3-lectura principal t3

Mdulo 1: FUNDAMENTOS BSICOS COMPLEMENTARIOS

Tema 3: HIDRULICA Y MECNICA DE FLUIDOS

Profesor: JESS MIGUEL SEOANE SEPLVEDA

Hidrulica y mecnica de fluidos Pgina: 2 / 13

NDICE DE CONTENIDOS

1. INTRODUCCIN .................................................................................................................................................................. 3

2. DENSIDAD Y PRESIN EN UN FLUIDO ............................................................................................................................. 3

2.1. DENSIDAD EN UN FLUIDO .............................................................................................................................................. 3

2.2. PRESIN EN UN FLUIDO ................................................................................................................................................. 4

3. ESTTICA DE FLUIDOS. HIDROSTSTICA ...................................................................................................................... 4

3.1. FLUIDO EN EQUILIBRIO. PRESIN HIDROSTTICA Y PRESIN TOTAL EN UN PUNTO ......................................... 5

3.1.1. APLICACIONES ............................................................................................................................................................. 5

3.2. HIDRULICA. PRINCIPIO DE PASCAL ........................................................................................................................... 5

3.3. PRINCIPIO DE ARQUMEDES. FLOTACIN ................................................................................................................... 6

4. DINMICA DE FLUIDOS. HIDRODINMICA ...................................................................................................................... 7

4.1. CONCEPTOS FUNDAMENTALES ................................................................................................................................... 7

4.2. FLUIDOS IDEALES ........................................................................................................................................................... 7

4.2.1. ECUACIN DE CONTINUIDAD ..................................................................................................................................... 8

4.2.2. ECUACIN DE EULER .................................................................................................................................................. 8

4.2.3. ECUACIN DE BERNOULLI ......................................................................................................................................... 8

4.2.3.1. APLICACIONES DE LA ECUACIN DE BERNOULLI ............................................................................................... 9

4.3. FLUIDOS VISCOSOS ...................................................................................................................................................... 10

4.3.1. FLUJO TURBULENTO. NMERO DE REYNOLDS .................................................................................................... 10

4.3.2. FLUIDOS NEWTONIANOS .......................................................................................................................................... 11

4.3.3. ECUACIN DE NAVIER-STOKES ............................................................................................................................... 11

4.3.4. MOVIMIENTO DE UNA PARTCULA EN EL SENO DE UN FLUIDO VISCOSO......................................................... 12

4.3.5. SEMEJANZA DINMICA: MODELOS A ESCALA ...................................................................................................... 12

5. CONCLUSIN .................................................................................................................................................................... 13

6. REFERENCIAS BIBLIOGRFICAS ................................................................................................................................... 13


1. INTRODUCCIN

Fluido es un medio continuo, cuyas molculas tienen poca cohesin entre ellas, de forma que pueden desplazarse unas sobre otras (fluir). Las fuerzas de cohesin entre sus molculas son muy pequeas. Se adaptan a la forma del recipiente. Pueden ser lquidos o gases:

Lquidos: son prcticamente incompresibles pues sus molculas estn muy prximas entre si. Por tanto, su volumen permanece constante aunque adoptan la forma del recipiente que los contiene. Su densidad es constante. Tiene superficies libres.

Gases: muy compresibles, pues las distancias entre sus molculas son enormes comparadas con el tamao de las mismas. No tiene ni forma ni volumen definido, depende de la presin y de la temperatura. Siempre ocupan todo el volumen del recipiente que los contiene y por tanto, no tienen superficies libres.

Los fluidos, a diferencia de los slidos, no se pueden cortar.

2. DENSIDAD Y PRESIN EN UN FLUIDO

2.1. DENSIDAD EN UN FLUIDO

Definicin: la densidad es el cociente entre la masa y el volumen de cuerpo:V

M

En un fluido ideal su densidad es constante, aunque realmente vara con la temperatura.


Unidades: En el S.I.: kg/m3 ; en la prctica tambin: kg/L; g/cm3.

Densidad relativa: 0

r

se suele tomar como referencia el agua: 33 /10 mkgagua

Un fluido no soporta ni puede ejercer fuerzas tangenciales, luego solo puede soportar o ejercer fuerzas normales (perpendiculares) a su superficie. Esa fuerza normal es lo que entendemos como presin.

2.2. PRESIN EN UN FLUIDO

Definicin: Es la fuerza que ejerce un fluido sobre la unidad de superficie:S

Fp

La fuerza que ejerce un fluido sobre una superficie S

, es SpF

. Su valor es SpF y est dirigida perpendicularmente a la superficie S.

Unidades: en el SI: Pa (pascal) 1 Pa = 1 N/m2.

Otras unidades utilizadas en la prctica: atm, mm Hg, bar, milibares, baria =10 Pa

Equivalencias: 1 atm = 1,01105 Pa = 760 mmHg = 1,01 bar = 1010 milibares

La presin es una magnitud escalar ya que es isotrpica.

Otro concepto, sobre el que volveremos en la seccin de fluidos viscosos es el concepto de viscosidad. No obstante, lo citamos aqu ya que haremos referencia puntual a este concepto durante todo el tema. La viscosidad es la resistencia al cambio de forma. Un fluido es ideal si consideramos nula su viscosidad.

3. ESTTICA DE FLUIDOS. HIDROSTSTICA

Estudio de los lquidos en equilibrio.

Un lquido est en equilibrio cuando sus partculas no se mueven unas respecto de otras.

Un fluido no soporta ni puede ejercer fuerzas tangenciales, luego solo puede soportar o ejercer fuerzas normales (perpendiculares) a su superficie.


3.1. FLUIDO EN EQUILIBRIO. PRESIN HIDROSTTICA Y PRESIN TOTAL EN UN PUNTO

Imagina una porcin cilndrica de fluido. Las fuerzas que actan sobre esa porcin son su peso y las fuerzas debidas a la presin que ejerce el resto del fluido sobre la superficie de ese cilindro. En la superficie lateral las fuerzas se anulan por simetra:

0' LL FF

. En el eje vertical tenemos:

0 PFF BA

0 PFF AB 0 mgSPSP AB

0 ghSSPSP AB hgPP AB

)( ABAB hhgPP

3.1.1. APLICACIONES

Vasos comunicantes: Un mismo lquido alcanza la misma altura en vasos comunicados entre si de distintas secciones. Las alturas de los niveles entre lquidos inmiscibles dependen de la densidad de dichos lquidos.

Dos puntos de un mismo lquido situados al mismo nivel o altura tienen la misma presin, aunque se encuentren en distintas ramas y secciones de vasos comunicantes distintos y tengan encima de ellos distintas alturas de otros lquidos distintos. Si no fuese as el lquido se desplazara hasta quedar en equilibrio.

Presin total en un punto: presin en la superficie (P0) + presin hidrosttica: hgPPA 0

P0: suele ser la presin atmosfrica, aunque puede tener otros valores.

3.2. HIDRULICA. PRINCIPIO DE PASCAL

La hidrulica es una rama de la mecnica de fluidos y amplia mente presente en la ingeniera que se encarga del estudio de las propiedades mecnicas de los lquidos. Todo esto depende de las fuerzas que se interponen con la masa y a las condiciones a que est sometido el fluido, relacionadas con la viscosidad de este. Sobre ste tema haremos ms nfasis cuando tratemos con fluidos viscosos.

Principio de Pascal.

En un lquido en equilibrio la presin ejercida en un punto se transmite con el mismo valor a todos los puntos del fluido.

pA = pB = p B

B

A

A

S

F

S

Fp

FA

FL

P

FB

FL

hA

hB

S

h


Aplicaciones: Elevador hidrulico: en un pequeo cilindro Sa se ejerce una pequea fuerza Fa sobre un fluido, aceite, la presin p= Fa/Sa, se transmite a todo el fluido y un cilindro de gran seccin Sb ejercer una gran fuerza: Fb = pSb

Medidas de presin:

Barmetro: aparato destinado a medir la presin atmosfrica. Experimento de Torricelli. Altura de mercurio: 76 cm; altura de agua: 10,34 m.

Manmetro: aparato destinado a medir la presin del gas encerrado en un recinto.

o Manmetro de tubo abierto: en la rama abierta hay que aadir la presin atmosfrica:

hgPP atmg

o Manmetro de tubo cerrado: en la rama cerrada hay aire a una presin fija P0 :

hgPPg 0

o Manmetro truncado: en la rama cerrada est vaca, P0 = 0: hgPg

3.3. PRINCIPIO DE ARQUMEDES. FLOTACIN

Principio de Arqumedes. Concepto de empuje

Todo cuerpo sumergido total o parcialmente en un fluido experimenta un empuje vertical hacia arriba igual al peso del fluido desalojado.

Imaginemos que sumergimos un cuerpo cilndrico, las fuerzas que ejerce el fluido sobre ese cuerpo es las que ejerca sobre una porcin idntica del mismo lquido, cuya resultante es el empuje que acta sobre el cuerpo:

BA FFE

gVghSSPSPFFE SLLABAB

Empuje: gVE desalojadoliquido

Peso: gmgVP cuerpocuerpocuerpo

En un cuerpo sumergido pueden darse los siguientes casos:

Empuje < Peso cuerpoliquido el cuerpo se va a fondo

Empuje = Peso cuerpoliquido el cuerpo est en equilibrio

Empuje > Peso cuerpoliquido el cuerpo asciende

Flotacin

En este ltimo caso el cuerpo flota, una parte est sumergida y otra emerge del lquido, la condicin

de equilibrio es: cuerpocuerposumergidoliquidocuerpocuerposumergidoliquido VVgVgVPE

Y si el cuerpo es cilndrico o prismtico la relacin entre la altura sumergida y la total es:

cuerpocuerposumergidaliquidocuerpocuerposumergidaliquido hhhShS .

* Ver ejercicios 2, 3 y 5 de la Hoja de problemas para completar el estudio.

FB

h P

FA S

E


4. DINMICA DE FLUIDOS. HIDRODINMICA

Estudio de los fluidos en movimiento. Para ello se utilizan dos descripciones, la Lagrangiana y la

Euleriana. La descripcin Lagrangiana consiste en seguir a cada partcula fluida en su movimiento.

Una segunda forma es asignar a cada punto del espacio y en cada instante, un valor para las

propiedades o magnitudes fluidas sin importar que en ese instante, la partcula fluida ocupa ese

volumen diferencial. sta es la descripcin Euleriana, que no est ligada a las partculas fluidas sino

a los puntos del espacio ocupados por el fluido. En esta descripcin el valor de una propiedad en un

punto y en un instante determinado es el de la partcula fluida que ocupa dicho punto en ese instante.

La descripcin euleriana es la usada comnmente, puesto que en la mayora de casos y aplicaciones

es ms til. Esta es la descripcin que usaremos durante este mdulo.

4.1. CONCEPTOS FUNDAMENTALES

La dinmica de fluidos o hidrodinmica estudia el movimiento de los fluidos. La velocidad de las partculas del fluido ser en general distinta en cada punto y en cada instante.

Un fluido puede moverse o fluir en dos tipos de regmenes distintos:

Rgimen laminar: las capas de fluido deslizan unas sobre otras sin formar vrtices o remolinos y si la velocidad del fluido en cada punto es siempre la misma (no vara con el tiempo) es estacionario.

Rgimen turbulento: se producen remolinos y la velocidad en cada punto vara con el tiempo.

Dos conceptos muy importantes en un fluido:

Lnea de corriente: es una lnea que en todos sus puntos es tangente a la velocidad del fluido. En rgimen estacionario una lnea de corriente coincide con la trayectoria de una partcula del fluido. Dos lneas de corriente nunca se cortan.

Tubo de flujo o de corriente: porcin de fluido limitado por las lneas de corriente que pasan por el borde de una superficie situada en el fluido. En rgimen estacionario: todas las partculas que entran por el principio del tubo de flujo son las mismas que salen luego por el extremo.

4.2. FLUIDOS IDEALES

Un fluido ideales que renen las siguientes caractersticas:

Incompresible: el fluido tiene la misma densidad en todos sus puntos.

No viscoso: no se pierde energa al desplazarse, por cambiar de forma.

Rgimen laminar estacionario: Las lneas de corriente no se cruzan. El fluido tiene siempre la misma velocidad en cada punto, aunque distinta de un punto a otro. Su velocidad depende del punto pero no del tiempo.

v1

v2

l1

l2

S1

S2


4.2.1. ECUACIN DE CONTINUIDAD

En el tubo de corriente de la figura en un intervalo de tiempo t entra por el punto A una cantidad de fluido, m1, que tiene que ser igual a la que sale por el punto B, m2:

222111221121 lSlSVVmm

tvStvS 222111

222111 vSvS Ecuacin de continuidad.

Y como el fluido es incompresible ( 21 ) entonces:

Ecuacin de continuidad: 2211 vSvS

Caudal o gasto = seccin x velocidad. C= Sv . El caudal permanece constante si no hay prdidas.

* Ver ejercicio 13 de la Hoja de problemas para completar el estudio.

4.2.2. ECUACIN DE EULER

Tenemos un tubo de flujo infinitesimal de seccin constante dS,

longitud dl, su masa es dm = dSdl, y est inclinado un ngulo respecto de la horizontal. Las fuerzas que actan sobre l en la direccin de la aceleracin son las debidas a la presin en cada extremo del tubo y la componente tangencial de su peso, luego de acuerdo con la 2 ley de Newton, tenemos:

admPFF t '

admsengdmdSdppdSp )(

Pero tenemos que: dm = dSdl: sen =dz/dl; vdl

dv

dt

dl

dl

dv

dt

dva , luego:

dl

dvvdldS

dl

dzgdldSdSdppdSp )( Simplificando tenemos: dvvdzgdp

0 dvvdzgdp : Ecuacin de Euler

Integrando se obtiene la ecuacin de Bernouilli: ctevzgp 2

2

1

4.2.3. ECUACIN DE BERNOULLI

Estudio energtico de un tubo de corriente:

F

F P

Pt

dl

dz

p+dp

p


Cuando el fluido comprendido en el tubo de flujo entre A y B pasa a estar entre A y B aplicando el teorema general de la energa, tenemos:

EpEcWFNC

El trabajo de las fuerzas no conservativas es el de las fuerzas debidas a las presiones F1 (p1 ) realiza un trabajo positivo pues favorece el movimiento y F2 (p2 ) realiza un trabajo negativo pues se opone al movimiento:

dVppdlSpdlSpdlFdlFWFNC )( 212221112211

La energa cintica (potencial) del fluido comprendido entre A-B es la suma de la fluido entre A-A mas la del fluido entre A-B. La energa cintica (potencial) del fluido entre A y B es la suma de la del fluido entre A y B ms la del fluido entre B y B. Luego la variacin de energa cintica (potencial) entre ambas situaciones es la de B-B menos la A-A:

21

22

2

1

2

1vdVvdVEc ; 12 zgdVzgdVEp

EpEcWFNC 1221

2221

2

1

2

1)( zgdVzgdVvdVvdVdVpp

Ecuacin de Bernouilli: 22222111

2

1

2

1 vzgpvzgp ctevzgp 2

2

1

4.2.3.1. APLICACIONES DE LA ECUACIN DE BERNOULLI

Teorema de Torricelli:

Velocidad de salida v de un lquido por un pequeo orifico situado a una profundidad H de la

superficie libre del lquido: gHv 2

Tubo de Venturi: un tubo horizontal con igual altura z1 = z2 pero con distinta seccin S1 S2

222

211

2

1

2

1vpvp ; 2211 vSvS

Fuerza sustentadora de un avin. La forma del ala de un avin hace que el aire recorra ms espacio por la parte superior que por la inferior luego la velocidad del aire por la parte superior es mayor que en la parte inferior y por tanto la presin en la inferior es mayor que en la parte superior, el resultado es una fuerza dirigida hacia arriba que es la que sustenta el avin.

Efecto Magnus: denominado as en honor al fsico y qumico alemn Heinrich Gustav Magnus (1802-1870), es el nombre dado al fenmeno fsico por el cual la rotacin de un objeto afecta a la trayectoria del mismo a travs de un fluido, en particular, el aire. Es producto de varios fenmenos, incluido el principio de Bernoulli y el proceso de formacin de la capa lmite en el fluido situado alrededor de los objetos en movimiento. Este efecto fue descrito por primera vez por el fsico alemn Heinrich Magnus en 1853. Esto se comentar ms detalle cuando tratemos con fluidos viscosos.

v1

v2

A

p2

S1

S2

A

B B

F1

F2

p1

z2

z1

dl1

dl2


* Ver ejercicios 14, 15 y 16 de la Hoja de problemas para completar el estudio.

4.3. FLUIDOS VISCOSOS

Las fuerzas de presin entre dos partculas fluidas tienen un carcter repulsivo. La presin de una partcula de fluido empuja a las partculas vecinas siempre hacia fuera, de manera que cada porcin de fluido quiere alejar a las vecinas. Por otro lado, las paredes del recipiente que contiene las partculas de fluido impiden que las distintas porciones de fluido se alejen demasiado las una de las otras y eso produce que se muevan ms despacio. Por esta razn, se dice que las fuerzas de presin son desestabilizantes, al contrario de las fuerzas de viscosidad que tienden a estabilizar en el sentido que reducen al mximo la diferencia de velocidades entre partculas de fluidos vecinas. En funcin de esto, y tal como comentamos anteriormente, podemos distinguir entre dos tipos de regmenes: laminar y turbulento (es necesario que el fluido sea viscoso).

4.3.1. FLUJO TURBULENTO. NMERO DE REYNOLDS

La transicin de un rgimen a otro puede cuantificarse definiendo un nmero adimensional que se llama Nmero de Reynolds, que se define como:

ReL v Lv

donde L es la distancia caracterstica del problema, la densidad, v una velocidad

caracterstica y la viscosidad dinmica (que se mide en kg/ms) que se define como = , donde es la viscosidad cinemtica (en m2/s).

Por ejemplo, en una tubera, Re


4.3.2. FLUIDOS NEWTONIANOS

En un fluido newtoniano la fuerza de resistencia experimentada por una placa que se mueve, a

velocidad constante por la superficie de un fluido viene dada por:

0R

uF A

h

Donde FR es la fuerza cortante, A el rea del slido en contacto con el fluido y h altura del nivel del fluido. Este es un tipo caracterstico de fluidos viscosos, los que guardan esta relacin de proporcionalidad entre la tensin tangencial FR y la viscosidad del fluido.

En el caso de fluidos ideales, hemos visto que la ecuacin general que los gobierna es solucin de la Ecuacin de Euler por la que obtenemos la Ecuacin de Bernoulli. En el caso de un fluido real Newtoniano, la ecuacin general que la gobierna es la Ecuacin de Navier-Stokes.

4.3.3. ECUACIN DE NAVIER-STOKES

Es la ecuacin general que gobierna la dinmica de un fluido. Aplicando el mismo procedimiento que aplicamos para obtener la ecuacin de Euler, obtenemos:

+Du

p g uDt

Donde para el caso de viscosidad nula y fluido estacionario tenemos la ecuacin de Euler. Esta ecuacin no tiene solucin exacta salvo para algunos casos muy sencillos, como el visto anteriormente, y hay que recurrir a mtodos numricos para su resolucin.


Para el caso general, la ecuacin de continuidad, puede escribirse de la forma:

0u

En la ecuacin de Navier-Stokes, el cociente entre la fuerza de inercia y la fuerza viscosa es lo que hemos definido antes como nmero de Reynolds, que es el indicador cuantitativo de una situacin de flujo laminar o turbulento.

* Ver ejercicio 17 de la Hoja de problemas para completar el estudio.

4.3.4. MOVIMIENTO DE UNA PARTCULA EN EL SENO DE UN FLUIDO VISCOSO

Bien es sabido que el movimiento de un objeto que cae bajo la accin de la gravedad en ausencia de rozamiento es un movimiento rectilneo con aceleracin constante igual a g=9,8 m/s2.

Pero no podemos olvidar que el aire, con quien est en contacto el objeto durante su cada, es un fluido viscoso, que ejerce una fuerza de arrastre sobre el objeto que es una funcin de la velocidad Fa=f(v). Tpicamente, esta relacin es polinmica, y en el caso de velocidades bajas (nmero de Reynolds Re


En el caso de la semejanza dinmica, las fuerzas correspondientes han de ser la misma. Ello nos lleva a que los nmeros de Reynolds respectivos han de ser iguales. Si a y b son los dos modelos (el hecho a escala y el real) se debe cumplir que:

(Fi/Fv)a=(Fi/Fv)b, por lo que los nmeros de Reynolds han de ser iguales, o sea: Rea=Reb

* Ver ejercicio 10 de la Hoja de problemas.

Ejercicio Final: Como aplicacin de todo lo visto en clase, resolver el ejercicio 11 de la Hoja de problemas en el que se disea un viscosmetro para calcular la viscosidad de un lquido.

5. CONCLUSIN

Se ha presentado un resumen de los conceptos bsicos y las ideas principales para poder abordar el estudio de la Mecnica de Fluidos y la Hidrulica de cara a las distintas aplicaciones que el estudiante tenga que afrontar durante su Mster y posterior formacin. Se han introducido los conceptos bsicos que nos han servido para estudiar, a nivel muy bsico, los fluidos ideales y los fluidos viscosos as como los distintos regmenes a los que pueden moverse. Se han visto algunas aplicaciones en Hidrulica, Modelos a Escala, Viscosmetros, etc. y a lo largo del mdulo se han realizado ejercicios aclaratorios sobre los distintos puntos tratados. Para mayor detalle de cada punto, puede consultarse la bibliografa indicada a continuacin.

*Para un repaso general del mdulo, hagan ejercicios 1, 4 y 6 de la Hoja de problemas.

6. REFERENCIAS BIBLIOGRFICAS

OHANIAN, HANS C. (2009). Fsica para la ciencia y la ingeniera. Mxico. Addison-Wesley.

SMITS, ALEXANDER J. (2000). A physical introduction to Fluid Mechanics. EEUU. John Wiley & Sons.

GUYON, E. (2001). Physical Hydrodynamics. UK. Oxford University Press.

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