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Material de distribución gratuita
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MatemáticaTercer Ciclo de EducaciónGeneral Básica para Adultos
M O D A L I D A D S E M I P R E S E N C I A L
3
Ministerio de Educación de la Nación. Santa Fe 1548. Buenos Aires.Hecho el depósito que marca la ley 11.723. Libro de edición argentina.
ISBN 950-00-0261-4. Primera Edición. Primera Reimpresión.
Ministro de Educación de la Nación
Prof. Dr. Hugo Oscar Juri
Secretario de Educación Básica
Lic. Andrés Delich
Subsecretario de Educación Básica
Lic. Gustavo Iaies
Material elaborado por los Equipos Técnicos del Programa de
Acciones Compensatorias en Educacióndel Ministerio de Educación.
Índice
Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
El espacio geométrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Angulos poliedros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Cuerpos poliedros y redondos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Algunas posiciones relativas de dos rectas en el espacio . . . . . . . . . . . .
Semirrectas y segmentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Comparación de segmentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Conjuntos numéricos y operaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Relaciones de orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Operaciones con números naturales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Operaciones combinadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Operaciones con números enteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Claves de Corrección . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Anexo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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5M i n i s t e r i o d e C u l t u r a y E d u c a c i ó n d e l a N a c i ó n
Introducción
En este libro, usted trabajará sobre cuerpos geométricos; conjun-tos numéricos y funciones. Podrá distinguir entre los números na-turales, los números enteros y los números racionales y operacio-nes posibles para realizar con ellos.
Utilizará varios lenguajes: el coloquial, que es el de nuestra vidacotidiana; el gráfico que es el que permite representar, leer e inter-pretar datos de una serie de observaciones; y el algebraico, en elque las letras -que representan diferentes números- y los númerosse vinculan para expresar operaciones, propiedades y fórmulas.Por ejemplo, la fórmula que permite calcular la superficie de unrectángulo; la fórmula correspondiente a la tabla de multiplicarpor siete; la proporcionalidad directa.
A lo largo de los módulos encontrará referencias a términos talescomo: generalización, simbolización, notación, etc. No se preocupesi no nota diferencias entre algunas de estas expresiones o no lascomprende en su totalidad. En la medida en que se vayan utilizan-do encontrará referencias y distinciones entre estos conceptos.
Le recomendamos que solicite en su centro los Libros 1 y 2 de Ma-temática. Le servirán como ayuda para repasar algunos de los te-mas que resultan imprescindibles para comprender mejor los quese desarrollan aquí.
Este libro se acompaña de un anexo en el que se incluyen una se-rie de cuerpos geométricos para armar y las instruccionesrespectivas. Contar con ellos es de fundamental importancia y fa-cilitará notablemente la comprensión de los conceptos geométricosexplicados en el libro.
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El espacio geométrico
Al observar el mundo que nos rodea es posible reparar en laenorme diversidad de formas que hay en él. Los postes de luz, losedificios, las casas, las diversas partes de los autos, los electrodo-mésticos, los envases de golosinas, las herramientas, los colectivos,los trenes, los árboles, las montañas, el camino que describen losríos y arroyos, los animales, etc. Todos ellos poseen característicasparticulares que los distinguen a unos de otros. Todos estos ele-mentos están o se mueven en “el espacio físico”.
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La geometría es la rama de la matemática que estudia las formasdel espacio y para ello genera abstracciones ideales de las formasque existen en la realidad.
¿Qué significa que la geometría genera abstracciones ideales?
En el espacio físico nada es perfecto; por más esmero que se pongaen pulir una bola de billar, ésta nunca será una esfera perfecta. Sise la observa a través de un microscopio nos sorprendería compro-bar cuán irregular es su superficie. En cambio, el espacio geométri-co es “idealmente perfecto”; en él la esfera es un cuerpo en cuyasuperficie no imaginamos ninguna irregularidad. Lo mismo sucedecon los cuerpos y las figuras y con las líneas; por ejemplo, la recta.
El espacio geométrico es ilimitado. En él hay puntos, rectas, pla-nos, figuras como triángulos, cuadriláteros, círculos, y cuerpos co-mo esferas, prismas, cubos.
Las formas más comunes, por ejemplo el cuadrado, el cubo, son asu vez nombradas y clasificadas, porque de este modo es posibleestudiar sus propiedades y las relaciones entre sus elementos, yaplicar estos conocimientos en la resolución de problemas.
Si tomamos la hoja de papel en la que están escritas estas palabras y la ob-servamos es probable que digamos que tiene la forma de un rectángulo.
Sin embargo, la hoja no es un rectángulo. Un rectángulo tiene só-lo dos dimensiones: largo y ancho, pero su espesor es nulo; no po-see profundidad.
En los Módulos Nº4 y Nº5se trabajó con figuras pla-nas, en particular con elrectángulo, y con cuerposcomo el prisma. Solicitelos módulos en el centro yrepase lo que allí se desa-rrolla sobre el tema. Le se-rá de utilidad para abordarel trabajo con este libro.
Si a esta hoja la colocamos de canto ante nuestros ojos veremos una lí-nea cuyo grosor dependerá del espesor del papel.
Dado el pequeño espesor de las hojas de papel es que tendemos a des-preciarlo y considerarlas figuras planas. La hoja tiene largo, ancho yespesor: se trata de un cuerpo. Una caja de zapatos, una heladera, lascajas de los medicamentos, son cuerpos similares a la hoja.
Los rectángulos, círculos, cuadrados, triángulos, etc., son formassin espesor alguno, son figuras planas. Al trabajo con las figurasplanas se lo llama bidimensional, pues sólo poseen dos dimensio-nes: largo y ancho.
Los objetos que manipulamos cotidianamente son cuerpos y po-seen tres dimensiones. Al trabajo con cuerpos se lo denomina tridi-mensional, pues en él importan el ancho, el largo y el espesor.
Para empezar es conveniente recordar cómo se representan y de-signan los principales entes geométricos (aquello que es o existe).
Algunos de ellos seguramente le resulten familiares, por ejemplo elpunto. Usted debe haber utilizado alguna vez la frase: “acordamostal punto de encuentro” refiriéndose a una posición en particular.
Podríamos tomar un lápiz con buena punta y hacer una marca sobreun papel para representar la posición mencionada anteriormente,pero si tomamos un portaminas y hacemos otra marca a su lado; po-dríamos observar con una lupa cuál de ellas es más grande.
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En la abstracción que la geometría hace del punto no se consideranni su forma ni su tamaño. Cuando se desea señalar una posición de-terminada se representa con una cruz sin necesidad de hacer referen-cia a la forma que posee el punto y mucho menos a su tamaño. Paradesignar los puntos se utilizarán letras mayúsculas de imprenta.
Del mismo modo que la noción de punto, la recta es una palabra ala que se acude habitualmente. Cuando queremos ir de una locali-dad a otra desviándonos lo menos posible decimos que el trayectoes recto. De lo contrario decimos que hemos dado rodeos para lle-gar. Transitar por una recta es ir desde una posición hasta otra porel camino más corto posible.
La línea recta es una sucesión de puntos que no tiene ni principioni fin, es infinita. Imagine la recta que sugiere el borde de la mesa.La recta matemática atraviesa las personas, las paredes, y conti-núa, continúa... Tiene infinitos puntos. Para designar las rectas seutilizaran letras minúsculas de imprenta.
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A B
α
βγ
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Así como es posible imaginar trayectorias infinitas, es posibleconcebir superficies sin borde alguno a las que llamaremos planos.Imagine el plano que sugiere la superficie de la mesa. ¿Atraviesa alas personas que están sentadas? ¿Por qué? ¿Corta a las paredes?¿Por qué?
Para designar los planos se utilizaran letras griegas. Por ejemplo:α alfa; β beta, δ delta, ε épsilon; γ gama.
Puntos Xlos designamos con una letra imprenta ma-yúscula por ejemplo A. Se lee punto A.
Rectas las designamos con una letra imprenta mi-núscula, por ejemplo r.Se lee recta r.
Planolos designamos con letras del alfabeto griego,α Se lee plano alfa.β Se lee plano beta.γ Se lee plano gama.
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Estas notaciones o formas de designar puntos, rectas y planos esconvencional. Posiblemente usted encontrará en algún libro otraforma de identificar estos elementos, pues no todos los autores uti-lizan la misma nomenclatura (forma de nombrarlos).
Cuando dibujamos una recta o un plano sólo se puede hacer la re-presentación de una parte de ellos, ya que en realidad son infinitos.
Nuestra vida diaria no se desarrolla en un mundo bidimensionalsino en uno de tres dimensiones, por lo que la geometría espacialresulta fundamental para conocer en una forma más completanuestro entorno.
Observe uno de los ángulos del salón en el que se encuentra. Estádeterminado por dos paredes. Si nos detenemos en el piso es posi-ble que veamos un ángulo ya conocido para nosotros, el ángulorecto. Este último ángulo es plano, a diferencia del determinadopor las paredes al que llamamos ángulo diedro.
Actividad Nº1Tome una trozo de papel y trace sobre él una recta a la quellamaremos r. Pliegue el plano por la recta r, como se mues-tra en el dibujo.
Al espacio comprendido entre ambas caras se lo llama ángu-lo diedro. Llamaremos arista a la recta r. Llamaremos α y β alos planos de cada una de sus caras
Sus caras son semiplanos con borde en la arista r. ¿Qué es unsemiplano?
Determine la clase de ángulo que forman las hojas deesta puerta giratoria
En el Módulo Nº 2 se tra-bajó sobre la clasificaciónde los ángulos planos enagudos, obtusos, rectos yllanos.
a
b
c
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Seguramente habrá podido apreciar ángulos agudos y obtusos. Pe-ro en realidad, si observa una puerta giratoria reconocerá que sushojas forman ángulos rectos.
Cuando pasamos de la realidad (tridimensional, tres dimensiones) ala imagen plana (bidimensional, dos dimensiones) el ángulo recto,de acuerdo con la posición que adoptemos, se verá agudo u obtuso.
Si un ángulo diedro es menor o igual que uno llano se lo denomina “die-dro convexos”, si supera al diedro llano se lo llama “diedro cóncavo”.
Ángulos poliedros
Observe ahora uno de los ángulos del salón en el que usted seencuentra. El determinado por el techo, la pared del frente y la pa-red que se encuentra a su izquierda. Usted está observando un án-gulo poliedro. El prefijo poli significa muchos, por lo tanto un án-gulo poliedro es un ángulo de dos o más caras.
En particular el ángulo ubicado en el rincón del salón se encuentradeterminado por el plano que contiene al piso, junto a otros dosplanos que contienen a sendas paredes; a cada uno de esos planosle corresponde una cara. Es por ello que a este poliedro en particu-lar se lo denomina ángulo triedro, dado que posee tres caras.
diedro convexo
diedro cóncavo
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Actividad Nº2Recorte y arme el triedro cuyo desarrollo se adjunta en el anexo
¿Cuántos planos lo determinan?
¿Cuántas caras tiene?
¿Cuántos vértices?
¿Cuántas aristas?
b
a
c
d
e
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A partir de ahora debe armar el grupo de cuerpos que se encuen-tran en el anexo. Será necesario que cuente con ellos para resolverlas próximas actividades.
a
b
Actividad Nº3Observe la pirámide que armó. Seguramente podrá reconoceren ella ángulos poliedros. Indique cuántas caras tiene cada uno.
Tome el cubo. Reconozca en él sus ángulos poliedros.¿Cuántas caras tiene cada ángulo?
Cuerpos poliedros y redondos
Observe las fotos y los esquemas de los cuerpos que se presentana continuación:
prisma de basecuadrada
cilindro hexaedroo cubo
esferapirámide debase cuadrada
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a
b
a
vista superior
vista superior
vista superior
vista superior
vista inferior
vista inferior
vista inferior
vista inferior
vista lateral
vista lateral
vista lateral vista
lateral
Actividad Nº4Observe los cuerpos que armó y luego complete, según co-rresponda, el nombre del cuerpo o la forma que precibe al mi-rarlo de arriba, de abajo o del lateral.
Señale cuáles son poliedros e indique por qué. Si es necesario,consulte el Módulo Nº2.
Actividad Nº5Observe los cuerpos armados.
Considere el prisma de base cuadrada
¿Cuántas caras tiene? ...........
¿Cuántas aristas tiene? ...........
¿Cuántos vértices tiene? ...........
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b
c
d
e
Considere la pirámide
¿Cuántas caras tiene? ...........
¿Cuántas aristas tiene? ...........
¿Cuántos vértices tiene? ...........
¿Por qué no le hemos pedido que arme una esfera?
Identifique entre los cuerpos el que coincida con el dibujosiguiente.
Observe el cubo y note que:
tiene ........... caras.
tiene ........... aristas.
tiene ........... vértices
Dos caras distintas no están en un mismo plano. Cada aristaes común a ........... caras.
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Algunas posiciones relativas de dos rectas en el plano y en el espacio
Analicemos pares de aristas de un cubo.
Las rectas que contienen a estas aristas se denominan paralelas. Bus-que en la habitación en la que se encuentra un par de rectas paralelas.
Simbólicamente a//bSe lee: la recta a es paralela a la recta b,
a es paralela a b.
Cuando escribimos en forma simbólica se utilizan símbolos como // que permiten una lectura rápida y precisa.
Las rectas que contienen a estas aristas se denominan perpendicu-lares. Ubique en la habitación en la que se encuentre un par derectas perpendiculares.
Simbólicamente a cSe lee: “la recta a es perpendicular a la recta b,
a es perpendicular a c.
Las rectas que contienen a estas aristas se denominan alabeadas. Identi-fique en la habitación en la que se encuentre un par de rectas alabeadas.
Las rectas alabeadas no tienen símbolo matemático quelas represente. Decimos: las rectas a y c son alabeadas entre sí.
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a
b
Actividad Nº6Ubique en una habitación prismática (con forma de prisma) losángulos diedros cuyas aristas están remarcadas. Sus aristas¿son paralelas, perpendiculares o alabeadas?
En la misma habitación, ubique el ángulo diedro que forman lapared del frente y la de su derecha; y el ángulo diedro determina-do por el piso y la pared que está a su espalda. Sus respectivasaristas ¿son paralelas, perpendiculares o alabeadas?
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c Teniendo en cuenta las tres posiciones relativas de las dos rectastratadas anteriormente, mencione aquellas que considera segu-ras para la trayectoria de dos aviones acrobáticos.
Las siguientes figuras muestran dos cuerpos. El primero de ellos esun poliedro cóncavo, dado que uno de los ángulos que lo conformanes cóncavo; es decir supera los 180º (ángulo llano). El otro poliedroes convexo, dado que todos los ángulos que lo constituyen son infe-riores a los 180º. Al ángulo de 180º se lo denomina ángulo llano.
poliedro cóncavoángulo convexo
poliedro convexo
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Actividad Nº7Observe los siguientes cuerpos poliedros convexos y complete enel cuadro el número de vértices, de caras y de aristas de cada uno.
Observe la relación que existe entre los vértices, caras y aris-tas de cada cuerpo. Para ello realice la siguiente operación: alnúmero de vértices súmele el número de caras y réstele el nú-mero de aristas: V + C - A. Complete la última columna delcuadro con los resultados correspondientes.
a
b
Nº de vértices(V)
cuerpos
1 prisma triangular recto
2 prisma cuadrangular recto
3 prisma cuadrangular oblicuo
4 prisma pentagonal
5 octaedro
6 tetraedro
7 pirámide cuadrangular
6
Nº de caras(C)
5
Nº de aristas(A)
9
relación entre V, C y A:
V+C-A= ?
2
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Actividad Nº8Si un poliedro convexo tiene 16 vértices y 10 caras ¿se puedeasegurar cuántas aristas tiene? Si su respuesta es sí, digacuántas aristas tiene y qué cálculo realizó para saberlo.
En matemática es muy frecuente buscar regularidades, es decir, un patrón de
comportamiento sistemático que pueda ser utilizado como regla para ser aplicado a
nuevos casos. Pero esto no es suficiente para estar seguros de que la regla sea aplicable a
todos los casos. En los próximos libros veremos que para ello es necesario demostrar la
propiedad. En la Actividad Nº7 usted lo que hizo fue generalizar una propiedad, la
relación que existe entre el número de vértices, caras y aristas. Dado que en los casos
particulares mencionados en el cuadro notamos que existe la regularidad, la suponemos
válida para el resto de los casos y por eso la generalizamos.
Semirrectas y segmentos
Cuando deseamos resolver situaciones en las que se trabaja conporciones de líneas rectas como por ejemplo la cantidad de alam-bre necesario para cercar un predio, o la cantidad de pegamentopara sellar una pecera de vidrio, o la cantidad de burlete que nece-sitamos comprar para colocarlo en una ventana, debemos pensaren nuevas entidades geométricas contenidas en la recta. Ellas son:las semirrectas y los segmentos.
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Semirrectas
El siguiente esquema representa un tramo de la ruta 8. La ruta está re-presentada con una recta y la ciudad de La Carlota con un punto.
Desde La Carlota existen dos posibilidades de transitar la ruta: haciaRío IV o en sentido contrario hacia Venado Tuerto. Cada una de es-tas partes de la recta es una semirrecta que tienen distinto sentido.
Para expresar en general este caso particular diremos que La Carlo-ta es el punto A, Río IV el punto Q y Venado Tuerto el punto P.
Desde La Carlota podemos dirigirnos hacia Río IV, se circulará porla semirrecta de origen A que contiene al punto Q.
Si vamos desde la Carlota hacia Venado Tuerto se transita por lasemirrecta de origen A que contiene al punto P.
La forma de simbolizarlo o notación que se utiliza es:AP se lee: semirrecta de origen A que pasa por PAQ se lee: semirrecta de origen A que pasa por Q
También se puede decir que la semirrecta “contiene” al puntoP o el punto P pertenece a la semirrecta de origen A.
La Carlota
A Río IV
A Venado Tuerto
A
Q
P
Segmentos
Si en el esquema anterior de la ruta 8 en lugar de una ciudad indi-camos dos tendríamos:
La porción de la recta comprendida entre Arias y La Carlota se de-nomina segmento.
Al punto que identifica la posición de La Carlota lo denominamosB y al punto que identifica la posición de Arias A.
La recta que contiene a ambos puntos la denominamos r. La longi-tud del segmento será la distancia que separa al punto A del pun-to B. Si en un mapa medimos la longitud del segmento cuyos pun-tos extremos identifican a dos localidades y consideramos su esca-la, podemos calcular la distancia que separa ambas ciudades.
Además de los puntos extremos, un segmento está constituido portodos los puntos intermedios. Todos ellos pertenen a una mismarecta. Es decir:
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a
b
c
d
B
A
Actividad Nº9Dibuje una recta y marque en ella un punto.
¿Cuántas semirrectas quedan determinadas?
¿Qué tienen en común?
¿Cómo son los sentidos de las semirrectas?
r
Dados los puntos A y B de la recta r, llamaremos segmento adichos puntos y a todos los puntos de la recta rcomprendidos entre A y B. Al segmento se lo nombra por losextremos y se lo simboliza AB.
La Carlota
Arias
Suponga que el trazado de las principales calles de una ciudad es elsiguiente:
La intersección de las calles fue designada con una letra imprentamayúscula por estar representada por un punto. De esta manera hanquedado determinados varios segmentos.
Podemos caminar de A hacia B (segmento AB) y continuar de Bhacia H (segmento BH).
También podríamos caminar de A hacia B (segmento AB) pero con-tinuar de B hacia C (segmento BC).
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Actividad Nº10Con los puntos A, B, C, D y E de la siguiente figura es posibleindicar muchos segmentos, por ejemplo AB, AC, CE... Escribaotros 4 segmentos.
AB
C
E
D
A
F
B
C
DE
G
H
A
HB
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En los dos casos mencionados los segmentos son consecutivos. Tie-nen un extremo en común, “donde termina uno empieza el otro”. Enel primer caso, los segmentos consecutivos (AB, BH) no están en lamisma recta. En cambio (AB, BC) están alineados.
Si tomamos varios segmentos consecutivos no alineados, porejemplo AB, BH, HG, GE , formamos una línea llamada poligonalabierta -empezamos a caminar en A, terminamos en E-.
También podríamos haber tomado los segmentos AC, CE, EG, GA,formándose una nueva poligonal llamada poligonal cerrada -em-pezamos a caminar en A y terminamos en A, es decir, volvemos alpunto de partida-. Toda poligonal cerrada determina en el planodos regiones, una interior con respecto a la poligonal y otra exte-rior respecto de la poligonal.
La región interior determinada por una poligonal cerrada juntocon la propia poligonal, recibe el nombre de polígono. Se trata deuna figura plana, limitada por segmentos llamados lados.
A
HB
G E
A
B
C
A
C
EG
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Actividad Nº11Observe la figura que representa el trazado de calles de la ciu-dad y nombre:
•dos segmentos consecutivos alineados;•dos segmentos consecutivos no alineados;•dos segmentos no consecutivos;•4 segmentos que formen una poligonal cerrada;•5 segmentos que formen una poligonal abierta.
Clasifique los polígonos según la cantidad de lados.
Identifique por lo menos un triángulo, un cuadrilátero y unpentágono.
Si no lo recuerda la clasifica-ción de polígonos puede con-sultar el Módulo Nº 3.
a
b
c
A
C
EG
región exterior a la poligonal
polígono
A
F
B
C
DE
G
H
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Comparación de segmentos
¿Cómo son los segmentos AB y CD?
Al comparar dos segmentos, por ejemplo AB y CD, podemos obser-var si tienen la misma dirección (están en rectas paralelas) o com-parar su longitud.
Para comparar las longitudes de ambos segmentos usaremos uncompás. Este instrumento nos permite comparar y trasladar longi-tudes. Al colocar la punta seca (punta metálica del compás) en unode los puntos extremos del segmento y la punta húmeda (puntaque posee la mina de lápiz) en el otro punto extremo, podemoscomparar la longitud del segmento AB con la del segmento CD.
Esas longitudes admiten tres posibilidades. Como puede observaren el dibujo 1, AB es más largo o es mayor que CD. Simbólicamen-te se escribe AB>CD. En el dibujo 2 AB<CD y en el dbujo 3 AB=CD.
A
B
C
D
Dibujo 1 Dibujo 3Dibujo 2
C
CD < AB
D C D C D
CD = AB CD > AB
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En geometría para dibujar dos segmentos iguales (que tengan lamisma longitud) se procede de la siguiente manera:
Si tenemos el segmento AB y queremos dibujar otro igual bastarácon dibujar una línea recta en el lugar en donde queremos obtenerel nuevo segmento y marcar sobre ella un punto. Con la punta se-ca del compás haciendo centro (pinchando) en A abrimos el com-pás hasta B y tomamos la medida de AB .
Manteniendo la abertura del compás, apoyamos la punta seca en elpunto señalado en la recta dibujada previamente, y marcamos so-bre ella el otro extremo del segmento. Así el nuevo segmento A’B’será igual al AB.
A
B
A’ B’
Las relaciones de orden se expresan simbólicamente del siguientemodo:
Para el caso AB=CD encontrará que en algunos textos se utiliza eltérmino “congruente” en lugar del igual, incluso signos como = o =cpara indicar esta relación. Nosotros utilizaremos el término igual (=)pero debe recordar que los segmentos sólo tienen igual su longitud.
símbolo se lee
<
>
≤
≥
menor
mayor
menor o igual
mayor o igual
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Actividad Nº12Compare los siguientes pares de segmentos utilizando el com-pás. Coloque > (mayor que), < (menor que) o = (igual que) segúncorresponda.
AB .. . . . . . . MN
RS .. . . . . . . ST
TR . . . . . . . . ST
AB .. . . . . . . BC
AB . . . . . . . . CD
a
b
c
A
BM N
R
S
D C
BA
T
Actividad Nº13Observe el cuerpo ABCDEFGH.
Una hormiga está parada en el punto A. Desea llegar al punto E,pasando por los seis puntos restantes. Mencione al menos unrecorrido posible. Utilice como ayuda el prisma que construyó.
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a
b
Actividad Nº14Calcule la cantidad de cinta de enmascarar (cinta de papel en-gomada que usan los pintores para no pasarse al pintar bor-des) que será necesaria si desea pintar un mural a un metro ymedio de altura en la siguiente habitación:
Calcule la longitud del burlete que será necesario utilizar pa-ra sellar una pecera de vidrio de 70 cm de largo, 30 cm de al-to y 40 cm de ancho.
Habitación: Largo: 6 m. Ancho: 4m. Alto: 3mPuertas (1,2,3): Ancho: 1m. Largo: 2mVentana (1): Alto: 1m. Largo: 3m(se encuentra a la mitad de altura entre el piso y el techo.
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Conjuntos numéricos y operaciones
Reflexione unos instantes sobre algunas de las actividades que rea-liza cotidianamente; por ejemplo, poner el despertador, tomar un co-lectivo, pagar el boleto, hacer compras. Para realizar alguna de estasactividades debe contar; para otras medir, pero para todas debe utili-zar números. Con ellos podemos poner el despertador para que suenea las 7 de la mañana, utilizando en este caso un número natural. Si lepedimos al panadero 3/4 kg. de pan, empleamos un número racional.Podemos pagar $ 0,70 el boleto del colectivo, apelando en este últimocaso a un número racional expresado como decimal.
Para poder contar objetos sólo se requieren números como 1, 2, 3,etc. No se necesitan números como el 3,5 ó 1/4. La cantidad de gló-bulos rojos o de glóbulos blancos en un análisis de sangre, la canti-dad de personas que votaron a uno u otro candidato en una elec-ción, son ejemplos frecuentes de esta forma de representar cantida-des. En otras ocasiones contamos para indicar un orden en particu-lar: el quinto día hábil de cada mes se cobra el sueldo, entre por lasegunda puerta de aquel corredor, yo me bajo en el quinto piso.
Cuando se quiere expresar la altura o el peso de una persona, porejemplo, los números naturales no son suficientes. En estos casos espreciso utilizar números racionales, que son aquellos con los cualesse pueden representar partes de un entero. Mido un metro setenta;peso setenta y tres kilogramos y medio; compré tres cuartos kilos depan; el colectivo costó $ 0,70; necesito medio metro de cinta.
En todas estas expresiones se utilizan números racionales. Algunasveces se representan por medio de fracciones: 3/4 kg de pan, 1/2 m decinta. En otras ocasiones la forma de representar estos números espor medio de expresiones decimales, como los $ 0,70 del costo del co-lectivo o el 1,70 m con que mencionamos la estatura de la persona.
Si no recuerda esta formade representar númerosracionales consulte en losLibros 1 y 2.
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Actividad Nº15Trate de resolver mentalmente los siguientes problemas.
Problema 1: En una empresa trabajan 24 empleados adminis-trativos y 6 empleados de mantenimiento ¿Con cuánto per-sonal cuenta la empresa?
Problema 2: La temperatura era de 8º pero a las 7 de la ma-ñana descendió 10˚. ¿Cuál era la temperatura a esa hora?
Problema 3: ¿Cuánto dura en horas un partido de fútbol?
Problema 4: En una cuenta bancaria hay un saldo negativo de $55,30. Si se depositan $30 ¿cuál es el nuevo saldo?
Para resolver cada uno de los problemas anteriores lógica-mente utilizó números. Pero la solución de cada una de ellosrequirió diferentes tipos de números.
Determine qué clase de números utilizó para resolver cadaproblema:
• Problema 1 . . . . . . . . . . . . .
• Problema 2 . . . . . . . . . . . . .
• Problema 3 . . . . . . . . . . . . .
• Problema 4 . . . . . . . . . . . . .
Actividad Nº16Marque con una cruz cuáles de las siguientes situaciones tie-nen como respuesta un número natural.
a
b
La cantidad de países del mundo.
La temperatura de los días más fríos de invierno.
El dinero por la venta de entradas que se recauda en un espectáculo.
La cantidad de hojas que cayeron este otoño del árbol del patio.
35
Los números pueden ser positivos, negativos ó 0. Todos los núme-ros mayores que 0 son positivos y todos los números menores que 0son negativos.
Muchas situaciones no pueden ser representadas con números na-turales. Por ejemplo:
En el caso del Problema 2 de la Actividad Nº15 seguramente habrárespondido que la temperatura es de 2 grados bajo cero, o expresadomatemáticamente -2˚.
Los números enteros negativos y los naturales, a los que perteneceel 0 forman el conjunto de los números enteros.
0 1 2 3 4 5
0-1-2-3-4 1 2 3 4 5
0-1-2-3-4 1 2 3
31/2-21/2 1,5-1,5 1/2-1/4
4 5
Natura les
Enteros
Rac ionales
Los números enteros y los racionales, excepto el 0, están formadospor el signo, que puede ser positivo o negativo, y por el valor ab-soluto del número. Pero ¿qué es el valor absoluto de un número?
36
Veamos un ejemplo:
Si algo está a 21 metros por encima del nivel del mar, simplemen-te decimos que tiene una altura de 21 m ¿Cuál es la altura de aque-llo que se encuentra a 21 metros por debajo del nivel del mar?
Estas dos alturas tienen en común que ambas se encuentran a lamisma distancia del 0 (21 m). Tanto el objeto que está sobre el ni-vel del mar como el que está debajo se hallan a 21m de distanciadel nivel cero.
Esta condición de los números se llama valor absoluto y se simbo-liza así:
|21|=21 Se lee valor absoluto de 21 es 21
|-21|=21 Se lee valor absoluto de-21 es 21
37
Generalizando
|X| se lee valor absoluto de X y nos indica la distancia conrespecto al de 0
Para simbolizar que no nos referimos a un número entero en parti-cular sino a cualquiera de ellos se utiliza una letra. En este caso laletra simboliza cualquier número entero o racional.
El valor absoluto siempre es un número positivo porque la distan-cia a 0 siempre lo es.
Sin embargo se debe recordar que existen dos números que tienenla misma distancia a 0, uno positivo y uno negativo. Por ejemplo,el número 18 es el valor absoluto de dos números enteros el 18 y el-18, es decir que los dos cumplen con la condición de que su valorabsoluto sea 18.
|-18| = 18 18 = 18
Los números que tienen igual valor absoluto pero diferentes sig-nos; como el 21 y el -21, se denominan números opuestos.
3/4 tiene por opuesto a -3/47 tiene por opuesto a -7
-12 tiene por opuesto a 12
Generalizando
a tiene por opuesto a -a
En los conjuntos de números enteros y racionales, los númerospueden ser positivos o negativos. Estos últimos son precedidos porel signo -. Para no confundir este signo con la operación de sus-tracción, cada vez que se utiliza un número negativo en un cálcu-lo en el que puede generar confusión lo encerraremos entre parén-tesis. Por ejemplo:
la suma entre 4 y -2 se escribe 4 + (-2)la resta entre 3 y -1/2 se escribe 3 - (-1/2)la suma entre -3 y 4 se escribe -3 + 4 porque el - de -3 no se puede prestar a confusión.
38
Relaciones de orden
Todo conjunto numérico es un conjunto ordenado. Dado dos nú-meros cualesquiera, que podemos simbolizar con a y b existen tresposibilidades:
a igual que ba mayor que ba menor que b
Si se trabaja con números positivos o con el 0 se puede reconocercon facilidad cuál es el mayor. Por ejemplo:
8 > 01,5 < 34 > 1/2
Analice qué sucede cuando alguno de los números o los dos sonnegativos.
Si a las cinco de la mañana el termómetro indica que la tempera-tura es de -6º y a las diez de la mañana indica 6º. ¿A qué hora latemperatura fue mayor?
La temperatura fue mayor a las diez de la mañana porque 6 es ma-yor que -6
6 > -6
Al comparar un entero negativo con otro positivo, el positivosiempre es mayor que el negativo.
Si a las cinco de la mañana el termómetro indicaba -6º y a las diezde la mañana indicaba -2º ¿A qué hora la temperatura fue mayor?
La temperatura fue mayor a las diez de la mañana porque -2 esmayor que -6.
-2 > -6
Situación a
Situación b
39
Piense en el valor absoluto de cada uno de los enteros
|-6| = 6|-2| = 2-2 > -6
Si se comparan dos enteros negativos el de mayor valor absolutoresulta menor que el de menor valor absoluto.
Operaciones con números naturales
En módulos anteriores se trabajó con algunas de las operacionesque se pueden realizar con números naturales para obtener sumas,restas, divisiones y multiplicaciones.
0-1-2-3-4 1 2 3 4 5
Actividad Nº17En Villa del Sauce viven 8640 personas.
Si 4.415 son mujeres ¿cuántos hombres viven en el pueblo?Antes de resolver estime entre qué valores estará comprendi-do el número de hombres que vive en ese pueblo.
El último fin de semana además de los habitantes de la Villa,382 personas estuvieron de visita. ¿Cuántas personas habíaen ese momento?
¿Cuántas familias viven en el pueblo suponiendo que cadafamilia está compuesta por 4 personas?
Si cada 12 habitantes hay un vehículo, ¿cuántos vehículoshay en la Villa?
a
b
c
d
40
carga trasladada en cada viaje
carga trasladada en totalNº de viaje
1º
2º
3º
4º
5º
6º
7º
8º
2 toneladas
2 toneladas
2 toneladas
2 toneladas
2 toneladas
2 toneladas
2 toneladas
2 toneladas
2 toneladas
4 toneladas
6 toneladas
8 toneladas
10 toneladas
12 toneladas
14 toneladas
16 toneladas
Para mantener el camino de entrada los habitantes decidieronponer $ 20 por automóvil. ¿Cuánto recaudaron? Realice prime-ro el cálculo mentalmente y luego hágalo por escrito.
Nombre qué operaciones utilizó para resolver cada situación.
1
Revise en el Módulo Nº 2el concepto de división.
f
e
Para hallar el resultado de una división de números naturales es posibleutilizar diversos procedimientos para llegar a un resultado correcto; sinembargo algunos de ellos pueden resultar más trabajosos que otros.
Analice el siguiente ejemplo.
Una cooperativa quiere trasladar 16 toneladas de cereales en unacamioneta que tiene una capacidad de carga de dos toneladas.¿Cuántos viajes serán necesarios?
El problema puede ser resuelto de diversas maneras.
Haciendo sumas parciales de la carga de cada viaje. Para saber sillegó al resultado se compara esta suma parcial con el total de to-neladas a trasladar. Si la cantidad de toneladas es menor, se con-tinúan agregando viajes. En caso contrario se suspenden los viajes.
Trate de pensar cómo evitar un procedimiento tan arduo.
Otro procedimiento consiste en considerar el total de toneladas atrasladar e ir descontando a ese total las dos toneladas que se des-pachan en cada viaje. Así sucesivamente hasta que queden cero toneladas a trasladar.
2
41
Nuevamente piense si es posible evitar un proceder tan arduo.
Ambos procedimientos resultan sumamente extensos. Con seguri-dad usted debe haber advertido que la manera más sencilla de re-solver el problema es utilizando la división:
16 : 2 = 8
16 es el dividendo (cantidad que se desea dividir); el dos es el divisor(cantidad por la que se quiere dividir); el resto es el cero (cantidadque queda sin dividir), y el 8 es el cociente (resultado de la división).
En general se expresa
16 280
cociente
divisor
resto
dividendo
a bcr
cociente
divisor
resto
dividendo
carga a trasladarNº de viaje
1º
2º
3º
4º
5º
6º
7º
8º
16 toneladas
14 toneladas
12 toneladas
10 toneladas
8 toneladas
6 toneladas
4 toneladas
2 toneladas
carga que se traslada
2 toneladas
2 toneladas
2 toneladas
2 toneladas
2 toneladas
2 toneladas
2 toneladas
2 toneladas
carga que quedapara trasladar
14 toneladas
12 toneladas
10 toneladas
8 toneladas
6 toneladas
4 toneladas
2 toneladas
0 toneladas
Cuando en una división el resto es 0 se llama división exacta.
Simbólicamente a = b . c
La división exacta es la operación inversa a la multiplicación.
Actividad Nº19Resuelva las siguientes operaciones.
8 4 15 3 21 7
¿Cuál es el resto en cada una de ellas?
¿Qué se obtiene al multiplicar el cociente por el divisor?
42
Actividad Nº18Resuelva las siguientes operaciones.
9 2 9 5 22 7
¿Qué resultado se obtiene si en cada caso multiplica el divisorpor el cociente y se le suma el resto?
a
b
a
b
c
Observe que el resto es siempre menor que el divisor y que el divi-sor es distinto de 0.
Calcular la división significa encontrar otros dos números, el co-ciente y el resto, de tal manera que al multiplicar cociente por di-visor y sumar el resto se obtenga el dividendo..
Simbólicamente a = b . c + r
43
Operaciones combinadas
En muchas ocasiones no es suficiente realizar una sola operaciónpara resolver un problema; para hallar el resultado es necesariocombinar diversas operaciones. A esta secuencia de operaciones sela denomina cálculo combinado u operaciones combinadas.
Por ejemplo: a un festival concurrieron 80 mujeres y 120 hombres. Lasmujeres pagaron $ 5 la entrada y los hombres $ 10. ¿Cuánto se recaudó?
Para contestar esta pregunta podemos seguir el siguiente razonamiento:
80 mujeres a $ 5 c/u es 80.5 = 400120 hombres a $ 10 c/u es 120.10 = 1.200 En total $400+$1200 = $1600
Si se escribe en un sólo cálculo:
Suponga que le pedimos a dos personas que realicen este cálculo:
Persona 180 . 5 = 400400 + 120 = 520520 . 10 = 5.200
Seguramente responderá que la recaudación es de $ 5.200
Persona 280 . 5 = 400120 . 10 = 1.200
Total 400 + 1.200 = 1.600
Sabemos que la respuesta correcta es $ 1.600. Las cuentas parcia-les están correctamente resueltas en ambos casos, pero el resultadofinal no coincide. La diferencia se encuentra en el orden en que ca-da una de las personas ha resuelto las operaciones.
80.5el dinero recaudado por
las entradas de las mujeres
120.10el dinero recaudado por las entradas de los hombres
+
44
La Persona 1 las resolvió en el orden en que van apareciendo lasoperaciones: primero aparece una multiplicación por lo tanto pri-mero obtiene un producto; luego aparece una adición, obtiene unasuma; luego aparece otra multiplicación y obtiene un producto alque considera resultado final.
La Persona 2 lo resuelve estableciendo un orden de prioridad en lasoperaciones: primero resolvió los productos, luego resolvió la suma.
La Persona 2 llegó al resultado correcto porque respetó la conven-ción matemática que establece que los signos más y menos separantérminos. Es decir que las multiplicaciones y divisiones deben serresueltas en una primera instancia mientras que las adiciones y lassustracciones se resuelven en una segunda instancia.
Analice las siguientes situaciones.
• Juan compra 3 chocolates y luego 4 chocolates más a $ 5 cada uno. ¿Cuánto gastó?En este caso es preciso primero sumar la cantidad de chocolates 3 + 4 y luego multiplicar por el precio de cada uno.
En estos casos, donde es necesario primero realizar las sumas o lasrestas y luego las divisiones o multiplicaciones, se coloca, por con-vención, la suma o la resta entre paréntesis
(3 + 4) . 5 = 35
Una convención es el resultado de un acuerdo: dado que, como hemos visto, un cálculo
puede ser interpretado de diversos modos, todos se han puesto de acuerdo en comenzar
por los productos y cocientes y finalizar por las sumas y las restas, a menos que éstas es-
tén entre paréntesis. Si sólo se tienen divisiones y multiplicaciones se resuelven en el or-
den que aparecen, de izquierda a derecha. Más adelante veremos que al considerar otras
operaciones además de adición, sustracción, multiplicación y división, también debe con-
venirse un orden de prioridad para las operaciones.
45
• Un CD tiene 5 temas de 3 minutos cada uno y 7 de 5 minutos de duración cada uno ¿Cuál es la duración total?
Cálculo 5. 3 + 7. 5
5. 3 + 7. 5 = 15 + 35 = 50
El CD tiene una duración de 50 minutos.
En síntesis
Para resolver estos cálculos:
•Primero se resuelven las operaciones que están entre paréntesis.
•Si no hay paréntesis, los signos “+” y “-”, separan en términos.Esto nos obliga a realizar primero las multiplicaciones y divi-siones y después las sumas y restas.
•Con las multiplicaciones y divisiones se opera de izquierda a derecha.
Por ejemplo:
1) (3 + 5) . 4 = 8 . 4 = 32
Primero se resuelve la suma que está entre paréntesis
2) 40 - 4.5 + 12 : 4 = 40 - 4 . 5 + 12 : 4= 40 - 20 + 3 = 23
3) 60: 20 . 5 = De izquierda a derecha.3 . 5 = 15
4) 24 : 6 - 2 . 5 + (4 +3). 2 = 24 : 6 - 2 . 5 + (4 + 3) . 2= 4 - 10 + 14 = 8
46
Actividad Nº20Escriba un cálculo que exprese las operaciones que hay que ha-cer para resolver las siguientes situaciones:
Usted ha comprado un artículo por cuatro pesos y dos artículos porcinco pesos cada uno. Calcule mentalmente cuánto dinero gastó.
En una cuenta bancaria se realizan siete depósitos de cinco pe-sos cada uno; se descuenta la mitad de cuatro pesos por gastosadministrativos y se acredita un peso a modo de interés por eldinero depositado. ¿Cuál es el saldo de esa cuenta?
Actividad Nº21Separe en términos y resuelva los siguientes cálculos. Trate deresolver mentalmente al menos los tres primeros ejercicios.
5 . 3 - 6 : 2 =
3 + 2 . 5 =
4 . 5 : 10 =
(8 - 3): 5 + 4 . 3 =
(12 + 4) : (8 - 4) =
24 : 2 : 2 - 30 : 10 + 5 . 8 =
a
b
47
a
b
c
d
Actividad Nº22Escriba un cálculo que le permita resolver las siguientes si-tuaciones. Luego resuelva el cálculo.
Para presenciar un espectáculo una familia paga 2 entradaspara mayores de $ 8 cada una y 4 entradas para menores de$ 3 cada una. ¿Cuánto gastó por las entradas?
Un señor compra 4 latas de pintura a $ 15 cada una, 3 pincelesa $ 3 cada uno y 2 espátulas a $ 4 cada una. Por la compra lahacen un descuento $ 12. ¿Cuánto debe abonar?
Un buzo se encuentra en el mar a 20 metros de profundidad. Rea-liza 3 descensos de 8 m cada uno. ¿A qué profundidad se encuen-tra? ¿Los números que utiliza en esta situación son naturales?
Un tanque está lleno hasta su tercera parte, siendo su capaci-dad de 750 litros. Se extraen 8 baldes de 12 litros cada uno.¿Cuántos litros de agua restan en el tanque?
48
Operaciones con números enteros
Hasta acá usted ha trabajado con operaciones de adición, sus-tracción, multiplicación y división con números naturales. Ahoraestudiará qué sucede con estas cuatro operaciones cuando se utili-zan números enteros.
Suma y resta
Para realizar operaciones de suma con números enteros se debenconsiderar distintas posibilidades. Analice los siguientes casos.
Un alpinista asciende 2500 metros el primer día, el segundo día sube 800 metros más.¿A qué altura se encuentra?2500 + 800 = 3300
en ambos casos se asciende por lo tanto el resultado es mayorque cero y el resultado será positivo.
En el banco tengo un saldo negativo de $ 50, depósito $ 200. ¿Cuál es el nuevo saldo? - 50 + 200 = 150
Se deposita más de lo que debía. El saldo es positivo.
A las 3 de la tarde la temperatura era de 5º , un tiempo despuésdescendió 8º. ¿Cuál es la temperatura en ese instante? 5 + (- 8) = -3
Descendió más grados de los que había. El resultado es negativo.Este ejemplo se puede escribir directamente así: 5 - 8 = -3
1
2
3
49
Una persona debe $ 250 al banco con el que opera habitualmente,y contrae con la misma institución una nueva deuda de $120.¿Cuál es monto total de su deuda?- 250 + (-120) = - 370
La acumulación de deudas sólo incrementa el monto de la deuda,sin que se pierda la condición de deudor. Es por ello que el resul-tado es un número negativo, de valor absoluto igual a la sumade los valores absolutos de los sumandos.
Al sumar dos enteros pueden darse 3 situaciones:
• un positivo más otro positivo; Problema 1• un negativo más un positivo o un positivo más un negativo;
Problemas 2 y 3• un negativo más otro negativo; Problema 4
4
a
b
c
Actividad Nº23A partir de las situaciones anteriores complete el siguiente cuadro.
¿En qué casos el valor absoluto de la suma es la suma de losvalores absolutos? ¿Por qué?
Explique en los casos restantes por medio de qué operaciónobtuvo el valor absoluto de la suma.
valor absolutodel 1º sumando
signo del reultado
2500
50
250
2500 + 800 = 3300
-50 + 200 = 150
5 + (-8) = -3
-250 + (-120)= -370
valor absolutodel 2º sumando
800
8
valor absolutode la suma
3300
50
Si uno de los números es positivo y el otro negativo el resultado dela suma tendrá el mismo signo que el del número de mayor valor ab-soluto. Y tiene por valor absoluto la resta de los valores absolutos.Ejemplo: -6 + 4 = -2 es negativo porque -6 tiene mayor valor absoluto que 4 y el valorabsoluto del resultado es 2 por ser 6 - 4 = 2
Si los dos números son negativos el resultado es negativo y el va-lor absoluto se obtiene con la suma de los valores absolutos.Ejemplo: -3 + (-4) = -7 es negativo por ser ambos negativos y el valor absoluto de la sumaes 7 por ser 3 + 4 = 7
Volvamos a analizar el problema de las temperaturas.
A las 3 de la tarde la temperatura era de 5 ,̊ un tiempo después des-cendió 8˚ ¿cuál es la temperatura en ese instante?
5 + (- 8) = -3 Descendió más grados de los que había. El resultado negativo.
También se señaló que se puede escribir directamente 5 - 8 = -3
En este caso se reemplazó la operación suma por su inversa, la res-ta, pero para que la expresión sea equivalente se reemplazó el -8por su opuesto el 8.
Cuando se realizan estos dos cambios se obtienen expresionesequivalentes. Así,
5 + (-3) = 5 - 33 - (-2) = 3 + 2- 4 + (-7) = - 4 - 7
En generala + (-b) = a - ba - (-b) = a + b
51
Como ya se sabe sumar números enteros, no importa cuál sea susigno, cada vez que se tenga una resta entre enteros se lo transfor-ma en una expresión equivalente pero cuya operación sea la suma.Por ejemplo si quiere restar
Restar dos números enteros entre sí es sumar al primero elopuesto del segundo
4 - 8 = es lo mismo que 4 + (-8) = - 4
7 - (- 3) = es lo mismo que 7 + 3 = 10
- 5 - 7 = -5 + (- 7) = -12
- 8 - (- 6) = - 8 + 6 = -2
Actividad Nº24Calcule mentalmente cuántos años vivieron las siguientespersonas y verifique los resultados.
Alejandro Magno (-356 a -323)Augusto (-63 a 14)
52
Suma Algebraica
Se denomina suma algebraica a los cálculos que sólo involucran adicio-nes y sustracciones sucesivas. Por ejemplo, podemos conocer el saldodel resumen de una cuenta bancaria realizando una suma algebraica.
A partir del saldo anterior $ 320 sumando dinero a la cuenta (cré-dito) y restando dinero por diferentes motivos (débito), se arribó alnuevo saldo $ 467. La operación 320 + 200 - 135 - 62 + 150 - 6 es una suma algebraica.
Las sumas algebraicas pueden resolverse de dos maneras:
Tal como en el resumen bancario, es decir a medida que vamos a-gregando una suma o resta calculamos el resultado parcial o saldo:
320 + 200 = 520, luego 520 - 135 = 385, a continuación 385 - 62 = 323,luego 323 + 150 = 483 y por último 473 - 6 = 467
Se suma todo lo que ingresó 320 + 200 +150 = 670Se suma todo lo que se retiró 135 + 62 + 6 = 203Se calcula lo que quedó restando los resultados anteriores 670 - 203 = 467
saldo
saldo anterior
depósito en efectivo
extracción
débito automático
depósito cheque 48 hs.
mantenimiento de cuenta
2/5/99
5/5/99
12/5/99
17/5/99
22/5/99
30/5/99
$ 320
$ 520
$ 385
$ 323
$ 473
$ 467
débitos
$ 135
$ 62
$ 6
crédito
$ 200
$ 150
2
1
53
Observe esta otra suma algebraica 34 - 14 - 50 + 20 - 12 + 8 =
Primer método: sumas parciales sucesivas
34 - 14 = 2020 - 50 = -30-30 + 20 = -10-10 - 12 = -22-22 + 8 = -14
Resultado final -14
Segundo método: sumas agrupando todos los positivos y todoslos negativos.
Suma de los números positivos 34 + 20 + 8 = 62Suma de los números negativos 14 + 50 + 12 = 78
Diferencia 62 - 78 = -14
Por cualquiera de los métodos arribamos al resultado final correc-to, por lo tanto según nos convenga utilizaremos uno u otro.
34 - 14 - 50 + 20 - 12 + 8 = -14
a
c
b
Actividad Nº25Resuelva mentalmente los siguientes problemas.
A las 8 de la mañana había -7˚, luego subió 6˚, más tarde su-bió 8˚ y por la noche descendió 5˚. ¿Cuál es la temperatura enese momento?
Un avión se halla a 7.000 m de altura. Para evitar una tor-menta sube 1.500 m, luego otros 1.000 m. Se mantiene a esaaltura un tiempo. Posteriormente desciende 500 m, luego ba-ja 1.200 m y posteriormente sube 300 m. En ese momento ¿aqué altura se encuentra?
Una sonda marina se encuentra a -800 m. Si sube 200 m, luego120 m y finalmente 250 m más ¿a qué altura se encuentra?
54
Multiplicación de enteros
Usted ya trabajó con la multiplicación de números naturales. Porejemplo 8 . 5 = 40. El 8 y el 5 se denominan factores y el 40, su re-sultado, se llama producto.
¿Qué ocurrirá si los factores son negativos o uno de ellos lo es?
Para analizar cómo se obtienen los productos donde intervienennúmeros negativos, completaremos la siguiente tabla. Cada celdacontiene el producto del número que encabeza la columna por elnúmero que encabeza la fila. Por ejemplo la celda coloreada con-tiene un seis porque la fila está encabezada por un tres y la colum-na está encabezada por un dos, se tiene que multiplicar, tres pordos es seis (3 . 2 = 6).
x 3
3
2
2 1 0 -1 -2 -3
1
0
-1
-2
9 6 3 0
-3
Observe que cada fila es una sucesión al igual que cada columna.
La primera fila es: 9 6 3 0
Es decir cada celda a la derecha de otra será la que la precede me-nos tres, que es el número que encabeza la fila. Con esta observa-ción se puede completar toda la fila.
55
x 3
3
2
2 1 0 -1 -2 -3
1
0
-1
-2
9 6 3 0 -3 -6 -9
-3
x 3
3
2
2 1 0 -1 -2 -3
1
0
-1
-2
9 6 3 0
6 4 2 0
3 2 1 0
0 0
-3 -2
-6 -4
0 0
-3 -6 -9
-9
-6
-3
0
3
6
9-6 -3 0 3 6-3
Cada columna también es una sucesión, del mismo modo que laprimera fila.
En el caso de la primera columna la diferencia de cada nuevo casi-llero es 3. Por ello si se resta 0 - 3 = -3 y así sucesivamente se pue-de completar la columna.
En la segunda columna cada celda inferior a otra es dos unidadesmenor que aquella que la precede.
En cada fila y en cada columna la sucesión es diferente.
56
Observe que cada una de las filas o columnas es parte de lo que co-múnmente denominamos la tabla del... La primera fila es parte de latabla del 3; la segunda de la tabla del 2; la última de la tabla del -3.
Actividad Nº26Complete la tabla y coteje sus resultados con los que figuranen las claves de corrección.
Actividad Nº27Busque en la tabla los resultados de:
3 . 3 =3 . (-1) =
(-2) . 3 =(-3) . (-3) =
Determine el signo del resultado cuando se multiplican: Dos números positivos.Dos números negativos.Uno número positivo y uno negativo.
a
b
Como habrá observado, el producto de un número negativo y unpositivo es negativo
2 . (- 3) = - 6 ó - 1 . 3 = - 3
El producto de dos números negativos es positivo
-3 . (- 2) = 6, -1 . (-2) = 2
En la multiplicación:• Si los dos números tienen el mismo signo, el producto es positivo.• Si los números tienen signo distinto, el producto es negativo.• Un número entero por 0 es igual a 0.
57
Cuando se multiplican dos números enteros el signo del resultadose obtiene siguiendo la regla que está resumida en el recuadro. Noolvide que el valor absoluto del producto se calcula de igual modoque si se tratara de números naturales.
Observe algunos ejemplos:
-5 . 3 = -15
pues 5 . 3 es 15 y el producto de dos signos distintos es “-”
-4 . (-3) = 12
pues 4 . 3 es 12 y el producto de dos signos iguales es “+”
6 . (-5) = -30
pues 6 . 5 es 30 y el producto de dos signos distintos es “-”
Actividad Nº28Obtenga mentalmente el resultado de los siguientes cálculos:
4 . (-12) =15 . 12 =20 . 5 . (-2) =10 . (- 4) . 5 . (-2) =
Actividad Nº29Separe en términos y luego resuelva mentalmente.
4 . 5 + 9 =
12 . 2 - 4 . 8 =
15 . 4 + 12 - 6 . (-3) =
58
Actividad Nº30En el mes de julio María cobró $60 por horas extras y decidiócomprar ropa para su hijo.
¿Cuánto dinero le quedará según compre alguna de las si-guientes ofertas?
Dos pantalones a $15 cada uno.
Tres camisas a $20 cada una.
Dos pares de zapatos a $36 cada uno.
Actividad Nº31Halle el número que falta:
2 . ___ = -6
___ . (-5) = -20
10 . ___ = 60
b
a
c
59
Actividad Nº32Escriba simbólicamente el cálculo que se indica y resuelvamentalmente:
El doble de cuatro.
El triplo de menos dos.
El cuádruple de ocho.
El siguiente número entero de cuatro.
El entero anterior a menos cuatro.
a
b
c
d
e
División de números enteros
Tal como ya se analizó calcular la división exacta entre un número(dividendo) y otro distinto de 0, (divisor), es hallar un tercer númerotal que multiplicado por el segundo de como resultado el primero. Simbólicamente
a : b = c porque b . c = a
Esta división exacta no siempre es posible entre números naturaleso enteros. Por ejemplo;
9 : 4 = 4 . __ = 9 (no se puede hallar ningún número natural que
multiplicado por 4 sea 9)
Para realizar operaciones de división exacta con números enteros setiene que hallar, por un lado, el valor absoluto de la división y porotro, habrá que considerar que los números que intervienen en la di-visión pueden ser los dos positivos, los dos negativos o uno positivoy uno negativo. Por lo tanto además de hallar el valor absoluto de ladivisión se debe aplicar la regla de los signos, para saber si el resulta-do es negativo o positivo tal como se realizó con la multiplicación.
60
Si se quiere hallar el resultado de 24 : (-4) habrá que pensar quenúmero multiplicado por (-4) da por resultado 24.
(-4) . ___ = 24
24 : (-4) = -6
pues 24 : 4 es 6 y por ser de diferentes signos el resultado es “-”
-15 : (-5) = 3
pues 15 : 5 es 3 y por ser ambos negativos el resultado es “+”
Actividad Nº33Halle el cociente en cada división:16 : (-4) =132 : 3 =125 : (-25) =456 : (-12) =
Analice algunos casos particulares
División por 1a) 6 : 1 = 6 b) -6 : 1 = -6 c) -1215 : 1 = -1215
Al dividir por 1 el número no cambia.a : 1 = 1
División por - 1a) 6 : (-1) = -6 b) -15 : (-1) = 15 c) 293 : (-1) = -293
Al dividir por -1 cambia sólo el signo del número.a : (-1) = -a
61
0 dividido por cualquier número a) 0 : 15 = 0 b) 0 : (-6) = 0 c) 0 : (- 18) = 0
0 dividido por cualquier número distinto de 0 es 00 : a = 0 (a ≠ 0)
Habrá notado que cada vez que enunciamos una división de mane-ra general o en forma simbólica aclaramos que el divisor tiene queser distinto de cero.
Por definición, dividir dos números a y b es encontrar un tercernúmero c que cumpla con la condición de que al multiplicar c . bel resultado debe ser a. Por ello,
8 : 2 = 4 pues 4. 2 = 8
Si se acepta el 0 como divisor toda división perdería su sentido,dado que el resto no puede ser mayor que el divisor. Piense un re-sultado y verá que esto siempre ocurre.
Llamamos x al posible resultado de dividir un número por cero. Porejemplo:
8 : 0 = xEste número x tendrá que cumplir la condición x . 0 = 8Pero ningún número multiplicado por 0 da 8.
Por lo tanto, no se puede dividir por cero.
Y 0 : 0 = ?
Este caso merece un análisis especial. Nuevamente piense en la de-finición de división.
0 : 0 = x , el resultado tendrá que cumplir que x . 0 = 0
Para cualquier valor de x esto se cumplirá; entonces todos los nú-meros pueden ser la respuesta de 0 : 0, por lo que no puede darseun resultado. De todos modos vale lo expresado anteriormente: nose puede dividir por cero.
62
Actividad Nº34Separe en términos y resuelva. Recuerde que separar en térmi-nos significa “seccionar” el cálculo dividiéndolo en sectores se-parados con los signos de sumas y restas o con paréntesis, paradeterminar qué operaciones se deben realizar primero.
12 : 4 + 63 : 63 =
100 : (-20) - 16 : (-8) =
14 : (-1) - 25 : 5 + 36 : (-12) =
18 : (-1) + 4 : (-4) - 12 : 6 =
(-1 + 2) ( 4 - (-12) : 4 =
Potenciación
Hasta aquí usted ha trabajado cuatro operaciones con números en-teros: la adición, la sustracción, la multiplicación y la división. Acontinuación estudiará una quinta operación: la potenciación.
Comencemos con un ejemplo.
El próximo domingo se jugarán 6 partidos para completar la fechadel campeonato de fútbol. ¿Cuántos resultados distintos podrándarse? ¿Serán más de 30?
El primer partido puede resultar local (L), empate (E) o visitante (V).Para cualquiera de estos resultados el segundo encuentro tambiénadmite las tres posibilidades. Observe el esquema:
a
b
c
d
e
Le sugerimos que busqueen el Módulo Nº 5 lo tra-bajado sobre potencia-ción. Le facilitará el estu-dio de este tema.
63
Por un problema de espacio no es posible hacer el esquema hasta el6º partido, pero podemos seguir analizando la situación.
1º partido 2º partido 3º partido
3 resultados 9 resultados 27 resultados
L
E
V
E
V
LL
V
E
L
V
E
L
V
E
E
V
LL
V
E
L
V
E
L
V
E
E
V
LL
V
E
L
V
E
L
V
E
64
1º partido 3 resultados2º partido 3 . 3 = 32 = 9 resultados3º partido 3 . 3 . 3 = 33 = 27 resultados4º partido 3 . 3 . 3 . 3 = 34 = 81 resultados5º partido 3 . 3 . 3 . 3 . 3 = 35 = 243 resultados6º partido 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 = 36 = 729 resultados
Como puede observar siempre se multiplica el número 3 por sí mismo.Recuerde que el número que se multiplica por otro se llama factor.
Los números que intervienen en una potenciación se denominan:
36 = 729 potencia
base
exponente
Podemos definir la potenciación como una multiplicación de tan-tos factores iguales a la base como indique el exponente.
Simbólicamente an = b a . a . a .... = bnº veces
Actividad Nº35Calcule cuántos resultados distintos pueden darse en la fechacompleta de fútbol, si en total son 10 partidos.
65
d
a
b
c
Actividad Nº36Las potencias que más frecuentemente se utilizan son loscuadrados (exponente 2) y los cubos (exponente 3).
Complete esta tabla de cuadrados y cubos:
Actividad Nº37Resuelva 43 + 24 =73 - 34 =33 . 42 =
Es correcta la igualdad (4 + 3)2 = 42 + 32 ¿Por qué?
Actividad Nº38Escriba simbólicamente las siguientes expresiones y resuelva:
El cubo de tres, más el cuadrado de cinco.
El cuadrado de la suma de tres más cuatro.
La cuarta potencia de cinco, menos el cubo del doble de tres.
b3(b . b . b )
b2(b . b)
1 2 3
9 100
4 5 6 7 8 9 10 11 12b
66
Hasta aquí se trabajaron potencias con base positiva. ¿Qué sucedecuando la base es negativa?
Tal como se señaló, elevar un número b (base) a una potencia n(exponente) es multiplicar el número b por sí mismo n veces.
Cuando el número base de una potencia es negativo se debe apli-car la regla de los signos para multiplicar negativos.
Por ejemplo,
(-2)3 = (-2) . (-2) . (-2) = = 4 . (-2) = -8
Actividad Nº39¿Es posible encontrar alguna regularidad para hallar el signodel resultado de una potencia?
Resuelva los siguientes cálculos e intente responder a la pre-gunta anterior.
(- 2)4 = (- 2). (- 2). (- 2). (- 2) =
(- 5)2 = (- 5). (- 5) =
(- 3)4 = (- 3). (- 3). (- 3). (- 3) =
(- 4)3 = (- 4). (- 4). (- 4) =
(- 1)5 = (- 1). (- 1). (- 1). (- 1). (- 1) =
(- 10)3 = (-10). (- 10). (- 10) =
Cuando la base es negativa, como en los ejemplos anteriores, elresultado puede ser “-” o “+”. ¿De qué depende? Trate usted dedar una respuesta comparando los valores de las dos columnas.
a
b
c
d
e
f
g
67
Actividad Nº40Resuelva:
(-3)4 =
83 =
(-2)7 =
(-6)3 =
55 =
(-3)5 =
(-1)125 =
(-1)46 =
03 =
0138 =
Cuando se realizan operaciones combinadas, antes de resolvercualquier cálculo deben hallarse las potencias, a menos que se in-dique lo contrario colocando paréntesis. Por ejemplo,
(-2)3 + 1 = -8 +1 = -7
(3+1)3 - 1 = 43 - 1 = 64 - 1 = 63
Actividad Nº41Separe en términos y resuelva. Tenga en cuenta el orden en elque deben realizarse las operaciones.
(-4)2 + 33 =
(-6)3 - (-2)4 =
(-3)3 + 5 : (-5) =
(6-2)3 + (8-10)4
=
5 . (-2)2 - 43 : (-2) =
(-1)32 + 4 . (-1)5 =
69
Funciones
Con acepciones ligeramente diferente el término “función” lousamos con frecuencia en nuestra vida cotidiana. Muchas veces oí-mos o decimos expresiones tales como:
• El precio de las entradas a la cancha está en función de la ubica-ción en el estadio.
• Elegiré el abrigo para esta noche en función de la temperatura.• La cantidad de alimento para un perro está en función de su
tamaño. • El aumento del presupuesto es función del gasto público.• El perímetro de un terreno cuadrado es función de la medida
del lado.
En estos ejemplos la palabra función está empleada en distintoscontextos; sin embargo el significado es casi el mismo.
Las mismas frases podrían ser expresadas del siguiente modo sinque su sentido cambie sustancialmente:
• El precio de las entradas a la cancha depende de la ubicaciónen el estadio.
• El abrigo que elegiré para esta noche dependerá de la temperatura.• La cantidad de alimento para un perro depende de su tamaño.• El aumento del presupuesto depende del gasto público.• El perímetro de un cuadrado depende de la medida del lado.
En estas situaciones, como en otras, se puede observar que existecierta relación entre dos sucesos, donde uno depende del otro. Sinembargo en matemática no siempre que existe una relación se tratade una función. Si bien existe relación entre el abrigo que elijo y latemperatura, o entre la cantidad de alimento para un perro y su ta-maño, no se puede hablar de funciones en términos matemáticos.
Sí puede decirse en cambio que el perímetro de un cuadrado esfunción de la medida del lado porque si variamos el valor del lado,por ejemplo lo duplicamos, su perímetro también variará al doble;si disminuimos el lado, entonces el perímetro también disminuirá.Éste es un caso de función. Sobre el concepto de función se traba-jará en las próximas páginas.
70
Analicemos la siguiente situación.
La proporción de arena y cal para preparar una mezcla de cons-trucción es: un balde de cal, 3 baldes de arena.
En la tabla se representan los valores que vinculan la cantidad debaldes de cal con la cantidad de baldes de arena.
La primera columna contiene los valores que representan el núme-ro de baldes de cal; la segunda representa otro conjunto: el del nú-mero de baldes de arena.
Observe la tabla: en todos los casos para todos los valores de laprimer columna siempre es posible hallar un valor para la segunda.
Por otra parte, a cada valor que representa el número de baldes decal le corresponde un único valor que representa el número de bal-des de arena. Por ello podemos decir que se trata de una función,ya que a cada cantidad de cal le corresponde una única cantidadde baldes de arena.
En el Módulo Nº4 se traba-jó sobre esta situación. Lesugerimos que consulte loque allí se trabajó.
cal arena
1
2
3
6
7
15
3
6
9
18
21
45
2
3
6
7
1
15
6
9
18
21
3
45
Estos dos conjuntos pueden representarse en un gráfico de ejesperpendiculares que se llaman cartesianos.
71
Sobre el eje horizontal, llamado de las abscisas, se representan los va-lores correspondientes al número de baldes de cal, se denomina x. So-bre el eje vertical, llamado de las ordenadas, se representan los valoresque corresponden al número de baldes de arena, denominado y. Alpunto 0, 0 es decir x = 0 e y = 0 se lo llama origen de las coordenadas.
Para representar los valores sobre cada eje deben marcarse previa-mente segmentos iguales entre sí. La escala que se utiliza paramarcar los segmentos depende de los valores máximos que sequieran representar en cada eje. Por ejemplo, en la situación quese está analizando el valor máximo que se va a representar para losbaldes de cal es 15 y el máximo para los baldes de arena es 45.
200 5
60
10 15
40
20
0bols
as d
e ar
ena
bolsas de cal
Gráficos de puntos
72
superficie del campo
10 ha.
15 ha.
20 ha.
27 ha.
5 ha.
40 ha.
Nº de bolsas de trigo
300 bolsas
150 bolsas
Los valores que usted incluyó en la tabla pueden ser representadosen un gráfico cartesiano para facilitar el análisis de la variación enel rendimiento de cada hectárea.
En el eje horizontal x se representan la cantidad de hectáreas de cadacampo expresadas en hectáreas y en el eje vertical y la cantidad debolsas cosechadas en cada campo.
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
600
400
500
700
800
900
1000
1100
1200
1300
200
300
100
0
Nº
de b
olsa
s
superficie del campo
Actividad Nº42En una zona cercana a la localidad de Ströeder en la provin-cia de Buenos Aires el rendimiento de la cosecha de trigo fuede treinta bolsas por hectárea en cada campo.
Complete la tabla considerando que el rendimiento de cadahectárea es siempre el mismo.
La relación entre la superficie del campo y la cantidad de bol-sas cosechadas por hectárea ¿es una relación de proporciona-lidad? ¿por qué?
73
a
b
c
Como podrá observar las escalas utilizadas para representar los va-lores en cada eje son diferentes, en el eje horizontal x los valoresestán señalados de cinco en cinco hectáreas porque el valor máxi-mo que se quiere representar es 45 (hectáreas). En el eje vertical yes de cien en cien bolsas, porque el valor máximo es 1300 (bolsas).
En el gráfico se observa la relación entre la superficie del campo ysu rendimiento o cómo es el rendimiento de cada campo en fun-ción de su superficie.
Podríamos decir que el rendimiento “depende de” la superficie delcampo o que el rendimiento es función de la superficie sembrada.La expresión “depender de” indica que entre los elementos de dosconjuntos hay alguna relación que los vincula.
Actividad Nº43Un fabricante de zapatillas entrega en un comercio 40 parespor los que le pagan $ 400. ¿Cuánto le pagarán el mes si-guiente si entrega 50 pares al mismo precio por cada par?
Complete la tabla con los valores correspondientes. Para re-presentar la cantidad de pares de zapatillas utilice la letra x, ypara el dinero que deben pagarle la letra y.
Con los valores de la tabla construya un gráfico cartesiano.
xzapatillas
40
20
10
50
y$
400
Un ejemplo muy común de función son las tablas de multiplicar.
Por ejemplo, si pensamos en un número cualquiera y lo multiplica-mos por 4 obtenemos su cuádruplo. Para cada número diferente elcuádruplo también será diferente.
74
En el lenguaje algebraico, la tabla de multiplicar por cuatro se sim-boliza así:
y = 4 . x x y = 4 . x-1 -4 porque 4 . (-1) = -40 0 “ 4 . 0 = 01 1 “ 4 . 1 = 42 8 “ 4 . 2 = 8
En esta expresión x representa a cualquier número, por eso es unavariable. También y es una variable ya que puede tomar diferentesvalores, aunque su valor dependerá del valor que tome x. Por esose dice que x e y son variables.
Podemos decir que x es una variable independiente ya que puedetomar cualquier valor, e y es una variable dependiente porque suvalor depende del valor que tome x.
Por ejemplo, en el caso de la Actividad Nº43 la cantidad de los pa-res de zapatillas es la variable independiente y el dinero que reci-birá el fabricante es la variable dependiente, pues la suma de dine-ro que reciba dependerá de la cantidad de zapatillas que entregue.
Actividad Nº44La siguiente tabla representa algunos de los valores de la re-lación “el doble de”.
Construya un gráfico cartesiano para representar los valoresde la tabla.
Observando el gráfico responda las preguntas.Cuando x vale 4, ¿cuánto vale y?Cuando x vale -2 ¿cuánto vale y?
A4
5
-2
-8
B8
10
-4
-16
a
b
75
¿Qué otro valor además de 10 vale y cuando x vale 5?¿Qué otro valor además de -8 vale y cuando x vale 4?¿Algún número de la columna x no tiene un valor que le corresponda?¿Algún número de la columna x tiene más de un valor que le corresponda?
Como puede observar a cada valor de x le corresponde sólo un va-lor de y. Por ello se dice que es una función.
Se simboliza así: y = 2 . x
Analice esta otra situación.
En la tabla siguiente se consignan las edades en meses de un bebéy su peso en kilogramos. Si relaciona cada edad con el peso corres-pondiente podrá ver que también se trata de una función.
¿Por qué es también una función? Porque a cada edad del bebé lecorresponde uno y sólo un valor de su peso en kilogramos. En elejemplo se señala que el bebé pesa lo mismo a los 5 que a los 6 me-ses. Pero si usted observa la tabla, a cada número que correspondea la edad, le corresponde un solo peso.
edad en meses
1
2
3
4
5
6
peso en kg.
4,100
5
5,600
6,300
6,400
76
Actividad Nº45Represente en un gráfico cartesiano los valores de la funciónanterior.
3.5
2.5
3.0
4.0
4.5
5.0
5.5
6.0
6.5
1.5
2.0
1.0
-0.5
0.5
1 2 3 4 5 6edad en meses
kg
En síntesis podemos decir que:
Dados dos conjuntos A y B se llama función a toda relación que hace corresponder a cada elemento de A
uno y sólo un elemento de B.
Al analizar si una relación es una función, se tiene que garantizar quea cada uno de los posibles valores de la variable independiente le co-rresponda un solo valor. En los ejemplos trabajados anteriormente seconocen algunos valores, pero conviene analizar qué sucede con losvalores intermedios de los conocidos y verificar si es cierto que sepuede encontrar un único resultado para cada valor inicial.
Por ejemplo, en el caso de los pares de zapatillas no se consideran losvalores 15, 28, 35, etc. Pero es evidente que para cualquier cantidad depares de zapatillas (es decir para cualquier número natural) se puedehallar el correspondiente valor de dinero a cobrar, y este valor es únicoporque se mantiene constante el precio para cada par de zapatillas.
77
En este caso no tiene sentido analizar los valores 3,5; 1/2; 3/4. Por-que los pares de zapatillas son números enteros positivos. Por ellodiremos que el dominio de esta función son los números enterospositivos. Si analiza como se calcula el valor correspondiente almonto a cobrar observará que lo que se mantiene constante es elprecio de un par de zapatillas $ 10.
monto total = $ 10 . cantidad de pares de zapatillas.
Decir que el dominio de la función son los enteros positivos signi-fica que la variable cantidad de zapatillas sólo puede tomar valo-res enteros positivos.
El ejemplo de los pares de zapatillas es un caso particular de hallarun número que sea 10 veces mayor que otro. Esta expresión gene-ral puede simbolizarse:
y = 10 . x donde y será el resultado de multiplicar por 10 cualquier valor que tome x.
Observe algunos de los valores en la tabla
Como se muestra en la tabla no importa si x es negativo o una frac-ción, se puede afirmar que a cada valor de x le corresponde un únicovalor de y.
x-101
1/20.25
y-100105
2,5
78
En algunas funciones los valores de x pueden ser cualquier núme-ro de la recta numérica. A cada uno de ellos le corresponde un de-terminado valor de y, que se puede calcular mediante alguna ex-presión matemática. En estos casos se suelen unir los puntos delgráfico que quedan determinados por los valores de x y de y paraanalizar las gráficas de las funciones.
79
En este caso al unir los puntos se obtiene una recta. En la recta tra-zada están todos los pares de valores en los que y es el doble de x.
80
Si consideramos la situación planteada anteriormente sobre el pesodel bebé, donde no sabemos qué pasa con el peso del bebé en lostiempos intermedios, no deben unirse los puntos como en el ejemploanterior. Simplemente afirmamos que es una función, pero no pode-mos asegurar que valores tomará y entre los valores intermedios de x.
81M i n i s t e r i o d e C u l t u r a y E d u c a c i ó n d e l a N a c i ó n
Actividad Nº46Analice las funciones “el doble de” y “el cuádruplo de” que co-mo se señaló se pueden expresar como: y = 2 . x (el doble de) ey = 4 . x (cuádruplo de). ¿Qué valores puede tomar x?
¿Pueden unirse los puntos de los gráficos? ¿Qué se obtiene?
Construya los gráficos correspondientes a cada función. Noolvide considerar los valores negativos.
a
b
c
Al iniciar el tema funciones dijimos que el perímetro de un cuadradoestá en función del lado. Analicemos por qué se trata de una función.
Usted ya sabe que el perímetro es la suma de los lados, y como enel cuadrado los cuatro lados son iguales se puede calcular multipli-cando por 4 la longitud del lado.
perímetro del cuadrado = 4 . ladop = 4 . l
Si compara esta expresión con la función “cuádruple de” verá que esun caso particular de y = 4 . x ¿Por qué decimos un caso particular?porque el lado no puede tomar valores negativos, siempre es positivo.
82
Analice nuevamente los gráficos que usted construyó.
y = 10 . x
y = 4 . xy = 2 . x
83
En todos los casos se obtuvo una recta. Analice qué sucede en lossiguientes casos.
y = 5 . x y = (-2) . x
Como puede observar los gráficos de estas funciones son rectasque pasan por el origen de las coordenadas.
Actividad Nº47¿Podría predecir el gráfico de la función si y = 100 . x ?
Intente generalizar la expresión matemática cuyo gráfico sonlas rectas que pasan por el origen de las coordenadas.
a
b
Generalizando:
todas estas expresiones que multiplican a la variable independiente xpor algún valor k para hallar y puede expresársela como y = k . x
84
Su gráfica siempre es una recta que pasa por el origen. A esta funciónse la llama función lineal y representa la proporcionalidad directa.
Actividad Nº48En un artículo periodístico se informa que “... el 20% de losalumnos de una escuela llegan a clase en colectivo...”.
Construya una tabla de valores. La variable independiente xrepresenta el número de alumnos y la variable dependiente yel número de alumnos que llegan en colectivo.
Represente los datos en un gráfico cartesiano.
¿”El 20% de” es una función? Si contestó afirmativamente¿qué tipo de función es?
a
b
c
xcantidad de alumnos
ycantidad de alumnos
que llegan encolectivo
Existen funciones donde sus gráficos son rectas pero que no pasanpor el origen de coordenadas. Un ejemplo de ellas es la llamada“tarifa del taxi”. Averigüe en su localidad cómo son las tarifas delos taxis o remises y construya su tabla de valores y el gráfico.
85
variable independientex
(cada unidad equivale a 170 m)
0123456
variable dependientey= 1,12 + 0,14 . x
(costo)
1,121,261,401,541,681,96
Tomemos como ejemplo la tarifa de los taxis en la ciudad deBuenos Aires.
Cuando se pone en marcha el reloj, éste marca $ 1,12 y a continua-ción, por cada unidad recorrida en metros (aproximadamente secalcula que son unos 170 metros), marca $ 0,14.
Observe la tabla: cada unidad indicada en la columna de las absci-sas equivale a 170 m recorridos por el taxi. Entonces por cada uni-dad recorrida, el reloj del taxi suma a la cifra anterior (la indicadapor el reloj en ese momento) $ 0,14. Aquí no consideramos el tiem-po en el que el taxista tenga que esperar al pasajero, detenerse enun semáforo, el tránsito.
Tabla de valores
86
El gráfico de esta función es:
La fórmula para expresar esta función es:
y = 0,14 . x + 1,12
donde 0,14 es el aumento del viaje por cada unidad (en metros)que ha recorrido el taxi y 1,12 representa el costo inicial del viaje.
Analice este otro caso
Para calcular el número “siguiente de un entero” se debe sumar 1al número inicial. Por ejemplo, el “siguiente de 3 es 4” “el siguien-te de 8 es 9” “el siguiente de -2 es -1”.
y = x + 1 (donde y es el siguiente de... y x es el número inicial)
Para graficar esta función primero se construye una tabla.
x y
-2
-1
0
1
2
-1
0
1
1
3
87
Observe que la gráfica es una recta que no pasa por el origen decoordenadas.
Actividad Nº49Grafique las siguientes funciones.
y = 3 . x + 2 y = 2 . x -1
88
a
b
c
Actividad Nº50Un terreno rectangular tiene una superficie de 100 m2.
Determine los posibles valores del ancho y del largo. Comple-te la tabla.
Recuerde que para calcular la superficie del rectángulo se de-be multiplicar el largo por el ancho. Por lo tanto deberá con-siderar pares de números que multiplicados entre sí den porresultado 100.
Señale si se trata de una función y explique por qué.
¿Es una función de proporcionalidad? ¿Por qué?
largo(variable independiente)
ancho(variable dependiente)
1m 2m 4m 5m 8m 10m 20m 25m 50m 100m
12,5m25m100m
Observe el gráfico. En él se representaron los valores de la tablaanterior.
89
La gráfica de este tipo de funciones de proporcionalidad inversa sellama hipérbola.
La superficie del cuadrado está en función del valor del lado. En elcuadrado el largo y el ancho son iguales. Por lo tanto la superficiees igual al cuadrado del lado.
sup = l2 (lado por lado)
Si se analiza la expresión general y = x2
La gráfica de este tipo de función se llama parábola.
Como usted ha observado a partir de los ejemplos anteriores, lasfunciones pueden tener diferentes representaciones gráficas. Aquísólo se han trabajado algunas de ellas:
• cuando sólo se pueden representar los puntos que cumplen con la función, como en el ejemplo del peso del bebé;
• cuando la gráfica es una recta que pasa por el origen de las coor-denadas. Su forma algebraica es siempre y = k . x y son directa-mente proporcionales;
l sup.
1
2
3
4
2
4
9
16
x y
-1
0
-2
1
2
1
0
4
1
4
• cuando la gráfica es una recta que no pasa por el origen de lascoordenadas. Su expresión general es y = k . x + b;
• cuando la gráfica es una hipérbola, (como en el ejemplo de loslados de los rectángulos equivalentes en superficie) que represen-ta a todas las funciones en las que las variables dependientes eindependientes se mantienen constantes k = y . x. La relaciónentre x e y es de proporcionalidad inversa.
• cuando la gráfica es una parábola (como en el ejemplo de la super-ficie del cuadrado). La expresión puede ser y = x2.
Actividad Nº51Los siguientes son ejemplos de funciones.
• En la fiesta del 25 de mayo de una escuela la cooperadoradecidió regalar a cada alumno tres alfajores. Si asistieran65 niños ¿cuántos alfajores repartirá la asociación coopera-dora? ¿si asistieran 56 alumnos? ¿si fueran al acto 120 alum-nos? Calcule cuántos alfajores deberá repartir la cooperado-ra si solamente van al acto 45 alumnos.
• Para un asado que organicé en mi casa invité a 7 personas.Ya disponía de 1,5 kilos de carne. Si se calcula 0,5 kg porpersona ¿cuánto kilos necesitaré? ¿cuánta carne deberétener si llegaran 3 personas más?
90
91
Velocidad y tiempo empleado en recorrer un mismo espacio.
Base y altura de un rectángulo de superficie 36 m2
Lado y perímetro de un cuadrado.
Radio y longitud de una circunferencia.
Radio y superficie del círculo.
Edad y peso de una persona.
Cantidad de cajitas cúbicas iguales que caben en otra y el volumen de las mismas.
Espacio recorrido y velocidad de un auto en un tiempo dado.
a
b
a
b
c
Escriba la fórmula que corresponde a cada función e indique sialguna o ambas representan una proporcionalidad directa.
Construya una tabla de valores y un gráfico para cada caso.
Actividad Nº52Teniendo en cuenta la siguiente consigna: “escribir nueve paresde números positivos cuya multiplicación sea 36 y nueve pares denúmeros negativos cuya multiplicación también sea 36”,
Construya la tabla de valores.
Represente gráficamente todos los valores obtenidos.
Señale de qué tipo de proporcionalidad se trata.
Actividad Nº53Indique cuáles de las siguientes relaciones son de proporcionali-dad. Si lo son, señale cuáles son directas y cuáles son inversas.
92
Actividad Nº54Tómele las pulsaciones a un familiar o amigo teniendo encuenta los siguientes tiempos y complete la tabla:
Grafique el número de pulsaciones en función del tiempotranscurrido.
¿Qué clase de función obtuvo aproximadamente? Intente escribir la fórmula.
a
b
c
tiempo (en seg.)
Nº de pulsaciones
10 20 30 40 50 60
93
Claves de corrección
Actividad Nº1
Un semiplano es la porción de plano que queda determinado por
una recta (borde)
Si se tiene un plano (α) y sobre el se determina una recta (r) quedan
determinados dos sectores del plano. A cada uno se lo llama semi-
plano. Para poder reconocer a cual de ellos se hace mención se de-
termina un punto en cada uno de ellos.
En este caso el punto A pertenece a un semiplano y B al otro.
Por eso se dice que los semiplanos son:
• de borde r al que pertenece el punto A;
• de borde r al que pertenece el punto B.
Se observan en el dibujo ángulos agudos y obtusos. Sin embargo los
ángulos determinados son diedros rectos, dado que sus caras (hojas
de la puerta) son perpendiculares entre sí.
a
b
c
94
Actividad Nº2
Lo determinan 3 planos (cada uno de ellos contiene a una de sus caras).
Tiene 3 caras. En el triedro por usted armado las caras serán tres án-
gulos planos agudos
Tiene 1 vértice
Tiene 3 aristas (semirectas que concurren en el vértice)
Actividad Nº3La pirámide tiene: Un ángulo tetraedro (de cuatro caras).
Cuatro ángulos triedros (de tres caras).
En total posee cinco ángulos poliedros.
El cubo tiene: Ocho ángulos triedros (de tres caras).
Actividad Nº4El cuerpo cuyas vistas superior e inferior son cuadrados y su vista la-
teral es un rectángulo es un prisma de base cuadrada.
El cuerpo cuya vista superior es un círculo, lo mismo que su vista in-
ferior y su vista lateral es un rectángulo, es un cilindro.
El cuerpo cuya vista superior es un punto (se puede observar tam-
bién parte de la base), su vista inferior es un cuadrado, y su vista la-
teral es un triángulo es una pirámide cuadrangular.
El cuerpo cuyas vistas superior, inferior y lateral son cuadrados se
llama cubo o hexaedro.
a
b
c
d
e
a
b
a
e
95
Cuando se menciona poliedros se puede hacer referencia a ángulos
de varias caras o a cuerpos que tienen ángulos poliedros.
El prisma, la pirámide y el cubo son cuerpos poliedros.
El cono y el cilindro no son cuerpos poliedros.
Actividad Nº5Prisma de base cuadrangular: 6 caras, 12 aristas y 8 vértices.
Pirámide: 5 caras, 8 aristas y 5 vértices.
No existe desarrollo de la esfera. Lo más cercano a él es pensar en la
cáscara de una fruta de forma cercana a una esfera, como puede ser
una manzana, luego del ser pelada.
el cubo o hexaedro.
Observando el cubo note que:
Tiene 6 caras.
Tiene 12 aristas.
Tiene 8 vértices.
Dos caras no están en un mismo plano. Cada arista es común a dos caras.
Actividad Nº6Paralelas.
Alabeadas.
Alabeadas y paralelas.
a
bc
d
a
bc
b
96
a
Actividad Nº7
Actividad Nº8Si tiene 16 vértices y 10 caras, la suma será 26. Como la resta de es-
ta suma menos el número de aristas tiene que ser 2, el número de
aristas tiene que ser 24.
V + C = 16 + 10 = 26
V + C - A = 2
26 – ___ = 2
por lo tanto el número de aristas es 24.
Nº de vértices(V)
cuerpos
1 prisma triangular recto
2 prisma cuadrangular recto
3 prisma cuadrangular oblicuo
4 prisma pentagonal
5 octaedro
6 tetraedro
7 pirámide cuadrangular
6
Nº de caras(C)
5
Nº de aristas(A)
9
relación entre V, C y A:
V+C-A= ?
2
8 6 12 2
8 6 12 2
10 7 15 2
6 8 12 2
4 4 6 2
5 5 8 2
97
Actividad Nº9
Quedan determinadas dos semirrectas.
Tienen en común el punto de origen y la dirección de recta de la que
forman parte.
Los sentidos de las semirrectas son opuestos.
Actividad Nº10Usted debe haber escrito cuatro de cualesquiera de los siguientes 10
segmentos:
AB, AC, AD, AE, BC, BD, BE, CD, CE, DE
Actividad Nº11En todos los casos no hay una única respuesta. Las que presentamos
aquí son a modo de ejemplo.
Dos segmentos consecutivos alineados: AB y BC
Dos segmentos consecutivos no alineados: HG y GE
Dos segmentos no consecutivos: HB y CE
Cuatro segmentos que forman una poligonal cerrada: HB, BC, CF, FH
Cinco segmentos que forman una poligonal abierta: HA, AB, BC, CE y ED
Los polígonos se pueden clasificar según la cantidad de lados en:
a
bc
d
a
a
b
Gráfico Nº lados Nombre
3 Triángulo
4 Cuadrilátero
5 Pentágono
6 Hexágono
Gráfico Nº lados Nombre
7 Heptágono
8 Octógono
10 Decágono
20 Dodecágono
98
Actividad Nº12AB = MN
RS < ST
TR > ST
AB > BC
AB = CD
A
F
B
C
DE
G
H
F
B
E
H
a
b
c
F
B
C
H
A
BH
A
BM N
R
S
D C
BA
T
99
Actividad Nº13Una de las respuestas posibles como ejemplo es:
AG, GH, HD, DC, CB, BF, FE
Actividad Nº14Recuerde que para proteger el piso también se utiliza cinta de enmascarar.
Pared A: 9 m, pared B: 13 m, pared C: 9 m, y pared D: 13 m.
Total de cinta: 44 m.
Se tiene cuatro aristas de 30 cm. dos aristas de 70 cm y dos aristas
de 40 cm.
4 . 30 +2 . 70 +2 . 40 = 120 + 140+80 = 340.
Se necesitan 340 cm de burletes, teniendo en cuenta que un metro
hay 100 cm, se necesitarán 3,4 metros.
Actividad Nº15Problema 1: 24 + 6 = 30 En la empresa trabajan como empleados 30 personas.
Problema 2:8º - 10º = - 2º a las 8 de la mañana la temperatura es de - 2º o 2º bajo cero.
Problema 3:Un partido de fútbol dura 1,5 horas o 1 1/2 horas (1 hora y media)
Problema 4: El saldo sigue siendo negativo, pero ahora es de $ - 25,30.
En el Problema 1, números naturales.
En el Problema 2, números enteros.
En el Problema 3, números racionales.
En el Problema 4, números racionales que también pueden ser negativos.
a
b
a
b
100
Actividad Nº16La cantidad de países del mundo y la cantidad de hojas que cayeron
del árbol. En este último caso no podemos decir el número exacto,
pero seguro que es natural.
El dinero que se recauda en el espectáculo depende del precio de la
entrada y de la cantidad de espectadores que asisten. Si el valor de la
entrada es un número natural la recaudación también lo será. Si el pre-
cio de la entrada es con centavos (es un número racional) el resultado
también lo será, aunque según el caso puede ser sin decimales, es
decir entero. Por ejemplo: si el precio es con cincuenta centavos y el
número de espectadores es par(ejemplo : 200 espectadores a $ 2,50
cada entrada, 200 . 2,5 = 500) el resultado será un racional entero .
Si el precio de la entrada es con cincuenta centavos y el número de
espectadores es impar(ej:precio de entrada $ 2,50, cantidad de es-
pectadores: 205, 205 . 2,50 = 512,5) la recaudación estará dada por
un número racional con decimales.
Actividad Nº17Viven 4225 hombres (8640 - 4415)
Había 9022 personas (8640 + 382)
2160 familias (8640 : 4)
Hay 720 vehículos (8640 : 12)
$ 14.400 (720. 20)
En la situación a) sustracción (resta, es el resultado de la operación);
en la b) adición (suma, es el resultado de la operación); en las c) y d)
división (el cociente es el resultado), y en la e) multiplicación( el re-
sultado es el producto).
Actividad Nº189 2 9 5 22 7
1 4 4 1 1 3
Si se multiplica el divisor por el cociente y se le suma el resto se ob-tiene un número que es igual al dividendo.
a
b
c
d
ef
a
b
101
Actividad Nº198 4 15 3 21 7
0 2 0 5 0 3
El resto en todas las operaciones es 0.
Al multiplicar el divisor por el cociente se obtiene el dividendo, si el
resto es 0.
Actividad Nº20Se puede escribir 1 . $4 + 2 ($5) = pero como en la multiplicación
por 1 se obtiene siempre como resultado el número por el que se es-
tá multiplicando, se suele no escribir el 1. En este caso
$ 4 + 2 . $5 =
$ 4 + $10 = $14
7 . $5 - $4 : 2 + $1 = $35 - $2 + $1 = $34
Actividad Nº215 . 3 - 6 : 2=
primero se resuelve la multiplicación y la división y luego se resta
15 - 3 = 12
3 + 2 . 5 =
si no hay paréntesis se resuelve primero la multiplicación y luego la suma.
3 + 10 = 13
4 . 5: 10 =
se resuelven en el orden en que aparecen la multiplicación y la división
20 : 10 = 2
(8 - 3) : 5 + 4 . 3 =
en el primer término hay un paréntesis. Hay que resolverlo antes de dividir.
Hay que resolver la multiplicación indicada en el segundo término antes de sumar.
5 : 5 + 12 = 1 + 12 = 13
a
bc
a
b
(12 + 4) : (8 - 4) =
primero hay que resolver la suma y la resta porque están entre parén-
tesis, luego se realiza la división.
16 : 4 = 4
24 : 2 : 2 - 30 : 10 + 5 . 8 =
en el primer término se realizan las divisiones en el orden que aparecen.
En el segundo término se divide. En el tercer término se multiplica. Recién al
final se resta al primer término el segundo y, al resultado, se le adiciona el tercero.
6 - 3 + 40 = 43
Actividad Nº222. 8 + 4. 3 = 16 + 12 = 28
Respuesta: La familia gastó $ 28
4. 15 + 3. 3 + 2. 4-12 = 60 + 9 + 8-12 = 65
Respuesta: Debe abonar $ 65
-20 - 3. 8 = -20 - 24 = -44
Respuesta: Se encuentra a una altura de -44 metros (44 metros de
profundidad)
Los números utilizados son enteros
750 : 3 - 8. 12 = 250 - 96 = 154
Respuesta : Restan 154 litros.
Actividad Nº23
a
b
c
d
a
valor absolutodel 1º sumando
signo del reultado
2500
50
5
250
2500 + 800 = 3300
-50 + 200 = 150
5 + (-8)= -3
-250 + (-120)= -370
valor absolutodel 2º sumando
800
200
8
120
valor absolutode la suma
3300
150
3
370
+
+
-
-
102
103
El valor absoluto del resultado de una suma de números enteros es
la suma de los valores absolutos de los números cuando se suman
enteros de igual signo.
El valor absoluto de la suma es la diferencia entre los valores abso-
lutos de los sumandos, cuando los signos de los números que se es-
tán sumando son distintos.
Actividad Nº24Alejandro Magno (-356 a - 323) 33 años (- 323 + 356)
Augusto (- 63 a 14) 77 años (14 + 63)
Actividad Nº25-7 + 6 + 8 - 5 = 2
La temperatura es de 2º
7000 + 1500 + 1000 - 500 - 1200 + 300 = 8100
La altura es de 8100 m.
-800 + 200 + 120 + 250 = - 230
La zonda marina se encuentra a -230 m
Actividad Nº26
b
c
ab
a
b
c
x 3
3
2
2 1 0 -1 -2 -3
1
0
-1
-2
9 6 3 0
6 4 2 0
3 2 1 0
0 0
-3 -2
-2
-2
-2-1
-1
-6 -4
-4
0 0
0
0
0 0
-3 -6 -9
-9
-6
-3
0
3
6
9-6 -3 0 3 6-3
1 2
2 4
104
Actividad Nº273 . 3 = 9
3 . (-1) = -3
(-2) . 3 = -6
(-3) . (-3) = 9
Con dos factores positivos el producto es positivo.
Con dos factores negativos el producto es positivo.
Con un factor negativo y otro positivo el producto es negativo.
Actividad Nº284 . (-12) = -48
15 . 12 = 180
20 . 5 . (-2) = -200
10 . (-4) . 5 . (-2) = 400
Actividad Nº294 . 5 + 9 = 20 + 9 = 29
12 . 2 - 4. 8 = 24 - 32 = - 8
15 . 4 + 12 - 6 . (-3) = 60 + 12 + 18 =90
Actividad Nº30Si lleva 2 pantalones $60 - 15. 2 = 60 - 30 = 30
Le quedarán $ 30
Si lleva 3 camisas $60 - 20 . 3 = 60 - 60 = 0
No le queda nada
Si lleva dos pares de zapatos $60 - 36 . 2 = 60 - 72 = -12
No le alcanza para comprar esta oferta
a
b
ab
c
d
a
bc
a
b
c
105
Actividad Nº312 . (-3) = -6
4 . (-5) = -20
-10 . (-6) = 60
Actividad Nº32El doble de ... significa que al número hay que multiplicarlo por 2. En
este caso
2 . 4 = 8
El triple de ... significa que al número hay que multiplicarlo por 3. En
este caso
3 . (-2) = -6
El cuádruple de ... significa que al número hay que multiplicarlo por 4. En
este caso
4 . 8 = 32
En el conjunto de los números naturales y en el de los enteros siempre
puede hallarse el número siguiente. Para ello basta sumarle 1.
En este caso
4 + 1 = 5
Del mismo modo puede considerarse para “el entero anterior”. Para
calcularlo hay que restar 1. En este caso
-4 - 1 = -5
Actividad Nº3316 : (-4) = -4 porque (-4) . (-4) = 16
132 : 3 = 44 porque (44) . 3 = 132
-125 : (- 25) = 5 porque (-25) . 5 = -125
456 : (-12) = -38 porque (-12) . (-38) = 456
ab
c
a
b
c
d
e
ab
cd
106
Actividad Nº3412 : 4 + 63 : 63 = 3 + 1 = 4
100 : (-20) - 16 : (- 8) = - 5 + 2 = - 3
14 : (- 1) - 25 : 5 + 36 : (- 12) = - 14 - 5 - 3 = - 22
18 : (-1) + 4 : (-4) - 12 : 6 = - 18 - 1 - 2 = -21
(-1+2) ( 4 - [ (-12) : 4 ] = 4 - (-3) = 4 + 3 = 7
Actividad Nº35En 10 partidos se pueden dar 310 = 59.049 resultados distintos.
Actividad Nº36
Actividad Nº3743 + 24 = 64 + 16 = 80
73 - 34 = 343 - 81 = 262
33 . 42 = 27. 16 = 432
No, porque (4 + 3)2 = 49 y 42 + 32 =25.
En el primer miembro de la igualdad se tiene que sumar primero (4+3)
y luego elevarlo al cuadrado. En el segundo miembro primero se ha-
llan los cuadrados de 4 (16) y de 3 (9) y luego se suman.
No es lo mismo el cuadrado de una suma que la suma de los cuadrados.
abc
d
e
a
b
b
b3(b . b . b )
b2(b . b)
1 2 3
91
1
4
8
16
64
25
125
36
216
49
343
64
512
81
729
121
1331
144
1728
100
27 1000
4 5 6 7 8 9 10 11 12
107
Actividad Nº38El cubo de tres, más el cuadrado de cinco 33 + 52= 27 + 25 = 52
El cuadrado de : tres más cuatro (3 + 4)2 = 72 = 49
La cuarta potencia de cinco, menos el cubo del doble de tres
54 - (2 . 3)3 = 54 - 63 =
= 625 - 216 = 409
Actividad Nº39 (- 2)4 = (- 2) . (- 2) . (- 2) . (- 2) = 16
(- 5)2 = (- 5) . (- 5) = 25
(- 3)4 = (- 3) . (- 3) . (- 3) . (- 3) = 81
(- 4)3 = (- 4) . (- 4) . (- 4) = -64
(- 1)5 = (- 1) . (- 1) . (- 1) . (- 1) . (- 1) = -1
(- 10)3= (- 10) . (- 10) . (- 10) = -1.000
Si la base es negativa el signo depende del exponente. Si es par el re-
sultado será positivo. Si es impar el resultado será negativo.
Actividad Nº40(-3)4 = 8183 = 512(-2)7 = -128(-6)3 = -21655 = 3125(-3)5 = -243(-1)125 = -1(-1)46 = 103 = 00138 = 0
ab
c
abc
d
efg
superficie del campo
10 ha.
15 ha.
20 ha.
27 ha.
5 ha.
40 ha.
Nº de bolsas de trigo
300
450
600
810
150
1200
108
a
b
a
Actividad Nº41
(-4)2 + 33 = 16 + 27 = 43
(-6)3 - (-2)4 = -216 - 16 = -232
(-3)3 + 5 : (-5) = -27 - 1 = -28
(6-2)3 + (8-10)4
= 64 + 16 = 80
5 . (-2)2 - 43 : (-2) = 20 + 32 = 52
(-1)32 + 4 . (-1)5 = 1 - 4 =3
Actividad Nº42
Si se mantiene constante el rendimiento de cada hectárea la rela-
ción entre la cantidad de hectáreas y la cantidad de bolsas cosecha-
das es de proporcionalidad directa, porque al variar la cantidad de
hectáreas(por ejemplo al doble) la cantidad de bolsas tendrá la mis-
ma variación (necesariamente será el doble).
Actividad Nº43La relación entre el dinero que le pagarían y el número de pares de za-
patillas es de proporcionalidad directa. Le pagarán $500 por los 50 pa-
res de zapatillas del mismo precio que las del mes anterior porque:
por 40 pares de zapatillas cobró $ 400
por 1 par de zapatillas cobraría 400 : 40
y por 50 pares de zapatillas cobraría 400 : 40 . 50
109
Usted pudo haberlo resuelto por proporciones. La relación que existe en
el primer mes entre el total cobrado y el número de pares de zapatillas
entregadas debe ser la misma que en el segundo mes. Por ello,
400 x 400 . 50 40 50 40
bx
zapatillas
40
20
10
50
y$
400
200
100
500
x ==
110
Actividad Nº44
Cuando x vale 4 y vale 8
Cuando x -2 vale y vale -4
Ningún otro valor. Existe un único valor de y para x= 5 que es y = 10
Existe un único valor para y cuando x= -4 que es -8
Todos los números de la columna x tienen su correspondiente valor de y.
A cada valor de x le corresponde un solo valor de y.
a
b
111M i n i s t e r i o d e C u l t u r a y E d u c a c i ó n d e l a N a c i ó n
Actividad Nº45
Actividad Nº46x puede tener cualquier valor: puede ser un entero positivo, puede
ser cero, puede ser un entero negativo, puede ser un racional nega-
tivo o puede ser un racional positivo
Sí, se obtendría una recta que pasa por el origen de coordenadas
a
b
c
112
Actividad Nº47Será una recta que pasa por el origen de coordenadas
La variable y será igual al producto de una constante por la variable x .
y = k . x
Actividad Nº48Se propone la siguiente tabla sólo a modo de ejemplo. La cantidad
de alumnos siempre es positiva y entera.
a
b
a
xcantidad de alumnos
0102030405060708090100
ycantidad de alumnos
que llegan encolectivo
02468101214161810
b
113
El “20 % de “ ha provocado que a cada cantidad de alumnos le co-
rresponda una y sólo una cantidad de alumnos que viajan en colec-
tivo, por lo tanto estamos ante una función. Como su representa-
ción gráfica es una recta que pasa por el origen de coordenadas, es
una función de proporcionalidad directa.
Actividad Nº49
c
y = 3 x + 2
y = 2 x - 1
114
Las funciones en las que la variable independiente se multiplica por al-
gún valor y luego se le suma (o resta) otro tienen como gráficas rectas
que no pasan por el origen de las coordenadas. En forma simbólica
y = k . x + b donde k y b son valores dados en cada caso.
Actividad Nº50
Se trata de una función en los números positivos porque a cada va-
lor de la variable independiente (el largo) le corresponde un y sólo
un valor de la variable dependiente (el ancho). Se toman sólo valo-
res positivos porque se miden
Si se tienen diferentes rectángulos todos con igual superficie, lo que se
mantiene constante es el producto del largo por el ancho. Al variar el
largo, el ancho tendrá que modificarse en forma inversa. Si el largo se
duplicó necesariamente el ancho tiene que reducirse a la mitad, si el lar-
go se triplica, el ancho se reduce a su tercera parte, etc. Por ello la rela-
ción entre el largo y el ancho es una proporcionalidad inversa.
largocm
anchocm
1
2
4
5
8
10
20
50
100
100
50
25
20
12,5 m
10
5
2
1
a
b
c
a
a
b
b
Actividad Nº51La fórmula es y = 3. x donde x es la cantidad de alumnos e y la cantidad de alfajores. Es di-
rectamente proporcional
xcantidad de alumnos
655612045
ycantidad de alfajores
195168360175
xcomensales
710
ycantidad de carne
en kilogramos
23.5
La fórmula es y = 0,5 . x - 1,5
donde x es la cantidad de personas, y la carne que necesito agregar y 1,5 es por la carne que ya
tenía. No es directamente proporcional.
116
Actividad Nº52
x1º número
y2º número
1
2
3
4
6
9
12
18
36
-1
-2
-3
-4
-6
-9
-12
-18
-36
36
18
12
9
6
4
3
2
1
-36
-18
-12
-9
-6
-4
-3
-2
-1
Actividad Nº3 Velocidad y tiempo a espacio constante: es una función de propor-
cionalidad inversa.
Base y altura de un rectángulo con superficie constante: es una
función de proprcionalidad inversa.
Lado y perímetro de un cuadrado: es una función de porporciona-
lidad directa.
Radio y longitud de la circunferencia: es una función de proporcio-
nalidad directa.
117
Tiempo (en segundos)
Nº de pulsacionespor minuto
10 20 30 40 50 60
15 30 45 60 75 90
a
b
c
Radio y superficie del círculo: no hay entre ellos relación de propor-
cionalidad, no es ni directamente poporcional, ni inversamente pro-
porcional. Sí existe relación de proporcionalidad directa entre la su-
perficie del círculo y el cuadrado del radio.
Edad y peso de una persona: no existe relación de proporcionalidad
Cantidad de cajas que entran en otra y volumen de las mismas: son
inversamente proporcionales.
Espacio y velocidad a tiempo constante: son directamente proporcionales
Actividad Nº54 Depende de cada persona, se dará una tabla que sólo sirve de ejemplo:
Es una función de proporcionalidad directa. Por ello en general al
tomar el pulso se cuentan los latidos durante 10 ó 15 segundos y
luego se multiplica por 6 o por 4 para averiguar las pulsaciones en
60 segundos (1 minuto)
En este caso y = 1,5 . x
119
ANEXO
Instrucciones para el armado del
ángulo tiedro
1) Extraiga la cartulina titulada ángulo triedro.2) Recorte el contorno del ángulo.3) Con el borde de la tijera, suavemente, remarque las líneas inter-nas del dibujo, las que serán futuros plegados del cuerpo. Tengacuidado de no cortar por las líneas, sólo debe marcarlas como indi-ca el siguiente gráfico, ayudándose para ello con una regla.
4) Doble por cada una de las líneas.5) Coloque cola de pegar en la aleta de la cara cuadrada rotulada ypéguela en el borde de la cara inmediata.6) En la zona interior del cuerpo colocar una cinta engomada sobrela aleta que termina de pegar
Instrucciones para el armado de un
prisma de base cuadrada
1) Extraiga la cartulina que contiene el desarrollo del prisma debase cuadrada.2) Recorte el contorno del desarrollo.3) Con el borde de la tijera, suavemente, remarque las líneas inter-nas del dibujo, las que serán futuros plegados del cuerpo. Tengacuidado de no cortar por las líneas, sólo debe marcarlas como indi-ca el siguiente gráfico, ayudándose para ello con una regla.
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4) Doble por cada una de las líneas.5) Coloque cola de pegar en la aleta de la cara cuadrada rotulada comoA y péguela en el borde de la cara rectangular inmediata a su derecha.6) En la zona interior del cuerpo colocar una cinta engomada sobrela aleta A que termina de pegar. No se reiterará a lo largo de lasinstrucciones este paso pero se recomienda llevarlo adelante luegodel pegado de cada aleta.7) Pegar la aleta B de la cara rectangular en la región interna de lacara cuadrada que posee la aleta A.8) Colocar cola de pegar a las aletas C y D.9) Pegar la cara cuadrada que contiene a la aleta E, sobre las aletas C y D.10) Colocar cola de pegar en las aletas E, F y G.11) Cerrar el prisma con las tres aletas hacia su interior y presionarsuavemente sobre la posición de estas tres últimas aletas (las aletas E,F y G no podrán contener cinta engomada como las restantes aletas).
Instrucciones para el armado de un
cubo
1) Extraiga la cartulina que contiene el desarrollo del cubo o hexaedro.2) Recorte el contorno del desarrollo.3) Con el borde de la tijera, suavemente, remarque las líneas inter-nas del dibujo, las que serán futuros plegados del cuerpo. Tengacuidado de no cortar por las líneas, sólo debe marcarlas como indi-ca el siguiente gráfico, ayudándose para ello con una regla.
4) Doble por cada una de las líneas.5) Coloque cola de pegar en la aleta de la cara cuadrada rotulada comoA y péguela en el borde de la cara cuadrada inmediata a su derecha.6) En la zona interior del cuerpo colocar una cinta engomada sobrela aleta A que termina de pegar. No se reiterará a lo largo de lasinstrucciones este paso pero se recomienda llevarlo adelante luegodel pegado de cada aleta.
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7) Pegar la aleta B de la cara cuadrada en la región interna de lacara cuadrada que posee la aleta A.8) Colocar cola de pegar a las aletas C y D.9) Pegar la cara cuadrada que contiene a la aleta E, sobre las aletas C y D.10) Colocar cola de pegar en las aletas E, F y G.11) Cerrar el cubo con las tres aletas hacia su interior y presionar sua-vemente sobre la posición de estas tres últimas aletas (las aletas E, Fy G no podrán contener cinta engomada como las restantes aletas).
Instrucciones para el armado de una
pirámide de base cuadrada
1) Extraiga la cartulina que contiene el desarrollo del prisma debase cuadrada.2) Recorte el contorno del desarrollo.3) Con el borde de la tijera, suavemente, remarque las líneas inter-nas del dibujo, las que serán futuros plegados del cuerpo. Tengacuidado de no cortar por las líneas, sólo debe marcarlas como indi-ca el siguiente gráfico, ayudándose para ello con una regla.
4) Doble por cada una de las líneas.5) Coloque cola de pegar en la aleta de la cara triangular rotulada comoA y péguela en el borde de la cara triangular inmediata a su derecha.6) En la zona interior del cuerpo colocar una cinta engomada sobre laaleta A que termina de pegar. No se reiterará a lo largo de las instruc-ciones este paso pero se recomienda llevarlo adelante luego del pega-do de cada aleta.7) Pegar la aleta B en la región interna de la cara triangular queposee la aleta C.8) Colocar cola de pegar a las aletas C y D.9) Cerrar la pirámide con las dos aletas hacia su interior y presionarsuavemente sobre la posición de estas dos últimas aletas (las aletas Cy D no podrán contener cinta engomada como las restantes aletas.
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Instrucciones para el armado de un
cilindro
1) Extraiga la cartulina que contiene el desarrollo del cilindro.2) Recorte el contorno del desarrollo.3) Con el borde de la tijera, suavemente, remarque las líneas inter-nas del dibujo, las que serán futuros plegados del cuerpo. Tengacuidado de no cortar por las líneas, sólo debe marcarlas como indi-ca el siguiente gráfico, ayudándose para ello con una regla.
4) Doble por cada una de las líneas previamente remarcadas con la tijera.5) Coloque cola de pegar en la aleta de la cara triangular rotulada co-mo A y péguela en la cara interna del rectángulo, de modo tal de for-mar un tubo de cartulina.6) En la zona interior del cuerpo colocar una cinta engomada sobrela aleta A que termina de pegar. No se reiterará a lo largo de las ins-trucciones este paso pero se recomienda llevarlo adelante luego delpegado de cada aleta.7) Pegar el círculo sobre las aletas B.8) Pegar el segundo cÌrculo sobre las aletas C, con lo que se cerrarael cilindro.
Cubo o Hexaedro
Desarrollo del Cilindro
Prisma de base cuadrada
Pirámide
Triedro
3Matemática
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Material de distribución gratuita
Mate
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