2.6 ecuaciones diferenciales de segundo orden no homogéneas

ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN NO HOMOGÉNEAS

TEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES

CONTENIDO

VER INTRODUCCIÓN VER TEOREMA

VER MÉTODO DE LOS COEFICIENTES

INDETERMINADOS

VER PRIMER EJEMPLO APLICADO AL PRIMER

MÉTODO

VER SEGUNDO EJEMPLO APLICADO AL PRIMER MÉTODO

VER TERCER EJEMPLO APLICADO AL PRIMER

MÉTODO

VER MÉTODO DE VARIACIÓN DE PARÁMETROS

VER PRIMER EJEMPLO APLICADO AL

SEGUNDO MÉTODO

VER SEGUNDO EJEMPLO APLICADO

AL SEGUNDO MÉTODO

VER BIBLIOGRAFIAS

VER TERCER EJEMPLO APLICADO AL

SEGUNDO MÉTODO

INTRODUCCIÓN

De la representación general de una ecuación diferencial de segundo orden:

𝑦′′ + 𝑦′𝑃 𝑥 + 𝑦𝑞 𝑥 = 𝑔 𝑥

La solución es:

𝑦 = 𝑦𝑐 + 𝑦𝑝

Donde:

𝑦𝑐 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑟𝑖𝑎 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑦 = 𝐶1𝑦1 + 𝐶2𝑦2

𝑦𝑝 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟

𝑦 = 𝐶1𝑦1 + 𝐶2𝑦2 + 𝑦𝑝 REGRESAR AL CONTENIDO

TEOREMA

Si 𝑦𝑝 es una solución de 𝑦′′ + 𝑦′𝑃 𝑥 + 𝑦𝑞 𝑥 = 𝑔 𝑥 entonces cualquier soluciónde dicha ecuación diferencial podría expresarse así 𝑦 = 𝐶1𝑦1 + 𝐶2𝑦2 + 𝑦𝑝, donde𝑦1 ^ 𝑦2 son solución linealmente independientes de la correspondiente ecuaciónhomogénea.

REGRESAR AL CONTENIDO

PRIMER MÉTODO: MÉTODO DE LOS COEFICIENTES INDETERMINADOS

Sirve para encontrar la solución particular de una ecuación no homogénea de coeficientes constantes,donde 𝑔 𝑥 se restringe a cuatro formas detalladas en el siguiente cuadro:

𝒈 𝒙 𝒚𝒑𝑃𝑛 𝑥 = 𝑎0 + 𝑎1𝑥 +⋯+ 𝑎𝑛𝑥

𝑛 𝑥𝑠 𝐴0 + 𝐴1𝑥 +⋯+ 𝐴𝑛𝑥𝑛

𝑃𝑛 𝑥 ∗ 𝑒𝛼𝑥 𝑥𝑠𝑒𝛼𝑥 𝐴0 + 𝐴1𝑥 +⋯+ 𝐴𝑛𝑥

𝑛

𝑃𝑛 𝑥 ∗ 𝑒𝛼𝑥 cos 𝛽𝑥

Y

𝑃𝑛 𝑥 ∗ 𝑒𝛼𝑥𝑠𝑒𝑛 𝛽𝑥

𝑥𝑠𝑒𝛼𝑥𝐴0 + 𝐴1𝑥 +⋯+ 𝐴𝑛𝑥

𝑛 cos 𝛽𝑥

+ 𝐵0 + 𝐵1𝑥 +⋯+ 𝐵𝑛𝑥𝑛 𝑠𝑒𝑛 𝛽𝑥

𝑠 = 0,1,2,3, … , 𝑘


EJEMPLO APLICADO AL MÉTODO DE COEFICIENTES INDETERMINADOS EJEMPLO: Encontrar la solución general de

𝑦′′ + 4𝑦′ − 12𝑦 = 3𝑥2 + 𝑥

SOLUCIÓN:

Recordando la fórmula:𝑦 = 𝑦𝑐 + 𝑦𝑝

Primero se debe de hallar la solución complementaria. Haciendo que 𝑦 = 1, 𝑦′ = 𝑟, 𝑦′′ = 𝑟2:𝑦′′ + 4𝑦′ − 12𝑦 = 0𝑟2 + 4𝑟 − 12 = 0𝑎𝑟2 + 𝑏𝑟 + 𝑐 = 0

Los coeficientes son:𝑎 = 1, 𝑏 = 4, 𝑐 = −12


Utilizando la fórmula general:

𝑟1,2 =−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

𝑟1,2 =−4 ± 42 − 4 1 −12

2 1

𝑟1,2 =−4 ± 64

2

𝑟1,2 =−4 ± 8

2Se observa que pertenece al primer caso:

𝑟1 = 2, 𝑟2 = −6

Así que el Conjunto Fundamental de Soluciones es:𝐶. 𝐹. 𝑆.→ 𝑒𝑟1𝑥, 𝑒𝑟2𝑥 = 𝑒2𝑥, 𝑒−6𝑥

Y la solución general es:∴ 𝑦𝑐 = 𝐶1𝑒

2𝑥 + 𝐶2𝑒−6𝑥


Para la solución particular:

𝑦′′ + 4𝑦′ − 12𝑦 = 3𝑥2 + 𝑥𝑦𝑝 = 𝑥

𝑠 𝐴0 + 𝐴1𝑥 + 𝐴2𝑥2

Se tomará hasta 𝐴2𝑥2 ya que en la función 𝑔 𝑥 = 3𝑥2 + 𝑥 termina hasta 𝑥2

Si s=0:𝑦𝑝 = 𝑥

𝑠 𝐴0 + 𝐴1𝑥 + 𝐴2𝑥2

𝑦𝑝 = 𝑥0 𝐴0 + 𝐴1𝑥 + 𝐴2𝑥

2 = 𝐴0 + 𝐴1𝑥 + 𝐴2𝑥2

Se realiza una comparación con el resultado de 𝑦𝑐𝑦𝑝 = 𝐴0 + 𝐴1𝑥 + 𝐴2𝑥

2 𝑦 𝑦𝑐 = 𝐶1𝑒2𝑥 + 𝐶2𝑒

−6𝑥

Y se observa que los términos no se repiten, así que, se tomará el valor de s=0 para la ecuación 𝑦𝑝𝑦𝑝 = 𝐴0 + 𝐴1𝑥 + 𝐴2𝑥

2


Ahora esta ecuación se deriva dos veces con respecto a 𝑥:

𝑦𝑝 = 𝐴0 + 𝐴1𝑥 + 𝐴2𝑥2

𝑦𝑝′ = 𝐴1 + 2𝐴2𝑥𝑦𝑝′′ = 2𝐴2

Ahora se sustituyen estos parámetros con la ecuación del problema y una factorización con respecto a sus términos 𝑥2, 𝑥 y las constantes:

𝑦′′ + 4𝑦′ − 12𝑦 = 3𝑥2 + 𝑥2𝐴2 + 4 𝐴1 + 2𝐴2𝑥 − 12 𝐴0 + 𝐴1𝑥 + 𝐴2𝑥

2 = 3𝑥2 + 𝑥2𝐴2 + 4𝐴1 + 8𝐴2𝑥 − 12𝐴0 − 12𝐴1𝑥 − 12𝐴2𝑥

2 = 3𝑥2 + 𝑥−12𝐴2 𝑥

2 + 8𝐴2 − 12𝐴1 𝑥 + 2𝐴2 + 4𝐴1 − 12𝐴0 = 3𝑥2 + 𝑥

Se resuelven las siguientes ecuaciones:−12𝐴2 = 3

8𝐴2 − 12𝐴1 = 12𝐴2 + 4𝐴1 − 12𝐴0 = 0


−12𝐴2 = 3 → 𝐴2 =3

−12= −

1

4

8𝐴2 − 12𝐴1 = 1 → 8 −1

4− 12𝐴1 = 1

−2 − 12𝐴1 = 1−12𝐴1 = 3

𝐴1 = −1

4

2𝐴2 + 4𝐴1 − 12𝐴0 = 0 → 2 −1

4+ 4 −

1

4− 12𝐴0 = 0

−1

2− 1 − 12𝐴0 = 0

−12𝐴0 =3

2𝐴0 = −

3

24= −

1

8REGRESAR AL CONTENIDO

𝐴2 = −1

4, 𝐴1 = −

1

4, 𝐴0 = −

3

24= −

1

8

Sustituyendo en la ecuación 𝑦𝑝 con los valores de 𝐴1, 𝐴2 𝑦 𝐴3, se tiene lo siguiente:

𝑦𝑝 = 𝐴0 + 𝐴1𝑥 + 𝐴2𝑥2

𝑦𝑝 = −1

8−1

4𝑥 −

1

4𝑥2

Regresando y sumando:


∴ 𝑦 = 𝐶1𝑒2𝑥 + 𝐶2𝑒

−6𝑥 −1

8−1

4𝑥 −

1

4𝑥2


EJEMPLO APLICADO AL MÉTODO DE COEFICIENTES INDETERMINADOSEJEMPLO: Obtener la solución general de

𝑦′′ + 2𝑦′ + 𝑦 = 𝑥𝑒−𝑥

SOLUCIÓN:

Recordando la fórmula:𝑦 = 𝑦𝑐 + 𝑦𝑝

Para la solución complementaria, se hace que 𝑦 = 1, 𝑦′ = 𝑟, 𝑦′′ = 𝑟2 para la ecuación diferencial que brinda el problema, es decir:

𝑦′′ + 2𝑦′ + 𝑦 = 0𝑟2 + 2𝑟 + 1 = 0𝑎𝑟2 + 𝑏𝑟 + 𝑐 = 0

Los coeficientes son:𝑎 = 1, 𝑏 = 2, 𝑐 = 1




𝑟1,2 =−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

𝑟1,2 =−2 ± 22 − 4 1 1

2 1

𝑟1,2 =−2 ± 0

2

𝑟1,2 = −2

2= −1

Se observa que pertenece al segundo caso:𝑟1 = −1, 𝑟2 = −1 𝑦 𝛼 = −1

Así que el Conjunto Fundamental de Soluciones es:𝐶. 𝐹. 𝑆.→ 𝑒𝑟1𝑥, 𝑥𝑒𝑟2𝑥 = 𝑒−𝑥, 𝑥𝑒−𝑥


−𝑥 + 𝐶2𝑥𝑒−𝑥

Para la solución particular:𝑦′′ + 2𝑦′ + 𝑦 = 𝑥𝑒−𝑥

𝑦𝑝 = 𝑥𝑠𝑒−𝑥 𝐴0 + 𝐴1𝑥

Se tomará hasta 𝐴1𝑥 ya que en la función 𝑔 𝑥 = 𝑥𝑒𝑥 termina hasta 𝑥

Si s=0:𝑦𝑝 = 𝑥

𝑠𝑒−𝑥 𝐴0 + 𝐴1𝑥𝑦𝑝 = 𝑥

0𝑒−𝑥 𝐴0 + 𝐴1𝑥 = 𝑒−𝑥 𝐴0 + 𝐴1𝑥 = 𝐴0𝑒−𝑥 + 𝐴1𝑥𝑒

−𝑥

Se realiza una comparación con el resultado de 𝑦𝑐𝑦𝑝 = 𝐴0𝑒

−𝑥 + 𝐴1𝑥𝑒−𝑥 𝑦 𝑦𝑐 = 𝐶1𝑒


Y se observa que los términos 𝑒−𝑥 𝑦 𝑥𝑒−𝑥 se repiten, así que, se tomará el valor de s=1 parala ecuación 𝑦𝑝

𝑦𝑝 = 𝑥𝑠𝑒−𝑥 𝐴0 + 𝐴1𝑥

𝑦𝑝 = 𝑥1𝑒−𝑥 𝐴0 + 𝐴1𝑥 = 𝑥𝑒−𝑥 𝐴0 + 𝐴1𝑥 = 𝐴0𝑥𝑒

−𝑥 + 𝐴1𝑥2𝑒−𝑥


Nuevamente se realiza una comparación con el resultado de 𝑦𝑐𝑦𝑝 = 𝐴0𝑥𝑒

−𝑥 + 𝐴1𝑥2𝑒−𝑥 𝑦 𝑦𝑐 = 𝐶1𝑒


Nuevamente el término 𝑥𝑒−𝑥 se repite, así que, se tomará el valor de s=2 para la ecuación 𝑦𝑝𝑦𝑝 = 𝑥

𝑠𝑒−𝑥 𝐴0 + 𝐴1𝑥𝑦𝑝 = 𝑥

2𝑒−𝑥 𝐴0 + 𝐴1𝑥 = 𝐴0𝑥2𝑒−𝑥 + 𝐴1𝑥

3𝑒−𝑥

Nuevamente se realiza una comparación con el resultado de 𝑦𝑐𝑦𝑝 = 𝐴0𝑥

2𝑒−𝑥 + 𝐴1𝑥3𝑒−𝑥 𝑦 𝑦𝑐 = 𝐶1𝑒


Y se observa que los términos no se repiten. Por lo tanto, se tomará esa ecuación 𝑦𝑝. Después sederiva dos veces con respecto a x:

𝑦𝑝 = 𝐴0𝑥2𝑒−𝑥 + 𝐴1𝑥

3𝑒−𝑥

𝑦𝑝′ = 2𝐴0𝑥𝑒

−𝑥 − 𝐴0𝑥2𝑒−𝑥 + 3𝐴1𝑥

2𝑒−𝑥 − 𝐴1𝑥3𝑒−𝑥

𝑦𝑝′′

= 2𝐴0𝑒−𝑥 − 2𝐴0𝑥𝑒

−𝑥 − 2𝐴0𝑥𝑒−𝑥 + 𝐴0𝑥

2𝑒−𝑥 + 6𝐴1𝑥𝑒−𝑥 − 3𝐴1𝑥

2𝑒−𝑥 − 3𝐴1𝑥2𝑒−𝑥 + 𝐴1𝑥

3𝑒−𝑥


Ahora se sustituyen estos parámetros con la ecuación del problema y una factorización con respectoa sus términos 𝑥3, 𝑥2, 𝑥 𝑦 𝑙𝑎𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠:

𝑦′′ + 2𝑦′ + 𝑦 = 𝑥𝑒−𝑥

2𝐴0𝑒−𝑥 − 2𝐴0𝑥𝑒

−𝑥 − 2𝐴0𝑥𝑒−𝑥 + 𝐴0𝑥

2𝑒−𝑥 + 6𝐴1𝑥𝑒−𝑥 − 3𝐴1𝑥

2𝑒−𝑥 − 3𝐴1𝑥2𝑒−𝑥 + 𝐴1𝑥

3𝑒−𝑥

+ 2 2𝐴0𝑥𝑒−𝑥 − 𝐴0𝑥

2𝑒−𝑥 + 3𝐴1𝑥2𝑒−𝑥 − 𝐴1𝑥

3𝑒−𝑥 + 𝐴0𝑥2𝑒−𝑥 + 𝐴1𝑥

3𝑒−𝑥 = 𝑥𝑒−𝑥

2𝐴0𝑒−𝑥 − 2𝐴0𝑥𝑒

−𝑥 − 2𝐴0𝑥𝑒−𝑥 + 𝐴0𝑥

2𝑒−𝑥 + 6𝐴1𝑥𝑒−𝑥 − 3𝐴1𝑥

2𝑒−𝑥 − 3𝐴1𝑥2𝑒−𝑥 + 𝐴1𝑥

3𝑒−𝑥

+ 4𝐴0𝑥𝑒−𝑥 − 2𝐴0𝑥

2𝑒−𝑥 + 6𝐴1𝑥2𝑒−𝑥 − 2𝐴1𝑥

3𝑒−𝑥 + 𝐴0𝑥2𝑒−𝑥 + 𝐴1𝑥

3𝑒−𝑥 = 𝑥𝑒−𝑥

𝐴1 − 2𝐴1 + 𝐴1 𝑥3𝑒−𝑥 + 𝐴0 − 3𝐴1 − 3𝐴1 − 2𝐴0 + 6𝐴1 + 𝐴0 𝑥

2𝑒−𝑥

+ −2𝐴0 − 2𝐴0 + 6𝐴1 + 4𝐴0 𝑥𝑒−𝑥 + 2𝐴0 = 𝑥𝑒

−𝑒

0 𝑥3𝑒−𝑥 + 0 𝑥2𝑒−𝑥 + 6𝐴1 𝑥𝑒−𝑥 + 2𝐴0 = 𝑥𝑒

−𝑥

Se resuelven las siguientes ecuaciones:

6𝐴1 = 1 −→ 𝐴1 =1

62𝐴0 = 0 −→ 𝐴0 = 0


Sustituyendo en la ecuación 𝑦𝑝 con los valores de 𝐴1, 𝐴2 𝑦 𝐴3, se tiene lo siguiente:

𝑦𝑝 = 𝐴0𝑥2𝑒−𝑥 + 𝐴1𝑥

3𝑒−𝑥

𝑦𝑝 =1

6𝑥3𝑒−𝑥



∴ 𝑦 = 𝐶1𝑒−𝑥 + 𝐶2𝑥𝑒

−𝑥 +1

6𝑥3𝑒−𝑥


EJEMPLO APLICADO AL MÉTODO DE COEFICIENTES INDETERMINADOSEJEMPLO: Encontrar la solución general de la ecuación diferencial

𝑦′′ + 4𝑦′ + 4𝑦 = 6 𝑠𝑒𝑛 𝑥

SOLUCIÓN:

De la fórmula𝑦 = 𝑦𝑐 + 𝑦𝑝

Para la solución complementaria, se hace que 𝑦 = 1, 𝑦′ = 𝑟, 𝑦′′ = 𝑟2 para la ecuación diferencial que brinda el problema, es decir:

𝑦′′ + 4𝑦′ + 4𝑦 = 0𝑟2 + 4𝑟 + 4 = 0𝑎𝑟2 + 𝑏𝑟 + 𝑐 = 0

Los coeficientes son:𝑎 = 1, 𝑏 = 4, 𝑐 = 4



𝑟1,2 =−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

𝑟1,2 =−4 ± 42 − 4 1 4

2 1

𝑟1,2 =−4 ± 0

2

𝑟1,2 = −4

2= −2

Se observa que pertenece al segundo caso:𝑟1 = −2, 𝑟2 = −2

Así que el Conjunto Fundamental de Soluciones es:𝐶. 𝐹. 𝑆.→ 𝑒𝑟1𝑥, 𝑥𝑒𝑟2𝑥 = 𝑒−2𝑥, 𝑥𝑒−2𝑥


−2𝑥 + 𝐶2𝑥𝑒−2𝑥



𝑦′′ + 4𝑦′ + 4𝑦 = 6 𝑠𝑒𝑛 𝑥𝑦𝑝 = 𝑒

𝛼𝑥𝑥𝑠 𝐴0 cos 𝛽𝑥 + 𝐵0𝑠𝑒𝑛 𝛽𝑥 = 𝑥𝑠 𝐴0 cos 𝑥 + 𝐵0𝑠𝑒𝑛 𝑥

Se tomarán solo 𝐴0 𝑦 𝐵0 ya que en la función 𝑔 𝑥 = 6 𝑠𝑒𝑛 𝑥 contiene términos del 𝑠𝑒𝑛 𝑥 y no tienetérminos de 𝑥, 𝑥2, 𝑥3, 𝑒𝑡𝑐 …

Si s=0:

𝑦𝑝 = 𝑥𝑠 𝐴0 cos 𝑥 + 𝐵0𝑠𝑒𝑛 𝑥

𝑦𝑝 = 𝑥0 𝐴0 cos 𝑥 + 𝐵0𝑠𝑒𝑛 𝑥 = 𝐴0 cos 𝑥 + 𝐵0 𝑠𝑒𝑛 𝑥

Se realiza una comparación con el resultado de 𝑦𝑐:

𝑦𝑝 = 𝐴0 cos 𝑥 + 𝐵0 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑦 𝑦𝑐 = 𝐶1𝑒−2𝑥 + 𝐶2𝑥𝑒

−2𝑥


Y se observa que los términos no se repiten, así que, se tomará el valor de s=0 para laecuación 𝑦𝑝

𝑦𝑝 = 𝐴0 cos 𝑥 + 𝐵0 𝑠𝑒𝑛 𝑥

Ahora esta ecuación se deriva dos veces con respecto a 𝑥:

𝑦𝑝 = 𝐴0 cos 𝑥 + 𝐵0 𝑠𝑒𝑛 𝑥𝑦𝑝′ = −𝐴0𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝐵0 cos 𝑥

𝑦𝑝′′ = −𝐴0 cos 𝑥 − 𝐵0 𝑠𝑒𝑛 𝑥

Ahora se sustituyen estos parámetros con la ecuación del problema y una factorización conrespecto a sus términos sen x y cos x:

𝑦′′ + 4𝑦′ + 4𝑦 = 6 𝑠𝑒𝑛 𝑥−𝐴0 cos 𝑥 − 𝐵0 𝑠𝑒𝑛 𝑥 − 4𝐴0𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 4𝐵0 cos 𝑥 + 4𝐴0 cos 𝑥 + 4𝐵0𝑠𝑒𝑛 𝑥 = 6 𝑠𝑒𝑛 𝑥

−𝐴0 + 4𝐵0 + 4𝐴0 cos 𝑥 + −𝐵0 − 4𝐴0 + 4𝐵0 𝑠𝑒𝑛 𝑥 = 6 𝑠𝑒𝑛 𝑥3𝐴0 + 4𝐵0 cos 𝑥 + −4𝐴0 + 3𝐵0 𝑠𝑒𝑛 𝑥 = 6 𝑠𝑒𝑛 𝑥


Las ecuaciones son:3𝐴0 + 4𝐵0 = 0−4𝐴0 + 3𝐵0 = 6

Se resuelven las siguientes ecuaciones:3𝐴0 + 4𝐵0 = 03𝐴0 = −4𝐵0

𝐴0 = −4

3𝐵0

−4𝐴0 + 3𝐵0 = 6

−4 −4

3𝐵0 + 3𝐵0 = 6

16

3𝐵0 + 3𝐵0 = 625

3𝐵0 = 6

𝐵0 =18

25REGRESAR AL CONTENIDO

𝐴0 = −4

3𝐵0

𝐴0 = −4

3

18

25

𝐴0 = −24

25

𝐴0 = −24

25𝑦 𝐵0 =

18

25

Sustituyendo en la ecuación 𝑦𝑝 con los valores de 𝐴0 𝑦 𝐵0, se tiene lo siguiente:𝑦𝑝 = 𝐴0 cos 𝑥 + 𝐵0 𝑠𝑒𝑛 𝑥

𝑦𝑝 = −24

25cos 𝑥 +

18

25𝑠𝑒𝑛 𝑥

Regresando y sumando:𝑦 = 𝑦𝑐 + 𝑦𝑝

∴ 𝑦 = 𝐶1𝑒−2𝑥 + 𝐶2𝑥𝑒

−2𝑥 −24

25cos 𝑥 +

18

25𝑠𝑒𝑛 𝑥


SEGUNDO MÉTODO: MÉTODO DE VARIACIÓN DE PARÁMETROSSirve para encontrar la solución particular 𝑦𝑝 de la ecuación diferencial 𝑦′′ + 𝑦′𝑃 𝑥 + 𝑦𝑞 𝑥 = 𝑔 𝑥conociendo el conjunto fundamental de soluciones C.F.S. 𝑦1, 𝑦2 de la correspondiente ecuaciónhomogénea.

𝑦′′ + 𝑦′𝑃 𝑥 + 𝑦𝑞 𝑥 = 𝑔 𝑥 𝑦 𝑦′′ + 𝑥𝑦′ + 𝑦 = 0

Al suponer que:𝑦𝑝 = 𝑢1 𝑥 𝑦1 + 𝑢2 𝑥 𝑦2∴ 𝑦𝑝 = 𝑢1𝑦1 + 𝑢2𝑦2

Derivando:𝑦𝑝 = 𝑢1𝑦1 + 𝑢2𝑦2

𝑦𝑝′ = 𝑢1

′𝑦1 + 𝑢1𝑦1′ + 𝑢2

′ 𝑦2 + 𝑢2𝑦2′

Para la primera condición:𝑢1′𝑦1 + 𝑢2

′ 𝑦2 = 0REGRESAR AL CONTENIDO

Acomodando términos y sustituyendo:

𝑦𝑝′ = 𝑢1

′𝑦1 + 𝑢1𝑦1′ + 𝑢2

′ 𝑦2 + 𝑢2𝑦2′

𝑦𝑝′ = 𝑢1

′𝑦1 + 𝑢2′ 𝑦2 + 𝑢1𝑦1

′ + 𝑢2𝑦2′

𝑦𝑝′ = 𝑢1𝑦1

′ + 𝑢2𝑦2′

𝑦𝑝′′ = 𝑢1

′𝑦1′ + 𝑢1𝑦1

′′ + 𝑢2′ 𝑦2′ + 𝑢2𝑦2

′′

Ahora remplazando:

𝑦′′ + 𝑦′𝑃 𝑥 + 𝑦𝑞 𝑥 = 𝑔 𝑥𝑢1′𝑦1′ + 𝑢1𝑦1

′′ + 𝑢2′ 𝑦2′ + 𝑢2𝑦2

′′ + 𝑢1𝑦1′ + 𝑢2𝑦2

′ 𝑃 𝑥 + 𝑢1𝑦1 + 𝑢2𝑦2 𝑞 𝑥 = 𝑔 𝑥𝑢1 𝑦1

′′ + 𝑦1′𝑃 𝑥 + 𝑦1𝑞 𝑥 + 𝑢2 𝑦2

′′ + 𝑦2′𝑃 𝑥 + 𝑦2𝑞 𝑥 + 𝑢1

′𝑦1′ + 𝑢2

′ 𝑦2′ = 𝑔 𝑥

Y para la segunda condición:𝑢1′𝑦1′ + 𝑢2

′ 𝑦2′ = 𝑔 𝑥


Creando la matriz de coeficientes mediante las dos condiciones:

𝑦1 𝑦2𝑦1′ 𝑦2

′𝑢1′

𝑢2′ =

0𝑔 𝑥

Por regla de Cramer:

𝑢1′ =

0 𝑦2𝑔 𝑥 𝑦2

′

𝑦1 𝑦2𝑦1′ 𝑦2

′

→𝑑𝑢1𝑑𝑥

= −𝑦2 ∗ 𝑔 𝑥

𝑊 𝑦1, 𝑦2

𝑑𝑢1 = −𝑦2 ∗ 𝑔 𝑥

𝑊 𝑦1, 𝑦2𝑑𝑥 → 𝑑𝑢1 = −

𝑦2 ∗ 𝑔 𝑥

𝑊 𝑦1, 𝑦2𝑑𝑥

∴ 𝑢1 = − 𝑦2 ∗ 𝑔 𝑥



𝑢2′ =

𝑦1 0

𝑦1′ 𝑔 𝑥𝑦1 𝑦2𝑦1′ 𝑦2

′

→𝑑𝑢2𝑑𝑥

=𝑦1 ∗ 𝑔 𝑥

𝑊 𝑦1, 𝑦2

𝑑𝑢2 =𝑦1 ∗ 𝑔 𝑥

𝑊 𝑦1, 𝑦2𝑑𝑥 → 𝑑𝑢2 =

𝑦1 ∗ 𝑔 𝑥


∴ 𝑢2 = 𝑦1 ∗ 𝑔 𝑥


Regresando y sustituyendo:

𝑦𝑝 = 𝑢1𝑦1 + 𝑢2𝑦2

𝑦𝑝 = −𝑦1 𝑦2 ∗ 𝑔 𝑥

𝑊 𝑦1, 𝑦2𝑑𝑥 + 𝑦2

𝑦1 ∗ 𝑔 𝑥


𝑦𝑝 = 𝑢1𝑦1 + 𝑢2𝑦2 REGRESAR AL CONTENIDO

EJEMPLO APLICADO AL MÉTODO DE VARIACIÓN DE PARÁMETROSEJEMPLO: Encontrar la solución general de la ecuación

𝑦′′ + 𝑦 = sec 𝑥

SOLUCIÓN:

Partiendo de la fórmula:𝑦 = 𝑦𝑐 + 𝑦𝑝

Para la solución complementaria, se hace que 𝑦 = 1, 𝑦′ = 𝑟, 𝑦′′ = 𝑟2 para la ecuación diferencialque brinda el problema, es decir:

𝑦′′ + 𝑦 = 0𝑟2 + 1 = 0

𝑎𝑟2 + 𝑏𝑟 + 𝑐 = 0

Así que los coeficientes son:𝑎 = 1, 𝑏 = 0, 𝑐 = 1



𝑟1,2 =−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

𝑟1,2 =0 ± 02 − 4 1 1

2 1

𝑟1,2 =0 ± −4

2=0 ± 𝑗2

2= 0 ± 𝑗

Como pertenece al tercer caso debido aun par de números complejos:𝜆 = 0 𝑦 𝛼 = 1

Se obtienen estos resultados:𝑟1 = cos 𝑥 , 𝑟2 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥

Así que el Conjunto Fundamental de Soluciones es:𝐶. 𝐹. 𝑆.→ 𝑒𝜆𝑥 cos 𝛼𝑥 , 𝑒𝜆𝑥𝑠𝑒𝑛 𝛼𝑥 = cos 𝑥 , 𝑠𝑒𝑛 𝑥

Y la solución general es:∴ 𝑦𝑐 = 𝐶1 cos 𝑥 + 𝐶2 𝑠𝑒𝑛 𝑥




𝑊 cos 𝑥 , 𝑠𝑒𝑛 𝑥 =cos 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥−𝑠𝑒𝑛 𝑥 cos 𝑥

= cos2 𝑥 + 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 = 1

𝑢1 = − 𝑦2 ∗ 𝑔 𝑥

𝑊 𝑦1, 𝑦2𝑑𝑥 = −

𝑠𝑒𝑛 𝑥 sec 𝑥

1𝑑𝑥 = −

𝑠𝑒𝑛 𝑥

cos 𝑥𝑑𝑥 = ln cos 𝑥

𝑢2 = 𝑦1 ∗ 𝑔 𝑥

𝑊 𝑦1, 𝑦2𝑑𝑥 =

cos 𝑥 sec 𝑥

1𝑑𝑥 = 𝑑𝑥 = 𝑥

𝑦𝑝 = 𝑢1𝑦1 + 𝑢2𝑦2

𝑦𝑝 = cos 𝑥 ln cos 𝑥 + 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥

Regresando y sumando:𝑦 = 𝑦𝑐 + 𝑦𝑝

𝑦 = 𝐶1 cos 𝑥 + 𝐶2 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + cos 𝑥 ln cos 𝑥 + 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥

EJEMPLO APLICADO AL MÉTODO DE VARIACIÓN DE PARÁMETROSEJEMPLO: Resolver

𝑥2𝑦′′ − 𝑥 𝑥 + 2 𝑦′ + 𝑥 + 2 𝑦 = 2𝑥3

Donde el Conjunto Fundamental de Soluciones es:𝐶. 𝐹. 𝑆. 𝑥, 𝑥𝑒𝑥

SOLUCIÓN:

De la fórmula:𝑦 = 𝑦𝑐 + 𝑦𝑝

Para la solución complementaria es𝑦𝑐 = 𝐶1𝑥 + 𝐶2𝑥𝑒

𝑥

Ya que fue extraído del C.F.S. brindados del problema


Para la solución particular, se multiplica por el recíproco de 𝑥2, es decir, 1

𝑥2en toda la ecuación

diferencial:

𝑥2𝑦′′ − 𝑥 𝑥 + 2 𝑦′ + 𝑥 + 2 𝑦 = 2𝑥31

𝑥2𝑥2𝑦′′ − 𝑥 𝑥 + 2 𝑦′ + 𝑥 + 2 𝑦 = 2𝑥3

𝑦′′ −𝑥 + 2

𝑥𝑦′ +

𝑥 + 2

𝑥2𝑦 = 2𝑥

Ahora, regresando del C. F. S. se sabe que:𝑦1 = 𝑥 𝑦2 = 𝑥𝑒

𝑥

𝑦1′ = 1 𝑦2 = 𝑒

𝑥 + 𝑥𝑒𝑥

Entonces, aplicando la fórmula de Wroskiano:

𝑊 𝑦1, 𝑦2 =𝑦1 𝑦2𝑦1′ 𝑦2

′ =𝑥 𝑥𝑒𝑥

1 𝑒𝑥 + 𝑥𝑒𝑥

𝑊 𝑦1, 𝑦2 = 𝑥 𝑒𝑥 + 𝑥𝑒𝑥 − 𝑥𝑒𝑥

𝑊 𝑦1, 𝑦2 = 𝑥2𝑒𝑥REGRESAR AL CONTENIDO

𝑢1 = − 𝑦2 ∗ 𝑔 𝑥

𝑊 𝑦1, 𝑦2𝑑𝑥 = −

𝑥𝑒𝑥 ∗ 2𝑥

𝑥2𝑒𝑥𝑑𝑥 = −2 𝑑𝑥 = −2𝑥

𝑢2 = 𝑦1 ∗ 𝑔 𝑥


𝑥 ∗ 2𝑥

𝑥2𝑒𝑥𝑑𝑥 = 2 𝑒−𝑥𝑑𝑥 = −2𝑒−𝑥

𝑦𝑝 = 𝑢1𝑦1 + 𝑢2𝑦2

𝑦𝑝 = −2𝑥 𝑥 − 2𝑒−𝑥 𝑥𝑒𝑥

𝑦𝑝 = −2𝑥2 − 2𝑥



∴ 𝑦 = 𝐶1𝑥 + 𝐶2𝑥𝑒𝑥 − 2𝑥𝑥 − 2𝑥


EJEMPLO APLICADO AL MÉTODO DE VARIACIÓN DE PARÁMETROSEJEMPLO: Encontrar la solución general

𝑦′′ − 𝑦 =1

𝑥

SOLUCIÓN:

Partiendo de la fórmula:𝑦 = 𝑦𝑐 + 𝑦𝑝

Para la solución complementaria, se hace que 𝑦 = 1, 𝑦′ = 𝑟, 𝑦′′ = 𝑟2:

𝑦′′ − 𝑦 = 0𝑟2 − 1 = 0

𝑎𝑟2 + 𝑏𝑟 + 𝑐 = 0

Y los coeficientes son:𝑎 = 1, 𝑏 = 0, 𝑐 = 1




𝑟1,2 =−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

𝑟1,2 =0 ± 02 − 4 1 −1

2 1

𝑟1,2 =0 ± 4

2=0 ± 2

2Se observa que pertenece al primer caso:

𝑟1 = 1, 𝑟2 = −1

Así que el Conjunto Fundamental de Soluciones es:𝐶. 𝐹. 𝑆.→ 𝑒𝑟1𝑥, 𝑒𝑟2𝑥 = 𝑒𝑥, 𝑒−𝑥


𝑥 + 𝐶2𝑒−𝑥

Para la solución particular, se sabe que de las soluciones complementarias:

𝑦1 = 𝑒𝑥 𝑦2 = 𝑒

−𝑥

𝑦1′ = 𝑒𝑥 𝑦2

′ = −𝑒−𝑥

Utilizando la fórmula del Wroskiano:

𝑊 𝑒𝑥, 𝑒−𝑥 =𝑦1 𝑦2𝑦1′ 𝑦2

′ =𝑒𝑥 𝑒−𝑥

𝑒𝑥 −𝑒−𝑥

𝑊 𝑒𝑥, 𝑒−𝑥 = −1 − 1 = −2

𝑢1 = − 𝑦2 ∗ 𝑔 𝑥

𝑊 𝑦1, 𝑦2𝑑𝑥 = −

𝑒−𝑥 ∗1𝑥

−2𝑑𝑥 = −

1

2 𝑒−𝑥

𝑥𝑑𝑥

𝑢2 = 𝑦1 ∗ 𝑔 𝑥


𝑒𝑥 ∗1𝑥

−2𝑑𝑥 = −

1

2 𝑒𝑥

𝑥𝑑𝑥


Las dos integrales anteriores no se pueden resolver por método tradiciones, por tanto, se dejará expresado tal cual. Sustituyendo:

𝑦𝑝 = 𝑢1𝑦1 + 𝑢2𝑦2

𝑦𝑝 = 𝑒𝑥 −

1

2 𝑒−𝑥

𝑥𝑑𝑥 + 𝑒−𝑥 −

1

2 𝑒𝑥

𝑥𝑑𝑥



∴ 𝑦 = 𝐶1𝑒𝑥 + 𝐶2𝑒

−𝑥 + 𝑒𝑥 −1

2 𝑒−𝑥

𝑥𝑑𝑥 + 𝑒−𝑥 −

1

2 𝑒𝑥

𝑥𝑑𝑥


EJEMPLO APLICADO AL MÉTODO DE VARIACIÓN DE PARÁMETROSEJEMPLO: Resolver

𝑦′′ − 4𝑦′ + 4𝑦 = 𝑥 + 1 𝑒2𝑥

Donde:𝐶. 𝐹. 𝑆. 𝑒2𝑥, 𝑥𝑒2𝑥

SOLUCIÓN:

Partiendo de la fórmula general:𝑦 = 𝑦𝑐 + 𝑦𝑝

Para la solución complementaria, se extraen las soluciones que vienen del C. F. S. brindadas del problema𝑦1 = 𝑒

2𝑥 𝑦 𝑦2 = 𝑥𝑒2𝑥

𝑦𝑐 = 𝐶1𝑒2𝑥 + 𝐶2𝑥𝑒

2𝑥


Para la solución particular, se extraen las soluciones que vienen del C.F.S. y se derivan una sola vez:

𝑦1 = 𝑒2𝑥 𝑦 𝑦2 = 𝑥𝑒

2𝑥

𝑦1′ = 2𝑒2𝑥 𝑦 𝑦2

′ = 𝑒2𝑥 + 2𝑥𝑒2𝑥

Entonces, aplicando la fórmula de Wroskiano:

𝑊 𝑒2𝑥 , 𝑥𝑒2𝑥 = 𝑒2𝑥 𝑥𝑒2𝑥

2𝑒2𝑥 𝑒2𝑥 + 2𝑥𝑒2𝑥

𝑊 𝑒2𝑥 , 𝑥𝑒2𝑥 = 𝑒2𝑥 𝑒2𝑥 + 2𝑥𝑒2𝑥 − 2𝑒2𝑥 𝑥𝑒2𝑥

𝑊 𝑒2𝑥 , 𝑥𝑒2𝑥 = 𝑒4𝑥

Por último:

𝑢1 = − 𝑦2 ∗ 𝑔 𝑥

𝑊 𝑦1, 𝑦2𝑑𝑥 = −

𝑥𝑒2𝑥 ∗ 𝑥 + 1 𝑒2𝑥

𝑒4𝑥𝑑𝑥 = − 𝑥 𝑥 + 1 𝑑𝑥 = −

𝑥3

3−𝑥2

2

𝑢2 = 𝑦1 ∗ 𝑔 𝑥


𝑒2𝑥 ∗ 𝑥 + 1 𝑒2𝑥

𝑒4𝑥𝑑𝑥 = 𝑥 + 1 𝑑𝑥 =

𝑥2

2+ 𝑥


Sustituyendo en la ecuación:𝑦𝑝 = 𝑢1𝑦1 + 𝑢2𝑦2

𝑦𝑝 = 𝑒2𝑥 −

𝑥3

3−𝑥2

2+ 𝑥𝑒2𝑥

𝑥2

2+ 𝑥

𝑦𝑝 = −𝑥3𝑒2𝑥

3−𝑥2𝑒2𝑥

2+𝑥3𝑒2𝑥

2+ 𝑥2𝑒2𝑥

∴ 𝑦𝑝 =1

2𝑥2𝑒2𝑥 +

1

6𝑥3𝑒2𝑥



∴ 𝑦 = 𝐶1𝑒2𝑥 + 𝐶2𝑥𝑒

2𝑥 +1

2𝑥2𝑒2𝑥 +

1

6𝑥3𝑒2𝑥


BIBLIOGRAFÍASCarmona Jover, I., & Filio López, E. (2011). Ecuaciones diferenciales. México: PEARSON Educación.

D. Zill, D. (2009). Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado. México: CENGAGE Learning.

Espinosa Ramos, E. (1996). Ecuaciones diferenciales y sus aplicaciones. Lima.

Jover, I. C. (1998). Ecuaciones diferenciales. México: PEARSON Educación.


2.6 ecuaciones diferenciales de segundo orden no homogéneas

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