3.- minas movimiento 3d 2016-1

Prof. : Fis. Luis Vilcapoma Lá[email protected]

Universidad Nacional Mayor de San MarcosUniversidad del Perú, Decana de América

Facultad de Ingeniería Geológica, Minera, Metalúrgica y Geográfica

Escuela Académica Profesional de Ingeniería de Minas

Curso de Física 1

Movimiento en dos y tres dimensiones

Universidad Nacional Mayor de San Marcos

Escuela Profesional de Ingeniería de Minas Fis. Luis P. Vilcapoma Lázaro2016 - 1

Contenido

Vector posición.

Vector desplazamiento.

Vector velocidad. Velocidad relativa.

Vector aceleración.

Casos: Movimiento de proyectiles, movimientocircular uniforme y uniformemente acelerado.

Problemas de aplicación.



Es un vector que indica la posición de un móvil,trazado desde el origen de un sistema de referencia.

P1y

z

x

ó

r

kjyixr 0

jyixr

Vector Posición



Es el cambio de la posición del móvil

12 rrr

P1y

z

x

1rP2

2r

r

Vector desplazamiento



Si en el punto P1 se encuentra en el instante t1 y en elpunto P2 se encuentra en el instante t2, entonces lavelocidad media se define como el cociente del vectordesplazamiento en el intervalo de tiempo

12

12

tt

rrvm

P1 en t1y

z

x

1r

2r

r

P2 en t2

t

rvm

Vector velocidad media (vm)



Es el límite de la velocidad media cuando Δt tiende acero

P1y

z

x

1rP2

dt

rd

t

rv

t

lim

0

jdt

dyi

dt

dxv

Vector velocidad instantánea (v)



Un coche de minerales tiene las coordenadas (x1,y1)=(20m,-10 m) en el instante t1=8s. Un minutos más tarde suscoordenadas son (x2, y2)=(-40m, 10m). Determine:

a) La velocidad media en este intervalo de tiempo.

b) La dirección y el módulo de la velocidad media.

c) La velocidad instantánea y su dirección en el instantet=30s, si la posición del coche es x(t)=100+3t e y(t)=200+0,8t2 donde t esta en segundos y x, y esta enmetros.

Ejemplo 1



Un venado tiene las coordenadas (x1,y1)=(2m, 10m) enel instante t1=4 s. 10 segundos más tarde suscoordenadas son (x2, y2)=(32m, -28m). Determine:

a) La velocidad media en este intervalo de tiempo.

b) La dirección y el módulo de la velocidad media.

c) La velocidad instantánea y su dirección en el instantet=10s, si la posición del venado es x(t)=5+t2 e y(t)=t+4t2 donde t esta en segundos y x, y esta enmetros.

Ejemplo 2



tsV

tsV

htV

htV

hsV

httshs VVV

y

z

x

Velocidad relativa



Un avión debe volar hacia el norte. La rapidez delavión respecto al viento es de 600 km/h y el vientosopla de oeste a este a 250 km/h. Determine:

a) El rumbo que debe tener el avión.

b) velocidad del avión respecto al suelo.

Ejemplo 3



Es el cambio de la velocidad de un móvil en unintervalo de tiempo

12

12

tt

vvam

t

vam

Aceleración media (am)



Es el límite de la aceleración media cuando Δt tiendea cero

dt

vd

t

va

t

lim

0

kdt

dzj

dt

dyi

dt

dxv

Como

Luego

kajaiakdt

zdj

dt

ydi

dt

xda zyx

222

Aceleración instantánea (a)



El movimiento de una libélula australiana esta dadopor la expresión

y

z

x

ktjtitr )4()202(5,2 2

Determine la velocidad y la aceleración para elinstante t= 4 s, si r está en metros y t en segundos.

Ejemplo 4

https://www.latiendacasalis.com/almacen/imagenes/125/7779900.jpg

https://www.latiendacasalis.com/almacen/imagenes/125/7779900.jpg



El movimiento de una pelota de béisbol golpeada porun bateador viene dada por

22/9,4)/10/5,3(5 tjsmtjsmismimr

Determine la velocidad y la aceleración para elinstante t= 3 s

Ejemplo 5

http://www.google.com.pe/imgres?imgurl=http://www.chicagodeportes.com/Productos/BASEBALL/845_Baseball_0309_N.jpg&imgrefurl=http://www.taringa.net/posts/info/4411745/Cosas-interesantes-que-quizas-no-sabias_-_parte-2_.html&usg=__SQPvSk1exk0y9yMTZ0nN6ivj4rE=&h=400&w=400&sz=35&hl=es&start=14&zoom=1&itbs=1&tbnid=aPMLZwBcJRpH0M:&tbnh=124&tbnw=124&prev=/images?q=pelota+de+beisbol&hl=es&gbv=2&tbm=isch&ei=Iy20TZj8DIaV0QHC18WcCQ

http://www.google.com.pe/imgres?imgurl=http://www.chicagodeportes.com/Productos/BASEBALL/845_Baseball_0309_N.jpg&imgrefurl=http://www.taringa.net/posts/info/4411745/Cosas-interesantes-que-quizas-no-sabias_-_parte-2_.html&usg=__SQPvSk1exk0y9yMTZ0nN6ivj4rE=&h=400&w=400&sz=35&hl=es&start=14&zoom=1&itbs=1&tbnid=aPMLZwBcJRpH0M:&tbnh=124&tbnw=124&prev=/images?q=pelota+de+beisbol&hl=es&gbv=2&tbm=isch&ei=Iy20TZj8DIaV0QHC18WcCQ



000 cosvv x

La figura muestra el lanzamiento de una pelotapor un jugador con una velocidad inicial v0 yformando un ángulo θ0 con el eje horizontal.Sea (x0,y0) el punto de lanzamiento. Lascomponentes de la velocidad inicial son:

000 senvv y

Movimiento parabólico

θ0x

y

V0

V0x

V0y

y

z

x



gaa yx 0

Para casos ideales, no se considera lapresencia de la resistencia del aire, la únicaaceleración presente es el de la gravedaddirigida hacia abajo, luego la aceleración es:

Como la aceleración esconstante, se obtiene lassiguientes ecuaciones:

2

002

)( tg

tvyty y tvxtx x00)(


θ0x

y

V0

V0x

V0y

y

z

x



Las notaciones x(t) e y(t) indican que x e y son funcionesdel tiempo

Asumiendo que la pelota parte de laposición x0=0 e y0=0 podemos despejarel tiempo como

2

00

02

xx

yv

xg

v

xvy

xv

xt

0

Remplazando en la ecuación del ejehorizontal


θ0x

y

V0

V0x

V0y

y

z

x



En la figura se obtiene que tan θ =(v0y/v0x),además del análisis anterior de tiene quev0x=v0cosθ. La ecuación en y queda como:

2

2

0

0cos2

)(tan xv

gxy

Esta ecuación describe la trayectoria de lapelota, y tiene la forma y=ax+bx2, y es laecuación de una parábola.




2

002

)( tg

tvyty y

MRU MRUV

tvxtx x00)(

530

x

y

z

V0

Vxi

Vxi

Vxi

Vxi

Vxi

Vxi

Vy1

Vy2

Vyi=0

Vyi

Vy2

Vyi




Alcance de un proyectil



En la Figura, Cristiano Ronaldo patea la pelota con

rapidez inicial de 22 m/s. Determine:

a) La velocidad en el instante 0,8 s.

b) La ubicación de la pelota en el instante 0,8 s.

c) La velocidad de impacto con el piso.

Ejemplo 6



El proyectil de la figura se dispara con una rapidez inicial de 120

m/s formando un ángulo de 39° sobre la horizontal. Si sobre el

proyectil actúa adicionalmente la fuerza del viento que le

transmite una aceleración permanente de a=(-0,2ti+0j+0,4tk)

m/s2, determine:

a) La velocidad del proyectil 2,5 s después del disparo.

b) El ángulo que forma la velocidad con la aceleración en el instante t=2,5 s.

c) El alcance horizontal del proyectil si la rampa de lanzamiento esta a 1,5 m

del piso.

y

z

x

Ejemplo 7



Para una partícula que se mueve a través deuna trayectoria circular se puede describir elmovimiento en coordenadas cartesianas x e y, oen coordenadas polares r y θ. El ángulo θ semide en sentido anti horario a las manecillas delreloj a partir del eje x positivo.

rseny

rx

cos

Posición Angular (θ)

y

xθ

r

(x,y)

ó

(r,θ)

P



Como el movimiento es con el valor de rconstante y solo cambia el ángulo θ conformetranscurre el tiempo, entonces estemovimiento se puede describir con una solacoordenada polar θ(t) que es función deltiempo.

Posición Angular (θ)

y

x

θ(t)

r

P



Es el análogo al cambio de la posición lineal,en este caso es el cambio de la posiciónangular y se describe por la relación

0

Desplazamiento angular(Δθ)



Es el cambio de la posición angular en unintervalo de tiempo, este vector puede serpositivo o negativo, donde el signo indicadirección. El módulo de la velocidad angularmedia esta dado como:

tttwM

0

0

Velocidad angular media (wM)



La velocidad angular instantánea se obtieneconsiderando un intervalo de tiempo muypequeño, es decir, cuando Δt se aproxima acero. Para el caso del modulo de la velocidadangular instantánea se obtiene como:

dt

d

tw

t

0lim

En la figura muestra la dirección de lavelocidad angular instantánea.

Velocidad angular media (wM)



Este movimiento se obtienecuando la velocidad angularmedia es constante y en estecaso se puede afirmarwM=w. Siendo este el caso

Ley de movimiento MCU

)( 00

0

0

ttw

ttwwM



Para un caso particular cuando t0=0obtenemos:

Ley de movimiento MCU

wt 0



Como la partícula se mueve en un circulo,tiene velocidad tangencial v a lo largo de sutrayectoria, este valor esta relacionado con lavelocidad angular mediante la expresión:

Relación entre w y v

rwv θθθ



En el movimiento circular uniforme lavelocidad tangencial cambia por que existe unaaceleración y este es la aceleración centrípetadonde el módulo viene dado por la relación:

Aceleración centrípeta

22

rwr

vac

θθθ



Es el movimiento de un móvil en un círculo con rapidezconstante

r

r

V

V

Por semejanza de triángulos

)(tr

)( ttr

r

)(tV

)( ttV

V

)(tV

)( ttV

Operando convenientemente se

tiene la aceleración centrípeta

r

Vaa c

2

Movimiento circular uniforme



El tiempo que demora un móvil en dar una vueltacompleta se denomina periodo T

T

rv

2

r

Movimiento circular uniforme



Es la aceleración que aparece cuando un móvilcambia su rapidez en movimiento cuya trayectoria escircular

dt

dVat

V at

ac

22

tc aaa

Aceleración tangencial



Es la tasa de cambio de la velocidad angular conrespecto al tiempo. El modulo de la aceleraciónangular viene dado por la expresión:

Aceleración angular

dt

dw

t

w

t

0lim

En la figura se muestra ladirección de la aceleraciónangular



En el MCUV la ecuación de la velocidad paracualquier instante de tiempo es:

Ecuación de la velocidad angular

tww 0



La aceleración tangencial y angular estánrelacionados por un factor de r que es el radiode la trayectoria circular.

raT

Relación entre aT y α



Si se quiere describir el movimiento circularuniformemente variado para cualquier instantede tiempo se usa la relación:

Ley de movimiento ángular en MCUV

2

002

1ttw



La hélice de helicóptero durante el aterrizaje semueve siguiendo la ecuación

Si un punto se encuentra a 2 m del eje de rotación dela hélice, determine:

a) La Aceleración tangencial en el instante t=0 s.

b) El tiempo para que la hélice se detenga.

c) El número de vueltas completas que da la hélicehasta que se detenga.

segundosen y t radianesen esta

3108 2

tt

Ejemplo 8



El proyectil de la figura se dispara con una rapidez inicial de 90

m/s formando un ángulo de 39° sobre la horizontal. Si sobre el

proyectil actúa adicionalmente la fuerza del viento que le

transmite una aceleración permanente de a=(0,4ti+1,8j-2t) m/s2,

determine:

a) La velocidad del proyectil 2,5 s después del disparo.

b) El ángulo que forma la velocidad con la aceleración en el instante t=2,5 s.

y

z

x

Ejemplo 9

3.- minas movimiento 3d 2016-1

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