QUADERN D'ACTIVITATS

D'ESTIU MATEMÀTIQUES

3 ESO (GRUP FLEXIBLE)

CURS 2014-15

ÀREA DE MATEMÀTIQUES

Institut de Cabrils

Aquest quadern d'exercicis està pensat perquè repasseu els vostres coneixements de matemàtiques i entreneu les vostres habilitats durant el període de vacances.Potser us caldrà que alguna persona que hi entengui us doni un cop de mà, però procureu esforçar-vos a fer-ho tot pel vostre compte. Tingueu en compte que:

• Allò important cal escriure-ho amb bolígraf.

• No feu servir correctors, preocupeu-vos per fer-ho bé. Si us equivoqueu però, ratlleu-ho ( i fixeu-vos-hi més la propera vegada!)

• Procureu emprar la calculadora amb seny!

• Escriviu els càlculs i les operacions que feu; no oblideu que s'ha d'entendre om obteniu els resultats.

• Alguns exercicis vénen amb solucions. Intenteu resoldre els problemes sense mirar les solucions prèviament!

RECULL DE PROBLEMES DE FRACCIONS1. En Xavier ha fet revelar un rodet de 24 fotografies i n’hi ha sortit 4 de

desenfocades. Diu que això es pot expressar amb la fracció 4/24. La Maria diu que també es pot expressar amb 1/6. És correcte el que diu la Maria?

2. Un formatge pesa 3/4 de kg. Si en consumim 1/2 de kg, quant pesa el formatge que queda?

3. A l’agost el nivell de l’aigua d’un embassament assolia els 3/4 de la seva capacitat i el novembre 5/6. A quin mes estava més ple?

4. En Joan i la Marta han fet un treball de 24 pàgines. En Joan fa 1/3 del treball i la Marta en fa 1/2.

a) Quantes pàgines ha fet cada un?

b) Quina fracció del treball han fet entre tots dos?

c) Quina fracció els queda per fer?

5. La Sílvia fa una excursió de 20 km en bicicleta. Quan ha recorregut 3/4 de l’itinerari, s’atura a descansar.

a) Quina fracció del recorregut li falta encara?

b) Quants quilòmetres ha recorregut?

6. A casa de l’Adela hi ha 18 bombetes, de les quals 9

8són de baix consum.

Quantes bombetes no són de baix consum té l’Adela?

7. En una urbanització han deixat 12

7del terreny per a parcs,

6

1per a

aparcaments, i la resta per a habitatges. Quina part del terreny han deixat perahabitatges?

9

8. L’Óscar es pren cada dia 4

1l de llet per esmorzar. Quina quantitat de llet es

prendrà en 30 dies?

9. Un pot de melmelada pesa 2590 grams quan és ple només en una cinquena part. Quant pesa quan està ple?

10. A la classe de l’Alba hi ha 24 nois i noies, dels quals 8

1són morens,

24

5

són

castanys, 6

1 són pèl-rojos i la resta són rossos. Quants n’hi ha de cada tipus?

11. Quatre germans es reparteixen una bossa de caramels. el gran agafa 4

1

dels

caramels, el segon 5

2, i el tercer

10

3. Sobra algun caramel?

12. En Guillem s’ha menjat 6

2 d’una bossa d’ametlles i la seva amiga Elisa

4

3 de les que quedaven. Quina fracció del total d’ametlles s’ha menjat l’Elisa?

Quina fracció queda a la bossa?

13. D’un grup de 20 elefants, 3/4 parts eren adults. Quants elefants adults hi havia a la bandada?

14. L’Arnau ha collit 30 pomes, de les quals 2/6 parts estaven pellucades pelocells. 2/30 parts tenien cucs, i només 3/5 estaven sanes. Quantes pomes de cada tipus ha collit l’Arnau?

15. En Claudi té un estoig amb 20 colors, dels quals 2/5 són de color vermell, 1/4 són de color groc i 7/20 són de color blau. Quants llapis té de cadacolor?

16. Els 5/14 dels alumnes d’un institut són de batxillerat, que són 150 alumnes. Quants alumnes té el centre?

17. He comprat un reproductor de MP3 per 45€, amb la qual cosa m’he gastat els 3/19 dels meus estalvis. Quant tenia estalvia?

18. Avui és la final de futbol juvenil. Al camp de futbol 2/3 dels espectadors estan situats als seients laterals, 1/5 en els dos fons, i queden 1000 localitats lliures. Quants espectadors omplirien totalment el camp?

19. L’Anna cobra 1600 € al mes, 3/8 els dedica a pagar la hipoteca i 3/5 de la resta a despeses diverses (rebuts, menjar ...). Quina fracció li queda al mes per estalviar?

20. Hem begut 11/15 d’una ampolla de refresc i queden 200 ml. De quantera l’ampolla?

SOLUCIONS

1.

És correcte perquè les dues fraccions són equivalents,

4 1

24 6=

ja que 4 6 24 1× = ×

2.

3 1 3 2 1

4 2 4 4 4- = - =

El formatge que queda pesa ¼ kg.

3.

Hem d’expressar les dues fraccions amb el mateixdenominador,

(4,6) 12

3 9

4 12

5 10

6 12

mcm =

=

=

Estava més ple al novembre.4.

a) Quantes pàgines ha fet cada un?

( )

( )

124 24 : 3 1 8

3

124 24 : 2 1 12

2

de

de

= × =

= × =

La Marta ha fet 12 pàgines i en Joan, 8 pàgines.

b) Quina fracció del treball han fet entre tots dos?

1 1 2 3 5

3 2 6 6 6+ = + =

Han fet entre tots dos 5/6 parts del treball.

c) Quina fracció els queda per fer?

Els queda per fer 1/6 del treball.

5.

a) Quina fracció del recorregut li falta encara?

Encara li falta ¼ del recorregut.

b) Quants quilòmetres ha recorregut?

320 (20 : 4)·3 15

4de = =

Ha recorregut 15 km.

6.

No són de baix consum 1/9 de les 18 bombetes,

( )118 18 : 9 ·1 2

9de = =

L’Adela té 2 bombetes que no són de baix consum.

7.

7 1 7 2 9

12 6 12 12 12+ = + =

Han deixat 3/12 parts per a habitatge.

8.

1 3030· 7 '5

4 4= =

En 30 dies es prendrà 7 litres i mig.

9.

2590 · 5 = 12950

El pot pesa 12950 kg quan està ple.

10.

1/8 de 24 són morens, (24:8)·1= 3 són morens

5/24 de 24 són castanys, 5 són castanys

1/6 de 24 són pèl-rojos, (24:6)·1= 4 són pèl-rojos

La resta, 24-(3+5+4)=12 són rossos11.

1 2 3 5 8 6 19

4 5 10 20 20 20 20+ + = + + =

Sobra un vintena part dels caramels.

12.

En Guillem s’ha menjat

2

6 queden

4

6

L’Elisa s’ha menjat

3 4 3 4 12 1

4 6 4 6 24 2de = × = =

Entre tots dos s’han menjat

2 1 2 3 5

6 2 6 6 6+ = + =

Queda a la bossa 1/6.

13.

320 (20 : 4)·3 15

4de = =

A la manada hi havia 15 elefants adults.

14.

230 (30 : 6)·2 10

6de = =

pomes pellucades pels ocells2

30 230

de =pomes tenien cucs

330 (30 : 5)·3 18

5de = =

pomes estaven sanes

15.

2/5 de 20 = (20:5)·2=8 colors són de color vermell

¼ de 20 =(20:4)·1=5 colors són de color groc

7 colors són de color blau

16.

5/14 del total d’alumnes són 150,

5 parts de 14 són 150

1 part de 14 és (150) : 5 = 30

El total és 14 · 30 = 420

El centre té 420 alumnes

17.

3/19 dels meus estalvis són 45 €

3 parts de 19 són 45

1 part de 19 és 45 : 3 = 15

El total és 19 · 15 = 285

Tenia estalviats 285 €.

18.

Estan ocupades2 1 10 3 13

3 5 15 15 15+ = + =

de les localitats del camp.

2/15 del total d’espectadors són 1000

2 parts de 15 són 1000

1 part de 1000 és 1000 : 2 = 500

El total és 15 · 500 = 7500

El camp s’ompliria amb 7500 espectadors.19. L’Anna cobra 1600 € al mes, 3/8 els dedica a pagar la hipoteca i 3/5 de

la resta a despeses diverses (rebuts, menjar ...). Quina fracció li queda al mesper estalviar?

Hipoteca 3

8 parts li queden 5

8 parts

Despeses diverses 3 5 3 5 3

·5 8 5 8 8

de = =parts

En total gasta3 3 6 3

8 8 8 4+ = =

Al mes estalvia ¼ part del sou.

20. Hem begut 11/15 d’una ampolla de refresc i queden 200 ml. De quant era l’ampolla?

Queden 4/15 de l’ampolla, que són 200 ml.

4 parts de 15 són 200

1 part de 15 és 200 : 4 = 50

El total és 15 · 50 = 750

L’ampolla era de 750 ml.

Problemes de percentatge.

1. En una classe de 30 alumnes, el 40 % són nois . Quants nois i quantes noies hi ha en la classe?

2. Una pel·lícula costa 22,50 €. Quant pagaré si m’hi han fet una rebaixa del 22 %?

3. Uns pantalons costaven 50 € i he pagat 42,50 €. Quin percentatge m’han rebaixat?

4. La Maria ha comprat una motocicleta a terminis. Cada mes ha de pagar 37 €, però un mes es va endarrerir alguns dies a fer el pagament, i li van aplicar un recàrrec del 7%. Quant va haver de pagar aquell mes?

5. Un dipòsit de 300 litres només conté el 24 % d’aigua de la seva capacitat total. Quants litres d’aigua hi ha al dipòsit ?

6. Al pare de la Lluïsa Hisenda li reté el 18 % del que guanya. Si després de pagar els impostos ha guanyat 1400 €, quina quantitat li han retingut? Quant guanya abans que li apliquin els impostos ?

7. Quin tant per cent de descompte es va fer en l’import d’una factura de 3000 euros, si esvan haver de pagar 2300 ?

8. Una camisa, rebaixada en un 20 % m’ha costat 42€. Quant costava abans de la rebaixa?

9. Després d’haver descomptat el 15 % del seu preu inicial, un aparell de vídeo va costar 112 euros. Quin era el seu preu inicial?

10. Vam pagar 120 euros per 9 caixes de vi de 12 ampolles cada una. Si ens van descomptar el 15%, quin era el preu inicial de cada ampolla?

11. Els meus pares em donen 17 € mensuals de paga, però els he convençut perquè me la pugin el 17%. Quina serà la meva paga a partir d’ara?

Solucions:

1. 12 nois, 18 noies2. 17.55 €3. 15 %4. 39.59 €5. 72 litres6. 1707.32 €7. 23.3 %8. 52.5 €9. 131.76 €10. 1.31 €11. 19.89 €

Repàs general d’equacions .

Resol les següents equacions:

1.7 5x

2.3 2 14x

3.4 3 2x x

4.5 8 3x

5.5 2 4 1 4x x x

6.5(2 ) 40x

Solucions:

1. 12x 2. 4x 3. 2x 4. 1x 5. 3x 6. 6x

Repàs d’equacions de primer grau (II)

1. Resol les següents equacions:

a) 7 6 22x Sol: 4x b) 2 10 20x Sol: 5x c) 10 2 7 19x x Sol: 1x d) 13 21 12 24x x Sol.: 3x e) 2(3 1) 7 3x x Sol: 5x f) 120 2 (15 7 )x x Sol: 15x g) 9(13 ) 4 5(21 2 ) 9x x x x Sol: 1x

h) 5 8(5 3) 4x x Sol:4

5x

i) 3(3 1) ( 1) 6( 10)x x x Sol: 28x j) 3( 7) 6(3 2 ) 19 4(2 3)x x x Sol: 2x

Repàs de sistemes d’equacions.

1. Resol el següent sistema d’equacions :

2332

73

yx

yx

2. Resol el següent sistema d’equacions

145

1832

yx

yx

3. Resol el següent sistema d’equacions

532

1223

yx

yx

Solucions:

d) x = 4, y = -5

e) x = 3 , y = -4

f) x = 2, y = 3

Equacions de segon grau ax2+bx+c=0

k) Resol les següents equacions. En acabat, verifica que les solucions trobades són certes (recorda: sumant les solucions sortirà -b/a i multiplicant-les surt c/a)

a) 0652 xx

b) 0452 xxc) 062 xxd) 02092 xxe) 0962 xxf) 036122 xxg) 0522 xx

h) 0232 2 xxi) 0353 2 xxj) 062 2 xxk) 04563 2 xxl) 024186 2 xx

Solucions:

1. a) x = 3, x = 2, b) x = 4, x = 1 c) x = - 3, x = 2 d) x = - 5, x = - 4 e) x = 3 (només hi ha una solució) f) x = - 6 g) No hi ha cap solució.h) No hi ha cap solució. i ) No hi ha cap solució. j)

2

3 x,2 x k) 5 x,3 x l) 4 x,1 x .

Equacions de segon grau incompletes ax2+c=0 i ax2+bx=0 (I).

1. Per a cadascuna de les següents equacions, determina si és de la forma 2 0ax bx o 2 0ax c i després resol-la mitjançant el procediment habitual.

a) 22 32 0x b) 2 16 0x x c) 24 2 0x x d) 23 27 0x e) 22 0x x f) 2 25 0x

g) 22 1

3 2x x

h) 27 21 0x x i) 225 10 0x x j) 21 9 0x k) 216 4 0x l) 212 24x m) 28 2 0x x n) 211 44 0x x o) 24 32x xp) 23 48 0x q) 29 25x x r) 225 16 0x s) 23 0x x t) 22 8 0x u) 25 40 0x x

Solucions:

a) 4 i –4 0 i 16

0 i 1

2

3 i –3

0 i 1

25 i –5

0 i 3

4

0 i –3

0 i 2

51

3i

1

3

1

2i

1

2

2 2i

0 i 1

40 i 40 i 8no hi ha

0 i 25

9

4

5i

4

5

0 i 1

3-2 i 2b) 0 i –8

FUNCIÓ AFÍ I QUADRÀTICA

l) Representa gràficament les següents rectes. En acabat, calcula l'àrea del paral·lelogram limitat per les quatre rectes. Fes les taules de valors a banda i banda del gràfic

y=x+2 y=x−3 y=4 y=−2

2- Representa gràficament les següents rectes i calcula l'àrea del triangle que limiten amb l'eix horitzontal.

y=2x+2 y=−x+2

3. Representa gràficament les següents paràboles.

y=x2+2 y=2−x2

Exercicis de SEMBLANÇA. Tema 9 (Resolts)

Exercici n. 1.-

Observa aquestes tres fotografies i indica si són semblants entre si i per què:

Solució:

4

12

7

21semblants són també C i A

semblants. són C i B8

12

14

21

semblants. són B iA 4

8

7

14

Exercici n. 2.-

Els costats d'un triangle rectangle amiden 1,5 cm, 2 cm i 2,5 cm. Construïx un triangle semblant de forma que la raó de semblança siga 2.

Solució:

15 · 2 3 cm2 · 2 4 cm25 · 2 5 cm

Exercici n. 3.-

En un mapa fet a escala 1:400000, la distància que separa dues ciutats és de 8 cm. A quina distància

real es troben ambdues ciutats?

Solució:

km32 cm 00020038

000400

1 x

x

Exercici n. 4.-

La distància que separa dos punts en la realitat és de 2 km. En un plànol estan separats per 5 cm. Quina és l'escala del plànol?

Solució:

000405

000200

Escala 1 : 40 000

Exercici n. 5.-

Aquests dos triangles són semblants. Calcula la longitud dels costats que li falten a cada un d'aquests:

Solució:

cm 315

45

cm 125

60

45

159

5

15

x

yy

x

Exercici n. 6.-

Si sabem que les rectes a, b, c i d són paral·leles, calcula la longitud de x i y:

Solució:

cm 375,98

75

cm 1012

12058

1215

y

x

y

x

Exercici n. 7.-

Calcula el valor de x i y en aquesta construcció:

Solució:

cm 786

255

cm 6546

8

yy,

x,

x

Exercici n. 8.-

Raona, recolzant-te en els criteris de semblança, per què són semblants els triangles següents:

Solució:

Dos triangles són semblants perquè tenen dos parells d'angles respectivament iguals. Els angles d'aquestestriangles són 30, 60 i 90.

Exercici n. 9.-

Calcula l'altura d'un arbre que projecta una ombra de 4 metres en el moment en què una estaca de 2 m projecta una ombra de 0,5 metres.

Solució:

cm 161650

8

450

2 x

,x

x

,

Exercici n. 10.-

Observa el dibuix. Si sabem que el xic amida 1,75 m, calcula les dimensions reals (llarg i ample) de la

porta.

Solució:

Mesures en la fotografia:

Altura del xic 5 cm Alt de la porta 6 cm Ample de la porta 3 cm

Mesures reals:

Altura del xic 1,75 m Alt de la porta

m 1,2 cm 210

5

0501

65

175 x

x

Ample de la porta

m 051 cm 105

5

525

35

175,y

y

Exercici n. 1.-

Observa aquestes tres fotografies i indica si són semblants entre si i per què:

Solució:

6

15

9

5,22semblants són també C iA

semblants. són C i B9

15

5,13

5,22

semblants. són B iA 6

15

9

5,22

Exercici n. 2.-

Un quadrat té de costat 5 cm. Construïx un altre quadrat semblant de forma que la raó de semblança siga 0,6.

Solució:

5 · 06 3 cm

Exercici n. 3.-

pobles. tres aquestsentre distàncies vertaders les són quines esbrina i AC i BC ,AB plànol el sobre Mesura

Solució:

cm 4AC cm; 2BC cm; 5AB

:plànol el en Distàncies

km 16 cm 4000400AC

km 8 cm 2000400BC

km 20 cm 5000400AB

:realsDistàncies

Exercici n. 4.-

La distància real, en línia recta, entre dues ciutats és de 48 km. En un mapa estan separades per 16 cm. Quina és l'escala del mapa?

Solució:

48 km 4 800 000 cm

000300:1Escala00030016

0008004

Exercici n. 5.-

Aquests dos triangles són semblants. Calcula la longitud dels costats que li falten a cada un d'aquests:

Solució:

ÀREES I VOLUMS

m) Calcula el volum i l'àrea del següent prisma:

n) La següent piràmide té la base quadrada, de costat 10 cm. Calcula'n el volum (per trobar l'altura de la piràmide hauràs de fer servir Pitàgores) i l'àrea

o) Donat el següent prisma pentagonal, calcula el seu volum i la seva àrea

p) Troba el volum i l'àrea del següent cilindre:

q) Calcula el volum i l'àrea dels següents cossos geomètrics:

PROBABILITAT

r) Defineix probabilitat.

s) Tirem un dau cúbic. Calcula:

a) P(nombre parell) = b) P(no surti 5) =

c) P(nombre primer) = d) P(surti 8) =

e) P(surti un nombre menor que 5) =

t) Una bossa conté boles de diferents colors: grogues, negres i blanques. En treiem una.La probabilitat que sigui groga és 0.25. La probabilitat que sigui negra és 0.35. Quinaés la probabilitat d'obtenir una bola blanca?

u) Baralla de cartes espanyola. 48 cartes en total. Escriu un succés diferent per a cadauna de les probabilitats de cada apartat :

a) 1

b) 1/48

c) 1/2

d) 0

e) 0.25

v) Tirada de 2 daus. Calcula i raona la resposta (posant els casos o argumentant lasolució):

a) P(la suma de les puntuacions sigui 3) =

b) P(no obtenir dos nombres iguals) =

c) P (el producte dels 2 nombres sigui 12) =

d) P(surti (1,1)) =

e) P(els dos nombres siguin parells) =

w) Es vol saber si un determinat dau de 4 cares iguals (tetraèdric) està trucat o no. Quinmètode faries servir? Justifica la resposta.

x) Se sorteja una panera. Es numeren 100 boles (del 0 al 99) i es venen lescorresponents butlletes, a 2 € cada una. Quants diners ens haurem de gastar si volemtenir una probabilitat de 2/5 que ens toqui la panera?

y) Tenim 3 capses diferents que contenen cargols. A la primera capsa n'hi ha 20, a lasegona 30 i a la tercera 40. La primera conté 8 cargols defectuosos, la segona 12 i ala tercera en trobem15. Ens diuen que triem una de les capses i que en treiem uncargol. Quina escolliries si no vols extreure un cargol defectuós?

z) Un experiment consisteix en tirar una moneda i després tirar una dau cúbic. Descriul'espai mostral i digues quants elements té.