25829111 apuntes regulacion y control cos

7/31/2019 25829111 Apuntes Regulacion y Control cos

1/20

TECNOLOGA INDUSTRIAL II SISTEMAS DE REGULACIN Y CONTROL

1

SISTEMAS DE REGULACIN Y CONTROL AUTOMTICOS

1.- Introduccin

Lossistemas de controlseaplicanennumerosos campos de la tecnologa y de la ciencia. Se

pueden citarejemplostales comolospilotosautomticosen barcosoaviones,el controlteledirigido de

navesespaciales, controles deposicin y velocidad enmquinas herramientas, control derobots, controldeprocesosindustriales,suspensinactiva delosautomviles, controles diversosenelectrodomsticos,

etc., en los que los sistemas de control desempean un importante papel. La lista de aplicaciones

pudiera resultar interminable ya que, debido al progresivo abaratamiento y miniaturizacin los

componenteselectrnicos, hasidoenormesuproliferacin y desarrollo.

Un sistema automtico de control es un conjunto de componentes fsicos conectados o

relacionados entre s, de manera que regulen o dirijan su actuacin por s mismos, es decir sin

intervencin deagentesexteriores (incluidoelfactor humano), corrigiendoadems losposibleserrores

quesepresentenensufuncionamiento.

La Automticao Control (automtico) de Sistemas trata deregular, con lamnima intervencin

humana,el comportamiento dinmico deunsistemamedianterdenes demando.

Los sistemas de control seempezaron a utilizar cuando surgi lanecesidad de controlar las

mquinas deuna formaprecisa. Uno de losprimeros sistemas de control fueel regulador centrfugo,

tambinllamado mquina de bolas.

Elreguladorconsisteenunparalelogramoarticulado deformable,quegira dependiente delgiro

delosejes delasruedas.Lasesferas colocadasenlosextremos delos brazosseelevanporaccin de

lafuerza centrfuga desplazandoelvrticeinferior ensentidoverticalporelmismoeje degiroenfuncin

delavelocidad. Estemovimiento desubida setransmiteaunavlvulaqueregulalaentrada devaporal

motor.


2/20


2

En las aplicaciones industriales es donde ms desarrollo tiene la regulacin automtica, un

ejemploesel control de centraleselctricaso cualquierproceso industrial donde intervenganvariables

comotemperatura, caudal,etc. Controlarelsistemaproductivo hasupuesto:

y Aumentarlas cantidades, y calidad delproductofabricado.

y Reducircostes deproduccin

y Mejorarlossistemas deseguridad y control delproceso.

En los hogares, desde laautomatizacin de loselectrodomsticos hasta la implantacin de la

domtica. Enlosavances cientficos, lossistemasautomticosenlasmisionesespaciales, cuyo control

seextiendetantoal control devuelo comoal delarbita.

En losavancestecnolgicos,el campoesmuy amplio y seaplicana lavida diariaensistemas

como elsistemaantibloqueo defrenada (ABS),el control deltrfico detrenes,el control derobots,etc

2.- Conceptos

Un sistema de control se puede construir con diferentes tecnologas, mecnica, elctrica,

neumtica. A da de hoy,pararealizarel control desistemasseutilizaprincipalmenteelectrnica,o bienatravs dela construccin de circuitoso bienatravs deelementoselectrnicosprogramables.

Independientemente del tipo de tecnologa empleada en todo sistema de control podemos

identificarlossiguienteselementos.

SISTEMA DE CONTROL: Conjunto o combinacin de componentes que actanjuntos para

realizarel control.Lossistemas de controltrabajan,fundamentalmente, conlainformacinfacilitadapor

lossensores y,trassuprocesado,esutilizadapara controlarlosactuadores.

VARIABLES DEL SISTEMA O SEALES:son lasmagnitudesque se sometena vigilancia y

control y que definen el comportamiento del sistema. Representan una determinada magnitud fsica

(velocidad, caudal,intensidad,presin,temperaturaetc..)

ENTRADA O SEAL DE MANDO: Es lasealqueseaplicaaunsistema de control,mediante

distintosprocedimientos, conelfin deprovocarunarespuesta.

Para introducir una entrada al sistema se puede utilizar un mando o selector de entrada,

elementoquepermitefijarelvalordeseado deunavariable deentrada,sepuedeintroduciratravs de

un componentetansimple comounpotencimetroomssofisticado comounordenador.

SALIDA: Es la respuestaqueproporcionaelsistema de control,ejemplos, temperatura deuna

habitacin,posicin deuneje,etc.

SENSORES: elementoque captaunamagnitud delsistemaparasuprocesamiento,ejemplos,

sensordetemperatura, depresin, deluz,etc.

ACTUADORES: elementos que a travs de su funcionamiento modifican las variables del

sistema,ejemplos,motores, cilindrosneumticos,vlvulaspara control delquidos,resistencias,etc.

PERTURBACIN: Son las seales no deseadas que influyen de forma adversa en el

funcionamiento delsistema. Ejemplosi controlamos la temperatura deuna habitacin, los cambios de

temperaturaenelexteriorseranlasperturbaciones.


3/20


3

UNIDAD DE CONTROL: Eslaparteencargada degobernarelsistema controladoparaproducir

lasalida deseadasin laaccin deloperador. Ejemplo,unsistemamuy simple de unidad de controllo

constituyeeltermostatoquetenemosennuestra casa y que controlaelfuncionamiento de la caldera

segnla entradaseleccionada y latemperaturamedidaporelaparato.

PLANTA o PROCESO: Puedeserunaparte deunequipooun conjunto deelementos deuna

mquinaquefuncionanjuntos, y cuyoobjetivoesrealizarunaoperacinparticular. Ejemplo,enel caso

del control de temperatura de una habitacin, la planta sera la misma habitacin con todos los

elementosque hay dentro.

Nosotros llamaremos planta a cualquier objeto fsico que se va a controlar (motor, horno,

caldera,..)

REPRESENTACIN DE LOS SISTEMAS DE CONTROL. DIAGRAMA DE BLOQUES

Lossistemas de controlsesuelenrepresentarcon diagramas de bloques,en losqueseofrece

unaexpresinvisualsimplificada delasrelacionesentrelaentrada y salida deunsistemafsico.

El diagrama de bloquesmassencilloesel Bloquesimpleque consta deunasolaentrada y una

solasalida:

La interaccinentre los bloquesse representapormedio de flechasque indicanelsentido del

flujo delainformacin.

3.- Tipos de sistemas de control

Lossistemas de controlpuedenser:

SISTEMAS DE LAZO (O BUCLE) ABIERTO. Sonaquellosen losque laaccin de controles

independiente delasalida.

SISTEMAS DE LAZO (O BUCLE) CERRADO. Enellos,laaccin de control depende delasalida

obtenida delsistema.

3.1.- Sistemas de control en lazo abierto

Son lossistemasen los cuales lasalidanoafecta laaccin de control. Enunsistemaen lazo

abiertonosemidelasalidaniserealimentapara compararla conlaentrada.

En cualquier sistema de control en lazo abierto, la salida no se compara con la entrada de

referencia. Por tanto a cada entrada de referencia le corresponde una condicin operativa fija; como

resultado, laprecisin delsistema depende de la calibracin. Ante lapresencia deperturbaciones,un

sistema de controlen lazoabiertonorealiza latarea deseada. En laprctica,el controlenlazoabierto

sloseutilizasise conocelarelacinentrelaentrada y lasalida y sino hay perturbacionesinternasni

externas. Esevidentequeestossistemasnoson de controlrealimentado.

ELEMENTOS BSICOS

SalidaEntrada


4/20


4

1. Elemento de controlocontrolador: Esteelemento determinaquaccinsevaatomardada

unaentradaalsistema de control.

2. Elemento de correccin,actuadoroaccionador: Esteelemento respondea laentradaque

viene delelemento de controleinicialaaccinparaproducirel cambioenlavariable controladaalvalor

requerido.

3. Proceso: Elprocesooplantaeselsistemaenelquesevaa controlarlavariable.

3.2.- Sistemas de control en lazo cerrado. Sistemas realimentados

En la prctica, los trminos control realimentado y control en lazo cerrado se usan

indistintamente.

Enunsistema de controlen lazo cerrado,sealimentaal controlador con laseal deerror de

actuacin,queesla diferenciaentrelaseal deentrada y lasalida derealimentacin (quepuedeserla

seal desalidamismaounafuncin delaseal desalida y sus derivadas y/ointegrales)afin dereducir

elerrory llevarlasalida delsistemaaunvalorconveniente. Eltrmino controlenlazo cerradosiempre

implicaeluso deunaaccin de controlrealimentandoparareducirelerrordelsistema.

A larealimentacintambinsele denomina,retroalimentacinofeedback.

ELEMENTOS BSICOS

Entrelasvariables de Entrada y Salidatenemos distintoselementos. Normalmentelasvariables

deentradaosalida deben deadaptarseparasu comparacinatravs deuntransductor.

Un transductores un dispositivo capaz de transformar o convertir un determinado tipo de energa de entrada, en otra de

diferente a la salida. Es un dispositivo usado principalmente en la industria, en la medicina, en la agricultura, en robtica, en

aeronutica, etc. para obtener la informacin de entornos fsicos y qumicos y conseguir (a partir de esta informacin) seales o

impulsos elctricos o viceversa.

1. Elemento de comparacin, comparador: Este elemento compara el valor requerido o de

referencia delavariableporcontrolarconelvalormedido deloqueseobtienealasalida, y produceunaseal de errorla cualindicala diferencia delvalorobtenidoalasalida y elvalorrequerido.

2. Elemento de controlocontroladoro regulador: Este elemento decidequaccin tomar

cuandoserecibeunaseal deerror.Laseal deerrorserla diferenciaentrelaseal de entrada y la

seal de salida. Ambasseales han deserdelamismanaturalezaparalo cuallavariable de salidase

hacepasarporunelemento demedicinocaptador.


5/20


5

3. Elemento de correccin,actuadoroaccionador: Esteelementoseutilizaparaproducirun

cambioenelprocesoaleliminarelerror.

4. Elprocesooplanta,eselsistema dondesevaa controlarlavariable.

5. Elemento de medicin o captador: Este elemento produce una seal relacionada con la

condicin delavariable controlada, y proporcionalaseal derealimentacinalelemento de comparacin

para determinarsi hay onoerror. A los captadorestambinseles denominasensores, y si conviertenuna magnitud fsica, temperatura, luz, etc, en otro tipo de seal, electrnica, se les considera

transductores.

Sistemas de control en lazo cerrado contra los sistemas de control en lazo abierto:

Las ventajas de tener una trayectoria de realimentacin y, por lo tanto, un sistema en lazo

cerradoenlugardeunsistemaenlazoabiertoson:

1. Msexactoenlaigualacin delosvaloresreal y requeridoparalavariable.

2. Menossensiblealasperturbaciones.

3. Menossensiblea cambiosenlas caractersticas delos componentes.

Pero hay algunas desventajas:

1. Existe posibilidad deinestabilidad.

2. Elsistemaesms complejo,ms caro y mspropensoaaveras.

Ejemplode unsistemade Control en lazoabierto

CONTROL DE CAUDAL MEDIANTE UNA VLVULA

1. ELoperadoractasobrelaseal demando (a). El caudal deseado.

2. Untransductorseencarga detransformarlamagnitud deentradaenunaseal desalidams

aptaparasumanipulacin denominada seal dereferencia .

3.Laseal dereferenciaseamplifica,setrata y seaplicaalactuador, lavlvula

4. La vlvula regula el caudal del fluido; nuestro proceso o planta Los elementos c, d, e y f

constituyenlaunidad de controloregulacin

Proceso


6/20


6

1.Posicin delmando delselector= Entrada 2.Potencimetro = Transductor3.Elementos c, d,e= Regulador 4.Vlvula = Actuador 5. Caudalfluido = Plantao Proceso

Ejemplo de un sistema de Control en lazo cerrado

Sialsistemaanteriorle dotamos derealimentacin conseguimos unaregulacin del caudalms

precisa.

Completael diagrama de bloques delsistema.


7/20


7

Completa los bloques de un sistema de regulacin en lazo cerrado con los posibles

nombres que podemos encontrar.

Representa mediante diagramas de bloques el control que se realiza en los siguientes

sistemas, identifica qu componentes realizan cada funcin:

y Sistema de regulacin de temperatura sin termostato.

y Sistema de regulacin de temperatura con termostato.

y Lavadora.

y Sistema de direccin conductor-coche.


8/20


8

y Sistema de regulacin de temperatura del cuerpo.

y Sistema de aprendizaje profesor-alumnos.

Disea un sistema de control para que a la hora de cocinar con una olla a presin el sistema

redujera el nivel de la placa de forma automtica.


9/20


9

4.- MODELIZACIN DE SISTEMAS

El primer paso para establecer el estudio de un sistema, es modelizarlo. Se pueden

desarrollardistintostipos demodelos:

Modelosfsicos (maqueta deunavin).

Modelosmatemticos, se utilizan las ecuaciones matemticas que describen el

funcionamiento delsistema.

La llamada teora de control clsica utilizamodelos matemticos para determinar el

comportamiento dinmico (en el tiempo) de un sistema. Mediante este recurso se puede analizar el

comportamiento desistemassimples,querespondana ecuaciones diferencialeslineales.

Qu esunsistema lineal?Sabemos que la ley de Ohm viene determinada por la expresin

V=I.R, si voltaje e intensidad son variables podemos expresar la ley como: v(t)=R.i(t). Hemos visto que

para un conductor el valor de resistencia es constante, tendramos un ejemplo de sistema lineal. Sin

embargo hay materiales como los semiconductores, en los que el valor de resistencia no es constante

sino que vara en funcin del voltaje, sera un ejemplo de sistema no lineal, para su estudio podemos

suponerlo lineal en un rango determinado.

Quesunadiferencial lineal?sistema de suspensin de un automvil

)()()(

)(

)()()()(

2

2

2

2

tkzdt

tdzb

dt

tzdmtf

dttzdm

dttdzbtkztf

maF

!

!

!

Sistemas lineales

Unsistema conunaentradax(t) y unasalida y(t),eslinealsientrelaentrada y susprimerasn

derivadas y lasalida y susmprimeras derivadasesposibleestablecerunarelacinfuncional detipo

ecuacinlineal diferencialinvariableeneltiempo.

La ecuacin es lineal si los coeficientes an ... a1 y bm ...b1 por los que semultiplican las

derivadas delasvariablessonvalores constantes.


10/20


10

4.1.- TRANSFORMADA DE LAPLACE

Elmtodo de latransformada deLaplaceaportamuchasventajas cuandoseusapararesolver

ecuaciones diferencialeslineales,mediantesuusoesposible convertirfuncionestales comosenoidales,

exponenciales, en funciones algebraicas de una variable s compleja. Las operaciones como la

integracin y la diferenciacinsesustituyenporoperacionesalgebraicasenelplano complejo.

Latransformada deLaplaceesunmtodo que transforma una ecuacin diferencial en unaecuacin algebraica ms fcil de resolver.

F(t):unafuncin deltiempottalquef(t) = 0 parat


11/20


11

? A

kbsmssF

sZ

kbsmssZsF

sZmssbsZskZsF

dt

tzdm

dt

tdzbtkztf

!

!

!

!

2

2

2

2

2

1

)(

)(

)()(

)()()()(

cero)aigualinicialesscondicionendo(considera

trminocadaaLaplacedeadatransformlaAplicando

)()()()(

4.2.- FUNCIN DE TRANSFERENCIA

Enla teora clsica de controlserepresentanloselementos deunsistemamediante bloques.

Un bloque comoelanteriorrepresentaque dadaunaentradar(t)el Elemento devuelve lasalida

c(t). Siendor(t) y c(t)funciones conlavariabletiempo.

Comose haexplicadoanteriormente, dadoque lossistemasse describenmedianteecuaciones

diferenciales y lasmismasse transformanmediante la transformada deLaplace,podemos describirel

bloqueanteriormediantelatransformada deLaplace delaentrada y lasalida:

Se define comofuncin de transferenciaa larelacinentre latransformada deLaplace de la

salidapartidoporlatransformada deLaplace delaentrada.

La funcin de transferencia ser:)(

)()(

sR

sCsG !

Pormedio delafuncin detransferenciasepuede conocer:

y Cmovaa comportarseelsistemaen cadasituacin,segnlaentradaqueseproduzca

enelsistemasabremos culsersurespuestaosalida.

y La estabilidad del mismo: es importante saber si la respuesta del sistema se va a

mantenersiempre dentro deunoslmites determinados.

y Quvaloressepuedenaplicara determinadosparmetros delsistema demaneraquesteseaestable.

Tomemoselejemplo delasuspensin deunvehculo:

Habamos visto que la descripcin fsica del sistema se realiza a travs de una ecuacin

diferencialquerelacionafuerzaf(t) con desplazamientoz(t).

Mediante el concepto de Transformada deLaplace transformamos laecuacin diferencialen

otra conlavariable complejas.

ElementoR(s) C(s)

kbsmssG

!

2

1)(

F(s) Z(s)

Elementor(t) c(t)


12/20


12

Las caractersticas de la funcin de transferencia dependen nicamente de las propiedades

fsicas delos componentes delsistema,no delaseal deentradaaplicada.Lafuncin detransferencia

nospermiteestudiarel comportamiento deunsistemaa diferentesentradassinnecesidad de resolver

ecuaciones diferenciales.

Engeneralunafuncin detransferenciatendrlaforma

n

nn

m

mm

asasa

bsbsbsG

!

...

...

)(1

10

1

10

El denominadordelafuncin detransferencia,se conoce comofuncincaracterstica,pues

determina,atravs de losvalores desus coeficientes, las caractersticasfsicas de loselementosque

componenelsistema.

n

nn asasa

...

1

10

Estafuncinigualadaa cerose conoce comoecuacin caracterstica del sistema.Las races de la ecuacin caracterstica (o valores para los cuales sta se hace nula) se

denominanpolos delsistema.

0...1

10 !

n

nn asasa

A lasraces delnumeradorseles denominaceros.

Un sistema fsico es realizable si ai y bi son nmeros reales y mn u

(tieneigualomayornmero depolosque de ceros).

Ejemplo deregulacin delatemperatura deun horno.


13/20


13

5.- OPERACIONES DE LOS DIAGRAMAS DE BLOQUES

Comenzamoseltemarepresentandoatravs de diagramas de bloqueselfuncionamiento deun

sistema. Cuandoseanalizaelfuncionamiento deunsistema de controlesnecesario conocerlafuncin

querealiza cada bloque delsistema,o cmomodificalavariable deentradaparaobtenerunasalida.

Comose havistoenelpuntoanterior, larelacinentresalida y entrada deunelementoviene

determinadaporsufuncin de transferencia. Enesteapartadoveremos cmorealizaroperaciones con

los diagramas de bloquesparareducirlosaotrosequivalentespero demsfcilmanejo.

5.1.- Bloques en serie

Lafuncin detransferencia deunsistema devarios bloquesenserieesigualalproducto delas

funciones detransferencia.

G(s)=G1(s).G2(s).G3(s)

5.2.- Bloques en paralelo

La funcin de transferencia den bloquesenparaleloes iguala la suma de las funciones de

transferencia.

G(s)=G1(s)+G2(s)+G3(s)

5.3.- Transposicin de sumadores y puntos de bifurcacin

R(s)

G2(s)

G3(s)

C(s)

G1(s)

+

+

+

X1(s)

G(s)[X1(s)+ X2(s)]

+

+

G(s)

X2(s)

G(s)X1(s)+ G(s)X2(s)+

+X2(s)

G(s)

G(s)

X1(s)

G1(s)R(s)

G2(s) G3(s)C(s)


14/20


14

Transposicin depuntos de bifurcacin

5.4.- Sistema realimentado

Veamos cmopodemos simplificarunsistema de regulacinen lazo cerradoporotroen lazo

abierto y cuyoresultadoseaelmismo.

Dadounsistemaenlazo cerrado con G(s) comofuncin detransferenciaentrelaseal deerror

y lasalida, y H(s)lafuncin detransferenciaentrelasalida y el comparador,podemossustituirloporotro

en lazo abierto cuya funcin de

transferenciasea)(

)(

sX

sY:

E(s) = X(s) Y(s).H(s)

Y(s) = E(s).G(s)

)().(1

)(

)().().()(

)().(

)().()(

)().(

)(

)(

sHsG

sG

sHsGsEsE

sGsE

sHsYsE

sGsE

sX

sY

!

!

!

G s

X(s)X(s)G(s)

X(s)G(s)

G s X(s)X(s)G(s)

X(s)G(s)G(s)

X(s)G(s)

G s X(s)

X1(s)

X(s)G(s)

1/G s

X(s)

X1(s)

X(s)G(s)

G s

G(s)X1(s)+ X2(s) G(s)X1(s)+ X2(s)+

+X2(s)1/G(s)

X1(s)

+

+X2(s)

G(s)X1(s)

G(s)

+

-

Y(s)G(s)

X(s)

H(s)

E(s)

Y(s)X(s)


15/20


15

Ejercicios

Obtenerlafuncin detransferencia del diagrama de bloques delafigura

H1

+

G1X(s)

G2

G3

Z(s)+

-

+ +

- -

1

2

3

4

5

6G1

X(s)G2

H2

Z(s)+

-

+ +

+

H3

7


16/20


16

? A

kbsmssF

sZ

kbsmssZsF

sZmssbsZskZsF

dt

tzdm

dt

tdzbtkztf

!

!

!

!

2

2

2

2

2

1

)(

)(

)()(

)()()()(

cero)aigualinicialesscondicionendo(consideratrminocadaaLaplacedeadatransformlaAplicando

)()()()(

PARA NO PERDERSE!

Losmodelosmatemticospuedenobtenerseenformaexperimentaloanaltica, yengeneral,enlaprctica,medianteuna combinacin deambosmtodos.

Normalmenteunsistemase describeatravs deecuaciones diferenciales.

MODELIZAR. Parapoderestudiarunsistema de controlesnecesario disponerdeunmodelo desufuncionamiento

Siestasecuaciones diferenciales sonlineales selespuedeaplicarlatransformada deLaplaceloquepermite convertirestasecuacionesenotras dondelavariabletiemposesustituyeporlavariable squerepresentaunnmero complejo. Estatransformacinpermiteestudiarelsistemademaneramssencilla.

? A

kbsmssF

sZ

kbsmssZsF

sZmssbsZskZsF

dt

tzdm

dt

tdzbtkztf

!

!

!

!

2

2

2

2

2

1

)(

)(

)()(

)()()()(

igualinicialesscondicionendo(considera

caaLaplacedeadatransformlaAplicando

)()()()(

En un sistema de control cada elemento tendr su funcin de transferencia. A una

entrada el sistema dar un salida que depende de las funciones de todos los elementos.

Dado un esquema que describe un sistema de control conviene reducirlo a un nico

bloque equivalente para analizar cmo reacciona el sistema ante distintas entradas.

La funcin de transferencia nos da la relacin entre la salida y la entrada de un

elemento o de un sistema.

kbsmssG

!

2

1)( F(s) Z(s)

X(s)

43241

41

....1

.

PPPPP

PP

Z(s)


17/20


17

6.- RESPUESTA DE UN SISTEMA A UNA ENTRADA. ESTABILIDAD DE UN SISTEMA

Ante lamodificacin deunaseal deentradaunsistema reacciona deunamaneraquenoes

instantnea.Las caractersticas bsicas deunarespuestatransitoriason:

y Mp:sobreoscilacinmxima

y Tr:tiempo desubida.

y Tp Tiempo depico.

y Ts Tiempo deestablecimiento,tiemponecesariopara

alcanzarelrgimenpermanente.

Estabilidad de un sistema

Laestabilidad deunsistemase determinaporsurespuestaalasentradasoperturbaciones.

Un sistema estable es aquel que permanece en reposo a no ser que se excite por una

fuente externa y,ental caso,volveralreposounavezque desaparezcanlasexcitaciones.Laestabilidad sepuede definirdelassiguientesformas:

y Unsistemaesestablesiunaentradalimitadaproduceunasalidalimitada.

Aplicandounaentradaenescaln,lassiguientesgrficasnosrepresentanlarespuestaen

sistemas con distintafuncin detransferencia.

Sistemainestable

Sistemainestable

Sistemaestable

Sistemaestable


18/20


18

6.1. Estudio de la estabilidad de un sistema a partir de su funcin de transferencia

Paraqueun sistema de regulacinseaestable, las races de su

ecuacin caracterstica (polos), han deestarsituadasenlapartenegativa

delplano complejo deLaplace.

Ejercicio: Determinar el margen de valores de K para que el sistema representado en el

esquema sea estable.

)2)(1( ss

K

X(s) Z(s)+

-


19/20


19

6.2.- Criterio de estabilidad de Routh

El criterio deestabilidad de Routh indicasi hay onoracespositivasenunaecuacinpolnmica

de cualquiergradosintenerqueresolverla:

Secuencia:

1. Escribimos el polinomio de la forma indicada, donde los coeficientes son cantidades reales

(suponemosquean0)

2.- Si cualquiercoeficienteesnuloonegativo y hay algn coeficientepositivo,elsistemanoesestable.

3. Sitodoslos coeficientessonpositivos,se colocanenfilas y columnas comoseindica:

Trminos

1

30211

..

a

aaaab

!

1

50412

..

a

aaaab

!

1

70613

..

a

aaaab

!

sn a0 a2 a4 a6

sn- a1 a3 a5 a7

sn-2 b1 b2 b3

. . .

. . .

s2 e1 e2

s1 f1

s0 g1

4. Unafila completasepuedemultiplicarporunnmeropositivoparasimplificar los clculos

siguientes.

5.EL SISTEMA SER ESTABLE SI EN LA PRIMERA COLUMNA NO EXISTEN CAMBIOS DESIGNO, YA QUE EL NMERO DE CAMBIOS QUE EXISTAN ES IGUAL A LAS RAICES DE LAECUACIN CON PARTES REALES POSITIVAS.

Las siguientes funciones son la funcin caracterstica de distintos sistemas, analiza su

estabilidad medianteel criterio de Routh.

13323

sss 123 sss 44234 23456 ssssss


20/20


20

Ejercicios

Determinarlosvalores de K paralosqueelsistemaesestable.

Determinarlosvalores de K paralosqueelsistemaesestable.

Aplicarel criterio de Routh para determinarsielsistemaesestable

Determinarelvalorde K paraqueelsistemaseaestable.

8

X(s) Z(s)+

- )2).(1.(2

ssss

K

9

X(s) Z(s)+

-3)1(

1

sK

10

X(s) Z(s)

23.5.2

13

2345

3

sssss

s

11

X(s) Z(s)+

- 6

1

sK

2.2

12

ss

25829111 apuntes regulacion y control cos

Documents