Potencias y raz cuadrada1Potencias de exponente natural mayor que 1IMAGEN FINALEn la expresin 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 se repite el mismo factor 14 veces.Para abreviar escribimos:3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 = 314314 es una potencia de base 3 y exponente 14: 314314 = 4.782.969La base es el factor que se repite.El exponente indica el nmero de veces que se repite234 = 23 23 23 23 Las potencias de exponente 2 se llaman cuadrados: 52 es el cuadrado de 5.Las potencias de exponente 3 se llaman cubos: 103 es el cubo de 10.103 = 1000Otros ejemplos:(a) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2= 210 = 1.024(b) 65= 6 6 6 6 6

Potencias y raz cuadrada2Potencias de base un nmero negativoIMAGEN FINALSi la base es un nmero negativo:Las potencias de base negativa y exponente impar son negativas.Otros ejemplos:(3) (3) (3) (3) = (3)4 = 81Pero(3) (3) (3) (3) (3) = (3)5 = 243Si el exponente es 4, resulta un nmero positivo porque hay un nmero par de signos negativos. Recuerda que () () = + y que () () () = () Si el exponente es 5, resulta un nmero negativo porque hay un nmero impar de signos negativos. Las potencias de base negativa y exponente par son positivas.En general:Son positivas:(a) (2)6 = 64(b) (4)2 = 16(c) (1)(1)(1)(1)(1)(1) )(1)(1) = (1)8 = 1Son negativas:(a) (2)5 = 32(b) (4)3= 64(c) (1)(1)(1)(1)(1 )(1)(1) = (1)7 = 1Cuidado!(5)2 = 25, pero 52 = 25

Potencias y raz cuadrada3Potencia de un productoIMAGEN FINALEn la expresinOtros ejemplos:(3 2 5)3Puede hacerse de dos modos:La potencia de un producto es igual al producto de las potencias de los factores.(b) (5 (4))3 = 53 (4)3la base de la potencia es un producto.es la potencia de un productoModo 1Efectuando antes el producto de la base y despus la potencia:= 303 Modo 2Repitiendo la base tantas veces como indica el exponente:(3 2 5)3= (3 2 5) (3 2 5) (3 2 5) = (3 3 3) (2 2 2) (5 5 5) =(3 2 5)3 32 22 52Luego,= 42 82= (20)3(c) (2+3)3 = 53 = 125, pero 23 + 33 = 8 + 27 = 35 (a) (4 8)2 = 322 = 1024

Potencias y raz cuadrada4Potencia de un cocienteIMAGEN FINALEn la expresinOtros ejemplos:(32 : 8)3Puede hacerse de dos modos:La potencia de un cociente es igual al cociente de la potencia del dividendo y de la potencia del divisor.(b) [(15) : 3)3 = (5)3 = 125la base de la potencia es un cociente.es la potencia de un cocienteModo 1Efectuando primero el cociente de la base y despus la potencia:= 43 Modo 2Repitiendo la base tantas veces como indica el exponente:(32 : 8)3(32 : 8)3Luego,(32 : 8)3 = 323 : 83(c) (32 8)3 = 243 = 13824, pero 323 83 = 32768 512 = 32256 (a) (6 : 2)4 = 34 = 81Ojo! Es falso que (32 8)3 = 323 83

Potencias y raz cuadrada5Producto de potencias de la misma baseIMAGEN FINALLos factores del productoEjemplos:42 45 43Puede hacerse de dos modos:El producto de potencias de la misma base es igual a una potencia con la misma base, y de exponente la suma de los exponentes de los factores.2. En forma de potencia, la expresin: (a) 9 (3)3 (3)son potencias que tienen la misma base.Modo 1Directamente, multiplicando:= 16 1024 64 = 1048576 Modo 2Escribiendo cada potencia como producto y agrupar despus:42 45 43= (4 4) (4 4 4 4 4) (4 4 4) =42 45 43 42+5+3 = 410Luego,42 45 43 = 42+5+3 1. (2)4 (2) (2)2 = (2)4+1+2 = (2)7 = 128, utilizando la propiedad vista.Es un producto de potencias de la misma base2, 5 y 3 factores2 = (2)1 o 61 = 6Tambin es igual a: 16 (2) 4 = 128, haciendo los productos de las potencias. = (3)2 (3)3 (3) = (3)6Igualmente: (b) 16 (2)3 = (2)4 (2)3 = (2)7

Potencias y raz cuadrada6Cociente de potencias de la misma baseIMAGEN FINALEl dividendo y el divisor de Ejercicio:65 : 63Puede hacerse de dos modos:El cociente de dos potencias de la misma base es una potencia con la misma base, y con exponente la diferencia entre los exponentes del dividendo y del divisor.son potencias de la misma baseModo 1Calculando las potencias y dividiendo:Modo 2Desarrollando las potencias y simplificando:65 : 63(a) 27 : 24 = 274 = 23Es un cociente de potenciasde la misma base65 : 63 = 653Caso:El cociente 54 : 54 = 1Pero si aplicamos la propiedad 54 : 54 = 544 = 50Se admite que:50 = 1; (7)0 = 1Escribe en forma de potencia: (a) 27 : 24 (b) (5)6 : (5)3 (b) (5)6 : (5)3 = (5)6-3 = (5)3

Potencias y raz cuadrada7Potencia de una potenciaIMAGEN FINALLa expresin (52)4 es una potencia cuya base es otra potencia. EjerciciosPuede hacerse de dos modos:La potencia de una potencia es igual a otra potencia con la misma base, y de exponente el producto de exponentes.Modo 1Directamente, haciendo la potencia de la potencia:Modo 2Escribiendo como producto de potencias y agrupar despus:(52)4 = 52 52 52 52 = 52+2+2+2 = 52 4 = 58(52)4 = 52 4 1. Calcula: [(2)4]2Se llama potencia de una potencia (52)4 = (25)4 = 390625[(2)4]2 = (2)42 = (2)8 = 642. Calcula: [(35)4]2[(35)4]2 = 3542 = 340340 es un nmero enorme: tiene20 cifras.3. Calcula: {[(1)3]9}7{[(1)3]9}7 = (1)397 = (1)189 = 1

Potencias y raz cuadrada8Cuadrados perfectosIMAGEN FINALCuadrado de lado 1: 1 ficha cuadradaCuadrado de lado 2: 4 fichas cuadradasCuadrado de lado 3: 9 fichasCuadrado de lado 4: 16 fichasCuadrado de lado 5: 25 fichas12 = 122 = 432 = 942 = 1652 = 25A los nmeros: 1, 4, 9, 16, 25, 36, se les llama cuadrados perfectosLos cuadrados perfectos se obtiene elevando al cuadrado los nmeros naturales: 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...100, 144 y 10000 son cuadrados perfectos, pues: 100 = 102, 144 = 122, 10000 = 1002

Potencias y raz cuadrada8Cuadrados perfectosIMAGEN FINALCuadrado de lado 1: 1 ficha cuadradaCuadrado de lado 2: 4 fichas cuadradasCuadrado de lado 3: 9 fichasCuadrado de lado 4: 16 fichasCuadrado de lado 5: 25 fichas12 = 122 = 432 = 942 = 1652 = 25A los nmeros: 1, 4, 9, 16, 25, 36, se les llama cuadrados perfectosLos cuadrados perfectos se obtiene elevando al cuadrado los nmeros naturales: 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...100, 144 y 10000 son cuadrados perfectos, pues: 100 = 102, 144 = 122, 10000 = 1002

Potencias y raz cuadrada9Raz cuadrada exactaIMAGEN FINALSabemos que los nmeros: 1, 4, 9, 16, 25, 36, son los cuadrados perfectos de los nmeros naturales 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...Tambin se dice que 1, 2, 3, 4, 5, 6, son la raz cuadrada de los nmeros: 1, 4, 9, 16, 25, 36, respectivamente.Se escribe as:Raz cuadrada exacta de nmero es otro nmero que elevado al cuadrado es igual al nmero dado.La raz cuadrada es la operacin opuesta de elevar al cuadradoEjemplos:3. Ten en cuenta: Como 36 = 62 = (6)2, 6 y 6 son races cuadradas de 36.

Potencias y raz cuadrada9Raz cuadrada exactaIMAGEN FINALSabemos que los nmeros: 1, 4, 9, 16, 25, 36, son los cuadrados perfectos de los nmeros naturales 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...Tambin se dice que 1, 2, 3, 4, 5, 6, son la raz cuadrada de los nmeros: 1, 4, 9, 16, 25, 36, respectivamente.Se escribe as:Raz cuadrada exacta de nmero es otro nmero que elevado al cuadrado es igual al nmero dado.La raz cuadrada es la operacin opuesta de elevar al cuadradoEjemplos:3. Ten en cuenta: Como 36 = 62 = (6)2, 6 y 6 son races cuadradas de 36.

Potencias y raz cuadrada11Clculo de la raz cuadrada por aproximaciones (I)IMAGEN FINALPaso 1:Determinar el nmero de cifras de la raz cuadrada del nmero dado. As, por ejemplo:Observa:1 cifra2 cifras3 cifras4 cifras1 y 100 tendr 1 cifra100 y 10000 tendr 2 cifras10000 y 1000000 tendr 3 cifrasLa raz cuadrada de cualquier nmerocomprendido entre:De otra manera:Para averiguar el nmero de cifras de la raz cuadrada de un nmero, basta con formar grupos de dos cifras, empezando por la derecha (el ltimo grupo puede estar formado por una sola cifra). La raz cuadrada tendr tantas cifras como grupos se hayan formado.entreentre

Potencias y raz cuadrada12Nmeros 2001 - Matemticas 1 ESOClculo de la raz cuadrada por aproximaciones (II)IMAGEN FINALPaso 2:Buscar dos cuadrados perfectos entre los cuales est el nmero dado. Por ejemplo:Tendr 3 cifras: ser un nmero entre 100 y 1.000.Otro ejemplo:Como 1002 = 10.000 < 12.824 < 40.000 = 2002 Para determinar la cifra de las decenas calculamos los cuadrados de 110, 120, 130, etc.Como 1102 = 12.100 y 1202 = 14.400, 12.100 < 12.834 < 14.400 Para determinar la cifra de las unidades calculamos los cuadrados de 111, 112, 113, etc.Como: 1112 = 12.321 < 12.834, 1122 = 12.544 < 12.834, 1132 = 12.769 < 12.834, 1142 = 12.996 > 12.834(con resto 55, pues 12.824 1132 = 55). Probamos con 402, 502, 602, etc.402 = 1600 502 = 2500 602 = 36003456

Potencias y raz cuadrada13Regla para el clculo de la raz cuadrada (I)IMAGEN FINALLa regla tradicional para el clculo de la raz entera de un nmero requiere una organizacin especfica que indicamos a continuacin.Para calcular la raz de un nmero, por ejemplo1. Se divide el radicando en grupos de dos cifras, empezando por la derecha.2. Se trazan lneas que faciliten la aplicacin de la regla.3. Esta regla tiene pasos parecidos a los empleados en la divisin; tambin se restar y se bajarn cifras, pero en este caso por grupos de dos4. El ltimo paso consistir en la comprobacin: en la prueba de la radicacin: Lugar para la razEspacio parapruebas y tanteosEspacioparaoperarresto118527 = (raz)2 + resto

Potencias y raz cuadrada14Regla para el clculo de la raz cuadrada (II)IMAGEN FINAL1. Se calcula la raz cuadrada del primer grupo de cifras: de 11. Es 32. Se hace el cuadrado de 3 y se resta al primer grupo: a 1111. Se hace la prueba: 3442 + 191 = 118336 + 191 = 1185273. Se baja el segundo grupo de cifras: 859. Se resta 2927 27364. Se toma el doble de 3 que es 6: a su izquierda se coloca otro nmero (6d), de modo que (6dd), d un nmero lo ms prximo a 285, sin superarlo7. Se baja el tercer grupo de cifras: 275. Se resta 285 256.Ese nmero es 4: 64 4 = 2566. El nmero d (4) se coloca a la derecha del 3: 348. Se toma el doble de 34, 68, y se procede como en 4Ese nuevo d vale tambin 4. Se multiplica: 684 4 = 2736.10. La cifra 4 se coloca a la derecha de 34: 3 4 4El nmero 191 es el resto de la raz.Por tanto, 327922 85466864 4 = 2562 5629684 4 = 273627 36 1914

Potencias y raz cuadrada16Resolucin de problemasIMAGEN FINALTantear para comprender mejorPrimero:Problema: Se colocan fichas en filas y en columnas de modo que formen el mayor cuadrado posible. Quedan sin colocar 43 fichas. Si se tuviera 22 fichas ms se podra formar un cuadrado sin que sobrara ninguna ficha. Cuntas fichas hay?Hacer un dibujoSegundo:Comprobacin.Tercero:Si a 1067 se le suman 22: 1067 + 22 = 1089, que es igual a 332. Luego no puede haber 827. El nmero 28 no es vlido.Si ese nmero fuese 28, se tendra: 282 + 43 = 784 + 43 = 827. Observamos que el nmero de fichas debe ser un cuadrado perfecto ms 43 ( fichas sobrantes). Con las fichas que sobran y faltan (43 + 22 = 65), completaramos un cuadrado de lado 1 unidad mayor.Sumando a ese nmero 22 (las fichas que faltan) deber dar otro cuadrado perfecto. Pero, 827 + 22 = 849 no lo es. Sobran 43Faltan 22Luego 64, que es 65 1, es el doble del lado. (Quitamos 1 por que se repite.)El lado valdr la mitad de 64: 32. El nmero de fichas ser: 322 + 43 = 1067.