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Potencias y raíz cuadrada 1 Potencias de exponente natural mayor que 1 IMAGEN FINAL En la expresión 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 se repite el mismo factor 14 veces. Para abreviar escribimos: 3 · 3 · 3 ·3 · 3 · 3 ·3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 3 14 3 14 es una potencia de base 3 y exponente 14: 3 14 base exponent e 3 14 = 4.782.969 La base es el factor que se repite. El exponente indica el número de veces que se repite 23 4 = 23 · 23 · 23 · 23 23 cuatro veces Las potencias de exponente 2 se llaman cuadrados: 5 2 es el cuadrado de 5. Las potencias de exponente 3 se llaman cubos: 10 3 es el cubo de 10. 10 3 = 1000 Otros ejemplos: (a) 2 ·2 · 2 ·2 · 2 ·2 · 2 ·2 · 2 ·2 = 2 10 = 1.024 (b) 6 5 = 6 · 6 · 6 · 6 · 6

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Page 1: Potencias y raíz cuadrada 1 Potencias de exponente natural mayor que 1 IMAGEN FINAL En la expresión 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3

Potencias y raíz cuadrada 1

Potencias de exponente natural mayor que 1

IMAGEN FINAL

En la expresión 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 se repite el mismo factor 14 veces.

Para abreviar escribimos:

3 · 3 · 3 ·3 · 3 · 3 ·3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 314

314 es una potencia de base 3 y exponente 14: 314

baseexponente

314 = 4.782.969

La base es el factor que se repite.

El exponente indica el número de veces que se repite

234 = 23 · 23 · 23 · 23

23 cuatro veces

Las potencias de exponente 2 se llaman cuadrados: 52 es el cuadrado de 5.

Las potencias de exponente 3 se llaman cubos: 103 es el cubo de 10. 103 = 1000

Otros ejemplos:

(a) 2 ·2 · 2 ·2 · 2 ·2 · 2 ·2 · 2 ·2 = 210 = 1.024 (b) 65 = 6 · 6 · 6 · 6 · 6

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Potencias y raíz cuadrada 2

Potencias de base un número negativo

IMAGEN FINAL

Si la base es un número negativo:

Las potencias de base negativa y exponente impar son negativas.

Otros ejemplos:

(–3) · (–3) · (–3) · (–3) = (–3)4 = 81

Pero (–3) · (–3) · (–3) · (–3) · (–3) = (–3)5 = –243

Si el exponente es 4, resulta un número positivo porque hay un número par de signos negativos. Recuerda que (–) · (–) = +

y que (–) · (–) · (–) = (–) Si el exponente es 5, resulta un número negativo porque hay un número impar de signos negativos.

Las potencias de base negativa y exponente par son positivas.

En general:

Son positivas: (a) (–2)6 = 64 (b) (–4)2 = 16(c) (–1)·(–1)·(–1)·(–1)·(–1)·(–1) )·(–1)·(–1) = (–1)8 = 1

Son negativas: (a) (–2)5 = –32 (b) (–4)3= –64(c) (–1)·(–1)·(–1)·(–1)·(–1 )·(–1)·(–1) = (–1)7 = –1

¡Cuidado!(–5)2 = 25, pero

–52 = –25

Un número positivo.

Un número negativo.

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Potencias y raíz cuadrada 3

Potencia de un producto

IMAGEN FINAL

En la expresión

Otros ejemplos:

(3 · 2 · 5)3

Puede hacerse de dos modos:

La potencia de un producto es igual al producto de las potencias de los factores.

(b) (5 · (–4))3 = 53 · (–4)3

la base de la potencia es un producto.

es la potencia de un producto

Modo 1º Efectuando antes el producto de la base y después la potencia:

= 303

Modo 2º Repitiendo la base tantas veces como indica el exponente:

(3 · 2 · 5)3

= (3 · 2 · 5) · (3 · 2 · 5) · (3 · 2 · 5) = (3 · 3 · 3) · (2 · 2 · 2) · (5 · 5 · 5) =

(3 · 2 · 5)3

32 · 22 · 52

Luego, (3 · 2 · 5)3 = 32 · 22 · 52

27.000

= 42 · 82 = (–20)3

(c) (2+3)3 = 53 = 125, pero 23 + 33 = 8 + 27 = 35

¡Ojo!Es falso que

(2+3)3 = 23 + 33

(a) (4 · 8)2 = 322 = 1024

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Potencias y raíz cuadrada 4

Potencia de un cociente

IMAGEN FINAL

En la expresión

Otros ejemplos:

(32 : 8)3

Puede hacerse de dos modos:

La potencia de un cociente es igual al cociente de la potencia del dividendo y de la potencia del divisor.

(b) [(–15) : 3)3 = (–5)3 = –125

la base de la potencia es un cociente.

es la potencia de un cociente

Modo 1º Efectuando primero el cociente de la base y después la potencia:

= 43

Modo 2º Repitiendo la base tantas veces como indica el exponente:

(32 : 8)3

(32 : 8)3

Luego, (32 : 8)3 = 323 : 83

(c) (32 – 8)3 = 243 = 13824, pero 323 – 83 = 32768 – 512 = 32256

(a) (6 : 2)4 = 34 = 81

3

3

8

32

8·8·8

32·32·32

8

32·

8

32·

8

32

64

64512

32768

8116

1296

2

6

2

64

44

O también:

12527

3375

3

)15(

3

153

33

O también:

¡Ojo! Es falso que (32 – 8)3 = 323 – 83

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Potencias y raíz cuadrada 5

Producto de potencias de la misma base

IMAGEN FINAL

Los factores del producto

Ejemplos:

42 · 45 · 43

Puede hacerse de dos modos:

El producto de potencias de la misma base es igual a una potencia con la misma base, y de exponente la suma de los exponentes de los factores.

2. En forma de potencia, la expresión: (a) 9 · (–3)3 · (–3)

son potencias que tienen la misma base.

Modo 1º Directamente, multiplicando: = 16 · 1024 · 64 = 1048576

Modo 2º Escribiendo cada potencia como producto y agrupar después:

42 · 45 · 43

= (4 ·4) · (4 · 4 · 4 · 4 · 4) · (4 ·4 ·4) =42 · 45 · 43 42+5+3 = 410

Luego, 42 · 45 · 43 = 42+5+3

1. (–2)4 · (–2) · (–2)2 = (–2)4+1+2 = (–2)7 = –128, utilizando la propiedad vista.

Es un producto de potencias de la misma base

2, 5 y 3 factores

–2 = (–2)1 o 61 = 6

También es igual a: 16 · (–2) · 4 = –128, haciendo los productos de las potencias.

= (–3)2 · (–3)3 · (–3) = (–3)6

Igualmente: (b) 16 · (–2)3 = (–2)4 · (–2)3 = (–2)7

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Potencias y raíz cuadrada 6

Cociente de potencias de la misma base

IMAGEN FINAL

El dividendo y el divisor de

Ejercicio:

65 : 63

Puede hacerse de dos modos:

El cociente de dos potencias de la misma base es una potencia con la misma base, y con exponente la diferencia entre los exponentes del dividendo y del divisor.

son potencias de la misma base

Modo 1º Calculando las potencias y dividiendo:

Modo 2º Desarrollando las potencias y simplificando:

65 : 63

(a) 27 : 24 = 27–4 = 23

Es un cociente de potenciasde la misma base

36216

7776

6

63

5

2523

5

666·66·6·6

6·6·6·6·6

6

6 65 : 63 = 65–3

Caso: El cociente 54 : 54 = 1Pero si aplicamos la propiedad 54 : 54 = 54–4 = 50

Se admite que:50 = 1; (–7)0 = 1

Escribe en forma de potencia: (a) 27 : 24 (b) (–5)6 : (–5)3

(b) (–5)6 : (–5)3 = (–5)6-3 = (–5)3

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Potencias y raíz cuadrada 7

Potencia de una potencia

IMAGEN FINAL

La expresión (52)4 es una potencia cuya base es otra potencia.

Ejercicios

Puede hacerse de dos modos:

La potencia de una potencia es igual a otra potencia con la misma base, y de exponente el producto de exponentes.

Modo 1º Directamente, haciendo la potencia de la potencia:

Modo 2º Escribiendo como producto de potencias y agrupar después:

(52)4 = 52 ·52 · 52 · 52 = 52+2+2+2 = 52 · 4 = 58 (52)4 = 52 · 4

1. Calcula: [(–2)4]2

Se llama potencia de una potencia

(52)4 = (25)4 = 390625

[(–2)4]2 = (–2)4·2 = (–2)8 = 64

2. Calcula: [(35)4]2 [(35)4]2 = 35·4·2 = 340

340 es un número enorme: tiene

20 cifras.

3. Calcula: {[(–1)3]9}7 {[(–1)3]9}7 = (–1)3·9·7 = (–1)189 = –1

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Potencias y raíz cuadrada 8

Cuadrados perfectos

IMAGEN FINAL

Cuadrado de lado 1: 1 ficha cuadrada

Cuadrado de lado 2: 4 fichas cuadradas

Cuadrado de lado 3: 9 fichas

Cuadrado de lado 4: 16 fichas

Cuadrado de lado 5: 25 fichas

12 = 1

22 = 4

32 = 9

42 = 16

52 = 25

A los números: 1, 4, 9, 16, 25, 36, … se les llama cuadrados perfectos

Los cuadrados perfectos se obtiene elevando al cuadrado los números naturales: 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...

100, 144 y 10000 son cuadrados perfectos, pues: 100 = 102, 144 = 122, 10000 = 1002

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Potencias y raíz cuadrada 8

Cuadrados perfectos

IMAGEN FINAL

Cuadrado de lado 1: 1 ficha cuadrada

Cuadrado de lado 2: 4 fichas cuadradas

Cuadrado de lado 3: 9 fichas

Cuadrado de lado 4: 16 fichas

Cuadrado de lado 5: 25 fichas

12 = 1

22 = 4

32 = 9

42 = 16

52 = 25

A los números: 1, 4, 9, 16, 25, 36, … se les llama cuadrados perfectos

Los cuadrados perfectos se obtiene elevando al cuadrado los números naturales: 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...

100, 144 y 10000 son cuadrados perfectos, pues: 100 = 102, 144 = 122, 10000 = 1002

Page 10: Potencias y raíz cuadrada 1 Potencias de exponente natural mayor que 1 IMAGEN FINAL En la expresión 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3

Potencias y raíz cuadrada 9

Raíz cuadrada exacta

IMAGEN FINAL

Sabemos que los números: 1, 4, 9, 16, 25, 36, … son los cuadrados perfectos de los números naturales 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...

También se dice que 1, 2, 3, 4, 5, 6, … son la raíz cuadrada de los números: 1, 4, 9, 16, 25, 36, … respectivamente.

Se escribe así:

11 24 39 416 525

Raíz cuadrada exacta de número es otro número que elevado al cuadrado es igual al número dado.

La raíz cuadrada es la operación opuesta de

elevar al cuadrado

Ejemplos:

1º. Como 100 = 102, se cumple que 10010 .10000100y 1412 pues ,10010000y 12144 22 2º.

3º. Ten en cuenta: Como 36 = 62 = (–6)2, 6 y –6 son raíces cuadradas de 36.

Page 11: Potencias y raíz cuadrada 1 Potencias de exponente natural mayor que 1 IMAGEN FINAL En la expresión 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3

Potencias y raíz cuadrada 9

Raíz cuadrada exacta

IMAGEN FINAL

Sabemos que los números: 1, 4, 9, 16, 25, 36, … son los cuadrados perfectos de los números naturales 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...

También se dice que 1, 2, 3, 4, 5, 6, … son la raíz cuadrada de los números: 1, 4, 9, 16, 25, 36, … respectivamente.

Se escribe así:

11 24 39 416 525

Raíz cuadrada exacta de número es otro número que elevado al cuadrado es igual al número dado.

La raíz cuadrada es la operación opuesta de

elevar al cuadrado

Ejemplos:

1º. Como 100 = 102, se cumple que 10010 .10000100y 1412 pues ,10010000y 12144 22 2º.

3º. Ten en cuenta: Como 36 = 62 = (–6)2, 6 y –6 son raíces cuadradas de 36.

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Potencias y raíz cuadrada 11

Cálculo de la raíz cuadrada por aproximaciones (I)

IMAGEN FINAL

Paso 1º: Determinar el número de cifras de la raíz cuadrada del número dado.

Así, por ejemplo:

11 Observa: 10100 10010000 10001000000

1 cifra 2 cifras 3 cifras 4 cifras

1 y 100 tendrá 1 cifra

100 y 10000 tendrá 2 cifras

10000 y 1000000 tendrá 3 cifras

La raíz cuadrada de cualquier número

comprendido entre:

95 tendrá 1 cifra324 tendrá 2 cifras

39827 tendrá 3 cifras8924 tendrá 2 cifras

De otra manera:

Para averiguar el número de cifras de la raíz cuadrada de un número, basta con formar grupos de dos cifras, empezando por la derecha (el último grupo puede estar formado por una sola cifra). La raíz cuadrada tendrá tantas cifras como grupos se hayan formado.

entreentre

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Potencias y raíz cuadrada 12 Números 2001 - Matemáticas 1º ESO

Cálculo de la raíz cuadrada por aproximaciones (II)

IMAGEN FINAL

Paso 2º: Buscar dos cuadrados perfectos entre los cuales esté el número dado.

Por ejemplo: 12824 Tendrá 3 cifras: será un número entre 100 y 1.000.

Otro ejemplo:

Como 1002 = 10.000 < 12.824 < 40.000 = 2002

3456 (tendrá 2 cifras)

20012824100 · Para determinar la cifra de las decenas calculamos los cuadrados de 110, 120, 130, etc.

Como 1102 = 12.100 y 1202 = 14.400, 12.100 < 12.834 < 14.400 12012824110 · Para determinar la cifra de las unidades calculamos los cuadrados de 111, 112, 113, etc.

Como: 1112 = 12.321 < 12.834, 1122 = 12.544 < 12.834, 1132 = 12.769 < 12.834, 1142 = 12.996 > 12.834

11412824113

Luego, 11312824 (con resto 55, pues 12.824 – 1132 = 55).

Probamos con 402, 502, 602, etc.402 = 1600 502 = 2500 602 = 3600

Calcula por aproximación 3456

Luego, 60345650 Haciendo los cuadrados de 51, 52, …, se observa que: 92. resto ,583456

3456

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Potencias y raíz cuadrada 13

Regla para el cálculo de la raíz cuadrada (I)

IMAGEN FINAL

La regla tradicional para el cálculo de la raíz entera de un número requiere una organización específica que indicamos a continuación.

Para calcular la raíz de un número, por ejemplo

118527

1º. Se divide el radicando en grupos de dos cifras, empezando por la derecha.

27 85 11

2º. Se trazan líneas que faciliten la aplicación de la regla.

3º. Esta regla tiene pasos parecidos a los empleados en la división; también se restará y se bajarán cifras, pero en este caso por grupos de dos

4º. El último paso consistirá en la comprobación: en la prueba de la radicación:

27 85 11 Lugar para la raíz

Espacio parapruebas y tanteos

Espacioparaoperar

resto

118527 = (raíz)2 + resto

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Potencias y raíz cuadrada 14

Regla para el cálculo de la raíz cuadrada (II)

IMAGEN FINAL

Calculemos 118527 1º. Se calcula la raíz cuadrada del primer grupo de cifras: de 11. Es 3

2º. Se hace el cuadrado de 3 y se resta al primer grupo: a 11

11º. Se hace la prueba:

27 85 11

3442 + 191 = 118336 + 191 = 118527

3º. Se baja el segundo grupo de cifras: 85

9º. Se resta 2927 – 2736

4º. Se toma el doble de 3 que es 6: a su izquierda se coloca otro número (6d), de modo que (6d·d), dé un número lo más próximo a 285, sin superarlo

7º. Se baja el tercer grupo de cifras: 27

5º. Se resta 285 – 256.

Ese número es 4: 64 · 4 = 256

6º. El número d (4) se coloca a la derecha del 3: 34

8º. Se toma el doble de 34, 68, y se procede como en 4ºEse nuevo d vale también 4. Se multiplica: 684 · 4 = 2736.

10º. La cifra 4 se coloca a la derecha de 34: 3 4 4

El número 191 es el resto de la raíz.

Por tanto, 191 es resto ely ,344118527

3

27

–9

22 85

4

6

6864 · 4 = 256

–2 56

29

684 · 4 = 2736

–27 36

191

4

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Potencias y raíz cuadrada 16

Resolución de problemas

IMAGEN FINAL

Tantear para comprender mejorPrimero:

Problema: Se colocan fichas en filas y en columnas de modo que formen el mayor cuadrado posible. Quedan sin colocar 43 fichas. Si se tuviera 22 fichas más se podría formar un cuadrado sin que sobrara ninguna ficha. ¿Cuántas fichas hay?

Hacer un dibujoSegundo:

Comprobación.Tercero:

Si a 1067 se le suman 22: 1067 + 22 = 1089, que es igual a 332.

Luego no puede haber 827. El número 28 no es válido.

Si ese número fuese 28, se tendría: 282 + 43 = 784 + 43 = 827. Observamos que el número de fichas debe ser un cuadrado perfecto más 43 ( fichas sobrantes).

Con las fichas que sobran y faltan (43 + 22 = 65), completaríamos un cuadrado de lado 1 unidad mayor.

Sumando a ese número 22 (las fichas que faltan) deberá dar otro cuadrado perfecto. Pero, 827 + 22 = 849 no lo es.

Sobran 43

Faltan 22Luego 64, que es 65 – 1, es el doble del lado. (Quitamos 1 por que se repite.)

El lado valdrá la mitad de 64: 32. El número de fichas será: 322 + 43 = 1067.