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Noviembre 2003 • 2003ko Azaroa 47

1ª OLIMPIADA MATEMÁTICA DE EUSKADI para alumnado de 2º de E.S.O:

1ª OLIMPIADA MATEMÁTICA DE EUSKADIpara alumnado de 2º de E.S.O:

Asesores de Matemáticas de los Berritzegunes (*)

UN POCO DE HISTORIA

Las Olimpiadas Matemáticas no son una actividad nueva. Ya a comienzos del siglo XX se cele-braban competiciones sobre problemas matemáticos y en el año 1959 nacen unas OlimpiadasMatemáticas para alumnos de Enseñanza Secundaria en diversos países del Este de Europa.

Desde 1.964, y bajo el patrocinio de la Real Sociedad Matemática Española, se celebra enEspaña la Olimpiada Matemática Nacional dirigida al alumnado del actual 2º curso deBachillerato. En la Enseñanza Obligatoria, si bien se celebraban algunos concursos de proble-mas, no es hasta el curso 1984/85 en el que la Sociedad Andaluza de Educación Matemática“Thales” pone en marcha la 1ª Olimpiada para alumnos de 8º de E.G.B.

Posteriormente, comienzan a surgir en diversas Comunidades Autónomas las Sociedades deprofesores de Matemáticas y con ellas las convocatorias de Olimpiadas a nivel provincial oautonómico. La constitución de la Federación de Sociedades (FESPM) posibilita la organiza-ción de las Olimpiadas Matemáticas Nacionales para el actual alumnado de 2º de E.S.O., delas que este curso 2002-03 se ha celebrado ya la decimocuarta edición.

En Euskadi, al no contar con Sociedad de Profesores, los asesores de Matemáticas de losBerritzegunes, tras unos contactos con la Federación y con los responsables de la organiza-ción de la Olimpiada Española, decidimos impulsar la organización y celebración de la 1ªOlimpiada Matemática de Euskadi para alumnado de 2º de E.S.O.

Planteada la iniciativa al Departamento de Educación del Gobierno Vasco, en concreto a laDirección de Innovación Educativa, obtenemos no sólo la aprobación sino el apoyo y colabo-ración, tanto en aspectos organizativos como económicos. A partir de aquí, los tres Asesoresde Matemáticas constituimos la Comisión Organizadora de la 1ª Olimpiada Matemática deEuskadi (OME).

La OME pretende, entre otras cosas, popularizar las matemáticas, sacándolas del ámbito pura-mente escolar en el que habitualmente están recluidas y poniendo de manifiesto que las mate-máticas subyacen en muy diversas actividades de la vida, no sólo en las ciencias y tecnología,sino que abarcan todas las actividades humanas, incluidas las lúdicas. Estos son los

OBJETIVOS

Que podríamos agrupar en tres grandes bloques:

• Fomentar entre los estudiantes el gusto por las matemáticas, planteando actividades abiertasque les ofrezcan la posibilidad de poner en juego su creatividad, de usar estrategias genera-les de resolución de problemas y disfrutar afrontando retos intelectuales.

(*) Este artículo ha sido elaborado por Alberto Bagazgoitia.

Una de las mayores potencialidades de las matemáticas radica en la gran cantidad de aplica-ciones, contextos y situaciones diferentes en las que pueden aparecer o en las que sus méto-dos y procedimientos pueden ser útiles: ciencia, arte, economía, juegos.

• Facilitar la relación entre centros, profesores y alumnos, favoreciendo el conocimientomutuo y el intercambio de experiencias.

En torno a las actividades de la Olimpiada, por parte del profesorado, se pueden poner encomún modos, formas de hacer y experiencias positivas y en lo que se refiere a los alumnos,las actividades más abiertas favorecen el trabajo en equipo.

• Contribuir a la mejora del proceso de Enseñanza-Aprendizaje de las matemáticas, y a la for-mación permanente del profesorado apoyando la innovación e impulsando el trabajo enResolución de Problemas.

La Resolución de Problemas ha de ser un trabajo cotidiano en nuestras aulas y la Olimpiadapuede ser un elemento dinamizador en la renovación didáctica del profesorado. Y no sólopara los alumnos más brillantes o motivados en matemáticas sino que todos los alumnosobtendrán beneficios de este enfoque que favorece el desarrollo de capacidades de alto nivel.

ESTRUCTURA Y DESARROLLO

En enero se envió la convocatoria de esta 1ª Olimpiada Matemática a todos los Centros de laComunidad, públicos y privados, contando para este proceso con la colaboración de losBerritzegunes, en concreto con la de los asesores del área científico-tecnológica. Por otraparte, las bases y toda la información sobre la Olimpiada se colgó en la red, en la direcciónwww.berrikuntza.net/mateolimpiada y las inscripciones de los centros participantes tambiénse recogieron a través de esta página web. Debemos agradecer aquí el trabajo de LukasRodríguez, asesor de TIC del Berritzegune de Abando, sin el que no se hubiera podido llevara cabo este planteamiento.

La Olimpiada se estructuró en dos fases:

La primera, se realizó en cada uno de los centros participantes el día 28 de marzo. La pruebacorrespondiente a esta fase fue enviada por la Comisión Organizadora y consistió en cincoproblemas (se sugería que de esos 5 problemas se seleccionasen 4 para presentar a los alum-nos). Cada centro debía elegir dos alumnos que serían los que pasarían a la segunda fase.Previamente a esto, se habían hecho llegar al profesorado modelos de problemas de tipo ynivel similares a los que se pondrían en las pruebas.

Para esta primera fase se inscribieron 100 centros de la Comunidad. Por diversos motivos elnúmero total de centros que inscribieron a sus alumnos para la 2ª Fase fue de 92, repartidosde la siguiente forma:

SIGMA Nº 23 • zk. 23 SIGMA 48

Asesores de Matemáticas de los Berritzegunes

CENTROS PÚBL. PRIV. TOTAL

ALAVA 6 7 13

GUIPÚZCOA 11 14 25

VIZCAYA 24 30 54

TOTAL 41 51 92

La 2ª Fase se realizó el sábado 17 de mayo de 10´30 a 12´30, en cada una de las tres capita-les de la CAV:

En Bilbao: en el IES Txurdinaga Behekoa.En Donostia: en el IES Usandizaga-Peñaflorida.En Vitoria-Gasteiz: en el IES Samaniego.

Tenemos que agradecer la colaboración de los profesores de estos centros, y muy especial-mente al profesorado del IES Txurdinaga Behekoa, que ayudaron a organizar esta 2ª fase en laque en total tomaron parte 184 alumnos.

La entrega de premios tuvo lugar en Lakua, en el edificio del Gobierno Vasco en Vitoria, y aella estuvieron invitados además de los 12 alumnos clasificados en los primeros lugares, suspadres y profesores. El acto fue sencillo pero agradable y satisfactorio para todos: IntervinoD. Fernando Corbalán con una charla titulada “Las matemáticas en los juegos” que fueseguida con interés y agrado por los asistentes y cerró el acto D.Konrado Mugerza, Directorde Innovación Educativa , quien tras unas breves palabras de agradecimiento y felicitaciónhizo entrega de los premios a los ganadores.

Se despidió a los asistentes con un pequeño lunch, y en las conversaciones informales que sedesarrollaron a continuación pudimos valorar la satisfacción general de todos los participan-tes en esta Olimpiada, animándonos a continuar en este camino.

IMPRESIONES Y VALORACIÓN

La valoración del proceso seguido en esta 1ª Olimpiada Matemática de Euskadi para alumnosde 2º de E.S.O. es inequívocamente positiva. Tanto por la participación lograda (100 centrosel primer año), como por las opiniones recogidas entre el profesorado, animándonos a conti-nuar y en algunos casos a ampliar a 4º ESO o a mantener en 3º ESO una cierta continuidad,aún siendo de un modo más informal, pero procurando que no se pierda el trabajo realizado-creemos que la actividad ha satisfecho con creces las expectativas planteadas.

Por otra parte, y desde el punto de vista estrictamente matemático, o mejor dicho, de la ense-ñanza de las matemáticas, también se pueden resaltar algunos comentarios o apreciacionesque nos deberían hacer pensar sobre el enfoque que tiene o que le damos a la asignatura enel aula. He aquí algunos de los comentarios recogidos:

• “ Algunos alumnos malos en matemáticas hacen estos problemas bien”.

El enfoque de Resolución de Problemas puede tener mayor interés para algunos alum-nos, al plantear problemas más abiertos y cercanos o que suponen un cierto reto inte-lectual.

Sugerencia para el aula: Deberíamos abrir el enfoque y el tipo de actividades que se rea-lizan en el aula: Necesidad del trabajar la Resolución de Problemas.

• “ Esto no son las mate de verdad”.

Los alumnos tienen la sensación, transmitida a lo largo de sus ya 8 años de escolarización, deque las matemáticas auténticas son las de los ejercicios mecánicos, resolución de ecuacioneso cálculos algorítmicos, mientras que los procesos de razonar, conjeturar, particularizar, gene-ralizar,... que entran en juego en situaciones más abiertas, sólo sirven para pasar el rato ocomo entretenimiento sin importancia.

Sugerencia para el aula: Trabajar sistemáticamente la Resolución de Problemas y las capaci-dades generales anteriormente citadas dentro del currículo ordinario.



Por último, del análisis global de las respuestas del alumnado a los problemas de la 2ª fase, sededuce claramente que la Geometría es el área en que los alumnos tienen más dificultades.Más allá de las fórmulas elementales, la capacidad de razonamiento geométrico es escasa, loque nos debe llevar a plantearnos la importancia real que tiene la Geometría en el currículo.

No queremos terminar sin agradecer al alumnado participante por su esfuerzo y al profeso-rado que ha impulsado y animado esta participación por su desinteresada colaboración quees completamente imprescindible para que la Olimpiada pueda celebrarse.

Esperamos contar con todos vosotros en la 2ª Olimpiada Matemática de Euskadi, de cuya con-vocatoria tendréis puntual información en el curso 2003-04.

PARTICIPACIÓN EN LA OLIMPIADA ESPAÑOLA

Los dos primeros clasificados en nuestra Olimpiada de Euskadi tenían derecho a participar, encalidad de invitados, en la Olimpiada Española que se celebró en Logroño entre los días 25 y29 de junio. 58 alumnos de todas las Comunidades Autónomas, Andorra y Marruecos y 21profesores nos reunimos para convivir y disfrutar en torno y con las matemáticas.

Además de realizarse las pruebas individuales, por equipos y un concurso de fotografía mate-mática, hubo tiempo para otro tipo de actividades lúdicas y de convivencia.

Uno de nuestros representantes, Javier Goñi, recibió dos diplomas, correspondientes a las dospruebas individuales, de los cinco con que se premiaba en cada prueba a los alumnos másdestacados, pero el mejor y mayor premio para todos fue la convivencia, y como los alumnosmismos dijeron al despedirse el recuerdo que permanecerá durante mucho tiempo.



ANEXOS

1.- PROBLEMAS DE ENTRENAMIENTO.

2.- PROBLEMAS 1ª Y 2ª FASE.

3.- CENTROS PARTICIPANTES.

4.- ALUMNOS PREMIADOS.

5.- RELACIÓN DE PREMIOS.

6.- FOTOS.

7.- XIV OLIMPIADA ESPAÑOLA.

7.1 PROBLEMAS: PRUEBAS INDIVIDUALES Y POR EQUIPOS.

7.2 COMUNIDADES AUTÓNOMAS PARTICIPANTES.



ANEXO 1

1. PROBLEMAS

1. En la siguiente secuencia dí el número que ocupa el lugar 214:

0, -1, 1, 0, -1, 1, 0, -1, 1, 0, ...

OBSERVACIÓN: No vale el ir escribiendo hasta llegar al 214, porque el problema sería abu-rrido.

2. En el siguiente cuadro, los números de partida al atravesar los compartimentos A, B, C y Dsufren una transformación. En cada compartimento, la transformación es siempre la misma.Observa los dos primeros casos resueltos y completa los demás.

16 → A → 20 → Β → 40 → C → 30 → D → 157 → A → 11 → Β → 22 → C → 12 → D → 6

20 → A → → Β → → C → → D →101 → A → → Β → → C → → D →

→ A → → Β → 100 → C → → D →X → A → → Β → 40 → C → → D →

3. Un niño tiene una colección de 10 cubos. El 1º es de 1 cm. de arista, el 2º de 2 cm., el 3ºde 3 cm., y así sucesivamente hasta el 10º de 10 cm.

¿Puedes construir, utilizando todos los cubos, dos torres de la misma altura? Muestra cómoo explica "por qué" no puedes hacerlo.

En cambio si se tiene, además, un cubo de 11 cm. puedes conseguirlo siempre. ¡Muestracómo y si puedes hazlo de varias formas!

4. En las siguientes figuras tienes una caja de dimensiones 5, 7 y 13, atada de diversas maneras.

Calcula la longitud de cordel utilizado en cada caso sin tener en cuenta el nudo.

Considera ahora una caja de dimensiones a, b, c, que verifican a < b < c. Explica qué pre-caución deberás tomar para utilizar la menor cantidad de cordel a la hora de atar la caja.

5. Calcula el área sombreada.

6. Encontrar una regla que indique cómo se pasa de una figura a la siguiente. Después de 20pasos ¿cuántos cuadraditos contendrá la figura?



ANEXO 1

1. PROBLEMAK

1. Hurrengo segidan, zein zenbaki izango dugu 214-garren tokian?

0, -1 , 1 , 0 , -1 , 1 , 0 ,-1, 1, 0,.....

OHARRA.- Ez du pena merezi segidaren elementu guztiak idazteak, aspertuko baitzara.

2. Ondoko taulan hasierako zenbakiak aldatzen dira A, B, C eta D "kutxetatik"pasatzean.Kutxa bakoitzean aldaketa berdina dugu beti. Estudia itzazu bi lehenengo kasuak eta osatubeste laurak.

16 → A → 20 → Β → 40 → C → 30 → D → 157 → A → 11 → Β → 22 → C → 12 → D → 6

20 → A → → Β → → C → → D →101 → A → → Β → → C → → D →

→ A → → Β → 100 → C → → D →X → A → → Β → 40 → C → → D →

3. Haur batek 10 kubo dauzka. 1.aren aristak zentimetro bat du luzeera, 2.arenak 2 zm., 3.are-nak 3 zm.,.....etab., 10.aren aristak 10 zm. neurria du.

Eraiki al ditzakezu, hamar kuboak erabiliz, altuera berdineko bi dorre desberdin? zergatik?

Egiazta ezazu hamar horien gainera 11 zm.-tako beste kubo bat baduzu era desberdinetanegin dezakezula lan hori.

4. Irudian ba duzu 5,7 eta 13 dimentsioetako kutxa hiru eratan lotuta.

Kalkula ezazu zenbat kordel erabili den kasu bakoitzean korapiloa kontutan izan gabe.

Eman dezagun a,b,c dimentsioetako kutxa dugula non a<b<c diren. Nola egin beharko duzukutxa lotzean ahalik eta kordel gutxien erabiltzeko.

5. Kalkula ezazue zati beltzaren azalera.

6. Eman ezazue irudi batetik hurrengora nola pasatzen den adierazteko erregela bat. 20 pausoeman ondoren, zenbat karratutxo izango du irudiak?



Inicio 1er paso 2º paso 3er paso

7. ¿Cuál es la suma de todos los dígitos de todos los números enteros positivos que son menoresque 100?

8. Si el número 5DDDD es divisible por 6 . ¿Cuánto vale D?

9. Si cada lado del triángulo ABC lo prolongamos una distancia igual a su longitud y sabiendoque su área es 1. ¿Cuál es el área del triángulo A'B'C'?

10. ¿Cuántos triángulos equiláteros se pueden dibujar en la trama de puntos ilustrada?Calcular también la longitud de los lados de esos triángulos.

11. ¿Cuántos números de 15 dígitos que utilizan exclusivamente los dígitos 3 y 8 son múlti-plos de 11?

12. Con 6 fichas rectangulares, todas iguales, se armó esta figura. En cadaficha rectangular la longitud del lado mayor es cuatro veces la longitud dellado menor. El perímetro de una ficha es 30cm. ¿Cuál es el perímetro dela figura?

13. Pedro sacó 950€ del banco. Si le dieron en billetes de 20€ y de 50€, yno le dieron ninguna moneda.

¿Cuántos billetes de cada clase le pudieron dar?

Enumera todas las posibilidades.

14. ¿Cuántos números impares divisibles por 5 hay entre 702 y 1501?

¿Cuántos números pares múltiplos de 3 hay entre 205 y 1300?

15. Luis se propone estudiar 14 horas por semana, de lunes a viernes, y cada día no menos de2 horas y siempre un número entero de horas.

¿De cuántas maneras distintas puede repartir sus horas de estudio durante la semana?

16. Un jugador de baloncesto ha obtenido en un partido un 88'88... por ciento de encestes.Sabiendo que ha lanzado entre 10 y 20 tiros, ¿cuántos ha lanzado y cuántos ha ences-tado?

17. Tres personas, Pablo, Mikel y Koldo tienen cada uno dos oficios. Hay un conductor, uncamarero, un músico, un pintor, un jardinero y un peluquero. Averiguar a qué se dedicacada uno sabiendo que:



Inicio 1er paso 2º paso 3er paso

7. Zein da ehun baino txikiago diren zenbaki positiboen digito guztien batuketa?

8. 5DDDD zenbakia 6rengatik zatigarria bada. Zenbat da D?

9. ABC triangelu honen alde bakoitza, norabide berean luzatuz, bikoizten bada eta jakinezbere azalera 1 (unitatea) dela. Zein da A'B'C' trianguluaren azalera?

10. Puntu sare honetan, zenbat triangelu ekilatero marraz dezakezu? Zein da triangelu horienalden luzera?

11. 3 eta 8 zenbakiak bakarrik erabiliz, zenbat hamabost digitotako zenbakietatik, 11ren mul-tiploak dira?

12. Laukizuzen itxura duten 6 fitxekin, denak berdinak izanik, honako irudihau egin zen. Laukizuzen fitxa bakoitzeko alde nagusia txikia baino laualdiz handiagoa da. Fitxa bateko perimetroa 30 zm-takoa dela jakinik, zeinizango da irudi horren perimetroa?.

13. Pedrok 950€ atera zituen banketxetik. 20€eta 50€-ko bileteak eman ziz-kioten eta txanpon bat ere ez.

Mota bakoitzeko zenbat bilete eman ahal zizkioten?.

Posibilitate guztiak adieraz itzazu.

14. 702 eta 1501 zenbakien artean, zenbat daude bakoitiak eta 5ekin zatigarriak direnak?.

205 eta 1300 zenbakien artean, zenbat daude bikoitiak eta 3ko multiploak?

15. Luisek bere buruari agintzen dio ikasi behar duela astero 14 ordu, astelehenetik ostiralbitartera, egunero bi ordu edo bi ordu baino gehiago sartuz, eta beti orduen kopurua zen-baki oso bat izanik.

Astean zehar zenbat eratan bana ditzake ikas-orduak?.

16. Saskibaloiko jokalari batek egin dituen saioetatik %88,88... saskiratzea lortu du. 10 tirotik20ra bitartean bota baditu, zenbat tiro bota ditu?.Eta hoietariko zenbat saskiratu?.

17. Hiru pertsonek, Pablo, Mikel eta Koldo, lanbide bina dituzte. Gidari bat serbitzari bat,musikalari bat, margolari bat, lorezain bat eta ileapaintzaile bat daude. Asma ezazubakoitzaren lanbidea honako hau ezagututa:



• El conductor le dijo al músico que tenía el pelo muy largo.

• El músico y el jardinero suelen ir a pasear con Pablo.

• El pintor compró al camarero una botella de agua.

• El conductor debe 6€ al jardinero.

• Koldo ganó a los chinos a Mikel y al pintor.

• El músico regaló un disco a Mikel y otro a Pablo.

18. Un escalera de 5 metros se apoya en la pared vertical de un edificio. La base de la esca-lera dista 1'4m de la parte más baja del edificio. Si la parte más alta de la escalera baja 80cms, ¿cuánto se desplazará la base de la escalera?

19. Si la base de un triángulo aumenta un 10% y la altura sobre ese lado disminuye un10%,¿qué le ocurre al área?



• Gidariak musikalariari ilea oso luzea zuela esan zion.

• Musikalaria eta lorezaina Pablorekin paseatzera joaten ohi dira.

• Margolariak serbitzariari botila bat ur erosi zion.

• Gidariak lorezainari 6€ zor dizkio.

• Koldok, txino jokuan, Mikeli eta margolariari irabazi zien.

• Musikalariak Mikeli eta Pablori disko bana oparitu zien.

18. Eraikuntza bateko horma bertikalen kontra 5 m-tako eskailera bat jartzen da. Eskailerakooinarritik eraikuntzako atal baxuenetara 1,4 m-tako distantzia dago. Eskailerako atalaltuena 80 zm jaisten bada, zenbat desplazatuko da eskailerako oinarria?

19. Triangelu baten oinarria %10-a handitzen bada eta alde horretako altuera %10-a gutxit-zen bada. Zer gertatzen zaio azalerari?



ANEXO 2

1ª OLIMPIADA MATEMÁTICA DE EUSKADI 2002-032º E.S.O.

1ª FASE

1. Los números a partir del 1 se colocan en cuatro columnas como se muestra en la figura. ¿Enqué columna y en qué fila aparecerá el 2003?

2. Un número capicúa es el que es igual leído de izquierda a derecha o de derecha aizquierda. Por ejemplo 2002 es un número capicúa.

¿Cuántos números capicúas hay entre el 1 y el 10.000?

3. Se tienen 9 bolas semejantes en apariencia, pero una es un poco más pesada que el resto.Si sólo disponemos de una báscula de 2 brazos, ¿cuál es el menor número de pesadas quenecesitaremos para identificar la bola más pesada?

¿Y si tuviésemos 27 bolas? ¿ y 81?.¿Puedes generalizar?

4. En la figura inferior aparece un cuadrado de lado unidad en el que se inscriben primero uncírculo, luego 4, 9 y, finalmente, 16. Calcular, en cada caso, la relación entre el área delcuadrado y la suma de todas la áreas de los círculos inscritos. ¿Cuál sería esa relación parael caso de 10x10 círculos inscritos? ¿Por qué?



Fila Columnas

A B C D

1ª 1 2 3 4

2ª 8 7 6 5

3ª 9 10 11 12

4ª 16 15 14 13

5ª 17 ...

ANEXO 2

EUSKADIKO 1. OLINPIADA MATEMATIKOA: 2002-03D.B.H 2. MAILA

1. ALDIKO PROBLEMAK

1. Zenbakiak, 1-etik abiatuz, lau zutabetan kokatzen dira, irudiaren arabera.Zein zutabetan eta zein lerrotan agertuko da 2003 zenbakia?

2. Zenbaki bat bai eskerretik eskubira eta bai eskubitik ezkerrera irakurrita berbera bada, zen-baki kapikua deritzo. Adibidez 2002 zenbaki kapikua da.

Zenbat zenbaki kapikuak aurki daitezke 1-etik 10.000-rako tartean?

3. Itxuraz 9 bola antzekoak dira, baina batak besteek baino pisu gehiago du. Bakarrik bi beso-tako balantza badugu, zein da pisatu behar dugu aldi kopuru txikiena bola astunena iden-tifikatzeko?

Eta 27 bola izango bagenitu? ¿ eta 81?.Asma dezakezu ondorio orokor bat?

4. Beheko irudiko karratu bakoitzean, hainbat zirkulu agertzen dira, bat lehenengoan, laubigarrenean, bederatzi hirugarrenean eta hamasei laugarrenean. Kalkula ezazu, kasubakoitzean, karratuaren azalera eta zirkulu guztien azalera osoaren arteko erlazioa. 10x10

zirkulu izangobagenitu, zeinizango litzatekeerlazio hori?Zergatik?



Lerroa Zutabea

A B C D

1.a 1 2 3 4

2.a 8 7 6 5

3.a 9 10 11 12

4.a 16 15 14 13

5.a 17 ...

5. ¿Cuántos cuadrados puedes contar en la figura de abajo?

2ª FASE

1. Tenemos una bolsa con 90 caramelos de los siguientes sabores: limón, menta, naranja yfresa. Hay el doble de caramelos de limón que de fresa, hay un 20% más de caramelosnaranja que de fresa y hay un 10% menos de caramelos de menta que de limón.

Si vas sacando caramelos sin mirar,

a) ¿Cuál es el número mínimo de caramelos que tendrás que sacar para asegurarte quetienes por lo menos dos caramelos del mismo sabor?

b) ¿Cuál es el mínimo número de caramelos que tienes que sacar para asegurarte de quetienes por lo menos dos sabores diferentes?

c) A Elena le gustan sólo los caramelos de fresa o de limón y a Fernando los de naranjao menta. Al sacar un caramelo al azar ¿quién tiene mayor probabilidad de que sea desu gusto? ¿Cuánto vale esa probabilidad?

2. Tres amigos A, B, y C eligen los 5 primeros partidos de la quiniela para hacer sus pronósti-cos. Éstas son sus papeletas:

Finalizados los partidos, A y B obtuvieron 3 aciertos y C dos. ¿Cuáles fueron los resulta-dos de los partidos? Razónalo

3. Diez personas P1, P2, P3 , ... P10 , están sentadas en círculo y jugando a pasarse la pelotade una a otra.

La primera P1 pasa la pelota a P4 , ésta a P7 y así sucesivamente saltando de tres en tres.



A 1 X 2

1ºPar *

2ºPar *

3ºPar *

4ºPar *

5ºPar *

B 1 X 2

1ºPar *

2ºPar *

3ºPar *

4ºPar *

5ºPar *

C 1 X 2

1ºPar *

2ºPar *

3ºPar *

4ºPar *

5ºPar *

5. Zenbat karratu konta dezakezu beheko irudian?

2. ALDIA

1. Poltsa batean zapore hauetako 90 gozoki ditugu: limoizkoak, mentazkoak, laranjazkoak etamarrubizkoak. Limoizkoen kopurua marrubizkoen bikoitza da; laranjazkoak marrubizkoakbaino %20 gehiago eta mentazkoak limoizkoak baino %10 gutxiago. Gozokiak begiratugabe ateratzen badituzu:

a) Zenbat gozoki atera beharko duzu gutxienez zapore bereko bi gozoki izateko?

b) Zenbat gozoki atera beharko duzu gutxienez bi zapore ezberdinetako gozokiak izateko?

c) Elenari marrubizko edo limoizko gozokiak soilik gustatzen zaizkio eta Fernandorilaranjazkoak edo mentazkoak. Zoriz, gozoki bat ateratzean, nork du bere gustokoaizateko probabilitate gehiago? Zenbat balio du probabilitate horrek?

2. Hiru lagunek Ak, Bk eta Ck beraien pronostikoak egiteko kinielako lehenengo bost partidakaukeratzen dituzte. Hauek dira euren papeletak:

Partidak bukatzean, Ak eta Bk hiru asmatu zituzten eta Ck bi. Zeintzuk izan ziren partidenemaitzak ?. Arrazoitu.

3. Hamar lagun P1 ,P2 ,P 3, ......, P 10 , zirkulu baten inguruan eserita daude eta batetik bes-tera pilota pasatzen jolasten ari dira. Lehenengoak P1, P4–ri pasatzen dio pilota, honekP7–ri eta P7–k P10 –ari, eta horrela hurrenez hurren.

Zenbat pausutan itzuliko da pilota P1–enganaino ?, zenbat bira eman dio pilotak zirkuluari ?



A 1 X 2

1.Par *

2.Par *

3.Par *

4.Par *

5.Par *

B 1 X 2

1.Par *

2.Par *

3.Par *

4.Par *

5.Par *

C 1 X 2

1.Par *

2.Par *

3.Par *

4.Par *

5.Par *

¿Al cabo de cuántos pasos volverá la pelota a P1? ¿Cuántasvueltas al círculo habrá dado la pelota?

¿Y si P1 pasa la pelota a P5, ésta a P9 y así sucesivamente?

Responde a las mismas preguntas si hubiese 30 personas ylos pases fuesen de 8 en 8.

¿Puedes generalizar?: Si hay N personas y los pases se hacende r en r, después de cuántos pases volverá la pelota a la pri-mera persona? ¿cuántas vueltas al círculo habrá dado lapelota?

4. Calcular el área limitada por los arcos BGC y AFD y los seg-mentos AB y CD, siendo los tres triángulos ABE, BCE Y ECDequiláteros.



P5P6

P1

P4

P3

P7

P8

P9

P10 P2

Eta P1–k P5–i ematen badio, eta honek P9–ari, eta horrelahurrenez hurren, zenbat izango dira ?

Erantzun itzazu galdera berberak 30 pertsona izango baliraeta paseak zortzinaka egingo balituzte.

Orokor dezakezu N pertsona badaude eta paseak “r-naka” egi-ten badituzte, zenbat pase behar dira lehenengo pertsonare-naino pilota itzultzeko?. Zenbat bira eman dio pilotak zirku-luari?

4. Kalkula ezazu BGC eta AFD arkuen eta AB eta CD segmen-tuen arteko gainazala, ABE, BCE eta ECD triangelu aldeki-deak direlarik.



P5P6

P1

P4

P3

P7

P8

P9

P10 P2

ANEXO 3

RELACIÓN DE CENTROS PARTICIPANTES

ARABA

CALASANCIO MM. ESCOLAPIAS IKASTETXEA I.E.S. SAMANIEGO

COLEGIO SAGRADO CORAZON (CARMELITAS) INSTITUTO POLITÉCNICO JESÚS OBRERO

COLEGIO SAGRADO CORAZÓN (CORAZONISTAS) KOLDO MITXELENA B.H.I.

COLEGIO SAN JOSÉ LOS HERRAN

COLEGIO SAN VIATOR MENDEBALDEA B.H.I.

COLEGIO URSULINAS RAMIRO DE MAEZTU (OYÓN)

I.E.S. "SAMANIEGO" B.H.I. (LAGUARDIA)

GIPUZKOA

ARALAR B.H.I. LANDABERRI BHI

ARIZMENDI-ALMEN GUNEA LANGAITZ BHI

AXULAR LIZEOA LAUAIZETA IKASTOLA BHI

C. "NIÑO JESÚS DE PRAGA" KARMELO IKASTETXEA LEIZARAN B.H.I.

COMPAÑÍA DE MARÍA MARIA ETA JOSE

CPEIPS LA ASUNCIÓN MENDATA BHI

DUNBOA BHI MOGEL ISASI B.H.I.

ESKIBEL Nª SRA. DE ARANZAZU

ERAIN IKASTETX SAGRADO CORAZÓN - TELLERI ALDE

IES USANDIZAGA PEÑAFLORIDA AMARA BHI SAGRADO CORAZÓN MUNDAIZ

IKASTOLA EKINTZA THE ENGLISH SCHOOL

IPINTZA INSTITUTUA TXINGUDI BHI

LA SALLE DONOSTIA

BIZKAIA

ABUSU IKASTOLA FADURA INSTITUTUA

AMOR MISERICORDIOSO I.E.F.P.S. REPÉLAGA

ANAITASUNA IKASTOLA HI IES ARRIGORRIAGA

ANDER DEUNA IK I.E.S. "ONDARROA-LEKEITIO" B.H.I.

ARRATIA BHI I.E.S. "ONGARAI" B.H.I.

ARTXANDAPE IKASTOLA I.E.S. MINAS B.H.I.

ASTILEKU IKASTOLA I.E.S.TXURDINAGA BEHEKOA

AVELLANEDA IKASTETXEA IES ANTONIO TRUEBA

BIHOTZ GAZTEA IKASTOLA IES BALMASEDA

BURDINIBARRA B.H.I. IES DERIO

CO. Nª SRA. DEL CARMEN (PORTU) IES ELEXALDE BHI

COLEGIO ALEMÁN IES JM BARANDIARAN



COLEGIO AYALDE IES ORTUELLA

COLEGIO CALASANCIO IES SOPELANA DBH

COLEGIO GAZTELUETA IES URIBE-KOSTA

COLEGIO LA INMACULADA IES ZORROTZA BHI

COLEGIO MUNABE IGNACIO ELLACURÍA BHI

COLEGIO Nª Sª DE BEGOÑA ITXAROPENA IKASTOLA

COLEGIO P. ANDRES DE URDANETA KANTAURI-AXULAR BHI

COLEGIO SALESIANO SAN PAULINO DE NOLA KIRIKIÑO IKASTOLA

COLEGIO SAN JOSÉ LAURO IKASTOLA

COLEGIO SAN FCO.JAVIER LOURDESKO AMA

COLEGIO SANTA MARIA IKASTETXEA PUREZA DE MARÍA

COLEGIO SANTÍSIMA TRINIDAD SAN ADRIAN BHI

CPES NTRA. SRA. DE LA ANTIGUA SAN FÉLIX IKASTETXEA

EL SALVADOR MARISTAS SANTA MARÍA - HIJAS DE LA CRUZ

F.J. ZUMARRAGA- DURANGO INSTITUTUA SATURNINO DE LA PEÑA

ANEXO 4

4. CLASIFICACIÓN: RELACIÓN DE PREMIADOS.

1.- Javier Goñi Mola The English School (Guip)2.-Miguel Querejeta Pérez IES Usandizaga-Peñaflorida (Guip)3.- Irati Larreina Pinto Mendebaldea BHI (Alava)4.- Joseba Dalmau Cherino IES Elexalde BHI (Vizcaya)5.- Amaia Igual Iturraspe IES Ortuella BHI (Vizcaya)6.- Mikel Palmero Lazkoz IES Elexalde BHI (Vizcaya)7.- Iñigo Salazar Ruiz de Ocenda Co. Sagrado Corazón (Corazonistas)(Alava)8.- Ainara Perrino de la Cruz IES Samaniego BHI (Vitoria)9.- Sara Alvarez Martín IES Usandizaga-Peñaflorida (Guip)10.- Imanol Ituiño de Miguel Kirikiño Ikastola (Vizcaya)11.- Edurne Guerrero Basterretxea Bihotz Gaztea Ikastola (Vizcaya)12.- Unai Rodríguez Moreno IES Zorrotza BHI (Vizcaya)



ANEXO 5

RELACIÓN DE PREMIOS.

1º Y 2º CLASIFICADOS:

- Diploma.

- Beca del G.V.para estudiar inglés durante 1 mes en Inglaterra o Irlanda.

- Libro: “Ernesto el aprendiz de matemago”.

- Derecho a participar en la Olimpiada Española, que se celebrará del 25 al 29de junioen Logroño.

3º Y 4º CLASIFICADOS:

- Diploma.

- Beca del G.V.para estudiar inglés durante 1 mes en Inglaterra o Irlanda.


5º AL 12º CLASIFICADOS:

- Calculadora gráfica.


PARA EL PROFESORADO:

- Libro: El lenguaje de las Matemáticas.



ANEXO 6

FOTOS DE ALUMNOS PREMIADOS



Javier Goñi MolaGrupo de ganadores con el Director

Irati Larreina Pinto Mikel Palmero Lazkoz

Miguel Querejeta Pérez Amaia Igual Iturraspe

ANEXO 7

XIV OLIMPIADA MATEMÁTICA NACIONAL PARAALUMNOS DE 2º DE EDUCACIÓN SECUNDARIA

7.1. PRUEBA INDIVIDUAL:1ª PARTE

Problema n°l

TORNEO "GARNACHA" DE FÚTBOL

En el torneo veraniego "Garnacha" de fúltbol participaron cuatro equipos: el Menisco C.F., elReal Broncas, el Patadín beportivo y el Garnacha Atlético. El torneo se disputó por el sistemade liguilla: cada equipo jugó un partido contra los otros tres. Los aficionados recuerdan deforma muy especial este torneo no sólo porque el club organizador se hizo una vez más conel trofeo, sino también porque no hubo dos partidos que terminaran con el mismo resultado.La tabla de la competición quedó así:

Averigua razonadamente cuáles fueron los resultados de los seis partidos.

Problema n°2

DE CUADRADOS Y CIRCUNFERENCIAS INSCRITAS

En un cuadrado de vértices A, B, C y D cuyo lado mide 2 dm trazamos la diagonal AC; des-pués trazamos las circunferencias inscritas en los triángulos ACD y ABC, cuyos centros son res-pectivamente los puntos E y F. Clasifica el cuadrilátero AFCE y halla su área.

Problema n°3

NÚMEROS DE “ATILA”

A partir de este histórico momento, llamaremos "números de Atila" (no sé por qué se me haocurrido ese nombre) a los siguientes:

Atila = { 1 , 11 , 111, 1111, 11111, ... }

Considera los diez primeros "números de Atila" (cuidado con el 111 porque es el peor, ya queempieza con uno, sigue con uno... y acaba con uno).



Partidos Goles

Jugados Ganados Empatados Perdidos A favor En contra

Garnacha 3 2 1 0 4 1

Patadín 3 2 0 1 8 4

Menisco 3 1 0 2 1 6

Broncas 3 0 1 2 2 4

¿Cuántos hay que sean múltiplos de 11?; ¿cuántos son múltiplos de 3?; ¿cuántos "1" tienes queutilizar si escribes los 10?

¿Y si en vez de los diez primeros, tuviésemos los 1000 primeros números de Atila (no se tevaya a ocurrir escribirlos todos...)?

Problema nº4

EMBALDOSAR CON HEXÁGONOS

Se tiene un hexágono regular en el plano.

• Operación 1: Se rodea colocando alrededor hexágonosiguales a él. Hay 1 + 6 = 7 hexágonos.

• Operación 2: Se rodea esta estructura con hexágonosiguales.

Ahora hay 1 + 6 + 2 x 6 = 19 hexágonos. Se repite esta operación.

• ¿Cuántos hexágonos hay después de la operación 4?

• ¿Puedes decir cuántos hay después de la operación 100?

• ¿Cuántos hay despues de la operación n?

Después de la operación n, queremos poner dos euros en cada vértice de orden 2 (es decirdonde se corten dos aristas), y tres en cada uno de orden 3. ¿Cuántos euros necesitamos en total?

PRUEBA INDIVIDUAL: 2ª PARTE

• Rodea con una circunferencia la letra de la respuesta que consideres correcta.• Si te equivocas, tacha con un aspa la letra mal seleccionada y rodea otra.• Es muy dificil contestar bien a todas las preguntas: concéntrate en las más accesibles.• No contestes al azar. Ten presente que:

Cada respuesta correcta te aportará ............ 5 puntosCada respuesta en blanco, .......................... 2 puntosCada respuesta fallada, ................................ 0 puntos

DURACIÓN DE LA PRUEBA: 1 hora y 15 minutos

1. Si un recipiente cúbico tiene una capacidad de 64 cl, su arista interior mide:

A) 4mm; B) 4cm; C) 4dm;D) 4m; E) Nada de lo anterior

2. Tomando como vértices cuatro puntos de esta trama cuadrada, ¿cuántoscuadrados distintos pueden construirse?

A) 17; B) 30; C) 39D) 49; E) Más de 49



3. La cifra de las unidades de 1 + 2 + 22 + 23 + . . .+22003 es:

A) 1; B) 3; C) 5; D) 7; E) 9

4. El actual balón de fútbol es un icosaedro truncado. Se obtiene a partir de unicosaedro, suprimiendo en cada vértice del mismo una pirámide pentago-nal, de forma que por cada uno de los 12 vértices del icosaedro aparezca unpentágono y que cada una de las 20 caras del primitivo icosaedro quedereducida a un hexágono regular. Su número total de aristas es:

A) 180; B) 90; C) 100 ; D) 80;E) Nada de lo anterior

5. ¿Cuántos números naturales menores que 500 son divisibles por 6 o por 8 pero no son divi-sibles por ambos a la vez?

A) 145; B) 140; C) 105; D) 130; E) 125

6. En un rectángulo aumentamos la base y disminuimos la altura de forma que su área novaría. Si la base se aumentó en un 25%, entonces la altura disminuyó un:

A) 20%; B) 25%; C) 40%; D) 80%;E) Faltan datos

7. Uno de estos volúmenes es diferente de los demás. ¿Cuál es?

A) 53 m3; B) 5'3.104 l; C) 5'3.107 cm3; D) 5'3.108 mm3;E) 530 hl

8. Si ABCD es un cuadrado de 20 dm de lado, M es el punto mediode AB y O es el centro del cuadrado, entonces el área (en dm2) delcuadrilátero DMCO sombreado de la figura es:

A) 80; B) 100; C) 120;D) 150; E) 180

9. ¿Cuál de estos números está justo en medio de 0’7 y 0’8?

A) 0’75; B) 0’83; C) 0’75;D) 0’775; E) Nada de lo anterior

10. ¿Cuánto mide el ángulo x de la figura?

A) 110º; B) 115º; C) 120º;D) 126º; E) 130º

11. Artura lanza dos veces una moneda. Por cada cara obtiene 2 puntos, por cada cruz 1punto. Benito lanza un tetraedro con las caras numeradas de 1 a 4.

¿Cuál es la probabilidad de que ambos obtengan la misma puntuación?

A) 3/4; B) 1/2; C) 1/3; D) 1/4;E) Nada de lo anterior

12. ¿En cuántos ceros termina el producto 1203 · 2504 ?

A) 7; B) 9; C) 11; D) 13; E) 15



˘ ˘˘ ˘

13. Un año se llama "Año Santo Compostelano" si el 25 de julio de dicho año cae endomingo. ¿Cuál es el máximo número de años que puede haber entre dos Años SantosCompostelanos consecutivos? (Suponiendo que no es final de siglo).

A) 5; B) 6; C) 7; D) 10; E) 11

14. Si ABC es un triángulo equilátero de 12 cm de lado, M y N los puntosmedios de AB y AC, y P es el punto de intersección de CM y BN, enton-ces el área del triángulo MNP, en cm2, es:

A) 3√3; B) 6√3; C) 4√3;D) 12√3; E) 5√3;

15. Un albañil necesita 10.000 ladrillos para cierto trabajo. Por su larga experiencia sabe queno más del 7% de los que le traigan se le van a romper. Si los ladrillos vienen en cajas de100, ¿cuál es el mínimo número de caJas que debe pedir para estar seguro de acabar eltrabajo?

A) 109; B) 106; C) 105; D) 107; E) 108

16. En un grupo de hombres y mujeres la edad media es de 31 años. Si la media de edad delas mujeres es 25 años y la de los hombres 35 años, entonces la razón n° de hombres/n°de mujeres es:

A) 5/7; B) 7/5; C) 2/1; D) 4/3; E) 3/2;

17. Dos jarras idénticas están llenas de una mezcla de aceite y vinagre en la proporción de 2a 1 en una de ellas y de 3 a 1 en la otra. Si vaciamos ambas jarras en una grande, la pro-porción de aceite y vinagre de la mezcla es:

A) 5 a 1; B) 12 a 5; C) 17 a 7; D) 6 a 5; E) 5 a 2;

18. Como llueve, dos amigos, Ángel y Benito, deciden pasar la tarde viendo películas envídeo. En el mismo vídeo-club Ángel alquila tres vídeos y Benito dos. Cuando otro amigo,Carlos, decide sumarse a la vídeo-sesión, dice Ángel:

No alquiles más películas, que ya tenemos cinco. Pon 4 euros y los repartiremos entreBenito y yo de forma que todos hayamos puesto lo mismo.

¿Qué cantidad –en euros– corresponde a Benito?

A) 1’60; B) 1’50; C) 1’20; D) 1; E) 0’80;



PRUEBA POR EQUIPOS. CALAHORRA

PRESENTACIÓN

Siendo Nerón emperador en Roma y el débil y avaricioso Sulpicio Galba gobernadorde la Tarraconenses, en las idus de marzo del año 62 de nuestra era harían coincidirpor primera vez, en la naumaquia de Calagurris, a Ángulus Rectus, sobrino deDuunviro Cayo Fulcinio Optato, de la tribu Quirina, y a Prima Aúrea, nieta delsenador y cuestor Aurelio Luncino Macedo, propiciando una sólida amis-tad que se prolongaría a través de los tiempos.

Dos mil años después, estos mismos personajes, recrean ante vosotros:chicos y chicas procedentes de toda Hispania, algunos de los pasajesmás interesantes de la vida de Calagurris , tomando como base sieteescollos matemáticos que deberéis resolver con presteza y unabuena dosis de ingenio.

Elegidos otros tantos puntos del mapa urbano, las historias de laantigua ciudad romana se han ido mezclando con el presente deesta acogedora y rica ciudad del valle medio del Ebro.

1ª PRUEBA

Cuando los romanos llegaron a Hispania, Calagurris estaba habitada por un pueblo orgu-lloso y valiente, del que, a buen seguro, habréis oído hablar: los verones. Como puerto fluvial,su situación estratégica en el Valle del Ebro, fue muy codiciada por el Imperio Romano. Sinembargo, su conquista no fue fácil. La ciudad estaba bien protegida por las murallas y el río,y sus habitantes resistieron heroicamente numerosos asedios a pesar de que, en cada una deellas sufrieran innumerables pérdidas humanas.

Para que os habáis una idea, cuenta la leyenda que el último y definitivo asedio, cercadaCalagurris por Afranio y habiendo perecido de hambre su población, hubo una valerosa mujer,la matrona, que para seguir haciéndoles creer que la ciudad continuaba aún en pie de guerra,hizo fuego en los hogares de las casas y arrimó los cadáveres a las murallas, consiguiendo asíresistir por más tiempo.

El centurión Calígula Pocospelus, aunque con temor decidió asaltar la ciudad, cerca de dondeestáis vosotros ahora. Sus ojos temblaron y el miedo se apoderó de él cuando descubrió , a lolejos, numerosas insignias en forma de polígono estrellado en los puntos más estratégicos dela muralla. “¡Ése es el símbolo del poder que explica tan feroz resistencia de esta población!”,

exclamó.

Temerosos, destruyeron todas las enseñas, aunque más tarde descubriría que tansólo la matrona seguía viva entre aquella maraña de cadáveres de los que se ali-mentaba.

He oído decir que, en vuestro tiempo y en este lugar, han aparecidolabradas en el suelo y de forma misteriosa dos de las puntas de aquel

singular polígono. ¡Qué reconocimiento más preciado para mis antepa-sados, venerables jóvenes, recuperar para el presente tan valiosa

insignia!. ¡Y, por todos los dioses, que no conocemos los poderesque se pueden despertar con tal reconstrucción!



2ª PRUEBA

Justo aquí, donde os halláis vosotros ahora, yo, Ángulus Rectus, permanecí absorto durantehoras resolviendo un problema que, mis buenos amigos los arquitectos Vitrubio y Plinio, portodos conocidos, me propusieron un día en los inicios del siglo II d.c.

La causa de tal desazón ha de buscarse en el afán de nuestro pueblo, que nunca dudó eninvertir grandes cantidades de dinero para abastecer a las ciudades del imperio con excelen-tes aguas traídas directamente de los manantiales, aún teniendo grandes ríos tan cerca de ellascomo el Cidacos lo está de la nuestra.

El fin primordial era alimentar día y noche las fuentes donde el pueblo se abastecía de tan pre-ciado manjar pero, también suministrar agua a las termas de nuestros baños públicos y, porsupuesto, garantizar la salud de nuestros ciudadanos limpiando las cloacas con la que rebo-saba de fuentes y termas, dejándola correr sin pausa por ellas.

En aquellos años del siglo II un gran acueducto, de reciente construcción, nos traía agua pota-ble y de calidad directamente de la sierra. El agua era tan buena y abundante, que el pode-roso patricio, Titus Maglius, quiso hacerla llevar a su villa, al otro lado del río. Para ello,encargó a Vitrubio y Plinio una prolongación del acueducto que, atravesando el Cidacos,hiciera realidad sus deseos. ¡Ocupada en tan difícil empresa, pasé horas y horas, en estemismo lugar, calculando la longitud del nuevo trazado!

Mucho se habla de vosotros, honorables sabios venidos de toda Iberia. Impresionado queda-ría si, a pesar de vuestra juventud, fuerais capaces de resolver el problema que ocupo durantetanto tiempo mis vdesvelos. ¿De verdad vais a ser capaces de estimar en pocos minutos laanchura del río?

3ª PRUEBA

Estoy segura de que, si algo conocéis de la cultura en la que metocó vivir, son los números romanos. Lo que no sé es si os habréisparado a pensar en que no permitían hacer cálculos con facilidad;no son signos que sirvan para operar, sino abreviaturas destinadasa anotar y retener números. ¡Imaginad si tuviéramos que hacer unasimple suma como ésta! Y ¡No digamos una división!

Al parecer, al cabo de pocos siglos los hindúes ingeniarían las bases de vuestro sistema denumeración cuya perfección matemática es aún orgullo de todas las civilizaciones. Fue un



CCXXXIICDXIII

MCCXXXI+ MDCCCLII

MMMDCCXXVIII

suceso colosal en la historia de la humanidad, tan revolucionario como la rueda, el dominiodel fuego o la invención de la escritura.

Esa tierra en la que os encontráis, y que ahora llaman la Rioja, fue testigo privilie-giado de los primeros pasos de la numeración indoarábiga por occidente. Enla segunda mitad del siglo X, en el convento de Albelda, un monje llamadoVigila, recogió en un manuscrito aquellas nueve cifras sin saber que acaba-

ría siendo la primera mención conocida de su suo en la Europacristiana. Unos doscientos años después, murió en Calahorra eljudío Abraham Ben Ezra. Traicionado por la conversión al Islamde su hijo, recorrió gran parte de la cuenca mediterránea ense-

ñando entre sus correligionarios aquel sistema de numeraciónque ahora es el vuestro. También él conserva el honor de haber

sido el primero en darlo a conocer a la Europa judía de aquelmomento.

Sumas, restas y multiplicaciones eran ya mucho más sencillas queen mi época, cuando Roma dominaba todo el orbe conocido. Y, sin embargo, la división tar-daría en adoptar la forma que tiene en la actualidad. Haceapenas 200 años los cuadernos escolares estaban plagados dedivisiones como ésta.

Si sois capaces de descifrar su funcionamiento es seguro quesabréis calcular esta otra: 3368970 entre 492, por idénticoprocedimiento.

4ª PRUEBA

Nuestra fidelidad a Sertorio, nos ha granjeado numerosos favores de los emperadores roma-nos. Cuenta mi bisabuelo que, en su juventud, allá por el año 26 a.c., el mismísimo OctavioAugusto visitó Calahorra, que ya para entonces era municipio de derecho romano. La ciudadse engalanó con primor, como no podía ser menos, y se organizaron grandes festejos para

celebrar tan singular acontecimiento.

Frente al lugar en que os encontráis ahora, se levantaba entonces la Naumaquia,singular construcción, que albergaba un lago artificial de 250 m de largo por60 de ancho, y en el que se celebraban juegos náuticos y simulacros de bata-

llas navales. Ese día, las gradas estaban abarrotadas y el emperador, acompa-ñado de su séquito personal, presidía el atrio de autoridades con el senado

de la ciudad al completo, su duumviro, aediles y quaestores.

Cuenta mi abuelo que, envuelto en un silencio expectante, diocomienzo el espectáculo con el enfrentamiento sobre las aguas del

circo de dos embarcaciones de estandartes rojo y blanco respectiva-mente. Al timón, dos colosos que dominaban las artes navales consimilar pericia. Fue un combate sin tregua ni piedad, cruel y tanigualado, que prometía alargarse eternamente. Densas nubes grises

invadieron el cielo de Calagurris acompasando la agonía de los combatientes y la impacien-cia del público.

Octavio contemplaba el espectáculo desde su trono, con expresión altiva y mirada ausente;estático, con ademán elegante, digno de una estatua de mármol. Presagiando el furor de latormenta que se avecinaba, y queriendo dar por terminado el espectáculo, clavó su mirada enel suelo –que era idéntico en forma y colores al que pisáis vosotros–, levantó la mano y, con



un gesto firme, paralizó la contienda y las gargantes de todos los allí congregados. Su vozresonó, adueñándose del silencio... “La primera gota de lluvia que caiga a mis pies decidirála contienda... El vencedor será aquél cuyo estandarte coincida con el color de la baldosa enla que venga la gota a caer. El otro... morirá”. Uno de ellos, sintiendo demasiado próximo sufinal, invocó a Tánato, dios de la muerte, envuelto en un intenso escalofrío.

¿Podríais calcular la probabilidad que tenía cada uno de seguir vivo?

5ª PRUEBA

Difícil será para vosotros imaginar que a Calagurris sólo se pudiera acceder por cuatro puer-tas. El arco que veis era una de ellas. Todavía se pueden distinguir sobre las piedras las gorro-

nera donde se encajaba. Esta puerta oriental por la que entraban losviajeros procedentes de Caesaraugusta, convirtió a este planillo enuno de los lugares más concurridos de la ciudad.

Allá por el año 61 d.c. la multitud se agolpaba aquí, para presenciar lallegada de Marco Fabio Quintiliano, uno de los hijos más ilustres de estaciudad, que acompañaba a Galba, procónsul de la HispaniaTarraconense, en visita oficial.

Por todos era conocido, que tras comenzar su formación en Calahorra yviendo sus excelentes cualidades, fue enviado por sus padres a Roma para

completar su educación. Con sólo 20 años, había alcanzado granfama como letrado y orador, méritos que le permitieron regresar a

Hispania junto al procónsul Galba, con el cargo de abogado delTribunal Superior.

¡Todos querían escuchar a aquél que con su maestría y elocuencia lograbacapatar la atención del senado de Roma!. El entonces duunviro Cayo

Obtusus, había organizado todo tipo de festejos para agasajar a tan ilustres invitados. Estandosentados en las gradas contemplando la sangrienta lucha de dos prisioneros, y sabiendo Galbaque la violencia no era del agrado de Quintiliano, solicitó parar la contienda y habló así:

“En este combate las armas no serán las espadas, sino vuestras mentes... Aquél que con mayorpremura dé respuesta al desafío que os proponga Marco Fabio Quintiliano, recobrará la liber-tad”. Y sin defraudar a los presentes en su ingenio, Quintiliano contestó:

“Os agradezco procónsul esta deferencia, pues bien sabéis que detesto que se imponga larazón de la fuerza por encima de la de la inteligencia”. Bajó entonces a la arena, dibujó unhexágono regular y dijo: “Este hexágono representa el enorme pastel que mi padre ha man-dado elaborar según la receta que traje de Roma, para agradecer vuestro amable recibimiento.Deberá dividirse en ocho partes exactamente iguales, antes de ser distribuido por los barriosde la ciudad”.

El pueblo, enardecido, olvidó a los gladiadores y se dispuso a precipitar lo más posible elmomento en el que degustar tan codicioso manjar.

6ª PRUEBA

Soy Biznieto del duumiro Lucius Baevius Priscus, al cual conoceréis como magistrado monetalcalagurritano en época de Augusto, y estoy encargado de vigilar y controlar el perfecto funcio-namiento de los instrumentos de peso y medidas, evitando que los mercaderes hagan trampas.



En las yacimientos riojanos, han aparecido varias piezas cuya legalidadgarantizo. En Calahorra, por ejemplo, se ha hallado un fiel de bronceperteneciente a una statera (balanza de dos platillos) y un con-trapeso en forma de joven negro, que seguramente formabaparte del instrumento qque, hoy todavía, seguís conociendo conel nombre de romana y que todavía está presente en los merca-dos de vuestros pueblos. La romana actual, mantiene la misma estruc-tura de la balanza romana: balanza graduada que cuelga de un gan-cho. Del brazo corto se cuelga un platillo con el artículo a pesar y del largocuelga una pesa deslizante que establece la medición.

Os voy a contar un caso que tuve que resolver en mi tarea de fiel medidor. Un pícaro merca-der, Parco Cornelius, tenía dos romanas, con sus pilones respectivos, que equilibraban lospesos, de manera exacta, según las marcas de la varilla graduada. El muy granuja, al observarque el peso de uno de los pilones era las tres cuartas partes del otro, se las ingenió para inter-cambiarlos, y, de esta forma, usar una romana para comprar y la otra para vender.

Enseguida detecté la ilegalidad de ambas romanas y, no tuve más remedio que imponerle unamulta, la cual debía ser proporcional al margen de fraude que cometía en cada pesada, esdecir, a lo que robaba a cada cliente al comprar y al vender. Para determinar la sanción, teníaque averiguar cuánto pesaría una libra real en cada una de las romanas trucadas: éste es elreto que os planteo a vosotros ahora.. ¿Podríais ayudarme en la tarea?

7ª PRUEBA

A buen seguro, conoceréis el titánico esfuerzo de construcción que emprendió el Imperio paradotarse de una red de calzadas que unieran las principales ciudades romanas. La que partíade Calagurris, recorriendo todo el valle del Cidacos y atravesando lo que hoy llamáis Puertode Oncala, llegaba hasta Numancia. La importancia de nuestra ciudad se debió, en parte, asu situación estratégica a borde de la que, partiendo desde Tarraco, remontaba el valle delEbro, hasta llegar a Astorga y pasaba por ser una de las principales calzadas de Iberia. esa pri-vilegiada posición impulsó el desarrollo de la actividad artesanal y mercantil, estimulada porla importante afluencia de gentes llegadas de zonas muy lejanas.

Y fue este ir y venir de personas de muy distinta procedencia, animadas por la pujanza denuestra ciudad, el que dio origen a la historia que, circulando de boca en boca, hasta con-vertirse en leyenda, os voy a relatar. Se cuenta que llegó a Calagurris, venida desde las leja-nas tierras galas, una joven plebeya llamada Falbalá de cabellos abundantes y rojizos, de ros-tro bellísimo y formas generosas. El joven Valerius, hijo primogénito de una de las familias másricas de la ciudad, se sintió perturbado por la hermosura de Falbalá desde que la vio y quisohacerla su esposa; pero pronto comprendió que el corazón de su amada pertenecía a otro

hombre y que su deseo era difícil empresa.

Valerius vivía obsesionado por la hermosura de la gala y no cejóen su objetivo. Se sentía capaz de conquistarla y buscó lamanera de asegurar cada día un encuentro con esos ojos quetanto le perturbaban. No disponía aún de fortuna propia, perobuscó ayuda en su padre al que le hizo la siguiente proposi-

ción: pediría a Falbalá que, cada atardecer, y siempre a lamisma hora, acudiera a su casa a llevar un cántaro de agua fresca

con el que acompañar la cena del joven patricio. Él, a cambio, leentregaría a diario cincuenta sextercios, pero sobretodo, aprove-





charía la ocasión para poner en juego todo su poder de seducción y conquistar los favores deesa mujer a la que tanto amaba.

El padre, sensible al sufrimiento de su hijo, accedió al trato, poniendo, como era de esperar,

límite al dispendio que éste solicitaba. Las visitas de Falbalá durarían hasta que la gala hubiera

recibido tantos sextercios como adoquines tenía la calzada en la que se ubicaba su casa y que

es, exactamente, la vía pública en la que os encontráis ahora. Disponía de todo ese tiempo

para seducirla pero, si para etonces, Falbalá no accedía a sus deseos, debería renunciar a ella

para siempre.

Valerius dedicó casi tanto tiempo a contar adoquines como a seducir a la bella Falbalá, voso-

tros disponéis de mucho menos... Por eso os facilitaremos un poco los cálculos suponiendo

que toda la calzada tiene la misma anchura y distribución de árboles asientos que la que

podéis ver aquí.

7.2 LISTADO DE COMUNIDADES AUTÓNOMAS PARTICIPANTES EN LAXIV OLIMPIADA ESPAÑOLA (25-29 Junio 2003 - LOGROÑO)

SOCIEDADES PERTENECIENTES A LA FESPM

ANDALUCÍA 6 estudiantes

ARAGÓN 3 estudiantes

ASTURIAS 3 estudiantes

CANARIAS 3 estudiantes

CANTABRIA 3 estudiantes

CASTILLA - LA MANCHA 3 estudiantes

CASTILLA - LEÓN 3 estudiantes

CATALUÑA 3 estudiantes

EXTREMADURA 3 estudiantes

GALICIA 3 estudiantes

MADRID 3 estudiantes

MELILLA 2 estudiantes

MURCIA 3 estudiantes

NAVARRA 3 estudiantes

LA RIOJA 5 estudiantes

VALENCIA 3 estudiantes

INVITACIONES

ANDORRA 2 estudiantes

ESC. ESP. EN MARRUECOS 2 estudiantes

PAÍS VASCO 2 estudiantes

EUCLIDES:

“Los Elementos”

(Edición Venecia 1482)

3-olimpiada eso

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