2triangles - ecasals...3.1 tipus de rosques i dimensions fonamentals 3.2 representació simbòlica...

1 La circumferència1.1 Angles relacionats1.2 Arc capaç

2 Triangles2.1 Elements; triangles relacionats2.2 Relació entre els elements d’un triangle2.3 Segment d’Euler2.4 Circumferència dels nou punts

3 Concepte i tipus de transformacions geomètriques3.1 Transformacions isomètriques3.2 Transformacions isomòrfiques

4 Homologia4.1 Homologia a l’espai4.2 Homologia al pla; característiques4.3 Rectes límit d’una homologia plana4.4 Construccions fonamentals en

homologia plana4.5 Determinació d’una homologia plana

5 Afinitat

1 Traçats de triangles

2 Utilització de les transformacions geomètriques2.1 Aplicacions de l'homotècia2.2 Aplicacions de la homologia2.3 Aplicacions de la afinitat

UNITAT 1

AMPLIACIÓ DE

GEOMETRIA PLANA

p. 7

1 Potència respecte a una circumferència1.1 Concepte de potència; les seves expressions1.2 Eix radical de dues circumferències;

propietats1.3 Centre radical de tres circumferències;

propietats

2 Inversió2.1 Concepte d’inversió i elements2.2 Invers d’un punt2.3 Inversa d’una recta2.4 Inversa d’una circumferència

3 Propietats de les tangents a les còniques3.1 El·lipse3.2 Paràbola3.3 Hipèrbola

1 Generalització de l’estudi de tangències1.1 Casos possibles1.2 Resolucions basades en l’eix radical1.3 Resolucions basades en la inversió

2 Tangències amb les altres còniques2.1 Tangents a l’el·lipse2.2 Tangents a la paràbola2.3 Tangents a la hipèrbola

UNITAT 2

TANGÈNCIES

p. 37

1 Delimitació del sistema i notacions a utilitzar

2 Projeccions dièdriques dels elements fonamentals2.1 Representació del punt2.2 Representació de la recta2.3 Representació del pla

3 Posicions favorables; propietats derivades3.1 De rectes3.2 De plans

4 Pertinences entre elements4.1 Punt i recta4.2 Recta i pla4.3 Punt i pla4.4 Rectes notables del pla

5 Paral·lelisme5.1 Entre rectes5.2 Entre recta i pla5.3 Entre plans

6 Perpendicularitat6.1 Teoremes relacionats amb la

perpendicularitat6.2 Entre rectes6.3 Entre recta i pla6.4 Entre plans

1 Altres formes de definir el pla

2 Traçat de rectes i plans2.1 Amb condicions particulars de paral·lelisme2.2 Amb condicions particulars de

perpendicularitat

UNITAT 3

SISTEMA DIÈDRIC,

ELEMENTS

p. 69

Dibuix tècnic 2 Taula de continguts

Coneixements teòrics Aplicacions pràctiques

1 Interseccions entre els elements fonamentals.Visibilitat

1.1 De rectes1.2 Entre recta i pla1.3 Entre plans

2 Distàncies entre elements fonamentals.Posicions favorables de resolució

2.1 Entre dos punts2.2 Entre punt i pla2.3 Entre punt i recta2.4 Entre rectes paral·leles2.5 Entre plans paral·lels2.6 Entre rectes que es creuen

3 Angles entre elements fonamentals. Posicionsfavorables

3.1 Entre dues rectes3.2 Entre dos plans3.3 Entre recta i pla3.4 Amb els plans de projecció

1 Interseccions en posicions no favorables dels elements1.1 Entre recta i pla1.2 Entre plans

2 Distàncies en veritable magnitud; resolució en projeccions2.1 Entre dos punts2.2 Entre punt i pla2.3 Entre punt i recta2.4 Entre rectes paral·leles2.5 Entre plans paral·lels2.6 Entre rectes que es creuen

3 Angles en veritable magnitud; resolució en projeccions3.1 Entre dues rectes que es creuen3.2 Entre dos plans3.3 Entre recta i pla3.4 Amb els plans de projecció

UNITAT 5

SISTEMA DIÈDRIC,INTERSECCIONSI VERITABLES

MAGNITUDS

p. 113

1 Superfícies i cossos. Introducció1.1 Concepte de superfície1.2 Generació i classificació1.3 Políedres regulars1.4 Fórmula d’Euler1.5 Políedres conjugats

2 Característiques dels diferents políedres regulars2.1 Tetràedre. Elements i relacions2.2 Hexàedre. Elements i relacions2.3 Octàedre. Elements i relacions2.4 Dodecàedre i icosàedre

1 Representacions dels políedres regulars1.1 Tetràedre1.2 Hexàedre1.3 Octàedre1.4 Dodecàedre1.5 Icosàedre

2 Seccions planes, desenvolupament i transformades2.1 Seccions planes dels políedres2.2 Interseccions recta-políedre2.3 Desenvolupaments

3 Presència dels políedres regulars3.1 Antecedents històrics3.2 Políedres i art

UNITAT 6

SISTEMA DIÈDRIC,POLIEDRES

REGULARS

p. 139

1 Superfícies radials de vèrtex propi1.1 Concepte. Classificació1.2 La piràmide. Classificació i elements1.3 El con. Classificació i elements

1 Representacions més usuals de les diferents superfícies1.1 La piràmide1.2 El con1.3 El prisma1.4 El cilindre

UNITAT 7

SUPERFÍCIES

RADIALS

p. 169

1 Canvis de pla1.1 Noves projeccions del punt1.2 Noves projeccions de la recta1.3 Noves projeccions del pla

2 Girs2.1 Gir d’un punt2.2 Gir d’una recta2.3 Gir d’un pla

3 Abatiments3.1 Abatiment d’un pla3.2 Abatiment i relació d’afinitat

1 Dels canvis de pla1.1 Obtenir posicions favorables de rectes1.2 Obtenir posicions favorables de plans

2 Dels girs2.1 Obtenir posicions favorables de rectes2.2 Obtenir posicions favorables de plans

3 Dels abatiments3.1 Traçat de formes en veritable magnitud;

combinació de moviments3.2 Restituir formes abatudes a projeccions

UNITAT 4

SISTEMA DIÈDRIC,

MOVIMENTS

p. 93


1 La normalització.1.1 Classificació de les normes.1.2 Organismes de normalització.1.3 Normalització a Espanya.1.4 Normes fonamentals.

2 El projecte.2.1 Parts del projecte.2.2 Tipus de dibuixos i plànols.

1 Elaboració d’un projecte.1.1 Aproximació dins de l’àmbit acadèmic1.2 Àmbit de l’ arquitectura i lúrbanisme1.3 El dibuix en perspectiva com a part del projecte

UNITAT 9

NORMALITZACIÓI CROQUISACIÓ.

EL PROJECTE

p. 211

1 Representació del tríedre trirectangle.1.1 Partint del triangle de les traces1.2 Partint de les projeccions dels eixos

2 Interseccions entre superfícies de revolució.2.1 Per plans auxiliars2.2 Per contraprojecció

3 Ombres.1.1 Ombra dún punt1.2 Ombra dúna recta1.3 Ombres de plans i sòlids

1 Determinació d’interseccions; visibilitat del conjunt.1.1 Cossos de vèrtexs propis1.2 Cossos amb vèrtex propi i impropi1.3 Cossos amb vèrtexs impropis

2 Traçats d’ombres.

UNITAT 8

AMPLIACIÓ DEL

SISTEMA DIÈDRIC

p. 197

1 Representació normalitzada de cossos1.1 Sistema europeu1.2 Sistema americà1.3 Elecció de l’alçada i vistes necessàries1.4 Vistes especials

2 Talls, seccions i trencats2.1 Concepte de tall i secció; representació2.2 Tipus de talls2.3 Tipus de seccions2.4 Simplificació per trencat

3 Representació d’elements enroscats3.1 Tipus de rosques i dimensions fonamentals3.2 Representació simbòlica de rosques

4 Acotació4.1 Elements d’acotació4.2 Sistemes de distribució de cotes4.3 Principis d’acotació

1 Representeu els talls indicats en las vistes d’una peça

2 Representeu les vistes d’una peça donada

3 Especejament d’un conjunt mecànic

4 Dibuix de construcció

UNITAT 10

NORMALITZACIÓEN EL DIBUIXINDUSTRIAL I

DE CONSTRUCCIÓ

p. 229

Dibuix tècnic 2 Taula de continguts


2 Superfícies radials de vèrtex impropi2.1 Concepte i classificació2.2 El prisma. Classificació i elements2.3 El cilindre. Classificació i elements

3 Seccions planes; interseccions amb rectes3.1 Secció plana, mètodes de determinació3.2 Seccions planes particulars3.3 Intersecció recta-cos

4 Desenvolupaments4.1 Concepte4.2 Desenvolupament d’un prisma oblic4.3 Desenvolupament del con de revolució;

rectificació

2 Seccions planes i interseccions2.1 Seccions planes de sòlids2.2 Intersecció recta-cos

3 Desenvolupaments i transformades

UNITAT 7

SUPERFÍCIES

RADIALS

p. 169

1 Espai Paper

2 Obtenció de vistes a partir d’un sòlid 3D2.1 Solview (configurar vista) i Soldraw2.2 Creació del perfil d’un sòlid

3 Acotació de vistes en Espai Paper

4 Visualització de sòlids en perspectiva cònica4.1 Crear càmares4.2 Visualització 3D

1 Presentacions en Espai Paper i la seva impressió.

UNITAT 12

DIBUIX EN CAD,

ESPAI PAPER

p. 287

1 Configuració del modelatge

2 La finestra rendera

3 Utilització de materials i textures

4 Assignació de llums i determinació d’ombres4.1 Llum puntual4.2 Llum distant4.3 Focus de llum

5 Altres elements paisatgístics i efectes realistes5.1 Fons5.2 Boira

1 Realitzar renders d’instal·lacions senzilles

UNITAT 13

DIBUIX EN CAD,MODELATGE DE

SÒLIDS

p. 307

1 Entorn de treball 3D1.1 Les finestres gràfiques1.2 El sistema de coordenades personals SCP1.3 Maneres de visualització

2 Superfícies i sòlids2.1 Superfícies2.2 Sòlids2.3 Regió

3 Ordres de creació i edició de superfícies i sòlids3.1 Generar sòlids a partir de les 2D

3.1.1 Extrusió3.1.2 Revolució3.1.3 Sollevar

3.2 Edició de sòlids3.2.1 Matriu 3D3.2.2 Girar 3D3.2.3 Simetria 3D

4 Operacions booleanes en sòlids4.1 Unió4.2 Diferència4.3 Intersecció

1 Creació d’objectes 3D

UNITAT 11

DIBUIX EN CAD,

TRES DIMENSIONS

p. 263


Pàg. 331 Termes emprats

Pàg. 333 Bibliografia

1Ampliació degeometria plana

UNITAT

CONEIXEMENTS TEÒRICS

1 La circumferència1.1 Angles relacionats1.2 Arc capaç

2 Triangles2.1 Elements; triangles relacionats2.2 Relació entre els elements d’un triangle2.3 Segment d’Euler2.4 Circumferència dels nou punts

3 Concepte i tipus de transformacions geomètriques3.1 Transformacions isomètriques3.2 Transformacions isomòrfiques

4 Homologia4.1 Homologia en l’espai4.2 Homologia en el pla; característiques4.3 Rectes límit d’una homologia plana4.4 Construccions fonamentals en homologia plana4.5 Determinació d’una homologia plana

5 Afinitat

APLICACIONS PRÀCTIQUES

1 Traçat de triangles

2 Utilització de les transformacions geomètriques2.1 Aplicacions de l’homotècia2.2 Aplicacions de l’homologia2.3 Aplicacions de l’afinitat

QÜESTIONS I EXERCICIS

Aquesta primera unitat s’estableix com a ampliació d’alguns dels con-tinguts de Dibuix Tècnic 1 relacionats amb la circumferència i els trian-gles. Es completa amb les dues primeres transformacions geomètriquesque vam deixar pendents a la unitat 9 del curs anterior, l’homologia il’afinitat*.

1 LA CIRCUMFERÈNCIA

La circumferència és una corba, tancada i plana, lloc geomètric* dels puntsdel pla equidistants d’un altre d’interior anomenat centre; la distànciaentre aquest i qualsevol dels punts de la circumferència n’és el radi.

1.1 Angles relacionats

En relació amb una circumferència, podem establir els angles següents:

• Angle centralÉs el que té el seu vèrtex en el centre de la circumferència, sent-ne els seuscostats dos radis, (Fig.1). La mida de l’arc és la de l’angle central correspo-nent i viceversa. Aquest angle s’utilitza com a referència per determinar-ne el valor dels altres angles que s’hi relacionen.

• Angle inscritAnomenem angle inscrit aquell que, amb el vèrtex sobre la circumferència,té els seus costats secants. La intersecció dels costats amb la circumferènciadefineix un arc que direm que està comprès o delimitat per l’angle.

El valor de l’angle inscrit és la meitat de l’angle central que abraça elmateix arc. En la figura 2, el triangle AOV és isòsceles, on són iguals elsangles dels vèrtexs A i V; la seva suma és el que falta a l’angle de vèrtexen O del mateix triangle per valer 180º. Per tant, OAV + AVO = AOB, idonada la igualtat entre els dos primers angles, hi podrem establir que2AVO = AOB i, finalment, que AVO = AOB/2.

La demostració anterior, efectuada quan un dels costats de l’angle inscritpassa pel centre de la circumferència, pot efectuar-se de la mateixa mane-ra i, per tant, generalitzar-se per a qualsevol posició dels costats de l’angleinscrit.

• Angle semiinscritEs pot considerar com un cas particular de l’anterior, quan un dels costatsde l’angle sigui tangent a la circumferència, (Fig. 3). El seu valor tambéserà la meitat de l’angle central que n’abraci l’arc delimitat pels costats del’angle semiinscrit: AVB = VOB/2.

8

UNITAT 1 CONEIXEMENTS TEÒRICS Ampliació de geometria plana

Fig. 1

Fig. 2

Fig. 3

• Angle interiorEn aquest angle el seu vèrtex és un punt de l’interior de la circumferència,(Fig. 4), i els seus costats en són secants. El seu valor és la semisuma delsdos angles centrals corresponents als arcs agafats pels seus costats i per lesseves prolongacions.

En qualsevol triangle, en l’AVB’, per exemple, el valor d’un angle exterior ésigual a la suma dels dos interiors no adjacents*; així, l’angle AVB és igual ala suma dels angles AB’B i A’AB’. En ser aquests últims angles inscrits en lacircumferència, el seu valor serà la meitat de l’angle central que n’agafil’arc, i per tant:

AVB = AB’B + A’AB’ = AOB/2 + A’OB’/2 = 1/2 (AOB + A’OB’)

• Angle exteriorEl seu vèrtex és un punt exterior a la circumferència, sent-ne els seus cos-tats rectes secants, (Fig. 5); en casos extrems, els costats poden ser unsecant i l’altre tangent o ambdós tangents.

De forma similar a com hem realitzat amb l’angle interior, en determinemel seu valor: l’angle AB’B és igual a la suma dels angles VAB’ i AVB, inte-riors no adjacents en el triangle AVB’; per tant, podrem establir que:

AVB = AB’B – VAB’ = AOB/2 – A’OB’/2 = 1/2 (AOB – A’OB’)

És a dir, que el valor de l’angle exterior és la semidiferència dels dos anglescentrals corresponents als arcs agafats pels seus costats.

1.2 Arc capaç

Sigui un segment AB i un angle α, (Fig. 6), anomenem arc capaç de l’angle αsobre el segment AB, al lloc geomètric format pels vèrtexs dels angles iguals aα i els costats dels quals passen pels extremsA i B del segment. Per traçar l’arccapaç del segment AB, es traça per un dels seus extrems, l’A en la figura, unasemirecta que formi un angle α amb el segment i, pel mateix extrem A, estraça una perpendicular a l’esmentada semirecta. La intersecció d’aquesta per-pendicular amb la mediatriu del segment AB és el centre O de l’arc capaç.

En la figura anterior l’angle AOM és igual a l’angle α, per tenir els seus costatsrespectivament perpendiculars. Per tant, l’angle central AOB serà igual a 2α, iqualsevol angle inscrit en la circumferència que passi per A i B tindrà per valorla meitat d’AOB, és a dir, el valor d’α.

Considerant el segment AB com a eix de simetria, l’arc capaç s’estendria enambdós semiplans simètricament respecte d’AB; des de qualsevol dels puntsdels dos arcs simètrics es «veu» el segment AB sota el mateix angle α.

L’arc capaç té nombroses aplicacions en diferents construccions de geome-tria plana (triangles, per exemple), en navegació, etc.

UNIDADCONOCIMIENTOS TEÓRICOSAmpliació de geometria plana CONEIXEMENTS TEÒRICS

9

UNITAT

Fig. 4

Fig. 5

Fig. 6

1

2 TRIANGLES

Un triangle és la superfície plana limitada pertres rectes que es tallen dues a dues; els puntsd’intersecció són els vèrtexs del triangle i cadasegment, comprès entre dos vèrtexs, és undels costats. En qualsevol triangle es verifiquenles propietats següents:

• Cada un dels costats és menor que lasuma dels altres dos i major que la sevadiferència.

• Els tres angles interiors sumen 180º. A uncostat més gran s’hi oposa sempre unangle més gran i viceversa.

• Les rectes paral·leles a qualsevol d’un delscostats d’un triangle divideixen els altresdos en parts proporcionals.

2.1 Elements; trianglesrelacionats

Recordem les rectes notables que podemtraçar en qualsevol triangle i els seus puntsd’intersecció:

• Altura. La perpendicular traçada des decada un dels vèrtexs al costat oposat. Lestres altures es tallen en l’ortocentre, Oc.

• Mediatriu. Cada una de les perpendicu-lars traçades als costats del triangle en elseu punt mitjà; la seva intersecció és el cir-cumcentre, Cc, del triangle.

• Mitjana. És el segment traçat entre cadavèrtex i el punt mitjà del costat oposat.Les tres mitjanes d’un triangle es tallenen el seu baricentre, Bc.

• Bisectriu. És la recta que divideix cada undels angles interiors del triangle en duesparts iguals; es tallen en l’incentre, Ic.

En relació amb un triangle qualsevol de vèrtexsABC, podem establir els triangles següents, ambles característiques i relacions que comentem acontinuació:


10

Theo van Doesburg. Contra-composició XIII. 1925.Oli sobre tela.

Casa tradicional a Shirakawago, Japó.

• Triangle òrticÉs el que té els vèrtexs als peus de les altures del triangle ABC, (Fig. 7), elseu perímetre és mínim en relació amb la resta de triangles inscrits en eltriangle ABC.

L’ortocentre Oc del triangle ABC és, al mateix temps, incentre del triangleòrtic HaHbHc, pel que les altures del primer triangle són també bisectrius delseu triangle òrtic.

• Triangle complementariTriangle complementari d’un triangle ABC, (Fig. 8), és el que té els vèrtexsen els punts mitjans dels seus costats. Els costats d’un triangle complemen-tari són paral·lels i la seva longitud és la meitat que la dels corresponentsdel triangle que el conté.

El circumcentre Cc del triangle ABC és ortocentre del seu complementariMaMbMc, pel que les mediatrius del primer són altures del segon.

• Triangle podarTriangle podar d’un triangle donat ABC, (Fig. 9), és el triangle PaPbPc elsvèrtexs del qual són els peus de les perpendiculars als costats traçats desd’un punt P donat.

Ampliació de geometria plana CONEIXEMENTS TEÒRICS UNITAT

11

Fig. 7

Fig. 8 Fig. 9

1

2.2 Relació entre els elements d’un triangle

En el triangle ABC de la figura 10, n’hem traçat la circumferència inscri-ta, amb centre en el punt Ic d’intersecció entre les bisectrius dels seusangles interiors, i les exinscrites, de centres en les interseccions Ia, Ib i Icentre les bisectrius dels angles exteriors. Assenyalant els punts de tangèn-cia entre les quatre circumferències i els costats del triangle o les seves pro-longacions, segons correspongui, podem establir les relacions següents:

• Sent a, b i c els costats del triangle ABC, i Q, R, S, X, Y i Z els puntsde tangència de les circumferències exinscrites amb les prolongacionsdels costats, podem establir, que:

YZ = a + b; QR = a + c; i SX = b + c


12

Fig. 10

2.3 Segment d’Euler

Si en un triangle qualsevol, el ABC de la figura 11, per exemple, determi-nem la posició de l’ortocentre Oc, del circumcentre Cc i del baricentre Bc,els tres punts estan alineats. Al segment que té per extrems Oc i Cc se’ldenomina segment d’Euler. El baricentre en divideix aquest segment endues parts de longituds 1/3 i 2/3.

• Els segments tangents a una circumferència traçats des d’un punt sóniguals, pel que sent Ta, Tb, i Tc els punts de tangència amb les cir-cumferències exinscrites i M, N i P amb la circumferència inscrita,podem establir que:

ZTc = STa = YM = XN = b;YTc = QTb = ZM = RP = a;RTb = XTa = QP = SN = c

De les relacions anteriors es desprèn que, sent p el semiperímetre deltriangle ABC, també es compleix:

QC = RA = YB = ZA = SC = XB = p (perímetre –2)

i TbP = c – a; TcM = b – a; TaN = c – b, d’on resultarà que:

BM = BN = ATc = AQ = CR = CTa = p – b;AM = AP = BS = CTb = CX = BTc = p – a;CP = CN = ATb = BZ = AY = BTa = p – c

• Els centres Ia, Ib i Ic de les circumferències exinscrites es troben sobreles prolongacions de les bisectrius dels angles interiors del triangleABC. Aquestes bisectrius són també perpendiculars als costats deltriangle els vèrtexs del qual són els punts Ia, Ib i Ic, pel que són alho-ra també les seves altures; d’aquesta manera el triangle ABC és òrtici tenen els seus vèrtexs en els punts Ia, Ib i Ic.

Ampliació de geometria plana CONEIXEMENTS TEÒRICS 1UNITAT

13

Fig. 11

2.4 Circumferència dels nou punts

La circumferència dels nou punts, o circumferència de Feuerbach, té elseu centre en el punt mitjà del segment d’Euler, sent el seu radi la meitatdel de la circumferència circumscrita al mateix triangle; passa pels noupunts següents:

• Punts mitjans dels costats Ma, Mb i Mc del triangle ABC de la figura11; és a dir, pels vèrtexs del triangle complementari.

• Peus de les altures Ha, Hb i Hc o vèrtexs del triangle òrtic.• Punts mitjans dels segments que uneixen l’ortocentre amb els vèr-texs: punts Na, Nb i Nc.

La circumferència de Feuerbach també és tangent a les circumferènciestangents als costats del triangle: la inscrita i les exinscrites, (Fig. 12).


14

Fig. 12

3 CONCEPTE I TIPUS DE TRANSFORMACIONS GEOMÈTRIQUES

Una transformació geomètrica és una operació, o la combinació de dife-rents, que en permet deduir una nova forma geomètrica a partir d’unaaltra d’inicial. A cada punt de la forma origen, li’n correspon un altre de laforma transformada, que anomenarem homòleg o imatge del primer. Lafigura transformada, homòloga de l’original, està formada per punts i rec-tes homòlegs. Quan en una transformació l’element original i el seuhomòleg coincideixen, a aquest darrer l’anomenem element doble*.

L’aspecte de la forma homòloga respecte a l’original permet establir elstipus de transformacions següents:

• Isomètriques. L’element homòleg conserva les dimensions i anglesde la forma inicial. Són les simetries axial i central, el gir o rotaciói la translació. A totes aquestes transformacions també se les deno-mina moviments.

• Isomòrfiques. L’element homòleg conserva només la forma (angles)de la inicial, existint proporcionalitat entre les seves dimensions.A aquest grup pertanyen l’homotècia i la semblança.

• Anamòrfiques. Quan hi ha un canvi de forma entre la figura inicial ila seva homòloga. Són transformacions d’aquest tipus l’homologia,l’afinitat i la inversió.

Una transformació es denomina biunívoca quan, a cada element de laforma inicial, li’n correspon un i només un de la transformada, i a cada undels punts d’aquesta, un i només un de la forma inicial.

A les transformacions dels dos primers grups anteriors, estudiades en lesunitats 8 i 9 de Dibuix tècnic 1, ens hi referirem breument en els pròximsapartats. De les transformacions anamòrfiques, n’estudiarem les dues pri-meres, homologia i afinitat, i deixarem la inversió per a la pròxima unitat.

3.1 Transformacions isomètriques

De cada una de les transformacions d’aquest grup, en recordarem els ele-ments característics que les defineixen i els elements dobles.

• Simetria axial. L’element característic d’aquesta transformació ésl’eix de simetria, (Fig. 13). Són elements dobles el propi eix de sime-tria, les rectes perpendiculars a ell i les circumferències el centre deles quals es troba en l’eix de simetria; els punts que formen aquestescircumferències no són dobles.

• Simetria central. El centre de simetria O és el seu element caracte-rístic, (Fig. 14). Són elements dobles el centre de simetria, les rectesque hi passen i les circumferències que tinguin el seu centre en el desimetria, encara que no estiguin formades per punts dobles.


15

Fig. 13

Fig. 14

• Gir o rotació. Els seus elements característics són el centre O il’angle α de gir, (Fig. 15). En aquesta transformació, els elementsdobles són el centre de gir i les circumferències del seu centre, enca-ra que aquestes no estiguin formades per punts dobles.

• Translació. L’element característic d’aquesta transformació és elvector v que en defineix la direcció, el sentit i la distància, (Fig. 16).Els únics elements dobles en una translació són les rectes paral·lelesa la direcció de la translació, encara que no estiguin formades perpunts dobles.

3.2 Transformacions isomòrfiques

Quan dues figures semblants (les que tenen angles iguals i costats pro-porcionals) es troben alineades respecte a un punt, es diu que sónhomotètiques, (Fig. 17). El punt O en relació amb el qual estan alinea-des és el centre d’homotècia, el qual, junt amb la seva raó, formen elselements característics d’una homotècia. Els elements dobles d’unahomotècia són el seu centre i les rectes que hi passen, encara que noestiguin formades per punts dobles.

L’homotècia pot ser directa o positiva quan cada punt i el seu homòleges troben en la mateixa semirecta amb res-pecte al centre d’homotècia, al qual ano-menarem d’homotècia directa. L’homotèciaserà inversa o negativa quan el centred’homotècia, inversa en aquest cas, es trobien el segment comprès entre cada punt i elseu homòleg.

Entre dues circumferències es poden establir dues relacions d’homotècia,una de directa i una altra d’inversa, (Fig. 18). En ser els centres d’ambduescircumferències homòlegues* entre si, els dos centres d’homotècia, direc-te i invers, estaran sobre la recta d’unió dels centres de les circumferències.


16

Fig. 16

Fig. 17

Fig. 18

Fig. 15

4 HOMOLOGIA

L’homologia és la primera de les dues transformacions anamòrfiques queveurem en aquesta unitat. A cada un dels punts i rectes d’una forma planainicial li corresponen, respectivament, un punt o una recta de la seva formahomòloga, complint unes determinades condicions que veurem en elsapartats propers.

4.1 Homologia en l’espai

L’homologia en l’espai és una trans-formació projectiva* el centre de laqual és un punt propi V. En tallar laradiació de vèrtex V mitjançant dosplans, el de terra i el del dibuix en larepresentació de la figura 19,n’obtindrem sobre cada un una sec-ció plana, ABC i A’B’C’ respectiva-ment. Ambdues seccions són figureshomològiques en l’espai, d’acordamb les condicions següents:

• Tots els raigs que passen per Vintercepten punts homòlegs, Ai A’, B i B’, etc., sobre cada un dels plans.

• Les rectes homòlogues es tallen en punts de l’eix de l’homologia. Totsels punts de l’eix són punts dobles. En la representació espacial de lafigura 19, l’eix de l’homologia és la recta d’intersecció entre el pla deterra i el del dibuix.

• En l’homologia no es conserven propietats mètriques com el paral·lelismeo la perpendicularitat, ni les mesures de segments i angles.

4.2 Homologia en el pla

Si en la figura anterior abatem el pla del dibuixrespecte a la seva intersecció amb el pla de terrafins que ambdós coincideixin, les dues seccionsplanes seran coplanàries i ambdues defineixenl’homologia plana de la figura 20. Aquesta potdefinir-se com a una transformació geomètricabiunívoca d’una figura en una altra, ambduescoplanàries, de forma que entre ambdues escompleixin les relacions següents:


17

Fig. 19

Fig. 20

Els homòlegs dels punts de l’infinit del triangle A’B’C’, (Fig. 21), defineixen unlloc geomètric representat per la recta límit RL corresponent al triangle ABChomòleg de l’anterior. Per trobar aquesta recta límit, ens caldrà buscar unparell de punts homòlegs corresponents a uns altres punts impropis* d’A’B’C’.

Pel centre V de l’homologia traçarem la recta VM’∞ paral·lela a B’A’M’∞;ambdues rectes, per ser paral·leles, han de tallar-se en l’infinit. El punt M,determinat en la intersecció de VM’∞ amb la recta AB, homòloga de laseva paral·lela A’B’, és l’homòleg del punt M∞ de l’infinit de la figuraA’B’C’; per tant, M pertany a la recta límit del seu triangle homòleg ABC.


18

Fig. 21

• Cada punt i el seu homòleg estan alineats amb el centre V del’homologia.

• Una recta i la seva homòloga es tallen en un mateix punt (homòlegde si mateix, per tant, punt doble) situat en l’eix de l’homologia.

• Les rectes que uneixen cada punt amb el seu homòleg passant pel cen-tre de l’homologia són rectes dobles, en ser homòlogues de si mateixes.

4.3 Rectes límit d’una homologia plana

Rectes límit són les rectes que representen el lloc geomètric dels punts del’infinit de cada una de les dues figures o formes relacionades per unahomologia plana. En ser sempre dues les figures homòlogues, en cadahomologia hi podrem establir dues rectes límit.

De forma similar trobem el punt N homòleg d’N’∞ del triangle A’B’C’. Larecta que defineixen els punts M i N és la recta límit RL del triangle ABC,posició dels punts homòlegs dels de l’infinit d’A’B’C’.

La recta límit RL’, corresponent als punts de l’infinit del triangle ABC, esdetermina de forma igual a la descrita per trobar els punts M i N; així tro-bem S’, homòleg del punt S∞ d’ABC. Sense cap necessitat de trobar unsegon punt, per S’ tracem la recta límit paral·lela, com a l’anterior, a l’eixde l’homologia.

A més a més de la condició de paral·lelisme existent entre les rectes límit id’ambdues amb l’eix, la distància del vèrtex a una de les rectes límit és lamateixa que la distància existent des de l’eix a la segona recta límit, sentambdues interiors o exteriors al conjunt de vèrtex i eix.

4.4 Construccions fonamentals en homologia plana

En una homologia definida per la posició del vèrtex, pel seu eix i per unade les seves rectes límit, hi trobarem els elements homòlegs d’algunesposicions de rectes que poden ajudar-nos, més endavant, en la resolucióde problemes d’aplicació de l’homologia.

• Homòloga d’una recta r qualsevolBuscarem els homòlegs dels punts de tall de la recta r donada amb l’eix ila recta límit, (Fig. 22). La intersecció A-A’ amb l’eix és un punt doble enl’homologia, pel que la recta homòloga r’ passarà per aquesta intersecció.

La recta VM, sent M la intersecció de la recta r donada amb RL, defineix laposició dels punts de l’infinit de r’, pel que aquesta serà paral·lela a la direc-ció que defineix VMM’∞ (passant, lògicament, pel punt doble A-A’).


19

Fig. 22

• Homòloga d’una recta paral·lela a l’eix de l’homologiaTracem una recta s auxiliar que es talli amb r en un punt P, (Fig. 23).Aquesta recta auxiliar intercepta els punts A i M sobre l’eix de l’homologiai la recta RL, pel que determinarem la seva homòloga s’ tal com hem fet enl’apartat anterior. Coneguda s’, la situem sobre l’homòleg P’ (amb l’ajudade la recta VP). Per P’, també paral·lela a l’eix, hi traçarem la recta homò-loga buscada, r’.

• Homòleg d’un punt qualsevolL’homòleg d’un punt P, (Fig. 23), es determina fent-hi passar una recta squalsevol. Hi trobem l’homòloga s’ d’aquesta recta auxiliar i, sobre ella,segons la correspondència VP, hi trobarem la posició de l’homòleg P’.

4.5 Determinació d’una homologia plana

Fins ara hem vist els diferents elements que cal considerar enuna homologia: vèrtex, eix, rectes límit, punts i rectes dobles,etc. No obstant això, no cal conèixer tots aquests elementsperquè una homologia quedi determinada; hi ha uns ele-ments mínims a partir dels quals podrem determinar els res-tants de l’homologia. Vegem-ne aquests casos a continuació:

• El vèrtex, l’eix i el punt homòleg d’un punt de la figuraObtindrem els homòlegs dels restants punts de la figura mit-jançant l’aplicació de les dues propietats que hem vist en 4.2,(Fig. 24).

• El vèrtex, l’eix i la recta límit de la figura donadaProlonguem un dels costats de la figura original, l’AB en lafigura 25; aquesta recta intercepta el punt M sobre la rectalímit i el punt doble 1-1’ en l’eix. Per aquest últim, tracem la


20

Fig. 23

Fig. 24

paral·lela a la recta VMM’∞; sobre aquesta paral·lela es trobaran A’ i B’,homòlegs d’A i B, determinats amb les rectes VA i VB. Amb les propietatsconegudes de l’homologia, completarem C’.

• L’eix, la recta límit i el punt homòleg d’un punt de la figuraEn la construcció de la figura 26, prolonguem AB fins a tallar la recta límiten el punt M i l’eix en el punt doble 1-1’. Unim aquest últim amb A’ i tra-cem la paral·lela per M; la intersecció d’aquesta paral·lela amb la recta AA’ens defineix la posició del vèrtex V de l’homologia. Conegut aquest vèrtex,completem, en la forma acostumada, els restants vèrtexs de la formahomòloga de la inicial.


21

Fig. 25

Fig. 26

• Les dues rectes límit i el vèrtex d’homologiaLes rectes límit, en el cas de la figura 27, es troben ambdues entre el vèrtexi l’eix de l’homologia. La posició d’aquest últim la determinem paral·lelamenta les rectes límit i a la mateixa distància de RL’ a la que es troba RL de V.Coneguts aquests quatre elements, en podrem determinar la figura homò-loga de qualsevol altra de coneguda.

• Dos punts homòlegs d’altres punts de la figura donada i la direc-ció de l’eixLa unió de cada punt amb el seu homòleg, (Fig. 28), ens defineix dues rec-tes que es tallen en el vèrtex V de l’homologia. Les rectes homòlogues ABi A’B’ es tallen en el punt doble 1-1’ de l’eix. Passant per aquest punt, iparal·lelament a la direcció donada de l’eix, el tracem, amb la qual cosa tor-narem a tenir les dades necessàries per completar el traçat de qualsevolfigura homòloga d’una altra de coneguda.

5 AFINITAT

Les formes perspectives ABC i A’B’C’ de la figura 29 corresponen a unahomologia en l’espai, tal com acabem d’estudiar; la intersecció dels dosplans hi defineix l’eix de l’homologia i el centre V de la radiació represen-ta el seu vèrtex o centre.

Amb els mateixos elements i quan el centre de la radiació és impropi,(Fig. 30), hi tenim definida una afinitat. En ambdues transformacionsels punts homòlegs estan alineats amb el centre de la radiació, sigui


22

Fig. 27 Fig. 28

aquest propi o impropi, i les rectes homòlogues es tallen en punts doblesde l’eix de la transformació.

L’afinitat, per tant, pot considerar-se com un cas particular d’homologia,amb el centre a l’infinit. Les unions de cada punt amb el seu homòleg defi-neixen segments paral·lels a la direcció d’afinitat, (Fig. 31). El seu eix ésuna recta de punts dobles i està mancat de rectes límit.

Dues formes afins en el pla poden estar disposades una a cada costat del’eix de l’afinitat, com en l’exemple anterior, o ambdues a un mateix cos-tat de l’esmentat eix, com a les formes triangulars de la figura 32. En amb-dós casos es compleixen les propietats enunciades de l’afinitat.

La simetria axial pot considerar-se com un cas particular d’afinitat; on ladirecció d’afinitat és perpendicular a l’eix i la raó d’afinitat és –1, en estaruna forma i la seva simètrica en semiplans oposats però equidistants del’eix de la simetria.


23

Fig. 29 Fig. 30

Fig. 31 Fig. 32

1 TRAÇAT DE TRIANGLES

En general són tres les dades necessàries per construir un triangle qualse-vol, si bé es poden reduir si hi afegim informació del tipus de triangle dequè es tracti: isòsceles, equilàter, etc. A la casuística presentada en Dibuixtècnic 1, hi afegim ara unes altres construccions on apliquem el concepted’arc capaç estudiat en 1.2.

• Construir un triangle coneguts un costat, el seu angle oposati l’altura corresponent al costat donat

En relació amb el segment BC, costat a, construïm l’arc capaç corresponenta l’angle A, (Fig. 33). Qualsevol dels punts de l’arc capaç pot correspondre ala posició del vèrtex A del triangle; per concretar aquesta posició disposemde la tercera dada de l’enunciat, l’altura ha. Tracem una paral·lela al segmentBC a una distància igual a la magnitud de l’altura ha; la intersecció d’aquestaparal·lela amb l’arc capaç ens defineix les posicions del vèrtex A; qualsevold’elles, unides amb B i C, ens completa el triangle sol·licitat.

• Construir un triangle coneguts un costat, el seu angle oposati la mitjana corresponent al costat donat

Com en el cas anterior, representem l’arc capaç de l’angle A corresponental segment BC. Ara, (Fig. 34), en concretem la posició del vèrtex A mit-jançant un arc amb centre en el punt mitjà de BC i el radi del qual és lalongitud de la mitjana ma; la intersecció d’aquest arc amb l’arc capaç,traçat inicialment, ens defineix les úniques posicions possibles del vèrtex Ad’acord amb les dades de l’enunciat.

24

UNITAT 1 APLICACIONS PRÀCTIQUES Ampliació de geometria plana

Fig. 33

25

UNITATAPLICACIONS PRÀCTIQUESAmpliació de geometria plana 1

• Construir un triangle coneguts dos costats i l’angle oposata un d’ells

N’iniciem la construcció, (Fig. 35), com en els casos anteriors, situant elsegment BC i, en relació amb ell, l’arc capaç de l’angle A. La posiciód’aquest vèrtex ens queda determinada en la intersecció de l’arc capaçamb un altre arc, de radi igual a la longitud del costat b, de centre enl’extrem C del segment BC.

Una resolució similar tindria el triangle en el qual, a més d’un dels costatsi el seu angle oposat, coneguéssim algun dels altres angles; el valord’aquest darrer ens serviria per concretar, sobre l’arc capaç, la posició delvèrtex oposat al costat donat.

Fig. 34

Fig. 35

• Construir un triangle conegudes les longituds de duesde les seves mitjanes, ma i mb, i l’angle A

Representem el segment MbB corresponent a la mitjana mb, (fig. 36); a unterç de la seva longitud, a partir de l’extrem Mb, hi situem el baricentre Bcdel triangle. Sobre l’arc capaç de l’angle A respecte a la mitjana mb, mit-jançant un arc de centre en el baricentre Bc i radi 2/3 d’ma, hi situem el vèr-tex A del triangle. Unim A amb Mb i prolonguem el segment per determi-nar la posició del vèrtex C, de forma que Mb sigui el punt mitjà del segmentAC. El triangle ABC respon a les condicions plantejades en l’enunciat.

• Construir un triangle conegut l’angle A i les longituds,ma i mb, de les mitjanes corresponents als altres dos angles

En relació amb la mitjana mb, d’extrems Mb i B, construïm l’arc capaç del’angle A donat, (Fig. 37). Si M és el punt mitjà d’MbB, en relació amb elsegment MB, hi tracem també l’arc capaç del mateix angle. A un terç dela longitud d’mb comptat a partir de l’extrem Mb, hi situem el baricentreBc del triangle; hi farem centre per, amb un arc de radi igual a 1/3 de lalongitud d’mc, determinar el punt P sobre el segon dels arcs capaçostraçats. Unim B amb P i prolonguem fins a interceptar la posició del vèrtexA sobre el primer dels arcs capaços.

Els triangles MPB i MbAB són semblants en tenir iguals dos dels seusangles (el de vèrtex B, per ser comú a ambdós triangles i els de vèrtexs Ai P, en estar situats sobre sengles arcs capaços del mateix angle). La raó desemblança entre ambdós triangles és 1/2, pel que el segment PB és la mei-tat d’AB i el punt P és, lògicament, el punt mitjà d’AB.

Unim A amb Mb i prolonguem el segment per determinar-ne el vèrtex C ala distància mc del punt P, de forma que els segments AMb i MbC tinguin lamateixa longitud.

26


Fig. 36

• Construir un triangle coneguts un dels angles, el seu costatoposat i la suma dels altres dos

Respecte al costat conegut, hi tracem els arcs capaços corresponents al’angle donat i a la seva meitat, (Fig. 38). Fent centre en el punt C i ambun arc de radi igual a la longitud de la suma donada dels dos costats, tra-cem un arc que tallarà en el punt P l’arc capaç corresponent a A/2. El seg-ment PC determina sobre l’arc capaç de l’angle A la posició del tercer vèr-tex del triangle.

L’angle de vèrtex P és la meitat del de vèrtex A, i en ser aquest, en el trian-gle PAB, igual a la suma dels angles de vèrtexs P i B, resulta que el trian-gle PAB és isòsceles; per això els segments AP i AB són iguals, i el segmentPC és igual a la suma dels costats b i c del triangle, tal com ens hi hemreferit en el paràgraf anterior.

27


Fig. 37

Fig. 38

2 UTILITZACIÓ DE LES TRANSFORMACIONS GEOMÈTRIQUES

En els apartats següents, veurem algunes de les aplicacions que les trans-formacions geomètriques tenen en la resolució de problemes en l’àmbit deldibuix tècnic.

2.1 Aplicacions de l’homotècia

Dues circumferències són sempre figures homotètiques en relació amb unahomotècia que té per centre el punt d’intersecció de les rectes tangents aambdues circumferències. L’homotècia serà directa o inversa, depenent delfet que el seu centre s’hagi determinat en la intersecció de les rectes tan-gents interiors o exteriors. Vegem com utilitzem aquesta característica de lescircumferències per resoldre alguns problemes de tangències:

• Tangents comunes exteriors a dues circumferènciesEls centresO1 iO2 de dues circumferències són punts homotètics. Dibuixemdos radis paral·lels, (Fig. 39), un en cada circumferència, sobre les que inter-cepten els punts homòlegs A i A’; la recta d’unió d’aquests punts, en la sevaintersecció amb la recta que passa pels centres d’ambdues circumferències,determina el centre d’homotècia directa Od d’ambdues circumferències.

28


Fig. 39

Des d’Od tracem les tangents a la circumferència de centre O2, tangentsque, prolongades, ho seran també a l’altra circumferència. Evidentment,els radis traçats en ambdues circumferències fins als punts de tangència,per ser aquests homotètics, seran paral·lels.

• Tangents comunes interiors a duescircumferències

Si els radis paral·lelsO1A iO2A’ tenen sentits opo-sats, (Fig. 40), la intersecció del segment AA’ ambla recta d’unió dels centres de les dues circum-ferències determina el centre d’homotècia inversOi. Les rectes tangents traçades des d’Oi a una deles circumferències, com en el cas anterior, hoseran també a l’altra. Els segments homòlegs quepermeten determinar els punts de tangència sónara, a més de paral·lels, de sentits contraris.

• Circumferències tangents a dues rectespassant per un punt, PRR

Els centres de les circumferències busca-des estan en la bisectriu de l’angle for-mat per les dues rectes, (Fig. 41). Ambcentre en un punt qualsevol d’aquestabisectriu, tracem una circumferènciaauxiliar tangent a les dues rectes. Unimel vèrtex O, que serà també el centred’homotècia directa entre la circum-ferència auxiliar i les circumferènciessolució, amb el punt donat P interior ales rectes r i s; la recta OP talla la cir-cumferència auxiliar en els punts M i N.Als radis que uneixen M i N amb el cen-tre de la seva circumferència, els tracemparal·leles des del punt P; aquestesparal·leles tallen la bisectriu en els puntsO1 i O2, centres de les circumferències buscades. Després de determinarels punts de tangència en r i s, podem traçar les circumferènciessol·licitades.

• Circumferències tangents a dues rectes i a una circumferènciasituada entre elles, CRR

Si a la circumferència donada li restem el seu radi, queda reduïda al seucentre, és a dir, a un punt; efectuant la mateixa transformació amb lesdues rectes (traçar paral·leles a cada una d’elles, a la distància del radi dela circumferència i a un costat i a l’altre respecte a cada recta), el proble-ma s’ha transformat en traçar les tangents a dues rectes i un punt, PRR,la resolució de la qual efectuarem seguint les indicacions del paràgrafanterior. Per a cada parell de paral·leles, per dalt o per baix de les rectesinicials, el problema té dues solucions pel que, en total, el problema plan-tejat pot tenir quatre circumferències solució que compleixin les condi-cions de l’enunciat. Resoldrem aquest exercici en la pròxima unitat, enca-ra que com a aplicació d’homotècia podríem resoldre’l ara.

29


Fig. 40

Fig. 41

2.2 Aplicacions de l’homologia

L’homologia és una altra de les transformacions que permet resoldredeterminats problemes de geometria plana; té també aplicacions en el sis-tema dièdric o perspectiva cònica que veurem a continuació:

• Transformació homològica d’un quadrilàter qualsevol en un quadratConeixem el quadrilàter ABCD de la figura 42 i hem de determinar lescaracterístiques d’una homologia, vèrtex, eix i recta límit, que transformil’esmentat quadrilàter en un quadrat.

Coneixem la geometria i les propietats del quadrat: costats oposatsparal·lels i d’igual longitud, diagonals d’igual longitud i, per últim, els cos-tats contigus i les diagonals formen entre si angles de 90º. D’aquestes pro-pietats es deriven les construccions que s’han de realitzar per determinarels elements de l’homologia.

Les rectes homòlogues d’AD i BC seran paral·leles, com també ho seranles d’AB i CD; això implica que els costats oposats del quadrilàter donathan de tallar-se en la recta límit RL, posició, com sabem, dels punts elshomòlegs dels quals es troben en l’infinit. D’aquesta manera, AD i BC es

tallen en un punt M; aquest i el punt N d’interseccióentre AB i CD defineixen la posició de la recta límitRL.

El centre de l’homologia, punt V, és un punt des delqual la intersecció entre dos costats qualssevol es vegisota un angle de 90º; d’aquesta manera, V estaràsobre la semicircumferència que té per diàmetre elspunts M i N en què els costats AD i BC tallen la rectalímit. L’angle de 90º entre les diagonals també estroba sobre un arc capaç de 90º, el que té per diàme-tre al segment PQ, d’on P i Q són els punts de la rectalímit de les diagonals AC i BD. La intersecció dels dosarcs capaços defineix la posició del centre V del’homologia. Conegut V, els segments VN i VM ensmarquen les direccions de dos costats perpendicularsdel quadrat.

Paral·lelament a RL, i en qualsevol posició, situeml’eix de l’homologia; la seva posició condiciona lamida del quadrat, que serà major com més allunyatestigui del centre V de l’homologia. Definits el vèrtex,la recta límit, l’eix i les direccions de dos costats per-pendiculars, completem l’homologia del quadrilàterABCD que el transforma en el quadrat A’B’C’D’.

30

Ampliació de geometria planaAPLICACIONS PRÀCTIQUESUNITAT 1

Fig. 42

• Seccions planes de superfícies radialsde vèrtex propi

Les seccions planes d’una superfície radial* de vèrtexpropi, piràmide o con, són homològiques tant en l’espaicom en projeccions sobre un pla, sent-ne el vèrtex del’homologia el de la superfície radial i el seu eix, la rectad’intersecció entre el pla de la secció amb el pla on esrecolza la directriu de la figura.

En el cas, per exemple, d’una piràmide quadrangular, (Fig.43), la seva base pot considerar-se com una secció plana,pel que és homològica de la secció produïda en la piràmideper un pla qualsevol. Representem planta i alçat de la pirà-mide quadrangular i les projeccions M’N’P’ - M’’N’’P’’ d’unpla α. Trobem la intersecció entre una de les arestes late-rals de la piràmide, l’AV, amb el pla α (la intersecció recta-pla, en sistema dièdric, la veurem en la unitat 5) obtenint-ne el punt 1’ - 1’’ pertanyent a la secció produïda pel pla α.La resta de vèrtexs de la secció poden determinar-se repe-tint la intersecció de cada una de les arestes laterals amb elpla α.

També podem trobar els restants vèr-texs de la secció mitjançant l’aplicaciód’una homologia plana, de la qualconeixem els elements següents, (Fig.44): el vèrtex V (coincident amb laprojecció horitzontal V’ del de la pirà-mide), l’eix (recta d’intersecció entreel pla MNP i el pla horitzontal de pro-jecció en el qual es recolza la directriude la piràmide) i un parell de puntshomològics, A’ i 1’. Resolent aquestahomologia, trobarem els restants vèr-texs 2’, 3’ i 4’ de la secció plana, quereferirem a la projecció vertical de lapiràmide.

La resolució de l’homologia s’ha feten una figura independent per millo-rar-ne la claredat, però habitualmentes realitzaria sobre la mateixa projec-ció horitzontal de la figura 43; desd’aquesta es referirien els vèrtexs tro-bats a la projecció vertical per tenir lesdues projeccions de la secció produï-da en la piràmide pel pla α.

31

Ampliació de geometria plana UNITATAPLICACIONS PRÀCTIQUES

Fig. 44

1

Fig. 43

• Traçat de perspectives còniquesEn la projecció cònica estem realitzant, a través del pla del quadre,la secció de la piràmide visual que uneix el punt de vista amb unaforma qualsevol situada en el pla geometral. Per tant, la represen-tació en perspectiva que efectuem sobre el pla del quadre és la figu-ra homològica de la real situada en el pla geometral; el vèrtexd’aquesta homologia és el punt de vista de la perspectiva cònica, elseu eix coincideix amb la línia de terra i la línia d’horitzó de la pers-pectiva cònica, amb una de les rectes límit en l’homologia plana.

En la figura 45, en relació amb l’eix o LT, abatem i representemen veritable magnitud* la forma plana que volem situar en pers-pectiva. Des del punt de vista (centre de l’homologia), tracem lesdireccions (V)F’ paral·lela a A’B’ i (V)F paral·lela a B’C’; cada una

d’elles determina sobre LH o RL la posició dels punts F i F’, homològics delspunts de l’infinit de la figura. Prolonguem els costats de la figura fins a LTi, des dels punts de tall amb ella, tracem les rectes homològiques concu-rrents, segons la direcció, en F o F’. Per acabar, determinem A’ i B’ que,amb els punts dels que són homològics, estaran alineats amb (V).

2.3 Aplicacions de l’afinitat

En considerar l’afinitat com un cas particular d’homologia amb el seu vèr-tex en l’infinit, les rectes concurrents en el centre d’homologia seran araparal·leles entre si (concurrents en un punt impropi). Vegem algunes apli-cacions d’aquesta transformació.

• Transformació afí de la circumferència en el·lipseConeixem els diàmetres conjugats AB i CD de l’el·lipse, (Fig. 46); hi tracemla circumferència de diàmetre AB que representa, al mateix temps, l’eix del’afinitat. Els punts afins dels extrems del diàmetre C’D’ de la circumferèn-cia són els extrems C i D del segon diàmetre conjugat de l’el·lipse;d’aquesta manera tenim definida la direcció d’afinitat CC’ i DD’.

Per punts arbitraris del diàmetre AB, hi tracem perpendiculars fins a inter-ceptar punts sobre la circumferència; els punts afins d’aquests darrers estrobaran sobre les paral·leles al diàmetre menor de l’el·lipse, traçades pelsmateixos punts d’AB, mitjançant paral·leles a la direcció d’afinitat CC’.Obtinguts una sèrie de punts afins dels de la circumferència, completem amà alçada el traçat de l’el·lipse.

• Seccions planes de superfícies radials de vèrtex impropiLes seccions planes d’una superfície radial de vèrtex impropi, prisma ocilindre, són figures afins tant en l’espai com en projeccions sobre un pla.La direcció d’afinitat ve definida pel coneixement d’un parell de punts afinsi l’eix de l’afinitat és la recta d’intersecció entre els plans de les seccions.

Ampliació de geometria planaUNITAT 1 APLICACIONS PRÀCTIQUES

32

Fig. 45

Fig. 46

En el cas, per exemple, del prisma quadrangular de la figura 47, la sevabase és la secció produïda pel pla horitzontal de projecció, pel que aques-ta és afí de la secció produïda en el prisma per qualsevol altre pla, sent-nel’eix de l’afinitat la intersecció del segon pla amb l’horitzontal de projec-ció. És a dir, representades les projeccions del prisma i del pla, n’obtenimla intersecció d’una de les arestes laterals, la que parteix del vèrtex A en lafigura, amb el pla: punt 1’ de la projecció horitzontal del prisma.

Els restants vèrtexs del polígon secció els determinem, mitjançant la rela-ció d’afinitat, en la figura 48. Les arestes laterals del prisma defineixen ladirecció d’afinitat, A’1’; els segments afins sabem que han de tallar-se enpunts de l’eix de l’afinitat. Tenim, per tant, prou dades per resoldrel’afinitat i trobar els vèrtexs 2’, 3’ i 4’ del polígon secció.

• Abatiments en dièdric o axonometriaEntre la forma projectada sobre un pla i l’abatuda sobre ell, existeix unarelació d’afinitat. L’eix de la qual és la frontissa de l’abatiment*, sent-ne ladirecció d’afinitat la de les perpendiculars traçades a l’eix.

Aquests conceptes (abatiment, frontissa) han de resultar-nos ara incom-prensibles, no obstant això, els veurem detingudament en la unitat 4.Considerem el pla ABC de la figura 49, donada per les seves projeccionsdièdriques i el seu abatiment (A), (B), (C) sobre el pla horitzontal de pro-jecció. Entre A’B’C’ i la figura abatuda, (A), (B), (C), existeix una relaciód’afinitat, amb les condicions indicades en el paràgraf anterior, que en per-met deduir la segona a partir de la primera.

Recomanem tornar sobre aquestes aplicacions que relacionen l’homologia il’afinitat amb el sistema dièdric, després d’estudiar-ne els abatiments i lesinterseccions en les unitats 4 i 5.


Fig. 47 Fig. 48

Fig. 49

33

Ampliació de geometria planaUNITAT QÜESTIONS I EXERCICIS1

34

Circumferència1. Pel punt de tangència de dues circum-

ferències es traça una secant comuna aambdues; demostreu que:a) Els radis traçats en els extrems de lasecant són paral·lels.b) Les tangents traçades en aquestsmateixos extrems seran també paral·leles.

2.Anomenem angle exinscrit a l’angle queté el seu vèrtex sobre la circumferència,sent secant un dels seus costats i l’altre,exterior a la circumferència. Demostreuque la seva mida és la semisuma delsangles centrals, corresponents als arcscompresos entre el vèrtex i els extremsdel costat interior i la prolongació delcostat exterior.

Arc capaç3.Des de la posició X d’un vaixell sobre el

mar, es distingeixen tres punts conegutsde la costa A, B i C de la figura 50, i esmesuren els angles AXB de 45º i BXC de15º que formen entre si les visuals. Ambaquestes dades fixeu la posició del punt Xen el mapa.

4.Determineu un punt interior a un triangleABC, equidistant dels costats a i b, i desdel qual es vegi el tercer costat del trian-gle amb un angle de 60º. Costats a =9’5 cm, b = 11’3 cm i c = 7’5 cm.

Triangles5. Dibuixeu un triangle del qual coneixem un

dels seus costats de 70 mm; l’angle oposata aquest costat és de 60º i un dels seuscostats restants té 55 mm. Hi ha més d’untriangle solució al problema plantejat?

6.Dibuixeu un triangle del qual coneixemels elements següents:a = 50 mm; ha = 70 mm; ma = 85 mm

7.D’un triangle coneixem dos angles de 30i 75 graus, i la longitud del costat oposatal menor d’ells és de 50 mm. Construïutots els triangles que satisfacin les condi-cions anteriors.

8. El triangle complementari d’un triangleABC és un triangle els costats del qualtenen 20, 26 i 35 mm; determineu eltriangle ABC.

9.Determineu el segment d’Euler del trian-gle solució de l’activitat anterior.

10. Dibuixeu un triangle coneixent el valord’un dels seus angles, 45º, i les longitudsde les mitjanes corresponents als altresdos, 44 i 57 mm respectivament.

11. Dibuixeu un triangle coneixent un delsseus costats, 30 mm, l’angle oposat aaquest costat, 60º, i la suma dels altresdos costats, que és de 72 mm.

12. Representeu la combinació de trianglesde les figures 51 i 52, d’acord amb lesdades indicades.

Fig. 50Fig. 51

Fig. 52

UNITATQÜESTIONS I EXERCICISAmpliació de geometria plana 1

35

Moviments13. Donats dos segments PQ i P’Q’, trobeu-

hi el centre de gir que permet transfor-mar el primer en el segon, (Fig. 53).

14. Donades la recta r i la circumferència decentre O1 de la figura 54, gireu-la res-pecte al centre de gir donat, perquè lacircumferència sigui tangent a la recta.

15. Traslladeu la circumferència de centreO1, segons la direcció d donada en lafigura 55, perquè sigui tangent ala recta r.

16. Dibuixeu un triangle equilàter amb unvèrtex situat sobre cada una de les tresrectes paral·leles de la figura 56.

17. Inscriviu en el triangle ABC donat, (Fig. 57),un triangle semblant al també donat PQR.

Homologia18. Trobeu el triangle homòleg del triangle

ABC, segons les dades de l’homologiadonades en la figura 58.

19. En l’homologia definida en la figura 59,trobeu-hi l’homòleg del punt B.

20. Determineu el quadrat homòleg d’ABCD,amb les dades de l’homologia facilitadesen la figura 60.

Fig. 55

Fig. 56

Fig. 57

Fig. 54

Fig. 53

Fig. 58

Fig. 59

Fig. 60

Ampliació de geometria planaUNITAT QÜESTIONS I EXERCICIS1

36

Més activitats al CD.Continguts bàsics de la unitat en format hipermèdia, al CD.

Afinitat21. Dibuixeu la figura afí del triangle ABC de

la figura 61.

22. Trobeu la figura afí del quadrat ABCD dela figura 62.

23. Determineu els eixos de la circumferènciaafí de la donada en la figura 63, segonsuna homologia de la qual coneixem l’eixi la direcció, dibuixats en la figura, i laseva raó -3/2.Fig. 61

La bellesa mor en la vida, però és immortal en l’art.

LEONARDO DA VINCI

Làmines dels exercicis, al CD.

Fig. 62

Fig. 63

2triangles - ecasals...3.1 tipus de rosques i dimensions fonamentals 3.2 representació simbòlica...

Documents