8/6/2019 3.2.MTODOS DE RESOLUCIN

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3.2MTODOS DE RESOLUCINMtodo de Gauss

El mtodo de Gauss, conocido tambin como de triangulacin o de cascada,

nos permite resolver sistemas de ecuaciones lineales con cualquier nmero deecuaciones y de incgnitas.

La idea es muy simple; por ejemplo, para el caso de un sistema de tres

ecuaciones con tres incgnitas se trata de obtener un sistema equivalente cuya

primera ecuacin tenga tres incgnitas, la segunda dos y la tercera una. Se

obtiene as un sistema triangular o en cascada de la forma:

Ax + By + Cz = DEy + Fz = G

Hz = I

Ejemplo:

Realizamos operaciones de fila

La ultima matriz esta en forma escalonada por filas, (mtodo de gauss), lo cual

significa que:

.

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Mtodo d G uss-Jo d nEs

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un ejemplo. Resolv mosel siguienteconjunto

deecuaciones

3.0 X1 - 0.1 X2 - 0.2 X3= 7.8500

0.1 X1+ 7.0 X2 - 0.3 X3= - 19.3

0.3 X1 - 0.2 X2+10 X3= 71.4000

Primero expresemos loscoe icientesyel vector de trminos independientes

como una matriz aumentada.

Se normaliza el primer rengln dividiendo entre 3 para obtener:

El trminoX1se puedeeliminar del segundo rengln restando0.1vecesel

primero del segundo rengln. De una manera similar, restando0.3vecesel

primero del tercer rengln seelimina el trmino conX1 del tercer rengln.

En seguida, se normaliza el segundo rengln dividiendo entre7.00333:

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Reduciendo los trminosenX2 de la primera y la tercera ecuacin se obtiene:

El tercer rengln se normaliza dividiendolo entre10.010:

Finalmente, los trminosconX3se pueden reducir de la primera ysegunda

ecuacin para obtener:

Ntese que no se necesita sustitucin hacia atrs para obtener la solucin.

Lasventajasy desventajas de la eliminacin gaussiana se aplican tambin al

mtodo de Gauss-Jordan.

Aunque los mtodos deGauss-Jordany deeliminacin de Gauss pueden

parecer casi idnticos, el primero requiere aproximadamente50% menos

operaciones. Por lo tanto, la eliminacin gaussiana esel m todo simple porexcelencia en la obtencin desolucionesexactas a lasecuaciones lineales

simultneas. Una de las principales razones para incluir el mtodo de Gauss-

Jordan, es la de proporcionar un mtodo directo para obtener la matriz inversa.

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Mtodo de CramerLa r eg l a de Cram er sirve para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Se aplica a

sistemas que cumplan las dos condiciones siguientes:

-El nmero de ecuaciones es igual al nmero de incgnitas .

-El determinante de la matriz de los coeficientes es distinto de cero .Tales sistemas se denominan sis tem as de Cr ame r .

Sea el determinante de la matriz de coeficientes.

Y sean: 1 , 2 , 3 . . . , n

Los determinantes que se obtiene al sustituir los coeficientes del 2

miembro (los trminos independientes) en la 1 columna, en la 2

columna, en la 3 columna y en la ensima columna respectivamente.

Un sistema de Cramer tiene una sola solucin que viene dada por

las siguientes e

presiones:

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CRITERIO PARA HALLAR SOLUCIONES

Una vez aplicado Gauss o Gauss-Jordn

Tiene solucin nica si el nmero de ecuaciones validas es igual al nmero deincgnitas.

Tiene infinitas soluciones si el nmero de ecuaciones validas es menor al nmerode incgnitas.

No tiene solucin si el nmero de filas no nulas de la matriz ampliada y el de lamatriz de coeficientes son diferentes.

Aplicamos Gauss Jordn

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Como se escriben las infinitas soluciones

Ejemplo:

Resolucin por Gauss- Jordan

Ejercicios tipo examen:

Determinar para que valores de existe:a) b) c)