3. Árboles - disi.unal.edu.codisi.unal.edu.co/~lctorress/estructuras/pdf/einf24.pdf · 3. Árboles...

3. ÁRBOLES

Una estructura muy utilizada en el manejo de información es la estructura de árbol. Caracteriza a lossistemas jerárquicos y se emplea principalmente en el procesamiento de datos para la toma dedecisiones: la clasificación y el agrupamiento (clustering). Los árboles son estructuras no lineales ydinámicas empleadas en muchas aplicaciones computacionales, en especial en la construcción decompiladores, en minería de datos, lingüística computacional,... Un árbol es una estructura en la quecada nodo puede apuntar (encadenar) a uno o varios nodos.

Definición. Un árbol es un conjunto finito de nodos R, tal que:

a. Hay un nodo principal llamado raíz.b. Los otros nodos se particionan en S subconjuntos R1, R2, ..., Rs que a la vez son también árboles.

Esta definición es algo recursiva y puede simplificarse como: un árbol es una estructura compuesta porun nodo raíz y varios árboles encadenados al nodo raíz.

Para su proceso computacional varias son las características que poseen los árboles:

1. Todo árbol que no es vacío, tiene un nodo raíz único. Es el nodo usado para referirnos alárbol1.

2. Un nodo P es descendiente directo de un nodo H, si el nodo H tiene un pointer(encadenamiento) a P. H es padre de P.

3. Un nodo Z es antecesor directo de un nodo W, si el nodo Z tiene un pointer a W. Z es padrede W2 o W es hijo de Z.

4. Los nodos que son hijos del mismo padre, se dicen hermanos.

5. Todo nodo que no posee ramificaciones (hijos), se llama terminal o nodo hoja.

6. Orden es el número potencial de descendientes que puede tener un nodo.

7. Nivel es el número de arcos que deben ser recorridos para llegar a un determinado nododesde la raíz. Por definición la raíz tiene nivel 0.

8. Altura del árbol es el máximo número de nivel que existe en el árbol.

1 Es importante conservar siempre el nodo raíz ya que es el nodo a partir del cual se desarrolla el árbol, si sepierde este nodo, se perderá el acceso al árbol. 2 Frecuentemente, para hacer más fácil el recorrido por el árbol, se añade un puntero a cada nodo que encadeneel nodo padre.

Luis Carlos Torres Soler

44

9. Grado es el número de subárboles que salen de un nodo.

La escritura (representación) de un árbol puede ser de diferentes maneras, según la utilización oaplicación que se le va a dar; puede ser en forma de estructura descendiente, como una multilista,utilizando barras, o cuadros (ver figura 3.1).

Un ejemplo de estructura de árbol es el sistema de directorios y ficheros en el disco, en este caso seconsidera que los ficheros son hojas y los directorios ramas. Otro ejemplo podría ser la tabla decontenido de un libro. Igualmente, los organigramas de mando de las organizaciones y los árbolesgenealógicos.

Los árboles se pueden clasificar de diferente manera y por diferentes conceptos; algunas clases másusadas en computación son:

Árboles n-ariosLos grados de los nodos en un árbol son mayores o iguales a dos. Si el grado de todos los nodos esdos, se dice que el árbol es binario. Si el grado de todos los nodos es tres se dice que el árbol esternario, y así sucesivamente3. Si todos los nodos tienen diferente grado, simplemente se dice que no esárbol binario.

3 Los árboles con los que se trabajan en estructuras de datos tienen la característica de que todos los nodos delárbol tienen el mismo número de campos. Igualmente, cada nodo sólo puede ser apuntado por otro nodo, es decir,cada nodo sólo tendrá un padre.

Figura 3.1 Representación de Árboles

Estructuras de Datos

Facultad de Ingeniería

45

Las estructuras de datos manejan árboles binarios (grado máximo 2), sin embargo, cualquier árbolpuede ser convertido a binario. Para ello, el hijo izquierdo va a la izquierda, el hermano más próximo ala derecha, los demás hermanos a la derecha del hermano anterior, y así sucesivamente.

Un árbol A es binario, si cada nodo del árbol posee a lo más dos subárboles disyuntos A1 y A2llamados subárbol izquierdo y subárbol derecho.

La definición típica en C de un nodo es:struct nodo {

int info;struct nodo *ilink;struct nodo *dlink;

}

o generalizando más:#define grado 2struct nodo {

int info;struct nodo *link[grado]

}

Figura 3.2 Árbol binario.

Figura 3.3 Paso del árbol no binario (fig. 3.2) a uno binario.


46

Árboles homogéneosUn árbol homogéneo es aquel en el que todos sus nodos tienen la misma conformación, es decir, cadanodo que conforma el árbol tiene igual número de campos.

Árboles completosUn árbol completo se caracteriza porque todos sus nodos terminales tienen la misma altura.

Un árbol binario se dice que es completo, si todos los nodos del árbol, excepto los del último niveltienen dos hijos: subárbol izquierdo y subárbol derecho (ver figura 3.3).

Árboles ordenadosUn árbol ordenado se caracteriza porque la posición relativa de los subárboles es fija, es decir, no sepueden intercambiar. Esto sucede porque el subárbol depende de una clave de la información. Cuandoel árbol se lee en inorden, las claves aparecen en orden ascendente.

Sea la lista de claves: 60, 30, 85, 20, 50, 90, 75, 40, 80, 70, 95, 45, 83, 73. El árbol respectivo estádado en la figura 3.6:

Dos subárboles son distintos cuando sus estructuras son diferentes. Los árboles de la figura 3.4 sondistintos.

Dos árboles son similares cuando sus estructuras son idénticas pero la información de los nodos esdiferente.

Figura 3.4 Ejemplos de árboles.

Figura 3.5 Ejemplo de árboles completos.



47Dos árboles son equivalentes si son similares y poseen la misma información.

Las operaciones en árboles son similares a las empleadas en listas o pilas:a. Añadir o insertar elementos.b. Buscar o localizar elementos.c. Borrar elementos.d. Leer (recorrer) el árbol completamente.

Los algoritmos de inserción y borrado dependen en gran medida del tipo de árbol que se estáimplementando.

El modo evidente de moverse a través del árbol es siguiendo los punteros. Esas lecturas dependen engran medida del tipo y propósito del árbol, pero hay ciertos recorridos usados más frecuentemente.

Los árboles binarios se pueden leer de tres formas: inorden, preorden y posorden. Lo que diferencialos distintos métodos de recorrer el árbol no es el sistema de hacerlo, sino el momento elegido paraprocesar la información del nodo con relación a los recorridos en cada una de las ramas.

La lectura en inorden se realiza leyendo primero el hijo izquierdo, luego la raíz, y por último el hijoderecho.

La lectura en preorden se realiza leyendo primero la raíz, luego el hijo izquierdo, y por último el hijoderecho.

La lectura en posorden se realiza leyendo primero el hijo izquierdo, luego el hijo derecho y por últimola raíz.

Las tres lecturas se suelen implementar mediante recursividad. Se parte del nodo raíz, LeerArbol(raíz);la función LeerArbol, aplicando recursividad, se vuelve muy sencilla para invocarla de nuevo paracada una de las ramas.

void LeerArbol(arbol a) {

Figura 3.6 Ejemplo de árbol de búsqueda binario.


48if (a== null) return;LeerArbol(a->rama[0]);LeerArbol(a->rama[1]);

}

Lectura en Pre-ordenvoid PreOrden(arbol a) {

if (a== null) return;Procesar(info);LeerArbol(a->rama[0]);LeerArbol(a->rama[1]);

}

Lectura In-ordenvoid InOrden(arbol a) {

if (a== null) return;LeerArbol(a->rama[0]);Procesar(info);LeerArbol(a->rama[1]);

}

Lectura Pos-ordenvoid PosOrden(arbol a) {

if (a== null) return;LeerArbol(a->rama[0]);LeerArbol(a->rama[1]);Procesar(info);

}

Los campos de un árbol binario para su lectura se notan: ilink (link izquierdo), info (información) ydlink (link derecho).

Seudo-algoritmo para la lectura de un árbol binario en Pre-orden:

PREORDEN(arbol)sw=0p <-- arbolMQ sw = 0

SI p<> null TH dato <-- info.p

Figura 3.7. Estructura de un nodo.



49stack <= pp <-- ilink.pSN SI stack = null TH sw=1

SN p <= stackp <-- dlink.p

FSIFSI

FMQFINPREORDEN()

Seudo-algoritmo para la lectura de un árbol binario en In-orden:

INORDEN(arbol)sw=0p <-- arbolMQ sw = 0

SI p<> null TH stack <== pp <-- ilink.pSN SI stack = null TH sw=1

SN p <= stackdato <-- info.pp <-- dlink.p

FSIFSI

FMQFININORDEN()=========================stack <= p significa

SI dispo = null TH UNDERFLOWSI stack = null TH stack <-- dispo

dispo <-- link.dispolink.stack = nullSN s <-- dispo dispo <-- link.dispo link.s <-- stack stack <-- s

FSIFSI

Es decir, se está controlando y haciendo los movimientos necesarios para manejar el espaciodisponible y las consideraciones de stack. Similarmente debe considerarse p <= stack.

SI stack = null TH OVERFLOWSI dispo = null TH dispo <- stack


50link.dispo <- nullstack <- link.stackSN s <-- stack stack <- link.stack link.s <-- dispo dispo <-- s

FSIFSI

Seudo-algoritmo para la lectura de un árbol binario en Pos-orden:

POSORDEN(arbol)sw=0p <-- arbolMQ sw = 0

SI p<> null TH stack <= pp <-- ilink.pst=0SN SI stack = null TH sw=1

SN p <= stackSI st= 1 TH dato <-- info.pFSIp <-- dlink.pst=1

FSIFSI

FMQFINPOSORDEN()

Un conjunto de árboles, se llama bosque. El bosque también puede convertirse a árbol binario con lossiguientes pasos:a. Como raíz del árbol binario se toma la raíz del primer árbol.b. Como subárbol izquierdo se toma el subárbol izquierdo de cada árbol



51

c. Como subárbol derecho se toma el árbol hermano de nivel.

Interesa en computación los árboles ordenados porque presentan mayor interés desde el punto de vistade tipo abstracto de dato (TAD), y los que tienen mayores aplicaciones genéricas.

Un árbol ordenado, en general, es aquel a partir del cual se puede obtener una secuencia ordenadasiguiendo uno de los recorridos posibles del árbol: in-orden, pre-orden o pos-orden. En estos árboles esimportante que la secuencia se mantenga ordenada aunque se añadan o se eliminen nodos.

Existen varios tipos de árboles ordenados:

a. Árboles binarios de búsqueda (ABB): son árboles de grado 2 que mantienen una secuencia ordenadasi se recorren en inorden.

Figura 3.8. Conversión de bosque a árbol.


52

b. Árboles AVL: son árboles binarios de búsqueda equilibrados, es decir, los niveles de cada rama paracualquier nodo no difiere en más de 1.

Árboles binarios de búsqueda (ABB)

Se trata de árboles de grado 2 en los que se cumple que para cada nodo, el valor de información delsubárbol izquierdo es menor que la información del nodo y a su vez ésta información menor que la quehay en el subárbol derecho.

Proceso para generar ABB

Se cuenta con un conjunto de nodos con información clave donde cada una puede ser comparada deser menor o mayor con respecto a otra. Se crea un árbol con las siguientes normas:

a. El primer nodo es un nodo raíz.b. Si la información del nuevo nodo es menor que la del nodo raíz, va a la izquierda.c. Si la información del nuevo nodo es mayor que la del nodo raíz, va a la derecha.

Algoritmo para generar un árbol binario de búsqueda:

Alg_IABB()nodo <= ListaMQ Lista <> vacío

SI árbol = null TH: árbol <= nodoSN: xv <= árbolSI info.xv > info.nodo

TH: SI ilink.xv = null TH: ilink.xv <= nodoSN: xv <= ilink.xv

FSIFSISI info.xv < info.nodo

TH: SI dlink.xv = null TH: dlink.xv <= nodoF: xv <= dlink.xv

FSIFSISI info.xv = info.nodo V: "esta clave ya existe", SALIRFSI

FSIFMQ

Fin_Alg_IABB()

Operaciones en ABB



53

Las operaciones son las ya comunes de las demás estructuras de datos, además de otras propias de losárboles:

a. Buscar un elemento (información).b. Insertar un elemento.c. Borrar un elemento.d. Movimiento a través del árbol:

1. Izquierda.2. Derecha.3. Raíz.

e. Conocer información:1. Comprobar si un árbol está vacío.2. Calcular el número de nodos.3. Calcular la altura de un nodo.4. Calcular la altura del árbol.

Buscar un elementoPartiendo siempre del nodo raíz, se busca un elemento de forma recursiva4.

SI árbol=null V: "el nodo no está en el árbol", SALIRSI info.raíz = META V: informar, EXITOSI info.raíz > META V: buscar_en_árbol_izquierdo.

F: buscar_en_árbol_derecho

Insertar un elementoPara insertar un elemento hay que emplear la función de búsqueda. Si el elemento está en el árbol nose inserta. Si no lo está se inserta en el orden establecido.

Se requiere de variable auxiliar para referenciar el padre de un nodo actual.

xv=nullnodo=raízMQ nodo <> vacío o se halle elemento (META)

SI info.nodo > META V: xv=nodonodo <- árbol_izquierdo(nodo)F: SI info.nodo < META V: xv=nodo

nodo <- árbol_derecho(nodo) FSI

FSISI info.nodo <> null V: "este es META", SALIR

FMQSI xv=null V: "árbol vacío", crear árbol con info.raíz=META F: SI META<info.padre V: META es info.subárbol_izquierdo de xv

4 El valor de retorno de la búsqueda en un ABB será la dirección del nodo buscado, o null, si no se halla.


54F: META es info.subarbol_derecho de xv

FSIFSI

Borrar un elementoPara borrar un elemento también hay que emplear el algoritmo de búsqueda. Si el elemento buscado noestá en el árbol, no hay que borrar. Si está, hay dos casos posibles:

a. Es nodo hoja: se borra directamente.b. Es nodo rama: se intercambia información para continuar con el árbol.

Se utiliza un puntero auxiliar para conservar la referencia al padre del nodo raíz actual.

xv=nullnodo=raízSI nodo = null V: "árbol sin información", SALIR FSISI info.nodo = META V: se esta ante los casos de :

a. El nodo es una hoja. SI xv = null V: árbol <- null

F: SI nodo es rama derecha de xv V: árbol_derecho(nodo) <- null F: SI nodo es rama izquierda de xv V: árbol_izquierdo(nodo) <- null FSI FSI

FSIb. El nodo es una rama.Se busca el nodo más a la izquierda del árbol derecho de nodo o el más a laderecha del árbol izquierdo.xv <- padre(nodo)intercambiar información de nodo y el "nodo" hallado.Borrar nodo

Figura 3.9 Ejemplo de árbol de búsqueda binario.



55FSISI info.nodo > META V: buscar_arbol_izquierdo(nodo)

F. buscar_arbol_derecho(nodo)FSI

Movimientos a través del árbol

El árbol siempre se referencia mediante un puntero al nodo raíz. Para movernos a través del árbol debeemplearse variables (punteros) auxiliares, de modo que desde cualquier nodo los movimientos posiblesserán: ir al árbol izquierdo o ir al árbol derecho.

InformaciónPor tratarse de una estructura dinámica, un árbol, es necesario conocer alguna información del árbolpara posteriormente trabajar de una forma más eficiente.

Calcular el número de nodosEs sencillo, se cuentan los nodos recurriendo a cualquiera de los modos de recorrer un árbol: in-orden,pre-orden o pos-orden.

Comprobar si el nodo es hojaSe comprueba si tanto el árbol izquierdo como el árbol derecho de un nodo son vacíos.

Calcular la altura de un nodoSe cuenta con una variable que cuenta los pasos que se avanza hacia un nodo al emplear el algoritmode búsqueda.

xx <- árbolaltura = 0SI info.xx = META V: "altura de.." nodo es altura SALIR F: altura = altura + 1 SI info.xx < META V: xx <- arbol_derecho(xx)

F: xx <- arbol_izquierdo(xx) FSIFSI

Calcular la altura de un árbolLa altura de un árbol es la mayor altura en la que pueda estar un nodo. Se recorre todo el árbol.


56Recorrido del árbol en pos-ordenaltura=0

Cada vez que se inicia una nueva rama de nivel, incrementar alturaAl procesar las dos ramas, comprobar altura con nueva altura, cambiar valor se esnecesario.

Árboles degenerados

Los ABB algunas veces presentan inconvenientes. Al construirlo a partir de una lista ordenada resultaun árbol que solamente tiene árboles derechos, a esto se le llama ABB degenerado.

Representación de expresiones algebraicas

Una aplicación particular de los árboles binarios es la representación de expresiones algebraicas. Suconstrucción es a partir de la notación posfija5.

Sea la expresión: x=z/r*y+(z-(s+u)*s), el árbol correspondiente está en la figura 3.10.

Árboles AVL

El comportamiento de los ABB no es siempre tan bueno como nos gustaría. Para minimizar elproblema de los ABB desequilibrados, sea cual sea el grado de desequilibrio que tengan, hay querecurrir a algoritmos para equilibrar los árboles. En general, estos algoritmos, crean una lista mediantela lectura en inorden del árbol, y luego vuelven a reconstruirlo equilibrado. Conociendo el número deelementos es algo fácil. El problema de estos algoritmos es que requieren explorar y reconstruir todo elárbol cada vez que se inserta o se elimina un elemento, de modo que lo que se gana al acortar lasbúsquedas, teniendo que hacer menos comparaciones, se pierde equilibrando el árbol. Para resolvereste inconveniente puede recurrirse a los árboles AVL.

5 Dos o más árboles binarios diferentes de expresiones algebraicas pueden llegar a tener la misma lectura en in-orden, pero nunca la misma lectura en pos-orden.

Figura 3.10 Árbol de expresión aritmética.



57Definición. Un árbol AVL (llamado así por las iniciales de sus inventores: Adelson-Velskii-Landis) es un árbol binario de búsqueda en el que para cada nodo, las alturas de sus subárbolesizquierdo y derecho no difieren en más de 1.

No se trata de árboles perfectamente equilibrados, pero si son lo suficientemente equilibrados comopara que su comportamiento sea lo bastante bueno para usarlos donde los ABB no garantizan tiemposde búsqueda óptimos.

El algoritmo para mantener un árbol AVL equilibrado se basa en reequilibrados locales, de modo queno es necesario explorar todo el árbol después de cada inserción o borrado.

Operaciones en AVL

Los árboles AVL son también ABB, de modo que mantienen todas las operaciones que poseen éstos.Las nuevas operaciones son las de equilibrar el árbol, pero eso se hace como parte de las operacionesde inserción y borrado.

Factor de equilibrio. Cada nodo, además de la información que se pretende almacenar, los dospunteros a los árboles derecho e izquierdo, además debe incluir un campo nuevo: el factor deequilibrio.

El factor de equilibrio es la diferencia entre las alturas del árbol derecho y el izquierdo:FE= altura subárbol derecho - altura subárbol izquierdo; por definición, para un árbol AVL, estevalor debe ser -1, 0 o 1.

El reequilibrio se realiza mediante rotaciones.

Rotación simple a la derecha (RSD):

Esta rotación se usa cuando el subárbol izquierdo de un nodo sea 2 unidades más alto que el derecho,es decir, cuando su FE sea de -2. Además, la raíz del subárbol izquierdo tenga un FE de -1, es decir,que esté cargado a la izquierda.

Se procede del siguiente modo:- Se nota P al nodo que muestra el desequilibrio, el que tiene FE=-2. Se nota Q al nodo raíz delsubárbol izquierdo de P. Además, se nota X al subárbol izquierdo de Q, Y al subárbol derecho de Q yW al subárbol derecho de P.

En la figura 3.11 se puede observar que tanto Y como W tienen la misma altura (n), y X es una unidadmayor (n+1). Esto hace que FE=-1 de Q, la altura del subárbol que tiene Q como raíz es (n+2) y portanto de P es FE=-2.


58

a. Se pasa el subárbol derecho del nodo Q como subárbol izquierdo de P. Esto mantiene el árbol comoABB, ya que todos los valores a la derecha de Q siguen estando a la izquierda de P.b. El árbol P pasa a ser subárbol derecho del nodo Q.

c. Ahora, el nodo Q pasa a tomar la posición del nodo P, es decir, Q es el nodo raíz6.

En el árbol resultante se puede ver que tanto P como Q quedan equilibrados en cuanto altura. En elcaso de P, porque sus dos subárboles tienen la misma altura (n); en el caso de Q, porque el subárbolizquierdo X tiene una altura (n+1) y sus subárbol derecho también, ya que a P se añade la altura decualquiera de sus subárboles.

6 P puede que fuese un árbol completo o un subárbol de otro nodo de menor altura.

Figura 3.11 Árbol AVL con desequilibrio a la izquierda.

Figura 3.12 Equilibrando un árbol AVL.



59Rotación simple a la izquierda (RSI):

Se trata de un caso simétrico al anterior. Esta rotación se usa cuando el subárbol derecho de un nodosea 2 unidades más alto que el izquierdo, es decir, cuando su FE sea de 2. Además, la raíz del subárbolderecho tenga un FE de 1, es decir, que esté cargado a la derecha.

Se procede del siguiente modo:- Se nota P al nodo que muestra el desequilibrio, el que tiene FE=2. Se nota Q al nodo raíz del subárbolderecho de P. Además, se nota X al subárbol izquierdo de P, Y al subárbol izquierdo de Q y W alsubárbol derecho de Q.

En la figura 3.14 se puede observar que tanto X como Y tienen la misma altura (n), y W es una unidadmayor (n+1). Esto hace que FE=1 para Q, la altura del subárbol que tiene Q como raíz es (n+2) y portanto FE=2 para P.

a. Se pasa el subárbol izquierdo del nodo Q como subárbol derechoo de P. Esto mantiene el árbolcomo ABB, ya que todos los valores a la izquierda de Q siguen estando a la derecha de P.

b. El árbol P pasa a ser subárbol izquierdo del nodo Q.

Figura 3.13 Árbol AVL equilibrado.

Figura 3.14 Árbol AVL con desequilibrio a la izquierda.


60c. Ahora, el nodo Q pasa a tomar la posición del nodo P, es decir, Q es el nodo raíz7.

En el árbol resultante (figura 3.16) puede verse que tanto P como Q quedan equilibrados en cuantoaltura. En el caso de P, porque sus dos subárboles tienen la misma altura (n); en el caso de Q, porque elsubárbol izquierdo X tiene una altura (n+1) y sus subárbol derecho también, ya que a P se añade laaltura de cualquiera de sus subárboles.

Rotación doble de nodos

Rotación doble a la derecha (RDD):Esta rotación se usa cuando el subárbol izquierdo de un nodo sea 2 unidades más alto que el derecho,es decir, cuando su FE= 2. Además, la raíz del subárbol izquierdo tenga un FE=1, es decir, que estécargado a la derecha.

La figura 3.17 muestra uno de los posibles árboles que se pueden presentar, hay otras posibilidades. Elnodo R puede tener FE=-1, 0 o 1.En cada uno de esos casos los árboles izquierdo y derecho de R (Y yW) pueden tener alturas de n y n+1, n y n o n+1 y n, respectivamente.

7 P puede que fuese un árbol completo o un subárbol de otro nodo de menor altura.

Figura 3.15 Equilibrando un árbol AVL.

Figura 3.16 Árbol AVL equilibrado.



61El modo de realizar la rotación es independiente de la estructura del árbol R, cualquiera de las tresproduce resultados equivalentes. Se hará aquí el análisis para el caso en que FE=-1.

Se realizan dos rotaciones. Se nota P al nodo que muestra el desequilibrio, FE=-2. Se nota Q al nodoraíz del subárbol izquierdo de P, y R al nodo raíz del subárbol derecho de Q. Se realiza primero una

roación simple de Q a la izquierda. Luego, se hará una rotación simple de P a la derecha. Es decir, (a)Se pasa el subárbol izquierdo del nodo R como subárbol derecho de Q. Esto mantiene el árbol comoABB, ya que todos los valores a la izquierda de R siguen estando a la derecha de Q; (b) El nodo R pasaa tomar la posición del nodo Q, es decir, la raíz del subárbol izquierdo de P será el nodo R en lugar deQ.

c. El árbol Q pasa a ser el subárbol izquierdo del nodo R.d. Se pasa el subárbol derecho del nodo R como subárbol izquierdo de P. Esto mantiene el árbol como

Figura 3.17 Árbol AVL con desequilibrio a la derecha.

Figura 3.18 Equilibrando un árbol AVL, primera rotación.

Figura 3.19 Primera parte de equilibrio.


62ABB, ya que todos los valores a la derecha de R siguen estando a la izquierda de P.e. Ahora el nodo R pasa a tomar la posición del nodo P, es decir, el nuevo árbol será el nodo R, enlugar del nodo P.f. El árbol P pasa a ser el subárbol derecho del nodo R.

Rotación doble a la izquierda (RDI)Es una rotación similar a la anterior y se usa cuando el subárbol derecho de un nodo sea 2 unidadesmás alto que el izquierdo, es decir, cuando posee un FE=2. Además, la raíz del subárbol derecho tieneFE=-1, luego está cargado a la izquierda. También se realizan dos rotaciones.

Reequilibrados en árboles AVLCada vez que se inserta o elimina un nodo en un árbol AVL pueden suceder dos cosas: (a) el árbol semantiene como AVL; o (b) Pierde la propiedad AVL. En el segundo caso siempre se está en algúno delos casos esplicados anteriormente, y se recupera el estado AVL aplicando la rotación adecuada.

Ya se dijo que se requiere añadir un nuevo campo a cada nodo del árbol para averiguar si el árbolsigue siendo AVL, el factor de equilibrio. Cuando uno de esos valores sea 2 o -2 se aplica la rotacióncorrespondiente.

Debido a que se requiere capacidad para recorrer el árbol a la raíz, es necesario añadir un nuevopuntero a cada nodo que apunte al nodo padre8. Esto complicará algo las operaciones de inserción,borrado y rotación, pero facilita y agiliza mucho el cálculo del FE, y se verá que las complicaciones secompensan en gran parte por las facilidades obtenidas al disponer de este puntero.

Cuando se actualizan los valores de FE no requiere calcularse las alturas de las dos ramas de cadanodo, sabiendo el valor anterior de FE, y sabiendo en que rama se ha añadido o eliminado el nodo, es

8 En rigor, no es necesario el puntero, puede almacenarse el camino recorrido para localizar un nodo concretousando una pila, y después usarla para recuperar el camino en orden inverso. Aunque esto obliga a introducirotra estructura dinámica, lo que complica en exceso los algoritmos.

Figura 3.20 Segunda rotación.

Figura 3.21 Árbol equilibrado.



63fácil calcular el nuevo valor FE. Si el nodo ha sido añadido en la rama derecha o eliminado en laizquierda, y ha habido un cambio de altura en la rama, se incrementa el valor FE; si el nodo se añadeen la rama izquierda o se elimina de la derecha, y ha habido un cambio de altura en la rama, sedecrementa el valor FE.

Los cambios de altura en una rama se producen sólo cuando el FE del nodo raíz de esa rama cambia de0 a 1 o de 0 a -1. En caso contrario, cuando el FE cambia de 1 a 0 o de -1 a 0, no se produce cambio enla altura9.

Ejercicios

Sea la expresión: x=(y-z/w*s)/(w+z-s/y)*x+(y-u/s). ¿Cuál es su árbol, la lectura en preorden y lanotación posfija?

Considere el siguiente seudo-algoritmo (no completo) que crea un árbol a partir de una notaciónposfija

............F1 <- R1MQ F <= R aux <- INFO(F) nodo <- DISPO INFO.nodo <- aux SI aux "opdo" TH Dlink.nodo <- null

Ilink.nodo <- null ColaArb.R1 <- nodo F <- F +1 R1 <- R1 + 1SN R1 <- R1 - 1 Dlink.nodo <- ColaArb.R1 R1 <- R1 - 1 Ilink.nodo <- ColaArb.R1 F <- F + 1 ColaArb.R1 <- nodo R1 <- R1 + 1 raíz <- nodo

FSIFMQ............

a. Explique qué se hace en cada uno de los pasos.

9 Si no hay cambio de altura, los valores FE del resto de los nodos en el árbol hasta la raíz no pueden cambiar(FE=altura de rama derecha-altura de rama izquierda). La altura de la rama que no pertenece al camino nopuede cambiar.


64b. Completarlo, modificarlo si contiene errores.c. Pruébelo para la expresión: x=(a-b-d*a-a+b*d/a)-(a+b-c)/a.

3. Árboles - disi.unal.edu.codisi.unal.edu.co/~lctorress/estructuras/pdf/einf24.pdf · 3. Árboles...

Documents