sesión 6.1 la integral y aplicaciones
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MATEMÁTICA APLICADA A LOS
NEGOCIOS
1
6.1 Sesión presencial Unidad 4: Integrales
Integral indefinida. AplicacionesIntegral definida
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Una compañía determina que la razón de cambio instantánea de sus ingresos está dada por:
dólares/unidad
donde q representa a las unidades producidas y vendidas del producto.
¿Cómo podemos obtener el ingreso por la venta de 50 unidades?
Motivación
233000)(' qqI
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Al terminar la sesión presencial 6.1, el alumno:
Comprende el concepto de integral indefinida y definida;
Desarrolla y calcula integrales de funciones polinómicas; y emplea dichos conceptos para resolver aplicaciones en el campo económico.
Logro de la sesión
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Dadas las funciones F(x) y f(x), si se cumple que:
para todo x en el dominio de f, entonces F(x) es una antiderivada de f(x).
Ejemplo:
La función
es una antiderivada de f(x) = x2 + 5, pues
Antiderivada
)()(' xfxF
313( ) 5 2F x x x
)()(' xfxF
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Y las funciones siguientes:
¿también son antiderivadas de f(x) = x2 + 5?
La derivada de todas ellas sigue siendo: f(x) = x2 + 5
De lo cual se concluye que una función tiene más de una antiderivada.
Luego, podemos concluir que es la antiderivada
general de f(x) = x2 + 5.
Antiderivada
311 3
312 3
313 3
( ) 5 3
( ) 5 4
( ) 5 3
F x x x
F x x x
F x x x
KxxxF 531
)( 3
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La Integral Indefinida
La antiderivada general de f(x) simbólicamente se expresa:
Expresión que se denomina integral indefinida de f.
donde F´(x) = f(x)
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Fórmulas de integración para funciones polinómicas
RkKkxdxk .1
11
.21
nKnx
dxxn
n
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Reglas de integración
dxxgdxxfdxxgxf )()()()(.2
dxxfkdxxkf )()(.1
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Ejemplo 1
Halle las siguientes integrales:
a)
b)
dxxx )1052( 3
dxxx
x )41
( 34
Nota: Recuerde que puede verificar su respuesta derivando.
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Ejemplo 2
La razón de cambio instantánea de los costos con respecto de la cantidad producida (también llamada costo marginal) está dada por:
dólares/unidad
a.- Halle la función del costo total si se sabe que el costo de producir 10 artículos es 4 800 dólares.
b.- ¿Cuál es el costo fijo?c.- Halle el costo total de producir 90 artículos.
1004)(' xxC
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Ejemplo 3
Una compañía determina que la razón de cambio instantánea de sus ingresos está dada por:
dólares/unidad
donde q representa a las unidades producidas y vendidas del producto. ¿Cuál es el ingreso por la venta de 50 unidades?
233000)(' qqI
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Integral definida
Si F(x) y f(x) son dos funciones tales que F´(x) = f(x), x , entonces
donde F’(x) = f(x)
Observe que el resultado es un número real.
)()()()( aFbFxFdxxfb
a
b
a
ba;
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Ejercicios:
Calcule:
a)
b)
c)
3
0
23 )92( dxxx
4
2
2)25( dxx
3
1
3)23( dxxx
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Cambio Neto
En muchas aplicaciones prácticas, se conoce la razón de cambio instantánea Q´(x) de una función y se requiere calcular el cambio de la función cuando x cambia de a a b.
)()()( aQbQa
bxQ(x)dx´QCN
b
a
El cambio neto es el cambio ocurrido en Q, cuando x varía desde x = a hasta x = b
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Ejemplo 4
En cierta fábrica, el costo marginal es:
dólares/unidad
cuando el nivel de producción es q unidades. ¿En cuánto aumentará el costo total de fabricación si el nivel de producción se incrementa de 10 a 13 unidades?
2)5(6)( qqC
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Ejemplo 5
El valor de reventa de cierta máquina industrial decrece durante un periodo de 10 años a una razón que cambia con el tiempo. Cuando la máquina tiene t años, la razón a la cual cambia su valor es V’(t) = -220(10 - t) dólares/año.
¿En cuánto se deprecia la máquina durante el segundo año?
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Ejemplo 6
La utilidad marginal, medida en miles de dólares por docena de unidades, de cierta empresa es:
cuando el nivel de producción es x docenas de unidades. Si el nivel de producción disminuye de 60 a 48 unidades, ¿en cuánto varía la utilidad?
54)(' xxU
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• Dada la derivada f ´(x) de una función, ¿cómo se hallaría la función f (x)?
• ¿Qué es una integral indefinida?
• ¿Cuál es la diferencia entre una integral indefinida y una integral definida?
• ¿Qué aplicaciones hemos trabajado con el uso de la integral definida?
Preguntas de reflexión