivos, si bien algunos se resuelvensumando, otros restando y para otros se puede usar como procedimiento deresolucin tanto una suma como una resta.

Consideremos cmo podran resolver los alumnos problemas como los siguientes. Para ganar a un juego de cartas se necesita llegar a 1000. Si tengo 850 pun-tos, me faltan para ganar. Para ganar a un juego de cartas se necesita llegar a 1289 puntos. Si tengo789, me faltan para ganar.

Probablemente, para resolver el primero, muchos nios piensen cunto lefalta a 850 para llegar a 1000, utilizando algunos resultados memorizadoscomo: 850 + 50 = 900, 900 + 100 = 1000, y luego 850 + 50 + 100 = 1000.

Para el segundo problema, al modificar los nmeros que intervienen es pro-bable que algunos alumnos decidan restar 1289 789, o lo que es equivalen-te 1200 700.

En la medida en que los alumnos resuelvan los problemas con distintos pro-cedimientos, y que promovamos la reflexin sobre lo realizado a partir de pre-guntas tales como: por qu decidiste resolver as? o cmo lo pensaste?,podremos avanzar en la explicitacin tanto de los procedimientos como de los

criterios elegidos. Si en problemas como los anteriores ningn alumno propusie-ra la resta, el docente podr preguntar: es posible resolver esta situacincon una resta?o bien comentar: un alumno resolvi esta situacin haciendo1289 789; puede obtener el resultado de este modo? Por qu?

Cuando no se facilita el despliegue de diversos procedimientos para resolverun mismo problema, es habitual que los nios razonen de la siguiente manera:en este problema se pregunta cunto qued, entonces es de restar; en este

problema dice en total, entonces es de sumar, o tambin: en este problemadice perdi, entonces hay que restar. Esto responde a la asociacin de algunas

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Eje

Nmeroy Operaciones


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palabras clave con una determinada operacin, lo que refleja una resolucinpoco reflexiva y que muchas veces se evidencia en las preguntas: qu hay quehacer? es de ms o de por?

Consideremos la siguiente situacin que se podra resolver mediante lascuentas planteadas debajo. Averiguar cuntos invitados faltan llegar a una fiesta si ya llegaron 120y los invitados son 270.

270 120 120 + 50 = 170 120 + 170 + 100 = 270

270 50 + 100 = 150

Para responder a la pregunta del problema se puede recurrir tanto a una resta,como a una suma o a varias, y nada indica que un procedimiento sea mejor que otro.

Otra cuestin importante para tener en cuenta, en relacin con la paulatinacomplejizacin de los problemas, es que la respuesta a la pregunta planteada nosiempre est en el resultado de la cuenta ya que, como se observa en el segun-do ejemplo, la respuesta se halla en uno de los sumandos. En este sentido, para

que los nios avancen en una resolucin comprensiva de los problemas, es posi-ble promover la interpretacin del significado de cada uno de los nmeros queintervienen, de los clculos que se realicen y de los resultados que se obtenganen el contexto del problema.

En el apartado Plantear situaciones para establecer relaciones entre datos eincgnitas se desarrollan ms ampliamente algunas actividades que apuntan ala interpretacin del significado de los nmeros en el contexto del problema.Aqu propondremos otras para completar el sentido del trabajo con la resolucinde problemas aditivos.

En el siguiente caso, se trata de completar enunciados con datos extradosde las cuentas que se hicieron para responder la pregunta.

Complet los datos de los problemas para que los clculos planteados seanlos que permitan resolverlos.

24 13 = 21 + 17 =- En un vagn hay asientos ocupados y asientos libres.Cuntos asientos tiene el vagn?

- En el grupo de 3o B, hay chicas y varones.

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64 Matemtica 3

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Cantidad de carpetas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Precio $ 3 $ 6

Don Ramn, el librero, sabe que cuando comienza el ao escolar loschicos se juntan para comprar los tiles y entonces piden los artculos dea varios. Para no hacer las cuentas cada vez, decidi hacer listas como lassiguientes. Con ellas puede rpidamente saber lo que les tiene que cobrarpor distintas cantidades de un mismo artculo. Complet cmo le quedaronlas listas de precios.

Cantidad de diccionarios 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Precio $ 8 $ 72

Cantidad de cartucheras 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Precio $ 10 $ 20

Cantidad de lapiceras 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Precio $ 12 $ 36 $ 60

Luego de que completen las listas, podemos generar algunas discusiones que

les permitan arribar a conclusiones como:para completar las listas fuimos dandosaltos de 3 en 3, de 6 en 6; dentro de una lista siempre sumamos el mismonmero; los resultados de la lista de precios de lapiceras son el doble que losde las carpetas, etc. Para los alumnos, estos razonamientos pueden ser nuevoso una ocasin para retomar relaciones ya aprendidas en 2o ao/grado.

Como puede observarse, en algunas tablas se incluye el valor unitario, comoen el caso de las carpetas y los cuadernos. En cambio, en el de las lapiceras ylas cartucheras se indican cunto cuestan dos de esos artculos.

Es interesante observar los procedimientos utilizados por los chicos: algunospodrn hallar primero el valor unitario y luego seguir completando los otros

Cantidad de cuadernos 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Precio $ 2 $ 4 $ 6

A

B

C

D

E


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recuadros como en los casos anteriores; otros establecern relaciones diferen-tes, como por ejemplo: duplicar lo que cuestan 2 para averiguar cunto se debepagar por 4.

Segn la informacin que se presente en las tablas, los alumnos podrn tam-bin calcular divisiones o realizar restas sucesivas como, por ejemplo, para cal-cular el valor de una cartuchera o de una lapicera.

Es conveniente que estas tablas permanezcan colgadas en las paredes delaula, a la vista de todos, para que puedan ser utilizadas como fuente de informa-cin para resolver diversas situaciones. Oportunamente se podrn reemplazar

por la tabla pitagrica, como un modo de organizarlas con un criterio de orden.Esta organizacin permite promover un trabajo reflexivo que relacione las

diferentes tablas. As se facilitar la memorizacin de una red de clculos que elalumno tendr disponible cada vez que una nueva situacin lo requiera. Estasactividades las presentamos en el apartado Plantear situaciones para explorarrelaciones numricas en las tablas de multiplicar.

Los problemas que remiten a organizaciones rectangulares, donde los ele-mentos se presentan ordenados en filas o columnas, son tambin problemas deproporcionalidad, por ejemplo, si sabemos que en un edificio de 10 pisos hay 5

departamentos por piso y queremos saber cuntos timbres hay en el porteroelctrico. En este caso, la constante de proporcionalidad es el nmero de depar-tamentos por piso.

Un ejemplo en otro contexto es el siguiente.

Jos tiene 24 baldosas y quiere armar en un rincn del jardnun pequeo patio rectangular; cmo puede ubicar las baldosas?

Se espera que al confrontar las diversas producciones, ya sean grficas o con

clculos, los nios empiecen a tomar conciencia de la variedad de respuestasposibles, en este caso: 8 x 3, 6 x 4, 3 x 8, 4 x 6, y podr discutirse la convenien-cia o no de que sea 24 x 1 o 12 x 2 y sus respectivos productos conmutados yavanzar desde la consideracin de una respuesta correcta a la bsquedaexhaustiva de todas las combinaciones posibles.

A partir del trabajo realizado se podr proponer el mismo problema parapatios de mayor cantidad de baldosas.

En cuanto a los problemas de combinatoria, es decir, aquellos en los que hayque combinar elementos de diferentes colecciones, podemos plantear:

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Eje

Nmeroy Operaciones


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Si tengo una remera roja, otra verde y otra azul y un pantaln negroy otro blanco, de cuntas maneras diferentes puedo vestirme?

La primera vez que los alumnos se enfrenten a este tipo de enunciados esposible que piensen que hay dos o tres posibilidades ya que intentarn relacio-nar cada remera con un pantaln. Ser necesario pues hacer hincapi en quese deben combinar todos con todos.

Resulta interesante analizar los procedimientos que suelen utilizan los chicosy ofrecer un espacio de reflexin en torno de los diferentes modos de resolver

problemas de este tipo.

66 Matemtica 3

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Realizan una lista con todas las posibilidades.

Suman la cantidad de remeras y pantalones, ya que son los nmeros que apa-recen en el enunciado.

Representan grficamente las prendas y las unen con flechas.


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Luego de discutir con los alumnos sobre cules de los procedimientos permi-tieron llegar a un resultado vlido, podemos plantearles diferentes modos deorganizar la informacin, para as asegurarnos de que tienen en cuenta todos loscasos posibles. Los cuadros de doble entrada y los diagramas de rbol son ti-les para estos propsitos.

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Eje

Nmeroy Operaciones

Pantaln negroRemera roja

Pantaln blanco

Pantaln negroRemera verde

Pantaln blanco

Pantaln negroRemera azul

Pantaln blanco

Remera roja Remera verde Remera azul

Pantaln negroRemera rojaPantaln negro

Remera verdePantaln negro

Remera azulPantaln negro

Pantaln blancoRemera rojaPantaln blanco

Remera verdePantaln blanco

Remera azulPantaln blanco

En el caso de que no lo propusiera ningn alumno, podemos plantear queotros nios resolvieron el mismo problema usando nmeros, con sumas como2 + 2 + 2 o 3 + 3 y/o multiplicaciones como 2 x 3 o 3 x 2. En cada caso, esimportante precisar a qu cantidades se refieren los nmeros, por ejemplo, en2 + 2 + 2 se trata de 2 conjuntos para cada remera. La representacin num-rica facilitar la resolucin de situaciones similares con nmeros ms grandes.Efectivamente, si se tratara de 25 pantalones y 32 remeras, los procedimientosno numricos como la tabla o el diagrama resultaran muy costosos.

Remeras

Pantalones


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Para la divisin, tambin es necesario incluir problemas que nos permitanabordar diferentes significados ya sea de reparto o de particin, incluidos loscasos de organizaciones rectangulares de los elementos.

En los problemas en los que la divisin alude a un reparto equitativo, se cono-ce la cantidad total de elementos de la coleccin a repartir y la cantidad de par-tes, pero no cuntos elementos corresponden para cada una. Por ejemplo, en lalista de precios de cartucheras del problema de don Ramn, esto ocurre cuan-do hay que averiguar el precio de cada cartuchera, sabiendo que el precio de 2cartucheras es de $ 10.

Teniendo en cuenta que los repartos pueden o no ser equitativos, es precisoque presentemos como ya se ha propuesto en 2o ao/grado enunciados deproblemas con el fin de que los nios analicen si es condicin de la situacinque el reparto se realice en partes iguales. Por ejemplo:

Tengo 240 caramelos para repartir entre 6 amigos. Cuntos caramelospuedo darle a cada uno?

Las respuestas posibles a esta situacin son variadas, ya que puedo darle

70 a uno, 50 a otro y 30 a cada uno de los 4 restantes. Tambin puedo repar-tirlos en 60, 40, 50, 40, 30 y 20, ya que no hay nada en el enunciado que indi-que que el reparto deba ser equitativo. En el caso de que los alumnos resuelvanla situacin dando a cada amigo 40 caramelos, como suelen hacerlo por efec-to de cierto estereotipo en la resolucin de problemas escolares, podremosintervenir cuestionando esa resolucin diciendo: un alumno de otro 3o lo resol-vi dndole 30, 50, 20, 40, 10 y 90 respectivamente, est bien lo quehizo?, por qu?Luego de un espacio de discusin, les pediremos que indi-quen qu modificaciones podran hacer al enunciado para que el reparto equi-tativo se convierta en una condicin del problema.

Despus de estas discusiones, es importante que los enunciados que presen-temos incluyan el dato de si los repartos son o no equitativos.

Otro aspecto a trabajar de modo colectivo es qu se hace cuando sobran ele-mentos luego de efectuado el reparto, es decir, aquellos problemas en los queel resto es diferente de cero. Discutir si lo que sobra puede seguir repartindo-se o no supone considerar la naturaleza de las cantidades involucradas, ya queno es lo mismo que sobren chocolates o globos puesto que los globos no se

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pueden partir, en cambio los chocolates se pueden dividir en partes y continuarrepartindose. Efectivamente, cuando se comienza el trabajo con fracciones yse pide, por ejemplo, repartir 6 chocolates entre 4 chicos: se obtiene un choco-late y una mitad ms para cada uno.

Mientras que los nios de 2o ao/grado podan resolver problemas de repar-to utilizando distintos procedimientos como la representacin grfica de la situa-cin y las sumas o restas sucesivas, en 3er ao/grado es esperable que losalumnos comiencen a ver la multiplicacin y la divisin como operaciones tilespara este tipo de problemas.

En los problemas que remiten a una particin, se conoce el valor de cadaparte y se pregunta por la cantidad de partes en que puede partirse la coleccin.Si en la lista de precios de cuadernos del problema de don Ramn se da comoinformacin que el precio de un cuaderno es $ 2 y se dice que se gastan $ 10,se puede preguntar cuntos cuadernos se han comprado.

En el comienzo de 3er ao/grado, al plantearles un problema como el siguiente,asociado al significado de particin,10 pueden coexistir diversos procedimientos.

Tengo 20 fotos y quiero acomodar 4 en cada pgina de un lbum.

Cuntas pginas necesitar?

Realizar restas sucesivas quitando de a 4 tantas veces como sea posible.

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Eje

Nmeroy Operaciones

10 Recomendacin de lectura: para profundizar en la enseanza de la multiplicacin y la divisinse recomienda la lectura de La enseanza de la divisin en los tres ciclos y La enseanza dela multiplicacin en los tres ciclos, de Claudia Broitman y Horacio Itzcovich (2001), DireccinGeneral de Cultura y Educacin de la provincia de Buenos Aires.


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Multiplicar o dividir.

70 Matemtica 3

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Contar de 4 en 4 hasta llegar a 20.

Tambin en 3er ao/grado, las colecciones presentadas en organizacionesrectangulares pueden dar lugar a problemas donde la divisin suele tanto tenersignificado de reparto como de particin, segn los datos y las preguntas.Consideremos el siguiente enunciado: Para un acto, debemos acomodar en un patio 48 asientos en 6 filas y ponerla misma cantidad de asientos en cada una. Cuntos asientos hay que colocaren cada fila?

En esta primera enunciacin, la divisin remite a un reparto, pues hay que ircolocando un asiento en cada una de las 6 filas hasta terminar con todos. Encambio, si se quisiera trabajar con el significado de particin, el problema sera: Para un acto debemos acomodar 48 asientos en filas de 8 asientos cada una.Cuntas filas podremos armar?

Los chicos suelen resolver esta ltima situacin de diferentes modos:

Haciendo algn grfico y contando la cantidad de filas que les quedaron.


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Para calcular de diferentes formasUno de los requerimientos tradicionales de la formacin primaria es que losalumnos que egresan de la escolaridad bsica puedan realizar clculos con sol-tura. Sin embargo, las habilidades de clculo que hoy se plantean en los docu-mentos curriculares incluyen algunas no tenidas en cuenta anteriormente paraser enseadas en la escuela y que han surgido de su estudio didctico, ligadotanto a la diversidad de situaciones en las que se requiere su uso como a losinstrumentos con los que se cuenta.

En este sentido, la enseanza del clculo deber contemplar tanto la obten-

cin de resultados exactos como aproximados, segn las caractersticas de lasituacin y la posibilidad de decidir hacerlo mentalmente, por escrito o mediantela calculadora. En todos los casos, habr que realizar un control de los resultadosobtenidos que garantice el uso adecuado de las estrategias implementadas.

Por otra parte, un aprendizaje comprensivo de los clculos implica que losalumnos puedan descomponer los nmeros involucrados y combinarlos de dis-tintas formas segn la operacin que estn realizando, de modo de poder atri-buir un significado a cada paso. Luego, se podr pasar al anlisis y la discusinde los propios procedimientos considerando qu reglas estn usando y si son ono propiedades de esas operaciones, es decir, reglas vlidas en matemtica. Los

algoritmos convencionales o usuales tienen, entonces, un nuevo lugar en laenseanza: son formas de clculo con las que culmina un trabajo previo de pro-duccin y anlisis de distintos procedimientos originales de los propios nios.

En este proceso de aprendizaje, el punto de apoyo es el clculo mental.Sabemos que en un mismo grupo escolar los distintos alumnos tienen memori-zados y disponibles diferentes conjuntos de clculos mentales aditivos y multipli-cativos para ser usados cuando los necesitan. Por ejemplo, en una clase de 3 o,unos conocen algunas sumas y restas; otros, tambin ciertos productos de lastablas, y unos pocos, clculos como 25 x 4 o 50

./. 2.

Sin embargo, todos tienen la capacidad de calcular mentalmente y es tarea de

la escuela desarrollar esta habilidad. Para ello, es necesario destinar un tiempoimportante del trabajo en el aula con el fin de identificar las diferentes estrategiaspersonales de clculo, explicitarlas para que otros puedan conocerlas y sistema-tizarlas para generalizar su uso y poder reutilizarlas en nuevas situaciones.

La memorizacin de resultados que se comenz a trabajar en 1er y 2o

aos/grados se debe retomar en 3o con la intencin ahora de que los alumnosamplen los conjuntos de clculos conocidos, tanto aditivos como multiplicativos.

72 Matemtica 3

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En este sentido, el trabajo escolar debe apuntar al uso del clculo mentalcomo herramienta til en variadas situaciones, pero tambin es conveniente quesea abordado como un objeto de estudio en s mismo.12

Durante todo el ciclo, conviene destinar un tiempo considerable, por ejemplo,una clase semanal, a la prctica del clculo mental y a la reflexin sobre los pro-cedimientos empleados como puntos de partida del clculo aproximado y de laposibilidad de proponer procedimientos originales.

En una clase, se puede pedir a los alumnos que busquen y discutan en grupos

diferentes maneras de resolver un clculo, por ejemplo, para obtener el total delpuntaje en un juego. Luego, un representante de cada grupo escribir lo que hizosu grupo en el pizarrn, mientras lo explica. Para comenzar con el anlisis, podre-mos formular preguntas para orientar el debate, en el sentido de considerar si losprocedimientos parecen adecuados o no, y por qu. Por ltimo, se pedir a la claseque evale cul o cules procedimientos le resultaron ms sencillos y/o ms rpi-dos. La intencin de esta puesta en comn no es encontrar el mejor procedimien-to sino que cada nio encuentre la manera ms cmoda de resolver el clculo(a diferencia del algoritmo convencional en el que todos lo resolvemos de la mismamanera). Desde ese momento en adelante, varios procedimientos pueden quedar

como igualmente posibles para ser usados por los chicos, y entonces resultar queconvivirn en la clase distintas formas de hacer un mismo clculo.

La idea es que en cada ao del Primer Ciclo se vaya progresando en el dominiode ciertos clculos; por ello, en cada ao/grado, antes de comenzar a trabajar losconocimientos correspondientes al ao en curso, es conveniente revisar qu clculosde los aos previos tienen efectivamente disponibles los chicos. La siguiente lista sin-tetiza los clculos que podran dominar los alumnos al finalizar cada ao de este ciclo.

1er ao/grado:Sumas de sumandos iguales de una cifra (1 + 1; 2 + 2; hasta 9 + 9).

Sumas de decenas enteras iguales (10 + 10; 20 + 20; hasta 90 + 90).Sumas que dan 10 (1 + 9; 9 + 1; 2 + 8; 8 + 2; 3 + 7; 7 + 3, etc.).Sumas de nmeros terminados en 0 que dan 100 (20 + 80; 80 + 20, etc.).

73

Eje

Nmeroy Operaciones

12 Recomendacin de lectura: para ampliar la propuesta sobre clculo mental, se sugiere leer elartculo de Cecilia Parra (1994), El clculo mental, en: Didctica de las Matemticas. Aportesy reflexiones, Buenos Aires, Paids.


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2o ao/gradoSumas de sumandos distintos de una cifra (4 + 3, , 8 + 6, etc.).Sumas de decenas (40 + 30; 70 + 60; etc.).Complementos a 100 (80 + = 100; 40 + = 100, etc.).Sumas y restas de mltiplos de 5 (35 + 15; 50 15, etc.).Dobles y mitades (el doble de 7; el doble de 20; la mitad de 80, etc.).Sumas de decenas enteras ms unidades (10 + 8; 20 + 5, etc.).Sumas + 10 (78 + 10; 105 + 10; etc.) y restas 10 (28 10; 35 10, etc.).

3er

ao/gradoSumas de centenas (400 + 300; 800+ 600, etc.).Complementos a 1000 (700 + = 1000; 600 + = 1000, etc.).Sumas y restas de los mltiplos de 50 (350 + 150; 500 150, etc.).Sumas de centenas enteras ms decenas enteras ms unidades(100 + 80 + 4; 200 + 50 + 7, etc.).Sumas + 100 (735 + 100 o 1050 + 100) y restas 100(280 100; 350 100, etc.).

Plantear situaciones para avanzar en el clculo de sumas y restas

Como ya se ha planteado, los juegos13

reglados constituyen un recurso apropiadopara trabajar con el clculo mental. Recordemos que el juego en s mismo no es unaherramienta suficiente para garantizar una situacin de aprendizaje; por ello, mien-tras que el objetivo de los alumnos en el juego reglado ser ganar, para el docente,en cambio, ser que el alumno aprenda un nuevo conocimiento. Es nuestra inten-cin como docentes lo que diferencia el uso didctico del juego de su uso social.Es necesario que, luego de jugar, gestionemos con todos los alumnos momentos deanlisis de las relaciones establecidas al jugar. Preguntas tales como: qu estrate-gia utiliz cada uno? Cul les parece la forma ms rpida? Cul permiti come-ter menor cantidad de errores?, etc., suelen ser las que sirven para orientar a los

nios a reflexionar sobre los procedimientos utilizados. Asimismo, podemos escribiren el pizarrn los clculos que se hicieron en cada grupo para considerar culespudieron hacer ms rpido y cules les dieron ms trabajo. De esta manera, el

74 Matemtica 3

>

13 Recomendacin de lectura: para ampliar el repertorio de juegos, se sugiere consultar elmaterial El juego como recurso para aprender. Juegos en Matemtica, EGB 1, de G. Chemello

(coord.); M. Agrasar y S. Chara (2001).


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conjunto de clculos que se pretendi abordar quedar organizado en dos grupos,los que ya saben y los que an no. En prximas instancias se podr avanzar paraque hagan ms fciles los que hasta ese momento eran considerados difciles.

Algunas propuestas de juego son las siguientes.

El mayor con dados: sumar centenasMateriales: 3 dados por grupo y una tabla de 7 filas y 2 columnaspor alumno.

Puntaje de los dados Total

12345Puntaje final

Organizacin de la clase: en grupos de a 4 alumnos.

Desarrollo: se explica al comenzar que el valor de cada punto del dado es100. Cada alumno tira los 3 dados y gana el que obtiene el puntaje mayora partir de la suma de los valores de los mismos. Los alumnos realizarnun registro de todos los clculos que vayan obteniendo en cada mano,y despus de 5 jugadas se detendrn para averiguar quin es el ganador.

En este caso, se apunta a la construccin de un repertorio aditivo con suman-dos hasta 600 (ejemplos: 400 + 200 + 300) y sumas entre 300 y 1800. Dichosregistros podrn ser utilizados luego del juego para reflexionar acerca de culesson los clculos que resultaron ms fciles o ms difciles. Es esperable que sur-

jan reflexiones tales como:para sumar 500 + 400 + 600 yo pienso la suma de5 + 4 + 6 y le agrego dos ceros. Otros alumnos podrn pensar: 400 + 600 = 1000

y a eso le sumo 500. Es importante tener en cuenta que no se trata de que todoslos chicos piensen cada clculo de la misma manera, sino que adecuen su proce-dimiento a los nmeros involucrados y al repertorio memorizado del que dispon-gan. Tambin podrn discutir sobre la conveniencia de asociar los nmerosinvolucrados en distinto orden, segn los valores obtenidos.

Para ampliar el repertorio de clculos se puede realizar el mismo juego, peromodificando algunas caras de los dados, a las que se les colocarn etiquetascon nmeros, incluyendo 7, 8 y 9.

75

Eje

Nmeroy Operaciones


37/58

Basta numrico:14 producir sumas y restas con resultados conocidosMateriales: una hoja y lpiz.Organizacin de la clase: en grupos de 4 alumnos.Desarrollo: uno de los nios del grupo comienza a contar mentalmente de100 en 100 hasta un mximo a designar en funcin de la etapa del ao enla que se realice el juego, por ejemplo, hasta 1500. Mientras cuenta, otromiembro del grupo dice basta. El que estaba contando debe decir hastaqu nmero cont y, a partir de ese momento y durante 5 minutos(aproximadamente), todos deben escribir el nmero y luego sumas

y/o restas que den ese nmero como resultado.Cumplido el tiempo, los nios controlan si los clculos son correctos.Luego asignan 20 puntos a cada clculo original y 10 a cada uno de losintegrantes que escribi un clculo repetido. Gana el que tiene mayorpuntaje despus de 5 vueltas.

Mientras los alumnos juegan, el docente slo intervendr en aquellos casosen los que no haya acuerdo dentro de los grupos.

La calculadora es otro recurso para trabajar el clculo mental de sumas y res-

tas.15

Por ejemplo, podemos plantear problemas que permitan, adems de conside-rar los clculos, analizar las relaciones entre la suma y la resta como operacionesinversas, as como las propiedades conmutativa y asociativa de la suma, que no secumplen para la resta.

Usando la calculadora, busc qu nmero hay que sumarle a 170 paraobtener 300.

Muchos alumnos encontrarn el nmero realizando sumas parciales hasta lle-gar al nmero solicitado, por ejemplo, 170 + 30 + 100. Otros reconocern que

es posible hacer 300 170. Una vez resuelto el problema, se puede discutircon todos la relacin entre estos procedimientos.

76 Matemtica 3

>

14 Fuenlabrada I. (2000), Juega y aprende matemtica, Buenos Aires, Novedades Educativas.15 Recomendacin de lectura: otras propuestas pueden encontrarse en Aportes didcticos para

el trabajo con la calculadora en los tres ciclos de la EGB, (2001), Documento N 6, Provincia deBuenos Aires, Direccin General de Cultura y Educacin.


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En otros casos, las situaciones de clculo mental de sumas y restas que sepueden plantear con la calculadora exigen el anlisis del valor posicional de losnmeros involucrados. Por ejemplo:

Coloc en el visor de la calculadora el nmero 370. Haciendonicamente una suma, logr que aparezca en el visor el nmero 1000.

Tambin es posible plantear situaciones de clculo mental con sumas y res-tas que apuntan a la estimacin, como una estrategia para controlar el resulta-

do de clculos exactos realizados con papel y lpiz, o con calculadora. A futuro,esta estrategia podr ser, adems, usada para resolver otros problemas en losque solo se necesite el clculo aproximado.

Antes de hacer la cuenta, eleg el nmero que se aproxime ms al resul-tado de este clculo.

355 + 109 = 300 400 500

4503 498 = 500 4000 400 5000

Complet la tabla.

Luego del completamiento individual de esta tabla, los integrantes de unamisma mesa podrn comparar los resultados aproximados que obtuvieron y anali-zar si las estimaciones fueron ms o menos certeras. Es importante promover quelos chicos expliquen a sus compaeros los procedimientos que utilizaron paraque, en nuevas situaciones, otros alumnos puedan hacer uso de ellos.

Como ya lo hemos referido para 1er y 2o aos/grados, durante el Primer Ciclolas propiedades de las operaciones aparecen como instrumentos para resolver

77

Eje

Nmeroy Operaciones

Cuenta El resultadoest entreResultadoaproximado

Resultadoobtenido concalculadora

Soncercanos?

Estababien laestimacin?

124 + 450 ...00 y . ..00?

345 + 234 ...00 y . ..00?

123 + 99 ...00 y ...00?


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problemas, no siendo necesario ponerles nombre. Al proponer problemasdonde los alumnos construyen procedimientos originales para resolver clculoso explicar los propuestos por otros, los chicos suelen descomponer los nmeros(disociar) o cambiarlos de lugar (conmutar), segn la conveniencia en cada caso.Por ejemplo, en este ao/grado, en juegos como El mayor con dados, usan enforma indistinta 300 + 400 y 400 + 300, pero pueden considerar que 200 +800 es ms difcil que 800 + 200. Es conveniente destinar espacios de refle-xin con todos los alumnos sobre cundo es vlido usar esta estrategia.

Tambin podemos proponer actividades de investigacin para discutir si siem-

pre es posible cambiar el orden de los nmeros en una cuenta sin que cambie elresultado, o cul de los sumandos conviene poner primero para facilitar el clcu-lo. As, las propiedades comenzarn a ser utilizadas como reglas prcticas acep-tadas por el grupo, para ms adelante ser explicitadas como tales.

Respecto de los algoritmos usuales, estos debern incluirse como una formams de calcular, prestando siempre atencin a la necesidad de que sean losalumnos quienes elijan el tipo de clculo en funcin de los nmeros involucrados.

Priorizar un trabajo slo con cuentas paradas lleva muchas veces a un usopoco reflexivo y que da lugar a errores. Por ejemplo:

2005 1800105

78 Matemtica 3

>

1 9 1

cuando es fcil advertir mentalmente que 1800 + 200 = 2000y que la diferencia es 205.

La prctica que se hace tradicionalmente sobre las cuentas puede enrique-cerse si estas se seleccionan de modo que sea posible establecer relacionesentre ellas y se agregan preguntas que inviten a reflexionar tanto sobre losresultados como sobre los procedimientos.

1295+ 14651295+ 2685

1295+ 37951295+ 1405

Por qu en los resultados de estas cuentas la cifra de las decenas es lamisma que la cifra de las decenas del segundo sumando? Escrib otracuenta donde ocurra lo mismo.


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Plantear situaciones para avanzar desde los distintos procedimientospara multiplicar y dividir hacia los algoritmos usuales

En el inicio del ao, es esperable que los alumnos resuelvan los problemasmultiplicativos utilizando diferentes procedimientos,16 que pueden incluirsumas y multiplicaciones.

Consideremos los que usan para un problema como el que sigue.

Cuntos botones hay que comprar para ponerlos en 9 delantales, sabiendoque llevan 2 en cada puo y 8 en el frente?

79

Eje

Nmeroy Operaciones

2043 800

2043 827

2043 865

2043 718

Antes de resolver estas cuentas, ordenalas de modo que sus resultadosqueden de mayor a menos. Cmo te diste cuenta?

16 Tal como se ha planteado en el apartado Las representaciones, en Ensear Matemtica en elPrimer Ciclo de este Cuaderno, cuando el alumno produce una solucin utiliza representacionespersonales que pueden coincidir o no con las convencionales.


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En los dos primeros procedimientos se plantean sumas sucesivas, pero seresuelven calculando de diferente modo, y en los dos ltimos se plantean multi-plicaciones. En el tercero, la forma de calcular remite a pensar por separado enlos botones de los puos (4 x 9) y los del frente (8 x 9); en cambio en el cuar-to, piensan en 12 x 9 y luego descomponen el 12 en 10 y 2, apoyados en quees ms fcil pensar en esas tablas. En ambos se utiliza de modo intuitivo la pro-piedad distributiva de la multiplicacin respecto de la suma.

En la discusin con los chicos sobre los procedimientos utilizados convendrincluir cuestiones como: llegan o no al mismo resultado?; qu diferencias

hay entre ellos?; cules son ms econmicos?; por qu?El uso de la pro-piedad distributiva se puede explicitar al reflexionar sobre las diferentes formasde resolver, a partir, por ejemplo, de la semejanza entre los ltimos dos procedi-mientos: en ambos casos se multiplic por partes y despus se sum.

Una actividad interesante para plantear es el anlisis de varios procedi-mientos diferentes, alguno de ellos con errores, con la consigna de corregirclculos hechos por algunos alumnos, preguntando cmo y por qu fueronresueltos de este modo. Entre los procedimientos que se presentan tambinse podran incluir algunos de los propuestos ms arriba o aquellos que no

hayan surgido en la actividad de produccin. Otros procedimientos para pre-sentar podran ser los siguientes.

80 Matemtica 3

>

En ambos ejemplos se descompone un nmero en factores y se usa la propie-dad asociativa, aunque en el segundo caso habr que discutir con los chicos cmose ha usado y por qu no se ha obtenido el mismo resultado que en el primer caso.

La consideracin del algoritmo convencional para multiplicar por una cifrapuede plantearse como parte del trabajo de anlisis de procedimientos. Porejemplo, se puede pedir a los alumnos que expliquen cmo creen que pensaronalgunos compaeros para obtener el resultado de alguna cuenta ya conocida.


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A partir de los procedimientos utilizados por los nios, el algoritmo convencional

se presenta entonces como el procedimiento basado en la propiedad distributiva yla descomposicin de los nmeros atendiendo al valor posicional de sus cifras.

En este sentido, conocer los productos de diferentes nmeros por 10, 20, ,100, 200, contribuye con la comprensin y el dominio del algoritmo.

Este trabajo debe ir acompaado del clculo aproximado del resultado para queeste funcione como un modo de control del procedimiento de clculo exacto. Paraello se pueden presentar actividades como las siguientes.

Marc el valor ms cercano a la respuesta de cada problema y luego hac

la cuenta para obtener el valor exacto. En el primer da de viaje, Tati viaj 5 horas y recorri 85 km en cadahora. Cuntos kilmetros recorri ese da?300 400 500

Andrs cumple hoy 10 aos. Cuntos das de vida tiene?300 3000 400 4000

Una botella de gaseosa te alcanza para servir 8 vasos, cuntos vasosllenars con 63 botellas?400 500 600

En cuanto al avance sobre formas de calcular divisiones, se pueden plantearsituaciones que permitan a los alumnos descubrir otros procedimientos, tanto encasos con resto igual como distinto de 0.

Conviene que en un primer momento los nios resuelvan en pequeos gruposproblemas como los planteados en Plantear situaciones para multiplicar y dividir,del modo como ya se ha explicado. Un nuevo ejemplo es el siguiente: Marcelo compr 48 caramelos para repartir a 6 amigos en el da de su cumple-aos. Cuntos caramelos colocar en cada bolsita? Y si compra 57 caramelos?

81

Eje

Nmeroy Operaciones


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Luego es posible proponerles que comparen los procedimientos que ellosusaron con los propuestos en la siguiente situacin, para que focalicen la rela-cin de la divisin con la multiplicacin.

Analiz cmo pens cada uno de estas chicas para resolver los clculos.

Mariela: Yo pienso por cunto multiplico a 6 paraque me d 48. Voy probando 6 x 5 = 30, me falta;6 x 10 = 60, me paso. Entonces pruebo con 6 x 8 = 48.

Ema: Yo busco en la tabla pitagrica el nmeroen la columna del 6y miro en que fila est.

Mariela: Yo pienso que 57 no est en la tabla del 6,entonces voy buscando 6 x 9 = 54 es ms chicoy si hago 6 x 10 = 60 es ms grande.Entonces es 9 y me sobra algo.Ema: Yo busco en la tabla pitagrica en la columna del 6 y,

como con 60 me paso, elijo 54 que est en la fila del 9. Me sobran 3.

Us las formas de Mariela y Ema para calcular 45./. 9 y 73 ./. 8.

Para avanzar en el algoritmo de la divisin, ser necesario considerar nme-ros ms grandes de modo que no se pueda resolver la cuenta apelando nica-mente a la tabla memorizada, ni recurriendo a la tabla pitagrica, como sepropone en el primer punto del problema siguiente. Si los nios han trabajadoantes con descomposiciones, es probable que esto los conduzca a descompo-ner los nmeros de algn modo para poder resolver. El anlisis de los nuevos

procedimientos y la comparacin con otros, tal como se plantea en el segundoy tercer puntos, facilitar la comprensin de propiedades y operaciones involu-cradas en cada uno. Cuando se consideran contextos, vincular los nmeros dela cuenta con las cantidades del enunciado, tal como se plantea en el ltimopunto, permite evaluar la razonabilidad del resultado obtenido.

Resolv el problema siguienteComo Ayeln ya complet su lbum de figuritas, decidi repartir las 89 figuritasque le sobraron entre sus mejores amigas: Beln, Ana, Rosario y Mara.Cuntas le dar a cada una?

82 Matemtica 3

>

48 ./. 6

57 ./. 6


44/58

Analiz cmo lo pens Ayelny compar con el procedimientoque vos utilizaste.

89 49 9 40 40 8

49 9 1

Beln Ana Rosario Mara

10 10 10 10+ 10 + 10 + 10 + 102 2 2 2

22 22 22 22

83

Eje

Nmeroy Operaciones

Compar esta divisin con laque us Ayeln.

Sel en la cuenta qu nmero indica:

la cantidad de figuritas para repartir

la cantidad de amigas

las figuritas que le toca a cada amiga

las figuritas que sobran


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El algoritmo que se plantea en el tercer punto es muy similar al que se trabaja enel Segundo Ciclo, tanto para las divisiones con cociente de una cifra, como de dos oms. Si bien esta cuestin ser analizada en profundidad en el Cuaderno para elaula: Matemtica 4, la comprensin de un algoritmo para dividir de manera econ-mica requiere, adems de tener disponibles los productos, tener cierto dominio de laspropiedades y de las descomposiciones de los nmeros.

Plantear situaciones para explorar relaciones numricasen las tablas de multiplicar

En 3er

ao/grado, es necesario destinar un tiempo para realizar un trabajo espe-cfico que favorezca la construccin de un repertorio multiplicativo, es decir, unconjunto de clculos memorizados y relacionados entre s. Para ello, es posibleapoyarse en los problemas multiplicativos que remiten a la nocin de proporcio-nalidad y que permiten vincular distintas cantidades como en el ejemplo de laslistas de precios de una librera planteado en el apartado Plantear situacionespara multiplicar y dividir.

En la enseanza clsica, solo se apunta a la memorizacin de los productos,pero en este caso el objetivo es avanzar a partir del establecimiento de relacio-nes entre los resultados de una misma tabla y entre los de distintas tablas.

La idea es construir con los chicos la tabla denominada pitagrica, que con-tiene los productos de nmeros hasta el 10. Para ello, es posible organizar unasecuencia de actividades propiciando un espacio de anlisis y reflexin en tornode las relaciones numricas involucradas y de los procedimientos utilizados alcompletar las tablas.

Paralelamente, se sugiere que cada alumno tenga en su cuaderno un cuadrodonde registrar los productos que va memorizando para, luego, independizarsede su uso.

Secuencia para completar la tabla pitagrica: Relacionar productos

Actividad 1Se presenta la tabla de las multiplicaciones como un cuadro de doble entrada,lo que permitir ordenar los resultados de todas las multiplicaciones de losnmeros hasta el 10. Para ello, debemos llevar a la clase un cuadro grandepara trabajar de modo colectivo, por ejemplo en un papel afiche y, adems, unopequeo por alumno que cada uno pegar en su cuaderno.Podemos explicar con un ejemplo cmo se ubican en la tabla dos factores ysu producto: el producto de 3 x 4 es 12, lo escribimos en, y el producto 4

84 Matemtica 3

>


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x 3, dnde les parece que se puede escribir? Por qu?Luego, podemos pedirles que escriban los resultados que ya conocen. No seles pedir que completen toda la tabla, sino que escriban solo los productosque ya tienen memorizados.Por ltimo, se puede pedir que avancen y completen el resto de los casilleros,usando en este caso otro color de lpiz o birome.

Tabla pitagrica

85

Eje

Nmeroy Operaciones

Es necesario que, luego de realizada esta segunda consigna, se abra unespacio de reflexin y anlisis en torno de lo realizado, en el que los alumnospuedan explicitar los distintos procedimientos utilizados. Por ejemplo, algunosexplicarn que la llenaron verticalmente sumando sucesivas veces el nmerode la columna; otros contarn que, para completar los casilleros como 6 x 2 y

2 x 6, pensaron que algunos productos se repiten; otros dirn que escribieronprimero las filas y las columnas de los nmeros que les resultaban msfamiliares como 1, 2, 5 y/o 10. Una vez ms, no se trata de elegir unprocedimiento nico sino de analizar los distintos procedimientos posibles.

Actividad 2Para favorecer el establecimiento de relaciones entre los nmeros de una mismacolumna y entre los de las distintas columnas de la tabla, el docente elegir elorden para presentar consignas como las siguientes, segn cules hayan sidolas argumentaciones que los chicos explicitaron en la actividad anterior.

X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101

2

3

4

5

6

7

89

10


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Consideren las columnas del 5 y del 10. Algunos chicos dicen que estosproductos son fciles de recordar; ustedes estn de acuerdo? Por qu?

Si se compara cada nmero de la columna del 5 con cada uno de los dela columna del 10 para la misma fila, qu relacin tienen?Las razones que suelen dar los chicos para responder la primera preguntase refieren a los nmeros en los que terminan todos los de la columna: todosterminan en 0 o en 5, y todos terminan en 0.En cuanto a la segunda pregunta, se trata de que establezcan la siguienterelacin: los nmeros de la tabla del 10 son el doble de los de la tabla del 5,

o que los de la tabla del 5 son la mitad de los de la del 10.

Luego se puede avanzar con la siguiente pregunta:

Si continuramos la columna del 10 poniendo los casilleros para 11 x10, 12 x 10, hasta el 19 x 10, qu nmeros escribiran como productos?,podran decir rpidamente cunto da 35 x 10?, por qu?Se trata de arribar con los chicos a una conclusin sobre qu sucede cuandomultiplicamos por la unidad seguida de ceros.En una actividad posterior a esta secuencia, apoyados en la conclusin aquobtenida, se podr discutir sobre la multiplicacin por los nmeros redondos

en general, es decir, x 20, x 30, x 40, x 100, x 200, etctera.

Tambin es posible preguntar por relaciones entre otras columnas de la tabla,expresadas por multiplicaciones o mediante sumas.

Qu columnas se pueden duplicar para obtener otras? Si se compara cada nmero de la columna del 2 con cada uno de los dela columna del 6 para la misma fila, qu relacin tienen? Y si se comparacon la del 10?

Cmo se pueden obtener los nmeros de la columna del 8 partiendode los de la columna del 2?

Qu columnas es posible sumar para obtener otra?

Actividad 3De mismo modo, se puede analizar en la tabla que hay distintos pares defactores para un mismo nmero, planteando la consigna:

Busquen los nmeros que se repitan y, en cada caso, escriban los factores.

86 Matemtica 3

>


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Algunos de los nmeros que se repiten aparecen dos veces y al escribir losfactores puede concluirse que son los mismos en distinto orden, es decir, quese cumple la propiedad conmutativa. Por ejemplo, el 35, que es el productoque corresponde a 5 x 7 y a 7 x 5.Otros productos, como por ejemplo el 12, el 24, el 36 o el 40, aparecen variasveces. Esto permitir llegar a la conclusin de que algunos nmeros admitendistintas descomposiciones multiplicativas en dos factores. Por ejemplo, para12, aparecen en la tabla:3 x 4 2 x 6

4 x 3 6 x 2

Tambin es posible concluir que los nmeros que estn ubicados en la diagonal dela tabla pitagrica admiten una descomposicin donde los dos factores son iguales.

Actividad 4Antes de presentar esta actividad, se debe tapar o sacar el afiche conla tabla completada entre todos y aclarar que tampoco se pueden usar lastablas personales.

Complet las siguientes tablas:Tabla A

Tabla B

Tabla C

87

Eje

Nmeroy Operaciones

X 5 10 3 6 12

2

4

8

X 4 8 3 7 11

3

6

9

X 5 7 8 9 10

5

10


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50/58

El Gato:17 relacionar productos y factoresMateriales: copia del tablero con el cuadro de productos y la filade factores, 2 clips o botones para usar como sealadores de los factoresy 36 fichas de dos colores diferentes.

Fila de factores

89

Eje

Nmeroy Operaciones

1 2 3 4 5 6

7 8 9 10 12 14

15 16 18 20 21 24

25 27 28 30 32 35

36 40 42 45 48 4954 56 63 64 72 81

Cuadro de productos

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Organizacin de la clase: en grupos de 4 alumnos, subdivididosen 2 equipos; cada equipo toma las fichas de un color.Desarrollo: un jugador del primer equipo escoge 2 nmeros de la filade factores, los marca con los sealadores y multiplica estos nmeroscolocando una ficha de su color en la casilla que contiene el producto.Por ejemplo, seala 5 y 6 y pone la ficha en el 30.

Luego, un jugador del otro equipo mueve solo uno de los sealadores aotro nmero en la fila de factores. Este jugador multiplica los nmerosahora sealados y coloca una ficha de su color en la casilla del producto.

17 Tomado de Murphy P.; Lambertson L. y Tesler P. (2004), The Math Explorer: Games andActivities for Middle School Youth Groups and Exploratorium Grades 712 , Emeryville,California, Key Curriculum Press.


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Por ejemplo, mueve el sealador del 6 al 8 y le queda entonces 5 x 8 = 40.Ambos sealadores se pueden colocar en el mismo nmero, por ejemplo,para 5 x 5.Si este producto ya ha sido tomado, pasa el turno al equipo contrario.Los equipos siguen alternando turnos y gana el jugador que cubre 4 casillasen lnea, sin espacios vacos en medio. La lnea puede ser horizontal, verticaly diagonal.Si alguno de los jugadores descubre que su contrincante comete un erroren la multiplicacin, puede capturar la casilla correcta, tras decir el producto

correcto.

Es interesante destacar que, al anticipar posibles jugadas del jugador contra-rio para bloquear su camino, los nios comienzan a buscar descomposiciones enfactores de los nmeros y fortalecen as las relaciones entre multiplicacin y divi-sin. En el mismo sentido, luego de varias partidas, resulta conveniente discutir sihay algunos nmeros que son ms fciles de obtener, explicitando y comparan-do la cantidad de descomposiciones en factores que admiten distintos nmeros.

En ambos juegos, es necesario que los chicos establezcan relaciones paraganar, pero la rapidez requerida lleva a la conveniencia de memorizar las tablas.

Al jugar en reiteradas oportunidades los alumnos podrn observar que sus pro-gresos en la memorizacin de las tablas producen mejores resultados.

Para trabajar con la informacinCuando consideramos la resolucin de problemas aritmticos, es necesario des-tinar un tiempo para centrarnos en el anlisis de los aspectos ligados a la infor-macin que se proporciona y a aquella que se quiere averiguar, por ejemplo, ladiferenciacin entre datos e incgnitas, la seleccin de la informacin y su orga-nizacin, la interpretacin en el contexto y su identificacin segn el soporte enel que se presenta (enunciado verbal, grfico, tabla, etc.), la discusin acerca del

nmero de soluciones (una, varias o ninguna) o la produccin de problemas apartir de la informacin presentada en diferentes portadores.

Otro aspecto a considerar al trabajar con la informacin es la recoleccin yorganizacin de datos. Este trabajo podr comenzar con actividades de inter-pretacin de tablas ya confeccionadas, para luego avanzar en la elaboracin deotras en nuevos problemas. Para la construccin de tablas, en algunos casos,se puede proporcionar la informacin desordenada y pedir que la organicen y,en otros, se puede proponer que primero recolecten los datos para luego con-feccionar tablas.

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Plantear situaciones para establecer relaciones en

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