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CAPÍTULO

2Ecuaciones diferenciales de primer orden

1

2.3 Ecuaciones diferenciales lineales

� Una ecuación diferencial lineal no homogénea de primer orden es de la forma

a0.x/dy

dxC a1.x/y D g.x/; donde a0.x/ ¤ 0 :

� Una ecuación diferencial lineal homogénea de primer orden es de la forma

a0.x/dy

dxC a1.x/y D 0; donde a0.x/ ¤ 0 :

Ejemplo 2.3.1 Las siguientes ecuaciones diferenciales son lineales no homogéneas:

1. xy 0 � y D x2.

2. y2x 0 C 2yx D 3y.

3. .2y C 1/ dx C .y2x � y � x/ dy D 0.

H

1. Tenemos a0.x/ D x, a1.x/ D �1 & g.x/ D x2.

La variable independiente es x; la variable dependiente es y.

2. Tenemos a0.y/ D y2, a1.y/ D 2y & g.y/ D 3y.

La variable independiente es y; la variable dependiente es x.

1canek.azc.uam.mx: 20/ 1/ 2009

1

2 Ecuaciones diferenciales ordinarias

3. Hagamos algunas operaciones:

.2y C 1/ dx C .y2x � y � x/ dy D 0 ) .2y C 1/dx

dyC y2x � y � x D 0 )

) .2y C 1/dx

dyC y2x � x D y )

) .2y C 1/dx

dyC .y2 � 1/x D y

Tenemos a0.y/ D 2y C 1, a1.y/ D y2 � 1 & g.y/ D y.

La variable independiente es y; la variable dependiente es x.

�

Ejemplo 2.3.2 Las siguientes ecuaciones diferenciales son lineales homogéneas:

1. xy 0 � y D 0.

2. y2x 0 C 2yx D 0.

3. .2x C 5/y 0 C .x2 � 5/y D 0.

Solución de la ecuación diferencial lineal homogénea de primer orden

Vamos a utilizar dos procedimientos.

1. Primer procedimiento.

La ecuación diferencial a0.x/dy

dxC a1.x/y D 0 es separable. En efecto:

a0.x/dy

dxC a1.x/y D 0 ) a0.x/

dy

dxD �a1.x/y )

)dy

dxD �

a1.x/

a0.x/y )

dy

yD �

a1.x/

a0.x/dx )

)dy

yD �p.x/ dxI donde p.x/ D

a1.x/

a0.x/con a0.x/ ¤ 0 :

Integramos∫

dy

yD �

∫

p.x/ dx ) ln j y j D �

∫

p.x/ dx C C )

j y j D e�R

p.x/ dxCC ) j y j D e�R

p.x/ dx eC )

) y D Ce�R

p.x/ dx I donde C es arbitrario.

Ejemplo 2.3.3 Resolver

xdy

dxC x3y D 0; x ¤ 0 :

H Separamos las variables:

xdy

dxC x3y D 0 ) x

dy

dxD �x3y )

)dy

yD �x2 dx :

2.3 Ecuaciones diferenciales lineales 3

E integramos

∫

dy

yD �

∫

x2 dx ) ln j y j D �x3

3C C )

) j y j D e�

x3

3CC

) j y j D eC e�

x3

3 )

y D Ce�

x3

3 :

�

2. Segundo procedimiento.

Primero dividimos entre a0.x/:

a0.x/dy

dxC a1.x/y D 0 )

dy

dxC

a1.x/

a0.x/y D 0 )

dy

dxC p.x/y D 0 )

) y 0 C py D 0 :

Como antes denotamos p.x/ Da1.x/

a0.x/. Con la restrición a0.x/ ¤ 0.

Vamos a hacer las siguientes consideraciones:

a. Calculamos �.x/ D eR

p.x/ dx .Sabemos que

d�

dxD e

R

p.x/ dx d

dx

�∫

p.x/ dx

�

D eR

p.x/ dx � p.x/ D �p :

es decir� 0 D �p :

b. Por otro ladod

dx.�y/ D �

dy

dxC y

d�

dxD �

dy

dxC y�p D �

�

dy

dxC py

�

:

Igualdad que escribimos como

.�y/ 0 D �.y 0 C py/ : (*)

� Para resolver la ecuación diferencial y 0 C py D 0:

+ Multiplicamos la ecuación diferencial por la función �.x/ D eR

p.x/ dx .

�.y 0 C py/ D 0 :

+ Aplicamos la igualdad anterior (*/.�y/ 0 D 0 :

+ Entonces.�y/ 0 D 0 ) �y D C :

+ Despejamos la variable y

y DC

�) y D Ce�

R

p.x/ dx :

La función �.x/ se ha utilizado como factor para poder efectuar la integración y resolver laecuación diferencial. Por esta razón se dice que �.x/ es un factor integrante de la ecuación dife-rencial.


Ejemplo 2.3.4 Resolver

xdy

dxC x3y D 0, con x ¤ 0 :

H

a. Dividimos entre x, (x ¤ 0):dy

dxC x2y D 0 :

Vemos que p.x/ D x2.

b. Calculamos el factor integrante �.x/

� D eR

p.x/ dx ) � D eR

x2 dx D ex3

3 :

c. Multiplicamos por � la ecuación diferencial y aplicamos la igualdad:

ex3

3�

y 0 C x2y�

D 0 )�

ex3

3 y

� 0

D 0 :

d. Integramos

ex3

3 y D C ) y D Ce�x3

3 :

�

Solución de la ecuación diferencial lineal no homogénea de primer orden

1. Dividimos la ecuación entre a0.x/

a0.x/dy

dxC a1.x/y D g.x/ )

dy

dxC

a1.x/

a0.x/y D

g.x/

a0.x/)

dy

dxC p.x/y D f .x/ :

Estamos usando p.x/ Da1.x/

a0.x& f .x/ D

g.x/

a0.x/; con a0.x/ ¤ 0.

2. Calculamos el factor integrante �.x/:�.x/ D e

R

p.x/ dx :

3. Multiplicamos la ecuación diferencial por la función �.x/.

�.y 0 C py/ D �f :

4. Aplicamos la igualdad conocida.�y/ 0 D �f :

5. Integramos∫

.�y/ 0 dx D

∫

�f dx ) �y D

∫

�f dx C C :

6. Despejamos la variable y

y D1

�

∫

�f dx CC

�:

Hemos obtenido así la fórmula general de la solución de la ecuación diferencial lineal no homogénea:

y D e�R

p.x/ dx

∫

eR

p.x/ dx f .x/ dx C Ce�R

p.x/ dx :


Ejemplo 2.3.5 Resolver la ecuación diferencial

y 0 � y D 5 :

H

1. En este caso p.x/ D �1, f .x/ D 5.

2. Calculamos el factor integrante

�.x/ D eR

p.x/ dx D eR

.�1/ dx D e�x :

3. Multiplicamos la ecuación diferencial por � y usamos la igualdad conocida:

�.y 0 C py/ D �f ) .�y/ 0 D �f ) .e�xy/ 0 D e�x5 :

4. Integramos y despejamos la solución∫

.e�xy/ 0 dx D

∫

e�x5 dx ) e�xy D �5e�x C C ) y D �5 C Cex :

�


y 0 � xy D 5x :

H

1. En este caso p.x/ D �x, f .x/ D 5x.


�.x/ D eR

p.x/ dx D eR

.�x/ dx D e�

x2

2 :

3. Multiplicamos la ecuación diferencial por � y usamos la igualdad conocida

.�y/ 0 D �f )�

e�x2

2 y

� 0

D e�x2

2 5x :

4. Integramos y despejamos la solución

∫

�

e�

x2

2 y

� 0

dx D

∫

e�

x2

2 5xdx ) e�

x2

2 y D �5e�

x2

2 C C ) y D �5 C Cex2

2 :

�


xy 0 C y D 5x3; x > 0 :

H

1. Dividimos entre x:

y 0 C1

xy D 5x2; x > 0 :

2. En este caso p.x/ D1

xy f .x/ D 5x2.



�.x/ D eR

p.x/ dx D eR

�

1x

�

dxD eln x D x :


.�y/ 0 D �f ) .xy/ 0 D 5x3 :


xy D

∫

5x3 dx ) xy D5

4x4 C C ) y D

5

4x3 C

C

x:

�


.100 C 2t/y 0 C y D 7.100 C 2t/; con .100 C 2t/ > 0 :

H

1. Dividimos entre (100 + 2t):

y 0 C1

100 C 2ty D 7; .100 C 2t/ > 0 :

2. En este caso p.t/ D1

100 C 2ty f .t/ D 7.


�.t/ D eR

p.t/ dt D eR

�

1100C2t

�

dtD e

12

ln.100C2t/ D eln.100C2t/

12

D .100 C 2t/12 :


.�y/ 0 D �f )

[

.100 C 2t/12 y

] 0

D 7.100 C 2t/12 :


.100C2t/12 y D 7

∫

.100C2t/12 dt ) .100C2t/

12 y D

7

2

.100 C 2t/32

32

CC ) y D7

3.100C2t/C

C

.100 C 2t/12

:

�

Ejemplo 2.3.9 Resolver:

x2y 0 C 3xy Dsen x

x

H Dividiendo por x2:

y 0 C3

xy D

sen x

x3(A)

∫

p.x/ dx D

∫

3

xdx D 3 ln x D ln x3


El factor integrante es:

�.x/ D eR

p.x/ dx D eln x3

D x3

Multiplicando (A) por �.x/ D x3

x3

[

y 0 C3

xy

]

D x3 sen x

x3

Œx3y� 0 D sen x

x3y D

∫

sen x dx D � cos x C c; c constante

Entonces:

y Dc � cos x

x3solución general

�

Ejemplo 2.3.10 Resolver:.cos x/y 0 C .sen x/y D x.sen 2x/ cos x

H Dividiendo por cos x:

y 0 Csen x

cos xy D

x.sen 2x/ cos x

cos x

y 0 Csen x

cos xy D x.sen 2x/ (B)

∫

p.x/ dx D

∫

sen x

cos xdx D � ln.cos x/ D ln.cos x/�1


�.x/ D eR

p.x/ dx D eln.cosx/�1

D .cos x/�1 D1

cos x

Multiplicando (B) por �.x/:

1

cos x

[

y 0 Csen x

cos xy]

D1

cos xx sen 2x

[

1

cos xy

] 0

D2x sen x cos x

cos xD 2x sen x

1

cos xy D

∫

2x sen x dx

Integrando por partes:

1

cos xy D �2x cos x C 2 sen x C C , C constante.

y D �2x cos2x C 2 sen x cos x C C cos x

Solución general:

y D �2x cos2x C sen 2x C C cos x

�


Ejemplo 2.3.11 Resolver :x 0 C 2yx D y; lineal para x en función de y.

H

∫

p.y/ dy D

∫

2y dy D y2


�.y/ D eR

p.y/ dy D ey2

Multiplicando por �.y/ D ey2

:

ey2

Œx 0 C 2yx� D yey2

Œey2

x� 0 D yey2

ey2

x D

∫

yey2

dy D1

2ey2

C C

Solución general:

x D1

2C Ce�y2

�

Ejemplo 2.3.12 Resolver:dy

dxD

1

ey � x

H Considerando a y en función de x, esta ecuación diferencial ordinaria es no-lineal; pero si consideramosa x en función de y se tiene que

.ey � x/dy

dxD 1 ) ey � x D

dx

dy)

x 0 C x D ey

Que es lineal.

∫

p.y/ dy D

∫

dy D y


�.y/ D ey

Entonces:

ey Œx 0 C x� D eyey

Œeyx� 0 D e2y ) eyx D

∫

e2y dy

eyx D1

2e2y C c )


Solución general:

x D1

2ey C ce�y

�

Ejemplo 2.3.13 Resolver:y 0

x� 2y D x2e�x2

I y.0/ D 1

H Multiplicando por x:

y 0 � 2xy D x3e�x2

(D)∫

p.x/ dx D �2

∫

x dx D �x2


�.x/ D eR

p.x/ dx D e�x2

Multiplicando (D) por �.x/ se obtiene:

e�x2

Œy 0 � 2xy� D x3e�x2

e�x2

Œe�x2

y� 0 D x3e�x2

e�x2

y D

∫

x3e�2x2

dx D

∫

x2e�2x2

x dx

Integrando por partes:

e�x2

y D �1

4x2e�2x2

C1

2

∫

e�2x2

x dx

ex2

y D �1

4x2e�2x2

C1

2

(

�1

4

)

e�2x2

C C

y D �1

4e�2x2

(

x2 C1

2

)

ex2

C C ex2

Solución general:

y D �1

4

(

x2 C1

2

)

e�x2

C C ex2

�

Ejercicios 2.3.1 Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales:

1. y 0 C 100y D 0

2. x 0 � 10x D 0

3. 2z 0 � xz D 0

4. xy 0 � 10y D 0; con x > 0

5. .500 � t/S 0 C 4S D 0I con .500 � t/ > 0


6. .100 C 3t/A 0 C A D 10I con .100 C 3t/ > 0

7. y 0 C .cot x/y D 2 csc x; y(�

2

)

D 1

8. .2x C 5/dy

dxC 10y D 10.2x C 5/I y.0/ D 0

9. .x2 C 1/dy

dxC 3xy D 6x

10. xy 0 C .2x � 3/y D 4x4

11. xy 0 D 2y C x2

12. y 0cos.x/ C ysen.x/ � 1 D 0

13. x2y 0 C 2xy D x � 1

14. .y � 1/x 0 � x D y.y � 1/2

15. xexy 0 C .x C 1/exy D 1

16. y2dx C .3xy � 4y3/dy D 0

17. .x2 C 1/dx D .x3 � 2xy C x/; con y.1/ D 1

18. .y2 C 1/dx D .1 C xy/dy; con x.1/ D 0

19. y 0cos.x/ C ysen.x/ � cos3.x/ D 0; con y.0/ D �1

20. Ly 0 C Ry D E sen wx; y.0/ D 0

Donde L, R, E , w son constantes positivas.

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