3.1 DEFINICIÓN: Una ecuación diferencial de primer orden es de la forma:

F(x,y,y’)=0Si se puede resolver respecto a la derivada y’, se tiene que:

y’= f(x,y) o M(x,y)dx + N(x,y)dy=0Las ecuaciones de esta forma se clasifican en:

Ecuaciones de variables separables Ecuaciones Exactas

Generalmente cuando se resuelve una ecuación de primer orden, su solución es una familia unípara métrica de la forma G(x,y,c)=0

PROBLEMAS DE VALOR INICIAL:

Si para una solución particular y=y(x) de la ecuación diferencial y(n)=f(x,y,y’,...,y(n-1)) se dan las condiciones iniciales.

Y(x0)=yo, y’(xo)=y’o, y(n-1) (xo)=yo

(n-1)

Y se conoce la solución general de la ecuación y(n)=f(x, y,y’,...y(n-1))Que es y=G(x, c1,...cn), las constantes arbitrarias c1,...,cn, se pueden determinar del sistema de ecuaciones:

Yo=G(xo, c1,....,cn) Yo’=G’(xo,c1,...cn)...

Y0(n-1)=G(n-1)(x0,c1,...cn)

Y se conocen como problemas de valor inicial.A menudo interesa resolver una ecuación diferencial de primer orden y’=f(x,y) sujeta a la condición y(xo)=yo, donde xo es un número en un intervalo I y yo es un número real arbitrario.

Ejemplo 1Hallar la curva de la familia y=C1ex + C2e-2x, que tiene como valores iniciales y(0)=1, y’(0)=-2

Solución:

y=C1ex + C2e-2x

y’=C1ex -2 C2e-2x

poniendo x=0, en las ecuaciones anteriores se tiene:1=C1eo + C2eo entonces, C1 + C2=1-2=C1eo -2 C2eo entonces C1 -2 C2=-2 de donde C1=0, C2=1y la solución pedida es y=e-2x

Ejemplo 2Dada la ecuación diferencial y’-xy1/2 =0 con y(0)=0, la función y1=x4 / 16 es uan solución y también y2 =0 es otra solución.

Solución:

En este caso existen dos soluciones que satisfacen la condición inicial porque si:

Y1’=x3 / 4 y y(0)=0,

x3

4−xy

12=x3

4−x √ x 416 =

x3

4−x3

4=0

se cumple

y si y2=0 entonces y2’=0 y 0 – x√0=0 se cumple

Ejemplo 3Dada la función y=Cex es una familia uniparamétrica de soluciones de la E.D.O y’=y en el intervalo -∞ < x < ∞Si y(0)=3.

Solución:

Entonces sustituyendo x=0, y=3 se tiene:

3=Ceo C=3 y la solución es y=3ex

Al considerar un problema de valor inicial se consideran dos cuestiones: ¿ Existe una solución del problema? Si es que existe una solución, ¿esta es única? o ¿Existe más de una

solución?Para contestar esta última cuestión, se expone el siguiente teorema de Picard

Teorema: Sea R una región rectangular en el plano xy definida por a <= x <= b, c <= y <= d que contiene al punto (Xo,Yo), si f(x,y) y df , son continuas en R, entonces existe un intervalo I con dy centro en X0 y una única función y(x) definida en I que satisface el problema de valor inicial.No siempre es posible encontrar un intervalo específico I en el cual se define una solución, sin antes resolver la ecuación diferencial.Si se encuentra una solución concreta, ciertamente puede decirse que existe; por otro lado, puede existir una solución y sin embargo no se puede expresarla.Luego las condiciones enunciadas en el teorema anterior son suficientes pero no necesarias. Cuando f(x,y) y df son continuas en una región rectangular R, siempre debe inferirse que existe

dy una única solución de la ecuación cuando (Xo,Yo) es un punto interior de R. Sin embargo si las condiciones enunciadas en la hipótesis del teorema no se cumplen, en tal caso, el problema de valor inicial puede tener las siguientes situaciones:

Ninguna solución Infinitas soluciones Una única solución