3. aplicaciones de la integral

UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDERGUÍA DE ESTUDIO No 3

UNIDAD ACADÉMICA DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BASICASASIGNATURA: CALCULO INTEGRAL

UNIDAD TEMÁTICA APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

COMPETENCIA RESULTADOS DE APRENDIZAJEAplicar los conceptos básicos y las técnicas de integración a la modelación y resolución de pro-blemas propios del área de inge-niería o administración en que se imparte la materia

Calcula el valor del área del plano encerrada entre curvas utilizando la integral definida.

Identifica integrales impropias de acuerdo a las propiedades Determina la convergencia o la divergencia de integrales

impropias Plantea y resuelve problemas mediante la integral aplicados a los

negocios.

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE

Real izar las act iv idades que a cont inuación se enuncias teniendo en cuenta la carpeta guía de Apuntes del Profesor

ACTIVIDAD No 1

1. Hallar el área limitada por las siguientes curvas, teniendo en cuenta el siguiente procedimiento1. Construye el gráfico de las funciones(puedes utilizar la calculadora Voyage 200)2. Encontrar los puntos en los que se cortan las curvas3. Sombrea en el gráfico obtenido el área buscada y halla los límites de integración 4. Escoge el método para calcular el área en estudio(con respecto a x o con respecto a y)5. Resolver las integrales que surgen por las técnicas vistas.6. Obtener el valor del área total pedida(como área única o suma de varias áreas)

Ten presente las siguientes fórmulas

Ejercicios

a. ; ; y el eje x

b. ;

c. ; ; y x=2

d. ;

e. ; ; para

f. ; ; y el eje x

Ing. Edgar Vargas Ruiz I- 2012


g . ; ;

h. ; ;

2. Determine el área de la región limitada por la gráfica de la función dada y el eje x en los límites indicados:

3 2

2 2

2

2

22

2

2

811) ; 3 , 0 . :

4128

2) 8 ; 4 , 8 . :3

3) 1 ; 0 , 4 . : 2

114) ( 1)( 2)( 3) ; 0 , 3 . :

4

1 1 115) ; , 3 . :

2 6

6) sen ; , . : 4

7)

y x x x Solución A u

y x x Solución A u



xy x x Solución A u

x

y x Solución A u

y

22

3 2

1 1; , 2 . : ln 2

21

8) ; 1 , 1 . :2

x x Solución A ux x

y x x Solución A u

ACTIVIDAD No 2

Resolver las siguientes integrales impropias con límites de integración infinitos(o de primera especie) teniendo en cuenta el siguiente procedimiento:

1. Determinar en cual de los tres casos se encuentra la integral impropia.2. Aplique la fórmula para el caso seleccionado y calcule la integral definida(puede ser inmediata o por

alguna técnica de integración) 3. Calcule el límite(si es necesario utilice la regla de L’Hopital)4. Determine su convergencia o divergencia.

Ten presente las siguientes formulas:



Ejercicios

1. 2. 3.

4. 5.

ACTIVIDAD No 3

Resolver las siguientes integrales impropias con discontinuidades infinitas(o de segunda especie) teniendo en cuenta el siguiente procedimiento:

1. Determinar en cual de los tres casos se encuentra la integral impropia.2. Aplique la fórmula para el caso seleccionado y calcule la integral definida(puede ser inmediata o por

alguna técnica de integración) 3. Calcule el límite(si es necesario utilice la regla de L’Hopital)4. Determine su convergencia o divergencia.

Ten presente las siguientes formulas:

Ejercicios

1. 2. 3. 4.

5. 6.

ACTIVIDAD No 4

Resolver las siguientes integrales impropias mixtas(o de tercera especie) teniendo en cuenta el siguiente procedimiento:

1. Dividir la integral impropia en una de primera especie y otra de segunda especie 2. Aplique la fórmula apropiada para cada uno de los casos seleccionados y calcule la integral

definida(puede ser inmediata o por alguna técnica de integración) 3. Calcule el límite(si es necesario utilice la regla de L’Hopital)4. Determine su convergencia o divergencia.



Ejercicios

1. 2.

ACTIVIDAD No 5

Resuelve los siguientes ejercicios aplicados a los negocios y a la administración

1. Se pensó que los cambios en las leyes tributarias de cierto país durante la década de 1980 ayudarían en gran medida a los ricos a expensas de los pobres. Las curvas de Lorentz para la distribución del ingreso en 1980 y en 1990 se presentan a continuación. Encuentre el coeficiente de Gini para el ingreso para ambos años y determine si la distribución del ingreso es más o menos equitativa en 1990 que en 1980. ¿Cual fue el efecto de las leyes tributarias?

2. En un esfuerzo para hacer que la distribución del ingreso sea más equitativa, el gobierno de un país aprueba una ley tributaria que cambia la curva de Lorentz de un año de

para el año siguiente. Encuentre el índice de Gini para el

ingreso para ambos años y compare la distribución del ingreso antes y después de que se aprobó la ley tributaria. Interprete el resultado.

3. Suponga que para cierto producto, la función de demanda es y la función de oferta

es .

a. mediante el uso de la calculadora Voyage 200 encuentre el punto de equilibrio del mercado b. Encuentre el superávit del consumidor y del productor

4. Un monopolio tiene una función de costo total de para su producto, el cual

tiene una función de demanda . Encuentre el superávit del consumidor en el

punto donde el monopolio tiene una ganancia máxima.

5. Suponga que una persona desea hacer una donación en efectivo a un hospital, la cual generará un flujo continuo de ingreso con una tasa de flujo anual en el momento t dada por

. Si la tasa de interés anual es de 12% compuesto continuamente, encuentre el valor del capital de esta perpetuidad.

6. Suponga que la producción de una máquina que se utiliza para extraer carbón se considera como un flujo continuo de ingreso con una tasa de flujo anual en el momento t dada por

Si el dinero crece a una tasa de 7% compuesto continuamente, encuentre el valor presente de esta máquina para los próximos 8 años.

7. Suponga que dentro de t años, un plan de inversión generará utilidades a una tasa

cientos de dólares por año, en tanto que una segunda inversión generará utilidades a una tasa de cientos de dólares por año.

a. ¿Durante cuantos años la tasa de rentabilidad de la segunda inversión excede a la primera?



b. Calcule el exceso neto de utilidad, suponiendo que invierte en el segundo plan durante el periodo determinado en la parte a.

c. Trace las curvas de las tasas de rentabilidad y marque la región

cuya área representa el exceso neto de utilidad calculado en el numeral b.

8. Se estima que dentro de t semanas, las contribuciones en respuesta a una campaña de recaudación de fondos se recibirán a una tasa de dólares por semana, en tanto se espera que

los gastos de campaña se acumulan a una tasa de 676 dólares por semana. a. ¿Durante cuantas semanas excede la tasa del ingreso a la tasa del costo? b. ¿Qué ingresos netos generará la campaña durante el periodo determinado en el inciso a)? c. Interprete los ingresos netos del inciso b) como un área entre dos curvas

9. Después de producir 1,200 licuadoras, una empresa determina que su planta de ensamblado está

siguiendo una curva de aprendizaje de la forma . Estimar el número de horas-

hombre requeridas en el ensamblado de 3,300 licuadoras adicionales.

10. Sonido Internacional produce radioreceptores en su línea de ensamblado. Se sabe que la primera unidad producida (equivalente a 100 aparatos) les lleva un total de 150 horas- hombre y por cada unidad adicional de 100 aparatos, se requirió menos tiempo de acuerdo con la curva de aprendizaje

. Calcular el número de horas-hombre que se requerirán para ensamblar 500

radioreceptores después de que se han ensamblado los primeros 500 aparatos.

EVALUACIÓN

Área entre curvas e Integrales impropias

1. Find the value of the constant C for which the integral converges. Evaluate

the integral for this value de C

2. For what values of m do the line and the curve enclose a region? Find the

area of the region. 3. Find the value of C such that the area of the region enclosed by the parabolas and

is 576.

4. Preguntas de análisis:

a. Se obtiene el mismo resultado si se calcula como una integral definida y luego como

el área representada por la expresión .

b. Si el límite de una integral impropia no existe quiere decir, que la integral diverge a o

5. Determine whether the statement is true or false

a. If f is continuous on and is convergent, then is convergent ______



b. If and are both divergent, then is divergent _______

c. If and diverges, then also diverges _______

d. If f and g are continuous on and then _______

BIBLIOGRAFÍA

APUNTES DEL DOCENTE STEWART James , Calculus, Early Trascendentals.5a Ed. International Thomson,2003 PURCELL Edwin J, Cálculo con geometría analítica. 4a Ed.Pearson- Prentice Hall LARSON Ron, Cálculo.McGraw-Hill,2003 ARYA, Jagdish C y LARDNER, Robin W.Matematicas aplicadas a la administración y a la economía.

4a edición. Prentice Hall, 2002 HOFFMANN, Laurence D y BRADLEY, Gerald L. Cálculo para administración, economía y ciencias

sociales. 7ª Ed. McGraw-Hill,2001


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