2º ESO - UNIDAD 4.- MAGNITUDES PROPORCIONALES ------------------------------------------------------------------------------------

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OBJETIVOS MÍNIMOS DE LA UNIDAD 1.- Identificar magnitudes d.p. e i.p. 2.- Resolver reglas de tres simples directas e inversas. 3.- Resolver problemas de repartos proporcionales directos en casos muy simples 4.- Relacionar decimales exactos, fracciones y porcentajes 5.- Resolver problemas con porcentajes que requieran el cálculo de la cantidad inicial en casos muy simples. 6.- Resolver problemas con porcentajes que requieran el uso de porcentajes encadenados en casos muy simples.

1.- PROPORCIONALIDAD ENTRE MAGNITUDES.

Magnitud. Es cualquier propiedad que se pueda medir numéricamente. Por ejemplo, el peso, la longitud, el número de alumnos, son magnitudes. No son magnitudes, por ejemplo, el color del pelo o el programa de TV favorito. Razón entre cantidades. La razón entre dos cantidades es el resultado de dividir una entre otra.

Si las cantidades son “a” y “b”, la razón directa es a

b y la razón inversa es

b

a.

Se puede calcular la razón entre cantidades de una misma magnitud o entre cantidades de distinta magnitud.

Ejemplos:

1) Una barra de pan mide 46 cm de largo y otra 11,5 cm.

La razón directa es 46 cm

11,5 cm= 4. Esto significa que la primera barra es 4 veces más larga que la segunda.

La razón inversa es 11,5 cm

46 cm= 0,25 =

1

4. Significa que la segunda barra mide la cuarta parte que la primera.

2) Dos kg de patatas valen 5 €.

La razón directa es 2 kg

5 €= 0,4 kg/€. Esto significa que con 1 € se pueden comprar 0,4 kg, o sea 400 g.

La razón inversa es 5 €

2 kg= 2,50 €/kg. Esto significa que 1 kg vale 2,50 €.

Proporción. Dos razones a

b y

c

d forman una proporción, si

a

b =

c

d (o sea, a . d = b . c).

La proporción a

b =

c

d Se lee “a” es a “b” como “c” es a “d”

Ejemplo: Si 2 kg valen 5 €, entonces 4 kg valen 10 € . Las razones 2 kg

5 € y

4 kg

10 € forman una proporción,

pues 2 4

5 10 = 0,4 . El valor obtenido, 0,4 , se llama razón o constante de la proporción.

Propiedad fundamental de las proporciones: x y z x y z

a b c a b c

Ejemplo:

Si 2 barras de hierro pesan 5 kg, entonces 4 barras pesan 10 kg, 6 barras pesan 15 kg, etc.

2 4 6 2 4 6 12

5 10 15 5 10 15 30

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Magnitudes directamente proporcionales. Dos magnitudes son directamente proporcionales (d.p.) si al aumentar una magnitud el doble, el triple, ..., la otra también aumenta el doble, el triple... Cuando dos magnitudes son d.p. las cantidades de la primera forman una proporción con las correspondientes cantidades de la segunda.

Ejemplo:

2 libretas valen 3 €

6 libretas valen 9 €

Se cumple que libretas €

libretas €

2 3

6 9 También se cumple que

libretas libretas

€ €

2 6

3 9

Regla de tres simple directa. Es una técnica que nos permite calcular el valor desconocido de una proporción con magnitudes directamente proporcionales.

Los problemas con dos magnitudes d.p. se llaman problemas de regla de tres directa. Magnitudes inversamente proporcionales. Dos magnitudes son inversamente proporcionales (i.p.) si al aumentar una el doble, el triple..., la otra disminuye la mitad, la tercera parte, ... Cuando dos magnitudes son i.p. la razón directa de dos cantidades de la primera forma una proporción con la razón inversa de las correspondientes cantidades de la segunda.

Ejemplo:

Supongamos que 6 obreros tardan 10 días en hacer un trabajo. Estas magnitudes, número de obreros y número de días, son i.p.

6 obreros tardan 10 días

12 obreros tardan 5 días

obreros días

obreros días

6 5

12 10

Cuando dos magnitudes son i.p., al multiplicar las cantidades de una por las correspondientes cantidades de la otra se obtiene el mismo valor. El valor que se obtiene se llama constante de la proporción inversa .

Ejemplo:

Cuando voy de mi casa al instituto andando llevo una velocidad de 25 m/min, tardo 20 minutos. Estas magnitudes, velocidad y tiempo, son i.p.

Si a 25 m/min tardo 20 min

A 50 m/min tardo 10 min Se cumple que, 25 . 20 = 50 . 10 = 500. El valor obtenido, 500, es la constante de la proporcionalidad inversa. Regla de tres simple inversa. Es una técnica que nos permite calcular el valor desconocido de una proporción con magnitudes son inversamente proporcionales.

Los problemas con dos magnitudes i.p. se llaman problemas de regla de tres inversa.

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ACTIVIDADES

1.- Calcula las razones directa e inversa entre las cantidades que se indican y explica su significado:

a) Recorro en mi coche 300 km en 3 horas b) Pago 16 € por 5 litros de aceite c) Un segmento mide 8 cm y otro mide 4 cm d) Una fuente echa 4 litros de agua cada 50 segundos e) Estoy en clase 6 horas y el recreo dura 30 minutos

2.- Las razones 1,5 3

y2 4

, ¿forman una proporción?

En caso afirmativo, indica cuál es la razón de proporcionalidad.

3.- Indica si las siguientes parejas de magnitudes son d.p. o i.p.:

a) Kilómetros que recorre un coche y litros que consume (se supone que la velocidad es constante) b) Número de obreros y tiempo que tardan en hacer un trabajo c) Velocidad media de un coche y tiempo que tarda en hacer un recorrido d) Altura de un edificio y longitud de su sombra e) Número de gallinas y tiempo que les dura el alimento f) Kilogramos de fruta y cantidad de proteínas que contienen g) Ancho de un rollo de papel higiénico y número de rollos que necesitamos.

4.- (Prueba de Evaluación de Diagnostico 2008-2009) La próxima semana vienen a comer mis primos Marta y

Juan y quiero ayudar en la cocina haciendo un gazpacho andaluz para ellos, mis padres, mi hermana y para mí. He encontrado una receta para 4 personas, según la cual tengo que utilizar los siguientes ingredientes:

Medio kilo de pan remojado. Kilo y medio de tomates maduros.

200 gramos de pepino. 300 gramos de cebolla.

2 dientes de ajo. Un decilitro de aceite de oliva.

4 huevos duros. Sal y vinagre al gusto.

Rellena la siguiente tabla para saber qué cantidad de cada ingrediente tengo que poner.

5.- Si por 10 dólares me dan 13,24 €. ¿Cuántos euros me darán por 2 756 dólares?

Actividades del libro (unidad 4): 8 , 24 , 25 , 26 , 36 , 39 , 53 , 56 , 60 y 63

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2.- REPARTOS PROPORCIONALES

Se utilizan cuando queremos repartir una cantidad en partes que sean directamente proporcionales a números dados.

Ejemplo:

Tres trabajadores han cobrado 1 500 €. Si el primero ha trabajado 9 días, el segundo 13 días y el tercero 8 días, ¿cuánto le corresponde a cada uno? Tenemos que repartir 1 500 € entre 3 personas según el número de días trabajados. Observa que a más días trabajados más dinero (si trabaja el doble deberá ganar el doble). Por tanto, hay proporcionalidad directa entre el número de días y el dinero.

x y z 1 50050

9 13 8 30 .

Despejando las incógnitas obtenemos: x = 50 . 9 = 450 € , y = 50 . 13 = 650 € , z = 50 . 8 = 400 €

Los repartos directos también se pueden resolver por el método de reducción a la unidad:

Número total de días: 9 + 13 + 8 = 30 días.

Si a 30 días corresponden 1 500 € , entonces a 1 día corresponde1 500 : 30 = 50 €

Al primer trabajador le corresponde: 50 . 9 = 450 €

Al segundo trabajador le corresponde: 50 . 13 = 650 €

Al tercer trabajador le corresponde: 50 . 8 = 400 €

ACTIVIDADES

1.- Queremos repartir 150 € entre dos personas en proporción directa a sus edades, que son 12 años

y 36 años. Comprueba que da el mismo resultado si las edades fuesen 6 años y 18 años. Explica por qué.

2.- Reparte el número 12 en dos partes directamente proporcionales a 2 y 3.

3.- Dos hermanos juntan sus ahorros, poniendo el más pequeño 3 000 € y el mayor 4 500 €. Si las invierten en

un pequeño negocio y, pasado un tiempo, reparten los beneficios y el mayor cobra 2 000 € más que el pequeño, ¿qué beneficio corresponderá a cada uno?

4.- En una urbanización se realizan unos trabajos de saneamiento con un importe de 24 000 €. El coste está

repartido proporcionalmente según la superficie: 250 m2, 340 m

2, 150 m

2 y 460 m

2. ¿Cuánto dinero ha de

pagar cada propietario?

Actividades del libro (unidad 4): 11 , 12 , 43 , 65 y 68

3.- PORCENTAJES

Concepto de porcentaje. Los porcentajes o tantos por ciento expresan la razón entre dos magnitudes directamente proporcionales e indican la cantidad o valor de una de ellas que corresponde al valor 100 de la otra.

Por ejemplo, si nos dicen que el 70 % de los alumnos del instituto está vacunado contra la hepatitis, quiere decir que por cada 100 alumnos , 70 están vacunados.

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Relación entre porcentajes, fracciones y decimales. Los porcentajes, las fracciones y los decimales están relacionados.

Observa, por ejemplo, 75% = 75

100= 0,75. Luego, para pasar un porcentaje a decimal se divide entre 100.

Si deseamos pasar un decimal a porcentaje tenemos que multiplicar por 100. Por ejemplo, 0,025 = 2,5%

Si queremos calcular el 2,5% de 300 € , lo más fácil es pasar el decimal a porcentaje: 0,025 . 300 = 7,5 €

Para resolver problemas con porcentajes podemos usar reglas de tres directas.

ACTIVIDADES

1.- Expresa en forma de decimal y de fracción los siguientes tantos por ciento y tantos por mil:

a) 72% b) 50% c) 23,5% d) 0,05%

2.- Expresa en forma de porcentaje: a) 0,24 b) 0,07 c) 0,275 d) 0,003 e) Dos de cada cinco

3.- En un país hay un 2 800 000 parados, lo que representa el 7% de la población total. ¿Cuántos habitantes

tiene este país?

4.- En un Instituto de 625 alumnos, hay 240 alumnos que usan gafas. ¿Cuál es el porcentaje de alumnos con

gafas?

5.- En Agosto el precio del m2 de solar era, en una determinada ciudad, de 500 € ; en Septiembre subió un 2%

y en Octubre bajó un 3% con respecto al precio que tenía en Septiembre. Halla el precio final del m2 de solar.

6.- (Prueba de Evaluación de Diagnostico 2011-2012) La familia de Luisa está planteándose realizar la compra

a través de Internet.

Ha encontrado en la red varios supermercados que ofrecen el servicio con las siguientes condiciones:

La Arboleda ofrece a todos sus clientes que realicen compras por Internet, enviárselas a casa de forma gratuita, siempre que la compra sea superior a 150 €. En caso de importe inferior, les cobrará 10 € por gastos de envío.

Supermercados Comprafácil ofrece a todos sus clientes llevarles la compra a casa, siempre que el valor de la compra sea superior a 50 €, por un coste del 5% del importe de la compra.

Mercaferia ofrece a todos sus clientes llevarles la compra a casa con las tarifas siguientes:

Luisa tiene su lista de la compra y ha calculado cuánto le cuesta la misma en cada uno de los tres supermercados, obteniendo los siguientes resultados:

En estos resultados no se han incluido los gastos de envío. Si le añadimos los gastos de envío, ¿cuál de los tres supermercados resulta más económico para realizar la compra? Haz las operaciones necesarias en el recuadro siguiente.

Actividades del libro (unidad 4): 15 , 16 , 46 , 49 , 58 , 64 y 71