DIFERENCIACION TOTAL ~ PARCIAL EN ESPACIOS NO NORMABLES

J. M. García Lafuente

Universidad de Valladolid

l. Introducción. Es conocido que el Cálculo Diferencial cl á sico de Fréchet

en espacios normados no tiene una extensión canónica a espacios vectoriales t~

pológicos generales. Es más, han proliferado tanto las definiciones de diferen

ciación en el marco general de los espacios no normables (incluidos los espa­

cios vectoriales de convergencia) , que el verdadero problema de la teoría ha

sido precisamente la clasificación de estas definiciones y la elaboración de

una teoría unificada.

En este sentido, especial importancia tienen los trabajos de Averbukh y

Smolyanov ( [2] , (3) , (4) ) y de Frolicher y Bucher ( (7) ) por cuanto su­

ponen de generalidad en el estudio de varias definiciones de diferenciación en

en espacios vectoriales topológicos y el trabajo de Keller ( (10]) que hace

también una amplia incursión en el ámbito de 1os espacios de convergencia. A

dichos trabajos nos referiremos para todos los conceptos no definidos en el

presente trabajo. Para la teoría general de los espacios de convergencia, ver

la completa monografía [ 6) .

En el presente trabajo investigamos relaciones entre diferenciación total

y parcial de funciones definidas en espacios producto, cuando los espacios de

aplicaciones lineales continuas son provistos indistamente de topologías local

mente convexas o de estructuras de convergencia.

2. Definiciones y terminología. Sean E y F espacios localmente convexos,

Xc. E un con,; unto abierto no vacío y f X ~~ F una función continua. Dire-

mos que f admite derivada direccional según la dirección h E. E en el punto

x •X s1 existe un elemento Df(x)h € F tal que

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-1 lim t ( f(x+h) - f(x) )

€18 Df(x)h ( 1)

y f se dice que es di ferenciable Gateaux-Lévy en x €X si para todo h €E

existe Df(x)h satisfaciei1do (1) y además la aplicación derivada

Df(x) E ----) F definida p0r h ~ Df(x)h es lineal continua, es decir

Df(x) € .:t(E F')

Denotaremos ¡j, (E F') el espacio vectorial de aplicaciones lineales con­A

tinuas de E en F dotado, bien de la topología de la convergencia uniforme

sobre una familia A de conjuntos acotados de E o bi~n de alguna de las es-

tructuras de conver~encia A = A c Aqb , 11 , e , de las que puede encontrarse

un más detallado estudio en [10) y [ 8] .

La función f se dice que es difercnciable de clase 1 e A

(escrito 1

f(C A

si es diferenciable Gateaux-Lévy en todo punto x €X y además la aplicación

derivada

Df : X ----) .,;;f. (E F) A

( 2)

c.efinida por x ~ Df(x) es continua. Es interesante notar que si A= A es s

la familia de todos los conjuntos finitos de E (topología débil en ~(E F) ),

la condición (2) no aporta nada sobre la condición (1), mientras que si E es

normable y A= Ab es la familia de todos los conjuntos acotados de E (topolo-1

gía fuerte en ~(E F) ) , la condición f € C implica que f es continuamente Ab

diferenciable en el sentido clásico de Fréchet.

3. Diferenciación Total y Parcial. Sean E , ... E , F 1 n

espacios local-

mente convexos y sea E = TTE i

cada función continua f : X ~

define la inyección continua

·ª j. (X.) l. l.

·ª Ji

Para cada

F y cada

E i

----) E

conjunto abierto

punto a (a , 1

dada por

X. l. ª· 1.+l

no vacío

... '

a ) n

a ) n

Xc E ,

€X , se

La aplicación a

foj. definida en el conjunto abierto l.

.a_-1 Xi. =(j.J (X) e E. , se llama

1 1

aplicación parcial i-ésima de f en el punto a . Si la aplicación parcial

i - ésima de f en el punto ªi € Xi es diferenciable Gateaux-Lévy en el punto

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a. , diremos que f admite derivada parcial i-ésima en a . La derivada de 1

fo j. en el punto ª· 1 se denota por D f(a) E: 'ci(E .' F) • Es sencillo compro-

1 ª· 1 1

bar la siguiente

Proposi...ci...ón 1. Si... /\ E: t /\ c , 1

/\ , rr , e} y f : X----) F es uno opLLco-qb

ci_ón de clase C , poro coda Í\

o E: X , i... = 1, ••• ,n , Lo funci...ón · f ·C.dr:iLte de-·

ri...vado porci...oL i...-ési...mo en o y además f .o

• J. L

es de clase

El resultado central del trabajo es el si~uiente reciproco de la proposi-

ción precedente

T eo~ma 2. Sea /\ E: { /\ c

Í\ , IT , 8 } qb

y seo f : X ----+ F uno opLi...cocLón

tal que para cado x E X y codo L = 1, ••• ,n , Lo opLi...coc Lón porcLoL i...-ésLmo.

de f en x es dLferencLabLe G&teaux-Lévy y Lo opLLcacLón

defi...ni...do por

ferenc i...oc i...ón

o f X.

L

X ---4 .;f, (E F) Í\

X 1--+ 0 f(x) X.

es conti...nuo. Entonces

L

Df(o) (h) L O f(o) pr. (h) X. L

L

es vóLi_jQ poro cado o E X y codo h E E

1 f E: e

Í\ y Lo fórmula de dL-

Se puede demostrar incluso que si E , ... , E son espacios metrizables 1 n

(resp. metrizables y tonelados), el teorema precedente sigue válido sustitu-

yendo la estructura de conver~encia /\ por la topolo~ia /\k (resp. Í\ s

de

la convergencia uniforme sobre los conjuntos compactos de E (resp. conjuntos

finitos de E )

En particular, si E , ... , E 1 n

son espacios de Banach, el Teorema 1 con-

tiene como caso particular el análogo teorema de diferenciación total y parcial

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de la teoría clásica de la diferencial de Fréchet que, sc~6n se sabe, establece

la existencia de derivada total de f siempre que la aplicaci6n D f sea con

tinua para cada i = 1, ... ,n .

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