33ºº ee..ss..oo..departamentos.colegiosansaturio.com/deptomatesweb/3eso/docs3es… · el padre de...
TRANSCRIPT
1
CCCuuuaaadddeeerrrnnnooo dddeee VVVAAACCCAAACCCIIIOOONNNEEESSS
333ººº EEE...SSS...OOO...
2
CCCUUUAAADDDEEERRRNNNOOO DDDEEE VVVAAACCCAAACCCIIIOOONNNEEESSS 3º E.S.O.
1º Operaciones combinadas con fracciones ............... Pág.:3 2º Problemas con fracciones: ..................................... Pág.:4 3º Fracción generatriz ................................................. Pág.:5 4º Potencias ................................................................ Pág.:6 y 7 5º Radicales ................................................................ Pág.:8,9,10 y 11 6º Proporcionalidad y porcentajes …..........................Pág.: 12,13,14,15 y 16 7º Polinomios ............................................................. Pág.:17 y 18
Identidades notables .............................. Pág.:19 Factorización ......................................... Pág.:20 y 21 Regla de Ruffini ..................................... Pág.:22
8º Fracciones algebraicas ........................................... Pág.:23 9º Ecuaciones de 1er grado ......................................... Pág.:24 10º Problemas de ecuaciones de 1er grado ................. Pág.:25 11º Sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas .. Pág.:26 12º Problemas de sistemas de dos ecuaciones ......... Pág.:27 13º Ecuaciones de segundo grado .............................. Pág.:28 y 29 14º Problemas de ecuaciones de segundo grado ........ Pág.:30 15º Funciones lineales ............................................... Pág.:31 16º Funciones cuadráticas .......................................... Pág.:32 17 º Estudio de una función a partir de su gráfica…...Pág.:33 18º Geometría. Figuras planas ................................... Pág.:34 y 35
19º Figuras en el espacio ............................................ Pág.:36 y 37 PROBLEMAS CLASICOS …................................... Pág.: 38
3
111ººº OOOPPPEEERRRAAACCCIIIOOONNNEEESSS CCCOOOMMMBBBIIINNNAAADDDAAASSS CCCOOONNN FFFRRRAAACCCCCCIIIOOONNNEEESSS
Realizar las siguientes operaciones respetando la jerarquía de operaciones y paréntesis:
( )
−+
−−−
+
−+
+−+
−+−
−+
−−−
+
+−+
−
+
+
−
−−
+
−−−
−+
+−
+
+−−
+−
+−
−−
−+
−−
−−
−
+−−
+−
+−
−+
+−
−++−
−−+−++
+−−−
+−
103
32
21
451
21
51.36
61
31
34:
61
35
23
32.35
23:
41
31
42:
34
32:
23.34
124
31
21
431
31
2333
153:334
21
51
21
51.32
31:
32:2
31
61
21
6142.31
21:
31:2
51
41
101
2132.30
31
41
41
23
211.29
162
433
31
23.28
41
161
81
41
21.27
83
21
310
21
43
43.26
52
43
710
21
35
76.25
231
322
37.24
61
34
92
63
35.23
33
62
21
312.22
324
612
43.21
95
35
274
92
271
91
31.20
63
32
64
31
32
31
21.19
( )
−+
−−−
+
−+−
+−
−+
−+−
−+
−−−
+
+−+
−
+
+
−
−−
+
−−−
−+
+−
+
+−−
+−
−−−
−+
+−−
−−
−
+−−
+−
+−
−+
+−
−++−
−−+−++
+−−++−
203
32
21
431
31
53.18
61
32
34:
41
65
27
32.17
73:
43
31
45:
54
32:
53.16
203
32
21
431
31
5315
153:435
41
21
21
31.14
21:
31:3
51
41
21
3143.13
21:
31:3
51
41
21
3143.12
41
31
21
43
311.11
152
432
41
53.10
161
81
41
21.9
43
21
32
21
43
85.8
51
43
114
21
35
83.7
41
321
25.6
62
31
95
62
37.5
23
32
31
211.4
233
6487
43.3
85
43
162
43
81
41
21.2
63
32
61
32
37
3104.1
4
222ººº PPPRRROOOBBBLLLEEEMMMAAASSS CCCOOONNN FFFRRRAAACCCCCCIIIOOONNNEEESSS 1º De un trozo de cuerda. El primer día cortan 1/3 , el segundo día 2/5 del resto y el tercer día quedan 12m. Calcular la longitud de la cuerda. 2º Dos amigos van de excursión. El primer día recorren 2/5 del trayecto, el segundo día 1/3 del trayecto y el tercer día el resto que son 24 Km. Calcular el trayecto de la excursión. 3º De una bolsa de caramelos. Luis se come 2/9 , Sonia 2/9 y Laura 3/9 .El resto de los niños se comieron 16 en total. Calcular el número de caramelos que se comieron Luis Sonia y Laura 4º El equipo de baloncesto de un colegio juega la final de un campeonato. Luis hizo 1/8 de los puntos Sonia 2/8 y Laura 3/8 . Los jugadores restantes hicieron 16 puntos. Calcular el número de puntos hechos por Luis Sonia y Laura 5º Una motorista recorre 90 kms en tres cuartos de hora y otro recorre 60 kms en media hora. ¿ Cuál es más rápido? 6º Una lata de limonada contiene 1/3 de litro. Carolina, para celebrar su cumpleaños, ha comprado 30 latas. ¿ Cuántos litros ha comprado? 7º Un viticultor vende 1/3 de su cosecha y luego 4/7 de lo restante. Si le quedan 120 hectolitros, ¿cuánto cosechó? 8º En la merienda Ana se ha comido la mitad de la tarta, María la cuarta parte, Elena la sexta parte y el plato se ha quedado vacío. ¿Es cierto? Justifica la respuesta. 9º El padre de Carlos gasta 2/5 de su sueldo en el alquiler de su casa y los 5/6 del resto en comida. Si después de pagar el alquiler y la comida le quedan 300 €, ¿cuántos euros gastó en comida? (Expresa el resto con una operación combinada) 10º En una planta de recogida de basuras, la tercera parte corresponde a envases, una cuarta parte son papeles y cartones y el resto son residuos orgánicos. Si en este momento hay almacenados 10000 kilogramos de residuos orgánicos, calcula cuántos kilogramos de basuras hay en la planta. 11º En un congreso participan una tercera parte de españoles y 3/5 de los asistentes son asiáticos. Si hay 50 asistentes de otras procedencias.¿Cuántos congresistas hay? 12º Un caminante realiza las 2/3 partes de un viaje en bicicleta, 1 / 4 en autobús y los 10 kms restantes andando ¿Cuántos kilómetros ha recorrido? 13º Una empresa ha comprado una parcela rectangular. El edificio de la empresa ocupa 2/5 del largo y ¼ del ancho y tiene 300 m2 de planta. ¿Cuántos metros tiene la parcela? 14º El aire es una mezcla de gases. En la capa más próxima a la superficie de la Tierra, se encuentran en las siguientes proporciones: 3 / 4 de nitrógeno, 1 / 5 de oxígeno, 3 / 10000 de anhídrido carbónico y el resto de gases nobles. Halla cuántos litros de cada uno de estos gases se encuentra en un m3. 15º La sangre humana se compone 9 / 20 de corpúsculos (glóbulos rojos, glóbulos blancos, plaquetas) y el resto de plasma. Sabiendo que de una persona constituye 1 / 14 de su masa cuánto pesan los corpúsculos sanguíneos de una persona de 77 kg?. 16º Una colonia de verano consta de dos pabellones. En el pabellón A hay 320 personas más que en el B. Sabiendo que en B se encuentran los 7 / 22 del total ¿cuántas personas hay en la colonia? 17º En un campo se cultivan flores. La cuarta parte son rosas, la sexta parte, claveles y el resto tulipanes. La sexta parte de la parcela dedicada a rosas es para flores blancas. Si el campo tiene 720 m2 y en casa m2 se producen 200 flores ¿cuántas rosas blancas se recogieron? 18º En un congreso internacional 3 / 8 de los asistentes son europeos, y la tercera parte, americanos. Hay 49 asistentes que no son ni europeos ni americanos. ¿Cuántos congresistas hay? . 19º La diferencia entre los 4 /5 y los 2 /3 de un número es igual a 8 ¿Cuál es el número? 20º Si se unen dos cables eléctricos, se obtiene un cable de 440m. Si sabemos que uno mide los 4/7 del otro ¿cuál es la longitud de cada cable? 21º Se siembra un huerto con patatas, puerros y zanahorias. Las patatas ocupan una cuarta parte, los puerros, los dos quintos, y las zanahorias el resto. La parte dedicada a los puerros supera en 30 m2 a la de zanahorias. ¿cuál es la extensión del huerto? 22º Por la compra de un apartamento hemos dado como anticipo 24000€ y nos hemos comprometido a pagar 250 € al mes. Después de 24 meses, hemos pagado los 5 / 8 del precio total. Calcular el precio del apartamento. 23º Isabel da la cuarta parte de su caja de bombones a Elena y de los que le quedan, le da la mitad a Carmen. Carmen da un tercio de su parte a Carlos, al que le tocan 8 bombones. Calcula cuantos bombones tenía la caja y cuantos se llevo cada uno.
5
333ººº FFFRRRAAACCCCCCIIIÓÓÓNNN GGGEEENNNEEERRRAAATTTIIIZZZ
1º Transforma en fracción los siguientes decimales exactos. a) 0,35 b) 1,54 c) 31,2 d) 4,27 e) 12,125 f) 2,33 g) 123,1 h) 0,1234 i) 135,3 j) 3,2 k) 2,22 l) 4,123 m) 22,36 n) 23,023 2º Escribe en forma de fracción : a) 0, 4 b) 31,4 c) 25,1 d) 32, 25 e) 12,034 f) 23,123 g) 12,01 h) 1,21 i) 21,02 j) 12,23 k) 12,0001 l) 12,1232 m) 1,0123 n) 2,012 ñ) 0,1234 o) 1, 43 p) 1002,1 q) 67,2013 r) 12,121 s) 3, 4 t) 3, 14 u) 92,12 v) 25, 25 w) 87,034 x) 35,923 y) 12,01 z) 1,21 1) 34,43 2) 23,0023 3) 75,1001 4) 7,1023 5)2,034 6)2,9876 7) 123,1 8)123,27 3º Escribe en forma de fracción los siguientes números periódicos mixtos: a) 12,0 1 b) 12,12 3 c) 123,00 2 d) 12,123 1 e) 12,1223 3 f) 2,2 12 g) 34,01 1 h) 0,12 12 i) 12,1 234 j) 23,52 123 k) 12,123 987 l) 2,1 36 m) 0,123 1 n) 12,1 21 ñ) 98,81 12 o) 23,35 234 p) 127, 45 45 q) 23,23 231 r) 21,0 5 s) 32,23 42 t) 321,00 3 u) 14,125 2 v) 67,001 3 w) 3,9 21 x) 34,01 121 y) 0,35 12 z) 12,1 234
6
444º POTENCIAS
Propiedades de las potencias 1º) an . am = an+m 2º) an : am = an-m 3º) (an)m = an.m
4º) nm
n m aa =
1.- 45
32
.
. aaaa
2.- 245
43
:.. −
−
aaaaa
3.- (x2)3 . x-4 . x5 4.- aaaaaa
..
.
3
25
5
5.- 4
3
24 .
a
aa 6.- (x4: x2)2 . (x4:x2)3
7.- 2
3
3
2
:.a
aaa
aa 8.- 5
3
42
.. aa
aa−
−
9.- ( ) ( )xxxx :.: 2223 10.- 42142342 )()( yxyxyx −−− 11.- 424
532
bbaaba
12.- 642323 ))( ( baba 13.- 324
342
bbaaba −
14.- 234312323 )()()( yxyxyx −− 15.- 233
)2(21.1 0 2 4
16.- 423
)2(41.1 2 8
17.- 81 . ((3)2)-1 .27 18.- 434 )(6 4 3 2 −aa 19.- 425 )( 2 7 8 1 −aa 20.- 5
32
31))3( (
−
21.- 322
)1 2(551 2 6 5 −
22.- 153
)6 2 5(52 511 2 5 −
23.- 22
23.
32 −
43
23.
32
24.- 3324
2342
−
−
abbababa
25.- 3
242322 1))( (
baaba 26.-
2
3242343 1))( (
yx
xyx 27.- 32122323 )()( yxyxyx −−− 28.- 224
3222
)()(
babba −
29.- 221232232 )())( ( −−−−− yxyxyx 30.- (x4: x2)2 (x4:x2)-3. (x6: x4)2 . (x5:x2)2 . (x7:x4)-2
31.- 22423333 )()( bababa −− 32.- 24
53.
35
32
53.
35 −
33.- 223
23322 )()(bba
aba −
34. 224
3222
)yx(x)yx( −
( )( )
12234223232
2
2
24
220
223
3
3
5
3
2
27
5
3
5
3
2
45
32
21.
21.
21
21:
21.
21.
21.2
23.
32
x.x.xx:x.x:x
a.aa.aa.a.
a.aa.a
a.aa.a
a.aa:
aa.a
a.aa.a
−−−−
−
−
−
−
−−−
4 0 .933 8 .
3 7 . 3 6 .
3 5 .
41.- 3
63
433
241)16(
)2(21.1024
−
42.- 642323
4332
))( ()(
babababa −
43.- 5323
42142342
−
−−−
yyxyxyxyx
)()()(
44.- 3
44
433
12
642
aa
aa )(
45.-
3
24
32
23423123 ))( ()(
−
baba
baa bba 46.- 5
32
342
313
2733181
−
−
))((
)( 47.-
2
4-2-4-
- 342
z ) y ( 1 6 xz ) yx8(
−−−
48.-
a.aa.aa1a.a
3
3
434
−
49.- 2
223
42142342
1)(
)()(
−−−
x yyx
yxyxyx
50.- 3
42323
43232
1))( (
)()(
−
a baba
baba 51.- 3
524
434
1)2(
)(6 43 2−
−
aa
aa 52.- 642323 yx))yx( (
7
53.-
522242
21.
21.
21.6 4
−
54.- 2342
3323
))( ()(
baa bba −
55. 2
34
223
32122432
yx)yx(
)yx()yx(yx
−−−
56.- 633
352
31))3((
)81(33127
−
57.- 42356
41352323
)()()(
−−
−−−−−−
bababababa
58.- 34265
22464432
)()()(
−−
−−−−−
bababababa
59-. ( )3344
222433
xx2
)))x( ( ()x(1 2 8 x2−
−
60 .- 532
342
31))3((
)27(33181
−
−
61.- 633
233
352
21))2( (
))2( (21)1 6(2
21 3 2
−
−−
62.- 2
2322
43231233
1)(
)()(
−−−
yxyx
yxyxyx
63.- 2
223
42142342
1
−−−
x yyx
yxyxyx
)(
)()(
64.- 633
352
51))5((
)6 2 5(52 511 2 5
−
65.-
322223
31.
31.
31.
−
66.- ( )234
233
xx1 6)x(1 2 8x4
−
67.- 342222
1332332
ba))ba( ()ba()ba(ba −−−−
8
555º RADICALES Propiedades de los radicales
1º) nna b.aba . = 2º) nna baba :: = 3º) ( ) n mmn aa = 4º) m.nn m aa =
5º) El producto (división) de dos radicales de distinto índice es otro radical de índice el m.c.m de los índices y en su interior los la multiplicación (división) de los radicandos elevados al resultado de dividir el m.c.m entre su índice
Ejemplos : 6 323 baba . = 44
32
32
=
6º) Para extraer de un radical se divide el exponente del radicando entre el índice de la raíz , el cociente son los que salen y el resto los que se quedan:
Ejemplo: 3 233 1 1 xxx =
7º) Para introducir un factor en un radical multiplicamos el exponente por el índice del radical Ejemplo: 3 632 yxyx =
8º) Para sumar radicales deben ser iguales : Ejemplo: 272522 =+
1º) Escribir los siguientes radicales en forma de potencia de exponente fraccionario
1.- 3xy 2.- 3 32ba 3.- 4 2 yx 4. - 4 23 ba 5. - 4 323 2 edca b 6.- 5 32 yx 7.- x
8. - 4 33 z y x 9.- 4 4 23 zyx 10.- 4 23 2 cba 11.- 3 2 ba 12.- 4 33 2 dc ba
13.- 4 3 22 zyx 14.- 3 5 32 z yx 15.- x 16.- 45 4 t z y x 17.- 4 3 23 c b a
18.- 3 25 2 z y x 19.- 3 2 . 4 33 dc 20.- 32
bba
21.- 32
ca b 22.- 3 23
21
23.- 6 5
3 2
zb yx a
24.- 43
2
ca
yx
25.- 3 35xc yba
26.- fe
dc ba4 3
4 3332
27.- 4 3 z y 32
ca
b1
28.- 53
3
ca
y1
29.- 3 35
5 2
xcba
30.- fe
dc ba5 23
3 232
31.- 3 3 y x 32
ta
z1 32.-
3 2yx
2º) Factorizar, escribir en forma de potencia con exponente fraccionario y simplificar. 1.- 2 8 2.- 27 3 81 3. - 4 125 5 4.- 3 16 8 3 4 5. - 1024 2 6.- 25 3 125 7.- 4 25 .125 8.- 16 3 32 8 9.- 7 3 4 3 4 943 10.- 43 51 2 56 2 5 11.- 43 1 2 8 6 4 12.- 1 2 2 5 6 1 0 2 434 13.- 128 32 14.- 16 8 3 32 15.- 9 3 81 16.- 7 343 4 49 17.- 8 3 64 18.- 125 5 19.- 32 3 2 8 20.- 27 3 3 21.- 343 7 3 49 22.- 8 3 64 23.- 25 1255 24.- 3 8 8 3 4 25. - 1024 2 8 . 26.- 534 1 62 5 61 2 8 27.- 125 3 6 2 51 2 5 28.- 3 44 97 43 30.- 243 3 81
9
3º) Extraer fuera del radical 1.- 8 2.- a16 3-. 3a
4.- 53ba
5.- 73ba 3 2
6.- 49ba12 7.- 3 625 8.- 4a 125
9.- 3 1 05ba 8 1
10.- 3 1 28 b a 1 2 8
11.- 3 1 298 z y x8 1
12.- 1 51 373 tzyx 1 6
13.- 3 1 31 07 c ba
14.- 4 1 22 39 zy x1 0 2 4
15.- 4 84ba81
16.- x1 6b a 2 7
5
45
17.- z y x3 2b a 8 1
954
48
18.- z y x2 7b a 1 2 8
1 5 95
71 2
19.- 1 96ba 1 2 5
20.- 2 11 51 79 tzyx 3 2
21.- 3 1 61 41 01 2 d c ba 8 1
22.- 3 2 31 21 7 c ba 2 4 3
23.- y x1 6b a 7 2 91 35
2 38
24.- 31 71 6
1 1
b.ax.1 0 2 4
25.- z y x2 7b a 6 4
1 5 1 27
8 71 3
26.- 31213
12
b.ax.64
27.- a 6 2 5
y x 3 26
45
28.- z 2 y x3 2b a 1 2 5
91 59
1 49
29.- y x8b a 9
91 5
1 71 3
30.- 7381 6 dcba2 5
31.- x1 2 8
a 2 74
8
32.- y x1 6b a 8 1
1 75
2 59
4º) Introducir dentro del radical y simplificar 1.- 2 a b2 3 2ba
2.- 33
2
32 yzx2
yx25
3.- 32
24
32 z8 1yx2 5
zx5 y3
4.- a2b3c4 cba
5.- 32
22
34 yzx2
yx23
6.- 32
2
2
3
a 8 1a x 6 2 5
z x5 a2
7.- a4b3c4 d3 dcba
8.- 2
44
4
3
xyx
yx
−
9.- a2 b-3 33ba
10.- a4 b3 3 4ba 12.- a3 b-2 32ba
13.- x4 y-2 3yx
14.-a4 b2 c3 cba
5º) Escribir como un único radical
1.- 3 x 2.- x 3.- xx 4.- 3 xx 5.- 4 3 23 c b a 6.- 3 22 zyx
7.- 3 2 8.- 32
bba
9.- 4 3 z y 10.- 4 28 11.- 4 3 2xxx 12.- 32
ba
ba
6º) Realizar las siguientes multiplicaciones y extraer fuera del radical. (Factoriza los números) 1.- 532
2.- 824
3.- xx3 2
4.- 53 2781
5.- 3 24 3 aa
6.- 3 226 45 yxyx
7.- 1 0 95 4 a6 2 5a1 2 5
8.- 43 842
9.- 63 532
10.- 63 432
11.- 634 1 22 55
12.- 4 33 2 a8a4a2
13.- 4 33 23 a1 22 5a5a
14.- 3 443 2 ba4ba5
15.- 33 23 4 a2 5a5a
16.- 4 323 3 1 22xx8 x
17.- 6 533 23 4 yxyxyx
18.- 1 0 6 21 2 52 55 53
19.- 1 0 45 33 2 xxxx
20.- 12 18 6 24 48
21.- 4 23323 2 bababa
22.- 4 324 3 32 73aa8 1
23.- 6 22 yxyx
24.- 32ba 3 2ba37º) Realizar las siguientes divisiones y extraer fuera del radical. (Factoriza los números)
10
1.- 5
10
2.- 253
3.- 6
4
273
4.- 3 8127
5.- 8
1285
6.- 1256253
7.- 8
10246
8.- 3 813
9.- x
x3 2
10.- 3
3 2
b
ba
11.- 6 54
4 2
yx
yx
12.- a b c
cba5 432 −
13.- 4 22
6 22
yx
yx
14.- 6 43
324 3
yxx y
yxx y
15.- 1 0 22
3 325 4
yxx y
yxx y
16.- 6 2a
b
bba
baa3 42
3
17.- 3 a
aa
18.- 3 ab
ba
19.- yyx
yxx3 42
2
2x
y
20.- 1 0 22
3 325 4
yxx y
yxx y
21.- 232-3 42
4 223
)( a
a b
bba
aba
22.- 3 22
4 323 4
baba
baa b
23.- x
xxx
24.- aba
bba2
25.- ab
bba
26.- 3
3
x
xxx
27.- 3
2
ab
bba
28.-x)x(
xyx22
29.- 43 42
23
yyx
yxx2x
y
30.- 1 5 25
3 323 42
yxx y
yxyx
8º) Simplifica las siguientes expresiones:
1.- 2 +7 2 -11 2 + 2 2.- 5 -3 5 +4 5 - 5 3.- 3 3 7 +7 3 7 -3 3 7 +8 3 7
4.- 4 5 4 - 21
5 4 +3 5 4
5.- 21
3 + 32
3
6.- 4 5 - 31
5 + 23
5
7.- 126 32 8372 −+− 8.- 18 + 50 - 2 - 8 9.- a50 - a18 +2 a2 10.- 75 +2 27 +4 12 -3 3
126 32 8372 −+−−1 1 . 12.- 2 8 185+ 9 832 0 0+− 13.- 5·53 21 8·28·3 −+− 14.- 132 74 8·21 0 8 −−+ 15.- 3 48 -4 27 +5 75 +6 3 16.- 32 +4 50 -3 98 -7 128 17.- 132 74 8·21 0 8 −−+ 18.- 3 2 -3 3 16 +5 3 250
19.- 333 6 23545 −+ 20.- 333 2 445 627 +− 21.- 3333 52 5 01 64 3 2 −+− 22.- 245 +4 4 531 8 0−
RACIONALIZAR Consiste en eliminar raíces del denominador. Existen varios procedimientos
1er Tipo: Denominador con raíz cuadrada
Se multiplica numerador y denominador por la raíz :
11
ba
( ) bba
b
bab
a2 ==
2º Tipo : Denominador con raíz
de índice superior n mb
a
Se multiplica y divide por una raíz con el mismo índice y el radicando elevado a la diferencia entre el índice y el exponte del radicando
bba
b
ba
b
ba
bb
ba
b
a n mn
n n
n mn
n mnm
n mn
n mnn m
n mn
n m
−−
−+
−
−
−
====
3er Tipo: Denominador con raíces sumadas o
restadas cba+
Se multiplica y divide por las raíces conjugadas y se aplica la identidad notable (a+b)(a-b) =a2-b2
( ) ( ) cb)cb(a
cb
)cb(a)cb) (cb(
)cb(acb
a22 −
−=
−
−=
−+
−=
+
9º) Racionaliza las siguientes expresiones:
1.- 53
2.- 62
3.- 32
4.-2
22 −
5.-3
25 −
6.-10
51 −
7.- 5 84
8.- 5 272
9.- 3 35
10.- 3 24
11.- 3 63
12.- 3 25
13.- 3 84
14.- 352−
15.-51
22+
16.- 253−
17.-23
6−
18.- 372−
19.- 362+
20.- 632
21.-2
32 +
22.- 4 255
23.- 652−
24.- 37
2−
25.- 332
26.- 4 1255
27.- 234
+
28.- 2562
29.-5
52 +
30.- 3 497
31.- 382−
32.- 652+
33.- 4 1253
34.-32
3+
35.-34
5−
36.- 52
37.- 35
3−
38.- 7522−
39.- 4 253
40.- 3 854
12
666ººº PPPRRROOOPPPOOORRRCCCIIIOOONNNAAALLLIIIDDDAAADDD
1. Determina cuáles de las siguientes relaciones son de proporcionalidad directa: a. Nº de horas de trabajo de un pintor y nº de metros de valla que pinta. b. Cantidad de jamón que se compra y precio que se paga. c. Se muestran en la tabla unos datos obtenidos de cierto vehículo:
Velocidad en Km/h 60 90 120 140 Consumo en litros por cada 100 Km 7 8 11 16 Nº de revoluciones por minuto 2400 3600 4800 5600
d. En un hospital, un televisor funciona media hora por cada 100 pesetas que se introducen en él. Determina si existe relación de proporcionalidad directa entre la duración de un programa y el precio que nos supondría verlo.
e. Un aire limpio contiene un 21% de oxígeno. En cada inspiración que realizamos la tercera parte de éste pasa a la sangre. ¿Son directamente proporcionales la cantidad de oxígeno que pasa a la sangre y el número de inspiraciones?
f. En un garaje cobran 2,5 € si un coche está estacionado menos de una hora, 5 € si lo está entre una y dos horas, 7,5€ si lo está entre dos y tres horas, etc. ¿Son directamente proporcionales las magnitudes tiempo de estacionamiento e importe pagado?
g. En una atracción de feria cobran 2€ por cada vale, pero existe una oferta que cobra 9€ si se compran vales para cinco paseos. ¿Son directamente proporcionales las magnitudes número de vales que compra una persona y precio que paga?
h. Altura desde la que dejamos caer un objeto y velocidad con la que llega al suelo. i. Peso de un objeto, que se deja caer a 50 m de altura, y velocidad de llegada al suelo. j. Peso suspendido desde un muelle y longitud que se estira. k. Velocidad de desplazamiento de un trineo y nº de perros que tiran de él. l. Altura de un poste y longitud de la sombra que produce a una hora determinada del
día. m. Peso de una persona y superficie que abarca su sombra. n. Volumen de agua calentada en una olla y tiempo que tarda en enfriarse (en alcanzar la
temperatura ambiente) o. Cantidad de agua vertida en un tubo de cristal y altura que alcanza el líquido. p. Cantidad de agua vertida en un recipiente y altura que alcanza. q. Nº de hojas de una novela y tiempo que se tarda en leerla. r. Nº de horas que está encendida una bombilla y gasto que ocasiona s. Nº de personas que asisten un día a una función de teatro y beneficios que obtiene el
empresario. t. Nº de pasos que marca un taxímetro y precio de la carrera. u. Lado de un cuadrado y diagonal de éste. v. Lado de un cuadrado y área que ocupa.
2. Responde si las situaciones siguientes son de proporcionalidad, es decir, si puedes aplicar una regla de 3 para resolverlas:
a. Mi madre y yo hemos cumplido 40 y 14 años respectivamente. ¿Cuánto cumpliré yo cuando mi madre cumpla 80?
b. Un coche, por término medio, consume 8 l cada 100 Km. ¿Cuánto consumirá si realiza 650 Km?
c. Para decorar una tarta de 15 cm de diámetro utilicé 10 fresas. ¿Cuántas necesitaré para decorar otro de 30 cm de diámetro?
13
d. El otro día gasté casi dos botes de pintura para pintar una pared de 16 metros cuadrados. ¿Cuánto gastaré en pintar una habitación de 64?
e. El otro día gasté dos botes de pintura en pintar un cuadrado de 4 m de lado, ¿Cuánto gastaré en pintar otro de 8 m de lado?
3. Indica si hay proporcionalidad directa, inversa o si no hay ninguna proporcionalidad: a. Cantidad de personas que viajan en un autobús y dinero recaudado. b. Cantidad de personas que viajan en un autobús y ganancias netas de la empresa. c. Número de horas que está encendida una máquina de refrescos y dinero que recauda. d. Cantidad de refrescos que caben en una caja y diámetro de las botellas. e. Número de litors que escapan por segundo en el desagüe de una piscina y diámetro
del desagúe. f. Velocidad media de un ciclista y distancia recorrida. g. Número de vueltas que da una rueda para recorrer una distancia y diámetro de la
rueda. h. Número de comensales para zamparse una tarta y cantidad que corresponde a cada
uno. i. Tiempo que tarda un balón en caer al suelo y altura desde la que se lanza. j. Número de horas que está encendida una bombilla y gasto que ocasiona. k. Número de peldaños de una escalera de altura fija y anchura de ellos.
4. Completa las tablas:
Velocidad del vehículo 60 75 Revoluciones por minuto 2400 5050
5. Sabiendo que en cada inspiración introducimos 2 l de aire aproximadamente, y que inspiramos unas 15 veces por minuto:
Cantidad de oxígeno procesada (en litros) 2.1 1103760 Tiempo computado de respiración (en minutos)
1 60
6. Analiza si las siguientes tablas son de proporcionalidad.:
Magnitud A 2 7 3 Magnitud B 3 10'5 2000
Magnitud A -3 4 -7 Magnitud B 6 -8 14
Magnitud A 4 12 100 Magnitud B 3 9 75
Magnitud A -3 4 -7 Magnitud B -5'5 1'5 -9'5
Magnitud A 14 31 30
14
Magnitud B 2 3 210
Magnitud A 1 2 3 Magnitud B 4 5 6
7. Para hacer mermelada se utiliza cierta cantidad de azúcar por cada kilo de ciruelas. Completa la tabla:
Kg de ciruelas 12 20 Kg de azúcar 15 4'5
1. Luisa mide 165 cm de estatura y, a determinada hora del día, tiene una sombra de 115 cm. A la misma hora su casa determina una sombra de 9 m y 30 cm. ¿Cuál es la altura del edificio?
2. La milla inglesa y el Km se encuentran en una proporción de 5 a 8, es decir, 5 millas es lo mismo que 8 Km. Expresa en millas la distancia que hay entre Málaga y Granada, sabiendo que distan unos 130 Km.
3. Para cocer arroz un cocinero utiliza siete partes de agua por dos de arroz.¿Qué tazas de agua han de echarse por 7 de arroz?
4. En un grupo de personas hay 5 hombres por cada tres mujeres. Si hay 120 mujeres, ¿cuántos hombres hay?
5. El charrán del ártico es una de las aves que hace la migración más larga, ya que recorre 20169 Km en 12 días. ¿Cuánto recorrerá en 5 días si lleva siempre la misma velocidad?
6. Un administrativo realiza 1470 pulsaciones de teclado en 7 minutos. ¿Cuántas veces le da a la tecla en 100 sg?
7. Para hacer una tarta de 6 raciones se necesitan 3 huevos, 100 g de mantequilla (la odio), 120 g de chocolate y 60 g de levadura. ¿Qué cantidades se necesitarán para una de 8 raciones?
8. En 17 cajas iguales hay 1632 botones iguales, ¿cuántos habrá en 37?. ¿Cuántas cajas se necesitarán para guardar 900 botones?
9. Eva compró siete bolígrafos iguales con 231 pesetas. ¿Cuántos podría haber comprado si hubiese tenido 550 pesetas?
10. Un libro que cuesta 24€ nos lo rebajan un 10%, ¿cuánto hemos de pagar? 11. De los 120 alumnos de 3º, 46 van a un viaje. ¿Cuál es el porcentaje de viajeros
respecto del total de alumnos? 12. El porcentaje de extranjeros en una población es del 5 %. Por cada 3 extranjeros que hay,
¿cuántos no lo son? 13. En una elección se dieron los resultados que muestra la tabla, donde aparece el nombre del
candidato y el sexo de quienes le votaron
Fulano Mengana En blanco Hombres 120 140 40 Mujeres 60 80 10
¿Cuál es el porcentaje de hombres entre los votantes? ¿Cuál es el porcentaje de votos de Fulano entre los hombres que votaron?
14. Un material de aleación de aluminio y cobre contiene 8'5 Kg del primero y 1'5 del segundo. ¿Cuál es el tanto por ciento de cada uno de los metales en la aleación?
15. El 0'03% de los recién nacidos presentan determinada anomalía. De cada 10000 nacidos, ¿cuántos se espera que la padezcan?
15
16. Una camisa cuesta 50€, el comerciante multiplica la cantidad anterior por 0,85 y obtiene un precio de 42,50€, que es lo que cobra al cliente. ¿Qué descuento le hizo?
17. ¿Por qué cantidad ha de multiplicar las 50€ de la camisa en el caso de que desee aumentar su precio un 15%?
18. Mediante una sola operación ¿cómo puede obtenerse el precio, rebajado en un 20%, de una cadena de oro cuyo precio original es de 260 €?
19. Ana compra un pantalón, rebajado un 15%, a un precio de 51€. ¿Cuál era el precio original del artículo? ¿Se obtendrá sumándole a 51€ su 15%?
20. Si el barril de petróleo pasa de 20 $ a 21 $. ¿Qué porcentaje ha aumentado? 21. Una botella contiene medio litro de zumo de limón. El 80 % del zumo es agua. Si añado 300
cm3 de agua, ¿cuál es el porcentaje de agua en la mezcla? 22. ¿Por qué número tienes que multiplicar una cantidad para aumentarla un 35%? ¿Y para
disminuirla un 16%? 23. El precio de un artículo sin I.V.A. es de 750€. Si he pagado 840€, ¿qué porcentaje me han
aplicado? 24. Un artículo costaba antes de la rebaja 82€, si con la rebaja hecha valía 69,70€, ¿qué tanto por
ciento se rebajó? 25. Un individuo compra una finca por 560 000€. Posteriormente la vende por 604 800€, ¿en qué
tanto por ciento aumentó el precio? 26. 8 albañiles tardan en hacer una obra 15 días y medio, ¿cuánto tardarían 11 albañiles? 27. Una persona tiene 30 vacas y alimento almacenado para darles de comer durante 16 días.
Vende 18 de ellas, ¿Cuántos días puede alimentar a las que sobran con el alimento que tiene? 28. Un ganadero posee forraje para alimentar a sus bueyes durante 14 semanas. Tras vender 60
animales comprueba que le queda alimento para 20 semanas, ¿cuántos bueyes le quedaron? 29. Un ciclista que corre a una velocidad de 16 Km/h tarda 2 horas y 20 minutos en llegar al
próximo pueblo. ¿Cuánto tardaría si llevase una velocidad de 22 Km/h? 30. Los cinco propietarios de casas que residen en una plaza deciden arreglarla de manera que el
gasto de cada uno sea directamente proporcional a los metros de fachada que ocupa su casa. Dos de ellos tienen una fachada de 12 m, otros dos de 17 m y el último de 24. ¿Cuánto han de pagar respectivamente si el coste de la obra es de 35 000€?
31. Una señora camina 5 horas diarias durante 4 días realizando una marcha de 68 Km. ¿Cuánto hubiese caminado si lo hiciese a igual ritmo que antes durante 7 horas diarias y 5 días?
32. Si caminó 110 Km a razón de 6 horas y media al día, ¿cuántos días necesitó para realizar el camino?
33. ¿Cuánto costará la comida de 150 turistas durante 15 días, si la de 20 turistas durante 7 días cuesta 1 960€?
34. Si tenemos un presupuesto para comida de 2 000 € y podemos alojar turistas durante 10 días, ¿a cuántos turistas podremos alimentar?
35. María y Lucas se van a repartir una prima de 800€ de manera directamente proporcional a sus sueldos que son de 1 980€ y 1 640€ respectivamente. ¿Cuánto corresponde a cada uno?
36. En una carrera se reparten 550 € de premio entre los tres primeros, de manera que cantidad recibida sea proporcional al puesto ocupado. ¿Cuánto corresponderá a cada uno?
37. Se desean repartir 8 000€ entre tres ciclistas de un equipo que participa en una contrareloj. Si se hace de forma inversamente proporcional a los tiempos realizados: 24' el primero, 36´ el segundo y 54´ el tercero; ¿cuánto corresponderá a cada uno?
38. Se desea repartir una bolsa de 100 caramelos entre 3 hermanos de manera inversamente proporcional a sus edades, que son de 8, 9 y 13 años respectivamente. ¿A cuánto toca cada uno? Si realizamos la misma operación con una tarta. ¿Cuál es la amplitud del sector de tarta que le corresponderá a cada hermano?
39. Para excavar unos solares se emplearon 3 máquinas iguales trabajando 160 h cada una. ¿Qué tiempo se hubiera tardado si hubiesen trabajado 10 máquinas?
16
40. Diez excavadoras hacen un túnel de 5 m de ancho por 4 m de alto en 7 días. ¿Cuántos metros podrán hacer 7 excavadoras si el túnel tiene 6 m de ancho y 5 m de alto en 7 días?
41. Para recorrer una distancia de 15000 Km un pájaro tarda 20 días, volando 9 h diarias. ¿Cuántos días tardará en recorrer 2000 Km si vuela durante 12 h diarias? ¿Cuántos Km recorrerá si vuela 8 días durante 16 h diarias?
42. Para pavimentar una calle de 600 m de largo y 24 m de ancho se han utilizado 36000 adoquines. ¿Cuántos adoquines se necesitarían para otra calle de 500 m de largo y 30 m de ancho?
43. 90 obreros necesitaron 80 días para construir una muralla de 120 m de longitud por 2 m de anchura. ¿Cuántos obreros serán necesarios para construir 150 m de muralla de 3 m de grosor en un tiempo de 60 días?
44. El precio de un espejo de 300 cm de largo y 240 de ancho es de 900€. ¿Qué anchura tendrá otro espejo del mismo material, de 360 cm de largo y que costó 1 260€?
45. Un buey atado a un árbol con una cuerda de 6 m de longitud tarda 6 días y medio en consumir la hierba que hay alrededor. ¿Cuánto tardaría si se alargase la cuerda 2 m?
PROBLEMAS CON PORCENTAJES
1. El 30 % de los alumnos de cierto curso suspenden una asignatura en junio y se presentan al examen de septiembre. Si de cada 7 presentados suspenden 4, ¿cuál es el % que suspenden definitivamente la asignatura?
2. Un cine sube el precio de la entrada en un 10 %, como consecuencia disminuye el número de entradas vendidas en un 5 %? ¿En qué porcentaje aumenta la recaudación?
3. Una sección de una fábrica produce dos tipos de bombillas, A y B. El 60 % de la producción es del tipo A. Si el 2 % de los productos de A son defectuosos y el 5 % de los B también lo son, ¿cuál es el porcentaje total de bombillas defectuosas en la sección?
4. A María en su factura del agua le aplican un recargo del 10% por exceso de consumo, un descuento del 15% por ser empleada de la compañía suministradora y un 12% de I.V.A. ¿Cuánto tendrá que pagar si su contador marca un gasto de 1000 pesetas? ¿Qué porcentaje varía sobre este precio?
5. El precio del aluminio ha subió dos veces el año pasado. La primera un 15% y la segunda un 8%. En el último trimestre bajó un 6%. ¿Cuál ha sido el porcentaje de subida al cabo del año?
6. Un comerciante me rebaja un 10 % de un artículo. Me pongo pesado y me rebaja otro 2 % sobre el precio rebajado. ¿qué rebaja definitiva realizó al artículo?
7. Una urbanización dispone de 4 bombas que llenan la piscina de adultos, de 169 metros cúbicos, en 12 horas. Cuando van a llenar la de los niños, que tiene 28 metros cúbicos, se estropea una de las bombas otra baja su rendimiento a la mitad, ¿qué tiempo emplearán en llenarla?
8. Los ángulos de un triángulo son directamente proporcionales a ½, 2/3 y 3/4. Calcula estos ángulos.
9. Reparte 22 800 € entre tres partes, de forma que la segunda reciba la cuarta parte de la tercera, y ésta el triple de la primera.
17
777º POLINOMIOS OPERACIONES CON POLINOMIOS
Definiciones: Ejemplos Valor numérico de una expresión algebraica: Es el número que se obtiene al sustituir las letras por los números dados.
Ejemplo: x3 – 6x + 5 en x=1 (1)3-6(1)+6 =1
Suma y diferencia de polinomios. Es el polinomio que se obtiene al reducir ( sumar o restar ) los términos semejantes ( de igual grado)
Ejemplo: (4x3 – 12x + 10) – (3x4 + 6x3 – 12x2 – 14) = -3x4 – 2x3 + 12x2 – 12x + 24
Multiplicación de un polinomio por un número: Se multiplican todos los términos del polinomio por dicho número
Ejemplo: 2(2x3 – 6x + 5)= 4x3 – 12x + 10
Producto de un polinomio por un monomio: Es igual a otro polinomio cuyos términos se obtienen multiplicando el monomio por cada término del polinomio:
Ejemplo: 2x2(2x3 – 6x + 5)= 4x3 – 12x3 + 10x2
Producto de polinomios: Es otro polinomios cuyos términos se obtienen multiplicando cada término del primer polinomio por cada término del segundo polinomio y sumando luego los términos semejantes. Si tienen muchos términos se colocan los monomios del mismo grado uno debajo de otro luego se multiplican y se suman
Ejemplos (2x2 – 6x)(3x – 5) = =6x3 – 10x2 – 18x2 + 30x = = 6x3 – 28x2 + 30x
(-7x3+3x2+2) ( 2x2+3x-1) -7x3+3x2 + 2 2x2 +3x -1
-7x3 -3x2 - 2 -21x4 +9x3 +6x -14x5 +6x4 +4x2
-14x5 -15x4 +2x3 +x2 +6x -2 La división de polinomios es similar a la división de números. El dividendo y el divisor deben de estar ordenados en orden decreciente. Vamos dividiendo los monomios de mayor grado del dividendo y los dividendos parciales entre el divisor. Multiplicamos el monomio resultado de esta división por el divisor y el resultado se lo restamos al dividendo parcial La división acaba cuando el grado del dividendo parcial es menor que el grado del divisor. Ejemplo : Calcular Q(x) : P(x), siendo: Q(x) = x4 + 2x3 – 6x2 – 7 y P(x) = x2 – 5x x4 + 2x3 – 6x2 – 7 x2 – 5x -x4 + 5x3 x2 + 7x + 29 7x3 – 6x2 Dividendo = Q(x) = x4 + 2x3 – 6x2 – 7 -7x3 + 35x2 Divisor = P(x) = x2 – 5x 29x2 Cociente = x2 + 7x + 29 - 29x2 + 145x Resto = 145x - 7 145x - 7
1.- Calcular el valor numérico de los siguientes polinomios en los puntos dados: a) x3 – 6x + 5 en x=1 b) x2 – 3x-2 en x=3 c) x3 + 6x2- 4x – 5 en x=1 d) x3 + 6x2- 4x – 5 en x=-1 e) x2 – 3xy-2y2 en x=1 e y=2
f) 3y2 + 2x-3xy en x=2 e y=-1 g) ax2 +3xa -3 en x=-1 y a=2 h) 2xyz+3x2-2y+4z en x=1 ; y=2; z=3 i) 2x2-3xy2+5x +y en x=2 e y=-2 j) 2x2 z+x2-2y+4z en x=-1 ; y=2; z=3
2.- Realizar las siguientes multiplicaciones aplicando la propiedad distributiva y simplifica:
18
a) (2x-3)(4x-2) b) (6x-5)(x2+2) c) (x2+2)(x+3) d) (3x+4)(x3-3)
e) (x2-2x+3)(x2-2) f) (x2-5x+2)(2x-2) g) (x2+2x-3)(x+2) h) (2x+4)(x2-2x+1)
i) (2x-3y)(2y+3x) j) (2xy2-5x+2y)(2x+3y) k) (x2-3x+2y)(2xy-y2) l) (3xy+2x2-3x)(3x+y)
m) (2xyz+2x2y-2z)(2z-y+x) n) (2x2-3y+5z)(2x-3y+2z) o) (2x3-5x2+3x-1)(x+2) p) (x2+2xy2-3)(2x+5y)
3.- Dados los polinomios A(x)= x5 – 25 x3 + 10x; B(x)= x2 – x – 2 ;C(x)= x3 + 3x2 – 4x – 4 D(x)= 3 x4 – x3 + x2 + 2 .Calcula: a) A(x)+B(x)+C(x)+D(x) b) A(x) - B(x) -C(x)+D(x)
c) A(x)+B(x) - C(x) - D(x) d) -A(x)+B(x)+C(x) - D(x)
e) A(x) - 2B(x) -C(x)+3D(x) f) 3A(x) - B(x) +2C(x)-D(x)
4.- Realiza las siguientes operaciones con los siguientes polinomios: P(x) = 2x3 – 6x + 5; Q(x) = x4 + 2x3 – 6x2 – 7; R(x) = x2 – 3x-2
a) P(x) + Q(x) + R(x) b) P(x)+Q(x) –R(x)
c) 2Q(x) – 5R(x) + 3P(x) d) Q(x) . R(x)
e) 3R(x)[Q(x) – 3R(x)] f) P(x)[5R(x) – 2Q(x)]
5.- Si P(x) = x3 + 6x2- 4x – 5 y Q(x) = x2 + 6x + 9, calcula: a) P(x) + Q(x); b) P(x) · Q(x); c) P(x) –Q(x) d) P(x) : Q(x) e) Q(x) 2
6.- Si P(x) = x3 + 3x2- 4x – 5 y Q(x) = x2 + 6x + 2, calcula:
a) P(x) + Q(x); b) P(x) · Q(x); c) P(x) –Q(x)
d) 3 P(x) – 2 Q(x) e) P(x) / Q(x) f) P(x) . 2 Q(x)
g) (2P(x)- Q(x)) . Q(x) h) (P(x) + Q(x)) / Q(x) i) P(x) 2
7.- Si P(x) =x4 2x3 - 4x2 + 5 y Q(x) = x2 + 2x - 5, calcula: a) P(x) - Q(x); b) P(x) · Q(x) c) P(x) / Q (x) d) P(x) 2 8.- Realiza las siguientes operaciones con los siguientes polinomios: P(x) = x3 – x2 -2x+ 5; Q(x) = x4 + 2x3 – 6x2 – 7; R(x) = x2 – 3x+2
a) P(x) +2 Q(x) b) P(x) / R (x) c) Q (x) / R (x) d) P(x) / R (x)
e) P(x) . Q(x) f) R(x) 2
g) 2Q(x) – 5R(x) + 3P(x) h) 3R(x)[Q(x) – 3R(x)]
i) P(x)[5R(x) – 2Q(x)] j) (Q(x) + P(x)): R(x) k) (Q(x) . R(x)): P(x) l) Q(x) / (R(x)+P(x))
9.- Si P(x) = x3 + 5x2- 4x – 5 y Q(x) = x2 + x + 1, calcula: a) P(x) + 2Q(x); b) P(x) · Q(x); c) 3P(x) –Q(x) d) P(x) : Q(x) e) Q(x) 2
10.-Realizar las siguientes divisiones de polinomios y hacer la prueba.
a) (x3 + 6x2- 4x – 5 ) : (x2 – 3x-2) b) (x4 + 2x3 – 4x2 – 3) : (x2 +3x-1 ) c) (x4 -3x3 – 3x2 + 3x-2) : (x2 -2x-2 ) d) (x4 +5x3 – 2x2 + x-1) : (x2 +3x-2 ) e) (x4 +6x3 – 5x2 +2 x-3) : (x2 +3x-3 ) f) (x4 + x3 – 3x2 – 3) : (x2 +2x-1 )
g) (x5 -4x4 +x3 – 2x2 + x-1) : (x2+2x-5 ) h) (x5 +3x4 +3x3 –x2 + x-2) : (x2+3x-1 ) i) (x5 -5x4 +x3 –2x2 + x+1) : (x2+2x-1) j) (x5 -4x4 +x3 -2x2 + x-1) : (x3-2x2+2x-5) k) (x4 -3x3 – 3x2 + 3x-2) : (x3-x2 -2x-2 ) l) (x4 - 3x2 + x-2) : (x2 -5x-2 )
19
IDENTIDADES NOTABLES
Fórmula Ejemplo (a + b)(a – b) = a2 – b2 (3x3 – 5xy) (3x3 + 5xy) = (9x6 – 25x2y2) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (5y2 + 3x)2 = 25y4 + 30y2x + 9x2
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2 (6y2 – 2y)2 = 36y4 – 24y3 + 4y2
(a + b)3 = a3 + 3ª2b + 3ab2 + b3 (2x + 3y)3 = 8x3 + 36x2y + 54xy2 + 27y3
(a - b)3 = a3 - 3ª2b + 3ab2 - b3 (x2 – 2x)3 = x6 – 6x5 + 12x4 – 8x3
11.- Utilizar las fórmulas de las identidades notables para realizar.
1. (2x – 4)(2x + 4) 2. (3y2 + 2x)(3y2 – 2x) 3. (2x – y2)(2x + y2) 4. (3y2 + 2x)(3y2 – 2x) 5. (2x2 – 3)(2x2 + 3) 6. (3y2 + x3)(3y2 – x3) 7. ( 2 x – y2)( 2 x + y2) 8. (3y2 + 2x2)(3y2 – 2x2) 9. (z2 + 2yx2)(z2 – 2yx2)
10. ( yx−
2 )( y2x
+ )
11. ( y23
x 2
− )( y23
x 2
+ )
12. ( 5 a2b-c3)2
13. (3x+2)2
14. (3y2-2x2)2
15. ( yx 33
− )2
16. (4x+ y5
)2
17. (2x - 3y
)2
18. ( 23 yx
+ )2
19. (3y +2x)2
20. (2x3-5y)2
21. (3xy-2x2)2
22. (y + 2x2)2
23. (2xy2-3y)2
24. (ab-2 a2)2
25. ( )2y3 −
26. (2x + 2y
)2
27. ( 5 a-2b)2
28. ( 2 x – y2)2
29. ( 2)y4
x2( −
30. (x-3y)3 31. (z2+2y)3
32. (x+2y)3
33. (5- 3x)3
34. (2y – 3)3
35. (x+2y)3
36. (2x-y)3
37. (x2-3y)3
38. (3x+y)3
39. (2x-3y)3
40. ( y2x
− )3
12.- Escribir las siguientes sumas como una identidad notable: 1. x2-y2
2. x4-4y2
3. 5x6-4y4
4. 4x2y2-4z2
5. 16x8-25y4
6. 25x4-9y2
7. 36x4-16y2
8. 22
94
yx−
9. 5x4-9 10. 16x4-25
11. 25x2y2-16
12. 16x4- 41
13. 42
y2 51 6x
−
14. 22 y9
yx
−
15. 4x4+4x2+1 16. 9x4+6x2+1 17. x2 + 4x + 4
18. 25x2 -30x + 9 19. x2 -12x +36 20. x2 – 6x +9 21. x2 + 2x +1 22. 4x2-20x+25 23. 5x6-9y2z2
24. x2+2xy+y2
25. x2+4xy+4y2
26. x4-6x2y+9y2
27. 4x2+12xy2+9y4
28. 25x2+20xy3+4y6
29. 16x8-8x4y3+y6
30. x6-6x3y2+9y4
31. x3+3x2y+3xy2+y3
32. x3-3x2y+3xy2-y3
33. 8x3+12x2y+6xy2+y3
34. 125x3+75x2y+15xy2+y3
35. x3-15x2y+75xy2-125y3
36. 27x3+27x2y+9xy2+y3
37. x3 + 6x2 + 12x + 8 38. x3 – 12x2 + 48x – 64 39. x6 +6x4 y+ 12x2y2 +8y3
13.- Sacar factor común en los siguientes polinomios: a) x3-3x2+2x-3 b) 2x3-6x2+4x c) x4 + 2x3 – 6x2
d) x5 -4x4 +x3 -2x2
e) x6 – x5 + x4 + x3
f) x5y4z3 +3x4y3 +x3y2 g) x4y4 +2x3y3 – x2y2
h) 2x3y4+4x2 y3- 8xy2
i) x4y3 + 2x3y2 – 6x2y j) x5y3z2 -4x4y3z +x3y2
k) 2x3y4z4 + 4x2 y3z3
l) - 8xy2z2-3x3y3z m) x3y4 +3x2 y3- 4xy2
n) x3y-3x2y2-2xy3
o) 2x3y4 -2x2 y3- 4y2
q) 2x3y4 z+ 4x2 y3z2- 8xy2
r) x3y4 + 3x2 y3- xy2
s) 15x3y-9x2y2-3xy t) 6x3y4z4 + 4x2 y3z3
u) 4x5y4z3 +6x4y3 +12x3y2
20
FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS
Definiciones: Factorizar un polinomio: Descomponer un polinomio como producto de factores primos. Factor primo: En el caso de los polinomios, son polinomios que no tienen más raíces reales, por lo tanto aquellos que no se pueden descomponer en factores más simples. Mínimo común múltiplo: Una vez descompuestos en factores primos los polinomios, se eligen los factores que sean comunes a todos los polinomios elevados al mayor exponente y se multiplican por todos los factores que no sean comunes.
Ejemplos 1) Factorizar un polinomio
a) Si no tiene término independiente se saca x o xn factor común Ejemplo: 2x5 – 6x3 + 4x2 ; Sacamos 2x2 factor común a los tres sumandos ⇒ 2x2(x3 – 3x + 2) El polinomio (x3 – 3x + 2) se factoriza como se explica a continuación
b) Si tiene término independiente se buscan sus raíces utilizando el método de Ruffini Se factoriza del siguiente modo P(x) = (x – raíz1)(x – raíz2)....
Ejemplo: x3 – 3x + 2 ⇒ 1 0 -3 2 Debemos buscar un número, divisor Raíz = 1 1 1 -2 del término independiente, tal que el
1 1 -2 0 resto de la división sea 0. 1 1 2 1 2 0 -2 -2 1 0
Por lo tanto el polinomio se factoriza del siguiente modo (x –1)2(x + 2) La factorización final de 2x5 – 6x3 + 4x2 será:
2x5 – 6x3 + 4x2 = 2x2(x3 – 3x + 2) = 2x2(x – 1)2(x + 2) 2) Calcular el MCM
a) Se factorizan todos los polinomios siguiendo el procedimiento anterior. Ejemplo: Halla el MCM de los siguientes polinomios: x5 – 4x3; 2x5 – 6x3 + 4x2; x2 + 4x +4. x5 – 4x3 = x3(x – 2)(x + 2) 2x5 – 6x3 + 4x2 = 2x2(x – 1)2(x + 2) x2 + 4x +4 = (x + 2)2
b) Se toman todos los factores que sean comunes a todos los polinomios elevados a la mayor potencia y los factores que no sean comunes y se multiplican
MCM = 2x3(x + 2)2(x – 1)2(x + 1)(x – 2) REGLA DE RUFFINI
Definición: Es un método para dividir un polinomio entre x a± Ejemplo : Dividir 4x3-7x2+5x-6 por x -2 4 -7 5 -6 En diagonal se multiplican en vertical se suman 2 8 2 14 4 1 7 8 = Resto Cociente : 4x2+x+7 Cociente Teorema del resto: El valor numérico de un polinomio para x=a es igual al resto de la división Ejemplo : Calcular el valor numérico de P(x)= x3-3x2+5x-8 para x=2 1 -3 5 -8 En diagonal se multiplican en vertical se suman 2 2 -2 6 1 -1 3 -2 = Resto P(2)= -2 Ejemplo : Calcular el valor de k P(x)= x3-3x2+kx-2 para que P(x) tenga el valor 8 en x=2 1 -3 k -2 En diagonal se multiplican en vertical se suman 2 2 -2 2k-4 Despejamos K en la ecuación 1 -1 k-2 2k-6 = 8 2k=14 ; k=7
21
14.- Factorizar los siguientes polinomios:
1. x3-5x2+8x-4 2. x3+4x2+x-6 3. x3-2x2-7x-4 4. x3-5x2-13x-7 5. x3-x2-4x+4 6. 4x3+8x2-4x-8 7. x4-3x3-6x2+8x 8. x3+5x2+2x-8 9. 5x3-5x2 -25x–15 10. x3+8x2+13x+6 11. x5+5x4+7x3+3x2
12. 3x3+12x2+15x+6 13. x3+6x2+9x+4 14. -x3+2x2+5x-6 15. 3x3+6x2-3x-6 16. x4+x3-9x2-9x 17. x3+7x2+12x+6 18. x6-3x5-9x4-5x3
19. x3+3x2-4x+12 20. 4x4+20x3-4x2-20x 21. x3+2x2-4x-8 22. x3+8x2+5x-14 23. x3-8x2 +19x–12 24. x3 + 4x2 -11x +6 25. 2x3+3x2-3x-2 26. 2x3-18x2+52x-48
27. x3 + 3x2–4x –12 28. x3+9x2+15x+7 29. x3-2x2-9x+18 30. x3-9x2+26x-24 31. x3-3x2-6x+8 32. x3-x2-14x+24 33. x3-x2-8x+12 34. x3+x2-16x+20 35. x3-11x2+32x-28 36. x3-5x2-17x+21 37. x4 – 10x3 + 25x2 – 36 38. x4 – 5x3 -5x2 +45x – 36 39. x4 – 5x3 + 5x2 +5x - 6 40. x4 – 5x3 + 2x2 +20x-24 41. x4 +3x3 -7x2 -27x -18 42. x4 – 8x3 +23x2 -28x +12 43. x4 – 3x3 -2x2 +12x– 8 44. 2x4 – 10x3+10x2+10x– 12 45. 3x4 – 9x3+3x2+9x– 6 46. x4 – 7x3+17x—17x+6 47. x5 – 2x4-8x3+18x2– 9x 48. x4 – 3x3-3x2+11x– 6 49. 4x4 – 40x2 + 36 50. x4 +5x3+5x2-5x– 6 51. x4 – x3-7x2+13x– 6 52. 3x4 – 6x3 –27x2+6x +24
53. x4 + 2x3 –18x2+8x +24 54. x6 – 2x5-3x4+8x3– 4x2
55. 4x4 – 20x2 + 16 56. x4 +6x3+13x2+12x+4 57. x4 -4x3+3x2+4x-4 58. x5 +3x4+x3 -3x2– 2 59. x4 +x3-7x2 –x +6 60. x4 +6x3+8x2-6x– 9 61. x4 +8x3+22x2+24x+9 62. x4 -10x3+8x2 –10x-9 63. x5 – x4 – x3 + x2
64. x5 – 25 x3 + 144x 65. 5x5-x4–5x3+x2
66. 2x4+5x3 +3x2
67. 3x4–15x3–21x2+15x+18 68. 4x4-16x3+12x2+16x-16 69. x4+3x3 -7x2 -27x-18 70. x5 - 7x4 + 10x3 – x2+ 7x – 10 71. x5+3x4–5x3-15x2+4x+12 72. x5–3x4–5x3+15x2+4x-12 73. x5–2x4–5x3+10x2+4x-8 74. x5-2x4–9x3+14x2+20x-24 75. x5–8x3+6x2+7x-6 76. x5-2x4-6x3+4x2+13x+6 77. x5-2x4-10x3+20x2+9x-18 78. x5+2x4-10x3-20x2+9x+18
22
15.- Hallar mediante la regla de Ruffini el cociente y el resto de las siguientes divisiones:
1. (3x4-2x3+4x2+3x-1):(x-2)
2. (x5-3x3+2x2-15):(x+2) 3. (x3-5x2+2x-3):( x-1) 4. (x3-4x2+5x-1):( x+1) 5. (x4-3x3+5x2-3x+3): (x-3) 6. (x4-2x3-3x2-3x+1): (x+3) 7. (2x4-x3+4x2-2x+3): (x-2) 8. (x4+2x3-x2-2x-2): (x-1) 9. (3x4+2x2-4x+1): (x-2)
10. (x4-2x3+x2-2x+2): (x-4) 11. (x4-5x3-x2+2x-1):(x-3) 12. (x5-2x3+x2-1):(x-2) 13. (x3+x2+3x-1):( x-1) 14. (2x3-3x2+6x-2):( x+1) 15. (x4-x3+4x2-2x+1): (x-2) 16. (x4-x3-x2-x+1): (x+5) 17. (2x4-2x3+3x2-x+2): (x-1) 18. (x4+x3-2x2-x-1): (x-2)
19. (x4+ 2x3 -2x2-4x+1): (x-2) 20. (x5-2x4+x3-2x+2): (x-1) 21. (x7 + 2x5 – 3x4 + x + 2):(x-3) 22. (4x5 + 5x4 + 6x3 - x2 + 2x + 2) : (x+2) 23. (2 x6 + 3x5 + x4 + x2 + 2x + 3) : (x-1) 24. (x6 – x5 + x4 + x3 - x – 5) : (x-5) 25. (2x5 – x4 + 3x3 - 2x2 + x – 3) : (x-4) 26. (5 x7 – 2x6 – 3x3 + x2 + 1): (x-2) 27. (3x6 + x4 –2x3+ x2 + x-2) : (x-3)
16.- Aplicar la regla de Ruffini en cada uno de los siguientes casos e indica si se trata de una división o de una aplicación del teorema del resto
888º FRACCIONES ALGEBRAICAS
HALLAR EL VALOR DE K
EN EL POLINOMIO
EL VALOR NUMÉRICO
EN
NOS
RESULTE
2x6 + 3x5 – x4 + kx2 + 1 x = 2 5 x7 + 2x5 – 3x4 + x + k x = 1 0 5x7 – 4x6 – x4 + kx2 + x + 3 x =2 -9 3x6 – x5 + 2x4 + x3 + 3x2 + kx + 1 x =-1 10 6x7 + x4 – 3x3 + 2x2 – x + k x = 3 -12 2x7 + x6 – x5 + kx3 – x2 +2 x - 1 x=- 4 35 – 3x6 – x5 + 2x4 – x3 - 2x + k x = 3 -6 4x7 – x6 + 2x5 –3 x4 + kx + 9 x = 1 2 - x7 + x6 + x4 – x3+ kx2 - x - 1 x = 2 -50 3x6 + x4 –2x3+ x2 + kx x =- 2 2 2x6 – x5 + x3 – x2 + x + k x =- 3 15 4x5 + 5x4 + 6x3 - x2 + 2x + k x = 1 -5 7x5 – 2x4 + x3 + kx + 5 x = 2 -2 x6 – x5 + x4 + kx3 - x - 5 x = 1 0 2x5 – x4 + 3x3 - 2x2 + kx - 3 x= - 2 6 5x6 + 6x3 + kx - 2 x = 3 30 2x5 + x4 - x2 - 2x + k x = 1 -3 3x6 – x5 + 4x4 –5x3 – 2x + k x = 2 3 -3 x6 – 2x3 + k x =1 0 2 x6 + 3x5 + x4 + x2 + 2x + k x =- 1 12 5 x7 – 2x6 – 3x3 + kx2 + 1 x = 1 -1 3 x6 – 2x5 + kx4 – 3x2 + 2x - 3 x = 2 2 x5 – x3 + kx + 22 x = 2 10 -2 x6 + 6x4 + x3 – 2x2 + k x =- 2 -29 – 5x5 + kx4 – x3 - x + 3 x =3 10 x5 + 2x4 + 3x3 + kx2 + 5 x= - 1 15 – 2x5 + 3x4 – x3 + 2x2 + kx - 1 x = 1 2 3 x6 + 2x5 - x4 + kx2 - x - 2 x =- 1 2 4x5 + kx4 – 5 x = 2 -165 2 x6 + kx - 1 x =- 2 1 X3-5x2+kx-2 x=2 5 3 x6 + 2x5 - x4 – x2 + 2x + k x =3 16
HALLAR EL VALOR DE K
EN EL POLINOMIO
PARA QUE AL
DIVIDIRLO
ENTRE
NOS RESULTE
DE RESTO
6x6 + 2x5 – x4 + kx2 + 1 x + 2 317 4x7 + 2x5 – 3x4 + x + k x - 1 0 5x7 – 4x6 – x4 + kx2 + x + 3 x + 2 -927 3x6 – x5 + 2x4 + x3 + 3x2 + kx + 1 x + 1 10 6x7 + x4 – 3x3 + 2x2 – x + k x + 3 -12935 2x7 + x6 – x5 + kx3 – x2 +2 x - 1 x - 4 35895 – 3x6 – x5 + 2x4 – x3 - 2x + k x + 3 -1746 4x7 – x6 + 2x5 –3 x4 + kx + 9 x + 1 0 - x7 + x6 + x4 – x3+ kx2 - x - 1 x - 2 -51 3x6 + x4 –2x3+ x2 + kx x - 2 200 2x6 – x5 + x3 – x2 + x + k x - 3 1235 4x5 + 5x4 + 6x3 - x2 + 2x + k x + 1 -5 7x5 – 2x4 + x3 + kx + 5 x + 2 -225 x6 – x5 + x4 + kx3 - x - 5 x + 1 0 2x5 – x4 + 3x3 - 2x2 + kx - 3 x - 2 69 5x6 + 6x3 + kx - 2 x + 3 3490 2x5 + x4 - x2 - 2x + k x + 1 -3 3x6 – x5 + 4x4 –5x3 – 2x + k x + 2 338 -3 x6 – 2x3 + k x + 1 0 2 x6 + 3x5 + x4 + x2 + 2x + k x - 1 12 5 x7 – 2x6 – 3x3 + kx2 + 1 x + 1 -1 3 x6 – 2x5 + kx4 – 3x2 + 2x - 3 x + 2 253 x5 – x3 + kx + 22 x + 2 0 -2 x6 + 6x4 + x3 – 2x2 + k x - 2 -29 – 5x5 + kx4 – x3 - x + 3 x + 3 1086 x5 + 2x4 + 3x3 + kx2 + 5 x - 1 15 – 2x5 + 3x4 – x3 + 2x2 + kx - 1 x + 1 2 3 x6 + 2x5 - x4 + kx2 - x - 2 x - 1 0 4x5 + kx4 – 5 x + 2 -165 2 x6 + kx - 1 x - 2 123 3 x6 + 2x5 - x4 – x2 + 2x + k x + 3 1608 x5 + 2x4 + 3x3 + kx2 + 5 x - 2 1
23
1. Saca factor común y simplifica las siguientes fracciones algebraicas:
1. 2x5x2
2. 43
432
ya x2yxa5
−−
3. 233
253
yxabyxba
4. 23
254
ba2cba6
5. 224
2
ya8y2a y4y2
−−
6. 22
3
bxa12abx6
7. 4x42x2
++
8. 5x103x6
++
9. 10x106x6
++
10. 1x2x2
++
11. 15x6x9−
12. x2x2x1 0
3 −
13. 23
23
x6x3x9x3
−−
14. 23
23
x2x3x3x2
++
15. x1 5x3x1 0x
2
2
++
16. xx
xx2
23
−−
17. x8x4
x4x22
23
−−
18. 2
2
x y2x y6x y−
19. 23
23
a b3a3ba6a6
−−
20. a1 5a3a1 0a2
2
2
++
21. 223
223
yxyx2yx2yx
++
22. 2233
2223
yx4yx2yx2yx4
++
23. 223
223
yx2yx3yx3yx2
++
24. a b1 5ba3a b1 0ba2
22
232
++
25. 322233
22223
zyx4zyx2zyx2zyx4
++
2. Factoriza utilizando las fórmulas de las identidades notables, saca factor común en los casos que necesites y simplifica las siguientes fracciones algebraicas:
1. 22
22
ba b2aba+−
−
2. 4a4a
4a2
2
+−−
3. a5a
25a2
2
−−
4. 224
2
ya8y2a y4y2
−−
5. 1 6x8x
1 6x2
2
+−−
6. 23
23
b3b9bb6b9
−+−
7. 1yx1x y2yx
22
22
−+−
8. b5a3
b2 5a b3 0a9 22
+++
9. 22
2a
b4a b1 2a9b4a9++
−
10. 234
23
x4x4xx2x+−
−
11. 2 5x1 0x
2 5x2
2
++−
12. 9x6x3
2 7x32
2
++−
13. x yyx1x y2yx
22
22
−+−
14. 2 5x1 0x
x2 5x2
24
++−
15. 234
3
x1 6x8xx4x
++−
16. yyx2yxx yyx2yx
2
23
+−++
3. Factoriza , saca factor común en los casos que necesites y simplifica las siguientes fracciones algebraicas:
1. 6xx
4x2
2
−+−
2. 24
4
xx1x
+−
3. 24
2
x4x4x4x
−+−
4. 24
4
x4x1 6x
−−
5. 4x4x
x4x2
24
+−−
6. 2 0xx
2 5x2
2
−+−
7. xx2x
xx23
24
++−
8. x9x6x
x9x23
24
++−
9. 2xx3x2x
2
2
−+−+
10. 9x
6xx2
2
−−−
11. x4x
x4x4x3
23
−+−
12. 2x2x
6xx2
2
−−−−
13. x1 0x3x
3 0x1 9x23
3
−−−−
14. 4x3x
1x3x3x2
23
−+−+−
15. 1x
xxx2
23
−4−8+5−
16. 1x
2xx2x2
23
−−−+
17. x9x
9x9xx3
23
−−−+
18. 6xx
6x5x2x2
23
−−+−−
19. 3xx3x2xx2x
23
23
−−+−−+
20. 1x
3xx3x3
23
−−−−
21. xx
x2xx2x3
334
−−−+
22. xx
x2xx2x3
334
−−−+
23. 4x84 x
1x3x3x2
23
+−−+−
24. 24
23
x1 64 xx4x4x
−++
999º ECUACIONES DE 1º GRADO CON UNA INCÓGNITA Conceptos: Procedimientos:
Se trata de encontrar un número real que verifique una igualdad. Para ello las operaciones que se hagan a un lado de la igualdad también se deben realizar al otro lado para que se mantenga la igualdad
Si la ecuación no tiene denominador ,si tienen paréntesis, los operamos, cambiamos a la izquierda los términos con incógnita , a la derecha los términos sin incógnita y despejamos la incógnita. Si la ecuación tiene denominadores se calcula el MCM y se multiplican todos los términos por él. Cuidado con los signos al quitar los denominadores, para no equivocarse utilizar paréntesis con cada sumando.
Ejemplos 2(x-3) +3(x-5) = 4x-7 ;
1º Operamos los paréntesis ; 2x-6 +3x -15 = 4x -7 ; 2º Se pasan aun lado del signo igual todos los términos con x y al otro los términos sin x y se opera.: 2x+3x-4x = -7+6-15 ; x= -16
61x2
35
2 7x42
1 83x2 −
−=−
−−
;
el MCM de los denominadores es 54
54
−
−=
−
−−
612
355 4
2 742
1 832 xxx
; 3(2x-3) – 2(2 – 4x) = 18.5 – 9(2x – 1)
6x – 9 –4 + 8x = 90 – 18x + 9 2.- Se pasan aun lado del signo igual todos los términos con x y al otro los términos sin x y se opera.
6x + 8x + 18x = 90 + 9 + 9 + 4; 32x = 112
3.- Se despeja x y se da la solución. x = 27
32112
=
1. 71x9x5
7xx3 +
+−=−
2. 5x31x
51xx +−=
++
3. 5x31x
51xx +−=
++
4. 92x5
3x5
31x1x2 +
+=−
−+
5. 1 53x
5x2
55x4x −
−=−
+−
6. 31x
1 55x7
5x
3x2 −
+−
=−
7. 51x1 0
1 5x1 6
1 5x
51xx3 −
+=−+
+
8. 21x2
7x7
7x8
2 1x9 −
++
=+
−+
9. 5x35
1 0x4
1 0x
55x +
++
=++
10. 1 0x4
2 0x
4x
5x21 0 +
−−
=++
11. 33
x21 043
x9−
+=−
+
12. 61x
2x4
64x
3x5 +
−+
=+
++
13. 4x7
2x52
4x27 +
++
=++
14. 33x
57x2
6x5
52x −
+−
=−
−−
15. 2x6
2 15x2
2 1x5
72x −
+−
=−
−−
111666... 61x7
1 26x9
41x2
6x +
−+
=−
−
111000º PROBLEMAS DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO 1º Hallar un número que sumado con 5 unidades sea igual al triple de dicho número disminuido en tres unidades 2º Hallar un número que al sumarle su doble y su tercera parte resulte 40 3º Hallar el número cuya mitad, tercera y cuarta parte , suman 39. 4º Dividir el número 668 en tres partes de las cuales la primera es 3/8 de la segunda y esta 5 / 14 de la tercera. 5º Hallar un número cuya mitad, mas su cuarta parte, más una unidad, sea igual a dicho número. 6º Hallar tres números sabiendo que son consecutivos y que suman 180 7º Un número mas su cuarta parte es 100. Calcularlo. 8º La diferencia entre el tercio y el cuarto de un número es 512, hallarlo. 9º La diferencia entre el noveno y el décimo del dinero que llevo es 15 € ¿Cuánto dinero llevo? 10º Si a un número se le restan 2 unidades, resulta el triple de dicho número disminuido en 10 unidades. Hallar dicho número. 11º Sumando la tercera más la cuarta parte de un número da como resultado su mitad mas 27 ¿De que número se trata? 12º Calcular un número sabiendo que 3 / 5 de su mitas es 27 13º En una reunión de 100 personas el número de mujeres es el triple de hombres. ¿Cuántos hombres y mujeres asistieron a dicha reunión? 14º Una botella y su tapón vales 11,5 € . La botella vale 8€ más que el tapón. Calcular el precio de ambos 15º Un padre tiene 47 años y su hijo 13 ¿Cuántos años tienen que transcurrir para que la edad del padre sea el triple de la del hijo? 16º Un niño ha olvidado cierto número pero sabe que la diferencia entre su tercio y su cuarta parte es 8 17º Un vendedor de naranjas vendió la mitad de las que tenía menos 6, luego 1/5 de las que le quedaban, mas tarde 3/ 4 partes de las que aún conservaba. Le quedaron 12 ¿Cuántas tenía? 18º La edad de Alberto dentro de 12 años será el triple de la actual ¿Cuántos años tienen ahora? 19º En una reunión de 49 personas hay el doble número de mujeres que de hombres, el número conjunto de niños y niñas es cuatro veces el número de hombres ¿ Cuántas personas hay de cada clase? 20º Jaime y su hermana Elsa tienen 25 cromos. Reparte los cromos de manera que Elsa tenga 2 cromos mas que la mitad de Jaime. 21º Reparte 3000 euros entre tres personas de modo que la segunda reciba 16 euros mas que la primera y la tercera 28 euros más que la segunda. 22º Antonio tiene 56 años ¿Qué edad tiene su hijo Luís si hace dos años su padre le triplicaba la edad? 23º El precio de un libro coincide con un tercio de lo que vale más un cuarto de lo que vale más 5 euros. ¿Cuánto cuesta el libro? 24º Si al número que estoy pensando lo multiplico por 2 y a lo que me dé le sumo 50, obtengo el 124 ¿De qué número se trata? 25º En mi casa hay un patio rectangular de perímetro 42 m . Hallar las dimensiones sabiendo que es el doble de largo que de ancho 26º Reparte 105 euros entre cinco personas de manera que a cada uno le correspondan 5 euros más que el anterior. 27º Halla la longitud de una pieza de tela sabiendo que después de haber vendido la mitad, la quinta parte y la décima parte quedan diez metros. 28º En un garaje hay entre coches y motos 50 vehículos. Sabiendo que el número total de ruedas es de 160, halla el número de motos y coches. 29º La suma de las dos cifras de un número es 10, y el doble del número supera en una unidad al número que se obtiene invirtiendo las cifras. ¿Qué número es? 30º Encuentra un número tal que restándole 1 resulte tres veces mayor que restándole 10 31º La suma de tres números pares consecutivos es 102. Calcularlos 32º La suma de dos múltiplos de tres consecutivos es 75. Calcularlos
1111 ººº SSSIIISSSTTTEEEMMMAAASSS DDDEEE DDDOOOSSS EEECCCUUUAAACCCIIIOOONNNEEESSS CCCOOONNN DDDOOOSSS IIINNNCCCÓÓÓGGGNNNIIITTTAAASSS 1) 5x – y = 3 8x + 3y = 14
2) 2x + 5y = 14 x – 2y = -2
3) 6x – y = 9 x + 3y = 11
4) 7x + 5y = -3 x - y = 3
5) 8x – 3y = -2 2x + y = -4
x=1 y=2 x=2 y=2 x=2 y=3 x=1 y=-2 x=-1 y=-2 6) x – 7y = 17 8x + 9y = 6
7) - 6x + 5y = -6 2x - y = 2
8) 8x – 2y = 0 -x +9y = 35
9) 8x – 3y = 10 4x + 2y = 12
10) 2x –3y = 4 - x + y = -3
x=3 y=-2 x=1 y=0 x=1 y=4 x=2 y=2 x=5 y=2 11) 2x + 3y = 9 7x – 3y = 19
12) 4x + 3y = 1 3x – 2y = 5
13) 3x – 2y = -10 4x + y = -6
14) -5x –3y = -6 6x + 7y = -3
15) -3x – y = -9 4x + 5y = 34
x=3 y=1 x=1 y=-1 x=-2 y=2 x=3 y=-3 x=1 y=6 16) 2x - y = 5 3x + 5y = 14
17) 9x - y = 10 6x + 2y = 4
18) 2x + 3y = 2 5x – 7y = -24
19) x – 2y = 9 2x + y = 3
20) - x –5y = -31 3x – 4y =-21
x=3 y=1 x=1 y=-1 x=-2 y=2 x=3 y=-3 x=1 y=6 21) -3x + 9y = -3 4x + y = -22
22) 5x – 2y = 13 7x - y = 11
23) -x + 7y = 30 8x -11y= -60
24) -2x - y = -6 3x + 7y = 20
25) -3x + 11y = 7 4x - 3y = 14
x=-5 y=-2 x=1 y=-4 x=-2 y=4 x=2 y=2 x=5 y=2 26) 6x + 7y = 32 3x + y = 11
27) 3x - y = 4 5x + 8y = -3
28) -2x + 6y = 16 5x – 3y = -16
29) 4x + y = 9 2x + 5y = -9
30) 2x - y = -4 4x -2y = -8
x=3 y=2 x=1 y=-1 x=-2 y=2 x=3 y=-3 x=1 y=6 31) -3x –7y = 2 x - y = -4
32) 6x + 5y = 21 -x + 2y = 5
33) x – 5y = -12 4x + 6y = 4
34) 8x + 3y = 15 6x + 11y= -15
35) - x + 5y = 29 7x + 3y =25
x=-3 y=1 x=1 y=3 x=-2 y=2 x=3 y=-3 x=1 y=6 36) 6x + 3y = 27 4x + 5y = 21
37) 6x + 7y = -1 8x - y = 9
38) 2x + 5y = 1 4x + 9y = 1
39) 4x - y = 10 3x -7y = -5
40) - x + 2y = 13 7x – 5y =-37
x=4 y=1 x=1 y=-1 x=-2 y=1 x=3 y=2 x=-1 y=6 41) 10x - y = 16 5x + 2y =18
42) 6x - y = 7 x + y = 2
43) x + y = 5 2x - 2y = 2
44) 2x + y = 3 x + y = 0
45) 4x + 5y = 34 7x - y = 1
x=2 y=4 x=1 y=-1 x=3 y=2 x=3 y=-3 x=1 y=6 46) 7x – 3y = 29 x - 5y = -5
47) 9x – 3y =12 5x- y = 8
48) 5x – 3y = 1 -x - y = -5
49) 3x – 6y = 15 4x + 5y = -6
50) 7x + 2y = -11 9x + y = -11
x=5 y=2 x=2 y=2 x=2 y=3 x=1 y=-2 x=-1 y=-2 51) 8x - y = 6 7x + 5y =17
52) 8x – 3y = 22 7x + y = 12
53) 3x + 4y = 18 9x - 2y = 12
54) 8x - y = -2 7x + y = 17
55) 2x + 5y = -12 7x + 9y = -25
x=1 y=2 x=2 y=-2 x=2 y=3 x=1 y=10 x=-1 y=-2 56) 7x – 3y = 2 x + 6y = 1
57) 9x – 3y =3 5x + y = 8
58) 5x – 3y = 1 -x - y = 2
59) 2x – 6y = 3 4x – 8y =1
60) 11x + 2y = 1 9x + y = 1
x=1/3 y=1/9 x=9/8 y=19/8 x=-5/8 y=-11/8 x=-9/4 y=-5/4 x=1/7 y=-2/7 71) -2x + 9y = 2 4x -6 y = -2
72) 5x – 2y = 1 7x - y = 1
73) -x + 7y = 3 3x -11y= -4
74) -2x - y = -2 3x + 3y = 2
75) -3x +5 y = 5 6x - 3y =- 1
x=-1/4 y=1/6 x=-1/ y=-4/3 x=1/2 y=1/2 x=4/3 y=-2/3 x=10/21 y=9/7 76) 6x + 3y = 2 4x + y = 1
77) x + y = -1 2x - y = 5
78) x + y = 1 4x -y = 1
79) 4x - y = 1 -3x +2y = 4
80) - x + 2y = 1 x +5y =7
x=1/6 y=1/3 x=4/3 y=-7/3 x=2/5 y=3/5 x=6/5 y=19/5 x=8/7 y=15/14 81) -2x + 9y = 3 x -6 y = -1
82) 8x – 2y = 1 - 3x + y = 1
83) -x + 7y = 3 3x -12y= 1
84) -2x - y = -2 3x + 3y = 2
85) -3x + y = 5 6x - 4y =- 1
x= -3 y=-1/3 x=3/2 y= 11/2 x=2/5 y=10/9 x=43/9 y=10/9 x=-19/6 y=-9/2 86) 3x + y = 2 4x + 5y = 9
87) x + y = -1 8x - y = 9
88) 2x + 5y = 1 4x + 8y = 3
89) 4x - y = 10 3x +y = -7
90) - x + y = 1 2x – 5y =-3
x=-1/11 y=-25/11 x=8/9 y=-17/9 x=7/4 y=-1/2 x=3/7 y=-58/7 x=-2/3 y=1/3
1112 ººº PPPRRROOOBBBLLLEEEMMMAAASSS DDDEEE SSSIIISSSTTTEEEMMMAAASSS DDDEEE 222 EEECCCUUUAAACCCIIIOOONNNEEESSS CCCOOONNN 222 IIINNNCCCÓÓÓGGGNNNIIITTTAAASSS DDDEEE PPPRRRIIIMMMEEERRR GGGRRRAAADDDOOO
1º. Hallar dos números sabiendo que su diferencia es 22 y que el mayor es triple del menor 2º. Calcular las dimensiones de un rectángulo de perímetro 20 m sabiendo que la altura es 2/3 de la base. 3º. El cociente exacto entre dos número es 3 y su diferencia es 24. Calcularlos 4º. Hallar dos números cuya diferencia es 7 y cuya razón es 3/2 5º. La diferencia entre dos números es 121 y su cociente exacto es 12. Calcularlos. 6º. Un padre tiene el triple de edad que su hijo. Si el padre tuviera 30 años menos y el hijo 8 más tendrían la misma edad. Averigua la edad de cada uno. 7º.Un televisor y un video cuestan 1080€ . Si el televisor se rebaja un 20% , entonces costarían lo mismo ¿ Cuál es el precio de cada uno? 8º. En una granja hay gallinas y conejos. El número de cabezas es de 282 y el de patas 654. Calcula cuántas gallinas y cuántos conejos hay. 9º. Hemos pagado una factura de 435 € con billetes de 5 y 10 € En total hemos dado 60 billetes . Averigua cuantos hay de cada clase. 10º. Calcula el área de un rombo sabiendo que la suma y la diferencia de sus diagonales es 170 y 70 respectivamente. 11º. En una papelería se han vendido 13 cuadernos de tipo A y 12 de tipo B por 79,10€ . Calcular el precio de cada tipo si sabemos que el precio del tipo B es el 80% del tipo A 12º. Las dos cifras de un número suman 12. Si se invierten el orden de estas se obtiene el mismo número 18 unidades mayor. Calcula dicho número. 13º. Hace 10 años la edad de una persona era el doble que la de otra y dentro de 16 años, la edad de la primera será 4 / 3 de la segunda. Calcula la edad de esas dos personas. 14º. Dos números de diferencian en 53 unidades. Si dividimos el mayor entre el menor el cociente es igual a 2 y el resto a 21. Calcula los números. 15º. Hallar dos números cuya suma es 72 y cuya diferencia es 26. 17º. Hallar dos números sabiendo que suman 85 y que el menos aumentado en 36, equivale al doble del mayor, disminuido en 20. 18º. En un garaje hay motos de dos cilindros y autos de 6 cilindros; en total hay 80 cilindros y 58 ruedas. Calcular el número de motos y autos que hay en el garaje 19º. Hallar las edades de un padre y un hijo, sabiendo que hace 8 años la edad del padre era 8 veces la del hijo y dentro de 16 años será solamente el doble. 20º. Hallar las edades de A y B sabiendo que hace 6 años A tenía el triple de edad que B y dentro de 12 años A tendrá 20 años más que B 21º. A dice a B. Mi edad es el triple de la que tú tendrás dentro de 6 años. Hallar la edad de cada una sabiendo que la suma de las edades actuales es 50 años. 22º. Un muchacho vive en el último piso de su casa. Baja la escalera de 3 en 3 y sube de 2 en 2 y en total de 100 saltos ¿Cuantos peldaños tiene la escalera? 23º. Dos números son entre si como 5 es a 3, y si al primero se le restan 10 y al segundo se le suman la razón se invierte. Hallar dichos números. 24º. Hallar el numerador y el denominador de una fracción sabiendo que si los aumentamos en 3 la fracción es igual a 5 / 7 y si los disminuimos en 6 unidades resulta 1 / 5. 25º. Se han pagado 9,20 € por 10 kg de azúcar de dos clases diferentes. La primera cuesta 0,9 € / Kg. y la segundo 1 €/ Kg. 26º. Se han mezclado dos cantidades de vino de 3 € /l. y 6 €/l., obteniendo 200 litros de mezcla que sale a 3,75 €/ l. ¿ Qué cantidades se mezcló de cada clase? 27º. La nota media de matemáticas de la clase de tercero A es 5,4 y la de tercero B es 6,4. ¿Cuántos alumnos hay de cada grupo si en total son 50 con una nota media de 5,88? 28º. La base de un rectángulo es 15 m mayor que la altura. El perímetro mide 70m. Calcular la longitud de los lados 29º. Las bases de un trapecio isósceles se diferencian en 7cm. Su altura mide 18 cm. y su área es igual a 297cm2. Calcula la longitud de las bases. 30º. La suma de dos números es 7 y su cociente exacto es también 7 .Calcularlos.
111333º ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO Completa Incompleta falta b Incompleta falta c y=ax2-bx+c ax2+c=0 x2+bx=0
x=a2
a c4bb 2 −±− x=
ac−
± x(x+b)=0
x=0 y x=-b/a
1º) Resolver las siguientes ecuaciones: 1. x2 – 5x + 6 = 0 2. x2 – 10x + 9 = 0 3. x2 – 8x + 15 = 0 4. x2 + 12x +32 = 0 5. x2 – 9x + 8 = 0 . 6. x2 – 2x - 15 = 0 7. x2 – x - 2 = 0 8. x2 - 3x - 10 = 0 9. x2 – 7x + 6 = 0 10. x2 – 7x + 12 = 0 11. x2 – 4x - 12 = 0 12. x2 - 6x + 5 = 0 13. x2 - 6x + 9 = 0 14. x2 – 2x +1 = 0 15. x2 – 3x - 4 = 0 16. x2 + x - 2 = 0 17. x2 – 9x + 20 = 0 18. x2 - 5x + 4 = 0 19. x2 – 2x - 3 = 0
20. x2 + 7x + 12 = 0 21. x2 – 4x + 3 = 0 22. x2 – 10x + 25 = 0 23. x2- 12x +36=0 24. x2 - 5x - 6 = 0 . 25. x2 – 11x + 24 = 0 26. x2 – 3x + 2 = 0 27. x2 – 7x - 8 = 0 28. x2 – 4x + 4 = 0 29. x2 – 14x +4 9 = 0 30. x2 +4x + 4 = 0 31. x2 - 6x + 8 = 0 32. 14x2 – 132x + 3 = 0 33. 4x2 – 20x + 1 = 0 34. 3x2 + 7x - 6 = 0 35. 4x2 + 4x - 3 = 0 36. 15x2 – 26x + 8 = 0 37. 3x2 – 2x - 5 = 0 38. 4x2 – 17x + 4 = 0
39. 6x2 - x - 1 = 0 40. 2x2 – 7x + 6 = 0 41. 3x2 – 11x + 10 = 0 42. 4x2 + 3x - 1 = 0 43. 4x2 + 8x - 5 = 0 44. 9x2 – 18x + 8 = 0 45. 4x2 -16 x + 15 = 0 46. 15x2 – 32x + 16 = 0 47. 12x2 - 23x + 5 = 0 48. 4x2 – 8x + 3 = 0 49. 2x2 - 9x + 10 = 0 50. 4x2 + 7x - 2= 0 51. 3x2 + 10x - 8 = 0 52. 2x2 – 5x + 3 = 0 53. 3x2 + x - 10 = 0 54. 4x2 – 12x - 5 = 0 55. 14x2 - 27x - 20 = 0 56. 15x2 – 41x + 28 = 0 57. 6x2 + x – 2 = 0
2º Resolver las siguientes ecuaciones incompletas: 1. 2x2 – x = 0 2. 3x2+6x=0 3. 5x2-10x=0 4. 2x2-x=0 5. 2x2 – 3x = 0 6. x2 + x = 0 7. x2 – 5x = 0 8. x2 + 9x = 0 9. 2x2 – 5x = 0 10. x2 – 6x = 0 11. x2 + 2x = 0 12. x2 + 8x = 0 13. x2 - 2x = 0 14. 2x2 – 7x = 0 15. 3x2 – x = 0
16. 4x2 + 7x = 0 17. x2 + 7x = 0 18. x2 - x = 0 19. x2 + 3x = 0 20. 3x2 + 5x = 0 21. x2 - 3x = 0 22. 5x2 – x = 0 23. 5x2 - 4x = 0 24. 3x2 – 2x = 0 25. x2 – 4x = 0 26. 5x2 - 2x = 0 27. 3x2 – 4x = 0 28. x2 - 7x = 0 29. x2 – 1 = 0 30. 4x2 – 1 = 0
31. 9x2 – 1 = 0 32. 16x2 – 25 = 0 33. 9x2 – 16 = 0 34. x2 – 4 = 0 35. 16x2 – 1 = 0 36. 4x2 – 49 = 0 37. x2 – 9 = 0 38. 4x2 – 9 = 0 39. 16x2 – 49 = 0 40. x2 – 16 = 0 41. 25x2 – 16 = 0 42. x2 – 25 = 0 43. 49x2 – 1 = 0 44. 9x2 – 25 = 0 45. x2 – 36 = 0
46. 16x2 – 9 = 0 47. x2 – 49 = 0 48. 9x2 – 4 = 0 49. 25x2 – 1 = 0 50. x2 – 64 = 0 51. 49x2 – 4 = 0 52. 25x2 – 36 = 0 53. x2 – 81 = 0 54. x2-169=0 55. x2-144=0 56. 36x2-1=0 57. x2-8x=0 58. 169x2-144=0 59. 16x2-25=0 60. 9x2-36=0
3º Opera y resuelve las siguientes ecuaciones de 2º grado:
1. (x-1)2 +(x-1)2=0 2. (x-1)2 +(x+1)2=4 3. (x-1)2 +(x-3)2=15 4. 3(x-5)2=75
5. x+2
x 2
= 23
6. 3x-10 =8
x 2
7. 11(x-1)2=(2x-3)2+4x2+1 8. 5x(x+4)=2 9. (1-2x)2=1 10. (x+5)2=25 11. (x+1)2=4 12. (x+2)(x-1)=30 13. (x-3)(x+1)=21 14. (x-2)(x+3)=2x-6 15. (x+4)(x-8)=-4x+4 16. (2x-1)(3x+4)=0 17. (x-1)2=1 18. 2x(2x-5)-18=x(7-x)-12 19. (x+4)2=8x 20. 25x(x+1)=-4 21. (2x-3)2=8x 22. (x+2)(x-2)=2(x+5)+21 23. 2x(3x-4)-(1-3x)(1+x)=-2 24. (x-3)2=9 25. (2x-1)2+(x-3)2=10
26. 32
3x3x2 2
=+
−
27. x5x20
=
28. x3x
x2=
+
29. 11x21x 2
=++
30. x4x
x=
+
31. 13x33x 2
=++
32. x+1= x6
33. x-6= x27
34. 8x6x −=+
35. 13x4
x 2
=−
36. 3x2
9x
−=
37. x1x1x −
=+
38. 1x1x
4+=
+
39. 83
4x
21x 2
=−+
40. 14
4x2x3 2
=+
−
41. 2x)
2x31(x51 =−−
42. 82x1
4xx
21 2 +
−=+
+
43. 11 6
2x8
3x4x2
=+
++
−
44. )21x3( − )
21x3( + -2x=8x2-1
45. 6x1
2x
3x231
22 ++=
+−
46. (x+1) 2)1x(1 1x3)x1(2
23 2 −
+=
−−
47. x(x-1) +1 = 65
+ 3)1x2(x −
48. 4
x132
3x
6x 22
=−++
49. 12
1x4x1
8xx 22
−+
=−
−+
50. 06
xx4
x2x1
22
=+
+++
1114 ººº PPPRRROOOBBBLLLEEEMMMAAASSS DDDEEE EEECCCUUUAAACCCIIIOOONNNEEESSS DDDEEE SSSEEEGGGUUUNNNDDDOOO GGGRRRAAADDDOOO
1. La mitad del cuadrado de un número es 242. Hallarlo 2. Si al cuádruple de un número se le añaden 320 unidades se obtiene el cuadrado del número. Calcularlo 3. Un terreno rectangular ocupa 98m2. Calcular las dimensiones sabiendo que uno de los lados mide el doble que el otro 4. Hallar un número sabiendo que si se le añaden 15 unidades resulta 5. Calcula dos números impares consecutivos cuyo producto sea 195 6. Si multiplicas la tercera parte de cierto número por sus tres quintas partes, obtienes 405¿Cuál es ese número? 7. Un señor compra una parcela de terreno por 4800€ . Si el m2 hubiera costado 2 € menos, por el mismo dinero hubiera comprado una parcela 200 m2 mayor. ¿Cuál es la superficie de dicha parcela? 8. Un ranchero decide repartir una manada de 456 caballos entre sus hijos e hijas. Antes del reparto se enfada con los dos únicos varones, que se quedan sin caballos. Así que cada hija recibe 19 cabezas más. ¿Cuántas son las hijas del ranchero? 9. Varios amigos alquilan un velero por 800€. Si hubieran sido tres más habrían pagado 60 € menos ¿Cuántos amigos son? 10. Si al triple de un número se le quitan 10 unidades resulta la octava parte de su cuadrado. Averiguar de que número se trata. 11. ¿Cuánto mide el área de un cuadrado si al aumentar en 2 unidades la longitud de cada lado, el área del cuadrado resultante es 361 cm2? 12. Hallar dos números positivos consecutivos tal que la suma de sus cuadrados sea 313 13. Hallar dos números positivos consecutivos tal que el cuadrado de su suma es 361 14. La suma de los cuadrados de tres números consecutivos positivos es 365. Hallarlos. 15. El cuadrado de la suma de dos números enteros consecutivos es 529. Hallarlos 16. El producto de dos números impares consecutivos excede en 114 unidades al cuadrado del menor. Calcular dichos números. 17. Al añadir tres unidades a la novena parte del cuadrado de cierto número se obtiene el consecutivo de dicho número. Hallar el número. 18. El perímetro de un rectángulo es 30 cm. y su área es 56cm2. Hallar la longitud de los lados. 19. Hallar la base y la altura de un rectángulo sabiendo que su diagonal mide 50 cm. y que la base tiene 10 cm. más que la altura. 20. Descomponer el número 16 en dos partes de manera que su producto sea 60. 21. Añadiendo 5 unidades a un número natural y multiplicándolo por el mismo número disminuido en 5 unidades, el producto de ambos es 144. ¿Cuál es el número 22. Hallar un número tal que quitándole 60 unidades a su cuadrado resulte lo mismo que quitándole 4 unidades al propio número. 23. Un padre reparte 3600€ entre sus hijos en partes iguales. Si tuviese 3 hijos menos cada uno recibiría 200€ más ¿Cuántos hijos tiene ese padre? 24. Hallar los catetos de un triángulo rectángulo sabiendo que la hipotenusa mide 13 cm. Y un cateto es 7 unidades más que otro. 25. Un número es 10 unidades mayor que otro y el producto de los dos números es -24 26. Un número es 13 unidades menos que otro y la suma de sus cuadrados es 349 27. Un rectángulo tiene 300cm2 de área y su diagonal mide 25 cm. ¿ Cuánto miden los lados? 28. Calcular la longitud del lado de un cuadrado sabiendo que su área es la cuarta parte del área de otro cuadrado cuyo lado es 2 cm mayor. 29. Un caño tarde 5 horas más que otro en llenar un depósito. Juntos tardaría 6 horas. ¿Cuánto tardará cada caño en llenarlo por separado? 30. Si un número se multiplica por el mismo aumentado en 2 unidades el producto es 15. Calcularlo.
111555º FUNCIONES LINEALES Definición: La relación de proporcionalidad directa entre las magnitudes x e y se puede expresar como funciones de ecuación y=mx. Las gráficas pasan por el origen y m representa la pendiente. Y b
(a,b) y=mx
Si (a,b) es un punto de la recta la pendiente verifica
m= ab
Cuanto mayor sea la pendiente más inclinada será la recta
o a X Si la pendiente es positiva la recata crece Si la pendiente es negativa la recta decrece
Definición: Las gráficas de las recta y=mx+n son rectas que no pasan necesariamente por el origen m es la pendiente y n es la ordenada en el origen. Ejemplo: Representar y=2x-2 Y y=2x-2
1 2 3
La ordenada en el origen es -2 que es el punto de corte con el eje Y. Resolvemos la ecuación 2x-2=0 ; x=1 es el punto de
X -1 -2
corte con el eje X. Unimos los dos puntos y representamos
Definición: Dos rectas son paralelas si tienen la misma pendiente . Son se cantes si tienen pendiente distinta. .Para calcular su punto de corte resolvemos el sistema que forman. 1.-Calcular la ecuación de la recta y representar en las siguientes casos:
1. pendiente 3 y ordenada en el origen –3 2. pendiente -2 y ordenada en el origen 3 3. pendiente -5 y ordenada en el origen 2 4. pendiente 5 y ordenada en el origen -3 5. pendiente 3 y pasa por el punto P (1,2) 6. pendiente 2 y pasa por el punto P (2,1)
7. pendiente 2 y pasa por el punto P (3,2) 8. Pasa por los puntos P(1,3) Q(3,-2) 9. Pasa por los puntos P(-1,2) Q(1,-2) 10. Pasa por los puntos P(1,2) Q(2,-2) 11. Pasa por los puntos P(2,3) Q(1,-1) 12. pendiente -2 y pasa por el punto P (3,-2)
13. Es paralela a la recta y=-3x+1 y pasa por el punto P(-1,-2) 14. Es paralela a la recta y=3x-1 y pasa por el punto P(2,-2) 15. Es paralela a la recta y=4x+1 y pasa por el punto P(2,-2) 16. Es paralela a la recta y=2x-1 y pasa por el punto P(1,-2)
2.- Estudiar la posición relativa de los siguientes pares de rectas. En caso de ser secantes calcular su punto de intersección. 1. y= 2x-1 e y=3x+2 2. y=3x-1 e y=3x+2 3. y=4x-1 e y=2x-3
4. y= 3x-3 e y=-3x+2 5. y=5x-2 e y=5x+1 6. y=3x+4 e y=4x+3
7. y=2x-2 e y=3x-1 8. y=-2x-2 e y=-2x+4 9. y= -2x+1 e y=3x-3
3.- Dibujar y encontrar las ecuaciones del paralelogramo de vértices A ( -1,1) ; B ( 5,1 ) ; C (3 ,1) ;D (-3, -1). 4.-Dado el triángulo de vértices A( 3,1) ; B(6,4); C (8,-2) Hallar: a) Ecuaciones de los tres lados b) Recta paralela al lado AB que pasa por C c) Puntos medios de los tres lados
111666º FUNCIONES CUADRATICAS Procedimiento general:
y=ax2+bx+c 1. Calculamos sus puntos de corte:
Eje OX resolvemos la ecuación (x1, 0) y (x2 ,0) Eje OY (0,c)
2. Calculamos su vértice:
Abcisa x= a2b−
ó bien x= 2xx 21 +
Ordenada sustituimos x en la ecuación.
Ejemplo: Representar y= x2 +2x -3 1º resolvemos
x= =±−
=±−
=−−±−
242
21 62
1.2)3. (1.422 2
como c=-3 sus puntos de corte son ( 1, 0) ; (-3, 0) ; ( 0, -3).
2º Vértice x= 122
a2b
−=−
=−
sustituimos x=-1 en la ecuación
y=(- 1)2 + 2(-1) -3 = -4 luego el vértice es V=( -1. -4).
Representar las siguientes parábolas indicando sus puntos de corte y vértice:
1. y=x2-5x+6 2. y=8x2+32x 3. y=x2-5x+4 4. y=x2-16 5. y=4-x2
6. y=-x2+4x-4 7. y=x2 – 10x + 9 8. y=x2 + 2x
9. y= x2-4 10. y=x2-9 11. y=x2-16 12. y=x2+3x 13. y=x2-5x 14. y= -x2-x+2 15. y= -x2+6x-5 16. y=-x2+4x+5
17. y=x2-6x-7 18. y=x2-8x-9 19. y=x2-4x-5 20. y=-x2+5x-4 21. y=x2-4x 22. y= x2-1 23. y=x2-x 24. y=x2-2x+1
x1=1
x2=-3
111777º ESTUDIO DE FUNCIONES A PARTIR DE SU GRÁFICA
A partir de la gráfica de las siguientes funciones estudia: dominio, recorrido, puntos de corte, simetría, monotonía, máximos, mínimos
111888º GEOMETRÍA. FIGURAS PLANAS Paralelogramo Triángulo Trapecio
b= base h= altura
b
B
Área = b . h Área = 2h.b
Área= h.2
bB +
Polígono regular Rombo Círculo
Área= 2a .p e r í m e t r
Área= ad . D
Área= 2r π Perímetro= r 2 π
LLLÓÓÓNNNGGGIIITTTUUUDDDEEESSS YYY ÁÁÁRRREEEAAASSS DDDEEE FFFIIIGGGUUURRRAAASSS CCCIIIRRRCCCUUULLLAAARRREEESSS Sector circular Corona Circular Trapecio circular
Área Sector=360º
r 2 2 απ Área = 22 rR π−π Área=
º3 6 0)rR( 22 −απ
1.- Calcular el áera y de los siguientes polígonos regulares de lado:
1. pentágono l=4 2. Hexágono l=3 3. Cuadrado l=2
4. Octógono l=4 5. Heptágono l=5 6. Decágono l=3
7. Rombo L=6 y l =4 8. Trapecio B=7 b=3 9. Rectángulo b=3 h=5
2.- Hallar la longitud del arco y el área de los siguientes sectores circulares:
1. radio= 1 ; ángulo=30º 2. radio= 8 ; ángulo=45º
3. radio= 5 ; ángulo=90º 4. radio= 4 ; ángulo=120º
3.- Hallar el área de las siguientes coronas circulares: 1. R= 3 r=1 2. R= 5 r=2
3. R= 6 r=3 4. R= 7 r=3
5. R= 8 r=3 6. R= 9 r=2
4.- Hallar el área de los siguientes trapecios circulares: 1. R= 3 r=1 α =60º 2. R= 5 r=2 α =45º
3. R= 6 r=3 α=30º 4. R= 7 r=3 α=90º
5. R= 8 r=3 α=120º 6. R= 9 r=2 α=60º
5.- Calcula el área de las zonas sombreadas en las siguientes figuras
h h
a
D
d
r
α
b
b
h
r
R
r
R
r
α
.
d) e) f) g)
h) i) j) k)
l) m) n)
o)
p) q) r)
111999 FIGURAS EN EL ESPACIO
Prisma regular recto Pirámide regular recta Tronco de pirámide SL= Superficie lateral PB= Perímetro de la base SL=Superficie lateral
la altura: es la perpendicular desde el vértice a la base.(h) la apotema: es la altura del triángulo de una cara (ap)
PB = perímetro base grande Pb = perímetro base pequeña SB= Superficie base grande Sb= Superficie base pequeña ap= Apotema lateral
Área lateral : SL = PB . h Área total : ST = SL +2 SB Volumen: V = SB . h
Área lateral: 2. PB
LaPS =
Área total: BLT SSS +=
Volumen: hSV B .31
=
Área lateral: ( )
2PbB
LaPP
S+
=
Área total:
bBLT SSSS ++= Volumen:
( )hSSSSV bBbB ..31
++=
Cilindro Cono Tronco de cono recto
Área lateral : SL = PB . h = 2πrg Área total : ST = SL + 2 SB =
2πr (g+r) Volumen: V = SB . h = πr2 h
Área lateral: 2. PB
LaPS = =πrg
Área total: BLT SSS += = =πr (g+r)
Volumen: hSV B .31
= =1/3 π r2 h
Área lateral: ( )
2gPPS bB
L+
=
Área total: bBLT SSSS ++= Volumen:
( )hR rrRV ++= 22
31π
LLLAAA EEESSSFFFEEERRRAAA Esfera Huso esférico Cuña esférica
Superficie: S = 4 π R2 Volumen: V = 4/3 π R3 º
Área: 9 0
º2nRSHπ
=
Área: S = SH + SCÍRCULO
Volumen= 270
º3nRV π=
ESTE TEMA LO PODEIS PRACTICAR CON LOS EJERCICIOS DEL LIBRO DE TEXTO
ap
g=h r
r
g h
R
r g h
PROBLEMAS CLÁSICOS A continuación tienes otros problemas, no tan antiguos, pero sí muy comunes, que se suelen plantear como acertijos. Resuélvelos. RESUELVE LOS PROBLEMAS. a) Un tren sale a las 8 horas de la mañana de una ciudad A con destino a otra ciudad B. Su velocidad media durante el recorrido es de 80 km/h. Un helicóptero parte a la misma hora de la ciudad B, sobrevolando la vía férrea, al encuentro del tren. Su velocidad media es de 400 km/h. En el mismo instante en que se encuentran, el helicóptero vuelve a la ciudad B. Al llegar a esta cambia de rumbo y se dirige otra vez hacia el tren. Cuando lo encuentra, da la vuelta y regresa a la ciudad, y así sucesivamente. Sabiendo que la distancia entre ambas ciudades es de 320 km, y suponiendo que el helicóptero no pierde velocidad en los cambios de dirección, ¿cuántos kilómetros recorre el helicóptero?
b) Un elefante macho y un elefante hembra pesan en total 15.500 kg. La hembra y una cría, a su vez, pesan 9.500 kg, mientras que el macho y la cría pesan juntos 10.000 kg. ¿Cuánto pesan los tres juntos? ¿Y cuánto pesa cada uno? c) La señora O’Toole, una persona decididamente ahorradora, está tratando de pesarse ella, su bebé y su perro, todo por un centavo. Al subir a la báscula, esta marca 170 libras. Si ella pesa 100 libras más que el peso combinado del perro y el bebé, y el perro pesa el cuarenta por ciento del peso del bebé, ¿puede determinar usted el peso del pequeño querubín? (Acertijo de Sam Loyd.)
d) Una etapa de una vuelta ciclista de 180 km fue recorrida por el vencedor a una velocidad media de 40 km/h. La segunda etapa de la vuelta también era de 180 km, pero tenía un puerto de primera categoría en la mitad de su recorrido. El vencedor de esta etapa subió la primera mitad de la etapa a una velocidad media de 20 km/h, y desde el puerto a la meta avanzó a 60 km/h. ¿En cuál de las dos etapas invirtió más tiempo el vencedor? e) ¿Cuánto cuestan siete sardinas y media a real y medio la sardina y media? f) Un ganadero tiene pienso para alimentar a una vaca durante 27 días, y si fuera una oveja, tendría para 54 días. ¿Para cuánto tiempo tendría pienso si tuviera que alimentar a la vaca y la oveja?